Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig. Physikalische Bedeutung von Derivat. Aufgaben

− Lehrer Dumbadze V.A.
von der Schule 162 des Bezirks Kirow in St. Petersburg.

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(Wo X T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Ermitteln Sie die aktuelle Geschwindigkeit (in m/s). T= 9 s.

Bei T= 9 s wir haben:

Warum lassen wir die Zahl 17 aus der ursprünglichen Gleichung weg?

Finden Sie die Ableitung der ursprünglichen Funktion.

In der Ableitung gibt es keine Zahl 17

Warum die Ableitung finden?

Geschwindigkeit ist die Ableitung einer Koordinate nach der Zeit.

Das Problem fordert Sie auf, die Geschwindigkeit zu ermitteln

X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Ermitteln Sie die aktuelle Geschwindigkeit in (m/s). T= 6 s.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, nicht 20

Erinnern Sie sich an die Prozedur

Seit wann ist die Addition der Subtraktion vorzuziehen?

Die Multiplikation hat Vorrang vor der Addition und Subtraktion. Erinnern Sie sich an das Schulbeispiel der Kinder: 2 + 2 · 2. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es hier nicht 8 ist, wie manche Leute denken, sondern 6.

Sie haben die Antwort des Gastes nicht verstanden.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Also alles stimmt, rechnen Sie selbst nach.

2) Multiplikation/Division (hängt von der Reihenfolge in der Gleichung ab; was zuerst kommt, wird zuerst gelöst);

3) Addition/Subtraktion (hängt ebenfalls von der Reihenfolge im Beispiel ab).

Multiplikation = Division, Addition = Subtraktion =>

Nicht 54 - (36+2), sondern 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Erstens für Sie – Sergei Batkovich. Zweitens: Haben Sie verstanden, was Sie wem sagen wollten? Ich habe Sie nicht verstanden.

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig (wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung). Finden Sie seine Geschwindigkeit in (m/s) zum Zeitpunkt s.

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: m/s. Wenn wir haben:

Unterrichtsstunde zum Thema: „Differenzierungsregeln“, 11. Klasse

Abschnitte: Mathematik

Unterrichtsart: Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen.

Lernziele:

• lehrreich:
  • das Material zum Thema Finden der Ableitung verallgemeinern und systematisieren;
  • die Differenzierungsregeln festigen;
  • den Studierenden die polytechnische und angewandte Bedeutung des Themas aufzeigen;
• Entwicklung:
  • Kontrolle über den Erwerb von Wissen und Fähigkeiten ausüben;
  • die Fähigkeit entwickeln und verbessern, Wissen in einer veränderten Situation anzuwenden;
  • eine Sprachkultur und die Fähigkeit entwickeln, Schlussfolgerungen zu ziehen und zu verallgemeinern;
• lehrreich:
  • den kognitiven Prozess entwickeln;
  • Den Schülern Genauigkeit im Design und Entschlossenheit vermitteln.

Ausrüstung:

• Overheadprojektor, Leinwand;
• Karten;
• Computers;
• Tisch;
• differenzierte Aufgaben in Form von Multimedia-Präsentationen.

I. Hausaufgaben überprüfen.

1. Hören Sie sich Schülerberichte über Beispiele für den Einsatz von Derivaten an.

2. Betrachten Sie von Studierenden vorgeschlagene Beispiele für die Verwendung von Derivaten in Physik, Chemie, Ingenieurwesen und anderen Bereichen.

II. Wissen aktualisieren.

Lehrer:

1. Definieren Sie die Ableitung einer Funktion.
2. Welche Operation heißt Differenzierung?
3. Welche Differenzierungsregeln werden bei der Berechnung der Ableitung verwendet? (Gesuchte Studierende sind herzlich eingeladen, an die Tafel zu kommen).
   • Ableitung der Summe;
   • Ableitung des Werkes;
   • Ableitung, die einen konstanten Faktor enthält;
   • Ableitung des Quotienten;
   • Ableitung einer komplexen Funktion;
4. Nennen Sie Beispiele für angewandte Probleme, die zum Konzept der Ableitung führen.

Eine Reihe besonderer Probleme aus verschiedenen Bereichen der Wissenschaft.

Aufgabe Nr. 1. Der Körper bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x(t). Schreiben Sie die Formel auf, um die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers zum Zeitpunkt t zu ermitteln.

Aufgabe Nr. 2. Der Radius des Kreises R variiert nach dem Gesetz R = 4 + 2t 2. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich seine Fläche ändert V Moment t = 2 s. Der Radius eines Kreises wird in Zentimetern gemessen. Antwort: 603 cm 2 /s.

Aufgabe Nr. 3. Ein materieller Punkt mit einer Masse von 5 kg bewegt sich dem Gesetz entsprechend geradlinig

S(t) = 2t+ , wo S— Entfernung in Metern, T– Zeit in Sekunden. Finden Sie die Kraft, die im Moment auf den Punkt wirkt t = 4 s.

Antwort: N.

Aufgabe Nr. 4. Das von der Bremse gehaltene Schwungrad dreht sich nach hinten t s in einem Winkel von 3t - 0,1t 2 (rad). Finden:

a) Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Schwungrads zum Zeitpunkt t = 7 Mit;
b) Zu welchem ​​Zeitpunkt stoppt das Schwungrad.

Antwort: a) 2,86; b) 150 s.

Beispiele für die Verwendung von Derivaten können auch Probleme beim Finden von Folgendem umfassen: spezifische Wärmekapazität Substanzen gegebener Körper, lineare Dichte und kinetische Energie des Körpers usw.

III. Differenzierte Aufgaben ausführen.

Wer Aufgaben der Stufe „A“ lösen möchte, setzt sich an den Computer und absolviert einen Test mit einer programmierten Antwort. ( Anwendung. )

1. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion am Punkt x 0 = 3.

2. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = xe x am Punkt x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Lösen Sie die Gleichung f / (x) = 0, wenn f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Berechnen Sie f/(1), wenn f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) am Punkt t0 = 1.

6. Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz: S(t) = t 3 – 3t 2. Wählen Sie eine Formel, die die Bewegungsgeschwindigkeit dieses Punktes zum Zeitpunkt t angibt.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

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Anwendung von Derivaten in Physik, Technik, Biologie, Leben

Präsentation für den Unterricht

Aufmerksamkeit! Folienvorschauen dienen nur zu Informationszwecken und stellen möglicherweise nicht alle Funktionen der Präsentation dar. Wenn Sie an dieser Arbeit interessiert sind, laden Sie bitte die Vollversion herunter.

Unterrichtsart: integriert.

Der Zweck der Lektion: Studieren Sie einige Aspekte der Anwendung von Derivaten in verschiedenen Bereichen der Physik, Chemie und Biologie.

Aufgaben: Erweiterung des Horizonts und der kognitiven Aktivität der Schüler, Entwicklung logisches Denken und die Fähigkeit, ihr Wissen anzuwenden.

Technische Unterstützung: interaktives Board; Computer und Festplatte.

I. Organisatorischer Moment

II. Ein Unterrichtsziel festlegen

– Ich möchte eine Unterrichtsstunde unter dem Motto von Alexei Nikolajewitsch Krylow, einem sowjetischen Mathematiker und Schiffbauer, halten: „Theorie ohne Praxis ist tot oder nutzlos, Praxis ohne Theorie ist unmöglich oder schädlich.“

– Sehen wir uns die Grundkonzepte noch einmal an und beantworten die Fragen:

– Sagen Sie mir die grundlegende Definition eines Derivats?
– Was wissen Sie über die Ableitung (Eigenschaften, Sätze)?
– Kennen Sie Beispiele für Probleme mit Ableitungen in der Physik, Mathematik und Biologie?

Betrachtung der grundlegenden Definition eines Derivats und seiner Begründung (Antwort auf die erste Frage):

Derivat – eines der Grundkonzepte der Mathematik. Die Fähigkeit, Probleme mithilfe von Ableitungen zu lösen, erfordert gute Kenntnisse des theoretischen Materials und die Fähigkeit, in verschiedenen Situationen Forschung durchzuführen.

Deshalb werden wir heute in der Lektion die gewonnenen Erkenntnisse festigen und systematisieren, die Arbeit jeder Gruppe betrachten und bewerten und am Beispiel einiger Probleme zeigen, wie man andere Probleme mit der Ableitung und lösen kann nicht standardmäßige Aufgaben Verwendung von Derivaten.

III. Erläuterung des neuen Materials

1. Die Momentanleistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit:

W = lim ΔA/Δt ΔA – Jobwechsel.

2. Wenn sich ein Körper um eine Achse dreht, ist der Drehwinkel eine Funktion der Zeit T
Dann ist die Winkelgeschwindigkeit gleich:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ T → 0

3. Die aktuelle Stärke ist eine Ableitung Ι = lim Δg/Δt = g′, Wo G– positive elektrische Ladung, die im Laufe der Zeit durch den Querschnitt des Leiters übertragen wird Δt.

4. Lass ΔQ– die Wärmemenge, die erforderlich ist, um die Temperatur zu ändern Δt Zeit also lim ΔQ/Δt = Q′ = C – spezifische Wärme.

5. Problem mit der Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion

m(t) – m(t0) – Stoffmenge, die im Laufe der Zeit reagiert t0 Vor T

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Sei m die Masse der radioaktiven Substanz. Radioaktive Zerfallsrate: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

In differenzierter Form hat das Gesetz des radioaktiven Zerfalls die Form: dN/dt = – λN, Wo N– Anzahl der Kerne, die zeitlich nicht zerfallen sind T.

Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, erhalten wir: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const bei t = 0 Anzahl radioaktiver Kerne N = N0, von hier aus haben wir: ln N0 = const, somit

n N = – λt + ln N0.

Wenn wir diesen Ausdruck potenzieren, erhalten wir:

– das Gesetz des radioaktiven Zerfalls, wo N0– Anzahl der Kerne gleichzeitig t0 = 0, N– Anzahl der Kerne, die im Laufe der Zeit nicht zerfallen sind T.

7. Gemäß der Newtonschen Wärmeübertragungsgleichung die Wärmeflussrate dQ/dt ist direkt proportional zur Fensterfläche S und der Temperaturdifferenz ΔT zwischen Innen- und Außenglas und umgekehrt proportional zu seiner Dicke d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Das Phänomen der Diffusion ist der Prozess der Herstellung einer Gleichgewichtsverteilung

Innerhalb von Konzentrationsphasen. Die Diffusion geht zur Seite und gleicht die Konzentrationen aus.

m = D Δc/Δx c – Konzentration
m = D c׳x x – Koordinate, D - Diffusionskoeffizient

9. Es war bekannt, dass ein elektrisches Feld entweder elektrische Ladungen oder ein magnetisches Feld anregt, das eine einzige Quelle hat – elektrischen Strom. James Clark Maxwell führte eine Änderung der vor ihm entdeckten Gesetze des Elektromagnetismus ein: Ein Magnetfeld entsteht auch bei einer Änderung elektrisches Feld. Eine scheinbar kleine Änderung hatte enorme Folgen: Ein völlig neues physikalisches Objekt erschien, wenn auch nur an der Spitze der Feder – eine elektromagnetische Welle. Im Gegensatz zu Faraday, der seine Existenz für möglich hielt, leitete Maxwell meisterhaft die Gleichung für das elektrische Feld ab:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Eine Änderung des elektrischen Feldes verursacht das Erscheinen Magnetfeld an jedem Punkt im Raum, mit anderen Worten, die Änderungsrate des elektrischen Feldes bestimmt die Größe des Magnetfelds. Unter dem Großen elektrischer Schock– größeres Magnetfeld.

IV. Festigung des Gelernten

– Sie und ich haben das Derivat und seine Eigenschaften untersucht. Ich würde gerne Gilberts philosophische Aussage lesen: „Jeder Mensch hat eine bestimmte Einstellung. Wenn sich dieser Horizont auf das Unendliche verengt, wird er zu einem Punkt. Dann sagt die Person, dass dies ihr Standpunkt ist.“
Versuchen wir, den Standpunkt zur Anwendung der Ableitung zu messen!

Die Handlung von „Leaf“(Verwendung von Derivaten in Biologie, Physik, Leben)

Betrachten wir den Sturz als eine ungleichmäßige Bewegung in Abhängigkeit von der Zeit.

Also: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Theoretische Übersicht: Mechanische Bedeutung der Ableitung).

1. Probleme lösen

Lösen Sie Probleme selbst.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Schreiben wir das Gesetz von Porton II auf und schreiben es unter Berücksichtigung der mechanischen Bedeutung der Ableitung in der Form um: F = mV′ F = mS″

Die Handlung von „Wolves, Gophers“

Kehren wir zu den Gleichungen zurück: Betrachten Sie die Differentialgleichungen des exponentiellen Wachstums und der exponentiellen Abnahme: F = ma F = mV’ F = mS“
Viele Probleme in der Physik, der technischen Biologie usw. lösen Sozialwissenschaften werden auf das Problem der Funktionsfindung reduziert f"(x) = kf(x), Erfüllung der Differentialgleichung, wo k = konst .

Menschliche Formel

Ein Mensch ist so oft größer als ein Atom, wie er kleiner als ein Stern ist:

Es folgt dem
Dies ist die Formel, die den Platz des Menschen im Universum bestimmt. Demnach repräsentiert die Größe eines Menschen die durchschnittliche Proportionalität eines Sterns und eines Atoms.

Ich möchte die Lektion mit den Worten Lobatschewskis beenden: „Es gibt keinen einzigen Bereich der Mathematik, egal wie abstrakt er auch sein mag, der eines Tages nicht auf die Phänomene der realen Welt anwendbar sein wird.“

V. Lösung von Zahlen aus der Sammlung:

Eigenständige Problemlösung im Vorstand, gemeinsame Analyse von Problemlösungen:

№ 1 Finden Sie die Bewegungsgeschwindigkeit materieller Punkt am Ende der 3. Sekunde, wenn die Bewegung des Punktes durch die Gleichung s = t^2 –11t + 30 gegeben ist.

№ 2 Der Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 6t – t^2. In welchem ​​Moment wird seine Geschwindigkeit sein? gleich Null?

№ 3 Zwei Körper bewegen sich geradlinig: einer nach dem Gesetz s = t^3 – t^2 – 27t, der andere nach dem Gesetz s = t^2 + 1. Bestimmen Sie den Moment, in dem sich herausstellt, dass die Geschwindigkeiten dieser Körper gleich sind .

№ 4 Für ein Auto, das sich mit einer Geschwindigkeit von 30 m/s bewegt, wird der Bremsweg durch die Formel s(t) = 30t-16t^2 bestimmt, wobei s(t) die Entfernung in Metern und t die Bremszeit in Sekunden ist . Wie lange dauert das Bremsen, bis das Auto vollständig zum Stillstand kommt? Wie groß ist die Entfernung? ein Auto wird vorbeifahren vom Beginn der Bremsung bis zum völligen Stillstand?

№5 Ein Körper mit einer Masse von 8 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 2t^2+ 3t – 1. Finden kinetische Energie body (mv^2/2) 3 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

Lösung: Lassen Sie uns die Bewegungsgeschwindigkeit des Körpers zu jedem Zeitpunkt ermitteln:
V = ds / dt = 4t + 3
Berechnen wir die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Bestimmen wir die kinetische Energie des Körpers zum Zeitpunkt t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Finden Sie die kinetische Energie des Körpers 4 s nach Beginn der Bewegung, wenn seine Masse 25 kg beträgt und das Bewegungsgesetz die Form s = 3t^2- 1 hat.

№7 Ein Körper mit einer Masse von 30 kg bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz s = 4t^2 + t. Beweisen Sie, dass die Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss einer konstanten Kraft erfolgt.
Lösung: Wir haben s‘ = 8t + 1, s“ = 8. Daher ist a(t) = 8 (m/s^2), d. h. mit diesem Bewegungsgesetz bewegt sich der Körper mit konstante Beschleunigung 8 m/s^2. Da außerdem die Masse des Körpers konstant ist (30 kg), ist nach dem zweiten Newtonschen Gesetz auch die auf ihn wirkende Kraft F = ma = 30 * 8 = 240 (H) ein konstanter Wert.

№8 Ein Körper mit einem Gewicht von 3 kg bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Finden Sie die Kraft, die zum Zeitpunkt t = 4s auf den Körper wirkt.

№9 Ein materieller Punkt bewegt sich nach dem Gesetz s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Finden Sie seine Beschleunigung am Ende der 3. Sekunde.

VI. Anwendung der Ableitung in der Mathematik:

Die Ableitung in der Mathematik zeigt numerischer Ausdruck der Grad der Änderung einer am selben Punkt befindlichen Größe unter dem Einfluss unterschiedlicher Bedingungen.

Die Ableitungsformel stammt aus dem 15. Jahrhundert. Der große italienische Mathematiker Tartagli beschäftigt sich in seinen Werken mit der Frage, wie stark die Flugreichweite eines Projektils von der Neigung des Geschützes abhängt.

Die Ableitungsformel findet sich häufig in Werken berühmte Mathematiker 17. Jahrhundert. Es wurde von Newton und Leibniz verwendet.

Widmet dem Berühmten eine ganze Abhandlung über die Rolle von Ableitungen in der Mathematik Wissenschaftler Galileo Galilei. Dann fanden sich die Ableitung und verschiedene Darstellungen mit ihrer Anwendung in den Werken von Descartes, dem französischen Mathematiker Roberval und dem Engländer Gregory. Große Beiträge zur Erforschung des Derivats wurden von Köpfen wie L'Hopital, Bernoulli, Langrange und anderen geleistet.

1. Zeichnen Sie ein Diagramm und untersuchen Sie die Funktion:

Lösung für dieses Problem:

Ein Moment der Entspannung

VII. Anwendung der Ableitung in der Physik:

Bei der Untersuchung bestimmter Prozesse und Phänomene stellt sich häufig die Aufgabe, die Geschwindigkeit dieser Prozesse zu bestimmen. Seine Lösung führt zum Konzept der Ableitung, dem Grundkonzept der Differentialrechnung.

Die Methode der Differentialrechnung entstand im 17. und 18. Jahrhundert. Die Namen zweier großer Mathematiker – I. Newton und G.V. – sind mit der Entstehung dieser Methode verbunden. Leibniz.

Newton entdeckte die Differentialrechnung, als er Probleme über die Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes löste dieser Moment Zeit (Momentangeschwindigkeit).

In der Physik wird die Ableitung hauptsächlich zur Berechnung des größten bzw niedrigsten Werte beliebige Mengen.

№1 Potenzielle Energie U Das Feld eines Teilchens, in dem sich ein anderes, genau dasselbe Teilchen befindet, hat die Form: U = a/r 2 – b/r, Wo A Und B- positive Konstanten, R- Abstand zwischen Partikeln. Finden Sie: a) Wert r0 entsprechend der Gleichgewichtslage des Teilchens; b) Finden Sie heraus, ob diese Situation stabil ist; V) Fmax der Wert der Anziehungskraft; d) Zeichnen Sie ungefähre Abhängigkeitsdiagramme U(r) Und F(r).

Lösung für dieses Problem: Bestimmen r0 entsprechend der Gleichgewichtsposition des von uns untersuchten Teilchens f = U(r) bis zum Äußersten.

Nutzung der Verbindung zwischen der potentiellen Energie des Feldes

U Und F, Dann F = – dU/dr, wir bekommen F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; dabei r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Wir bestimmen ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht anhand des Vorzeichens der zweiten Ableitung:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Stellen Sie sich den Fall vor, dass Sand aus einer gefüllten Plattform verschüttet wird.
Impulsänderung über einen kurzen Zeitraum:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ T
Term Δ µtu ist der Impuls der Sandmenge, die während der Zeit Δ aus der Plattform geflossen ist T. Dann:
Δ p = MΔ u – µtΔ du – Δ µtΔ u = FΔ T
Teilen Sie durch Δ T und gehe weiter zum Grenzwert Δ T → 0
(M – µt)du/dt = F
Oder a1= du/dt= F/(M – µt)

Antwort: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Selbstständige Arbeit:

Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Die Gerade y = 2x tangiert die Funktion: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Finden Sie die Abszisse des Tangentialpunktes.

IX. Zusammenfassung der Lektion:

– Welchen Fragen war die Lektion gewidmet?
– Was hast du in der Lektion gelernt?
– Welche theoretischen Fakten wurden in der Lektion zusammengefasst?
– Welche betrachteten Aufgaben erwiesen sich als die schwierigsten? Warum?

Referenzliste:

1. Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Mathematische Modelle und Differentialgleichungen. – Minsk: Höhere Schule, 1982. – 272 S.
2. Amelkin V.V. Differentialgleichungen in Anwendungen. M.: Wissenschaft. Hauptredaktion für physikalische und mathematische Literatur, 1987. – 160 S.
3. Erugin N.P. Ein Buch zum Lesen zum allgemeinen Ablauf der Differentialgleichungen. – Minsk: Wissenschaft und Technologie, 1979. – 744 S.
4. .Magazin „Potential“ November 2007 Nr. 11
5. „Algebra und Prinzipien der Analyse“ 11. Klasse S.M. Nikolsky, M.K. Potapov und andere.
6. „Algebra und mathematische Analyse“ N.Ya. Vilenkin et al.
7. "Mathematik" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

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Physikalische Bedeutung von Derivat. Aufgaben!

Physikalische Bedeutung Derivat. Das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik umfasst eine Gruppe von Problemen, deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erfordert. Insbesondere gibt es Probleme, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) durch eine Gleichung ausgedrückt wird und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder zu der Zeit, nach der das Objekt bewegt wird, zu ermitteln wird eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen. Die Aufgaben sind sehr einfach, sie können in einer Aktion gelöst werden. Also:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes und t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ist die Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist also Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Änderungsrate eines Prozesses (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (usw.) sein, es gibt viele angewandte Probleme.

Darüber hinaus müssen Sie die Ableitungstabelle (Sie müssen sie genau wie die Multiplikationstabelle kennen) und die Differenzierungsregeln kennen. Konkret sind zur Lösung der genannten Probleme Kenntnisse der ersten sechs Ableitungen notwendig (siehe Tabelle):

x (t) = t 2 – 7t – 20

Dabei ist x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung einer Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Änderungsgeschwindigkeit eines Prozesses, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 – 48t + 17, wobei X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wobei X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Dabei ist x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​Zeitpunkt T die Geschwindigkeit 3 ​​m/s betrug, muss die Gleichung gelöst werden:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = t 2 – 13t + 23, wobei X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 3 ​​m/s?

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 2 m/s?

Ich möchte darauf hinweisen, dass Sie sich beim Einheitlichen Staatsexamen nicht nur auf diese Art von Aufgaben konzentrieren sollten. Sie können völlig unerwartet Probleme aufwerfen, die das Gegenteil der dargestellten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist und es darum geht, das Bewegungsgesetz zu finden.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (auch dies ist ein einstufiges Problem). Wenn Sie die zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Strecke ermitteln möchten, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Strecke berechnen. Wir werden jedoch auch solche Probleme analysieren, verpassen Sie es nicht! Ich wünsche Ihnen Erfolg!

matematikalegko.ru

Algebra und Anfänge mathematische Analyse, 11. Klasse (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Seite Nr. 094.

Lehrbuch:

OCR-Version der Seite aus dem Lehrbuch (Text der oben stehenden Seite):

Wie aus den zu Beginn dieses Absatzes betrachteten Problemen hervorgeht, sind die folgenden Aussagen wahr:

1. Wenn während einer geradlinigen Bewegung der von einem Punkt zurückgelegte Weg s eine Funktion der Zeit t ist, d. h. s = f(t), dann ist die Geschwindigkeit des Punktes die Ableitung des Weges nach der Zeit, d. h. v( t) =

Diese Tatsache drückt die mechanische Bedeutung der Ableitung aus.

2. Wenn am Punkt x 0 eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f (jc) gezogen wird, dann ist die Zahl f"(xo) die Tangente des Winkels a zwischen dieser Tangente und der positiven Richtung der Ox-Achse , also /"(x 0) =

Tga. Dieser Winkel wird Tangentenwinkel genannt.

Diese Tatsache kommt zum Ausdruck geometrische Bedeutung Derivat.

BEISPIEL 3. Finden wir den Tangens des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion y = 0,5jc 2 - 2x + 4 am Punkt mit der Abszisse x = 0.

Finden wir die Ableitung der Funktion f(x) = 0,5jc 2 - 2x + 4 an jedem Punkt x unter Verwendung von Gleichung (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Berechnen wir den Wert dieser Ableitung am Punkt x = 0:

Daher ist tga = -2. Der x-Graph der Funktion y = /(jc) und die Tangente an ihren Graphen am Punkt mit der Abszisse jc = 0 sind in Abbildung 95 dargestellt.

4.1 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz s = t 2. Finden:

a) Zeitinkrement D£ über das Zeitintervall von t x = 1 bis £ 2 - 2;

b) Inkrement des Pfades As über den Zeitraum von t x = 1 bis t 2 = 2;

V) Durchschnittsgeschwindigkeitüber das Zeitintervall von t x = 1 bis t 2 = 2.

4.2 Finden Sie in Aufgabe 4.1:

b) Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall von t bis t + At;

c) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t;

d) Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 1.

4.3 Der Punkt bewege sich geradlinig nach dem Gesetz:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) Inkrement des Pfades As über den Zeitraum von t bis t + At;

Lehrbuch: Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. 11. Klasse: pädagogisch. für die Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. Aufl. - M.: Bildung, 2009. - 464 S.: Abb.

Der Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig S = t 4 +2t (S - in Metern, T- in Sekunden). Finden Sie die durchschnittliche Beschleunigung im Intervall zwischen den Momenten t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, sowie seine wahre Beschleunigung im Moment T 3 = 6 s.

Lösung.

1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Punktes als Ableitung des Weges S nach der Zeit T, diese.

2. Ersetzen wir anstelle von t seine Werte t 1 = 5 s und t 2 = 7 s, finden wir die Geschwindigkeiten:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsinkrement ΔV für die Zeit Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Somit ist die durchschnittliche Beschleunigung des Punktes gleich

5. Bestimmen wahre Bedeutung Beschleunigung eines Punktes, wir bilden die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

6. Stattdessen ersetzen T Wert t 3 = 6 s, wir erhalten zu diesem Zeitpunkt Beschleunigung

av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Krummlinige Bewegung. Bei einer krummlinigen Bewegung ändert sich die Geschwindigkeit eines Punktes in Größe und Richtung.

Stellen wir uns einen Punkt vor M, die sich während der Zeit Δt entlang einer krummlinigen Flugbahn zu der Position bewegte M 1(Abb. 6).

Geschwindigkeitsinkrement-(Änderungs-)Vektor ΔV Wille

Für Um den Vektor ΔV zu finden, verschieben Sie den Vektor V 1 zum Punkt M und konstruiere ein Geschwindigkeitsdreieck. Bestimmen wir den Vektor der durchschnittlichen Beschleunigung:

Vektor ein Mi ist parallel zum Vektor ΔV, da die Division des Vektors durch eine skalare Größe die Richtung des Vektors nicht ändert. Der wahre Beschleunigungsvektor ist die Grenze, bis zu der das Verhältnis des Geschwindigkeitsvektors zum entsprechenden Zeitintervall Δt gegen Null geht, d.h.

Diese Grenze wird Vektorableitung genannt.

Auf diese Weise, Die wahre Beschleunigung eines Punktes während einer krummlinigen Bewegung ist gleich der Vektorableitung nach der Geschwindigkeit.

Aus Abb. 6 ist klar, dass Der Beschleunigungsvektor ist bei krummliniger Bewegung immer auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

Zur Vereinfachung der Berechnungen wird die Beschleunigung in zwei Komponenten der Bewegungsbahn zerlegt: entlang einer Tangente, die als Tangentialbeschleunigung (Tangentialbeschleunigung) bezeichnet wird A, und entlang der Normalen, genannt Normalbeschleunigung a n (Abb. 7).

In diesem Fall ist die Gesamtbeschleunigung gleich

Die Tangentialbeschleunigung stimmt in ihrer Richtung mit der Geschwindigkeit des Punktes überein oder ist ihr entgegengesetzt. Sie charakterisiert die Geschwindigkeitsänderung und wird entsprechend durch die Formel bestimmt

Die Normalbeschleunigung verläuft senkrecht zur Geschwindigkeitsrichtung des Punktes und ihr numerischer Wert wird durch die Formel bestimmt

wo r - Krümmungsradius der Flugbahn am betrachteten Punkt.

Da Tangential- und Normalbeschleunigung senkrecht zueinander stehen, wird der Wert der Gesamtbeschleunigung durch die Formel bestimmt

und seine Richtung

Wenn , dann sind die Tangentialbeschleunigungs- und Geschwindigkeitsvektoren in eine Richtung gerichtet und die Bewegung wird beschleunigt.

Wenn , dann ist der tangentiale Beschleunigungsvektor in die entgegengesetzte Richtung zum Geschwindigkeitsvektor gerichtet und die Bewegung wird langsam sein.

Der normale Beschleunigungsvektor ist immer auf den Krümmungsmittelpunkt gerichtet, weshalb er zentripetal genannt wird.

Physikalische Bedeutung von Derivat. Das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik umfasst eine Gruppe von Problemen, deren Lösung Kenntnisse und Verständnis der physikalischen Bedeutung der Ableitung erfordert. Insbesondere gibt es Probleme, bei denen das Bewegungsgesetz eines bestimmten Punktes (Objekts) durch eine Gleichung ausgedrückt wird und es erforderlich ist, seine Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt der Bewegung oder zu der Zeit, nach der das Objekt bewegt wird, zu ermitteln wird eine bestimmte Geschwindigkeit erreichen.Die Aufgaben sind sehr einfach, sie können in einer Aktion gelöst werden. Also:

Gegeben sei das Bewegungsgesetz eines materiellen Punktes x (t) entlang der Koordinatenachse, wobei x die Koordinate des sich bewegenden Punktes und t die Zeit ist.

Die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ist die Ableitung der Koordinate nach der Zeit. Dies ist die mechanische Bedeutung der Ableitung.

Ebenso ist die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit:

Die physikalische Bedeutung der Ableitung ist also Geschwindigkeit. Dies kann die Bewegungsgeschwindigkeit, die Änderungsrate eines Prozesses (z. B. das Wachstum von Bakterien), die Arbeitsgeschwindigkeit (usw.) sein, es gibt viele angewandte Probleme.

Darüber hinaus müssen Sie die Ableitungstabelle (Sie müssen sie genau wie die Multiplikationstabelle kennen) und die Differenzierungsregeln kennen. Konkret sind zur Lösung der genannten Probleme Kenntnisse der ersten sechs Ableitungen notwendig (siehe Tabelle):

Betrachten wir die Aufgaben:

x (t) = t 2 – 7t – 20

wobei x t die Zeit in Sekunden ist, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 5 s.

Die physikalische Bedeutung einer Ableitung ist Geschwindigkeit (Bewegungsgeschwindigkeit, Änderungsgeschwindigkeit eines Prozesses, Arbeitsgeschwindigkeit usw.)

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Bei t = 5 haben wir:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 6t 2 – 48t + 17, wobei X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 9 s.

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, wo XT- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 6 s.

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern,T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t = 3 s.

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

Dabei ist x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern, t die Zeit in Sekunden, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 6 m/s?

Finden wir das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung:

Um herauszufinden, zu welchem ​​ZeitpunktTdie Geschwindigkeit 3 ​​m/s betrug, muss die Gleichung gelöst werden:

Antwort: 3

Entscheide dich selbst:

Der materielle Punkt bewegt sich geradlinig nach dem Gesetz x (t) = t 2 – 13t + 23, wobei X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 3 ​​m/s?

Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 2 m/s?

Ich möchte darauf hinweisen, dass Sie sich beim Einheitlichen Staatsexamen nicht nur auf diese Art von Aufgaben konzentrieren sollten. Sie können völlig unerwartet Probleme aufwerfen, die das Gegenteil der dargestellten sind. Wenn das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung gegeben ist und es darum geht, das Bewegungsgesetz zu finden.

Hinweis: In diesem Fall müssen Sie das Integral der Geschwindigkeitsfunktion finden (auch dies ist ein einstufiges Problem). Wenn Sie die zu einem bestimmten Zeitpunkt zurückgelegte Strecke ermitteln möchten, müssen Sie die Zeit in die resultierende Gleichung einsetzen und die Strecke berechnen. Wir werden jedoch auch solche Probleme analysieren, verpassen Sie es nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir etwas über die Seite erzählen würden in sozialen Netzwerken.