Algorithmus zur Lösung des Systems. Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen. Lektion und Präsentation zum Thema: „Gleichungssysteme. Substitutionsmethode, Additionsmethode, Methode zur Einführung einer neuen Variablen“

Lektion und Präsentation zum Thema: „Gleichungssysteme. Substitutionsmethode, Additionsmethode, Methode zur Einführung einer neuen Variablen“

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Methoden zur Lösung von Ungleichungssystemen

Leute, wir haben Gleichungssysteme studiert und gelernt, wie man sie mithilfe von Graphen löst. Sehen wir uns nun an, welche anderen Möglichkeiten zur Lösung von Systemen es gibt?
Fast alle Methoden zu ihrer Lösung unterscheiden sich nicht von denen, die wir in der 7. Klasse gelernt haben. Jetzt müssen wir einige Anpassungen gemäß den Gleichungen vornehmen, deren Lösung wir gelernt haben.
Der Kern aller in dieser Lektion beschriebenen Methoden besteht darin, das System durch ein gleichwertiges System mit einfacherer Form und Lösung zu ersetzen. Leute, denkt daran, was ein äquivalentes System ist.

Substitutionsmethode

Der erste Weg, Gleichungssysteme mit zwei Variablen zu lösen, ist uns bekannt – die Substitutionsmethode. Wir haben diese Methode verwendet, um lineare Gleichungen zu lösen. Sehen wir uns nun an, wie man Gleichungen im allgemeinen Fall löst.

Wie sollten Sie bei der Entscheidungsfindung vorgehen?
1. Drücken Sie eine der Variablen durch eine andere aus. Die in Gleichungen am häufigsten verwendeten Variablen sind x und y. In einer der Gleichungen drücken wir eine Variable durch eine andere aus. Tipp: Schauen Sie sich beide Gleichungen sorgfältig an, bevor Sie mit der Lösung beginnen, und wählen Sie diejenige aus, bei der sich die Variable einfacher ausdrücken lässt.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle der ausgedrückten Variablen in die zweite Gleichung ein.
3. Lösen Sie die Gleichung, die wir erhalten haben.
4. Setzen Sie die resultierende Lösung in die zweite Gleichung ein. Wenn es mehrere Lösungen gibt, müssen Sie diese nacheinander ersetzen, um nicht mehrere Lösungen zu verlieren.
5. Als Ergebnis erhalten Sie ein Zahlenpaar $(x;y)$, das als Antwort aufgeschrieben werden muss.

Beispiel.
Lösen Sie ein System mit zwei Variablen mithilfe der Substitutionsmethode: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Lösung.
Schauen wir uns unsere Gleichungen genauer an. Offensichtlich ist es viel einfacher, y in der ersten Gleichung durch x auszudrücken.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(cases)$.
Ersetzen wir den ersten Ausdruck in die zweite Gleichung $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$.
Lösen wir die zweite Gleichung separat:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
Wir haben zwei Lösungen für die zweite Gleichung $x_1=2$ und $x_2=3$ erhalten.
Setzen Sie nacheinander in die zweite Gleichung ein.
Wenn $x=2$, dann $y=3$. Wenn $x=3$, dann $y=2$.
Die Antwort sind zwei Zahlenpaare.
Antwort: $(2;3)$ und $(3;2)$.

Algebraische Additionsmethode

Wir haben diese Methode auch in der 7. Klasse studiert.
Es ist bekannt, dass wir eine rationale Gleichung mit zwei Variablen mit einer beliebigen Zahl multiplizieren können, wobei wir nicht vergessen, beide Seiten der Gleichung zu multiplizieren. Wir haben eine der Gleichungen mit einer bestimmten Zahl multipliziert, sodass beim Hinzufügen der resultierenden Gleichung zur zweiten Gleichung des Systems eine der Variablen zerstört wurde. Dann wurde die Gleichung für die verbleibende Variable gelöst.
Diese Methode funktioniert immer noch, obwohl es nicht immer möglich ist, eine der Variablen zu zerstören. Aber es ermöglicht Ihnen, die Form einer der Gleichungen erheblich zu vereinfachen.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Lösung.
Lassen Sie uns die erste Gleichung mit 2 multiplizieren.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Subtrahieren wir die zweite von der ersten Gleichung.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Wie Sie sehen, ist die Form der resultierenden Gleichung viel einfacher als die ursprüngliche. Jetzt können wir die Substitutionsmethode verwenden.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Drücken wir x in der resultierenden Gleichung durch y aus.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
Wir haben $y=-1$ und $y=-3$.
Setzen wir diese Werte nacheinander in die erste Gleichung ein. Wir erhalten zwei Zahlenpaare: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.
Antwort: $(1;-1)$ und $(-1;-3)$.

Methode zur Einführung einer neuen Variablen

Wir haben diese Methode auch untersucht, aber schauen wir sie uns noch einmal an.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Lösung.
Lassen Sie uns den Ersatz $t=\frac(x)(y)$ einführen.
Schreiben wir die erste Gleichung mit einer neuen Variablen um: $t+\frac(2)(t)=3$.
Lösen wir die resultierende Gleichung:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
Wir haben $t=2$ oder $t=1$. Lassen Sie uns die umgekehrte Änderung $t=\frac(x)(y)$ einführen.
Wir haben: $x=2y$ und $x=y$.

Für jeden der Ausdrücke muss das Originalsystem separat gelöst werden:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\7y^2=1\end(cases)$. $\begin(cases)x=2y, \\y^2=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=y, \\y=±1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$. $\begin(cases)x=±1, \\y=±1\end(cases)$.
Wir haben vier Lösungspaare erhalten.
Antwort: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.

Beispiel.
Lösen Sie das System: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(cases)$.

Lösung.
Lassen Sie uns die Ersetzung einführen: $z=\frac(2)(x-3y)$ und $t=\frac(3)(2x+y)$.
Schreiben wir die ursprünglichen Gleichungen mit neuen Variablen um:
$\begin(cases)z+t=2, \\4z-3t=1\end(cases)$.
Verwenden wir die algebraische Additionsmethode:
$\begin(cases)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\t=1\end(cases)$.
Führen wir die umgekehrte Substitution ein:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(cases)x-3y=2, \\2x+y=3\end(cases)$.
Verwenden wir die Substitutionsmethode:
$\begin(cases)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3y, \\7y=-1\end(cases)$.
$\begin(cases)x=2+3(\frac(-1)(7)), \\y=\frac(-1)(7)\end(cases)$.
$\begin(cases)x=\frac(11)(7), \\x=-\frac(11)(7)\end(cases)$.
Antwort: $(\frac(11)(7);-\frac(1)(7))$.

Probleme auf Gleichungssystemen zur unabhängigen Lösung

Systeme lösen:
1. $\begin(cases)2x-2y=6,\\xy =-2\end(cases)$.
2. $\begin(cases)x+y^2=3, \\xy^2=4\end(cases)$.
3. $\begin(cases)xy+y^2=3,\\y^2-xy=5\end(cases)$.
4. $\begin(cases)\frac(2)(x)+\frac(1)(y)=4, \\\frac(1)(x)+\frac(3)(y)=9\ end(cases)$.
5. $\begin(cases)\frac(5)(x^2-xy)+\frac(4)(y^2-xy)=-\frac(1)(6), \\\frac(7 )(x^2-xy)-\frac(3)(y^2-xy)=\frac(6)(5)\end(cases)$.

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Anweisungen

Additionsmethode.
Sie müssen zwei streng untereinander schreiben:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Fügen Sie in einer willkürlich gewählten (aus dem System) Gleichung die Zahl 11 anstelle des bereits gefundenen „Spiels“ ein und berechnen Sie die zweite Unbekannte:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Die Antwort auf dieses Gleichungssystem lautet x=116, y=11.

Grafische Methode.
Es besteht darin, praktisch die Koordinaten des Punktes zu finden, an dem die Linien mathematisch in ein Gleichungssystem geschrieben werden. Die Diagramme beider Linien sollten separat im selben Koordinatensystem gezeichnet werden. Gesamtansicht: – y=khx+b. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, die Koordinaten zweier Punkte zu ermitteln, und x wird willkürlich gewählt.
Das System sei gegeben: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Mit der ersten wird eine Gerade konstruiert, der Einfachheit halber sollte man sie aufschreiben: y=2x-4. Ermitteln Sie (einfachere) Werte für x, setzen Sie sie in die Gleichung ein, lösen Sie sie und finden Sie y. Wir erhalten zwei Punkte, entlang derer eine Gerade konstruiert wird. (siehe Bild)
x 0 1

y -4 -2
Eine gerade Linie wird mit der zweiten Gleichung konstruiert: y=-3x+1.
Konstruieren Sie außerdem eine gerade Linie. (siehe Bild)

Jahr 1 -5
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier konstruierter Linien im Diagramm (wenn sich die Linien nicht schneiden, dann hat das Gleichungssystem keine - also).

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Wenn das gleiche Gleichungssystem durch drei gelöst wird verschiedene Wege, wird die Antwort dieselbe sein (wenn die Lösung richtig ist).

Quellen:

• Algebra der 8. Klasse
• Lösen Sie online eine Gleichung mit zwei Unbekannten
• Beispiele für Systemlösungen lineare Gleichungen mit zwei

System Gleichungen ist eine Sammlung mathematischer Datensätze, von denen jeder eine Reihe von Variablen enthält. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sie zu lösen.

Du wirst brauchen

• -Lineal und Bleistift;
• -Taschenrechner.

Anweisungen

Betrachten wir die Reihenfolge der Lösung des Systems, das aus linearen Gleichungen der Form besteht: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Dabei sind x und y unbekannte Variablen und b,c freie Terme. Bei der Anwendung dieser Methode stellt jedes System die Koordinaten der Punkte dar, die jeder Gleichung entsprechen. Drücken Sie zunächst jeweils eine Variable durch eine andere aus. Setzen Sie dann die Variable x auf eine beliebige Anzahl von Werten. Zwei reichen aus. Setzen Sie es in die Gleichung ein und finden Sie y. Konstruieren Sie ein Koordinatensystem, markieren Sie darauf die resultierenden Punkte und ziehen Sie eine Linie durch sie. Ähnliche Berechnungen müssen für andere Teile des Systems durchgeführt werden.

Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn sich die konstruierten Linien schneiden und einen gemeinsamen Punkt haben. Es ist inkompatibel, wenn es parallel zueinander ist. Und es gibt unendlich viele Lösungen, wenn die Linien miteinander verschmelzen.

Diese Methode gilt als sehr visuell. Der Hauptnachteil besteht darin, dass die berechneten Unbekannten Näherungswerte haben. Genauere Ergebnisse liefern die sogenannten algebraischen Methoden.

Jede Lösung eines Gleichungssystems ist es wert, überprüft zu werden. Ersetzen Sie dazu die resultierenden Werte anstelle der Variablen. Sie können die Lösung auch mit verschiedenen Methoden finden. Wenn die Lösung des Systems richtig ist, sollten alle gleich ausfallen.

Oft gibt es Gleichungen, in denen einer der Terme unbekannt ist. Um eine Gleichung zu lösen, müssen Sie sich eine bestimmte Reihe von Aktionen mit diesen Zahlen merken und diese ausführen.

Du wirst brauchen

• - Blatt Papier;
• - Kugelschreiber oder Bleistift.

Anweisungen

Stellen Sie sich vor, vor Ihnen stehen 8 Kaninchen und Sie haben nur 5 Karotten. Denken Sie darüber nach, Sie müssen noch mehr Karotten kaufen, damit jedes Kaninchen eine bekommt.

Stellen wir dieses Problem in Form einer Gleichung dar: 5 + x = 8. Ersetzen wir x durch die Zahl 3. Tatsächlich ist 5 + 3 = 8.

Wenn Sie x durch eine Zahl ersetzt haben, haben Sie dasselbe getan, als hätten Sie 5 von 8 subtrahiert. Also, finden Unbekannt Term: Subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Nehmen wir an, Sie haben 20 Kaninchen und nur 5 Karotten. Lass es uns nachholen. Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Die Buchstaben, deren Bedeutung gefunden werden muss, heißen . Schreiben Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten und nennen Sie sie x. Wenn wir unser Kaninchenproblem lösen, erhalten wir die folgende Gleichung: 5 + x = 20.

Finden wir die Differenz zwischen 20 und 5. Beim Subtrahieren wird die Zahl, von der subtrahiert wird, reduziert. Die Zahl, die subtrahiert wird, heißt , und das Endergebnis heißt Differenz. Also, x = 20 – 5; x = 15. Sie müssen 15 Karotten für die Kaninchen kaufen.

Überprüfen Sie: 5 + 15 = 20. Die Gleichung ist richtig gelöst. Natürlich wann wir reden über Bei so einfachen Fällen ist eine Überprüfung nicht erforderlich. Wenn Sie jedoch Gleichungen mit dreistelligen, vierstelligen usw. Zahlen haben, müssen Sie diese unbedingt überprüfen, um absolut sicher zu sein, dass das Ergebnis Ihrer Arbeit sicher ist.

Video zum Thema

Hilfreicher Rat

Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Tipp 4: So lösen Sie ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten kann trotz einer ausreichenden Anzahl von Gleichungen keine Lösungen haben. Sie können versuchen, es mit der Substitutionsmethode oder der Cramer-Methode zu lösen. Mit der Methode von Cramer können Sie nicht nur das System lösen, sondern auch beurteilen, ob das System lösbar ist, bevor Sie die Werte der Unbekannten ermitteln.

Anweisungen

Die Substitutionsmethode besteht darin, nacheinander eine Unbekannte durch zwei andere zu ersetzen und das resultierende Ergebnis in die Gleichungen des Systems einzusetzen. Gegeben sei ein System aus drei Gleichungen Gesamtansicht:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Drücken Sie x aus der ersten Gleichung aus: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - und setzen Sie es in die zweite und dritte Gleichung ein. Drücken Sie dann y aus der zweiten Gleichung aus und setzen Sie es in die dritte ein. Über die Koeffizienten der Systemgleichungen erhalten Sie einen linearen Ausdruck für z. Gehen Sie nun „rückwärts“: Setzen Sie z in die zweite Gleichung ein und finden Sie y, setzen Sie dann z und y in die erste ein und lösen Sie nach x auf. Der Vorgang ist im Allgemeinen in der Abbildung dargestellt, bevor z. Weiteres Schreiben in allgemeiner Form wird zu umständlich sein; in der Praxis kann man durch Ersetzen von ganz einfach alle drei Unbekannten finden.

Die Methode von Cramer besteht aus der Konstruktion einer Systemmatrix und der Berechnung der Determinante dieser Matrix sowie drei weiterer Hilfsmatrizen. Die Systemmatrix besteht aus Koeffizienten für die unbekannten Terme der Gleichungen. Eine Spalte, die die Zahlen auf der rechten Seite von Gleichungen enthält, eine Spalte mit rechten Seiten. Es wird nicht im System verwendet, sondern beim Lösen des Systems.

Video zum Thema

beachten Sie

Alle Gleichungen im System müssen unabhängig von anderen Gleichungen zusätzliche Informationen liefern. Andernfalls ist das System unterbestimmt und es kann keine eindeutige Lösung gefunden werden.

Hilfreicher Rat

Nachdem Sie das Gleichungssystem gelöst haben, setzen Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche System ein und prüfen Sie, ob sie alle Gleichungen erfüllen.

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisungen

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie durch diese zu ersetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel ist es in diesem Fall, es wieder in den Normalzustand zu versetzen Die gleichung mit einer unbekannten Person. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine Variable oder eine Variable so zu multiplizieren, dass zwei Unbekannte gleichzeitig gelöscht werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie; höchstwahrscheinlich wird die spätere Lösung nicht schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Ebenso müssen Sie beim Subtrahieren von Gleichungen bedenken, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn die vorherigen Methoden nicht geholfen haben, verwenden Sie im Allgemeinen Lösungen für beliebige Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten für x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Variablen (B). Bitte beachten Sie, dass Sie durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix freier Terme erhalten, d. h. A*X=B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), indem Sie zunächst finden. Beachten Sie, dass dies nicht der Fall sein sollte gleich Null. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X mit Angabe aller Werte.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen für Gleichungen mit drei Unbekannten

Wenn Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems beginnen, überlegen Sie, um welche Art von Gleichungen es sich handelt. Methoden zur Lösung linearer Gleichungen sind recht gut untersucht. Nichtlineare Gleichungen werden meist nicht gelöst. Es gibt nur einen Sonderfall, der praktisch jeweils individuell ist. Daher sollte das Studium der Lösungstechniken mit linearen Gleichungen beginnen. Solche Gleichungen können sogar rein algorithmisch gelöst werden.

Die Nenner der gefundenen Unbekannten sind genau gleich. Ja, und die Zähler weisen in ihrer Konstruktion einige Muster auf. Wenn die Dimension des Gleichungssystems größer als zwei wäre, würde die Eliminationsmethode zu sehr umständlichen Berechnungen führen. Um sie zu vermeiden, wurden rein algorithmische Lösungen entwickelt. Der einfachste davon ist der Cramer-Algorithmus (Cramer-Formeln). Denn Sie sollten es herausfinden allgemeines System Gleichungen aus n Gleichungen.

System n linear algebraische Gleichungen mit n Unbekannten hat die Form (siehe Abb. 1a). Darin sind aij die Koeffizienten des Systems,
xj – Unbekannte, bi – freie Terme (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ein solches System kann kompakt in der Matrixform AX=B geschrieben werden. Dabei ist A die Matrix der Systemkoeffizienten, X die Spaltenmatrix der Unbekannten und B die Spaltenmatrix der freien Terme (siehe Abbildung 1b). Nach der Methode von Cramer ist jedes Unbekannte xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Die Determinante ∆ der Koeffizientenmatrix wird als Hauptdeterminante und ∆i als Hilfsdeterminante bezeichnet. Für jede Unbekannte wird die Hilfsdeterminante ermittelt, indem die i-te Spalte der Hauptdeterminante durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt wird. Das Cramer-Verfahren für den Fall von Systemen zweiter und dritter Ordnung ist in Abb. detailliert dargestellt. 2.

Das System ist eine Kombination aus zwei oder mehr Gleichheiten, von denen jede zwei oder mehr Unbekannte enthält. Es gibt zwei Hauptmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die im Lehrplan der Schule verwendet werden. Eine davon heißt Methode, die andere Additionsmethode.

Standardform eines Systems aus zwei Gleichungen

Bei Standardform Die erste Gleichung hat die Form a1*x+b1*y=c1, die zweite Gleichung hat die Form a2*x+b2*y=c2 und so weiter. Im Fall von zwei Teilen des Systems sind beispielsweise a1, a2, b1, b2, c1, c2 einige numerische Koeffizienten, die in spezifischen Gleichungen dargestellt werden. x und y stellen wiederum Unbekannte dar, deren Werte bestimmt werden müssen. Die erforderlichen Werte verwandeln beide Gleichungen gleichzeitig in echte Gleichheiten.

Lösen des Systems mit der Additionsmethode

Um das System zu lösen, also die Werte von x und y zu finden, die sie in echte Gleichheiten umwandeln, müssen Sie mehrere einfache Schritte unternehmen. Die erste davon besteht darin, eine der beiden Gleichungen so umzuwandeln, dass die numerischen Koeffizienten für die Variable x oder y in beiden Gleichungen die gleiche Größe, aber unterschiedliche Vorzeichen haben.

Angenommen, es liegt ein System vor, das aus zwei Gleichungen besteht. Der erste davon hat die Form 2x+4y=8, der zweite die Form 6x+2y=6. Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die zweite Gleichung mit einem Koeffizienten von -2 zu multiplizieren, was zu der Form -12x-4y=-12 führt. Die richtige Entscheidung Der Koeffizient ist eine der Schlüsselaufgaben bei der Lösung eines Systems durch Addition, da er den gesamten weiteren Ablauf des Verfahrens zum Auffinden von Unbekannten bestimmt.

Nun müssen die beiden Gleichungen des Systems addiert werden. Offensichtlich führt die gegenseitige Zerstörung von Variablen mit Koeffizienten mit gleichem Wert, aber entgegengesetztem Vorzeichen zu der Form -10x=-4. Danach muss diese einfache Gleichung gelöst werden, aus der eindeutig folgt, dass x = 0,4.

Der letzte Schritt im Lösungsprozess besteht darin, den gefundenen Wert einer der Variablen durch eine der im System verfügbaren Originalgleichungen zu ersetzen. Wenn Sie beispielsweise x=0,4 in die erste Gleichung einsetzen, erhalten Sie den Ausdruck 2*0,4+4y=8, woraus y=1,8 resultiert. Somit sind x=0,4 und y=1,8 die Wurzeln des Beispielsystems.

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln korrekt gefunden wurden, ist es sinnvoll, die gefundenen Werte durch Einsetzen in die zweite Gleichung des Systems zu überprüfen. In diesem Fall erhalten wir beispielsweise eine Gleichheit der Form 0,4*6+1,8*2=6, was korrekt ist.

Video zum Thema

Lassen Sie uns zwei Arten von Lösungen für Gleichungssysteme analysieren:

1. Lösen des Systems mit der Substitutionsmethode.
2. Lösen des Systems durch termweise Addition (Subtraktion) der Systemgleichungen.

Um das Gleichungssystem zu lösen durch Substitutionsmethode Sie müssen einem einfachen Algorithmus folgen:
1. Express. Aus jeder Gleichung drücken wir eine Variable aus.
2. Ersatz. Wir setzen den resultierenden Wert anstelle der ausgedrückten Variablen in eine andere Gleichung ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen. Wir finden eine Lösung für das System.

Lösen System durch Term-für-Term-Additions- (Subtraktions-)Methode müssen:
1. Wählen Sie eine Variable aus, für die wir identische Koeffizienten erstellen.
2. Wir addieren oder subtrahieren Gleichungen, was zu einer Gleichung mit einer Variablen führt.
3. Lösen Sie die resultierende lineare Gleichung. Wir finden eine Lösung für das System.

Die Lösung des Systems sind die Schnittpunkte der Funktionsgraphen.

Betrachten wir die Lösung von Systemen anhand von Beispielen im Detail.

Beispiel 1:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen

Lösen eines Gleichungssystems mit der Substitutionsmethode

2x+5y=1 (1 Gleichung)
x-10y=3 (2. Gleichung)

1. Express
Es ist ersichtlich, dass es in der zweiten Gleichung eine Variable x mit einem Koeffizienten von 1 gibt, was bedeutet, dass es am einfachsten ist, die Variable x aus der zweiten Gleichung auszudrücken.
x=3+10y

2. Nachdem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir 3+10y in der ersten Gleichung anstelle der Variablen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Lösen Sie die resultierende Gleichung mit einer Variablen.
2(3+10y)+5y=1 (öffnen Sie die Klammern)
6+20J+5J=1
25 Jahre = 1–6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Die Lösung des Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der Graphen, daher müssen wir x und y finden, weil der Schnittpunkt aus x und y besteht. Suchen wir x, in dem ersten Punkt, an dem wir es ausgedrückt haben, ersetzen wir y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Es ist üblich, Punkte zu schreiben, an erster Stelle schreiben wir die Variable x und an zweiter Stelle die Variable y.
Antwort: (1; -0,2)

Beispiel #2:

Lassen Sie uns das Problem mit der Methode der Term-für-Term-Addition (Subtraktion) lösen.

Lösen eines Gleichungssystems mit der Additionsmethode

3x-2y=1 (1 Gleichung)
2x-3y=-10 (2. Gleichung)

1. Wir wählen eine Variable, sagen wir, wir wählen x. In der ersten Gleichung hat die Variable x einen Koeffizienten von 3, in der zweiten - 2. Wir müssen die Koeffizienten gleich machen, dafür haben wir das Recht, die Gleichungen zu multiplizieren oder durch eine beliebige Zahl zu dividieren. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3 und erhalten einen Gesamtkoeffizienten von 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Subtrahieren Sie die zweite von der ersten Gleichung, um die Variable x zu entfernen. Lösen Sie die lineare Gleichung.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finden Sie x. Wir setzen das gefundene y in eine der Gleichungen ein, sagen wir in die erste Gleichung.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Der Schnittpunkt ist x=4,6; y=6,4
Antwort: (4.6; 6.4)

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Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen Gleichungen (nicht unbedingt linear) mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Absatz verwendet, als das Problem von zweistellige Zahl führte zu einem mathematischen Modell, das ein Gleichungssystem ist. Dieses Gleichungssystem haben wir oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Ein Algorithmus zur Verwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Ersetzen Sie nacheinander jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y), die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Setze jeden der gefundenen Werte von y nacheinander in die Formel x = 5 - 3 ein. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen, ebenso wie die Substitutionsmethode, aus dem Algebrakurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt wurde. Erinnern wir uns anhand des folgenden Beispiels an das Wesentliche der Methode.

Beispiel 2. Gleichungssystem lösen

Lassen Sie uns alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 multiplizieren und die zweite Gleichung unverändert lassen:
Subtrahieren Sie die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen des ursprünglichen Systems wurde eine Gleichung erhalten, die einfacher war als die erste und zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede beliebige Gleichung eines gegebenen Systems zu ersetzen, beispielsweise die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann mit der Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir. Wenn wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems einsetzen, erhalten wir

Es müssen noch die gefundenen Werte von x in die Formel eingesetzt werden

Wenn x = 2 dann

Daher haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Methode zur Einführung neuer Variablen

Im Algebrakurs der 8. Klasse haben Sie die Methode zur Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen kennengelernt. Der Kern dieser Methode zur Lösung von Gleichungssystemen ist derselbe, aus technischer Sicht gibt es jedoch einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen diskutieren werden.

Beispiel 3. Gleichungssystem lösen

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen. Dann kann die erste Gleichung des Systems in eine weitere umgeschrieben werden in einfacher Form: Lösen wir diese Gleichung für die Variable t:

Beide Werte erfüllen die Bedingung und sind daher Wurzeln rationale Gleichung mit Variable t. Aber das bedeutet entweder, dass x = 2y ist, oder
Mit der Methode der Einführung einer neuen Variablen gelang es uns also, die erste Gleichung des Systems, die recht komplex aussah, in zwei einfachere Gleichungen zu „schichten“:

x = 2 y; y - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann empfing jeder der beiden einfache Gleichungen müssen einzeln in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 = 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnern. Mit anderen Worten besteht das Problem darin, zwei Gleichungssysteme zu lösen:

Wir müssen Lösungen für das erste System und das zweite System finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort einbeziehen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Nutzen wir die Substitutionsmethode, zumal hier alles dafür bereit ist: Setzen wir den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Wir bekommen

Da x = 2y ist, finden wir jeweils x 1 = 2, x 2 = 2. Somit erhält man zwei Lösungen des gegebenen Systems: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Verwenden wir erneut die Substitutionsmethode: Ersetzen Sie den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Wir bekommen

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher müssen nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort einbezogen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4. Gleichungssystem lösen

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Dann sollten wir das berücksichtigen

Dadurch können Sie das gegebene System in einer viel einfacheren Form umschreiben, jedoch unter Berücksichtigung der neuen Variablen a und b:

Da a = 1 ist, ergibt sich aus der Gleichung a + 6 = 2: 1 + 6 = 2; 6=1. Für die Variablen a und b haben wir also eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir ein Gleichungssystem

Wenden wir die Methode der algebraischen Addition an, um dieses System zu lösen:

Seitdem ergibt sich aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit haben wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Absatz mit einer kurzen, aber ziemlich ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits einige Erfahrungen im Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt: linear, quadratisch, rational, irrational. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, schrittweise von einer Gleichung zu einer anderen überzugehen, die einfacher, aber der gegebenen gleichwertig ist. Im vorherigen Absatz haben wir das Konzept der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind unter dem Gesichtspunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten: Mit diesen Methoden ersetzen wir ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System äquivalentes System.

Grafische Methode zur Lösung von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, wie man Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise wie die Methode der Substitution, der algebraischen Addition und der Einführung neuer Variablen löst. Erinnern wir uns nun an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Das heißt, wiederholen wir, was Sie wissen grafische Methode Lösungen.

Methode zur Lösung von Gleichungssystemen grafisch stellt die Konstruktion eines Graphen für jede der spezifischen Gleichungen dar, die in einem bestimmten System enthalten sind und sich in derselben Koordinatenebene befinden, sowie wo es notwendig ist, die Schnittpunkte der Punkte dieser Graphen zu finden. Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte beachtet werden, dass es für ein grafisches Gleichungssystem häufig entweder eine einzige richtige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen oder überhaupt keine Lösungen gibt.

Schauen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Daher kann ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben, wenn sich die Linien, die die Graphen der Gleichungen des Systems darstellen, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem überhaupt keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems übereinstimmen, dann ermöglicht ein solches System, viele Lösungen zu finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mithilfe einer grafischen Methode an:

Zuerst erstellen wir einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, einen Graphen zu erstellen, der sich auf die zweite Gleichung bezieht.
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, die die Lösung des Gleichungssystems darstellen.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Wir erhalten ein Gleichungssystem, das gelöst werden muss:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Graphen dieser Gleichung: x2+y2=9.

Es ist jedoch zu beachten, dass dieser Graph der Gleichungen ein Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung ist und sein Radius gleich drei ist.

2. Unser nächster Schritt besteht darin, eine Gleichung wie folgt grafisch darzustellen: y = x – 3.

In diesem Fall müssen wir eine Gerade konstruieren und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis in zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die Zahlen (3;0) und (0;−3), die man erhält, wenn die Gerade den Kreis schneidet, sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort auf diese Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).