Wie wird die Standardabweichung berechnet? Wie berechnet man die Standardabweichung? Berechnen wir die Größe des Modus

Beim statistischen Testen von Hypothesen, wenn eine lineare Beziehung zwischen Zufallsvariablen gemessen wird.

Durchschnitt Standardabweichung:

Standardabweichung(Schätzung der Standardabweichung der Zufallsvariablen Boden, die Wände um uns herum und die Decke, X relativ zu seiner mathematischen Erwartung basierend auf einer unvoreingenommenen Schätzung seiner Varianz):

wo ist die Streuung; - Der Boden, die Wände um uns herum und die Decke, ich tes Element der Auswahl; - Stichprobengröße; - Arithmetisches Mittel der Stichprobe:

Es ist zu beachten, dass beide Schätzungen verzerrt sind. Im Allgemeinen ist es unmöglich, eine unvoreingenommene Schätzung zu erstellen. Die auf der unverzerrten Varianzschätzung basierende Schätzung ist jedoch konsistent.

Drei-Sigma-Regel

Drei-Sigma-Regel() – fast alle Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen im Intervall. Genauer gesagt: Mit einer Konfidenz von mindestens 99,7 % liegt der Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen im angegebenen Intervall (vorausgesetzt, der Wert ist wahr und wurde nicht durch Stichprobenverarbeitung ermittelt).

Wenn der wahre Wert unbekannt ist, sollten wir ihn nicht verwenden, sondern den Boden, die Wände um uns herum und die Decke. S. So wird die Drei-Sigma-Regel in die Drei-Sigma-Regel umgewandelt: Boden, Wände um uns herum und Decke. S .

Interpretation des Standardabweichungswerts

Ein großer Wert der Standardabweichung zeigt eine große Streuung der Werte in der dargestellten Menge an durchschnittliche Größe Massen; kleiner Wert, zeigt dementsprechend, dass die Werte in der Menge um den Mittelwert gruppiert sind.

Wir haben zum Beispiel drei Zahlenmengen: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) und (6, 6, 8, 8). Alle drei Sätze haben Mittelwerte von 7 und Standardabweichungen von 7, 5 und 1. Der letzte Satz weist eine kleine Standardabweichung auf, da die Werte im Satz um den Mittelwert gruppiert sind; Der erste Satz hat die meisten sehr wichtig Standardabweichung – Werte innerhalb der Menge weichen stark vom Durchschnittswert ab.

Im Allgemeinen kann die Standardabweichung als Maß für die Unsicherheit betrachtet werden. Beispielsweise wird in der Physik die Standardabweichung verwendet, um den Fehler einer Reihe aufeinanderfolgender Messungen einer bestimmten Größe zu bestimmen. Dieser Wert ist sehr wichtig, um die Plausibilität des untersuchten Phänomens im Vergleich zum von der Theorie vorhergesagten Wert zu bestimmen: Wenn der Durchschnittswert der Messungen stark von den von der Theorie vorhergesagten Werten abweicht (große Standardabweichung), dann sollten die erhaltenen Werte bzw. die Methode zu deren Ermittlung noch einmal überprüft werden.

Praktischer Nutzen

In der Praxis können Sie anhand der Standardabweichung bestimmen, wie stark die Werte in einer Menge vom Durchschnittswert abweichen können.

Klima

Angenommen, es gibt zwei Städte mit der gleichen durchschnittlichen Tageshöchsttemperatur, aber eine liegt an der Küste und die andere im Landesinneren. Es ist bekannt, dass Städte an der Küste viele unterschiedliche maximale Tagestemperaturen aufweisen, die niedriger sind als Städte im Landesinneren. Daher wird die Standardabweichung der maximalen Tagestemperaturen für eine Küstenstadt geringer sein als für eine zweite Stadt, obwohl ihr Durchschnittswert gleich ist, was in der Praxis bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Maximale Temperatur Luft an jedem einzelnen Tag des Jahres wird stärker vom Durchschnittswert abweichen, der für eine Stadt innerhalb des Kontinents höher ist.

Sport

Nehmen wir an, dass es mehrere Fußballmannschaften gibt, die anhand einiger Parameter bewertet werden, zum Beispiel der Anzahl der erzielten und kassierten Tore, der Torchancen usw. Es ist am wahrscheinlichsten, dass die beste Mannschaft in dieser Gruppe bessere Werte hat auf weitere Parameter. Je kleiner die Standardabweichung des Teams für jeden der dargestellten Parameter ist, desto vorhersehbarer ist das Ergebnis des Teams; solche Teams sind ausgeglichen. Andererseits ist das Team mit großer Wert Die Standardabweichung macht es schwierig, das Ergebnis vorherzusagen, was wiederum durch ein Ungleichgewicht erklärt wird, beispielsweise eine starke Verteidigung, aber einen schwachen Angriff.

Die Verwendung der Standardabweichung der Teamparameter ermöglicht es, bis zu einem gewissen Grad das Ergebnis eines Spiels zwischen zwei Teams vorherzusagen, die Stärken zu bewerten und schwache Seiten Befehle und damit die gewählten Kampfmethoden.

Technische Analyse

siehe auch

Literatur

* Borovikov, V. STATISTIKEN. Die Kunst der Datenanalyse am Computer: Für Profis / V. Borovikov. - St. Petersburg. : Peter, 2003. - 688 S. - ISBN 5-272-00078-1.

Standardabweichung ist einer dieser statistischen Begriffe in der Unternehmenswelt, der Menschen Glaubwürdigkeit verleiht, denen es in einem Gespräch oder einer Präsentation gelingt, ihn gut hinbekommen, während er bei denjenigen, die nicht wissen, was er ist, es aber dennoch weiß, ein leichtes Gefühl der Verwirrung hinterlässt Es ist mir peinlich zu fragen. Tatsächlich verstehen die meisten Manager das Konzept der Standardabweichung nicht und wenn Sie einer von ihnen sind, ist es an der Zeit, dass Sie aufhören, eine Lüge zu leben. Im heutigen Artikel erzähle ich Ihnen, wie dieses unterschätzte statistische Maß Ihnen helfen kann, die Daten, mit denen Sie arbeiten, besser zu verstehen.

Was misst die Standardabweichung?

Stellen Sie sich vor, Sie sind Eigentümer von zwei Geschäften. Und um Verluste zu vermeiden, ist eine klare Kontrolle der Lagerbestände wichtig. Um herauszufinden, welcher Manager den Lagerbestand besser verwaltet, analysieren Sie den Lagerbestand der letzten sechs Wochen. Die durchschnittlichen wöchentlichen Lagerkosten für beide Filialen sind ungefähr gleich und betragen etwa 32 herkömmliche Einheiten. Die durchschnittliche Stichwahl zeigt auf den ersten Blick, dass beide Manager ähnlich abschneiden.

Schaut man sich jedoch die Aktivitäten des zweiten Ladens genauer an, wird man überzeugt sein, dass der Durchschnittswert zwar stimmt, die Schwankung des Bestands jedoch sehr hoch ist (von 10 bis 58 USD). Daraus können wir schließen, dass der Durchschnitt die Daten nicht immer richtig auswertet. Hier kommt es zur Rettung Standardabweichung.

Die Standardabweichung zeigt, wie die Werte relativ zum Mittelwert in unserem Fall verteilt sind. Mit anderen Worten: Sie können nachvollziehen, wie groß die Streuung des Abflusses von Woche zu Woche ist.

In unserem Beispiel haben wir die STDEV-Funktion von Excel verwendet, um die Standardabweichung zusammen mit dem Mittelwert zu berechnen.

Beim ersten Manager betrug die Standardabweichung 2. Dies sagt uns, dass jeder Wert in der Stichprobe im Durchschnitt um 2 vom Mittelwert abweicht. Ist es gut? Betrachten wir die Frage aus einem anderen Blickwinkel – eine Standardabweichung von 0 sagt uns, dass jeder Wert in der Stichprobe seinem Mittelwert entspricht (in unserem Fall 32,2). Somit unterscheidet sich eine Standardabweichung von 2 nicht wesentlich von 0, was darauf hinweist, dass die meisten Werte nahe am Mittelwert liegen. Je näher die Standardabweichung bei 0 liegt, desto zuverlässiger ist der Durchschnitt. Darüber hinaus weist eine Standardabweichung nahe 0 auf eine geringe Variabilität der Daten hin. Das heißt, ein Runoff-Wert mit einer Standardabweichung von 2 weist auf eine unglaubliche Konstanz des ersten Managers hin.

Bei der zweiten Filiale betrug die Standardabweichung 18,9. Das heißt, die Abflusskosten weichen im Durchschnitt von Woche zu Woche um 18,9 % vom Durchschnittswert ab. Verrückte Verbreitung! Je weiter die Standardabweichung von 0 entfernt ist, desto ungenauer ist der Durchschnitt. In unserem Fall deutet der Wert von 18,9 darauf hin, dass man dem Durchschnittswert (32,8 USD pro Woche) einfach nicht trauen kann. Es zeigt uns auch, dass der wöchentliche Abfluss sehr unterschiedlich ist.

Dies ist das Konzept der Standardabweichung auf den Punkt gebracht. Obwohl sie keinen Einblick in andere wichtige statistische Messungen (Modus, Median usw.) bietet, spielt die Standardabweichung in den meisten statistischen Berechnungen tatsächlich eine entscheidende Rolle. Das Verständnis der Prinzipien der Standardabweichung wird Aufschluss über viele Ihrer Geschäftsprozesse geben.

Wie berechnet man die Standardabweichung?

Jetzt wissen wir also, was die Standardabweichungszahl aussagt. Lassen Sie uns herausfinden, wie es berechnet wird.

Schauen wir uns den Datensatz von 10 bis 70 in 10er-Schritten an. Wie Sie sehen können, habe ich den Standardabweichungswert für sie bereits mit der Funktion STANDARDEV in Zelle H2 (in Orange) berechnet.

Nachfolgend sind die Schritte aufgeführt, die Excel unternimmt, um zu 21.6 zu gelangen.

Bitte beachten Sie, dass alle Berechnungen zum besseren Verständnis visualisiert sind. Tatsächlich erfolgt die Berechnung in Excel sofort und alle Schritte bleiben im Hintergrund.

Zunächst ermittelt Excel den Stichprobenmittelwert. In unserem Fall lag der Durchschnitt bei 40, der im nächsten Schritt von jedem Stichprobenwert abgezogen wird. Jede erhaltene Differenz wird quadriert und aufsummiert. Wir haben eine Summe von 2800 erhalten, die durch die Anzahl der Stichprobenelemente minus 1 geteilt werden muss. Da wir 7 Elemente haben, müssen wir 2800 durch 6 teilen. Aus dem Ergebnis finden wir Quadratwurzel, diese Zahl ist die Standardabweichung.

Für diejenigen, die sich über das Prinzip der Berechnung der Standardabweichung mithilfe der Visualisierung nicht ganz im Klaren sind, gebe ich eine mathematische Interpretation zur Ermittlung dieses Wertes.

Funktionen zur Berechnung der Standardabweichung in Excel

Excel verfügt über verschiedene Arten von Standardabweichungsformeln. Alles, was Sie tun müssen, ist =STDEV einzugeben und Sie werden es selbst sehen.

Es ist erwähnenswert, dass die Funktionen STABW.V und STABW.G (die erste und zweite Funktion in der Liste) die Funktionen STABW und STABW (die fünfte und sechste Funktion in der Liste) duplizieren, die aus Kompatibilitätsgründen mit anderen belassen wurden frühere Versionen Excel.

Im Allgemeinen zeigt der Unterschied in den Endungen der Funktionen .B und .G das Prinzip der Berechnung der Standardabweichung der Stichprobe oder an Bevölkerung. Den Unterschied zwischen diesen beiden Arrays habe ich bereits im vorherigen erklärt.

Eine Besonderheit der Funktionen STANDARDEV und STANDDREV (die dritte und vierte Funktion in der Liste) besteht darin, dass bei der Berechnung der Standardabweichung eines Arrays logische und Textwerte berücksichtigt werden. Text und echte boolesche Werte sind 1 und falsche boolesche Werte sind 0. Ich kann mir keine Situation vorstellen, in der ich diese beiden Funktionen benötigen würde, daher denke ich, dass sie ignoriert werden können.

Eines der wichtigsten Werkzeuge der statistischen Analyse ist die Berechnung der Standardabweichung. Mit diesem Indikator können Sie die Standardabweichung für eine Stichprobe oder eine Grundgesamtheit schätzen. Erfahren Sie, wie Sie die Standardabweichungsformel in Excel verwenden.

Lassen Sie uns sofort definieren, was es ist Standardabweichung und wie seine Formel aussieht. Dieser Wert ist die Quadratwurzel des Durchschnitts arithmetische Zahl Quadrate der Differenz zwischen allen Werten der Reihe und ihrem arithmetischen Mittel. Für diesen Indikator gibt es einen identischen Namen: Standardabweichung. Beide Namen sind völlig gleichwertig.

Aber in Excel muss der Benutzer dies natürlich nicht berechnen, da das Programm alles für ihn erledigt. Erfahren Sie, wie Sie die Standardabweichung in Excel berechnen.

Berechnung in Excel

Sie können den angegebenen Wert in Excel mit zwei speziellen Funktionen berechnen STDEV.V(basierend auf der Stichprobenpopulation) und STDEV.G(basierend auf der Gesamtbevölkerung). Das Funktionsprinzip ist absolut dasselbe, sie können jedoch auf drei Arten aufgerufen werden, auf die wir weiter unten eingehen werden.

Methode 1: Funktionsassistent

Methode 2: Registerkarte „Formeln“.

Methode 3: Manuelle Eingabe der Formel

Es gibt auch eine Möglichkeit, das Argumentfenster überhaupt nicht aufzurufen. Dazu müssen Sie die Formel manuell eingeben.

Wie Sie sehen, ist der Mechanismus zur Berechnung der Standardabweichung in Excel sehr einfach. Der Benutzer muss lediglich Zahlen aus der Grundgesamtheit oder Verweise auf die Zellen eingeben, die sie enthalten. Alle Berechnungen werden vom Programm selbst durchgeführt. Es ist viel schwieriger zu verstehen, was der berechnete Indikator ist und wie die Berechnungsergebnisse in der Praxis angewendet werden können. Aber das zu verstehen, bezieht sich bereits mehr auf den Bereich der Statistik als auf das Erlernen des Umgangs mit Software.

Die Standardabweichung ist ein klassischer Variabilitätsindikator aus der deskriptiven Statistik.

Standardabweichung, Standardabweichung, Standardabweichung, Stichprobenstandardabweichung (engl. Standardabweichung, STD, STDev) – ein sehr häufiger Indikator für die Streuung in beschreibende Statistik. Aber weil Die technische Analyse ähnelt der Statistik; dieser Indikator kann (und sollte) in der technischen Analyse verwendet werden, um den Grad der Preisstreuung des analysierten Instruments im Zeitverlauf zu ermitteln. Bezeichnet mit dem griechischen Symbol Sigma „σ“.

Vielen Dank an Karl Gauss und Pearson für die Erlaubnis, die Standardabweichung zu verwenden.

Benutzen Standardabweichung in der technischen Analyse, wir drehen das „Dispersionsindex“„V „Volatilitätsindikator“.“, wobei die Bedeutung beibehalten, aber die Begriffe geändert werden.

Was ist Standardabweichung?

Aber neben den Zwischenhilfsberechnungen, Die Standardabweichung ist für eine unabhängige Berechnung durchaus akzeptabel und Anwendungen in der technischen Analyse. Als aktiver Leser unseres Magazins Burdock bemerkte: „ Ich verstehe immer noch nicht, warum die Standardabweichung nicht in den Standardindikatoren inländischer Handelszentren enthalten ist«.

Wirklich, Die Standardabweichung kann die Variabilität eines Instruments auf klassische und „reine“ Weise messen. Doch leider kommt dieser Indikator in der Wertpapieranalyse nicht so häufig vor.

Anwenden der Standardabweichung

Die manuelle Berechnung der Standardabweichung ist nicht sehr interessant, aber nützlich für die Erfahrung. Die Standardabweichung kann ausgedrückt werden Formel STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , was wie die Wurzel der Summe der quadrierten Differenzen zwischen den Elementen der Stichprobe und dem Mittelwert, geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe, klingt.

Wenn die Anzahl der Elemente in der Stichprobe 30 überschreitet, nimmt der Nenner des Bruchs unter der Wurzel den Wert n-1 an. Ansonsten wird n verwendet.

Schritt für Schritt Berechnung der Standardabweichung:

1. Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Datenstichprobe
2. Subtrahieren Sie diesen Durchschnitt von jedem Stichprobenelement
3. Wir quadrieren alle resultierenden Differenzen
4. Summieren Sie alle resultierenden Quadrate
5. Teilen Sie die resultierende Menge durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe (oder durch n-1, wenn n>30)
6. Berechnen Sie die Quadratwurzel des resultierenden Quotienten (genannt Streuung)

$X$. Erinnern wir uns zunächst an die folgende Definition:

Definition 1

Bevölkerung-- eine Menge zufällig ausgewählter Objekte eines bestimmten Typs, an denen Beobachtungen durchgeführt werden, um spezifische Werte einer Zufallsvariablen zu erhalten, die unter konstanten Bedingungen bei der Untersuchung einer Zufallsvariablen eines bestimmten Typs durchgeführt werden.

Definition 2

Allgemeine Varianz– das arithmetische Mittel der quadrierten Abweichungen der Werte der Populationsvariante von ihrem Mittelwert.

Lassen Sie die Werte der Option $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ jeweils Häufigkeiten $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ haben. Anschließend wird die allgemeine Varianz nach folgender Formel berechnet:

Betrachten wir einen Sonderfall. Alle Optionen $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ seien unterschiedlich. In diesem Fall $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Wir stellen fest, dass in diesem Fall die allgemeine Varianz anhand der Formel berechnet wird:

Dieses Konzept ist auch mit dem Konzept der allgemeinen Standardabweichung verbunden.

Definition 3

Allgemeine Standardabweichung

\[(\sigma )_g=\sqrt(D_g)\]

Stichprobenvarianz

Gegeben sei eine Stichprobenpopulation in Bezug auf eine Zufallsvariable $X$. Erinnern wir uns zunächst an die folgende Definition:

Definition 4

Stichprobenpopulation -- Teil ausgewählter Objekte aus der Allgemeinbevölkerung.

Definition 5

Stichprobenvarianz-- Durchschnitt arithmetische Werte Probenahmemöglichkeit.

Lassen Sie die Werte der Option $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ jeweils Häufigkeiten $n_1,\ n_2,\dots ,n_k$ haben. Anschließend wird die Stichprobenvarianz nach folgender Formel berechnet:

Betrachten wir einen Sonderfall. Alle Optionen $x_1,\ x_2,\dots ,x_k$ seien unterschiedlich. In diesem Fall $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Wir stellen fest, dass in diesem Fall die Stichprobenvarianz anhand der Formel berechnet wird:

Mit diesem Konzept ist auch das Konzept der Stichprobenstandardabweichung verbunden.

Definition 6

Standardabweichung der Stichprobe-- Quadratwurzel der allgemeinen Varianz:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Korrigierte Varianz

Um die korrigierte Varianz $S^2$ zu finden, ist es notwendig, die Stichprobenvarianz mit dem Bruch $\frac(n)(n-1)$ zu multiplizieren

Dieses Konzept ist auch mit dem Konzept der korrigierten Standardabweichung verbunden, das durch die Formel ermittelt wird:

Für den Fall, dass die Werte der Varianten nicht diskret sind, sondern Intervalle darstellen, wird in den Formeln zur Berechnung der allgemeinen oder Stichprobenvarianzen der Wert von $x_i$ als Wert der Mitte des Intervalls angenommen zu dem $x_i.$ gehört.

Ein Beispiel für ein Problem zur Ermittlung der Varianz und Standardabweichung

Beispiel 1

Die Stichprobenpopulation wird durch die folgende Verteilungstabelle definiert:

Bild 1.

Lassen Sie uns dafür die Stichprobenvarianz, die Stichprobenstandardabweichung, die korrigierte Varianz und die korrigierte Standardabweichung ermitteln.

Um dieses Problem zu lösen, erstellen wir zunächst eine Berechnungstabelle:

Figur 2.

Der Wert $\overline(x_в)$ (Stichprobendurchschnitt) in der Tabelle wird durch die Formel ermittelt:

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_in)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15.25\]

Lassen Sie uns die Stichprobenvarianz mithilfe der Formel ermitteln:

Standardabweichung der Stichprobe:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\ungefähr 5,12\]

Korrigierte Varianz:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26,1875\ungefähr 27,57\]

Korrigierte Standardabweichung.