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Einheitlicher trigonometrischer Kreis. So merken Sie sich Punkte auf dem Einheitskreis

Wenn Sie bereits damit vertraut sind trigonometrischer Kreis , und Sie möchten einfach nur Ihre Erinnerung an bestimmte Elemente auffrischen, oder Sie sind völlig ungeduldig, dann ist es hier:

Hier analysieren wir Schritt für Schritt alles im Detail.

Der trigonometrische Kreis ist kein Luxus, sondern eine Notwendigkeit

Trigonometrie Viele Menschen assoziieren damit ein undurchdringliches Dickicht. Plötzlich gibt es so viele Bedeutungen trigonometrische Funktionen, so viele Formeln... Aber es hat zunächst nicht geklappt, und... hin und wieder... völliges Missverständnis...

Es ist sehr wichtig, nicht aufzugeben Werte trigonometrischer Funktionen, - Man sagt, man kann sich den Sporn immer mit einer Wertetabelle ansehen.

Wenn Sie ständig auf eine Tabelle mit Werten schauen trigonometrische Formeln, lasst uns diese Angewohnheit loswerden!

Er wird uns helfen! Sie werden mehrmals damit arbeiten, und dann wird es in Ihrem Kopf auftauchen. Was ist er bessere Tische? Ja, in der Tabelle finden Sie eine begrenzte Anzahl von Werten, aber im Kreis - ALLES!

Sagen wir zum Beispiel beim Anschauen Standardwertetabelle trigonometrischer Formeln , was ist der Sinus, der beispielsweise 300 Grad oder -45 entspricht?

Auf keinen Fall? Sie können natürlich eine Verbindung herstellen Reduktionsformeln... Und wenn man den trigonometrischen Kreis betrachtet, kann man solche Fragen leicht beantworten. Und Sie werden bald wissen, wie!

Und bei der Entscheidung trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen ohne den trigonometrischen Kreis – nirgends.

Einführung in den trigonometrischen Kreis

Gehen wir der Reihe nach vor.

Schreiben wir zunächst diese Zahlenreihe auf:

Und jetzt das:

Und schließlich dieses hier:

Es ist natürlich klar, dass tatsächlich an erster Stelle steht, an zweiter Stelle steht und an letzter Stelle steht. Das heißt, wir werden uns mehr für die Kette interessieren.

Aber wie schön ist es geworden! Wenn etwas passiert, werden wir diese „Wunderleiter“ wiederherstellen.

Und warum brauchen wir es?

Diese Kette stellt die Hauptwerte von Sinus und Cosinus im ersten Viertel dar.

Zeichnen wir einen Kreis mit einem Einheitsradius in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (das heißt, wir nehmen einen beliebigen Radius als Länge und deklarieren seine Länge als Einheit).

Vom „0-Start“-Träger aus legen wir die Ecken in Pfeilrichtung ab (siehe Abbildung).

Wir erhalten die entsprechenden Punkte auf dem Kreis. Wenn wir also die Punkte auf jede der Achsen projizieren, erhalten wir genau die Werte aus der obigen Kette.

Warum ist das so, fragen Sie?

Analysieren wir nicht alles. Lassen Sie uns überlegen Prinzip, was es Ihnen ermöglicht, mit anderen, ähnlichen Situationen zurechtzukommen.

Das Dreieck AOB ist rechteckig und enthält . Und wir wissen, dass gegenüber dem Winkel b ein Bein liegt, das halb so groß ist wie die Hypotenuse (wir haben die Hypotenuse = den Radius des Kreises, also 1).

Das bedeutet AB= (und daher OM=). Und nach dem Satz des Pythagoras

Ich hoffe, es wird schon etwas klar?

Punkt B entspricht also dem Wert und Punkt M entspricht dem Wert

Das Gleiche gilt auch für die anderen Werte des ersten Quartals.

Wie Sie verstehen, wird es die bekannte Achse (Ochse) sein Kosinusachse, und die Achse (oy) – Sinusachse . Später.

Links von Null entlang der Kosinusachse (unter Null entlang der Sinusachse) wird es natürlich sein negative Werte.

Hier ist er also, der ALLMÄCHTIGE, ohne den es in der Trigonometrie nichts gibt.

Aber wir werden darüber sprechen, wie man den trigonometrischen Kreis verwendet.

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Koordinaten X Auf dem Kreis liegende Punkte sind gleich cos(θ) und die Koordinaten j entsprechen sin(θ), wobei θ die Größe des Winkels ist.

Wenn es Ihnen schwerfällt, sich diese Regel zu merken, denken Sie einfach daran, dass im Paar (cos; sin) „der Sinus an letzter Stelle steht“.
Diese Regel kann abgeleitet werden, indem rechtwinklige Dreiecke und die Definition dieser trigonometrischen Funktionen betrachtet werden (der Sinus eines Winkels ist gleich dem Verhältnis der Länge des entgegengesetzten Winkels und der Kosinus ist gleich benachbartes Bein zur Hypotenuse).

Notieren Sie die Koordinaten von vier Punkten auf dem Kreis. Ein „Einheitskreis“ ist ein Kreis mit dem Radius gleich eins. Benutzen Sie dies, um die Koordinaten zu bestimmen X Und j an vier Schnittpunkten der Koordinatenachsen mit dem Kreis. Der Klarheit halber haben wir diese Punkte oben als „Osten“, „Norden“, „Westen“ und „Süden“ bezeichnet, obwohl sie keine etablierten Namen haben.

„Osten“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (1; 0) .
„Norden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; 1) .
„Westen“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (-1; 0) .
„Süden“ entspricht dem Punkt mit Koordinaten (0; -1) .
Dies ähnelt einem normalen Diagramm, sodass Sie sich diese Werte nicht merken müssen. Denken Sie nur an das Grundprinzip.

Merken Sie sich die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten. Der erste Quadrant befindet sich im oberen rechten Teil des Kreises, dort sind die Koordinaten X Und j akzeptieren positive Werte. Dies sind die einzigen Koordinaten, die Sie sich merken müssen:

der Punkt π / 6 hat Koordinaten () ;
der Punkt π/4 hat Koordinaten () ;
der Punkt π / 3 hat Koordinaten () ;
Beachten Sie, dass der Zähler nur drei Werte annimmt. Wenn Sie sich in positiver Richtung bewegen (von links nach rechts entlang der Achse). X und von unten nach oben entlang der Achse j), nimmt der Zähler die Werte 1 → √2 → √3 an.

Zeichnen Sie gerade Linien und bestimmen Sie die Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit dem Kreis. Wenn Sie von den Punkten eines Quadranten gerade horizontale und vertikale Linien zeichnen, haben die zweiten Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis die Koordinaten X Und j mit gleichen Absolutwerten, aber unterschiedlichen Vorzeichen. Mit anderen Worten: Sie können von den Punkten des ersten Quadranten horizontale und vertikale Linien zeichnen und die Schnittpunkte mit dem Kreis mit den gleichen Koordinaten beschriften, gleichzeitig aber links Platz lassen für richtiges Zeichen(„+“ oder „-“).

Beispielsweise kann man eine horizontale Linie zwischen den Punkten π/3 und 2π/3 zeichnen. Da der erste Punkt Koordinaten hat ( 1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), die Koordinaten des zweiten Punktes sind (? 12 , ? 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3))(2)))), wobei anstelle des „+“- oder „-“-Zeichens ein Fragezeichen steht.
Verwenden Sie die einfachste Methode: Achten Sie auf die Nenner der Koordinaten des Punktes im Bogenmaß. Alle Punkte mit Nenner 3 haben das Gleiche absolute Werte Koordinaten Das Gleiche gilt für Punkte mit den Nennern 4 und 6.

Um das Vorzeichen der Koordinaten zu bestimmen, verwenden Sie die Symmetrieregeln. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Position des „-“-Zeichens festzulegen:

Denken Sie an die Grundregeln für reguläre Diagramme. Achse X Links negativ und rechts positiv. Achse j unten negativ und oben positiv;
Beginnen Sie mit dem ersten Quadranten und zeichnen Sie Linien zu anderen Punkten. Wenn die Linie die Achse kreuzt j, Koordinate X wird sein Vorzeichen ändern. Wenn die Linie die Achse kreuzt X, das Vorzeichen der Koordinate ändert sich j;
Denken Sie daran, dass im ersten Quadranten alle Funktionen positiv sind, im zweiten Quadranten nur der Sinus positiv ist, im dritten Quadranten nur der Tangens positiv ist und im vierten Quadranten nur der Kosinus positiv ist;
Welche Methode Sie auch verwenden, Sie sollten (+,+) im ersten Quadranten, (-,+) im zweiten, (-,-) im dritten und (+,-) im vierten erhalten.

Überprüfen Sie, ob Sie einen Fehler gemacht haben. Drunter ist volle Liste Koordinaten von „speziellen“ Punkten (mit Ausnahme von vier Punkten auf den Koordinatenachsen), wenn Sie sich entlang des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn bewegen. Denken Sie daran, dass es zur Bestimmung all dieser Werte ausreicht, sich nur die Koordinaten der Punkte im ersten Quadranten zu merken:

erster Quadrant: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
zweiter Quadrant: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
dritter Quadrant: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
vierter Quadrant: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Trigonometrischer Kreis. Einheitskreis. Zahlenkreis. Was ist das?

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Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Sehr oft Begriffe trigonometrischer Kreis, Einheitskreis, Zahlenkreis wird von den Studierenden kaum verstanden. Und völlig vergeblich. Diese Konzepte sind ein leistungsstarker und universeller Helfer in allen Bereichen der Trigonometrie. Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen legalen Spickzettel! Ich habe einen trigonometrischen Kreis gezeichnet und sofort die Antworten gesehen! Verlockend? Lernen wir also, es wäre eine Sünde, so etwas nicht zu benutzen. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwierig.

Um erfolgreich mit dem trigonometrischen Kreis arbeiten zu können, müssen Sie nur drei Dinge wissen.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

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Ziel: lehren, wie man den Einheitskreis beim Lösen verschiedener trigonometrischer Probleme verwendet.

Im schulischen Mathematikunterricht sind verschiedene Möglichkeiten zur Einführung trigonometrischer Funktionen möglich. Am bequemsten und am häufigsten verwendeten ist der „numerische Einheitskreis“. Seine Anwendung im Thema „Trigonometrie“ ist sehr umfangreich.

Der Einheitskreis wird verwendet für:

– Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels;
– Finden der Werte trigonometrischer Funktionen für einige Werte des numerischen und Winkelarguments;
– Ableitung grundlegender trigonometrischer Formeln;
– Herleitung von Reduktionsformeln;
– Finden des Definitionsbereichs und des Wertebereichs trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Periodizität trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Parität und Ungeradheit trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Intervalle steigender und fallender trigonometrischer Funktionen;
– Bestimmung der Intervalle mit konstantem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen;
– Winkelmessung im Bogenmaß;
– Ermitteln der Werte umgekehrter trigonometrischer Funktionen;
– Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen;
– Lösen einfacher Ungleichungen usw.

Somit bietet die aktive und bewusste Beherrschung dieser Art der Visualisierung durch die Studierenden unbestreitbare Vorteile für die Beherrschung des Teils „Trigonometrie“ der Mathematik.

Der Einsatz von IKT im Mathematikunterricht erleichtert die Beherrschung des numerischen Einheitskreises. Sicherlich, interaktives Board hat ein breites Anwendungsspektrum, aber nicht alle Klassen haben es. Wenn wir über den Einsatz von Präsentationen sprechen, gibt es im Internet eine große Auswahl und jeder Lehrer kann die am besten geeignete Option für seinen Unterricht finden.

Was ist das Besondere an dem Vortrag, den ich präsentiere?

Diese Präsentation schlägt verschiedene Anwendungsfälle vor und ist nicht als Demonstration einer bestimmten Lektion zum Thema „Trigonometrie“ gedacht. Jede Folie dieser Präsentation kann separat verwendet werden, sowohl in der Phase der Erläuterung des Materials, der Entwicklung von Fähigkeiten als auch zur Reflexion. Bei der Erstellung dieser Präsentation Besondere Aufmerksamkeit auf die „Lesbarkeit“ geachtet Fern, da die Zahl der Studierenden mit Sehbehinderung stetig wächst. Die Farbgebung ist durchdacht, logisch verwandte Objekte werden durch eine einzige Farbe vereint. Die Präsentation ist so animiert, dass der Lehrer einen Ausschnitt der Folie kommentieren und der Schüler eine Frage stellen kann. Somit handelt es sich bei dieser Präsentation um eine Art „verschiebende“ Tische. Die letzten Folien sind nicht animiert und dienen dazu, die Beherrschung des Stoffes beim Lösen trigonometrischer Aufgaben zu testen. Der Kreis auf den Folien ist optisch so vereinfacht wie möglich und kommt dem auf dem Notizbuchpapier der Schüler möglichst nahe. Diese Bedingung halte ich für grundlegend. Für die Studierenden ist es wichtig, sich eine Meinung über den Einheitskreis als zugängliche und mobile (wenn auch nicht die einzige) Form der Klarheit bei der Lösung trigonometrischer Aufgaben zu bilden.

Diese Präsentation soll Lehrern dabei helfen, Schülern den Einheitskreis im Geometrieunterricht der 9. Klasse näherzubringen, wenn sie das Thema „Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln eines Dreiecks“ studieren. Und natürlich wird es dazu beitragen, die Fähigkeiten im Umgang mit dem Einheitskreis bei der Lösung trigonometrischer Probleme für Oberstufenschüler im Algebraunterricht zu erweitern und zu vertiefen.

Folien 3, 4 Erklären Sie den Aufbau eines Einheitskreises. das Prinzip der Bestimmung der Lage eines Punktes auf dem Einheitskreis im 1. und 2. Koordinatenviertel; Übertragen von geometrische Definitionen Funktionen Sinus und Cosinus (in rechtwinkliges Dreieck) zur Algebra auf dem Einheitskreis.

Folien 5-8 Erklären Sie, wie Sie die Werte trigonometrischer Funktionen für die Hauptwinkel des ersten Koordinatenquadranten ermitteln.

Folien 9-11 erklärt die Vorzeichen von Funktionen in Koordinatenvierteln; Bestimmung von Intervallen mit konstantem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen.

Folie 12 wird verwendet, um Vorstellungen über positive und negative Winkelwerte zu entwickeln; Kennenlernen des Konzepts der Periodizität trigonometrischer Funktionen.

Folien 13, 14 werden beim Umschalten auf eine Winkelmessung im Bogenmaß verwendet.

Folien 15-18 sind nicht animiert und dienen der Lösung verschiedener trigonometrischer Aufgaben, der Festigung und Überprüfung der Ergebnisse der Beherrschung des Stoffes.

Titelblatt.
Ziele setzen.
Konstruieren eines Einheitskreises. Grundwerte der Winkel in Grad.
Bestimmung von Sinus und Cosinus eines Winkels auf einem Einheitskreis.
Tabellenwerte für Sinus in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Kosinus in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Tangente in aufsteigender Reihenfolge.
Tabellenwerte für Kotangens in aufsteigender Reihenfolge.
Funktionszeichen Sünde α.
Funktionszeichen cos α.
Funktionszeichen tan α Und ctg α.
Positive und negative Winkelwerte auf dem Einheitskreis.
Winkelmaß im Bogenmaß.
Positive und negative Winkelwerte im Bogenmaß auf dem Einheitskreis.
Verschiedene Optionen Einheitskreis zur Konsolidierung und Überprüfung der Ergebnisse der Materialbeherrschung.