Lösen Sie eine Gleichung mit einem Logarithmus. Logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen. I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die letzten Videos einer langen Reihe von Lektionen zum Lösen logarithmischer Gleichungen. Dieses Mal werden wir hauptsächlich mit der ODZ des Logarithmus arbeiten – gerade aufgrund der falschen Berücksichtigung (oder sogar Ignorierung) des Definitionsbereichs entstehen die meisten Fehler bei der Lösung solcher Probleme.

In dieser kurzen Videolektion beschäftigen wir uns mit der Verwendung von Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen und befassen uns auch mit gebrochenen rationalen Gleichungen, mit denen viele Schüler ebenfalls Probleme haben.

Worüber werden wir reden? Die Hauptformel, die ich verstehen möchte, sieht folgendermaßen aus:

log a (f g ) = log a f + log a g

Dies ist ein Standardübergang vom Produkt zur Summe der Logarithmen und zurück. Sie kennen diese Formel wahrscheinlich von Anfang an, als Sie Logarithmen studierten. Allerdings gibt es einen Haken.

Solange die Variablen a, f und g gewöhnliche Zahlen sind, treten keine Probleme auf. Diese Formel funktioniert großartig.

Sobald jedoch Funktionen anstelle von f und g auftreten, entsteht das Problem der Erweiterung oder Einengung des Definitionsbereichs, je nachdem, in welche Richtung transformiert werden soll. Urteilen Sie selbst: Im links geschriebenen Logarithmus ist der Definitionsbereich wie folgt:

fg > 0

Aber in der rechts geschriebenen Menge ist der Definitionsbereich schon etwas anders:

f > 0

g > 0

Diese Anforderungen sind strenger als die ursprünglichen. Im ersten Fall geben wir uns mit Option f zufrieden< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 wird ausgeführt).

Beim Übergang von der linken zur rechten Konstruktion kommt es also zu einer Einengung des Definitionsbereichs. Wenn wir zunächst eine Summe hatten und sie in die Form eines Produkts umschreiben, dann erweitert sich der Definitionsbereich.

Mit anderen Worten: Im ersten Fall könnten wir Wurzeln verlieren und im zweiten Fall könnten wir zusätzliche Wurzeln gewinnen. Dies muss bei der Lösung reeller logarithmischer Gleichungen berücksichtigt werden.

Also die erste Aufgabe:

[Bildunterschrift]

Links sehen wir die Summe der Logarithmen mit derselben Basis. Daher können diese Logarithmen addiert werden:

[Bildunterschrift]

Wie Sie sehen können, haben wir rechts die Null mit der Formel ersetzt:

a = log b b a

Stellen wir unsere Gleichung noch etwas um:

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung; wir können das Logarithmuszeichen streichen und die Argumente gleichsetzen:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Bitte beachten Sie: Woher kommt das Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Wurzel eines exakten Quadrats gleich dem Modul ist:

[Bildunterschrift]

Dann lösen wir die klassische Gleichung mit Modul:

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Hier sind zwei Kandidatenantworten. Sind sie eine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung? Auf keinen Fall!

Wir haben kein Recht, alles einfach so stehen zu lassen und die Antwort aufzuschreiben. Schauen Sie sich den Schritt an, in dem wir die Summe der Logarithmen durch einen Logarithmus des Produkts der Argumente ersetzen. Das Problem besteht darin, dass wir in den ursprünglichen Ausdrücken Funktionen haben. Daher sollten Sie Folgendes benötigen:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Als wir das Produkt transformierten und ein exaktes Quadrat erhielten, änderten sich die Anforderungen:

(x − 5) 2 > 0

Wann ist diese Voraussetzung erfüllt? Ja, fast immer! Außer für den Fall, dass x − 5 = 0. Das heißt Die Ungleichung wird auf einen punktierten Punkt reduziert:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Wie Sie sehen, hat sich der Definitionsbereich erweitert, worüber wir gleich zu Beginn der Lektion gesprochen haben. Infolgedessen können zusätzliche Wurzeln entstehen.

Wie können Sie verhindern, dass diese zusätzlichen Wurzeln entstehen? Es ist ganz einfach: Wir schauen uns unsere erhaltenen Wurzeln an und vergleichen sie mit dem Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung. Lass uns zählen:

x (x − 5) > 0

Wir werden mit der Intervallmethode lösen:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Die resultierenden Zahlen markieren wir auf der Linie. Es fehlen alle Punkte, da die Ungleichung streng ist. Nehmen Sie eine beliebige Zahl größer als 5 und ersetzen Sie:

[Bildunterschrift]

Uns interessieren die Intervalle (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Wenn wir unsere Wurzeln auf dem Segment markieren, werden wir sehen, dass x = 4 nicht zu uns passt, weil diese Wurzel außerhalb des Definitionsbereichs der ursprünglichen logarithmischen Gleichung liegt.

Wir kehren zur Gesamtheit zurück, streichen die Wurzel x = 4 durch und schreiben die Antwort auf: x = 6. Dies ist die endgültige Antwort auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung. Das war's, Problem gelöst.

Kommen wir zur zweiten logarithmischen Gleichung:

[Bildunterschrift]

Lass es uns lösen. Beachten Sie, dass der erste Term ein Bruch ist und der zweite derselbe Bruch ist, jedoch invertiert. Haben Sie keine Angst vor dem Ausdruck lgx – es ist nur ein dezimaler Logarithmus, wir können ihn schreiben:

lgx = log 10 x

Da wir zwei umgekehrte Brüche haben, schlage ich vor, eine neue Variable einzuführen:

[Bildunterschrift]

Daher kann unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Wie Sie sehen, ist der Zähler des Bruchs ein exaktes Quadrat. Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler vorhanden ist gleich Null, und der Nenner ist von Null verschieden:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Lösen wir die erste Gleichung:

t − 1 = 0;

t = 1.

Dieser Wert erfüllt die zweite Anforderung. Daher können wir sagen, dass wir unsere Gleichung vollständig gelöst haben, allerdings nur in Bezug auf die Variable t. Erinnern wir uns nun daran, was t ist:

[Bildunterschrift]

Wir haben das Verhältnis:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

Wir bringen diese Gleichung in ihre kanonische Form:

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Als Ergebnis erhielten wir eine einzelne Wurzel, die theoretisch die Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und schreiben Sie den Definitionsbereich der ursprünglichen Gleichung aus:

[Bildunterschrift]

Daher erfüllt unsere Wurzel alle Anforderungen. Wir haben eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung gefunden. Antwort: x = 0,1. Das Problem ist behoben.

In der heutigen Lektion gibt es nur einen wichtigen Punkt: Wenn Sie die Formel für den Übergang von einem Produkt zu einer Summe und zurück verwenden, müssen Sie unbedingt berücksichtigen, dass der Definitionsbereich je nach Richtung des Übergangs enger oder erweitert werden kann.

Wie kann man verstehen, was passiert: Kontraktion oder Expansion? Sehr einfach. Wenn die Funktionen früher zusammen waren, jetzt aber getrennt sind, hat sich der Definitionsbereich eingeengt (weil es mehr Anforderungen gibt). Standen die Funktionen zunächst getrennt und nun zusammen, so erweitert sich der Definitionsbereich (an das Produkt werden weniger Anforderungen gestellt als an einzelne Faktoren).

Unter Berücksichtigung dieser Bemerkung möchte ich anmerken, dass die zweite logarithmische Gleichung diese Transformationen überhaupt nicht erfordert, das heißt, wir addieren oder multiplizieren die Argumente nirgendwo. An dieser Stelle möchte ich Sie jedoch auf eine weitere wunderbare Technik aufmerksam machen, die die Lösung deutlich vereinfachen kann. Es geht darum, eine Variable zu ersetzen.

Bedenken Sie jedoch, dass uns keine Ersetzungen aus dem Definitionsbereich befreien. Deshalb waren wir nicht faul, nachdem wir alle Wurzeln gefunden hatten, und kehrten zur ursprünglichen Gleichung zurück, um ihre ODZ zu finden.

Beim Ersetzen einer Variablen tritt häufig ein ärgerlicher Fehler auf, wenn die Schüler den Wert von t finden und denken, dass die Lösung vollständig ist. Auf keinen Fall!

Sobald Sie den Wert von t gefunden haben, müssen Sie zur ursprünglichen Gleichung zurückkehren und sehen, was genau wir mit diesem Buchstaben gemeint haben. Infolgedessen müssen wir eine weitere Gleichung lösen, die jedoch viel einfacher sein wird als die ursprüngliche.

Genau das ist der Sinn der Einführung einer neuen Variable. Wir teilen die ursprüngliche Gleichung in zwei Zwischengleichungen auf, von denen jede eine viel einfachere Lösung hat.

So lösen Sie „verschachtelte“ logarithmische Gleichungen

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen Logarithmus steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen.

Heute beschäftigen wir uns weiterhin mit logarithmischen Gleichungen und analysieren Konstruktionen, bei denen ein Logarithmus im Vorzeichen eines anderen steht. Wir werden beide Gleichungen mithilfe der kanonischen Form lösen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zur Lösung einer solchen Gleichung die folgenden Schritte ausführen, wenn wir die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b haben. Zunächst müssen wir die Zahl b ersetzen:

b = log a a b

Hinweis: a b ist ein Argument. Ebenso ist in der ursprünglichen Gleichung das Argument die Funktion f(x). Dann schreiben wir die Gleichung um und erhalten diese Konstruktion:

log a f (x) = log a a b

Dann können wir den dritten Schritt ausführen – das Logarithmuszeichen entfernen und einfach schreiben:

f (x) = a b

Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung. In diesem Fall werden der Funktion f (x) keine Einschränkungen auferlegt. An seiner Stelle kann es beispielsweise auch sein logarithmische Funktion. Und dann erhalten wir wieder eine logarithmische Gleichung, die wir wiederum auf ihre einfachste Form reduzieren und durch die kanonische Form lösen.

Aber genug der Texte. Lassen Sie uns das eigentliche Problem lösen. Also, Aufgabe Nummer 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

Wie Sie sehen, haben wir eine einfache logarithmische Gleichung. Die Rolle von f (x) ist die Konstruktion 1 + 3 log 2 x, und die Rolle der Zahl b ist die Zahl 2 (die Rolle von a wird auch von zwei gespielt). Schreiben wir diese beiden wie folgt um:

Es ist wichtig zu verstehen, dass die ersten beiden Zweier von der Basis des Logarithmus stammen, d. h. wenn in der ursprünglichen Gleichung 5 wäre, dann würden wir 2 = log 5 · 5 · 2 erhalten. Im Allgemeinen hängt die Basis ausschließlich vom Logarithmus ab, der ursprünglich in der Aufgabe angegeben wurde. Und in unserem Fall ist das die Nummer 2.

Also schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um und berücksichtigen dabei die Tatsache, dass die beiden auf der rechten Seite tatsächlich auch ein Logarithmus sind. Wir bekommen:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Fahren wir mit dem letzten Schritt unseres Plans fort – der Abschaffung der kanonischen Form. Man könnte sagen, wir streichen einfach die Protokollzeichen durch. Aus mathematischer Sicht ist es jedoch unmöglich, „Protokoll durchzustreichen“ – richtiger wäre es zu sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

1 + 3 log 2 x = 4

Von hier aus können wir leicht 3 Logs 2 x finden:

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Wir haben wieder die einfachste logarithmische Gleichung erhalten, bringen wir sie zurück in die kanonische Form. Dazu müssen wir folgende Änderungen vornehmen:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Warum steht an der Basis eine Zwei? Denn in unserer kanonischen Gleichung links gibt es einen Logarithmus genau zur Basis 2. Wir schreiben das Problem unter Berücksichtigung dieser Tatsache um:

log 2 x = log 2 2

Auch hier verzichten wir auf das Logarithmuszeichen, d. h. wir setzen die Argumente einfach gleich. Wir haben das Recht dazu, weil die Grundlagen gleich sind und weder rechts noch links weitere zusätzliche Aktionen durchgeführt wurden:

Das ist alles! Das Problem ist behoben. Wir haben eine Lösung für die logarithmische Gleichung gefunden.

Beachten Sie! Obwohl die Variable x im Argument vorkommt (d. h. es gibt Anforderungen für den Definitionsbereich), werden wir keine zusätzlichen Anforderungen stellen.

Wie ich oben sagte, ist diese Prüfung überflüssig, wenn die Variable in nur einem Argument von nur einem Logarithmus vorkommt. In unserem Fall erscheint x eigentlich nur im Argument und nur unter einem Log-Zeichen. Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich.

Wenn Sie dieser Methode jedoch nicht vertrauen, können Sie leicht überprüfen, ob x = 2 tatsächlich eine Wurzel ist. Es reicht aus, diese Zahl in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen.

Kommen wir zur zweiten Gleichung, sie ist etwas interessanter:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Wenn wir den Ausdruck innerhalb des großen Logarithmus mit der Funktion f (x) bezeichnen, erhalten wir die einfachste logarithmische Gleichung, mit der wir die heutige Videolektion begonnen haben. Daher können wir die kanonische Form anwenden, für die wir die Einheit in der Form log 2 2 1 = log 2 2 darstellen müssen.

Schreiben wir unsere große Gleichung neu:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Gehen wir vom Vorzeichen des Logarithmus weg und setzen wir die Argumente gleich. Wir haben das Recht dazu, denn sowohl links als auch rechts sind die Grundlagen gleich. Beachten Sie außerdem, dass log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Vor uns liegt wieder die einfachste logarithmische Gleichung der Form log a f (x) = b. Kommen wir zur kanonischen Form, das heißt, wir stellen Null in der Form log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 dar.

Wir schreiben unsere Gleichung um und entfernen das Protokollzeichen, indem wir die Argumente gleichsetzen:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Auch hier erhielten wir umgehend eine Antwort. Es sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da in der Originalgleichung nur ein Logarithmus die Funktion als Argument enthält.

Daher sind keine zusätzlichen Kontrollen erforderlich. Wir können mit Sicherheit sagen, dass x = 1 die einzige Wurzel dieser Gleichung ist.

Aber wenn es im zweiten Logarithmus eine Funktion von x statt vier gäbe (oder 2x nicht im Argument, sondern in der Basis wäre), dann wäre es notwendig, den Definitionsbereich zu überprüfen. Andernfalls besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf zusätzliche Wurzeln stoßen.

Woher kommen diese zusätzlichen Wurzeln? Dieser Punkt muss sehr klar verstanden werden. Schauen Sie sich die Originalgleichungen an: Überall steht die Funktion x unter dem Logarithmuszeichen. Da wir also log 2 x notiert haben, setzen wir automatisch die Anforderung x > 0. Ansonsten macht dieser Eintrag einfach keinen Sinn.

Wenn wir jedoch die logarithmische Gleichung lösen, entfernen wir alle Logarithmuszeichen und erhalten einfache Konstruktionen. Hier gibt es keine Einschränkungen, da die lineare Funktion für jeden Wert von x definiert ist.

Dieses Problem, wenn die endgültige Funktion überall und immer definiert ist, die ursprüngliche Funktion jedoch nicht überall und nicht immer, ist der Grund dafür, dass bei der Lösung logarithmischer Gleichungen sehr oft zusätzliche Wurzeln entstehen.

Aber ich wiederhole es noch einmal: Dies geschieht nur in einer Situation, in der die Funktion entweder in mehreren Logarithmen oder an der Basis eines davon liegt. Bei den Problemen, die wir heute betrachten, gibt es grundsätzlich keine Probleme mit der Erweiterung des Definitionsbereichs.

Fälle aus unterschiedlichen Gründen

Diese Lektion ist mehr gewidmet komplexe Strukturen. Logarithmen in heutigen Gleichungen lassen sich nicht mehr sofort lösen, sondern es müssen zunächst einige Transformationen durchgeführt werden.

Wir beginnen, logarithmische Gleichungen absolut zu lösen aus verschiedenen Gründen, die keine exakten Potenzen voneinander sind. Lassen Sie sich von solchen Problemen nicht abschrecken – sie sind nicht schwieriger zu lösen als die einfachsten Designs, die wir oben besprochen haben.

Aber bevor ich direkt zu den Problemen übergehe, möchte ich Sie an die Formel zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichungen in der kanonischen Form erinnern. Stellen Sie sich ein Problem wie dieses vor:

log a f (x) = b

Es ist wichtig, dass die Funktion f (x) nur eine Funktion ist und die Rolle der Zahlen a und b Zahlen sein sollte (ohne Variablen x). Natürlich werden wir uns gleich solche Fälle ansehen, in denen es anstelle der Variablen a und b Funktionen gibt, aber darum geht es jetzt nicht.

Wie wir uns erinnern, muss die Zahl b durch einen Logarithmus zur gleichen Basis a, die links steht, ersetzt werden. Das geht ganz einfach:

b = log a a b

Natürlich bedeuten die Wörter „beliebige Zahl b“ und „beliebige Zahl a“ Werte, die dem Definitionsbereich genügen. Insbesondere in dieser Gleichung wir reden über nur die Basis a > 0 und a ≠ 1.

Diese Anforderung ist jedoch automatisch erfüllt, da das ursprüngliche Problem bereits einen Logarithmus zur Basis von a enthält – dieser wird sicherlich größer als 0 und ungleich 1 sein. Daher lösen wir weiterhin die logarithmische Gleichung:

log a f (x) = log a a b

Eine solche Notation nennt man kanonische Form. Seine Bequemlichkeit liegt darin, dass wir das Protokollzeichen sofort loswerden können, indem wir die Argumente gleichsetzen:

f (x) = a b

Mit dieser Technik werden wir nun logarithmische Gleichungen lösen variable Basis. So lass uns gehen!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Was weiter? Jemand wird jetzt sagen, dass Sie den richtigen Logarithmus berechnen oder ihn auf die gleiche Basis reduzieren müssen oder etwas anderes. Und tatsächlich müssen wir jetzt beide Basen auf die gleiche Form bringen – entweder 2 oder 0,5. Aber lernen wir ein für alle Mal die folgende Regel:

Wenn eine logarithmische Gleichung enthält Dezimalstellen, stellen Sie sicher, dass Sie diese Brüche von der Dezimalschreibweise in gewöhnliche umwandeln. Diese Transformation kann die Lösung erheblich vereinfachen.

Ein solcher Übergang muss sofort durchgeführt werden, noch bevor irgendwelche Aktionen oder Transformationen durchgeführt werden. Werfen wir einen Blick darauf:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

Was bringt uns eine solche Aufzeichnung? Wir können 1/2 und 1/8 als Potenzen mit negativem Exponenten darstellen:

[Bildunterschrift]

Vor uns liegt die kanonische Form. Wir setzen die Argumente gleich und erhalten den Klassiker quadratische Gleichung:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, die mit den Formeln von Vieta leicht gelöst werden kann. In der High School sollten Sie ähnliche Darstellungen buchstäblich mündlich sehen:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Das ist alles! Die ursprüngliche logarithmische Gleichung wurde gelöst. Wir haben zwei Wurzeln.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es in diesem Fall nicht notwendig ist, den Definitionsbereich zu bestimmen, da die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vorhanden ist. Daher wird der Definitionsbereich automatisch durchgeführt.

Damit ist die erste Gleichung gelöst. Kommen wir zum zweiten:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Beachten Sie nun, dass das Argument des ersten Logarithmus auch als Potenz mit negativem Exponenten geschrieben werden kann: 1/2 = 2 −1. Dann können Sie die Potenzen auf beiden Seiten der Gleichung herausnehmen und alles durch −1 dividieren:

[Bildunterschrift]

Und jetzt haben wir sehr viel erreicht wichtiger Schritt beim Lösen einer logarithmischen Gleichung. Vielleicht hat jemand etwas nicht bemerkt, also lass es mich erklären.

Schauen Sie sich unsere Gleichung an: Sowohl links als auch rechts gibt es ein Logarithmuszeichen, aber links gibt es einen Logarithmus zur Basis 2 und rechts einen Logarithmus zur Basis 3. Drei ist keine ganzzahlige Potenz von zwei und umgekehrt kann man nicht schreiben, dass 2 in ganzzahligen Graden 3 ist.

Es handelt sich also um Logarithmen mit unterschiedlicher Basis, die nicht durch bloße Potenzbildung aufeinander reduziert werden können. Die einzige Möglichkeit, solche Probleme zu lösen, besteht darin, einen dieser Logarithmen loszuwerden. In diesem Fall überlegen wir uns da noch durchaus einfache Aufgaben, der Logarithmus auf der rechten Seite wurde einfach berechnet und wir erhielten die einfachste Gleichung – genau die, über die wir gleich zu Beginn der heutigen Lektion gesprochen haben.

Stellen wir die Zahl 2, die rechts steht, als log 2 2 2 = log 2 4 dar. Und dann entfernen wir das Logarithmuszeichen, woraufhin uns einfach eine quadratische Gleichung übrig bleibt:

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Wir haben eine gewöhnliche quadratische Gleichung vor uns, die jedoch nicht reduziert wird, da der Koeffizient von x 2 von Eins verschieden ist. Daher lösen wir es mit der Diskriminante:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

Das ist alles! Wir haben beide Wurzeln gefunden, was bedeutet, dass wir eine Lösung für die ursprüngliche logarithmische Gleichung erhalten haben. Tatsächlich kommt im ursprünglichen Problem die Funktion mit der Variablen x nur in einem Argument vor. Folglich sind keine zusätzlichen Überprüfungen des Definitionsbereichs erforderlich – beide Wurzeln, die wir gefunden haben, erfüllen sicherlich alle möglichen Einschränkungen.

Dies könnte das Ende der heutigen Videolektion sein, aber abschließend möchte ich noch einmal sagen: Stellen Sie sicher, dass Sie beim Lösen logarithmischer Gleichungen alle Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln. In den meisten Fällen vereinfacht dies ihre Lösung erheblich.

Selten, sehr selten, stoßen Sie auf Probleme, bei denen das Entfernen von Dezimalbrüchen die Berechnungen nur erschwert. Bei solchen Gleichungen ist jedoch in der Regel zunächst klar, dass auf Dezimalbrüche nicht verzichtet werden muss.

In den meisten anderen Fällen (insbesondere, wenn Sie gerade erst anfangen, das Lösen logarithmischer Gleichungen zu üben) können Sie die Dezimalzahlen einfach weglassen und sie in gewöhnliche Zahlen umwandeln. Denn die Praxis zeigt, dass Sie auf diese Weise die spätere Lösung und Berechnung deutlich vereinfachen.

Feinheiten und Tricks der Lösung

Heute wenden wir uns komplexeren Problemen zu und lösen eine logarithmische Gleichung, die nicht auf einer Zahl, sondern auf einer Funktion basiert.

Und selbst wenn diese Funktion linear ist, müssen kleine Änderungen am Lösungsschema vorgenommen werden, deren Bedeutung auf zusätzliche Anforderungen hinausläuft, die an den Definitionsbereich des Logarithmus gestellt werden.

Komplexe Aufgaben

Dieses Tutorial wird ziemlich lang sein. Darin werden wir zwei ziemlich schwerwiegende logarithmische Gleichungen analysieren, bei deren Lösung viele Schüler Fehler machen. Während meiner Tätigkeit als Mathe-Nachhilfelehrer bin ich ständig auf zwei Arten von Fehlern gestoßen:

1. Das Auftreten zusätzlicher Wurzeln aufgrund der Erweiterung des Definitionsbereichs von Logarithmen. Um solche beleidigenden Fehler zu vermeiden, überwachen Sie einfach jede Transformation sorgfältig.
2. Verlust der Wurzeln aufgrund der Tatsache, dass der Schüler vergessen hat, einige „subtile“ Fälle zu berücksichtigen – auf diese Situationen werden wir uns heute konzentrieren.

Das letzte Stunde, gewidmet logarithmischen Gleichungen. Es wird lange dauern, wir werden komplexe logarithmische Gleichungen analysieren. Machen Sie es sich bequem, machen Sie sich einen Tee und los geht's.

Die erste Gleichung sieht ziemlich normal aus:

log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)

Beachten wir sofort, dass beide Logarithmen invertierte Kopien voneinander sind. Erinnern wir uns an die wunderbare Formel:

log a b = 1/log b a

Diese Formel weist jedoch eine Reihe von Einschränkungen auf, die sich ergeben, wenn anstelle der Zahlen a und b Funktionen der Variablen x vorhanden sind:

b > 0

1 ≠ a > 0

Diese Anforderungen gelten für die Basis des Logarithmus. Andererseits muss in einem Bruch 1 ≠ a > 0 gelten, da nicht nur die Variable a im Argument des Logarithmus enthalten ist (daher a > 0), sondern der Logarithmus selbst im Nenner des Bruchs steht . Aber log b 1 = 0 und der Nenner muss ungleich Null sein, also a ≠ 1.

Die Einschränkungen für die Variable a bleiben also bestehen. Aber was passiert mit der Variablen b? Einerseits impliziert die Basis b > 0, andererseits ist die Variable b ≠ 1, da die Basis des Logarithmus von 1 verschieden sein muss. Insgesamt folgt aus der rechten Seite der Formel, dass 1 ≠ b > 0.

Aber hier liegt das Problem: Die zweite Voraussetzung (b ≠ 1) fehlt in der ersten Ungleichung, die sich mit dem Linkslogarithmus befasst. Mit anderen Worten, wenn wir diese Transformation durchführen, müssen wir separat prüfen, dass das Argument b von eins verschieden ist!

Schauen wir uns das also an. Wenden wir unsere Formel an:

[Bildunterschrift]

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Wir haben also bereits aus der ursprünglichen logarithmischen Gleichung abgeleitet, dass sowohl a als auch b größer als 0 und nicht gleich 1 sein müssen. Das bedeutet, dass wir die logarithmische Gleichung leicht umkehren können:

Ich schlage vor, eine neue Variable einzuführen:

log x + 1 (x − 0,5) = t

In diesem Fall wird unsere Konstruktion wie folgt umgeschrieben:

(t 2 − 1)/t = 0

Beachten Sie, dass wir im Zähler die Differenz der Quadrate haben. Wir zeigen die Differenz der Quadrate mithilfe der abgekürzten Multiplikationsformel auf:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Ein Bruch ist gleich Null, wenn sein Zähler Null und sein Nenner ungleich Null ist. Da der Zähler jedoch ein Produkt enthält, setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t ≠ 0.

Wie wir sehen, passen beide Werte der Variablen t zu uns. Damit endet die Lösung jedoch nicht, denn wir müssen nicht t, sondern den Wert von x finden. Wir kehren zum Logarithmus zurück und erhalten:

log x + 1 (x − 0,5) = 1;

log x + 1 (x − 0,5) = −1.

Lassen Sie uns jede dieser Gleichungen in kanonische Form bringen:

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1

Im ersten Fall verzichten wir auf das Logarithmuszeichen und setzen die Argumente gleich:

x − 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Eine solche Gleichung hat keine Wurzeln, daher hat auch die erste logarithmische Gleichung keine Wurzeln. Aber mit der zweiten Gleichung ist alles viel interessanter:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Wenn wir den Anteil auflösen, erhalten wir:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Ich möchte Sie daran erinnern, dass es beim Lösen logarithmischer Gleichungen viel bequemer ist, alle Dezimalbrüche als gewöhnliche Brüche zu verwenden. Schreiben wir unsere Gleichung also wie folgt um:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Wir haben die folgende quadratische Gleichung vor uns, sie kann leicht mit den Formeln von Vieta gelöst werden:

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1,5;

x 2 = 1.

Wir haben zwei Wurzeln – sie sind Kandidaten für die Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Um zu verstehen, welche Wurzeln tatsächlich in die Antwort einfließen, kehren wir zum ursprünglichen Problem zurück. Jetzt überprüfen wir jede unserer Wurzeln, um zu sehen, ob sie in den Definitionsbereich passt:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Diese Anforderungen kommen einer doppelten Ungleichung gleich:

1 ≠ x > 0,5

Von hier aus sehen wir sofort, dass die Wurzel x = −1,5 nicht zu uns passt, x = 1 aber ganz gut zu uns passt. Daher ist x = 1 die endgültige Lösung der logarithmischen Gleichung.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Log x 25 + Log 125 x 5 = Log 25 x 625

Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass alle Logarithmen unterschiedliche Grundlagen und unterschiedliche Argumente haben. Was tun mit solchen Strukturen? Beachten Sie zunächst, dass die Zahlen 25, 5 und 625 Fünferpotenzen sind:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Machen wir uns nun die wunderbare Eigenschaft des Logarithmus zunutze. Der Punkt ist, dass Sie Potenzen aus einem Argument in Form von Faktoren extrahieren können:

log a b n = n ∙ log a b

Auch für den Fall, dass b durch eine Funktion ersetzt wird, unterliegt diese Transformation Einschränkungen. Aber für uns ist b nur eine Zahl und es ergeben sich keine zusätzlichen Einschränkungen. Schreiben wir unsere Gleichung um:

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

Wir haben eine Gleichung mit drei Termen erhalten, die das Log-Zeichen enthalten. Darüber hinaus sind die Argumente aller drei Logarithmen gleich.

Es ist an der Zeit, die Logarithmen umzukehren, um sie auf die gleiche Basis zu bringen – 5. Da die Variable b eine Konstante ist, treten keine Änderungen im Definitionsbereich auf. Wir schreiben einfach um:

[Bildunterschrift]

Wie erwartet tauchten im Nenner die gleichen Logarithmen auf. Ich schlage vor, die Variable zu ersetzen:

log 5 x = t

In diesem Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

Schreiben wir den Zähler aus und öffnen die Klammern:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Kehren wir zu unserer Fraktion zurück. Der Zähler muss Null sein:

[Bildunterschrift]

Und der Nenner ist von Null verschieden:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Die letzten Anforderungen werden automatisch erfüllt, da sie alle an ganze Zahlen „gebunden“ sind und alle Antworten irrational sind.

Also, gebrochene rationale Gleichung gelöst, werden die Werte der Variablen t gefunden. Kehren wir zur Lösung der logarithmischen Gleichung zurück und erinnern uns daran, was t ist:

[Bildunterschrift]

Wir reduzieren diese Gleichung auf die kanonische Form und erhalten eine Zahl mit irrationalem Grad. Lassen Sie sich davon nicht verwirren – selbst solche Argumente können gleichgesetzt werden:

[Bildunterschrift]

Wir haben zwei Wurzeln. Genauer gesagt, zwei Kandidatenantworten – überprüfen wir sie auf Übereinstimmung mit dem Definitionsbereich. Da die Basis des Logarithmus die Variable x ist, benötigen wir Folgendes:

1 ≠ x > 0;

Mit dem gleichen Erfolg behaupten wir, dass x ≠ 1/125, sonst wird die Basis des zweiten Logarithmus zu Eins. Schließlich ist x ≠ 1/25 für den dritten Logarithmus.

Insgesamt haben wir vier Einschränkungen erhalten:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Die Frage ist nun: Erfüllen unsere Wurzeln diese Anforderungen? Natürlich befriedigen sie! Weil 5 hoch zu jeder Potenz größer als Null ist und die Anforderung x > 0 automatisch erfüllt ist.

Andererseits gilt: 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, was bedeutet, dass diese Einschränkungen für unsere Wurzeln (die, ich erinnere Sie daran, eine irrationale Zahl im Exponenten haben) sind auch zufrieden, und beide Antworten sind Lösungen für das Problem.

Wir haben also die endgültige Antwort. Wichtige Punkte Bei diesem Problem gibt es zwei:

1. Seien Sie vorsichtig, wenn Sie einen Logarithmus umdrehen, wenn Argument und Basis vertauscht sind. Solche Transformationen führen zu unnötigen Einschränkungen des Definitionsbereichs.
2. Haben Sie keine Angst, Logarithmen umzuwandeln: Sie können sie nicht nur umdrehen, sondern auch mit der Summenformel öffnen und im Allgemeinen mit allen Formeln ändern, die Sie beim Lösen studiert haben logarithmische Ausdrücke. Denken Sie jedoch immer daran: Manche Transformationen erweitern den Definitionsbereich, andere schränken ihn ein.

Logarithmische Gleichungen lösen. Teil 1.

Logarithmische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Vorzeichen des Logarithmus (insbesondere in der Basis des Logarithmus) enthalten ist.

Das einfachste logarithmische Gleichung hat die Form:

Lösen einer beliebigen logarithmischen Gleichung beinhaltet einen Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken im Vorzeichen von Logarithmen. Allerdings erweitert diese Aktion den Anwendungsbereich akzeptable Werte Gleichung und kann zum Auftreten von Fremdwurzeln führen. Um das Auftreten fremder Wurzeln zu vermeiden können Sie auf drei Arten vorgehen:

1. Machen Sie einen gleichwertigen Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem System einschließlich

je nachdem welche Ungleichung oder einfacher.

Wenn die Gleichung eine Unbekannte in der Basis des Logarithmus enthält:

dann gehen wir zum System:

2. Finden Sie separat den Bereich akzeptabler Werte der Gleichung, lösen Sie dann die Gleichung und prüfen Sie, ob die gefundenen Lösungen die Gleichung erfüllen.

3. Lösen Sie die Gleichung und dann überprüfen: Setzen Sie die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfen Sie, ob wir die richtige Gleichung erhalten.

Logarithmische Gleichung jeglicher Komplexität läuft letztendlich immer auf eine einfache logarithmische Gleichung hinaus.

Alle logarithmischen Gleichungen können in vier Typen unterteilt werden:

1 . Gleichungen, die nur Logarithmen der ersten Potenz enthalten. Mit Hilfe von Transformationen und Verwendung werden sie in die Form gebracht

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Lassen Sie uns die Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen gleichsetzen:

Überprüfen wir, ob unsere Wurzel der Gleichung Folgendes erfüllt:

Ja, es befriedigt.

Antwort: x=5

2 . Gleichungen, die Logarithmen mit anderen Potenzen als 1 enthalten (insbesondere im Nenner eines Bruchs). Solche Gleichungen können mit gelöst werden Einführung einer Variablenänderung.

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Finden wir die ODZ-Gleichung:

Die Gleichung enthält Logarithmen im Quadrat, sodass sie mithilfe einer Variablenänderung gelöst werden kann.

Wichtig! Bevor Sie einen Ersatz einführen, müssen Sie die Logarithmen, die Teil der Gleichung sind, unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen in „Bausteine“ „zerlegen“.

Beim „Auseinanderziehen“ von Logarithmen ist es wichtig, die Eigenschaften von Logarithmen sehr sorgfältig zu nutzen:

Darüber hinaus gibt es hier noch einen weiteren subtilen Punkt, und um einen häufigen Fehler zu vermeiden, verwenden wir eine Zwischengleichung: Wir schreiben den Grad des Logarithmus in dieser Form:

Ebenfalls,

Setzen wir die resultierenden Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir bekommen:

Jetzt sehen wir, dass das Unbekannte als Teil von in der Gleichung enthalten ist. Lassen Sie uns den Ersatz vorstellen: . Da sie jeden realen Wert annehmen kann, erlegen wir der Variablen keine Einschränkungen auf.

Beispiele:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Gleichungen:

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen, sollten Sie versuchen, sie in die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) umzuwandeln und dann den Übergang zu \(f(x) vorzunehmen )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Beispiel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Lösung: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Untersuchung:\(10>2\) – geeignet für DL Antwort:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sehr wichtig! Dieser Übergang ist nur möglich, wenn:

Sie haben für die ursprüngliche Gleichung geschrieben und prüfen am Ende, ob die gefundenen im DL enthalten sind. Geschieht dies nicht, können zusätzliche Wurzeln entstehen, was eine falsche Entscheidung bedeutet.

Die Zahl (oder der Ausdruck) links und rechts ist gleich;

Die Logarithmen links und rechts sind „rein“, d. h. es dürfen keine Multiplikationen, Divisionen etc. erfolgen. – nur einzelne Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

Beachten Sie, dass die Gleichungen 3 und 4 leicht gelöst werden können, indem die notwendigen Eigenschaften von Logarithmen angewendet werden.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Lösung :

		Schreiben wir die ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Links vor dem Logarithmus steht der Koeffizient, rechts die Summe der Logarithmen. Das stört uns. Verschieben wir die beiden gemäß der Eigenschaft zum Exponenten \(x\): \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Stellen wir die Summe der Logarithmen als einen Logarithmus gemäß der Eigenschaft dar: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Wir haben die Gleichung auf die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) reduziert und die ODZ aufgeschrieben, was bedeutet, dass wir zur Form \(f(x)) übergehen können. =g(x)\ ).
		Passiert . Wir lösen es und finden die Wurzeln.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Wir prüfen, ob die Wurzeln für ODZ geeignet sind. Dazu ersetzen wir in \(x>0\) anstelle von \(x\) \(5\) und \(-5\). Diese Operation kann mündlich durchgeführt werden.
\(5>0\), \(-5>0\)		Die erste Ungleichung ist wahr, die zweite nicht. Das bedeutet, dass \(5\) die Wurzel der Gleichung ist, \(-5\) jedoch nicht. Wir schreiben die Antwort auf.

Antwort : \(5\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Lösung :

		Schreiben wir die ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Eine typische Gleichung, die mit gelöst wird. Ersetzen Sie \(\log_2⁡x\) durch \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Wir bekamen das Übliche. Wir suchen nach seinen Wurzeln.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Einen umgekehrten Ersatz durchführen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Wir transformieren die rechten Seiten und stellen sie als Logarithmen dar: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) und \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Jetzt lauten unsere Gleichungen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) und wir können zu \(f(x)=g(x)\) übergehen.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Wir prüfen die Übereinstimmung der Wurzeln der ODZ. Setzen Sie dazu \(4\) und \(2\) anstelle von \(x\) in die Ungleichung \(x>0\) ein.
\(4>0\) \(2>0\)		Beide Ungleichungen sind wahr. Das bedeutet, dass sowohl \(4\) als auch \(2\) Wurzeln der Gleichung sind.

Antwort : \(4\); \(2\).

Heute lernen wir, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, bei denen keine vorläufigen Transformationen oder Auswahl von Wurzeln erforderlich sind. Aber wenn Sie lernen, solche Gleichungen zu lösen, wird es viel einfacher.

Die einfachste logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form log a f (x) = b, wobei a, b Zahlen sind (a > 0, a ≠ 1), f (x) eine bestimmte Funktion ist.

Ein charakteristisches Merkmal aller logarithmischen Gleichungen ist das Vorhandensein der Variablen x unter dem Logarithmuszeichen. Wenn dies die ursprünglich in der Aufgabe angegebene Gleichung ist, wird sie als die einfachste bezeichnet. Alle anderen logarithmischen Gleichungen werden durch spezielle Transformationen auf das Einfachste reduziert (siehe „Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen“). Allerdings müssen zahlreiche Feinheiten berücksichtigt werden: Es können zusätzliche Wurzeln entstehen, sodass komplexe logarithmische Gleichungen gesondert betrachtet werden.

Wie löst man solche Gleichungen? Es genügt, die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen durch einen Logarithmus mit der gleichen Basis wie links zu ersetzen. Dann können Sie das Vorzeichen des Logarithmus loswerden. Wir bekommen:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Bekommen gewöhnliche Gleichung. Seine Wurzeln sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung.

Abschluss machen

Oftmals werden logarithmische Gleichungen, die äußerlich komplex und bedrohlich wirken, buchstäblich in ein paar Zeilen gelöst, ohne dass sie beteiligt sind komplexe Formeln. Heute werden wir uns mit solchen Problemen befassen, bei denen Sie lediglich die Formel sorgfältig auf die kanonische Form reduzieren müssen und sich bei der Suche nach dem Definitionsbereich von Logarithmen nicht verwirren müssen.

Heute werden wir, wie Sie wahrscheinlich anhand des Titels erraten haben, logarithmische Gleichungen mithilfe von Formeln für den Übergang zur kanonischen Form lösen. Der wichtigste „Trick“ dieser Videolektion besteht darin, mit Graden zu arbeiten, oder besser gesagt, den Grad aus der Grundlage und dem Argument abzuleiten. Schauen wir uns die Regel an:

Ebenso können Sie den Grad aus der Basis ableiten:

Wie wir sehen können, erhalten wir, wenn wir den Grad aus dem Argument des Logarithmus entfernen, einfach einen zusätzlichen Faktor vor uns, und wenn wir den Grad aus der Basis entfernen, erhalten wir nicht nur einen Faktor, sondern einen invertierten Faktor. Daran muss man sich erinnern.

Zum Schluss noch das Interessanteste. Diese Formeln können kombiniert werden, dann erhalten wir:

Natürlich gibt es bei diesen Übergängen gewisse Fallstricke, die mit der möglichen Erweiterung des Definitionsbereichs oder umgekehrt mit einer Einengung des Definitionsbereichs verbunden sind. Urteile selbst:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Wenn im ersten Fall x eine beliebige Zahl ungleich 0 sein könnte, also die Anforderung x ≠ 0, dann geben wir uns im zweiten Fall nur mit x zufrieden, die nicht nur ungleich, sondern strikt größer als 0 sind, weil der Definitionsbereich von Die Definition des Logarithmus besagt, dass das Argument unbedingt größer als 0 sein muss. Deshalb möchte ich Sie an eine wunderbare Formel aus dem Algebrakurs der 8. bis 9. Klasse erinnern:

Das heißt, wir müssen unsere Formel wie folgt schreiben:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Dann kommt es zu keiner Einengung des Definitionsbereichs.

Im heutigen Video-Tutorial wird es jedoch keine Quadrate geben. Wenn Sie unsere Aufgaben betrachten, sehen Sie nur die Wurzeln. Daher werden wir diese Regel nicht anwenden, aber Sie müssen sie dennoch im Hinterkopf behalten, damit Sie sie im richtigen Moment sehen können quadratische Funktion in einem Argument oder einer Basis eines Logarithmus werden Sie sich diese Regel merken und alle Transformationen korrekt durchführen.

Die erste Gleichung lautet also:

Um dieses Problem zu lösen, schlage ich vor, jeden der in der Formel enthaltenen Begriffe sorgfältig zu prüfen.

Schreiben wir den ersten Term als Potenz mit rationalem Exponenten um:

Wir betrachten den zweiten Term: log 3 (1 − x). Hier muss man nichts tun, hier ist bereits alles umgestaltet.

Schließlich 0, 5. Wie ich in früheren Lektionen sagte, empfehle ich beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Formeln dringend, von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen überzugehen. Lass uns das machen:

0,5 = 5/10 = 1/2

Schreiben wir unsere ursprüngliche Formel unter Berücksichtigung der resultierenden Terme neu:

log 3 (1 − x ) = 1

Kommen wir nun zur kanonischen Form:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Wir entledigen uns des Logarithmuszeichens, indem wir die Argumente gleichsetzen:

1 − x = 3

−x = 2

x = −2

Das war's, wir haben die Gleichung gelöst. Gehen wir jedoch trotzdem auf Nummer sicher und finden Sie den Definitionsbereich. Gehen wir dazu zur ursprünglichen Formel zurück und sehen uns Folgendes an:

1 − x > 0

−x > −1

X< 1

Unsere Wurzel x = −2 erfüllt diese Anforderung, daher ist x = −2 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Jetzt haben wir eine strenge, klare Begründung erhalten. Das war's, Problem gelöst.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Schauen wir uns jeden Begriff einzeln an.

Schreiben wir den ersten auf:

Wir haben den ersten Begriff umgestaltet. Wir arbeiten mit dem zweiten Term:

Zum Schluss noch der letzte Term, der rechts vom Gleichheitszeichen steht:

Wir ersetzen die resultierenden Ausdrücke anstelle der Terme in der resultierenden Formel:

log 3 x = 1

Kommen wir zur kanonischen Form:

log 3 x = log 3 3

Wir entfernen das Logarithmuszeichen, setzen die Argumente gleich und erhalten:

x = 3

Um auf der sicheren Seite zu sein, kehren wir noch einmal zur ursprünglichen Gleichung zurück und werfen einen Blick darauf. In der ursprünglichen Formel ist die Variable x nur im Argument vorhanden, daher gilt

x > 0

Im zweiten Logarithmus liegt x unter der Wurzel, aber auch hier im Argument muss die Wurzel größer als 0 sein, d. h. der Wurzelausdruck muss größer als 0 sein. Wir betrachten unsere Wurzel x = 3. Offensichtlich ist es erfüllt diese Anforderung. Daher ist x = 3 eine Lösung der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Das war's, Problem gelöst.

Im heutigen Video-Tutorial gibt es zwei wichtige Punkte:

1) Haben Sie keine Angst davor, Logarithmen zu transformieren, und haben Sie insbesondere keine Angst davor, Potenzen aus dem Vorzeichen des Logarithmus zu entfernen. Beachten Sie dabei unsere Grundformel: Wenn Sie eine Potenz aus einem Argument entfernen, wird sie einfach ohne Änderungen herausgenommen als Multiplikator, und wenn eine Potenz von der Basis entfernt wird, wird diese Potenz invertiert.

2) Der zweite Punkt bezieht sich auf die kanonische Form selbst. Den Übergang zur kanonischen Form haben wir ganz am Ende der Transformation der logarithmischen Gleichungsformel vorgenommen. Ich möchte Sie an die folgende Formel erinnern:

a = log b b a

Mit dem Ausdruck „beliebige Zahl b“ meine ich natürlich diejenigen Zahlen, die die an die Basis des Logarithmus gestellten Anforderungen erfüllen, d.h.

1 ≠ b > 0

Für ein solches b und da wir die Basis bereits kennen, wird diese Anforderung automatisch erfüllt. Aber für solche b – alle, die diese Anforderung erfüllen – kann dieser Übergang durchgeführt werden, und wir erhalten eine kanonische Form, in der wir das Vorzeichen des Logarithmus entfernen können.

Erweiterung des Definitionsbereichs und zusätzlicher Wurzeln

Bei der Transformation logarithmischer Gleichungen kann es zu einer impliziten Erweiterung des Definitionsbereichs kommen. Oft merken Studierende dies gar nicht, was zu Fehlern und falschen Antworten führt.

Beginnen wir mit den einfachsten Designs. Die einfachste logarithmische Gleichung ist die folgende:

log a f (x) = b

Beachten Sie, dass x nur in einem Argument eines Logarithmus vorhanden ist. Wie lösen wir solche Gleichungen? Wir verwenden die kanonische Form. Stellen Sie sich dazu die Zahl b = log a a b vor und unsere Gleichung wird wie folgt umgeschrieben:

log a f (x) = log a a b

Dieser Eintrag wird als kanonische Form bezeichnet. Darauf sollten Sie jede logarithmische Gleichung reduzieren, die Ihnen nicht nur in der heutigen Lektion, sondern auch in jeder unabhängigen Arbeit und in Testarbeiten begegnet.

Wie man zur kanonischen Form gelangt und welche Techniken man verwendet, ist eine Frage der Übung. Das Wichtigste, was Sie verstehen sollten, ist, dass Sie das Problem als gelöst betrachten können, sobald Sie eine solche Aufzeichnung erhalten. Denn der nächste Schritt besteht darin, zu schreiben:

f (x) = a b

Mit anderen Worten: Wir verzichten auf das Logarithmuszeichen und setzen die Argumente einfach gleich.

Warum dieses ganze Gerede? Tatsache ist, dass die kanonische Form nicht nur auf die einfachsten Probleme anwendbar ist, sondern auch auf alle anderen. Insbesondere diejenigen, über die wir heute entscheiden werden. Werfen wir einen Blick darauf.

Erste Aufgabe:

Was ist das Problem mit dieser Gleichung? Tatsache ist, dass die Funktion in zwei Logarithmen gleichzeitig vorliegt. Das Problem lässt sich auf seine einfachste Form reduzieren, indem man einfach einen Logarithmus vom anderen subtrahiert. Bei der Definition des Bereichs treten jedoch Probleme auf: Es können zusätzliche Wurzeln auftreten. Verschieben wir also einfach einen der Logarithmen nach rechts:

Dieser Eintrag ähnelt viel mehr der kanonischen Form. Aber es gibt noch eine Nuance: In der kanonischen Form müssen die Argumente dieselben sein. Und links haben wir den Logarithmus zur Basis 3 und rechts den Logarithmus zur Basis 1/3. Er weiß, dass diese Stützpunkte auf die gleiche Zahl gebracht werden müssen. Erinnern wir uns zum Beispiel daran, was negative Kräfte sind:

Und dann verwenden wir den „−1“-Exponenten außerhalb von log als Multiplikator:

Bitte beachten Sie: Der Grad, der an der Basis stand, wird umgedreht und in einen Bruch umgewandelt. Wir haben eine fast kanonische Notation erhalten, indem wir verschiedene Basen entfernt haben, dafür aber den Faktor „−1“ auf der rechten Seite erhalten haben. Lassen Sie uns diesen Faktor in das Argument einbeziehen, indem wir ihn in eine Potenz umwandeln:

Nachdem wir die kanonische Form erhalten haben, streichen wir natürlich mutig das Vorzeichen des Logarithmus und setzen die Argumente gleich. Gleichzeitig möchte ich Sie daran erinnern, dass bei der Potenz „−1“ der Bruch einfach umgedreht wird – man erhält einen Anteil.

Nutzen wir die Grundeigenschaft der Proportionen und multiplizieren sie kreuzweise:

(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

x 2 − 10x + 16 = 0

Wir haben die obige quadratische Gleichung vor uns und lösen sie mit den Formeln von Vieta:

(x − 8)(x − 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Das ist alles. Glauben Sie, dass die Gleichung gelöst ist? Nein! Für eine solche Lösung erhalten wir 0 Punkte, da die ursprüngliche Gleichung zwei Logarithmen mit der Variablen x enthält. Daher ist es notwendig, den Definitionsbereich zu berücksichtigen.

Und hier beginnt der Spaß. Die meisten Studenten sind verwirrt: Was ist der Definitionsbereich eines Logarithmus? Natürlich müssen alle Argumente (wir haben zwei) größer als Null sein:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Jede dieser Ungleichungen muss gelöst, auf einer Geraden markiert, geschnitten und erst dann gesehen werden, welche Wurzeln im Schnittpunkt liegen.

Ich bin ehrlich: Diese Technik hat eine Daseinsberechtigung, sie ist zuverlässig und Sie erhalten die richtige Antwort, aber sie enthält zu viele unnötige Schritte. Gehen wir also unsere Lösung noch einmal durch und sehen: Wo genau müssen wir den Bereich anwenden? Mit anderen Worten: Sie müssen genau verstehen, wann genau zusätzliche Wurzeln erscheinen.

1. Ursprünglich hatten wir zwei Logarithmen. Dann haben wir einen davon nach rechts verschoben, was jedoch keinen Einfluss auf den Definitionsbereich hatte.
2. Dann entfernen wir die Potenz von der Basis, aber es gibt immer noch zwei Logarithmen, und in jedem von ihnen gibt es eine Variable x.
3. Schließlich streichen wir die Vorzeichen des Logarithmus durch und erhalten die klassische gebrochene rationale Gleichung.

Im letzten Schritt wird der Definitionsbereich erweitert! Sobald wir zu einer gebrochenrationalen Gleichung übergingen und die Logarithmuszeichen loswurden, änderten sich die Anforderungen an die Variable x dramatisch!

Folglich kann der Definitionsbereich nicht gleich zu Beginn der Lösung betrachtet werden, sondern erst im genannten Schritt – vor der direkten Gleichsetzung der Argumente.

Hier liegt die Chance zur Optimierung. Einerseits ist es erforderlich, dass beide Argumente größer als Null sind. Andererseits setzen wir diese Argumente weiter gleich. Wenn also mindestens einer davon positiv ist, dann wird auch der zweite positiv sein!

Es stellt sich also heraus, dass die Forderung, dass zwei Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen, übertrieben ist. Es reicht aus, nur einen dieser Brüche zu betrachten. Welcher? Die, die einfacher ist. Schauen wir uns zum Beispiel den rechten Bruch an:

(x − 5)/(2x − 1) > 0

Dies ist eine typische gebrochene rationale Ungleichung; wir lösen sie mit der Intervallmethode:

Wie platziere ich Schilder? Nehmen wir eine Zahl, die offensichtlich größer ist als alle unsere Wurzeln. Zum Beispiel 1 Milliarde. Und wir ersetzen seinen Bruchteil. Wir bekommen positive Zahl, d.h. Rechts von der Wurzel x = 5 steht ein Pluszeichen.

Dann wechseln sich die Zeichen ab, weil es nirgendwo Wurzeln gerader Mannigfaltigkeit gibt. Uns interessieren Intervalle, in denen die Funktion positiv ist. Daher ist x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Erinnern wir uns nun an die Antworten: x = 8 und x = 2. Streng genommen handelt es sich hierbei noch nicht um Antworten, sondern nur um Kandidaten für die Antwort. Welches gehört zur angegebenen Menge? Natürlich ist x = 8. Aber x = 2 passt uns vom Definitionsbereich her nicht.

Insgesamt lautet die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung x = 8. Jetzt haben wir eine kompetente, fundierte Lösung unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs.

Kommen wir zur zweiten Gleichung:

log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3

Ich möchte Sie daran erinnern, dass Sie, wenn die Gleichung einen Dezimalbruch enthält, diesen entfernen sollten. Mit anderen Worten, schreiben wir 0,5 als gemeinsamen Bruch um. Wir bemerken sofort, dass der Logarithmus, der diese Basis enthält, leicht zu berechnen ist:

Das ist ein sehr wichtiger Moment! Wenn wir sowohl in der Basis als auch im Argument Grade haben, können wir die Indikatoren dieser Grade mithilfe der Formel ableiten:

Kehren wir zu unserer ursprünglichen logarithmischen Gleichung zurück und schreiben sie neu:

log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)

Wir haben einen Entwurf erhalten, der der kanonischen Form sehr nahe kommt. Allerdings verwirren uns die Begriffe und das Minuszeichen rechts vom Gleichheitszeichen. Stellen wir eins als Logarithmus zur Basis 5 dar:

log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)

Subtrahieren Sie die Logarithmen rechts (in diesem Fall werden ihre Argumente geteilt):

log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)

Wunderbar. Also haben wir die kanonische Form! Wir streichen die Protokollzeichen durch und setzen die Argumente gleich:

(x − 9)/1 = 5/(x − 5)

Dies ist ein Verhältnis, das leicht durch Kreuzmultiplikation gelöst werden kann:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

x 2 − 9x − 5x + 45 = 5

x 2 − 14x + 40 = 0

Offensichtlich haben wir eine reduzierte quadratische Gleichung. Es lässt sich leicht mit den Formeln von Vieta lösen:

(x − 10)(x − 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Wir haben zwei Wurzeln. Dies sind jedoch keine endgültigen Antworten, sondern nur Kandidaten, da die logarithmische Gleichung auch eine Überprüfung des Definitionsbereichs erfordert.

Ich erinnere Sie daran: Es besteht keine Notwendigkeit zu suchen, wann jeden der Argumente wird größer als Null sein. Es genügt zu verlangen, dass ein Argument – ​​entweder x − 9 oder 5/(x − 5) – größer als Null ist. Betrachten Sie das erste Argument:

x − 9 > 0

x > 9

Offensichtlich erfüllt nur x = 10 diese Anforderung. Dies ist die endgültige Antwort. Das ganze Problem ist gelöst.

Noch einmal die Kerngedanken der heutigen Lektion:

1. Sobald die Variable x in mehreren Logarithmen auftritt, ist die Gleichung nicht mehr elementar und der Definitionsbereich muss für sie berechnet werden. Andernfalls können Sie problemlos zusätzliche Wurzeln in die Antwort schreiben.
2. Die Arbeit mit der Domäne selbst kann erheblich vereinfacht werden, wenn wir die Ungleichung nicht sofort, sondern genau in dem Moment ausschreiben, in dem wir die Protokollzeichen entfernen. Denn wenn die Argumente miteinander gleichgesetzt werden, reicht es aus zu verlangen, dass nur eines von ihnen größer als Null ist.

Natürlich entscheiden wir selbst, welches Argument wir zur Bildung einer Ungleichung verwenden, daher ist es logisch, das einfachste zu wählen. In der zweiten Gleichung haben wir beispielsweise das Argument (x − 9) gewählt - lineare Funktion, im Gegensatz zum Argument der gebrochenen rationalen Sekunde. Stimmen Sie zu, die Ungleichung x − 9 > 0 zu lösen ist viel einfacher als 5/(x − 5) > 0. Obwohl das Ergebnis das gleiche ist.

Diese Bemerkung vereinfacht die Suche nach ODZ erheblich, aber seien Sie vorsichtig: Sie können nur dann eine Ungleichung anstelle von zwei verwenden, wenn die Argumente präzise sind sind einander gleich!

Natürlich wird sich jetzt jemand fragen: Was passiert anders? Ja manchmal. Wenn wir beispielsweise im Schritt selbst zwei Argumente multiplizieren, die eine Variable enthalten, besteht die Gefahr, dass unnötige Wurzeln entstehen.

Urteilen Sie selbst: Zuerst muss jedes Argument größer als Null sein, aber nach der Multiplikation reicht es aus, dass ihr Produkt größer als Null ist. Infolgedessen wird der Fall übersehen, in dem jeder dieser Brüche negativ ist.

Wenn Sie also gerade erst anfangen, komplexe logarithmische Gleichungen zu verstehen, multiplizieren Sie auf keinen Fall Logarithmen, die die Variable x enthalten – dies führt zu oft zum Auftreten unnötiger Wurzeln. Es ist besser, einen zusätzlichen Schritt zu machen, einen Begriff auf die andere Seite zu verschieben und eine kanonische Form zu erstellen.

Nun, was zu tun ist, wenn Sie auf die Multiplikation solcher Logarithmen nicht verzichten können, besprechen wir in der nächsten Videolektion. :)

Noch einmal zu den Potenzen in der Gleichung

Heute werden wir ein ziemlich heikles Thema untersuchen, das logarithmische Gleichungen betrifft, oder genauer gesagt, die Entfernung von Potenzen aus den Argumenten und Basen von Logarithmen.

Ich würde sogar sagen, dass wir über die Entfernung gerader Potenzen sprechen werden, denn bei geraden Potenzen treten die meisten Schwierigkeiten bei der Lösung realer logarithmischer Gleichungen auf.

Beginnen wir mit der kanonischen Form. Nehmen wir an, wir haben eine Gleichung der Form log a f (x) = b. In diesem Fall schreiben wir die Zahl b mit der Formel b = log a a b um. Es stellt sich Folgendes heraus:

log a f (x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich:

f (x) = a b

Die vorletzte Formel wird kanonische Form genannt. Darauf versuchen sie, jede logarithmische Gleichung zu reduzieren, egal wie komplex und beängstigend sie auf den ersten Blick erscheinen mag.

Also lasst es uns versuchen. Beginnen wir mit der ersten Aufgabe:

Vorbemerkung: Wie ich bereits sagte, lassen sich alle Dezimalbrüche in einer logarithmischen Gleichung besser in gewöhnliche Brüche umwandeln:

0,5 = 5/10 = 1/2

Schreiben wir unsere Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache neu. Beachten Sie, dass sowohl 1/1000 als auch 100 Zehnerpotenzen sind, und dann nehmen wir Potenzen heraus, wo immer sie sind: aus Argumenten und sogar aus der Basis von Logarithmen:

Und hier haben viele Studierende eine Frage: „Woher kommt das Modul rechts?“ Warum also nicht einfach (x − 1) schreiben? Natürlich werden wir jetzt (x − 1) schreiben, aber die Berücksichtigung des Definitionsbereichs gibt uns das Recht auf eine solche Notation. Schließlich enthält ein anderer Logarithmus bereits (x − 1) und dieser Ausdruck muss größer als Null sein.

Aber wenn wir das Quadrat von der Basis des Logarithmus entfernen, müssen wir genau den Modul an der Basis belassen. Lassen Sie mich erklären, warum.

Tatsache ist, dass aus mathematischer Sicht ein Abschluss gleichbedeutend ist mit dem Wurzelziehen. Insbesondere wenn wir den Ausdruck (x − 1) 2 quadrieren, ziehen wir im Wesentlichen die zweite Wurzel. Aber die Quadratwurzel ist nichts anderes als ein Modul. genau Modul, denn selbst wenn der Ausdruck x − 1 negativ ist, wird das „Minus“ beim Quadratieren immer noch ausbrennen. Durch weiteres Extrahieren der Wurzel erhalten wir eine positive Zahl – ohne Minuspunkte.

Um beleidigende Fehler zu vermeiden, denken Sie im Allgemeinen ein für alle Mal daran:

Die Wurzel einer geraden Potenz einer Funktion, die auf die gleiche Potenz erhoben wird, ist nicht gleich der Funktion selbst, sondern ihrem Modul:

Kehren wir zu unserer logarithmischen Gleichung zurück. Als ich über das Modul sprach, argumentierte ich, dass wir es problemlos entfernen können. Es stimmt. Jetzt werde ich erklären, warum. Streng genommen mussten wir zwei Optionen in Betracht ziehen:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
2. x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Jede dieser Optionen müsste berücksichtigt werden. Aber es gibt einen Haken: Die Originalformel enthält bereits die Funktion (x − 1) ohne Modul. Und dem Definitionsbereich von Logarithmen folgend, haben wir das Recht, sofort zu schreiben, dass x − 1 > 0.

Diese Anforderung muss unabhängig von Modulen und anderen Transformationen erfüllt werden, die wir im Lösungsprozess durchführen. Daher macht es keinen Sinn, die zweite Option in Betracht zu ziehen – sie wird nie in Frage kommen. Selbst wenn wir bei der Lösung dieses Ungleichheitszweigs einige Zahlen erhalten, werden diese dennoch nicht in die endgültige Antwort einbezogen.

Jetzt sind wir buchstäblich einen Schritt von der kanonischen Form der logarithmischen Gleichung entfernt. Stellen wir uns die Einheit wie folgt dar:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Zusätzlich führen wir den Faktor −4, der rechts steht, in das Argument ein:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung. Wir werden das Logarithmuszeichen los:

10 −4 = x − 1

Da die Basis aber eine Funktion (und keine Primzahl) war, fordern wir zusätzlich, dass diese Funktion größer als Null und ungleich Eins ist. Das resultierende System wird sein:

Da die Anforderung x − 1 > 0 automatisch erfüllt ist (immerhin ist x − 1 = 10 −4), kann eine der Ungleichungen aus unserem System gelöscht werden. Die zweite Bedingung kann auch gestrichen werden, da x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Dies ist die einzige Wurzel, die automatisch alle Anforderungen des Definitionsbereichs des Logarithmus erfüllt (alle Anforderungen wurden jedoch eliminiert, da sie in den Bedingungen unseres Problems offensichtlich erfüllt waren).

Also die zweite Gleichung:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Wie unterscheidet sich diese Gleichung grundlegend von der vorherigen? Schon allein deshalb, weil die Basen der Logarithmen – 3x und 9x – nicht vorhanden sind natürliche Grade einander. Daher ist der Übergang, den wir in der vorherigen Lösung verwendet haben, nicht möglich.

Lasst uns wenigstens die Abschlüsse loswerden. In unserem Fall liegt der einzige Grad im zweiten Argument:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Das Modulzeichen kann jedoch entfernt werden, da die Variable x auch an der Basis liegt, d. h. x > 0 ⇒ |x| = x. Schreiben wir unsere logarithmische Gleichung um:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Wir haben Logarithmen erhalten, bei denen die Argumente gleich sind, aber die Basen unterschiedlich sind. Was macht man als nächstes? Hier gibt es viele Möglichkeiten, aber wir werden nur zwei davon betrachten, die am logischsten sind und vor allem schnelle und verständliche Techniken für die meisten Schüler sind.

Die erste Möglichkeit haben wir bereits in Betracht gezogen: Konvertieren Sie in jeder unklaren Situation Logarithmen mit variabler Basis in eine konstante Basis. Zum Beispiel zu einer Zwei. Die Übergangsformel ist einfach:

Natürlich sollte die Rolle der Variablen c eine normale Zahl sein: 1 ≠ c > 0. In unserem Fall sei c = 2. Jetzt haben wir eine gewöhnliche gebrochene rationale Gleichung vor uns. Wir sammeln alle Elemente auf der linken Seite:

Offensichtlich ist es besser, den Faktor log 2 x zu entfernen, da er sowohl im ersten als auch im zweiten Bruch vorhanden ist.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Wir unterteilen jedes Protokoll in zwei Begriffe:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichheit unter Berücksichtigung dieser Tatsachen neu schreiben:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Jetzt müssen Sie nur noch eine Zwei unter dem Vorzeichen des Logarithmus eingeben (daraus wird eine Potenz: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Vor uns liegt die klassische kanonische Form, wir entfernen das Logarithmuszeichen und erhalten:

Wie erwartet war diese Wurzel größer als Null. Es bleibt noch der Definitionsbereich zu prüfen. Schauen wir uns die Gründe an:

Aber die Wurzel x = 9 erfüllt diese Anforderungen. Daher ist es die endgültige Entscheidung.

Fazit von diese Entscheidung Ganz einfach: Lassen Sie sich von langen Layouts nicht einschüchtern! Es ist nur so, dass wir ganz am Anfang willkürlich eine neue Basis ausgewählt haben – und das hat den Prozess erheblich erschwert.

Doch dann stellt sich die Frage: Was ist die Grundlage? optimal? Darüber werde ich in der zweiten Methode sprechen.

Kehren wir zu unserer ursprünglichen Gleichung zurück:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Lassen Sie uns nun ein wenig nachdenken: Welche Zahl oder Funktion wäre die optimale Basis? Es ist klar, dass Die beste Option es wird c = x geben - was bereits in den Argumenten steht. In diesem Fall hat die Formel log a b = log c b /log c a die Form:

Mit anderen Worten: Der Ausdruck wird einfach umgekehrt. In diesem Fall tauschen Argument und Basis die Plätze.

Diese Formel ist sehr nützlich und wird sehr oft zur Lösung komplexer logarithmischer Gleichungen verwendet. Bei der Verwendung dieser Formel gibt es jedoch eine sehr ernste Gefahr. Wenn wir die Variable x anstelle der Basis einsetzen, werden ihr Einschränkungen auferlegt, die bisher nicht beachtet wurden:

In der ursprünglichen Gleichung gab es keine solche Einschränkung. Deshalb sollten wir den Fall x = 1 separat prüfen. Setzen Sie diesen Wert in unsere Gleichung ein:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Wir erhalten die richtige numerische Gleichheit. Daher ist x = 1 eine Wurzel. Wir haben in der vorherigen Methode ganz am Anfang der Lösung genau die gleiche Wurzel gefunden.

Aber nachdem wir diesen speziellen Fall nun gesondert betrachtet haben, können wir mit Sicherheit davon ausgehen, dass x ≠ 1. Dann wird unsere logarithmische Gleichung in der folgenden Form umgeschrieben:

3 log x 9x = 4 log x 3x

Wir entwickeln beide Logarithmen nach der gleichen Formel wie zuvor. Beachten Sie, dass log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3

2 log x 3 = 1

So kamen wir zur kanonischen Form:

log x 9 = log x x 1

x=9

Wir haben die zweite Wurzel bekommen. Es erfüllt die Anforderung x ≠ 1. Daher ist x = 9 zusammen mit x = 1 die endgültige Antwort.

Wie Sie sehen, ist das Rechenvolumen leicht zurückgegangen. Bei der Lösung einer echten logarithmischen Gleichung ist die Anzahl der Schritte jedoch viel geringer, auch weil Sie nicht jeden Schritt so detailliert beschreiben müssen.

Die Schlüsselregel der heutigen Lektion lautet: Wenn das Problem einen geraden Grad enthält, aus dem die Wurzel desselben Grades gezogen wird, dann ist die Ausgabe ein Modul. Dieses Modul kann jedoch entfernt werden, wenn man den Definitionsbereich von Logarithmen beachtet.

Aber Vorsicht: Nach dieser Lektion denken die meisten Schüler, dass sie alles verstanden haben. Bei der Lösung realer Probleme können sie jedoch nicht die gesamte logische Kette reproduzieren. Dadurch erhält die Gleichung unnötige Wurzeln und die Antwort erweist sich als falsch.

Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich bin überrascht, oder?) Dann werde ich es klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen gefunden werden innerhalb von Logarithmen. Und nur dort! Es ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Naja, du verstehst... )

Beachten Sie! Es werden die unterschiedlichsten Ausdrücke mit X's lokalisiert ausschließlich innerhalb von Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo in der Gleichung ein X auftaucht draußen, Zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

das wird eine Gleichung sein gemischter Typ. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, bei denen die Logarithmen innerhalb liegen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Und alle. Um eine solche Gleichung zu lösen, reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen. Kenntnis spezieller Regeln und speziell für die Lösung angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

Also, Was ist eine logarithmische Gleichung?- Wir haben es herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Lösung logarithmische Gleichungen- Die Sache ist eigentlich nicht ganz einfach. Unser Abschnitt besteht also aus vier... Ein angemessenes Maß an Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Darüber hinaus gibt es in diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und diese Funktion ist so wichtig, dass sie getrost als Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Lektion ausführlich befassen.

Machen Sie sich vorerst keine Sorgen. Wir werden den richtigen Weg gehen von einfach bis komplex. An konkrete Beispiele. Die Hauptsache ist, sich mit einfachen Dingen zu befassen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund dort platziert ... Und alles wird für Sie klappen. Notwendig.

Beginnen wir mit den elementarsten und einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es ratsam, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, mehr aber nicht. Einfach keine Ahnung Logarithmus, eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar umständlich... Sehr gewagt, würde ich sagen).

Die einfachsten logarithmischen Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen. In den einfachsten Gleichungen erfolgt dieser Übergang in einem Schritt. Deshalb sind sie die einfachsten.)

Und solche logarithmischen Gleichungen sind überraschend einfach zu lösen. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja... reine Intuition!) Was brauchen wir? besonders gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Was-was... Ich mag keine Logarithmen! Rechts. Also lasst uns sie loswerden. Wir schauen uns das Beispiel genau an und in uns entsteht ein natürliches Verlangen... Geradezu unwiderstehlich! Nehmen Sie Logarithmen und werfen Sie sie ganz weg. Und was gut ist, ist das Kann Tun! Mathematik erlaubt. Logarithmen verschwinden die Antwort ist:

Großartig, oder? Das kann (und sollte) immer gemacht werden. Die Eliminierung von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Natürlich gibt es Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Erinnern:

Sie können Logarithmen bedenkenlos eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlenbasen

c) Links-Rechts-Logarithmen sind rein (ohne Koeffizienten) und befinden sich in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt klarstellen. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die beiden auf der rechten Seite erlauben es nicht. Der Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Es ist auch unmöglich, die Gleichung zu potenzieren. Auf der linken Seite gibt es keinen einsamen Logarithmus. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern stehen möglicherweise Auslassungspunkte irgendwelche Ausdrücke. Einfach, superkomplex, alles Mögliche. Was auch immer. Wichtig ist, dass wir nach Eliminierung der Logarithmen übrig bleiben einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel ganz einfach lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich wird es im Kopf entschieden. Wir potenzieren, wir bekommen:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der verbleibenden Gleichung ohne sie. Eine triviale Angelegenheit.

Lösen wir das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass links ein Logarithmus steht:

Erinnern wir uns daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, auf die die Basis erhöht werden muss (d. h. sieben), um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach Gl. Das ist:

Das ist im Grunde alles. Logarithmus verschwunden,Übrig bleibt eine harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur basierend auf der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es noch einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Wenn man aus zwei einen Logarithmus macht, kann man dieses Beispiel übrigens durch Elimination lösen. Jede Zahl kann logarithmiert werden. Darüber hinaus so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen logarithmischer Gleichungen und (insbesondere!) Ungleichungen.

Sie wissen nicht, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Macht nichts. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik ausführlich. Sie können es beherrschen und in vollem Umfang nutzen! Dadurch wird die Anzahl der Fehler erheblich reduziert.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) auf völlig ähnliche Weise gelöst:

Das ist es.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben uns anhand von Beispielen die Lösung einfachster logarithmischer Gleichungen angesehen. Es ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen in Tests und Prüfungen auftauchen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und kompliziertesten Gleichungen zwangsläufig auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung beliebig Gleichungen. Und dieser letzte Teil muss genau verstanden werden! Und weiter. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende durch. Da gibt es eine Überraschung...)

Jetzt entscheiden wir selbst. Lasst uns sozusagen besser werden...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 · 7 + 2

Antworten (natürlich durcheinander): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Was, nicht alles klappt? Das passiert. Mach dir keine Sorge! Abschnitt 555 erläutert die Lösung für alle diese Beispiele klar und detailliert. Da wirst du es auf jeden Fall herausfinden. Außerdem erlernen Sie nützliche praktische Techniken.

Es hat alles geklappt!? Alle Beispiele für „one left“?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu enthüllen. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert nicht den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar die einfachsten wie diese. Ach.

Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Die Gleichung lösen und mit ODZ arbeiten. Einen Teil beherrschen wir – das Lösen der Gleichung selbst. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell Beispiele ausgewählt, bei denen DL keinen Einfluss auf die Antwort hat. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es zwingend erforderlich, den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig ist – dieser Teil ist sogar einfacher als der erste. Aber weil die Leute ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen aus heiterem Himmel ...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann können Sie getrost entscheiden beliebig einfache logarithmische Gleichungen lösen und recht solide Aufgaben lösen.

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