Ev / Uyuz/ “İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi. İkinci dereceden denklemlerin gelişiminin tarihi

“İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi. İkinci dereceden denklemlerin gelişiminin tarihi

Ana sayfa > Rapor

Kahramanlar adını taşıyan belediye eğitim kurumu ortaokulu Sovyetler Birliği
Sotnikova A.T. ve Shepeleva N. G. köyü Uritskoe

Konuyla ilgili rapor:

"Köken tarihi

ikinci dereceden denklemler»

Tarafından hazırlandı:İzotova Yulia,
Ampleeva Elena,
Şepelev Nikolay,

Dyachenko Yuri.

Ah matematik. Asırlardır ihtişamla kaplısın,

Tüm dünyevi armatürlerin armatürü.

Sen görkemli kraliçesin

Gauss'un onu vaftiz etmesine şaşmamalı.

Katı, mantıklı, görkemli,

Bir ok gibi uçarken ince,

Senin solmayan ihtişamın

Yüzyıllar geçtikçe ölümsüzlüğe kavuştu.

İnsan aklını övüyoruz,

Onun işleri sihirli eller,

Bu yüzyılın umudu

Tüm dünyevi bilimlerin kraliçesi.

Bugün size söylemek istiyoruz

Menşe tarihi

Her öğrencinin bilmesi gerekenler -

İkinci dereceden denklemlerin tarihi.

Öklid, MÖ 3. yüzyılda e. İkinci kitabın tamamını Elementler'de geometrik cebire ayırdı; gerekli malzemeİkinci dereceden denklemleri çözmek için.

Öklid (Eνκλειδηζ), antik Yunan matematikçisi, matematik üzerine bize ulaşan ilk teorik incelemenin yazarı

Öklid hakkında bilgi son derece azdır. Güvenilir sayılabilecek tek şey onun bilimsel aktivite MÖ 3. yüzyılda İskenderiye'de gerçekleşti. e. Öklid, İskenderiye okulunun ilk matematikçisidir. Ana eseri “Principia” (Latince formda - “Elementler”) planimetri, stereometri ve sayı teorisindeki bir dizi konunun bir sunumunu içerir; bu kitapta Yunan matematiğinin önceki gelişimini özetledi ve temelleri attı. Daha fazla gelişme matematik. Balıkçıl - MS 1. yüzyılda Yunanistan'da ilk kez Yunan matematikçi ve mühendis. temiz verir cebirsel yöntemİkinci dereceden bir denklemin çözümü.

İskenderiye Balıkçılı; Balıkçıl, 1. yüzyıl N. örneğin, Yunan tamirci ve matematikçi. Hayatının zamanı belirsizdir, yalnızca Arşimet'ten (MÖ 212'de ölen) alıntı yaptığı ve Pappus'tan (MS 300 civarı) alıntı yaptığı bilinmektedir. Şu anda hakim olan görüş onun 1. yüzyılda yaşadığı yönündedir. N. e. Geometri, mekanik, hidrostatik, optik okudu; bir prototip icat etti buhar motoru ve hassas tesviye araçları. En popülerleri otomatik tiyatro, çeşmeler vb. otomatik makinelerdi. G., statik ve kinetik kanunlarına dayanarak teodoliti tanımladı ve kaldıraç, blok, vida ve askeri araçların tanımını yaptı. Optikte ışığın yansıması yasalarını, matematikte ise en önemli ölçüm yöntemlerini formüle etti. geometrik şekiller. G.'nin ana eserleri Ietrics, Pneumatics, Automatopoetics, Mechanics (Fransızca; eser tamamen Arapça olarak korunmuştur), Catoptics (ayna bilimi; yalnızca Latince çeviride korunmuştur) ve diğerleridir. öncülleri: Öklid, Arşimet, Lampsacus'lu Strato. Üslubu basit ve nettir, ancak bazen çok özlü veya yapısal değildir. G.'nin eserlerine ilgi 3. yüzyılda ortaya çıktı. N. e. Yunanlı, ardından Bizanslı ve Arap öğrenciler onun eserlerini yorumladılar ve tercüme ettiler.

Diofantus- MS 3. yüzyılda bir Yunan bilim adamı, geometriye başvurmadan bazı ikinci dereceden denklemleri tamamen cebirsel olarak çözdü ve denklemin kendisini ve çözümünü sembolik biçimde yazdı.

“Size Yunan matematikçi Diophantus'un ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdüğünü anlatacağım. Örneğin, görevlerinden biri şu:“Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilen iki sayı bulun.”

1. Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı sonucu çıkıyor çünkü eğer eşit olsaydı çarpımları 96 değil 100 olurdu.

2. Yani bunlardan biri miktarının yarısından fazlası olacaktır, yani. 10 + x, diğeri daha küçüktür, yani. 10 – x.

3. Aralarındaki fark 2x'tir.

4. Dolayısıyla (10 + x) * (10 – x) = 96 denklemi

100 – x 2 = 96 x 2 – 4 = 0

5. Cevap x = 2. Aradığımız sayılardan biri 12'dir.
diğer - 8. Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir çünkü Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları biliyordu.” Diophantus nasıl karar vereceğini çok iyi biliyordu karmaşık denklemler, bilinmeyenler için harf gösterimleri kullanıldı, hesaplamalar için özel bir sembol eklendi ve sözcük kısaltmaları kullanıldı. Bhaskare – Akaria- MS 12. yüzyılda Hintli matematikçi. İkinci dereceden denklemleri çözmek için genel bir yöntem keşfetti.

Hintli matematikçilerin problemlerinden birine, örneğin Bhaskara problemine bakalım:

“Bir maymun sürüsü eğleniyor: Bir meydandaki toplam sayının sekizde biri ormanda eğleniyor, geri kalan on iki tanesi tepenin zirvesinde çığlık atıyor. Söylesene, orada kaç tane maymun var?”

Problemi yorumlayarak problemin (x/8) 2 + 12 = x denklemine karşılık geldiğini söylemek isterim. Bhaskara x 2 – 64x = - 768 şeklinde yazıyor. Her iki tarafa da 32'nin karesi eklendiğinde denklem şöyle oluyor:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

Ekstraksiyondan sonra kare kökşunu elde ederiz: x – 32 =16.

"Bu durumda" diyor Bhaskara, "ilk bölümün negatif birimleri, ikinci bölümün birimleri onlardan daha küçük olacak şekildedir ve bu nedenle ikincisi hem pozitif hem de negatif olarak kabul edilebilir ve biz de iki kat değerini elde ederiz" bilinmeyen: 48 ve 16.”

Şu sonuca varmak gerekiyor: Bhaskara'nın çözümü ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Eski Hint Bhaskara sorununun çözülmesi önerildi:

“Maymunların beşte birlik karesi, üçe indirildi, mağaraya saklandı, bir maymun ağaca tırmandı ve görüldü. Kaç tane maymun vardı? Bu problemin ikinci dereceden bir denkleme indirgenerek temel bir şekilde çözülebileceğine dikkat edilmelidir.

Al - Harezmi - 825 yılında “Restorasyon ve Muhalefet Kitabı” kitabını yazan Arap bilgini. Bu dünyanın ilk cebir ders kitabıydı. Ayrıca altı tür ikinci dereceden denklem verdi ve altı denklemin her biri için, onu çözmek için özel bir kural formüle etti. Harezmî risalesinde 6 çeşit denklem vardır ve bunları şu şekilde ifade ederler:

1. “Kareler köklere eşittir” yani. ah 2 = inç.

2. “Kareler sayılara eşittir” yani. balta 2 = c.

3. “Kökler sayıya eşittir” yani. ah = s.

4. “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani. balta 2 + c = inç.

5. “Kareler ve kökler sayılara eşittir” yani. ax 2 + inx = s.

6. “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani. + c = eksen 2'de.

İkinci dereceden bir denklemin çözümüne varan el-Khorezmi problemini analiz edelim. "Kare ve sayı köklere eşittir." Örneğin bir kare ve 21 sayısı aynı karenin 10 köküne eşittir. soru şu; kendisine 21 eklendiğinde aynı karenin 10 köküne eşit olan bir kareden ne oluşur?

VE Öğrenciler 4. el-Khorezmi formülünü kullanarak şunu yazmalıdır: x 2 + 21 = 10x

François Viet - Fransız matematikçi, belirli bir ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ve çarpımı üzerine bir teorem formüle etti ve kanıtladı.

Açıkladığım sanat yenidir ya da en azından zamanla o kadar bozulmuş ve barbarların etkisiyle o kadar bozulmuştur ki, ona tamamen yeni bir görünüm vermenin gerekli olduğunu düşündüm.

François Viet

Iet Francois (1540-12/13/1603), ünlü La Rochelle kalesinden çok da uzak olmayan Poitou eyaletinin Fontenay-le-Comte şehrinde doğdu. Hukuk diploması aldıktan sonra on dokuz yaşından itibaren memleketinde başarıyla avukatlık yaptı. Bir avukat olarak Viet, halk arasında otoriteye ve saygıya sahipti. O, geniş eğitimli bir adamdı. Astronomi, matematik ve her şeyi biliyordum boş zaman bu bilimlere verdi.

Vieta'nın ana tutkusu matematikti. Cardano, Bombelli, Stevin ve diğerlerinin en yakın öncülleri olan Arşimed ve Diophantus klasiklerinin eserlerini derinlemesine inceledi. Viet sadece onlara hayran olmakla kalmadı, aynı zamanda sözlü sembolizm nedeniyle anlaşılması güç olan büyük bir kusur da gördü: Neredeyse tüm eylemler ve işaretler kelimelerle yazılmıştı, şimdi kullandığımız o kullanışlı, neredeyse otomatik kurallara dair hiçbir ipucu yoktu. kullanmak. Kaydetmek imkansızdı ve bu nedenle Genel görünüm cebirsel karşılaştırmalar veya diğer bazı cebirsel ifadeler. Sayısal katsayılı her denklem türü özel bir kurala göre çözüldü. Bu nedenle, tüm sayılar üzerinde bu sayılara bağlı olmayan bu tür genel eylemlerin olduğunu kanıtlamak gerekiyordu. Viet ve takipçileri, söz konusu sayının nesnelerin sayısı mı yoksa parçanın uzunluğu mu olduğunun önemli olmadığını tespit etti. Önemli olan bu sayılarla cebirsel işlemler yapabilmeniz ve sonuç olarak yine aynı türden sayılar elde edebilmenizdir. Bu, bazı soyut işaretlerle gösterilebilecekleri anlamına gelir. Viet tam da bunu yaptı. Sadece gerçek hesabını tanıtmakla kalmadı, aynı zamanda temelde yeni bir keşif yaptı ve kendisine sayıları değil, sayıların üzerinde yapılan işlemleri inceleme hedefini koydu. Bu notasyon yöntemi, Vieth'in cebirsel denklemlerin genel özelliklerini incelerken önemli keşifler yapmasına olanak sağladı. Bunun için Vieta'ya cebirin "babası", harf sembollerinin kurucusu denmesi tesadüf değildir.

Bilgi kaynakları:

http :// biraz. beş. ru/ Kaynaklar/ Karpuhina/2003/12/ İltifat edildi%20 iş/ Konser/ dizin1. htm

http :// sayfalar. marsu. ru/ iac/ okul/ S4/ sayfa74. HTML

1.1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir çalışılıyor Genel Özellikler miktarlara ilişkin eylemler.

Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce biliniyordu. Antik Babil.

Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler

Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, arsa alanlarının bulunması ve askeri nitelikteki kazı çalışmaları ile ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından da kaynaklanmıştır. astronomi ve matematiğin gelişmesinde olduğu gibi. Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 civarında çözebildiler. Modern cebirsel gösterimi kullanarak, çivi yazılı metinlerinde eksik olanlara ek olarak, örneğin tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz:

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan çivi yazılı metinlerin neredeyse tamamı, nasıl bulunduklarına dair hiçbir belirti olmaksızın, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Aksine yüksek seviye Babil'de cebirin gelişmesiyle birlikte çivi yazılı metinler negatif sayı kavramından yoksundur ve genel yöntemlerİkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.

Örneğin, görevlerinden biri burada.

Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”

Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani 0,10 + x. Diğeri daha azdır, yani 10 - x. Aralarındaki fark 2x. Dolayısıyla denklem:

(10+x)(10-x) =96,

Dolayısıyla x = 2. Gerekli sayılardan biri 12, diğeri 8'dir. Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir.

Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:

Diophantus'un gerekli sayıların yarı farkını bilinmeyen olarak seçerek çözümü basitleştirdiği açıktır; sorunu tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başarır.

Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), şunları özetledi: Genel kural Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümleri:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek ihtişamını gölgede bırakacaktır." Görevler genellikle giyinikti şiirsel biçim.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Problem 3'e karşılık gelen denklem:

Bhaskara kisvesi altında yazıyor:

x 2 - 64x = - 768

ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 32 2 eklenir ve şunu elde edilir:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax 2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax 2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax 2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax 2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax 2.

Tüketimden kaçınan Harezmi için negatif sayılar, bu denklemlerin her birinin terimleri toplanabilir, çıkarılabilir değil. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Bir örnek verelim.

Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun” (denklemin kökü x 2 + 21 = 10x anlamına gelir).

Çözüm: Kök sayısını ikiye bölün, 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle çarpın, sonuçtan 21 çıkarın, kalan 4 olur. 4'ten kökü alın, 2 elde edersiniz. 5'ten 2 çıkarın, 3 elde edersiniz, bu aradığınız kök olacak. Veya 2'yi 5'e ekleyin, bu da 7'yi verir, bu da bir köktür.

El-Khorezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

12.-17. yüzyıllarda Avrupa'da ikinci dereceden denklemler.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x 2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544 yılında M. Stiefel tarafından formüle edildi.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern görünüm..

Pratik problemlerin çözümü için cebirsel yöntemlerin kökenleri bilimle bağlantılıdır. Antik Dünya. Matematik tarihinden bilindiği üzere Mısırlı, Sümerli ve Babilli yazıcı ve hesap makinelerinin (M.Ö. XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematik problemlerinin önemli bir kısmı hesaplama niteliğindeydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin, Babilli hesap makineleri bakış açısından indirgenebilecek problemleri çözebildiler. modern sınıflandırma ikinci dereceden denklemler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.

Bu çalışma başka bir çağda, ilk olarak denklemlerin indirgenmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi. standart görünüm benzer terimlerin getirilmesi, terimlerin denklemin bir kısmından diğerine işaret değişikliği ile aktarılması. Daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.

Dolayısıyla denklem kavramıyla ilgili materyalin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, modern matematik yöntemlerinde incelenmesi, kökeni ve işleyişinin üç ana alanıyla ilişkilidir.

İkinci dereceden denklemlerin tarihinden Yazar: 9. “A” sınıfı öğrencisi Svetlana Radchenko Danışman: Alabugina I.A. matematik öğretmeni MBOU “Guryevsk Ortaokulu No. 5” Kemerovo bölgesi Sunum konu alanı: matematik Öğretmene yardımcı olmak için yapılmıştır Toplam 20 slayt İçindekiler Giriş……………………………………………… …………… ……………3 İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler………………………………….4 Hindistan'da ikinci dereceden denklemler……………… …………………… ……...5 Harizmi'de ikinci dereceden denklemler……………………………………6 Diophantus ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdü……………………… ..... 7 Avrupa Xll – XVll yüzyıllarda ikinci dereceden denklemler………………………………8 3. Günümüzde ikinci dereceden denklemler……………………………………………… ……………… .10 İkinci dereceden denklemleri inceleme metodolojisi………………………………………11 İkinci dereceden denklemleri çözmenin 10 yolu…………………………….12 Çözme algoritması tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler………… ………………13 Tam ikinci dereceden bir denklemi çözme algoritması…………………………..14 Verilen ikinci dereceden denklemleri çözme…………………………… ……15 4. İkinci dereceden denklemlerin uygulamalı problemlerin çözümünde pratik uygulamaları………………………………………………………………………………….16 5. Sonuç . ………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Kullanılan referansların listesi………………… ………………… …………….19 2 Giriş Yeni bir şey öğrenmediğiniz, eğitiminize hiçbir şey katmayan o günü veya o saati mutsuz sayın. Jan Amos Comenius 3 İkinci dereceden denklemler cebirin görkemli yapısının dayandığı temeldir. Trigonometrik, üstel, logaritmik, irrasyonel ve aşkın denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünde yaygın olarak kullanılırlar. İkinci dereceden denklemler okul cebir dersinde önemli bir yer tutar. Okul matematik dersinde çok zaman onların çalışmalarına ayrılmıştır. Temel olarak ikinci dereceden denklemler belirli pratik amaçlara hizmet eder. Gerçek dünyadaki mekansal formlar ve niceliksel ilişkilerle ilgili çoğu problemin çözümü, çeşitli türler İkinci dereceden denklemler de dahil olmak üzere denklemler. İnsanlar bunları çözmenin yollarını öğrenerek bilim ve teknolojiden gelen çeşitli sorulara yanıtlar bulurlar. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden itibaren Eski Babil: MÖ 2000 civarında, Babilliler ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyorlardı. Hem tam hem de eksik ikinci dereceden denklemlerin çözümü için yöntemler biliniyordu. Örneğin Antik Babil'de aşağıdaki ikinci dereceden denklemler çözülüyordu: 4 Hindistan İkinci dereceden denklemler kullanılarak çözülen problemler, Hintli gökbilimci ve matematikçi Aryabhatta'nın MS 499'da yazdığı "Aryabhattiam" astronomi incelemesinde bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta, ikinci dereceden bir denklemin kanonik formuna indirgenmiş çözümü için evrensel bir kuralın ana hatlarını çizdi: ax2+bx=c; Ayrıca “a” dışındaki tüm katsayıların negatif olabileceği varsayılmıştır. Bilim adamının formüle ettiği kural esasen modern kuralla örtüşüyor. 5 El-Harezmi'deki ikinci dereceden denklemler: El-Harezmi'nin cebirsel eserinde doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırması verilmiştir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor: "Kareler köklere eşittir", yani. ax2 = bx.; “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c; “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c; “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani. ax2 + c = bx; “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c; "Kökler ve sayılar karelere eşittir", yani bx + c = ax2. 6 Diophantus ikinci dereceden denklemleri nasıl oluşturup çözdü: En eşsiz antik Yunan matematikçilerinden biri İskenderiyeli Diophantus'tu. Diophantus'un ne doğum yılı ne de ölüm tarihi açıklığa kavuşturulmamıştır; 3. yüzyılda yaşadığı sanılmaktadır. reklam Diophantus'un eserlerinden en önemlisi Aritmetik'tir ve bu kitaplardan sadece 6'sı günümüze kadar gelebilmiştir. Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen bir dizi problem içerir. Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer. 12. ve 17. yüzyıllarda Avrupa'da ikinci dereceden denklemler: İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci, bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıları ilk kez tanıtan kişi oldu. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544'te Michael Stiefel tarafından formüle edildi. 8 Francois Viet Fransız matematikçi F. Viet (1540-1603), bir cebirsel semboller sistemi tanıttı ve temel cebirin temellerini geliştirdi. Denklem teorisini önemli ölçüde geliştiren sayıları harflerle gösteren ilk kişilerden biriydi. İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Viète'den elde edilebilir, ancak Viète yalnızca pozitif kökleri tanıdı. 9 Günümüzde ikinci dereceden denklemler İkinci dereceden denklemleri çözme yeteneği, diğer denklemleri ve sistemlerini çözmenin temelini oluşturur. Denklemleri çözmeyi öğrenmek, en basit türleriyle başlar ve program, hem türlerinin hem de aynı ve eşdeğer dönüşümlerin "fonunun" kademeli birikimini belirler ve bunun yardımıyla keyfi bir denklemi en basitine indirgeyebilirsiniz. Bir okul cebir dersinde denklemlerin çözümü için genelleştirilmiş tekniklerin geliştirilmesi süreci de bu yönde inşa edilmelidir. Bir lise matematik dersinde, öğrenciler yeni denklem sınıfları, sistemler veya halihazırda bilinen denklemlerin derinlemesine incelenmesiyle karşı karşıya kalırlar.10 İkinci dereceden denklemleri çalışma yöntemleri Sistematik bir cebir dersinin başlamasıyla birlikte asıl dikkat edilmesi gereken nokta, özel bir çalışma konusu haline gelen ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerine ödenir. Bu konu şu şekilde karakterize edilir: büyük derinlik sunumu ve öğretimde yardımıyla kurulan bağlantıların zenginliği, sunumun mantıksal geçerliliği. Bu nedenle denklemler ve eşitsizlikler çizgisinde istisnai bir konuma sahiptir. İkinci dereceden denklemlerin incelenmesinde önemli bir nokta, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir ilişkinin varlığını belirten Vieta teoreminin dikkate alınmasıdır. Vieta teoremine hakim olmanın zorluğu çeşitli nedenlerden kaynaklanmaktadır. Öncelikle direkt ve ters teoremler arasındaki farkı dikkate almak gerekir. 11 İkinci dereceden denklemleri çözmenin 10 yolu: Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırmak. Tam bir kare seçme yöntemi. Formülü kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. Vieta teoremini kullanarak denklemleri çözme. Denklemlerin “atma” yöntemini kullanarak çözülmesi İkinci dereceden bir denklemin katsayılarının özellikleri. İkinci dereceden bir denklemin grafiksel çözümü. Pergel ve cetvel kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. 12 Nomogram kullanarak ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemlerin çözümü için geometrik yöntem. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma 1) eğer denklem ax2 = 0 biçimindeyse, o zaman bir kökü x = 0 olur; 2) denklem ax2 + bx = 0 biçimindeyse, çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır: x (ax + b) = 0; bu ya x = 0 ya da ax + b = 0 anlamına gelir. Sonuç olarak iki kök elde ederiz: x1 = 0; x2 = 3) Denklem ax2 + c = 0 şeklindeyse ax2 = - c ve sonra x2 formuna dönüştürülür.= durumunda -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yani - = m, burada m>0, x2 = m denkleminin iki kökü vardır.Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir, tek kökü olabilir veya kökü olmayabilir. 13 İkinci dereceden tam bir denklemin çözümü için algoritma. Bunlar a, b, c'ye verilen sayılar ve ≠ 0, x'in bilinmeyen olduğu ax2 + bx + c = 0 formundaki denklemlerdir. İkinci dereceden denklemin kök sayısını belirlemek ve bu kökleri bulmak için herhangi bir tam ikinci dereceden denklem forma dönüştürülebilir. Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü için aşağıdaki durumlar dikkate alınır: D< 0, D = 0, D >0. 1. Eğer D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0 ise, ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin iki kökü vardır ve bunlar aşağıdaki formüllerle bulunur: ; 14 İndirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü F. Vieta teoremi: İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Başka bir deyişle, eğer x1 ve x2, x2 +px + q = 0 denkleminin kökleri ise, o zaman x1 + x2 = - p, x1 x2 = q olur. (*) Vieta teoreminin tersi teoremi: Eğer formüller (*) x1, x2, p, q sayıları için geçerliyse, x1 ve x2, x2 +px + q = 0 denkleminin kökleridir. 15 Pratik uygulamalar Uygulamalı problemleri çözmek için ikinci dereceden denklemlerin geliştirilmesi Bhaskar (1114-1185) - 12. yüzyılın en büyük Hintli matematikçisi ve astronomu. Ujjain'deki astronomi gözlemevine başkanlık etti. Bhaskara, dört bölümden oluşan "Siddhanta-shiromani" ("Öğretmenin Tacı") adlı incelemeyi yazdı: "Lilavati" aritmetiğe, "Bizhdaganita" cebire, "Goladhaya" küresellere ve "Granhaganita" matematik teorisine ayrılmıştır. gezegensel hareketler. Bhaskara, önemlerinden şüphe etse de denklemlerin negatif köklerini elde etti. Sürekli hareket makinesinin en eski tasarımlarından birine sahiptir. 16 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biri. Bhaskara: Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor. 17 Sonuç İkinci dereceden denklemleri çözme biliminin gelişimi uzun ve zorlu bir yol kat etti. İkinci dereceden denklemleri çözme bilimi ancak Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes ve Newton'un çalışmalarından sonra modern biçimini aldı. İkinci dereceden denklemlerin önemi sadece problem çözmenin zarafeti ve kısalığı değildir, aynı zamanda çok önemlidir. İkinci dereceden denklemlerin problem çözümünde kullanılması sonucunda, ortaya çıkan formüllerin ve ilişkilerin analizi ile ortaya çıkan yeni detayların sıklıkla keşfedilmesi, ilginç genellemeler yapılabilmesi ve açıklamalar yapılabilmesi de aynı derecede önemlidir. İkinci dereceden denklemlerin gelişim tarihi ile ilgili literatürü ve İnternet kaynaklarını inceleyerek kendime şu soruyu sordum: "Bu kadar zor bir dönemde yaşayan bilim adamlarını, ölüm tehdidi altında bile bilimle uğraşmaya ne motive etti?" Muhtemelen bilimin gelişmesinin anahtarı her şeyden önce insan zihninin merakıdır. Dünyanın özüne, insanın bu dünyadaki yerine ilişkin sorular, düşünen, meraklı, zeki insanları her zaman rahatsız eder. İnsanlar her zaman kendilerini ve dünyadaki yerlerini anlamaya çabalamışlardır. İçinize bakın, belki de doğal merakınız, kendinizi günlük hayata ve tembelliğe kaptırdığınız için acı çekiyordur? Pek çok bilim insanının kaderi takip edilecek 18 örnektir. İsimlerin hepsi iyi tanınmıyor ve popüler değil. Bir düşünün: Yakınımdaki insanlara karşı nasıl biriyim? Ama en önemlisi kendim hakkında ne hissettiğim, saygı görmeye değer miyim? Bir düşünün... Referanslar 1. Zvavich L.I. “Cebir 8. sınıf”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ ansiklopedik sözlük genç matematikçi”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Cebir 8. sınıf”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Teşekkürler dikkatiniz için 20

İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu.

Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" genişlik = "93" yükseklik = "41 src = ">

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan çivi yazılı metinlerin neredeyse tamamı, nasıl bulunduklarına dair hiçbir belirti olmaksızın, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.

Örneğin, görevlerinden biri burada.

Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”

(10+x)(10-x) =96,

Dolayısıyla x = 2. Gerekli sayılardan biri 12, diğeri 8'dir. Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir.

Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:

Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:

ax2 + bx = c, a>

Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Problem 3'e karşılık gelen denklem:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" genişlik = "12" yükseklik = "26 src = ">x2 - 64x = - 768

ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 322 eklenir ve şunu elde edilir:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax2.

Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Bir örnek verelim.

Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun” (x2 + 21 = 10x denkleminin kökü anlamına gelir).

El-Khorezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

Avrupa'da ikinci dereceden denklemlerXII- XVIIV.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544 yılında M. Stiefel tarafından formüle edildi.

Pratik problemlerin çözümüne yönelik cebirsel yöntemlerin kökenleri, antik dünyanın bilimiyle ilişkilidir. Matematik tarihinden bilindiği üzere Mısırlı, Sümerli ve Babilli yazıcı ve hesap makinelerinin (M.Ö. XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematik problemlerinin önemli bir kısmı hesaplama niteliğindeydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin Babil hesap makineleri, modern sınıflandırma açısından ikinci derece denklemlere indirgenebilecek problemleri çözebildiler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.

Bu çalışma başka bir dönemde, ilk olarak denklemlerin standart bir forma getirilmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi: benzer terimleri getirmek, terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarmak. işaret değişikliği. Daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.

Herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için bilmeniz gerekenler:

diskriminant bulma formülü;

· ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü;

· bu tür denklemleri çözmek için algoritmalar.

· tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek;

· İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözebilir;

· Verilen ikinci dereceden denklemleri çözebilir;

· çözülmüş denklemlerdeki hataları bulun ve düzeltin;

· kontrol edin.

Her denklemin çözümü iki ana bölümden oluşur:

· bu denklemin en basitine dönüştürülmesi;

· bilinen kuralları, formülleri veya algoritmaları kullanarak denklemleri çözmek.

İkinci dereceden denklemleri çözerken öğrencilerin aktivite yöntemlerinin genelleştirilmesi yavaş yavaş gerçekleşir. “İkinci Dereceden Denklemler” konusunu incelerken aşağıdaki aşamaları ayırt edebiliriz:

Aşama I – “Eksik ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi.”

Aşama II – “İkinci dereceden tam denklemlerin çözülmesi.”

Aşama III – “İndirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi.”

İlk aşamada tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler dikkate alınır. İlk başta matematikçiler tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmeyi öğrendikleri için, dedikleri gibi bunun için hiçbir şey icat etmeleri gerekmedi. Bunlar şu formdaki denklemlerdir: ax2 = 0, ax2 + c = 0, burada c≠ 0, ax2 + bx = 0, burada b ≠ 0. Bu denklemlerden birkaçını çözmeyi düşünün:

1. Eğer ax2 = 0 ise. Bu tür denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) x2'yi bulun;

2) x'i bulun.

Örneğin 5x2 = 0. Denklemin her iki tarafının da 5'e bölünmesi şunu verir: x2 = 0, dolayısıyla x = 0.

2. Eğer ax2 + c = 0 ise, c≠ 0 Bu türdeki denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) terimleri sağ tarafa taşıyın;

2) kareleri c sayısına eşit olan tüm sayıları bulun.

Örneğin x2 - 5 = 0, Bu denklem x2 = 5 denkleminin eşdeğeridir. Bu nedenle kareleri 5 sayısına eşit olan tüm sayıları bulmamız gerekiyor..gif" width=16" height=19 ">..gif" width = "16" height = "19 src = "> ve başka kökü yoktur.

3. Eğer ax2 + bx = 0 ise, b ≠ 0. Bu tür denklemler aşağıdaki algoritma kullanılarak çözülür:

1) ortak faktörü parantezlerin dışına taşıyın;

2) x1, x2'yi bulun.

Örneğin, x2 - 3x = 0. x2 - 3x = 0 denklemini x (x - 3) = 0 biçiminde yeniden yazalım. Bu denklemin kökleri açıkça x1 = 0, x2 = 3'tür. Başka kökleri yoktur çünkü Eğer sıfır ve x yerine 3 dışında herhangi bir sayı koyarsanız denklemin sol tarafında x (x – 3) = 0 olur ve sıfıra eşit olmayan bir sayı elde edersiniz.

Dolayısıyla, bu örnekler eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü göstermektedir:

1) denklem ax2 = 0 biçimindeyse, bir kökü x = 0'dır;

2) denklem ax2 + bx = 0 biçimindeyse, çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır: x (ax + b) = 0; bu ya x = 0 ya da ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> anlamına gelir. Şu durumda -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yani - = m, burada m>0, x2 = m denkleminin iki kökü vardır

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" genişlik = "29" yükseklik = "24 src = ">.gif" genişlik = "29" yükseklik = "24 src = ">, (bu durumda daha kısa = gösterimine izin verilir.

Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir, bir kökü olabilir veya kökü olmayabilir.

İkinci aşamada, ikinci dereceden denklemin tamamının çözümüne geçiş gerçekleştirilir. Bunlar a, b, c'ye verilen sayılar ve ≠ 0, x'in bilinmeyen olduğu ax2 + bx + c = 0 formundaki denklemlerdir.

Herhangi bir tam ikinci dereceden denklem forma dönüştürülebilir İkinci dereceden bir denklemin kök sayısını belirlemek ve bu kökleri bulmak için. Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü için aşağıdaki durumlar dikkate alınır: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Eğer D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Örneğin 2x2 + 4x + 7 = 0. Çözüm: burada a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

D'den beri< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. D = 0 ise ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin bir kökü vardır ve bu formül tarafından bulunur.

Örneğin 4x – 20x + 25 = 0. Çözüm: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

D = 0 olduğundan bu denklemin tek kökü vardır. Bu kök ..gif" width = "100" yükseklik = "45">.gif" genişlik = "445" yükseklik = "45 src = "> formülü kullanılarak bulunur.

ax2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemi çözmek için bir algoritma derlendi.

1. Diskriminant D'yi D = b2 – 4ac formülünü kullanarak hesaplayın.

2. Eğer D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. D = 0 ise, ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır ve bu formülle bulunur

4..gif" genişlik = "101" yükseklik = "45">.

Bu algoritma evrenseldir; hem eksik hem de tam ikinci dereceden denklemlere uygulanabilir. Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler genellikle bu algoritma kullanılarak çözülmez.

Matematikçiler pratik ve ekonomik insanlardır, bu nedenle şu formülü kullanırlar: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=>>, D..gif" width=89" height=49"> ile aynı işarete sahipse denklem (3)'ün iki kökü vardır;

2) eğer bu denklemin çakışan iki kökü varsa;

3) Bu denklemin kökleri yoksa.

İkinci dereceden denklemlerin incelenmesinde önemli bir nokta, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir ilişkinin varlığını belirten Vieta teoreminin dikkate alınmasıdır.

Vieta'nın teoremi. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Başka bir deyişle, eğer x1 ve x2, x2 + px + q = 0 denkleminin kökleri ise, o zaman

Bu formüllere, cebirsel semboller sistemini tanıtan ve temel cebirin temellerini geliştiren Fransız matematikçi F. Vieta () onuruna Vieta formülleri adı verilir. Denklem teorisini önemli ölçüde geliştiren sayıları harflerle gösteren ilk kişilerden biriydi.

Örneğin verilen x2 - 7x +10 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının alınan ikinci katsayıya eşit olduğu görülmektedir. zıt işaretlidir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir.

Vieta teoreminin tersi de doğrudur.

Teorem Vieta teoreminin tersidir. Formül (5) x1, x2, p, q sayıları için geçerliyse, x1 ve x2, x2 + px + q = 0 denkleminin kökleridir.

Vieta teoremi ve onun tersi genellikle çeşitli problemleri çözmek için kullanılır.

Örneğin. Kökleri 1 ve -3 sayıları olan aşağıdaki ikinci dereceden denklemi yazalım.

Vieta'nın formüllerine göre

– p = x1 + x2 = - 2,

Dolayısıyla gerekli denklem x2 + 2x – 3 = 0 formundadır.

Vieta teoremine hakim olmanın zorluğu çeşitli nedenlerden kaynaklanmaktadır. Öncelikle direkt ve ters teoremler arasındaki farkı dikkate almak gerekir. Vieta'nın direkt teoremi ikinci dereceden bir denklemi ve köklerini verir; tersinde yalnızca iki sayı vardır ve ikinci dereceden denklem teoremin sonunda ortaya çıkar. Öğrenciler sıklıkla Vieta'nın direkt veya ters teoremine yanlış atıfta bulunarak kendi akıl yürütmelerini gerekçelendirme hatasına düşerler.

Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerini seçim yoluyla bulurken, öğrencilerin sıklıkla yaptığı gibi doğrudan teoreme değil ters Vieta teoremine başvurmanız gerekir. Vieta teoremlerini sıfır diskriminant durumuna genişletmek için, bu durumda ikinci dereceden denklemin iki tane olduğunu kabul etmemiz gerekir. eşit kökler. Genişlettiğimizde böyle bir anlaşmanın uygunluğu ortaya çıkıyor ikinci dereceden üç terimliçarpanlara göre.

Kovalchuk Kirill

"Yüzyıllar ve ülkeler boyunca ikinci dereceden denklemler" projesi, öğrencileri keşiflerinin temelini oluşturan matematik bilimcileriyle tanıştırıyor bilimsel ve teknolojik ilerleme, tarihsel materyale aşinalığa dayalı bir konu olarak matematiğe ilgiyi geliştirir, öğrencilerin ufkunu genişletir, bilişsel aktivitelerini ve yaratıcılıklarını teşvik eder.

İndirmek:

Ön izleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Borisovka köyündeki 17 Nolu Belediye Eğitim Kurumu Ortaokulu 8. sınıf öğrencisinin proje çalışması Kirill Kovalchuk Danışman G.V. Mulyukova

Yüzyıllar ve ülkeler boyunca ikinci dereceden denklemler

Proje hedefi: Öğrencileri, buluşları bilimsel ve teknolojik ilerlemenin temeli olan matematik bilim adamlarıyla tanıştırmak. Bilim adamlarının çalışmalarının geometri ve fiziğin gelişimi açısından önemini gösterin.????????? Uygulamayı açıkça gösterin bilimsel keşifler hayatta. Tarihsel materyale aşinalığa dayalı bir konu olarak matematiğe ilgi geliştirmek. Öğrencilerin ufkunu genişletin, bilişsel aktivitelerini ve yaratıcılıklarını teşvik edin

Antik çağda sadece birinci dereceden değil, ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte arsa alanlarının bulunmasıyla ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanıyordu. İkinci dereceden denklemler MÖ 2000 civarında çözülebildi. e. Babilliler. Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralları esasen modern olanlarla aynıdır, ancak bu metinler negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

. (M.Ö. 365 - 300) - eski Yunan matematikçi, matematik üzerine bize gelen ilk teorik incelemelerin yazarı. Öklid veya Öklid

Öklid Başlangıçları Nil'in denizle birleştiği yerde, Piramitlerin kadim sıcak topraklarında Yunan matematikçi - Bilgili, Bilge Öklid yaşıyordu. Geometri okudu, geometri öğretti. Harika bir eser yazdı. Bu kitabın adı "Başlangıçlar".

Öklid MÖ 3. yüzyıl Öklid ikinci dereceden denklemleri geometrik bir yöntem kullanarak çözdü. İşte antik Yunan risalesindeki problemlerden biri: “Kare şeklinde bir kenarı bilinmeyen bir kenarı olan bir şehir var, her iki tarafın ortasında bir kapı var. Kuzey kapısından 20bu (1bu=1.6m) uzaklıkta bir sütun bulunmaktadır. Eğer gidersen Güney kapısı 14b dümdüz ilerleyin, sonra batıya dönün ve 1775b yoluna devam edin, bir sütun görebilirsiniz. Soru şu: Şehir sınırının hangi tarafında? »

Karenin bilinmeyen tarafını belirlemek için ikinci dereceden x ² +(k+l)x-2kd =0 denklemini elde ederiz. Bu durumda denklem x ² +34x-71000=0 gibi görünür, buradan x=250bu l x d k

Hindistan'daki ikinci dereceden denklemler İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde de bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta, tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin genel kuralın ana hatlarını çizdi: ax ² +bx=c, a>0 V Antik Hindistan Zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır."

12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisi Bhaskara'nın problemlerinden biri Doyasıya yemek yiyen hareketli maymun sürüsü eğleniyordu. Sekizinci bölümde meydanda açıklıkta eğleniyordum. Ve on iki asmada... Asılırken zıplamaya başladılar... Söyle bana, bu sürüde kaç tane maymun vardı?

Çözüm. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, sonra D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Cevap: 16 veya 48 maymun vardı, çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü birkaç kez "yeniden keşfedildi". Bu formülün günümüze ulaşan ilk türetmelerinden biri Hintli matematikçi Brahmagupta'ya aittir. Orta Asyalı bilim adamı el-Harizmi, “Kitab al-jerb wal-mukabala” adlı eserinde bu formülü tam bir kareyi izole etme yöntemiyle elde etti.

El-Khorezmi bu denklemi nasıl çözdü? Şöyle yazdı: “Kural şu: Kök sayısını iki katına çıkarın, x = 2x · 5 bu problemde beş elde edersiniz, 5'i bununla çarpın, sonuç yirmi beş olur, 5 · 5 = 25 bunu otuza ekleyin -dokuz, 25 + 39 altmış dört olur, 64 bundan kökü alırsak sekiz olur, 8 olur ve bu yarıdan kök sayısını çıkarırız yani beş, 8-5 üç kalır - bu ve 3 olur aradığınız karenin kökü." Peki ya ikinci kök? Negatif sayılar bilinmediğinden ikinci kök bulunamadı. x 2 +10 x = 39

Avrupa'da ikinci dereceden denklemler 13-17 yüzyıllar. Avrupa'da Harizmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. Matematiğin hem İslam ülkelerinden hem de İslam ülkelerinden etkilerini yansıtan bu hacimli eser, Antik Yunan, sunumun hem bütünlüğü hem de netliği ile ayırt edilir. Yazar bağımsız olarak problemlere bazı yeni cebirsel çözümler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıları ortaya koyan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Abaküs Kitabındaki pek çok problem, 16. ve 17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. ve kısmen 18.

Francois Viète - 16. yüzyılın en büyük matematikçisi

F. Vieta'dan önce, ikinci dereceden bir denklemin çözümü, çok uzun sözlü argümanlar ve açıklamalar şeklinde, oldukça hantal eylemler şeklinde kendi kurallarına göre gerçekleştiriliyordu. Denklemin kendisini bile yazamadılar; bu oldukça uzun ve karmaşık bir sözlü açıklama gerektiriyordu. "Katsayı" terimini icat etti. Gerekli miktarların sesli harflerle, verilerin ise ünsüz harflerle gösterilmesini önerdi. Vieta'nın sembolizmi sayesinde ikinci dereceden denklemi şu şekilde yazabiliriz: ax 2 + bx + c =0. Teorem: Verilen ikinci dereceden denklemin kökleri toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Her ne kadar bu teorem “Vieta Teoremi” olarak anılsa da ondan önce biliniyordu ve onu ancak modern şekline dönüştürdü. Vieta'ya "cebirin babası" deniyor

İnsanlık cehaletten bilgiye doğru uzun bir yol kat etti; yol boyunca eksik ve kusurlu bilgiyi sürekli olarak daha eksiksiz ve mükemmel bilgiyle değiştirdi. Son söz

Biz yaşıyoruz XXI'in başlangıcı yüzyıl, antikliği kendine çekiyor. Atalarımızda, modern bakış açısına göre öncelikle onların eksiklerini fark ederiz ve genellikle onlarla karşılaştırıldığında kendimizde eksik olan şeyleri fark etmeyiz.

Onları unutmayalım...

İlginiz için teşekkür ederiz!

“İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihi. İkinci dereceden denklemlerin gelişiminin tarihi

İndirmek:

Ön izleme:

Slayt başlıkları:

Şifre kurtarma