Basit logaritmik denklemlerin çözümü. Logaritmik ifadeler. örnekler

Logaritmik denklem bilinmeyenin (x) ve onunla birlikte ifadelerin logaritmik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklemdir. Logaritmik denklemleri çözmek, ve'ye zaten aşina olduğunuzu varsayar.
Logaritmik denklemler nasıl çözülür?

En basit denklem log a x = b a ve b bazı sayılar olmak üzere x bir bilinmeyendir.
Logaritmik bir denklemi çözme x = a b'dir: a > 0, a 1.

Eğer x, logaritmanın dışında bir yerdeyse, örneğin log 2 x = x-2, o zaman böyle bir denklemin zaten karma olarak adlandırıldığı ve onu çözmek için özel bir yaklaşıma ihtiyaç duyulduğu unutulmamalıdır.

İdeal durum, yalnızca sayıların logaritma işareti altında olduğu bir denklemle karşılaşmanızdır, örneğin x+2 = log 2 2. Burada bunu çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Ancak böyle bir şans çok sık olmaz, bu yüzden daha zor şeylere hazır olun.

Ama önce şununla başlayalım basit denklemler. Bunları çözmek için en fazlasına sahip olmak arzu edilir. Genel fikir Logaritma hakkında.

Basit logaritmik denklemleri çözme

Bunlar log 2 x = log 2 16 tipindeki denklemleri içerir. Çıplak göz, logaritmanın işaretini atlayarak x = 16 elde ettiğimizi görebilir.

Daha karmaşık bir logaritmik denklemi çözmek için genellikle olağan çözümü çözmeye indirgenir. cebirsel denklem veya en basit logaritmik denklemin çözümü log a x = b. En basit denklemlerde bu durum tek bir harekette gerçekleşir, bu yüzden bunlara en basit denir.

Yukarıdaki logaritmaları düşürme yöntemi, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biridir. Matematikte bu işleme potansiyelleştirme denir. Bu tür işlemler için belirli kurallar veya kısıtlamalar vardır:

• logaritmalar aynı sayısal tabanlara sahiptir
• Denklemin her iki tarafındaki logaritmalar serbesttir, yani. herhangi bir katsayı veya diğer çeşitli ifadeler olmadan.

Diyelim ki denklemde log 2 x = 2log 2 (1 - x) potansiyelleştirme uygulanamaz - sağdaki katsayı 2 buna izin vermiyor. Aşağıdaki örnekte, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) de kısıtlamalardan birini karşılamıyor - solda iki logaritma var. Sadece bir tane olsaydı, tamamen farklı bir konu olurdu!

Genel olarak logaritmaları ancak denklem şu şekildeyse kaldırabilirsiniz:

log a (...) = log a (...)

Kesinlikle herhangi bir ifade parantez içine yerleştirilebilir; bunun potansiyelleştirme işlemi üzerinde kesinlikle hiçbir etkisi yoktur. Ve logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra, daha basit bir denklem kalacaktır - doğrusal, ikinci dereceden, üstel vb., umarım bunu nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuzdur.

Başka bir örnek verelim:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Potansiyelleştirme uygularsak şunu elde ederiz:

log 3 (2x-1) = 2

Logaritmanın tanımına dayanarak, yani logaritma, logaritma işaretinin altındaki bir ifadeyi elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken sayıdır; (4x-1), şunu elde ederiz:

Yine güzel bir cevap aldık. Burada logaritmaları ortadan kaldırmadan yaptık, ancak potansiyelleştirme burada da uygulanabilir, çünkü herhangi bir sayıdan ve tam olarak ihtiyacımız olan sayıdan bir logaritma yapılabilir. Bu yöntem logaritmik denklemlerin ve özellikle eşitsizliklerin çözümünde çok faydalıdır.

Logaritmik denklem log 3 (2x-1) = 2'yi potansiyasyon kullanarak çözelim:

2 sayısını logaritma olarak düşünelim, örneğin bu log 3 9, çünkü 3 2 =9.

Sonra log 3 (2x-1) = log 3 9 ve yine aynı denklemi 2x-1 = 9 elde ediyoruz. Umarım her şey açıktır.

Aslında çok önemli olan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğine baktık çünkü logaritmik denklemleri çözme En korkunç ve çarpık olanlar bile, sonunda her zaman en basit denklemleri çözmeye gelir.

Yukarıda yaptığımız her şeyde bir tanesini çok kaçırdık önemli nokta gelecekte belirleyici bir rol oynayacaktır. Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin çözümü, en temel olanı bile, iki eşit parçadan oluşur. Birincisi denklemin kendisinin çözümü, ikincisi ise izin verilen değerler aralığı (APV) ile çalışmaktır. Bu tam olarak ustalaştığımız ilk kısım. Yukarıda DL örnekleri cevabı hiçbir şekilde etkilemediğinden dikkate almadık.

Başka bir örnek verelim:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Dıştan bakıldığında bu denklem, çok başarılı bir şekilde çözülebilen temel denklemden farklı değildir. Ama öyle değil. Hayır, elbette çözeceğiz, ancak büyük olasılıkla yanlış çünkü hem C sınıfı öğrencilerin hem de mükemmel öğrencilerin hemen içine düştüğü küçük bir pusu içeriyor. Hadi daha yakından bakalım.

Diyelim ki, eğer birkaç tane varsa, denklemin kökünü veya köklerin toplamını bulmanız gerekiyor:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Güçlendirme kullanıyoruz, burada kabul edilebilir. Sonuç olarak, her zamanki gibi elde ediyoruz ikinci dereceden denklem.

Denklemin köklerini bulma:

İki kök ortaya çıktı.

Cevap: 3 ve -1

İlk bakışta her şey doğru. Ama sonucu kontrol edip orijinal denklemde yerine koyalım.

x 1 = 3 ile başlayalım:

günlük 3 6 = günlük 3 6

Kontrol başarılı oldu, artık sıra x 2 = -1:

günlük 3 (-2) = günlük 3 (-2)

Tamam, dur! Dışarıdan her şey mükemmel. Bir şey var ki, negatif sayıların logaritması yoktur! Bu, x = -1 kökünün denklemimizi çözmeye uygun olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla doğru cevap yazdığımız gibi 2 değil 3 olacaktır.

ODZ'nin unuttuğumuz ölümcül rolünü burada oynadı.

Kabul edilebilir değerler aralığının, izin verilen veya orijinal örnek için anlamlı olan x değerlerini içerdiğini hatırlatmama izin verin.

ODZ olmadan, herhangi bir denklemin herhangi bir çözümü, hatta kesinlikle doğru olanı bile piyangoya dönüşür - 50/50.

Görünüşte basit bir örneği çözerken nasıl yakalanabiliriz? Ama tam olarak potansiyelleşme anında. Logaritmalar ve onlarla birlikte tüm kısıtlamalar ortadan kalktı.

Bu durumda ne yapmalı? Logaritmaları ortadan kaldırmayı reddediyor musunuz? Ve bu denklemi çözmeyi tamamen reddediyor musunuz?

Hayır, biz sadece ünlü bir şarkının gerçek kahramanları gibi dolambaçlı yoldan gideceğiz!

Herhangi bir logaritmik denklemi çözmeye başlamadan önce ODZ'yi yazacağız. Ama bundan sonra denklemimizle gönlünüz ne istiyorsa onu yapabilirsiniz. Cevabı aldıktan sonra, ODZ'mize dahil olmayan kökleri atıyoruz ve son versiyonu yazıyoruz.

Şimdi ODZ’yi nasıl kaydedeceğimize karar verelim. Bunu yapmak için orijinal denklemi dikkatle inceliyoruz ve x'e bölme, hatta kök vb. gibi şüpheli yerleri arıyoruz. Denklemi çözene kadar x'in neye eşit olduğunu bilmiyoruz, ancak ikame edildiğinde 0'a bölme veya çıkarma verecek x'lerin varlığından eminiz. kare kök itibaren negatif sayı, açıkçası bir cevap olarak uygun değil. Bu nedenle, bu tür x kabul edilemez, geri kalanı ise ODZ'yi oluşturacaktır.

Aynı denklemi tekrar kullanalım:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Gördüğünüz gibi 0'a bölme yok. Karekök da yok ama logaritmanın gövdesinde x'li ifadeler var. Logaritmanın içindeki ifadenin her zaman >0 olması gerektiğini hemen hatırlayalım. Bu koşulu ODZ biçiminde yazıyoruz:

Onlar. Henüz hiçbir şeyi çözmedik ama sublogaritmik ifadenin tamamı için zorunlu bir koşulu zaten yazmıştık. Kıvrımlı parantez bu koşulların aynı anda doğru olması gerektiği anlamına gelir.

ODZ yazılmıştır, ancak ortaya çıkan eşitsizlik sistemini de çözmek gerekir, biz de bunu yapacağız. x > v3 cevabını alıyoruz. Artık hangi x'in bize uymayacağını kesin olarak biliyoruz. Daha sonra yukarıda yaptığımız gibi logaritmik denklemi çözmeye başlıyoruz.

X 1 = 3 ve x 2 = -1 cevaplarını aldıktan sonra, yalnızca x1 = 3'ün bize uygun olduğunu görmek kolaydır ve bunu son cevap olarak yazarız.

Gelecek için şunu hatırlamak çok önemlidir: herhangi bir logaritmik denklemi 2 aşamada çözeriz. Birincisi denklemin kendisini çözmek, ikincisi ise ODZ koşulunu çözmek. Her iki aşama da birbirinden bağımsız olarak gerçekleştirilir ve yalnızca cevap yazarken karşılaştırılır. gereksiz her şeyi atın ve doğru cevabı yazın.

Materyali güçlendirmek için videoyu izlemenizi şiddetle öneririz:

Video, günlüğü çözmenin diğer örneklerini gösterir. Denklemler ve aralık yönteminin pratikte çözümü.

Bu soruya, logaritmik denklemler nasıl çözülürŞimdilik bu kadar. Günlük tarafından bir şeye karar verilirse. Denklemler belirsiz veya anlaşılmaz kalıyorsa sorularınızı yorumlara yazın.

Not: Sosyal Eğitim Akademisi (ASE) yeni öğrenci kabulüne hazır.

Bu derste logaritmalarla ilgili temel teorik gerçekleri gözden geçireceğiz ve en basit logaritmik denklemleri çözmeyi ele alacağız.

Merkezi tanımı, logaritmanın tanımını hatırlayalım. Kararla alakalı üstel denklem. Bu denklemin tek bir kökü vardır ve buna b'nin a tabanına göre logaritması denir:

Tanım:

b'nin a tabanına göre logaritması, b'yi elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üstür.

Size hatırlatalım temel logaritmik kimlik.

İfade (ifade 1) denklemin köküdür (ifade 2). İfade 1'deki x değerini x yerine ifade 2'ye koyun ve ana logaritmik özdeşliği elde edin:

Yani her değerin bir değerle ilişkilendirildiğini görüyoruz. b'yi x() ile, c'yi y ile gösteririz ve böylece logaritmik bir fonksiyon elde ederiz:

Örneğin:

Logaritmik fonksiyonun temel özelliklerini hatırlayalım.

Burada bir kez daha dikkat edelim, çünkü logaritmanın altında logaritmanın tabanı olarak kesinlikle pozitif bir ifade olabilir.

Pirinç. 1. Farklı tabanlara sahip logaritmik fonksiyonun grafiği

Fonksiyonun grafiği siyah renkte gösterilmiştir. Pirinç. 1. Eğer argüman sıfırdan sonsuza artarsa, fonksiyon eksiden artı sonsuza artar.

Fonksiyonun grafiği kırmızıyla gösterilmiştir. Pirinç. 1.

Bu fonksiyonun özellikleri:

İhtisas: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon, tüm tanım alanı boyunca monotondur. Monoton olarak (kesinlikle) arttığında, daha yüksek değer argüman fonksiyonun daha büyük değerine karşılık gelir. Monoton olarak (kesinlikle) azaldığında, argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık gelir.

Logaritmik fonksiyonun özellikleri çeşitli logaritmik denklemleri çözmenin anahtarıdır.

En basit logaritmik denklemi ele alalım, diğer tüm logaritmik denklemler kural olarak bu forma indirgenir.

Logaritmanın tabanları ve logaritmanın kendisi eşit olduğundan, logaritmanın altındaki fonksiyonlar da eşittir, ancak tanım alanını kaçırmamalıyız. Logaritmanın altında yalnızca pozitif bir sayı görünebilir, elimizde:

f ve g fonksiyonlarının eşit olduğunu bulduk, dolayısıyla ODZ'ye uymak için herhangi bir eşitsizliği seçmenin yeterli olduğunu gördük.

Böylece, bir denklemin ve bir eşitsizliğin olduğu karma bir sistemimiz var:

Kural olarak, bir eşitsizliği çözmek gerekli değildir; denklemi çözmek ve bulunan kökleri eşitsizliğin yerine koymak ve böylece bir kontrol yapmak yeterlidir.

En basit logaritmik denklemleri çözmek için bir yöntem formüle edelim:

Logaritmanın tabanlarını eşitleyin;

Sublogaritmik fonksiyonları eşitleyin;

Kontrol gerçekleştirin.

Belirli örneklere bakalım.

Örnek 1 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkına sahibiz, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ilk logaritmayı seçiyoruz:

Örnek 2 - denklemi çözün:

Bu denklem öncekinden farklıdır çünkü logaritmanın tabanları birden az ancak bu, çözümü hiçbir şekilde etkilemez:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Yanlış bir eşitsizlik aldık, bu da bulunan kökün ODZ'yi karşılamadığı anlamına geliyor.

Örnek 3 - denklemi çözün:

Logaritmanın tabanları başlangıçta eşittir, alt logaritmik ifadeleri eşitleme hakkımız var, ODZ'yi unutmayın, eşitsizliği oluşturmak için ikinci logaritmayı seçiyoruz:

Kökü bulalım ve eşitsizliğin yerine koyalım:

Açıkçası, yalnızca ilk kök ODZ'yi karşılar.

Bugün hiçbir ön dönüşüme veya kök seçimine gerek olmayan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz. Ancak bu tür denklemleri çözmeyi öğrenirseniz, o zaman çok daha kolay olacaktır.

En basit logaritmik denklem log a f(x) = b formundaki bir denklemdir; burada a, b sayılardır (a > 0, a ≠ 1), f(x) belirli bir fonksiyondur.

Tüm logaritmik denklemlerin ayırt edici bir özelliği, logaritma işaretinin altında x değişkeninin bulunmasıdır. Eğer problemde başlangıçta verilen denklem buysa buna en basit denir. Diğer logaritmik denklemler özel dönüşümlerle en basit hale getirilir (bkz. “Logaritmanın temel özellikleri”). Bununla birlikte, çok sayıda incelik dikkate alınmalıdır: Fazladan kökler ortaya çıkabilir, bu nedenle karmaşık logaritmik denklemler ayrı ayrı ele alınacaktır.

Bu tür denklemler nasıl çözülür? Eşittir işaretinin sağındaki sayıyı, soldaki ile aynı tabandaki bir logaritma ile değiştirmek yeterlidir. O zaman logaritmanın işaretinden kurtulabilirsiniz. Şunu elde ederiz:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Var sıradan denklem. Kökleri orijinal denklemin kökleridir.

Derece çıkarmak

Genellikle dışarıdan karmaşık ve tehditkar görünen logaritmik denklemler, hiçbir müdahaleye gerek kalmadan birkaç satırda kelimenin tam anlamıyla çözülür. karmaşık formüller. Bugün tam da bu tür sorunlara bakacağız; sizden tek yapmanız gereken, formülü dikkatli bir şekilde kanonik forma indirgemek ve logaritmanın tanım alanını ararken kafanızın karışmamasıdır.

Bugün muhtemelen başlıktan da tahmin ettiğiniz gibi logaritmik denklemleri kanonik forma geçiş formüllerini kullanarak çözeceğiz. Bu video dersinin ana "püf noktası" derecelerle çalışmak, daha doğrusu dereceyi temelden ve argümandan çıkarmak olacaktır. Kurala bakalım:

Benzer şekilde, dereceyi tabandan türetebilirsiniz:

Görebildiğimiz gibi, logaritmanın argümanından dereceyi çıkardığımızda sadece önümüzde ek bir faktör varsa, o zaman dereceyi tabandan çıkardığımızda sadece bir faktör değil, tersine çevrilmiş bir faktör elde ederiz. Bunun hatırlanması gerekiyor.

Son olarak en ilginç şey. Bu formüller birleştirilebilir ve şunu elde ederiz:

Elbette, bu geçişleri yaparken, tanımın kapsamının olası genişlemesi veya tam tersine, tanımın kapsamının daralmasıyla ilgili bazı tuzaklar vardır. Kendiniz karar verin:

günlük 3 x 2 = 2 ∙ günlük 3 x

İlk durumda x, 0'dan farklı bir sayı olabiliyorsa, yani x ≠ 0 gereksinimi varsa, o zaman ikinci durumda yalnızca x ile tatmin oluruz; bunlar yalnızca eşit değildir, aynı zamanda 0'dan kesinlikle büyüktür, çünkü logaritmanın tanımı, argümanın kesinlikle 0'dan büyük olmasıdır. Bu nedenle size 8-9. sınıf cebir dersinden harika bir formülü hatırlatacağım:

Yani formülümüzü şu şekilde yazmamız gerekiyor:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

O zaman tanımın kapsamı daralmayacaktır.

Ancak bugünkü video eğitiminde kareler olmayacak. Görevlerimize bakarsanız sadece kökleri göreceksiniz. Bu nedenle bu kuralı uygulamayacağız ancak yine de aklınızda tutmanız gerekiyor ki doğru anda, gördüğünüzde ikinci dereceden fonksiyon bir argümanda veya bir logaritmanın tabanında bu kuralı hatırlayacak ve tüm dönüşümleri doğru bir şekilde gerçekleştireceksiniz.

Yani ilk denklem şu:

Bu sorunu çözmek için formülde bulunan terimlerin her birine dikkatlice bakmayı öneriyorum.

İlk terimi rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

İkinci terime bakıyoruz: log 3 (1 − x). Burada hiçbir şey yapmaya gerek yok, burada her şey zaten dönüşmüş durumda.

Son olarak 0, 5. Önceki derslerde de söylediğim gibi logaritmik denklem ve formülleri çözerken ondalık kesirlerden sıradan kesirlere geçmenizi şiddetle tavsiye ederim. Bunu yapalım:

0,5 = 5/10 = 1/2

Ortaya çıkan terimleri dikkate alarak orijinal formülümüzü yeniden yazalım:

log 3 (1 - x) = 1

Şimdi kanonik forma geçelim:

günlük 3 (1 − x ) = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz:

1 - x = 3

−x = 2

x = −2

İşte bu, denklemi çözdük. Ancak yine de işi riske atalım ve tanımın alanını bulalım. Bunu yapmak için orijinal formüle geri dönelim ve şunu görelim:

1 - x > 0

−x > −1

X< 1

Kök x = −2 bu gereksinimi karşılıyor, dolayısıyla x = −2 orijinal denklemin bir çözümü. Şimdi elimizde kesin ve net bir gerekçe var. İşte bu, sorun çözüldü.

Gelelim ikinci göreve:

Her terime ayrı ayrı bakalım.

İlkini yazalım:

İlk dönemi dönüştürdük. İkinci dönemle çalışıyoruz:

Son olarak eşittir işaretinin sağındaki son terim:

Ortaya çıkan formüldeki terimler yerine ortaya çıkan ifadeleri değiştiririz:

günlük 3 x = 1

Kanonik forma geçelim:

günlük 3 x = günlük 3 3

Argümanları eşitleyerek logaritma işaretinden kurtuluruz ve şunu elde ederiz:

x = 3

Yine de tedbiri elden bırakmamak için orijinal denkleme geri dönüp bir göz atalım. Orijinal formülde x değişkeni yalnızca bağımsız değişkende mevcuttur, bu nedenle,

x > 0

İkinci logaritmada x kökün altındadır ama yine argümanda bu nedenle kök 0'dan büyük olmalıdır, yani radikal ifade 0'dan büyük olmalıdır. Kök x = 3'e bakıyoruz. bu gereksinimi karşılar. Dolayısıyla x = 3 orijinal logaritmik denklemin bir çözümüdür. İşte bu, sorun çözüldü.

Bugünkü video eğitiminde iki önemli nokta var:

1) logaritmaları dönüştürmekten korkmayın ve özellikle logaritmanın işaretinden kuvvetleri çıkarmaktan korkmayın, aynı zamanda temel formülümüzü hatırlayın: bir argümandan bir kuvveti çıkarırken, değişiklik yapılmadan basitçe çıkarılır çarpan olarak kullanılır ve tabandan bir güç kaldırıldığında bu güç tersine çevrilir.

2) ikinci nokta kanonik formun kendisiyle ilgilidir. Logaritmik denklem formülünün dönüşümünün en sonunda kanonik forma geçişi yaptık. Size şu formülü hatırlatayım:

a = log b b a

Elbette "herhangi bir sayı b" ifadesiyle, logaritmanın bazında dayatılan gereklilikleri karşılayan sayıları kastediyorum, yani.

1 ≠ b > 0

Böyle bir b için ve temelini zaten bildiğimiz için bu gereklilik otomatik olarak yerine getirilecektir. Ancak bu gereksinimi karşılayan herhangi bir b için bu geçiş gerçekleştirilebilir ve logaritmanın işaretinden kurtulabileceğimiz kanonik bir form elde ederiz.

Tanım alanını ve ekstra kökleri genişletmek

Logaritmik denklemlerin dönüştürülmesi sürecinde tanım alanının örtülü bir şekilde genişletilmesi meydana gelebilir. Çoğu zaman öğrenciler bunu fark etmezler, bu da hatalara ve yanlış cevaplara yol açar.

En basit tasarımlarla başlayalım. En basit logaritmik denklem şudur:

loga f(x) = b

X'in bir logaritmanın yalnızca bir bağımsız değişkeninde mevcut olduğuna dikkat edin. Bu tür denklemleri nasıl çözeriz? Kanonik formu kullanıyoruz. Bunu yapmak için b = log a a b sayısını hayal edin, denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

log a f (x) = log a a b

Bu girdiye kanonik form denir. Sadece bugünkü derste değil, aynı zamanda herhangi bir bağımsız ve test çalışmasında da karşılaşacağınız logaritmik denklemleri buna indirgemelisiniz.

Kanonik forma nasıl ulaşılacağı ve hangi tekniklerin kullanılacağı pratik meselesidir. Anlaşılması gereken en önemli şey, böyle bir kaydı alır almaz sorunun çözülmüş olduğunu düşünebilmenizdir. Çünkü bir sonraki adım şunu yazmaktır:

f(x) = a b

Başka bir deyişle logaritma işaretinden kurtulup basitçe argümanları eşitliyoruz.

Bütün bu konuşmalar neden? Gerçek şu ki, kanonik biçim yalnızca en basit sorunlara değil aynı zamanda diğer sorunlara da uygulanabilir. Özellikle bugün karar vereceklerimiz. Bir göz atalım.

İlk görev:

Bu denklemdeki sorun nedir? Gerçek şu ki, fonksiyon aynı anda iki logaritmadadır. Bir logaritmanın diğerinden çıkarılmasıyla problem en basit haline indirilebilir. Ancak tanımlama alanında sorunlar ortaya çıkıyor: ekstra kökler görünebilir. Logaritmalardan birini sağa taşıyalım:

Bu giriş kanonik forma çok daha benzer. Ancak bir nüans daha var: Kanonik biçimde argümanlar aynı olmalıdır. Sol tarafta 3 tabanındaki logaritmayı, sağda ise 1/3 tabanındaki logaritmayı görüyoruz. Bu üslerin aynı sayıya getirilmesi gerektiğini biliyor. Örneğin negatif güçlerin ne olduğunu hatırlayalım:

Daha sonra çarpan olarak logun dışındaki “−1” üssünü kullanacağız:

Lütfen dikkat: Tabandaki derece ters çevrilir ve kesir haline getirilir. Farklı tabanlardan kurtularak neredeyse kanonik bir notasyon elde ettik ancak bunun karşılığında sağdaki “−1” faktörünü elde ettik. Bu faktörü bir kuvvete dönüştürerek argümana dahil edelim:

Tabii ki, kanonik formu aldıktan sonra, logaritmanın işaretini cesurca çizeriz ve argümanları eşitleriz. Aynı zamanda, kesirin “−1” üssüne yükseltildiğinde basitçe ters çevrildiğini - bir oran elde edildiğini hatırlatmama izin verin.

Oranın temel özelliğini kullanalım ve bunu çapraz olarak çarpalım:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Önümüzde yukarıdaki ikinci dereceden denklem var, bu yüzden onu Vieta formüllerini kullanarak çözüyoruz:

(x − 8)(x − 2) = 0

x1 = 8; x 2 = 2

Bu kadar. Sizce denklem çözüldü mü? HAYIR! Böyle bir çözüm için 0 puan alacağız çünkü orijinal denklem x değişkeniyle birlikte iki logaritma içeriyor. Bu nedenle tanım alanının dikkate alınması gerekmektedir.

Ve eğlencenin başladığı yer burasıdır. Çoğu öğrencinin kafası karışıyor: Logaritmanın tanım alanı nedir? Elbette tüm argümanların (iki tane var) sıfırdan büyük olması gerekir:

(x - 4)/(3x - 4) > 0

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu eşitsizliklerin her biri çözülmeli, düz bir çizgi üzerinde işaretlenmeli, kesiştirilmeli ve ancak bundan sonra kesişme noktasında hangi köklerin bulunduğu görülmelidir.

Dürüst olacağım: Bu tekniğin var olma hakkı var, güvenilir ve doğru cevabı alacaksınız, ancak içinde çok fazla gereksiz adım var. Öyleyse çözümümüzü tekrar gözden geçirelim ve görelim: Kapsamı tam olarak nereye uygulamamız gerekiyor? Başka bir deyişle, ekstra köklerin tam olarak ne zaman ortaya çıktığını açıkça anlamanız gerekir.

1. Başlangıçta iki logaritmamız vardı. Daha sonra bir tanesini sağa kaydırdık ama bu durum tanım alanını etkilemedi.
2. Sonra tabandaki kuvveti kaldırıyoruz ama hala iki logaritma var ve her birinde bir x değişkeni var.
3. Son olarak kütük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve klasik olanı elde ediyoruz kesirli rasyonel denklem.

Tanımın kapsamı son adımda genişletilir! Log işaretlerinden kurtulup kesirli-rasyonel bir denkleme geçtiğimizde, x değişkenine yönelik gereksinimler çarpıcı biçimde değişti!

Sonuç olarak, tanım alanı çözümün en başında değil, yalnızca belirtilen adımda, argümanların doğrudan eşitlenmesinden önce düşünülebilir.

Optimizasyon fırsatının yattığı yer burasıdır. Bir yandan her iki argümanın da sıfırdan büyük olması gerekiyor. Öte yandan, bu argümanları daha da eşitliyoruz. Dolayısıyla bunlardan en az biri pozitifse ikincisi de pozitif olacaktır!

Dolayısıyla iki eşitsizliğin aynı anda karşılanmasının gereğinden fazla olduğu ortaya çıktı. Bu kesirlerden sadece birini dikkate almak yeterlidir. Hangisi? Daha basit olan. Örneğin sağdaki kesire bakalım:

(x - 5)/(2x - 1) > 0

Bu tipik bir kesirli rasyonel eşitsizliktir; bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz:

İşaretler nasıl yerleştirilir? Tüm köklerimizden açıkça daha büyük olan bir sayıyı alalım. Mesela 1 milyar ve kesirini yerine koyuyoruz. Pozitif bir sayı elde ederiz, yani. x = 5 kökünün sağında bir artı işareti olacaktır.

Sonra işaretler değişir, çünkü hiçbir yerde çokluğun kökleri yoktur. Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklarla ilgileniyoruz. Bu nedenle, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Şimdi cevapları hatırlayalım: x = 8 ve x = 2. Açıkçası bunlar henüz cevap değil, yalnızca cevaba adaylar. Hangisi belirtilen kümeye aittir? Elbette x = 8. Ama x = 2 tanım alanı açısından bize uymuyor.

Toplamda, ilk logaritmik denklemin cevabı x = 8 olacaktır. Artık tanım alanını hesaba katan yetkin, sağlam temellere sahip bir çözümümüz var.

Gelelim ikinci denkleme:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Denklemde ondalık kesir varsa ondan kurtulmanız gerektiğini hatırlatayım. Başka bir deyişle 0,5'i ortak kesir olarak yeniden yazalım. Bu tabanı içeren logaritmanın kolaylıkla hesaplanabildiğini hemen fark ederiz:

Bu çok önemli bir an! Hem tabanda hem de argümanda derecelerimiz olduğunda, bu derecelerin göstergelerini aşağıdaki formülü kullanarak türetebiliriz:

Orijinal logaritmik denklemimize geri dönelim ve onu yeniden yazalım:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Kanonik forma oldukça yakın bir tasarım elde ettik. Ancak terimler ve eşittir işaretinin sağındaki eksi işareti kafamızı karıştırıyor. Birini 5 tabanına göre logaritma olarak temsil edelim:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 – log 5 (x − 5)

Sağdaki logaritmaları çıkarın (bu durumda argümanları bölünmüştür):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Müthiş. Böylece kanonik formu elde ettik! Günlük işaretlerinin üzerini çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Bu, çapraz olarak çarpılarak kolayca çözülebilecek bir orandır:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Açıkçası, ikinci dereceden indirgenmiş bir denklemimiz var. Vieta'nın formülleri kullanılarak kolayca çözülebilir:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

İki kökümüz var. Ancak bunlar nihai yanıtlar değil, yalnızca adaylardır çünkü logaritmik denklem aynı zamanda tanım alanının kontrol edilmesini de gerektirir.

Size hatırlatıyorum: ne zaman aramaya gerek yok Her argümanların sayısı sıfırdan büyük olacaktır. Bir bağımsız değişkenin (x - 9 veya 5/(x - 5)) sıfırdan büyük olmasını gerektirmek yeterlidir. İlk argümanı düşünün:

x - 9 > 0

x > 9

Açıkçası, yalnızca x = 10 bu gereksinimi karşılar, bu son cevaptır. Bütün sorun çözüldü.

Bir kez daha bugünkü dersin ana düşünceleri:

1. X değişkeni birkaç logaritmada göründüğünde, denklem temel olmaktan çıkar ve bunun için tanım alanının hesaplanması gerekecektir. Aksi takdirde cevaba kolayca fazladan kökler yazabilirsiniz.
2. Eşitsizliği hemen değil, tam olarak log işaretlerinden kurtulduğumuz anda yazarsak, alanın kendisi ile çalışmak önemli ölçüde basitleştirilebilir. Sonuçta argümanlar birbirine eşitlendiğinde yalnızca birinin sıfırdan büyük olmasını istemek yeterlidir.

Elbette, bir eşitsizliği oluşturmak için hangi argümanı kullanacağımızı kendimiz seçiyoruz, bu nedenle en basit olanı seçmek mantıklıdır. Örneğin, ikinci denklemde (x − 9) argümanını seçtik - doğrusal fonksiyon kesirli rasyonel ikinci argümanın aksine. Katılıyorum, x − 9 > 0 eşitsizliğini çözmek, 5/(x − 5) > 0 eşitsizliğini çözmekten çok daha kolaydır. Ancak sonuç aynı.

Bu açıklama ODZ aramasını büyük ölçüde basitleştirir, ancak dikkatli olun: yalnızca argümanlar tam olarak aynıysa iki yerine bir eşitsizlik kullanabilirsiniz. birbirine eşittir!

Elbette birileri şimdi şunu soracaktır: Farklı olan ne? Evet bazen. Örneğin, adımın kendisinde, bir değişken içeren iki argümanı çarptığımızda, gereksiz köklerin ortaya çıkma tehlikesi vardır.

Kendiniz karar verin: Öncelikle argümanların her birinin sıfırdan büyük olması gerekir, ancak çarpma işleminden sonra çarpımlarının sıfırdan büyük olması yeterlidir. Sonuç olarak bu kesirlerin her birinin negatif olduğu durum gözden kaçıyor.

Bu nedenle, karmaşık logaritmik denklemleri yeni anlamaya başlıyorsanız, hiçbir durumda x değişkenini içeren logaritmaları çarpmayın - bu genellikle gereksiz köklerin ortaya çıkmasına yol açacaktır. Fazladan bir adım atmak, bir terimi diğer tarafa taşımak ve kanonik bir form oluşturmak daha iyidir.

Peki bu tür logaritmaları çarpmadan yapamıyorsanız ne yapmanız gerektiğini bir sonraki video dersimizde tartışacağız. :)

Bir kez daha denklemdeki kuvvetler hakkında

Bugün logaritmik denklemlerle ilgili, daha doğrusu logaritmanın argümanlarından ve tabanlarından kuvvetlerin çıkarılmasıyla ilgili oldukça kaygan bir konuyu inceleyeceğiz.

Hatta çift kuvvetlerin kaldırılmasından bahsedeceğimizi bile söyleyebilirim, çünkü gerçek logaritmik denklemleri çözerken zorlukların çoğu çift kuvvetlerle ortaya çıkar.

Kanonik formla başlayalım. Diyelim ki log a f(x) = b şeklinde bir denklemimiz var. Bu durumda b sayısını b = log a a b formülünü kullanarak yeniden yazarız. Aşağıdakiler ortaya çıkıyor:

log a f (x) = log a a b

Daha sonra argümanları eşitliyoruz:

f(x) = a b

Sondan bir önceki formüle kanonik form denir. İlk bakışta ne kadar karmaşık ve korkutucu görünse de, herhangi bir logaritmik denklemi bu amaçla azaltmaya çalışırlar.

Öyleyse deneyelim. İlk görevle başlayalım:

Ön not: dediğim gibi her şey ondalık sayılar logaritmik bir denklemde onu sıradan denklemlere dönüştürmek daha iyidir:

0,5 = 5/10 = 1/2

Bu gerçeği dikkate alarak denklemimizi yeniden yazalım. Hem 1/1000'in hem de 100'ün on'un kuvvetleri olduğuna dikkat edin ve sonra nerede olurlarsa olsunlar kuvvetleri çıkaralım: argümanlardan ve hatta logaritma tabanından:

Ve burada birçok öğrencinin aklına şu soru geliyor: "Sağdaki modül nereden geldi?" Aslında neden sadece (x − 1) yazmıyorsunuz? Elbette şimdi (x − 1) yazacağız, ancak tanım alanını hesaba katmak bize böyle bir gösterim hakkı veriyor. Sonuçta başka bir logaritma zaten (x - 1) içeriyor ve bu ifadenin sıfırdan büyük olması gerekiyor.

Fakat logaritmanın tabanından kareyi çıkardığımızda modülü tam olarak tabanda bırakmamız gerekir. Nedenini açıklayayım.

Gerçek şu ki, matematiksel açıdan bakıldığında derece almak, kök almakla eşdeğerdir. Özellikle (x − 1) 2 ifadesinin karesini aldığımızda aslında ikinci kökü almış oluyoruz. Ancak karekök bir modülden başka bir şey değildir. Kesinlikle modülçünkü x − 1 ifadesi negatif olsa bile karesi alındığında "eksi" yine de sönecektir. Kökün daha fazla çıkarılması bize herhangi bir eksi olmadan pozitif bir sayı verecektir.

Genel olarak, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için şunu bir kez ve tamamen hatırlayın:

Aynı kuvvete yükseltilmiş herhangi bir fonksiyonun eşit kuvvetinin kökü, fonksiyonun kendisine değil modülüne eşittir:

Logaritmik denklemimize dönelim. Modülden bahsederken acısız bir şekilde çıkarabileceğimizi savundum. Bu doğru. Şimdi nedenini açıklayacağım. Açıkçası iki seçeneği göz önünde bulundurmak zorunda kaldık:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
2. x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Bu seçeneklerin her birinin ele alınması gerekecektir. Ancak bir sorun var: orijinal formül zaten herhangi bir modül olmadan (x − 1) fonksiyonunu içeriyor. Logaritmanın tanım alanına göre, hemen x − 1 > 0 yazma hakkına sahibiz.

Çözüm sürecinde gerçekleştirdiğimiz modüller ve diğer dönüşümlerden bağımsız olarak bu gereksinimin karşılanması gerekmektedir. Bu nedenle ikinci seçeneği düşünmenin bir anlamı yok - asla ortaya çıkmayacak. Eşitsizliğin bu dalını çözerken bazı sayılar elde etsek bile bunlar yine de nihai cevaba dahil edilmeyecektir.

Artık logaritmik denklemin kanonik formundan kelimenin tam anlamıyla bir adım uzaktayız. Birimi şu şekilde temsil edelim:

1 = log x - 1 (x - 1) 1

Ek olarak sağdaki −4 faktörünü de argümana dahil ediyoruz:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var. Logaritma işaretinden kurtuluyoruz:

10 −4 = x − 1

Ancak taban bir fonksiyon olduğundan (asal sayı değil), ayrıca bu fonksiyonun sıfırdan büyük olmasını ve bire eşit olmamasını da isteriz. Sonuçta ortaya çıkacak sistem şu şekilde olacaktır:

x − 1 > 0 şartı otomatik olarak karşılandığı için (sonuçta x − 1 = 10 −4), eşitsizliklerden biri sistemimizden silinebilir. İkinci koşulun da üzeri çizilebilir çünkü x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Bu, logaritmanın tanım alanının tüm gereksinimlerini otomatik olarak karşılayan tek köktür (ancak, sorunumuzun koşullarında açıkça yerine getirildiği için tüm gereksinimler elenmiştir).

Yani ikinci denklem:

3 günlük 3 x x = 2 günlük 9 x x 2

Bu denklem öncekinden temel olarak nasıl farklı? Keşke logaritmanın tabanları - 3x ve 9x - olmadığı gerçeğiyle doğal dereceler birbirine göre. Bu nedenle önceki çözümde kullandığımız geçiş mümkün değildir.

En azından derecelerden kurtulalım. Bizim durumumuzda tek derece ikinci argümandadır:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Ancak x değişkeni de tabanda olduğundan modül işareti kaldırılabilir. x > 0 ⇒ |x| = x. Logaritmik denklemimizi yeniden yazalım:

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Argümanların aynı olduğu ancak tabanların farklı olduğu logaritmalar elde ettik. Sonra ne yapacağız? Burada pek çok seçenek var, ancak bunlardan yalnızca ikisini ele alacağız; bunlar en mantıklı ve en önemlisi bunlar çoğu öğrenci için hızlı ve anlaşılır tekniklerdir.

İlk seçeneği zaten düşündük: belirsiz bir durumda logaritmaları dönüştürmek değişken taban kalıcı bir temele. Örneğin, bir ikiliye. Geçiş formülü basittir:

Elbette c değişkeninin rolü normal bir sayı olmalıdır: 1 ≠ c > 0. Bizim durumumuzda c = 2 olsun. Şimdi önümüzde sıradan bir kesirli rasyonel denklem var. Soldaki tüm unsurları topluyoruz:

Açıkçası, hem birinci hem de ikinci kesirlerde mevcut olduğundan log 2 x faktörünü kaldırmak daha iyidir.

log 2 x = 0;

3 günlük 2 9x = 4 günlük 2 3x

Her günlüğü iki terime ayırıyoruz:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

günlük 2 3x = günlük 2 3 + günlük 2 x

Bu gerçekleri dikkate alarak eşitliğin her iki tarafını da yeniden yazalım:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x)

6 günlük 2 3 + 3 günlük 2 x = 4 günlük 2 3 + 4 günlük 2 x

2 günlük 2 3 = günlük 2 x

Şimdi geriye kalan tek şey logaritmanın işaretinin altına ikiyi girmek (kuvvet haline dönüşecek: 3 2 = 9):

günlük 2 9 = günlük 2 x

Önümüzde klasik kanonik form var, logaritma işaretinden kurtulup şunu elde ediyoruz:

Beklendiği gibi bu kökün sıfırdan büyük olduğu ortaya çıktı. Geriye tanım alanını kontrol etmek kalıyor. Sebeplerine bakalım:

Ancak kök x = 9 bu gereksinimleri karşılar. Bu nedenle nihai karardır.

Sonuç bu karar basit: uzun düzenlerden korkmayın! Sadece başlangıçta rastgele yeni bir üs seçtik ve bu, süreci önemli ölçüde karmaşıklaştırdı.

Ama sonra şu soru ortaya çıkıyor: Hangi temel? en uygun? İkinci yöntemde bundan bahsedeceğim.

Orijinal denklemimize geri dönelim:

3 günlük 3x x = 2 günlük 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 günlük 3 x x = 4 günlük 9 x x

Şimdi biraz düşünelim: Hangi sayı veya fonksiyon optimal temel olabilir? Açıkça görülüyor ki en iyi seçenek c = x olacak - zaten argümanlarda olan şey. Bu durumda log a b = log c b /log c a formülü şu şekli alacaktır:

Başka bir deyişle ifade basitçe tersine çevrilir. Bu durumda argüman ve temel yer değiştirir.

Bu formül çok faydalıdır ve karmaşık logaritmik denklemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. Ancak bu formülü kullanırken çok ciddi bir tuzak var. Taban yerine x değişkenini değiştirirsek, daha önce gözlemlenmeyen kısıtlamalar uygulanır:

Orijinal denklemde böyle bir sınırlama yoktu. Bu nedenle x = 1 durumunu ayrıca kontrol etmeliyiz. Bu değeri denklemimizde yerine koyalım:

3 günlük 3 1 = 4 günlük 9 1

Doğru sayısal eşitliği elde ederiz. Bu nedenle x = 1 bir köktür. Önceki yöntemde tam olarak aynı kökü çözümün en başında bulduk.

Ancak şimdi bu özel durumu ayrı ayrı ele aldığımıza göre, x ≠ 1 olduğunu rahatlıkla varsayabiliriz. O zaman logaritmik denklemimiz aşağıdaki biçimde yeniden yazılacaktır:

3 günlük x 9x = 4 günlük x 3x

Öncekiyle aynı formülü kullanarak her iki logaritmayı genişletiyoruz. Log x x = 1 olduğuna dikkat edin:

3 (log x 9 + log x x) = 4 (log x 3 + log x x)

3 günlük x 9 + 3 = 4 günlük x 3 + 4

3 günlük x 3 2 − 4 günlük x 3 = 4 − 3

2 günlük x 3 = 1

Böylece kanonik forma geldik:

günlük x 9 = günlük x x 1

x=9

İkinci kökü elde ettik. x ≠ 1 koşulunu karşılar. Bu nedenle, x = 1 ile birlikte x = 9 son cevaptır.

Gördüğünüz gibi hesaplamaların hacmi biraz azaldı. Ancak gerçek bir logaritmik denklemi çözerken adım sayısı çok daha az olacaktır çünkü her adımı bu kadar ayrıntılı açıklamanıza gerek yoktur.

Bugünkü dersin temel kuralı şudur: Eğer problem, aynı derecenin kökünün çıkarıldığı çift dereceli bir derece içeriyorsa, o zaman çıktı bir modül olacaktır. Ancak logaritmanın tanım alanına dikkat edilirse bu modül kaldırılabilir.

Ancak dikkatli olun: Bu dersten sonra çoğu öğrenci her şeyi anladığını düşünür. Ancak gerçek problemleri çözerken mantıksal zincirin tamamını yeniden üretemezler. Sonuç olarak denklem gereksiz kökler edinir ve cevabın yanlış olduğu ortaya çıkar.

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Talimatlar

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın tabanında e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki fark nedir? irrasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir yazın, sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alacaktır, yani. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökleri yoktur.

Yani irrasyonel bir denklem her iki tarafının karesi alma yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani sıradan bir ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; ilkinden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılıncaya kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla Aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek Matematik belirli bir integraldir. Bilindiği gibi belirli bir integralin çözümü, türevi bir integral verecek olan bir fonksiyondur. Bu işlev antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.
Bu durumda tablo integrallerinden hangisinin uygun olduğunu integralin türüne göre belirleyin. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman, tablo biçimi ancak integrali basitleştirmek için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni türönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, belirli bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale geçmemize izin verir.

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, o zaman onu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.