Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. İkinci dereceden denklemlerin sözlü çözümü ve Vieta teoremi

Vieta teoremi genellikle halihazırda bulunan kökleri kontrol etmek için kullanılır. Kökleri bulduysanız, \(p'nin değerlerini hesaplamak için \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formüllerini kullanabilirsiniz. \) ve \(q\ ). Ve orijinal denklemdekiyle aynı çıkarsa kökler doğru bulunur.

Örneğin, kullanarak \(x^2+x-56=0\) denklemini çözelim ve kökleri alalım: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Çözüm sürecinde hata yapıp yapmadığımızı kontrol edelim. Bizim durumumuzda \(p=1\) ve \(q=-56\). Vieta teoremine göre elimizde:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(case)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(case)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Her iki ifade de yakınlaştı, bu da denklemi doğru çözdüğümüz anlamına geliyor.

Bu kontrol sözlü olarak yapılabilir. 5 saniye sürecek ve sizi aptalca hatalardan kurtaracaktır.

Vieta'nın ters teoremi

Eğer \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), o zaman \(x_1\) ve \(x_2\) ikinci dereceden denklemin kökleridir \ (x^ 2+px+q=0\).

Veya basit bir şekilde: \(x^2+px+q=0\ biçiminde bir denkleminiz varsa, o zaman \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot sistemini çözebilirsiniz) x_2=q\ end(case)\) köklerini bulacaksınız.

Bu teorem sayesinde ikinci dereceden bir denklemin köklerini hızlı bir şekilde bulabilirsiniz, özellikle de bu kökler . Bu beceri önemlidir çünkü çok zaman kazandırır.

Örnek . \(x^2-5x+6=0\) denklemini çözün.

Çözüm : Vieta'nın ters teoremini kullanarak, köklerin şu koşulları karşıladığını buluyoruz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Sistemin ikinci denklemine bakın \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) sayısı hangi ikiye ayrıştırılabilir? \(2\) ve \(3\), \(6\) ve \(1\) veya \(-2\) ve \(-3\) ve \(-6\) ve \(-) üzerinde 1\). Sistemin ilk denklemi size hangi çifti seçeceğinizi söyleyecektir: \(x_1+x_2=5\). \(2\) ve \(3\) benzerdir, çünkü \(2+3=5\).
Cevap : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Örnekler . Vieta teoreminin tersini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerini bulun:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Çözüm :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) hangi faktörlere ayrışır? \(2\) ve \(7\), \(-2\) ve \(-7\), \(-1\) ve \(-14\), \(1\) ve \(14\) ). Hangi sayı çiftlerinin toplamı \(15\) olur? Cevap: \(1\) ve \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) hangi faktörlere ayrışır? \(-2\) ve \(2\), \(4\) ve \(-1\), \(1\) ve \(-4\). Hangi sayı çiftlerinin toplamı \(-3\) olur? Cevap: \(1\) ve \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) hangi faktörlere ayrışır? \(4\) ve \(5\), \(-4\) ve \(-5\), \(2\) ve \(10\), \(-2\) ve \(-10\ ), \(-20\) ve \(-1\), \(20\) ve \(1\). Hangi sayı çiftlerinin toplamı \(-9\) olur? Cevap: \(-4\) ve \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) hangi faktörlere ayrışır? \(390\) ve \(2\). Toplamları \(88\) olacak mı? HAYIR. \(780\)'in başka hangi çarpanları var? \(78\) ve \(10\). Toplamları \(88\) olacak mı? Evet. Cevap: \(78\) ve \(10\).

Son terimi mümkün olan tüm faktörlere genişletmek gerekli değildir (son örnekte olduğu gibi). Toplamlarının \(-p\) verip vermediğini hemen kontrol edebilirsiniz.

Önemli! Vieta teoremi ve tersi teorem yalnızca ile çalışır; yani katsayısı \(x^2\)'nin önünde olanla çalışır. bire eşit. Başlangıçta bize indirgenmemiş bir denklem verilmişse, bunu basitçe \(x^2\) önündeki katsayıya bölerek indirgenmiş hale getirebiliriz.

Örneğin\(2x^2-4x-6=0\) denklemi verilsin ve Vieta teoremlerinden birini kullanmak istiyoruz. Ancak \(x^2\) katsayısı \(2\)'ye eşit olduğundan bunu yapamayız. Denklemin tamamını \(2\)'ye bölerek bundan kurtulalım.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Hazır. Artık her iki teoremi de kullanabilirsiniz.

Sıkça sorulan soruların yanıtları

Soru: Vieta teoremini kullanarak herhangi bir soruyu çözebilirsiniz.
Cevap: Ne yazık ki hayır. Denklem tamsayı içermiyorsa veya denklemin hiç kökü yoksa, o zaman Vieta teoremi yardımcı olmayacaktır. Bu durumda kullanmanız gerekir ayrımcı . Neyse ki okul matematiğindeki denklemlerin %80'inin tamsayı çözümleri var.

Bu matematik programıyla şunları yapabilirsiniz: karar vermek ikinci dereceden denklem .

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- diskriminant kullanmak
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Üstelik cevap yaklaşık olarak değil kesin olarak görüntülenir.
Örneğin, \(81x^2-16x-1=0\) denklemi için cevap aşağıdaki biçimde görüntülenir:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ve şu şekilde değil: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

İkinci dereceden polinom girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Dahası, kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı olarak değil aynı zamanda sıradan bir kesir olarak da girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Karar vermek

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
benziyor
\(ax^2+bx+c=0, \)
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1,4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde ise a = 1, b = 0 ve c = 4/9 bulunmaktadır. Bu tür denklemlere denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
İkinci dereceden denklem ax 2 +bx+c=0 biçiminde bir denklem denir; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \).

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. A sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı, c sayısına ise serbest terim denir.

ax 2 +bx+c=0 formundaki denklemlerin her birinde (burada \(a\neq 0\), x değişkeninin en büyük kuvveti bir karedir. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.

İkinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığını unutmayın, çünkü sol tarafı ikinci dereceden bir polinomdur.

x 2 katsayısının 1'e eşit olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler denklemlerdir
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

İkinci dereceden bir denklemde ax 2 +bx+c=0 ise b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşit, o zaman böyle bir denklem denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklem. Dolayısıyla -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. Bunlardan ilkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 olur.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:
1) ax 2 +c=0, burada \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, burada \(b \neq 0 \);
3) balta 2 =0.

Bu türlerin her birinin denklemlerini çözmeyi düşünelim.

\(c \neq 0 \ için) ax 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için, serbest terimini sağ tarafa taşıyın ve denklemin her iki tarafını da a'ya bölün:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) olduğundan \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Eğer \(-\frac(c)(a)>0\), o zaman denklemin iki kökü vardır.

Eğer \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi \(b \neq 0 \) ile çözmek için sol tarafını çarpanlara ayırın ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

Bu, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü olduğu anlamına gelir.

ax 2 =0 formundaki tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, x 2 =0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kökü 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayıları hem de serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakalım.

İkinci dereceden denklemi çözelim Genel görünüm ve sonuç olarak köklerin formülünü elde ederiz. Bu formül daha sonra herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden denklemi çözün ax 2 +bx+c=0

Her iki tarafı a'ya bölerek eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binomun karesini seçerek bu denklemi dönüştürelim:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikal ifade denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ax 2 +bx+c=0 (Latince'de “ayırıcı” - ayrımcı) D harfiyle belirtilir, yani.
\(D = b^2-4ac\)

Şimdi diskriminant gösterimini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü yeniden yazıyoruz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), burada \(D= b^2-4ac \)

Şu açıktır:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) Eğer D=0 ise ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Eğer D Dolayısıyla, diskriminantın değerine bağlı olarak, ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü olabilir (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bunu kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken formülü aşağıdaki şekilde yapmanız önerilir:
1) diskriminantı hesaplayın ve sıfırla karşılaştırın;
2) Diskriminant pozitif veya sıfıra eşitse kök formülünü kullanın; diskriminant negatifse kök olmadığını yazın.

Vieta'nın teoremi

Verilen ikinci dereceden ax 2 -7x+10=0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının tersi ile alınan ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. işareti ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +px+q=0'ın kökleri x 1 ve x 2'nin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

İkinci dereceden denklemlerde çok sayıda ilişki vardır. Bunlardan başlıcaları kökler ve katsayılar arasındaki ilişkilerdir. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerde Vieta teoremi tarafından verilen bir takım ilişkiler vardır.

Bu başlıkta, Vieta teoreminin kendisini ve onun ikinci dereceden bir denklem için kanıtını, Vieta teoreminin tersi olan teoremi sunacağız ve birkaç problem çözme örneğini analiz edeceğiz. Özel dikkat materyalde gerçek kökler arasındaki ilişkiyi tanımlayan Vieta formüllerine odaklanacağız. cebirsel denklem derece N ve katsayıları.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vieta teoreminin formülasyonu ve kanıtı

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül a x 2 + b x + c = 0 x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a biçimindedir, burada D = b 2 − 4 a c, ilişkiler kurar x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c bir. Bu Vieta teoremi ile doğrulanmaktadır.

Teorem 1

İkinci dereceden bir denklemde a x 2 + b x + c = 0, Nerede x 1 Ve x 2– kökler, köklerin toplamı katsayıların oranına eşit olacaktır B Ve A ters işaretle alınmış ve köklerin çarpımı katsayıların oranına eşit olacaktır. C Ve A yani x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c bir.

Kanıt 1

İspatı gerçekleştirmek için size aşağıdaki şemayı sunuyoruz: kök formülünü alın, ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını oluşturun ve ardından eşit olduklarından emin olmak için elde edilen ifadeleri dönüştürün -b a Ve CA sırasıyla.

Köklerin toplamını x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a yapalım. Kesirleri ortak bir paydaya getirelim - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Ortaya çıkan kesrin payındaki parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Kesri şu kadar azaltalım: 2 - b a = - b a.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı ile ilgili olan Vieta teoreminin ilk ilişkisini bu şekilde kanıtladık.

Şimdi ikinci ilişkiye geçelim.

Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını oluşturmamız gerekir: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Kesirlerde çarpma kuralını hatırlayalım ve son çarpımı şu şekilde yazalım: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Bu çarpımı daha hızlı dönüştürmek için bir parantezi kesrin payındaki bir parantezle çarpalım veya kareler farkı formülünü kullanalım: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2.

Tanımı kullanalım kare kök aşağıdaki geçişi yapmak için: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formül D = b 2 − 4 a c ikinci dereceden bir denklemin diskriminantına karşılık gelir, dolayısıyla kesir yerine D ikame edilebilir b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Parantezleri açalım, benzer terimleri ekleyelim ve şunu elde edelim: 4 · a · c 4 · a 2 . Eğer bunu kısaltırsak 4 bir, o zaman geriye kalan c a olur. Vieta teoreminin köklerin çarpımı için ikinci ilişkisini bu şekilde kanıtladık.

Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin kanıtı çok kısa ve öz bir biçimde yazılabilir:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = ca .

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfıra eşit olduğunda denklemin yalnızca bir kökü olacaktır. Vieta teoremini böyle bir denkleme uygulayabilmek için, diskriminantı sıfıra eşit olan denklemin iki özdeş kökü olduğunu varsayabiliriz. Gerçekten ne zaman D=0 ikinci dereceden denklemin kökü şöyledir: - b 2 · a, bu durumda x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a ve x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 ve D = 0 olduğundan, yani b 2 - 4 · a · c = 0, dolayısıyla b 2 = 4 · a · c, bu durumda b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = ca.

Pratikte çoğu zaman Vieta teoremi formun indirgenmiş ikinci dereceden denklemine uygulanır. x 2 + p x + q = 0 burada baş katsayı a 1'e eşittir. Bu bağlamda Vieta teoremi bu tip denklemler için özel olarak formüle edilmiştir. Bu, ikinci dereceden herhangi bir denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilebilmesi nedeniyle genelliği sınırlamaz. Bunu yapmak için her iki parçasını da sıfırdan farklı bir sayıya bölmeniz gerekir.

Vieta teoreminin başka bir formülasyonunu verelim.

Teorem 2

Verilen ikinci dereceden denklemdeki köklerin toplamı x 2 + p x + q = 0 x'in ters işaretle alınan katsayısına eşit olacak, köklerin çarpımı serbest terime eşit olacaktır, yani. x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q.

Teorem Vieta teoreminin tersi

Vieta teoreminin ikinci formülasyonuna dikkatlice bakarsanız, bunu kökler için görebilirsiniz. x 1 Ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 + p x + q = 0 aşağıdaki ilişkiler geçerli olacaktır: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Bu ilişkilerden x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q şu sonucu çıkarır: x 1 Ve x 2 ikinci dereceden denklemin kökleri x 2 + p x + q = 0. Böylece Vieta teoreminin tersi olan bir ifadeye geliyoruz.

Şimdi bu ifadeyi bir teorem olarak resmileştirmeyi ve kanıtını gerçekleştirmeyi öneriyoruz.

Teorem 3

Eğer sayılar x 1 Ve x 2öyle mi x 1 + x 2 = - p Ve x 1 x 2 = q, O x 1 Ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleridir x 2 + p x + q = 0.

Kanıt 2

Oranların değiştirilmesi P Ve Q yoluyla ifade etmelerine x 1 Ve x 2 denklemi dönüştürmenizi sağlar x 2 + p x + q = 0 eşdeğerine .

Elde edilen denklemde sayıyı yerine koyarsak x 1 yerine X o zaman eşitliği elde ederiz x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu herkes için eşitliktir x 1 Ve x 2 gerçek bir sayısal eşitliğe dönüşür 0 = 0 , Çünkü x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu demektir x 1- denklemin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Ne olmuş x 1 aynı zamanda eşdeğer denklemin köküdür x 2 + p x + q = 0.

Denklemde ikame x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 sayılar x 2 x yerine eşitlik elde etmemizi sağlar x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Bu eşitlik doğru kabul edilebilir, çünkü x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Şekline dönüştü x 2 denklemin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 ve dolayısıyla denklemler x 2 + p x + q = 0.

Vieta teoreminin tersi kanıtlandı.

Vieta teoremini kullanma örnekleri

Şimdi konuyla ilgili en tipik örnekleri analiz etmeye başlayalım. Teoremin Vieta teoreminin tersinin uygulanmasını gerektiren problemleri analiz ederek başlayalım. Belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadıklarını görmek için hesaplamalar tarafından üretilen sayıları kontrol etmek için kullanılabilir. Bunu yapmak için bunların toplamını ve farkını hesaplamanız ve ardından x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c ilişkilerinin geçerliliğini kontrol etmeniz gerekir.

Her iki ilişkinin de sağlanması, hesaplamalar sırasında elde edilen sayıların denklemin kökleri olduğunu gösterir. Koşullardan en az birinin karşılanmadığını görürsek bu sayılar problem cümlesinde verilen ikinci dereceden denklemin kökleri olamaz.

örnek 1

Sayı çiftlerinden hangisi 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 veya 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 veya 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 ikinci dereceden bir denklemin bir çift köküdür 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Çözüm

İkinci dereceden denklemin katsayılarını bulalım 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Bu a = 4, b = − 16, c = 9'dur. Vieta teoremine göre ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı şuna eşit olmalıdır: -b a, yani, 16 4 = 4 ve köklerin çarpımı eşit olmalıdır CA, yani, 9 4 .

Verilen üç çiftteki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayıp elde edilen değerlerle karşılaştırarak elde edilen sayıları kontrol edelim.

İlk durumda x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Bu değer 4'ten farklı olduğundan kontrolün devam etmesine gerek yoktur. Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre, ilk sayı çiftinin bu ikinci dereceden denklemin kökleri olmadığı sonucuna hemen varabiliriz.

İkinci durumda x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. İlk şartın sağlandığını görüyoruz. Ancak ikinci koşul şöyle değildir: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Aldığımız değer farklı 9 4 . Bu, ikinci sayı çiftinin ikinci dereceden denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.

Üçüncü çifti ele almaya devam edelim. Burada x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ve x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Her iki koşul da karşılanıyor, yani x 1 Ve x 2 belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleridir.

Cevap: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için Vieta teoreminin tersini de kullanabiliriz. En basit yol, verilen ikinci dereceden denklemlerin tam sayı katsayılarıyla tam sayı köklerini seçmektir. Diğer seçenekler de değerlendirilebilir. Ancak bu, hesaplamaları önemli ölçüde karmaşıklaştırabilir.

Kökleri seçmek için, iki sayının toplamı ikinci dereceden bir denklemin eksi işaretiyle alınan ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse bu sayıların Bu ikinci dereceden denklemin kökleri.

Örnek 2

Örnek olarak ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz x 2 − 5 x + 6 = 0. Sayılar x 1 Ve x 2 iki eşitlik sağlanırsa bu denklemin kökleri olabilir x 1 + x 2 = 5 Ve x 1 x 2 = 6. Bu sayıları seçelim. Bunlar 2 ve 3 sayılarıdır, çünkü 2 + 3 = 5 Ve 2 3 = 6. 2 ve 3'ün bu ikinci dereceden denklemin kökleri olduğu ortaya çıktı.

Vieta teoreminin tersi, birincisi bilindiğinde veya açıkça görüldüğünde ikinci kökü bulmak için kullanılabilir. Bunu yapmak için x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a ilişkilerini kullanabiliriz.

Örnek 3

İkinci dereceden denklemi düşünün 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Bu denklemin köklerini bulmak gerekir.

Çözüm

Bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfır olduğundan denklemin ilk kökü 1'dir. Şekline dönüştü x 1 = 1.

Şimdi ikinci kökü bulalım. Bunun için ilişkiyi kullanabilirsiniz x 1 x 2 = c bir. Şekline dönüştü 1 x 2 = − 3,512, Neresi x 2 = - 3,512.

Cevap: Problem ifadesinde belirtilen ikinci dereceden denklemin kökleri 1 Ve - 3 512 .

Vieta teoreminin tersi olan teoremi kullanarak kökleri seçmek yalnızca basit durumlarda mümkündür. Diğer durumlarda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanarak bir diskriminant aracılığıyla arama yapmak daha iyidir.

Vieta teoreminin tersi sayesinde, mevcut kökleri kullanarak ikinci dereceden denklemler de oluşturabiliriz. x 1 Ve x 2. Bunu yapmak için katsayıyı veren köklerin toplamını hesaplamamız gerekir. X verilen ikinci dereceden denklemin zıt işareti ve serbest terimi veren köklerin çarpımı ile.

Örnek 4

Kökleri sayı olan ikinci dereceden bir denklem yazın − 11 Ve 23 .

Çözüm

Diyelim ki x 1 = - 11 Ve x 2 = 23. Bu sayıların toplamı ve çarpımı eşit olacaktır: x 1 + x 2 = 12 Ve x 1 x 2 = − 253. Bu, ikinci katsayının serbest terim olan 12 olduğu anlamına gelir. − 253.

Bir denklem kuralım: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Cevap: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

İkinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretlerini içeren problemleri çözmek için Vieta teoremini kullanabiliriz. Vieta teoremi arasındaki bağlantı, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin işaretleriyle ilgilidir. x 2 + p x + q = 0 Aşağıdaki şekilde:

• ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa ve kesme terimi ise Q pozitif bir sayı ise bu kökler aynı "+" veya "-" işaretine sahip olacaktır;
• İkinci dereceden denklemin kökleri varsa ve kesme terimi varsa Q negatif bir sayıysa, bir kök “+” ve ikincisi “-” olacaktır.

Bu ifadelerin her ikisi de formülün sonucudur. x 1 x 2 = q ve pozitif ve negatif sayıların yanı sıra sayıları çarpma kuralları farklı işaretler.

Örnek 5

İkinci dereceden bir denklemin kökleri x 2 − 64 x − 21 = 0 pozitif?

Çözüm

Vieta teoremine göre bu denklemin köklerinin her ikisi de pozitif olamaz çünkü eşitliği sağlamaları gerekir. x 1 x 2 = − 21. Pozitiflikle bu imkansız x 1 Ve x 2.

Cevap: HAYIR

Örnek 6

Hangi parametre değerlerinde R ikinci dereceden denklem x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0 farklı işaretlere sahip iki gerçek kökü olacaktır.

Çözüm

Hangi değerleri bularak başlayalım R denklemin iki kökü olacaktır. Ayırt ediciyi bulalım ve bakalım ne olacak? R o kabul edecek pozitif değerler. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. İfade değeri r2 + 8 herhangi bir gerçek için olumlu R dolayısıyla herhangi bir reel durum için diskriminant sıfırdan büyük olacaktır. R. Bu, orijinal ikinci dereceden denklemin, parametrenin herhangi bir gerçek değeri için iki kökü olacağı anlamına gelir. R.

Şimdi köklerin ne zaman farklı işaretlere sahip olduğunu görelim. Ürünlerinin negatif olması durumunda bu mümkündür. Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Araç, doğru karar bu değerler olacak R, bunun için serbest terim r - 1 negatiftir. Haydi karar verelim doğrusal eşitsizlik r - 1< 0 , получаем r < 1 .

Cevap: r'de< 1 .

Vieta formülleri

Yalnızca ikinci dereceden değil, aynı zamanda kübik ve diğer denklem türlerinin kökleri ve katsayılarıyla işlemleri gerçekleştirmek için geçerli olan bir dizi formül vardır. Bunlara Vieta formülleri denir.

Cebirsel bir derece denklemi için N a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + biçimindedir. . . + a n - 1 x + a n = 0 denklemin olduğu kabul edilir N gerçek kökler x 1 , x 2 , … , x n, bunların arasında aynı olabilir:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Tanım 1

Vieta'nın formülleri şunları elde etmemize yardımcı olur:

• bir polinomun doğrusal faktörlere ayrıştırılmasına ilişkin teorem;
• karşılık gelen tüm katsayıların eşitliği yoluyla eşit polinomların belirlenmesi.

Böylece polinom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + olur. . . + a n - 1 · x + an ve bunun a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · biçimindeki doğrusal faktörlere genişletilmesi. . . · (x - x n) eşittir.

Son çarpımda parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitlersek Vieta formüllerini elde ederiz. N = 2 alarak ikinci dereceden denklem için Vieta formülünü elde edebiliriz: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Tanım 2

Vieta'nın kübik denklem formülü:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Vieta formülünün sol tarafı, temel simetrik polinomlar olarak adlandırılanları içerir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Vieta teoremi (daha doğrusu, Vieta teoreminin tersi olan teorem), ikinci dereceden denklemleri çözme süresini kısaltmanıza olanak tanır. Sadece nasıl kullanılacağını bilmen gerekiyor. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Biraz düşünürseniz zor değil.

Şimdi sadece Vieta teoremini kullanarak indirgenmiş ikinci dereceden denklemin çözümünden bahsedeceğiz.İndirgenmiş ikinci dereceden denklem, a'nın, yani x² katsayısının bire eşit olduğu bir denklemdir. Vieta teoremi kullanılarak verilmeyen ancak köklerinden en az birinin tam sayı olmadığı ikinci dereceden denklemleri çözmek de mümkündür. Tahmin edilmeleri daha zordur.

Vieta teoreminin tersi teoremi şunu belirtir: eğer x1 ve x2 sayıları şu şekildeyse:

o zaman x1 ve x2 ikinci dereceden denklemin kökleridir

Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken yalnızca 4 seçenek mümkündür. Eğer akıl yürütme tarzını hatırlarsanız, köklerin tamamını bulmayı çok hızlı bir şekilde öğrenebilirsiniz.

I. Eğer q pozitif bir sayı ise,

bu, x1 ve x2 köklerinin aynı işaretli sayılar olduğu anlamına gelir (çünkü yalnızca aynı işaretli sayıların çarpılması pozitif bir sayı üretir).

I.a. -p pozitif bir sayı ise, (sırasıyla, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Mümkünse - negatif bir sayı, (sırasıyla, p>0), o zaman her iki kök de negatif sayılardır (aynı işaretli sayıları topladık ve negatif bir sayı elde ettik).

II. Eğer q negatif bir sayı ise,

bu, x1 ve x2 köklerinin farklı işaretlere sahip olduğu anlamına gelir (sayıları çarparken, yalnızca faktörlerin işaretleri farklı olduğunda negatif bir sayı elde edilir). Bu durumda, x1 + x2 artık bir toplam değil, bir farktır (sonuçta, farklı işaretlere sahip sayıları toplarken, mutlak değerde daha küçük olanı daha büyük olandan çıkarırız). Dolayısıyla x1+x2, x1 ve x2 köklerinin ne kadar farklı olduğunu yani bir kökün diğerinden ne kadar büyük olduğunu (mutlak değer olarak) gösterir.

II.a. -p pozitif bir sayı ise, (yani, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p negatif bir sayı ise, (p>0) ise büyük (modülo) kök negatif bir sayıdır.

Örnekler kullanarak ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmeyi düşünelim.

Verilen ikinci dereceden denklemi Vieta teoremini kullanarak çözün:

Burada q=12>0 olduğundan x1 ve x2 kökleri aynı işaretli sayılardır. Toplamları -p=7>0 olduğundan her iki kök de pozitif sayılardır. Çarpımı 12 olan tamsayıları seçiyoruz. Bunlar 1 ve 12, 2 ve 6, 3 ve 4'tür. 3 ve 4 çiftinin toplamı 7'dir. Bu, 3 ve 4'ün denklemin kökleri olduğu anlamına gelir.

Bu örnekte q=16>0, yani x1 ve x2 kökleri aynı işaretli sayılardır. Toplamları -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Burada q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ise büyük olan sayı pozitiftir. Yani kökler 5 ve -3'tür.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

İlk önce teoremin kendisini formüle edelim: x^2+b*x + c = 0 formunda indirgenmiş ikinci dereceden bir denklemimiz olsun. Diyelim ki bu denklem x1 ve x2 köklerini içeriyor. O halde teoreme göre aşağıdaki ifadeler geçerlidir:

1) x1 ve x2 köklerinin toplamı b katsayısının negatif değerine eşit olacaktır.

2) Bu köklerin çarpımı bize c katsayısını verecektir.

Peki verilen denklem nedir?

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem, en yüksek derecenin katsayısı bire eşit olan ikinci dereceden bir denklemdir; bu x^2 + b*x + c = 0 biçiminde bir denklemdir (ve a*x^2 + b*x + c = 0 denklemi indirgenmemiştir). Yani denklemi verilen forma getirmek için bu denklemi en büyük kuvvetin katsayısına (a) bölmemiz gerekir. Görev, bu denklemi aşağıdaki forma getirmektir:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Her denklemi en yüksek derecenin katsayısına bölerek şunu elde ederiz:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Örneklerden de görebileceğiniz gibi kesir içeren denklemler bile verilen forma indirgenebilir.

Vieta teoremini kullanma

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

kökleri alıyoruz: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

sonuç olarak kökleri elde ederiz: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

kökleri alıyoruz: x1 = −1; x2 = −4.

Vieta teoreminin anlamı

Vieta teoremi ikinci dereceden indirgenmiş herhangi bir denklemi neredeyse saniyeler içinde çözmemize olanak tanır. İlk bakışta bu oldukça zor bir iş gibi görünüyor, ancak 5 10 denklemden sonra kökleri görmeyi hemen öğrenebilirsiniz.

Verilen örneklerden ve teoremi kullanarak, ikinci dereceden denklemlerin çözümünü nasıl önemli ölçüde basitleştirebileceğiniz açıktır, çünkü bu teoremi kullanarak, ikinci dereceden bir denklemi karmaşık hesaplamalar yapmadan ve diskriminant hesaplamadan pratik olarak çözebilirsiniz ve bildiğiniz gibi, Hesaplamalar ne kadar az olursa hata yapmak o kadar zor olur ki bu da önemlidir.

Tüm örneklerde bu kuralı iki önemli varsayıma dayanarak kullandık:

Verilen denklem, yani. en yüksek derecenin katsayısı bire eşittir (bu durumdan kaçınmak kolaydır. Denklemin indirgenmemiş formunu kullanabilirsiniz, o zaman aşağıdaki ifadeler geçerli olacaktır x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ancak çözülmesi genellikle daha zordur :))

Bir denklemin iki farklı kökü varsa. Eşitsizliğin doğru olduğunu ve diskriminantın kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu varsayıyoruz.

Bu nedenle Vieta teoremini kullanarak genel bir çözüm algoritması oluşturabiliriz.

Vieta teoremini kullanan genel çözüm algoritması

Denklem bize indirgenmemiş biçimde verilirse, ikinci dereceden bir denklemi indirgenmiş forma indirgemiş oluruz. Daha önce verili olarak sunduğumuz ikinci dereceden denklemdeki katsayılar kesirli (ondalık değil) çıktığında, bu durumda denklemimizin diskriminant yoluyla çözülmesi gerekir.

İlk denkleme dönmenin "uygun" sayılarla çalışmamıza izin verdiği durumlar da vardır.