EingangIdentisch gleiche Brüche. Identisch gleiche Ausdrücke: Definition, Beispiele
Betrachten wir zwei Gleichheiten:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Diese Gleichheit gilt für alle Werte der Variablen a. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Gleichheit umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Diese Ungleichung gilt für alle Werte der Variablen a, außer a gleich Null. Der Bereich akzeptabler Werte für diese Ungleichung umfasst die gesamte Menge der reellen Zahlen außer Null.
Für jede dieser Gleichheiten kann argumentiert werden, dass sie für jede gilt akzeptable Werte Variablen a. Solche Gleichheiten nennt man in der Mathematik Identitäten.
Der Begriff der Identität
Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der Variablen gilt. Wenn Sie in diese Gleichung anstelle von Variablen gültige Werte einsetzen, sollten Sie eine korrekte numerische Gleichheit erhalten.
Es ist erwähnenswert, dass echte numerische Gleichheiten auch Identitäten sind. Identitäten werden beispielsweise Eigenschaften von Aktionen auf Zahlen sein.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Wenn zwei Ausdrücke für beliebige zulässige Variablen jeweils gleich sind, werden solche Ausdrücke aufgerufen identisch gleich. Nachfolgend finden Sie einige Beispiele dafür gleiche Ausdrücke:
1. (a 2) 4 und a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) und -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) und x 10.
Wir können einen Ausdruck jederzeit durch einen anderen Ausdruck ersetzen, der dem ersten identisch ist. Ein solcher Ersatz wird sein identische Transformation.
Beispiele für Identitäten
Beispiel 1: Sind die folgenden Gleichheiten identisch:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Nicht alle oben dargestellten Ausdrücke sind Identitäten. Von diesen Gleichheiten sind nur 1, 2 und 3 Gleichheiten Identitäten. Egal welche Zahlen wir darin einsetzen, anstelle der Variablen a und b erhalten wir immer noch korrekte numerische Gleichheiten.
Aber 4 Gleichheit ist keine Identität mehr. Denn diese Gleichheit gilt nicht für alle gültigen Werte. Mit den Werten a = 5 und b = 2 erhält man beispielsweise folgendes Ergebnis:
Diese Gleichheit ist nicht wahr, da die Zahl 3 nicht gleich der Zahl -3 ist.
Nachdem wir uns mit dem Konzept der Identitäten beschäftigt haben, können wir mit der Untersuchung identisch gleicher Ausdrücke fortfahren. Der Zweck dieses Artikels besteht darin, zu erklären, was es ist, und anhand von Beispielen zu zeigen, welche Ausdrücke identisch mit anderen sind.
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Identisch gleiche Ausdrücke: Definition
Das Konzept identisch gleicher Ausdrücke wird normalerweise zusammen mit dem Konzept der Identität selbst im Rahmen eines Algebrakurses an der Schule untersucht. Hier ist die grundlegende Definition aus einem Lehrbuch:
Definition 1
Identisch gleich Untereinander wird es solche Ausdrücke geben, deren Werte für alle möglichen Werte der in ihrer Zusammensetzung enthaltenen Variablen gleich sind.
Als identisch gleichwertig gelten auch die folgenden: numerische Ausdrücke, was den gleichen Werten entspricht.
Dies ist eine ziemlich weit gefasste Definition, die für alle ganzzahligen Ausdrücke gilt, deren Bedeutung sich nicht ändert, wenn sich die Werte der Variablen ändern. Später wird es jedoch notwendig, diese Definition zu klären, da es neben ganzen Zahlen auch andere Arten von Ausdrücken gibt, die bei bestimmten Variablen keinen Sinn ergeben. Daraus ergibt sich das Konzept der Zulässigkeit und Unzulässigkeit bestimmter Variablenwerte sowie die Notwendigkeit, den Bereich zulässiger Werte festzulegen. Lassen Sie uns eine verfeinerte Definition formulieren.
Definition 2
Identisch gleiche Ausdrücke– Dies sind Ausdrücke, deren Werte für alle zulässigen Werte der in ihrer Zusammensetzung enthaltenen Variablen einander gleich sind. Numerische Ausdrücke sind untereinander identisch, sofern die Werte gleich sind.
Der Ausdruck „für alle gültigen Werte der Variablen“ gibt alle Werte der Variablen an, für die beide Ausdrücke einen Sinn ergeben. Wir werden diesen Punkt später erläutern, wenn wir Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke geben.
Sie können auch die folgende Definition angeben:
Definition 3
Identisch gleiche Ausdrücke sind Ausdrücke, die sich auf der linken und rechten Seite in derselben Identität befinden.
Beispiele für Ausdrücke, die einander identisch sind
Schauen wir uns anhand der oben angegebenen Definitionen einige Beispiele für solche Ausdrücke an.
Beginnen wir mit numerischen Ausdrücken.
Beispiel 1
Somit sind 2 + 4 und 4 + 2 identisch einander gleich, da ihre Ergebnisse gleich sind (6 und 6).
Beispiel 2
Ebenso sind die Ausdrücke 3 und 30 identisch: 10, (2 2) 3 und 2 6 (um den Wert des letzten Ausdrucks zu berechnen, müssen Sie die Eigenschaften des Grades kennen).
Beispiel 3
Aber die Ausdrücke 4 – 2 und 9 – 1 werden nicht gleich sein, da ihre Werte unterschiedlich sind.
Kommen wir zu Beispielen für wörtliche Ausdrücke. a + b und b + a sind identisch gleich, und dies hängt nicht von den Werten der Variablen ab (die Gleichheit der Ausdrücke wird in diesem Fall durch die kommutative Eigenschaft der Addition bestimmt).
Beispiel 4
Wenn beispielsweise a gleich 4 und b gleich 5 ist, sind die Ergebnisse immer noch dieselben.
Ein weiteres Beispiel für identisch gleiche Ausdrücke mit Buchstaben ist 0 · x · y · z und 0 . Was auch immer die Werte der Variablen in diesem Fall sein mögen, wenn sie mit 0 multipliziert werden, ergeben sie 0. Die ungleichen Ausdrücke sind 6 · x und 8 · x, da sie für kein x gleich sind.
Für den Fall, dass die Bereiche zulässiger Werte der Variablen beispielsweise in den Ausdrücken a + 6 und 6 + a oder a · b · 0 und 0 oder x 4 und x übereinstimmen, und die Werte von Sind die Ausdrücke selbst für alle Variablen gleich, dann gelten solche Ausdrücke als identisch gleich. Also ist a + 8 = 8 + a für jeden Wert von a und a · b · 0 = 0, da die Multiplikation einer beliebigen Zahl mit 0 0 ergibt. Die Ausdrücke x 4 und x sind für jedes x aus dem Intervall [ 0 , + ∞) identisch gleich.
Der Bereich gültiger Werte in einem Ausdruck kann sich jedoch vom Bereich eines anderen unterscheiden.
Beispiel 5
Nehmen wir zum Beispiel zwei Ausdrücke: x − 1 und x - 1 · x x. Für die erste davon ist der Bereich der zulässigen Werte von x die gesamte Menge der reellen Zahlen und für die zweite die Menge aller reale Nummern, mit Ausnahme von Null, denn dann erhalten wir 0 im Nenner und eine solche Division ist nicht definiert. Diese beiden Ausdrücke haben einen gemeinsamen Wertebereich, der durch den Schnittpunkt zweier separater Bereiche gebildet wird. Wir können daraus schließen, dass beide Ausdrücke x - 1 · x x und x − 1 für alle reellen Werte der Variablen mit Ausnahme von 0 sinnvoll sind.
Die grundlegende Eigenschaft des Bruchs lässt uns auch den Schluss zu, dass x - 1 · x x und x − 1 für jedes x, das nicht 0 ist, gleich sind. Bald allgemeinen Bereich zulässige Werte, diese Ausdrücke sind einander identisch gleich, und für jedes reelle x kann nicht von identischer Gleichheit gesprochen werden.
Wenn wir einen Ausdruck durch einen anderen ersetzen, der ihm identisch ist, dann nennt man diesen Vorgang Identitätstransformation. Dieses Konzept ist sehr wichtig und wir werden in einem separaten Material ausführlich darüber sprechen.
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Beim Studium der Algebra sind wir auf die Konzepte eines Polynoms (zum Beispiel ($y-x$,$\ 2x^2-2x$ usw.) und eines algebraischen Bruchs (zum Beispiel $\frac(x+5)(x)$ gestoßen , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ usw.) Die Ähnlichkeit dieser Konzepte besteht darin, dass es sowohl in Polynomen als auch in algebraischen Brüchen Variablen und gibt Zahlenwerte sind sie erfüllt Rechenoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Potenzierung. Der Unterschied zwischen diesen Konzepten besteht darin, dass bei Polynomen keine Division durch eine Variable durchgeführt wird, bei algebraischen Brüchen jedoch eine Division durch eine Variable durchgeführt werden kann.
Sowohl Polynome als auch algebraische Brüche werden in der Mathematik als rationale algebraische Ausdrücke bezeichnet. Aber Polynome sind ganze rationale Ausdrücke und algebraische Brüche gebrochen-rational Ausdrücke.
Es ist möglich, aus einem gebrochen-rationalen Ausdruck einen ganzen algebraischen Ausdruck zu erhalten, indem man eine Identitätstransformation verwendet, die in diesem Fall die Haupteigenschaft eines Bruchs ist – die Reduktion von Brüchen. Lassen Sie uns dies in der Praxis überprüfen:
Beispiel 1
Konvertieren:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Lösung: Konvertieren gegeben gebrochene rationale Gleichung möglich durch Nutzung des Hauptgrundstücks Brüche - Abkürzungen, d.h. Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck außer $0$.
Dieser Bruch kann nicht sofort gekürzt werden, der Zähler muss umgeformt werden.
Lassen Sie uns den Ausdruck in den Zähler des Bruchs umwandeln, dazu verwenden wir die Formel für das Quadrat der Differenz: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Der Bruch sieht aus wie
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]
Jetzt sehen wir, dass es einen gemeinsamen Faktor im Zähler und Nenner gibt – das ist der Ausdruck $x-2$, um den wir den Bruch reduzieren werden
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]
Nach der Reduktion stellten wir fest, dass der ursprüngliche gebrochene rationale Ausdruck $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ zu einem Polynom $x-2$ wurde, d. h. ganz rational.
Achten wir nun darauf, dass die Ausdrücke $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ und $x-2\ $ nicht für alle Werte der Variablen als identisch betrachtet werden können, Weil Damit ein gebrochener rationaler Ausdruck existiert und um das Polynom $x-2$ reduziert werden kann, darf der Nenner des Bruchs nicht gleich $0$ sein (ebenso wie der Faktor, um den wir reduzieren). (Beispiel: Nenner und Faktor sind gleich, aber das passiert nicht immer.)
Die Werte der Variablen, bei denen der algebraische Bruch existiert, werden als zulässige Werte der Variablen bezeichnet.
Stellen wir eine Bedingung für den Nenner des Bruchs: $x-2≠0$, dann $x≠2$.
Das bedeutet, dass die Ausdrücke $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ und $x-2$ für alle Werte der Variablen außer $2$ identisch sind.
Definition 1
Identisch gleich Ausdrücke sind solche, die für alle gültigen Werte der Variablen gleich sind.
Eine identische Transformation ist jede Ersetzung des ursprünglichen Ausdrucks durch einen identisch gleichen. Zu solchen Transformationen gehören die Durchführung von Aktionen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, das Herausziehen eines gemeinsamen Faktors aus Klammern, das Zusammenführen algebraischer Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, das Reduzieren algebraischer Brüche und das Zusammenbringen ähnlicher Begriffe usw. Es ist zu berücksichtigen, dass eine Reihe von Transformationen, wie z. B. Reduktion, Reduktion ähnlicher Begriffe, die zulässigen Werte der Variablen verändern können.
Techniken zum Nachweis von Identitäten
Bringen Sie mithilfe von Identitätstransformationen die linke Seite der Identität auf die rechte oder umgekehrt
Reduzieren Sie beide Seiten mit identischen Transformationen auf denselben Ausdruck
Übertragen Sie die Ausdrücke in einem Teil des Ausdrucks auf einen anderen und beweisen Sie, dass die resultierende Differenz gleich $0$ ist
Welche der oben genannten Techniken zum Nachweis einer bestimmten Identität verwendet werden soll, hängt von der ursprünglichen Identität ab.
Beispiel 2
Beweisen Sie die Identität $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Lösung: Um diese Identität zu beweisen, verwenden wir die erste der oben genannten Methoden, nämlich, dass wir die linke Seite der Identität transformieren, bis sie der rechten Seite entspricht.
Betrachten wir die linke Seite der Identität: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ – sie repräsentiert die Differenz zweier Polynome. In diesem Fall ist das erste Polynom das Quadrat der Summe dreier Terme. Um die Summe mehrerer Terme zu quadrieren, verwenden wir die Formel:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Dazu müssen wir eine Zahl mit einem Polynom multiplizieren. Denken Sie daran, dass wir dazu den gemeinsamen Faktor hinter den Klammern mit jedem Term des Polynoms in den Klammern multiplizieren müssen. Dann erhalten wir:
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Kehren wir nun zum ursprünglichen Polynom zurück, es wird die Form annehmen:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Bitte beachten Sie, dass vor der Klammer ein „-“-Zeichen steht, was bedeutet, dass sich beim Öffnen der Klammern alle Zeichen, die in der Klammer standen, in das Gegenteil ändern.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Stellen wir ähnliche Terme dar, dann erhalten wir, dass sich die Monome $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ und $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ gegenseitig aufheben, d.h. ihre Summe beträgt 0$.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Dies bedeutet, dass wir durch identische Transformationen einen identischen Ausdruck auf der linken Seite der ursprünglichen Identität erhalten haben
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck zeigt, dass die ursprüngliche Identität wahr ist.
Bitte beachten Sie, dass in der ursprünglichen Identität alle Werte der Variablen zulässig sind, was bedeutet, dass wir die Identität mithilfe von Identitätstransformationen bewiesen haben und dies für alle möglichen Werte der Variablen gilt.
Nachdem man sich ein Bild von Identitäten gemacht hat, ist es logisch, mit dem Kennenlernen fortzufahren. In diesem Artikel werden wir die Frage beantworten, was identisch gleiche Ausdrücke sind, und anhand von Beispielen verstehen, welche Ausdrücke identisch gleich sind und welche nicht.
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Was sind identisch gleiche Ausdrücke?
Die Definition identisch gleicher Ausdrücke erfolgt parallel zur Definition der Identität. Dies geschieht im Algebraunterricht der 7. Klasse. Im Lehrbuch über Algebra für die 7. Klasse des Autors Yu. N. Makarychev wird folgende Formulierung gegeben:
Definition.
– Dies sind Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind. Numerische Ausdrücke, die identische Werte haben, werden auch als identisch gleich bezeichnet.
Diese Definition wird bis zur 8. Klasse verwendet; sie gilt für ganzzahlige Ausdrücke, da sie für alle Werte der darin enthaltenen Variablen sinnvoll sind. Und in der 8. Klasse wird die Definition identisch gleicher Ausdrücke geklärt. Lassen Sie uns erklären, womit das zusammenhängt.
In der 8. Klasse beginnt das Studium anderer Arten von Ausdrücken, die im Gegensatz zu ganzen Ausdrücken für einige Werte der Variablen möglicherweise keinen Sinn ergeben. Dies zwingt uns dazu, Definitionen zulässiger und inakzeptabler Werte von Variablen sowie des Bereichs zulässiger Werte des Variablenwerts der Variablen einzuführen und infolgedessen die Definition identisch gleicher Ausdrücke zu klären.
Definition.
Es werden zwei Ausdrücke aufgerufen, deren Werte für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gleich sind identisch gleiche Ausdrücke. Zwei numerische Ausdrücke mit gleichen Werten werden auch als identisch gleich bezeichnet.
IN diese Definition Bei identisch gleichen Ausdrücken lohnt es sich, die Bedeutung des Ausdrucks „für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen“ zu klären. Damit sind alle Werte von Variablen gemeint, für die beide identisch gleichen Ausdrücke gleichzeitig Sinn ergeben. Wir werden diese Idee im nächsten Absatz anhand von Beispielen erläutern.
Die Definition identisch gleicher Ausdrücke im Lehrbuch von A. G. Mordkovich ist etwas anders:
Definition.
Identisch gleiche Ausdrücke– das sind Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Identität.
Die Bedeutung dieser und der vorherigen Definitionen stimmt überein.
Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke
Die im vorherigen Absatz eingeführten Definitionen ermöglichen uns eine Angabe Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke.
Beginnen wir mit identisch gleichen numerischen Ausdrücken. Die Zahlenausdrücke 1+2 und 2+1 sind identisch gleich, da sie übereinstimmen gleiche Werte 3 und 3. Die Ausdrücke 5 und 30:6 sind ebenfalls identisch gleich, ebenso wie die Ausdrücke (2 2) 3 und 2 6 (die Werte der letzteren Ausdrücke sind aufgrund von gleich). Aber die Zahlenausdrücke 3+2 und 3−2 sind nicht identisch gleich, da sie den Werten 5 bzw. 1 entsprechen und nicht gleich sind.
Lassen Sie uns nun Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke mit Variablen geben. Dies sind die Ausdrücke a+b und b+a. Tatsächlich nehmen die geschriebenen Ausdrücke für alle Werte der Variablen a und b die gleichen Werte an (wie aus den Zahlen hervorgeht). Zum Beispiel haben wir mit a=1 und b=2 a+b=1+2=3 und b+a=2+1=3 . Für alle anderen Werte der Variablen a und b erhalten wir ebenfalls gleiche Werte dieser Ausdrücke. Die Ausdrücke 0·x·y·z und 0 sind auch für alle Werte der Variablen x, y und z identisch gleich. Aber die Ausdrücke 2 x und 3 x sind nicht identisch gleich, da zum Beispiel bei x=1 ihre Werte nicht gleich sind. Tatsächlich ist für x=1 der Ausdruck 2 x gleich 2 x 1=2 und der Ausdruck 3 x ist gleich 3 x 1=3.
Wenn die Bereiche zulässiger Werte von Variablen in Ausdrücken übereinstimmen, wie zum Beispiel in den Ausdrücken a+1 und 1+a, oder a·b·0 und 0, oder und, und die Werte dieser Ausdrücke für alle Werte der Variablen aus diesen Bereichen gleich sind, dann ist hier alles klar – diese Ausdrücke sind für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen identisch gleich. Also a+1≡1+a für jedes a, die Ausdrücke a·b·0 und 0 sind für alle Werte der Variablen a und b identisch und die Ausdrücke und sind für alle x von identisch; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 17. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
§ 2. Identische Ausdrücke, Identität. Identische Transformation eines Ausdrucks. Identitätsnachweise
Finden wir die Werte der Ausdrücke 2(x – 1) 2x – 2 für die gegebenen Werte der Variablen x. Schreiben wir die Ergebnisse in die Tabelle:
Wir können zu dem Schluss kommen, dass die Werte der Ausdrücke 2(x – 1) 2x – 2 für jeden gegebenen Wert der Variablen x einander gleich sind. Gemäß der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion ist 2(x - 1) = 2x - 2. Daher ist für jeden anderen Wert der Variablen x auch der Wert des Ausdrucks 2(x - 1) 2x - 2 einander gleich. Solche Ausdrücke heißen identisch gleich.
Beispielsweise sind die Ausdrücke 2x + 3x und 5x Synonyme, da diese Ausdrücke für jeden Wert der Variablen x die gleichen Werte annehmen (dies folgt aus der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition, da 2x + 3x = 5x).
Betrachten wir nun die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy. Wenn x = 1 und b = 1, dann sind die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke einander gleich:
3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Sie können jedoch Werte von x und y angeben, für die die Werte dieser Ausdrücke nicht gleich sind. Wenn beispielsweise x = 2; y = 0, also
3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.
Folglich gibt es Werte der Variablen, für die die entsprechenden Werte der Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht gleich sind. Daher sind die Ausdrücke 3x + 2y und 5xy nicht identisch gleich.
Basierend auf dem oben Gesagten sind die Identitäten insbesondere die Gleichheiten: 2(x – 1) = 2x – 2 und 2x + 3x = 5x.
Eine Identität ist jede Gleichheit, die die bekannten Eigenschaften von Operationen mit Zahlen beschreibt. Zum Beispiel,
a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;
ab = bа; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.
Identitäten umfassen die folgenden Gleichheiten:
a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;
a + (-a) = 0; ein ∙ 1 = ein; a ∙ (-b) = ab.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Wenn wir ähnliche Terme im Ausdruck -5x + 2x - 9 kombinieren, erhalten wir 5x + 2x - 9 = 7x - 9. In diesem Fall heißt es, dass der Ausdruck 5x + 2x - 9 durch den identischen Ausdruck 7x - ersetzt wurde. 9.
Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden mithilfe der Eigenschaften von Zahlenoperationen durchgeführt. Insbesondere identische Transformationen mit öffnenden Klammern, die Bildung ähnlicher Begriffe und dergleichen.
Beim Vereinfachen eines Ausdrucks, also beim Ersetzen eines bestimmten Ausdrucks durch einen identisch gleichen Ausdruck, müssen identische Transformationen durchgeführt werden, wodurch die Notation kürzer werden soll.
Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);
3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5a – (a – 2b) + (3b – a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.
Um zu beweisen, dass Gleichheit eine Identität ist (mit anderen Worten, um Identität zu beweisen, werden identische Transformationen von Ausdrücken verwendet.
Sie können die Identität auf eine der folgenden Arten nachweisen:
- Führen Sie identische Transformationen auf der linken Seite durch und reduzieren Sie sie dadurch auf die Form der rechten Seite.
- Führen Sie identische Transformationen auf der rechten Seite durch und reduzieren Sie sie dadurch auf die Form der linken Seite.
- Führen Sie an beiden Teilen identische Transformationen durch und erheben Sie so beide Teile zu denselben Ausdrücken.
Beispiel 2. Beweisen Sie die Identität:
1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;
2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.
R a s i z a n i .
1) Transformieren Sie die linke Seite dieser Gleichheit:
2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.
Durch Identitätstransformationen wurde der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichheit auf die Form der rechten Seite reduziert und damit bewiesen, dass es sich bei dieser Gleichheit um eine Identität handelt.
2) Transformieren Sie die rechte Seite dieser Gleichheit:
5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10 A - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.
Durch Identitätstransformationen wurde die rechte Seite der Gleichheit auf die Form der linken Seite reduziert und damit bewiesen, dass diese Gleichheit eine Identität ist.
3) In diesem Fall ist es zweckmäßig, sowohl die linke als auch die rechte Seite der Gleichheit zu vereinfachen und die Ergebnisse zu vergleichen:
2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 = 26x - 44;
13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.
Durch identische Transformationen wurden die linke und rechte Seite der Gleichheit auf die gleiche Form reduziert: 26x - 44. Daher ist diese Gleichheit eine Identität.
Welche Ausdrücke heißen identisch? Geben Sie ein Beispiel für identische Ausdrücke. Welche Art von Gleichheit nennt man Identität? Geben Sie ein Beispiel für eine Identität. Was nennt man Identitätstransformation eines Ausdrucks? Wie weise ich die Identität nach?
- (Verbal) Oder es gibt Ausdrücke, die identisch gleich sind:
1) 2a + a und 3a;
2) 7x + 6 und 6 + 7x;
3) x + x + x und x 3 ;
4) 2(x - 2) und 2x - 4;
5) m – n und n – m;
6) 2a ∙ p und 2p ∙ a?
- Sind die Ausdrücke identisch gleich:
1) 7x - 2x und 5x;
2) 5a - 4 und 4 - 5a;
3) 4m + n und n + 4m;
4) a + a und a 2;
5) 3(a - 4) und 3a - 12;
6) 5m ∙ n und 5m + n?
- (Verbal) ist die Lee-Identitätsgleichheit:
1) 2a + 106 = 12ab;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(x - y) = 3x - 5y?
- Öffnen Sie die Klammer:
- Öffnen Sie die Klammer:
- Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:
- Nennen Sie mehrere Ausdrücke, die mit dem Ausdruck 2a + 3a identisch sind.
- Vereinfachen Sie den Ausdruck mithilfe der Permutations- und Verknüpfungseigenschaften der Multiplikation:
1) -2,5 x ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 x ∙ (0,3 g);
4)- x ∙<-7у).
- Den Ausdruck vereinfachen:
1) -2ð ∙ 3,5;
2) 7a ∙ (-1,2);
3) 0,2 x ∙ (-3y);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Mündlich) Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) 2x - 9 + 5x;
2) 7a - 3b + 2a + 3b;
4) 4a ∙ (-2b).
- Kombinieren Sie ähnliche Begriffe:
1) 56 - 8a + 4b - a;
2) 17 - 2p + 3p + 19;
3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;
4) 5 - 7s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.
1) 4(5x - 7) + 3x + 13;
2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);
3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Öffnen Sie die Klammern und kombinieren Sie ähnliche Begriffe:
1) 3(8a - 4) + 6a;
2) 7p - 2(3p - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), wenn x = 2,4;
2) 1,3(2a - 1) - 16,4, wenn a = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), wenn m = -3,7;
4) 2x - 3(x + y) + 4y, wenn x = -1, y = 1.
- Vereinfachen Sie den Ausdruck und finden Sie seine Bedeutung:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), wenn x = -0,7;
2) 1,7(y – 11) – 16,3, wenn b = 20;
3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), wenn a = -1;
4) 5(m – n) – 4m + 7n, wenn m = 1,8; n = -0,9.
- Beweisen Sie die Identität:
1) -(2x - y)=y - 2x;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).
- Beweisen Sie die Identität:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - p) + 7p = 14;
3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Die Länge einer Seite des Dreiecks beträgt einen cm, und die Länge jeder der beiden anderen Seiten ist 2 cm länger. Geben Sie den Umfang des Dreiecks als Ausdruck an und vereinfachen Sie den Ausdruck.
- Die Breite des Rechtecks beträgt x cm und die Länge ist 3 cm größer als die Breite. Geben Sie den Umfang des Rechtecks als Ausdruck an und vereinfachen Sie den Ausdruck.
1) x - (x - (2x - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (r + 1)));
4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));
5) (6a – b) – (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Öffnen Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) a - (a - (3a - 1));
2) 12m - ((a - m) + 12a);
3) 5 Jahre – (6 Jahre – (7 Jahre – (8 Jahre – 1)));
6) (2.1 a – 2.8 b) – (1a – 1b).
- Beweisen Sie die Identität:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);
3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).
- Beweisen Sie die Identität:
1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);
2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Beweisen Sie die Bedeutung des Ausdrucks
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) hängt nicht vom Wert der Variablen ab.
- Beweisen Sie, dass für jeden Wert der Variablen der Wert des Ausdrucks gilt
a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)
ist die gleiche Zahl.
- Beweisen Sie, dass die Summe dreier aufeinanderfolgender gerader Zahlen durch 6 teilbar ist.
- Beweisen Sie, dass, wenn n eine natürliche Zahl ist, der Wert des Ausdrucks -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) eine gerade Zahl ist.
Übungen zum Wiederholen
- Eine 1,6 kg schwere Legierung enthält 15 % Kupfer. Wie viel kg Kupfer sind in dieser Legierung enthalten?
- Wie viel Prozent beträgt die Zahl 20 davon:
1) quadratisch;
- Der Tourist ging 2 Stunden zu Fuß und fuhr 3 Stunden mit dem Fahrrad. Insgesamt legte der Tourist 56 km zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mit der der Tourist mit dem Fahrrad gefahren ist, wenn diese um 12 km/h höher ist als die Geschwindigkeit, mit der er gelaufen ist.
Interessante Aufgaben für faule Schüler
- An der städtischen Fußballmeisterschaft nehmen 11 Mannschaften teil. Jede Mannschaft spielt ein Spiel gegen die andere. Beweisen Sie, dass es zu jedem Zeitpunkt des Wettbewerbs eine Mannschaft gibt, die zu diesem Zeitpunkt eine gerade Anzahl an Spielen absolviert hat oder noch keines gespielt hat.