Tangente an den Graphen der Funktion y f x. So ermitteln Sie die Steigung einer Gleichung

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In diesem Artikel werden wir alle Arten von Problemen analysieren, die es zu finden gilt

Lass uns erinnern geometrische Bedeutung Derivat: Wenn an einem Punkt eine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen wird, dann ist der Steigungskoeffizient der Tangente (gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse) gleich der Ableitung der Funktion am Punkt.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Tangente mit Koordinaten:

Und betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck:

In diesem Dreieck

Von hier

Dies ist die Gleichung der Tangente, die am Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

Um die Tangentengleichung zu schreiben, müssen wir nur die Funktionsgleichung und den Punkt kennen, an dem die Tangente gezogen wird. Dann können wir finden und .

Es gibt drei Haupttypen von Tangentengleichungsproblemen.

1. Einen Ansprechpartner angeben

2. Gegeben ist der Tangentensteigungskoeffizient, also der Wert der Ableitung der Funktion am Punkt.

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente gezogen wird, der aber nicht der Tangentenpunkt ist.

Schauen wir uns jede Art von Aufgabe an.

1 . Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen am Punkt .

.

b) Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln

Setzen wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung ein:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Antwort: .

2. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Funktionen den Graphen tangieren parallel zur x-Achse.

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse ist, ergibt sich daraus der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse gleich Null, daher ist der Tangens des Tangentenwinkels Null. Dies bedeutet, dass der Wert der Ableitung der Funktion ist an den Berührungspunkten ist Null.

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion .

b) Setzen wir die Ableitung mit Null gleich und ermitteln die Werte, bei denen die Tangente parallel zur Achse verläuft:

Wenn wir jeden Faktor mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Antwort: 0;3;5

3. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion , parallel gerade .

Eine Tangente ist parallel zu einer Geraden. Die Steigung dieser Linie beträgt -1. Da die Tangente parallel zu dieser Linie verläuft, beträgt die Steigung der Tangente ebenfalls -1. Also Wir kennen die Steigung der Tangente, und dadurch, Ableitungswert am Tangentialpunkt.

Dies ist die zweite Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden.

Wir erhalten also die Funktion und den Wert der Ableitung am Tangentialpunkt.

a) Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich -1 ist.

Finden wir zunächst die Ableitungsgleichung.

Setzen wir die Ableitung mit der Zahl -1 gleich.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung)

.

b) Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung).

Setzen wir diese Werte in die Tangentengleichung ein:

.

Antwort:

4 . Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve , durch einen Punkt gehen

Überprüfen wir zunächst, ob der Punkt ein Tangentenpunkt ist. Wenn ein Punkt ein Tangentenpunkt ist, dann gehört er zum Graphen der Funktion und seine Koordinaten müssen die Gleichung der Funktion erfüllen. Setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} eine negative Zahl, die Gleichheit ist nicht wahr und der Punkt gehört nicht zum Graphen der Funktion und ist kein Ansprechpartner.

Dies ist die letzte Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden. Erste Sache Wir müssen die Abszisse des Tangentenpunkts finden.

Finden wir den Wert.

Seien Sie der Ansprechpartner. Der Punkt gehört zur Tangente an den Funktionsgraphen. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichung:

.

Der Wert der Funktion an einem Punkt ist .

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln. Das .

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich .

Ersetzen wir die Ausdrücke für und in der Tangentengleichung. Wir erhalten die Gleichung für:

Lassen Sie uns diese Gleichung lösen.

Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs um 2:

Bringen wir die rechte Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner. Wir bekommen:

Vereinfachen wir den Zähler des Bruchs und multiplizieren wir beide Seiten mit – dieser Ausdruck ist streng genommen größer als Null.

Wir bekommen die Gleichung

Lass es uns lösen. Dazu quadrieren wir beide Teile und fahren mit dem System fort.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lösen wir die erste Gleichung.

Lass uns entscheiden quadratische Gleichung, wir bekommen

Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Bedingung title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Schreiben wir die Gleichung der Tangente an die Kurve am Punkt. Setzen Sie dazu den Wert in die Gleichung ein - Wir haben es bereits aufgenommen.

Antwort:
.

Betrachten Sie die folgende Abbildung:

Es stellt eine bestimmte Funktion y = f(x) dar, die im Punkt a differenzierbar ist. Punkt M mit den Koordinaten (a; f(a)) ist markiert. Eine Sekante MR wird durch einen beliebigen Punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) des Graphen gezeichnet.

Wenn nun der Punkt P entlang des Diagramms zum Punkt M verschoben wird, dreht sich die Gerade MR um den Punkt M. In diesem Fall tendiert ∆x gegen Null. Von hier aus können wir die Definition einer Tangente an den Graphen einer Funktion formulieren.

Tangente an den Graphen einer Funktion

Die Tangente an den Graphen einer Funktion ist die Grenzposition der Sekante, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht. Es versteht sich, dass die Existenz der Ableitung der Funktion f am Punkt x0 bedeutet, dass sie an diesem Punkt des Diagramms vorhanden ist Tangente zu ihm.

Dabei Neigung der Tangens wird an diesem Punkt f’(x0) gleich der Ableitung dieser Funktion sein. Dies ist die geometrische Bedeutung der Ableitung. Die Tangente an den Graphen einer am Punkt x0 differenzierbaren Funktion f ist eine bestimmte Gerade, die durch den Punkt (x0;f(x0)) verläuft und einen Winkelkoeffizienten f’(x0) hat.

Tangentengleichung

Versuchen wir, die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion f am Punkt A(x0; f(x0)) zu erhalten. Die Gleichung einer Geraden mit Steigung k hat folgende Form:

Da unser Steigungskoeffizient gleich der Ableitung ist f’(x0), dann nimmt die Gleichung die folgende Form an: y = f’(x0)*x + b.

Berechnen wir nun den Wert von b. Dazu nutzen wir die Tatsache, dass die Funktion durch Punkt A verläuft.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, von hier aus drücken wir b aus und erhalten b = f(x0) – f’(x0)*x0.

Den resultierenden Wert setzen wir in die Tangentengleichung ein:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) – f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Betrachten Sie das folgende Beispiel: Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 am Punkt x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Setzen Sie die erhaltenen Werte in die Tangensformel ein, wir erhalten: y = 1 + 4*(x - 2). Wenn wir die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe hinzufügen, erhalten wir: y = 4*x - 7.

Antwort: y = 4*x - 7.

Allgemeines Schema zum Erstellen der Tangentengleichung zum Graphen der Funktion y = f(x):

1. Bestimmen Sie x0.

2. Berechnen Sie f(x0).

3. Berechnen Sie f’(x)

Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt auf dem Graphen dieser Funktion. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Erinnern Allgemeine Regeln, nach denen Ableitungen vorgenommen werden, und erst dann mit dem nächsten Schritt fortfahren.

• Lesen Sie den Artikel.
• So nehmen Sie die einfachsten Ableitungen, zum Beispiel Derivat Exponentialgleichung, beschrieben. Die in den folgenden Schritten dargestellten Berechnungen basieren auf den darin beschriebenen Methoden.

Lernen Sie, Probleme zu unterscheiden, bei denen der Steigungskoeffizient durch die Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Problemen müssen Sie nicht immer die Steigung oder Ableitung einer Funktion ermitteln. Beispielsweise werden Sie möglicherweise gebeten, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A(x,y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, die Steigung der Tangente am Punkt A(x,y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist es notwendig, die Ableitung der Funktion zu bilden.

Bilden Sie die Ableitung der Ihnen gegebenen Funktion. Hier muss kein Diagramm erstellt werden, Sie benötigen lediglich die Gleichung der Funktion. Nehmen Sie in unserem Beispiel die Ableitung der Funktion. Nehmen Sie die Ableitung gemäß den im oben genannten Artikel beschriebenen Methoden:

• Derivat:

Setzen Sie die Koordinaten des Ihnen angegebenen Punktes in die gefundene Ableitung ein, um die Steigung zu berechnen. Die Ableitung einer Funktion ist gleich der Steigung an einem bestimmten Punkt. Mit anderen Worten, f"(x) ist die Steigung der Funktion an jedem Punkt (x,f(x)). In unserem Beispiel:

• Finden Sie die Steigung der Funktion f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) am Punkt A(4,2).
• Ableitung einer Funktion:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Ersetzen Sie den Wert der „x“-Koordinate dieses Punktes:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Finden Sie die Steigung:
• Slope-Funktion f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) am Punkt A(4,2) ist gleich 22.

Überprüfen Sie Ihre Antwort nach Möglichkeit anhand einer Grafik. Bedenken Sie, dass die Steigung nicht an jedem Punkt berechnet werden kann. Differentialrechnung untersucht komplexe Funktionen und komplexe Diagramme, bei denen die Steigung nicht an jedem Punkt berechnet werden kann und in einigen Fällen die Punkte überhaupt nicht auf den Diagrammen liegen. Verwenden Sie nach Möglichkeit einen Grafikrechner, um zu überprüfen, ob die Steigung der Ihnen angegebenen Funktion korrekt ist. Andernfalls zeichnen Sie an dem Ihnen angegebenen Punkt eine Tangente an die Grafik und überlegen Sie, ob der gefundene Steigungswert mit dem übereinstimmt, was Sie in der Grafik sehen.

• Die Tangente hat an einem bestimmten Punkt die gleiche Steigung wie der Graph der Funktion. Um eine Tangente an einem bestimmten Punkt zu zeichnen, bewegen Sie sich auf der X-Achse nach links/rechts (in unserem Beispiel 22 Werte nach rechts) und dann auf der Y-Achse um einen Wert nach oben. Markieren Sie den Punkt und verbinden Sie ihn dann mit dem Punkt, der Ihnen gegeben wurde. Verbinden Sie in unserem Beispiel die Punkte mit den Koordinaten (4,2) und (26,3).

Gegeben sei eine Funktion f, die irgendwann x 0 eine endliche Ableitung f (x 0) hat. Dann wird die durch den Punkt (x 0 ; f (x 0)) verlaufende Gerade mit einem Winkelkoeffizienten f ’(x 0) Tangente genannt.

Was passiert, wenn die Ableitung am Punkt x 0 nicht existiert? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Es gibt auch keine Tangente an den Graphen. Ein klassisches Beispiel ist die Funktion y = |x | am Punkt (0; 0).
2. Die Tangente wird vertikal. Dies gilt beispielsweise für die Funktion y = arcsin x im Punkt (1; π /2).

Tangentengleichung

Jede nicht vertikale gerade Linie wird durch eine Gleichung der Form y = kx + b gegeben, wobei k die Steigung ist. Der Tangens ist keine Ausnahme, und um seine Gleichung an einem Punkt x 0 zu erstellen, reicht es aus, den Wert der Funktion und der Ableitung an diesem Punkt zu kennen.

Es sei also eine Funktion y = f (x) gegeben, die eine Ableitung y = f ’(x) auf dem Segment hat. Dann kann an jedem Punkt x 0 ∈ (a ; b) eine Tangente an den Graphen dieser Funktion gezogen werden, der durch die Gleichung gegeben ist:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Hier ist f ’(x 0) der Wert der Ableitung am Punkt x 0 und f (x 0) der Wert der Funktion selbst.

Aufgabe. Gegeben sei die Funktion y = x 3 . Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen dieser Funktion am Punkt x 0 = 2.

Tangentengleichung: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Der Punkt x 0 = 2 ist uns gegeben, aber die Werte f (x 0) und f ’(x 0) müssen berechnet werden.

Lassen Sie uns zunächst den Wert der Funktion ermitteln. Hier ist alles einfach: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Finden wir nun die Ableitung: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Wir setzen x 0 = 2 in die Ableitung ein: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Insgesamt erhalten wir: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Dies ist die Tangentengleichung.

Aufgabe. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) = 2sin x + 5 am Punkt x 0 = π /2.

Dieses Mal werden wir nicht jede Aktion im Detail beschreiben, sondern nur die wichtigsten Schritte angeben. Wir haben:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Tangentengleichung:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Im letzteren Fall stellte sich heraus, dass die Gerade horizontal war, weil sein Winkelkoeffizient k = 0. Daran ist nichts auszusetzen – wir sind gerade auf einen Extrempunkt gestoßen.