Der kleinste Wert einer Funktion in Bezug auf ihre Ableitung. So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion

Wie finde ich den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem Segment?

Dafür Wir folgen einem bekannten Algorithmus:

1 . Wir finden ODZ-Funktionen.

2 . Finden der Ableitung der Funktion

3 . Die Ableitung mit Null gleichsetzen

4 . Wir ermitteln die Intervalle, über die die Ableitung ihr Vorzeichen behält, und bestimmen daraus die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion:

Wenn im Intervall I die Ableitung der Funktion 0 ist" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} nimmt in diesem Zeitraum zu.

Wenn auf dem Intervall I die Ableitung der Funktion ist, dann ist die Funktion nimmt in diesem Zeitraum ab.

5 . Wir finden Maximal- und Minimalpunkte der Funktion.

IN Am Maximalpunkt der Funktion ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ nach „-“..

IN Minimalpunkt der Funktiondie Ableitung ändert das Vorzeichen von „-“ zu „+“.

6 . Wir finden den Wert der Funktion an den Enden des Segments,

• dann vergleichen wir den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Maximalpunkten und Wählen Sie bei Bedarf die größte davon aus Höchster Wert Funktionen
• oder vergleichen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an den Mindestpunkten und Wählen Sie den kleinsten Wert aus, wenn Sie den kleinsten Wert der Funktion ermitteln möchten

Abhängig davon, wie sich die Funktion auf dem Segment verhält, kann dieser Algorithmus jedoch erheblich reduziert werden.

Betrachten Sie die Funktion . Der Graph dieser Funktion sieht folgendermaßen aus:

Schauen wir uns einige Beispiele zur Lösung von Problemen aus der Open Task Bank an

1 . Aufgabe B15 (Nr. 26695)

Auf dem Segment.

1. Die Funktion ist für alle reellen Werte von x definiert

Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen und die Ableitung ist für alle Werte von x positiv. Folglich nimmt die Funktion zu und nimmt am rechten Ende des Intervalls, also bei x=0, den größten Wert an.

Antwort: 5.

2 . Aufgabe B15 (Nr. 26702)

Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment.

1. ODZ-Funktionen title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Die Ableitung ist bei gleich Null, ändert jedoch an diesen Punkten das Vorzeichen nicht:

Daher ist title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} steigt und nimmt den größten Wert am rechten Ende des Intervalls an, bei .

Um deutlich zu machen, warum die Ableitung das Vorzeichen nicht ändert, transformieren wir den Ausdruck für die Ableitung wie folgt:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Antwort: 5.

3. Aufgabe B15 (Nr. 26708)

Finden Sie den kleinsten Wert der Funktion im Segment.

1. ODZ-Funktionen: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Legen wir die Wurzeln dieser Gleichung auf den trigonometrischen Kreis.

Das Intervall enthält zwei Zahlen: und

Lasst uns Schilder aufstellen. Dazu bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung am Punkt x=0: . Beim Durchlaufen der Punkte und ändert die Ableitung das Vorzeichen.

Stellen wir den Vorzeichenwechsel der Ableitung einer Funktion auf der Koordinatenlinie dar:

Offensichtlich ist der Punkt ein Minimalpunkt (an dem die Ableitung das Vorzeichen von „-“ zu „+“ ändert), und um den kleinsten Wert der Funktion auf dem Segment zu finden, müssen Sie die Werte der Funktion bei vergleichen am Minimalpunkt und am linken Ende des Segments, .

Der Prozess der Suche nach den kleinsten und größten Werten einer Funktion auf einem Segment erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (Graph einer Funktion) in einem Hubschrauber, bei dem man mit einer Langstreckenkanone auf bestimmte Punkte feuert und sehr viel auswählt Spezielle Punkte von diesen Punkten für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Angenommen, Sie möchten den größten Wert der Funktion ermitteln F(X) auf dem Segment [ A, B] . Dazu müssen Sie alle kritischen Punkte finden, die auf [ A, B] .

Kritischer Punkt nennt man den Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder gleich Null oder nicht vorhanden. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an den kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B)). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Probleme beim Finden kleinste Funktionswerte .

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion. Setzen wir die Ableitung mit Null () gleich und erhalten zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2]. Diese Funktionswerte sind: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot angezeigt), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(in der Grafik ebenfalls rot), beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann darf es unter den Werten der Funktion nicht den kleinsten und den größten geben. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten gezeigte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

.

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Segment [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an Punkt und Höchster Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern beim Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine Lösungsbeispiele geben, die komplexer sind als die gerade besprochenen, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder a ist Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es solche, die die Schüler gerne zum vollständigen Denken zwingen (die Ableitungstabelle). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, am Punkt und am Punkt und Höchster Wert, gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und Höchster Wert, gleich , an der Stelle .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (maximalen) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit: das Zusammenstellen von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Größe sollte der Tank haben, damit möglichst wenig Material zur Abdeckung verbraucht wird?

Lösung. Lassen X- Basisseite, H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen nutzen wir die Tatsache, dass , von wo . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Lassen Sie uns diese Funktion bis zum Äußersten untersuchen. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

.

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, ist dieser Wert außerdem nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Das ist also der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir anhand des zweiten ausreichenden Zeichens, ob ein Extremum vorliegt. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Seit dem Minimum ist das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe 2 m betragen.

Beispiel 9. Von Punkt A Liegt direkt an der Bahnstrecke, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon gelegen l Es muss Fracht transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn betragen sie . Bis zu welchem ​​Punkt M Linien Eisenbahn Für den Gütertransport sollte eine Autobahn gebaut werden A V MIT war am wirtschaftlichsten (Abschnitt AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahnlinie gerade ist)?

Und um es zu lösen, benötigen Sie minimale Kenntnisse des Themas. Der nächste endet Schuljahr, jeder möchte in den Urlaub fahren, und um diesen Moment näher zu bringen, komme ich gleich zur Sache:

Beginnen wir mit der Gegend. Der in der Bedingung genannte Bereich ist begrenzt geschlossen Menge von Punkten auf einer Ebene. Zum Beispiel die Menge der durch ein Dreieck begrenzten Punkte, einschließlich des GANZEN Dreiecks (falls von Grenzen mindestens einen Punkt „herauspicken“, dann wird die Region nicht mehr geschlossen). In der Praxis gibt es auch Bereiche mit rechteckigen, runden und etwas komplexeren Formen. Es sollte beachtet werden, dass dies theoretisch der Fall ist mathematische Analyse Es werden strenge Definitionen gegeben Einschränkungen, Isolation, Grenzen usw., aber ich denke, jeder ist sich dieser Konzepte auf einer intuitiven Ebene bewusst, und jetzt ist nichts mehr nötig.

Eine flache Region wird standardmäßig mit dem Buchstaben bezeichnet und in der Regel analytisch – durch mehrere Gleichungen – spezifiziert (nicht unbedingt linear); seltener Ungleichheiten. Typische Redewendung: „durch Linien begrenzter, geschlossener Bereich.“

Ein wesentlicher Bestandteil der betrachteten Aufgabe ist die Konstruktion eines Bereichs in der Zeichnung. Wie kann man das machen? Sie müssen alle aufgelisteten Linien zeichnen (in diesem Fall 3). gerade) und analysieren Sie, was passiert ist. Der durchsuchte Bereich ist normalerweise leicht schattiert und sein Rand ist mit einer dicken Linie markiert:


Der gleiche Bereich kann auch eingestellt werden Lineare Ungleichungen: , die aus irgendeinem Grund oft eher als aufgezählte Liste geschrieben werden als System.
Da die Grenze zur Region gehört, sind natürlich alle Ungleichungen lax.

Und nun der Kern der Aufgabe. Stellen Sie sich vor, dass die Achse vom Ursprung direkt auf Sie zukommt. Betrachten Sie eine Funktion, die kontinuierlich in jedem Flächenpunkt. Der Graph dieser Funktion stellt einige dar Oberfläche, und das kleine Glück ist, dass wir zur Lösung des heutigen Problems nicht wissen müssen, wie diese Oberfläche aussieht. Es kann höher oder tiefer liegen, die Ebene schneiden – das alles spielt keine Rolle. Und Folgendes ist wichtig: gem Die Sätze von Weierstrass, kontinuierlich V begrenzt geschlossen In diesem Bereich erreicht die Funktion ihren größten Wert (das höchste") und das Geringste (das Niedrigste") Werte, die gefunden werden müssen. Solche Werte werden erreicht oder V stationäre Punkte, zur Region gehörendD , oder an Punkten, die an der Grenze dieses Gebietes liegen. Dies führt zu einem einfachen und transparenten Lösungsalgorithmus:

Beispiel 1

In einem begrenzten geschlossenen Bereich

Lösung: Zunächst müssen Sie den Bereich in der Zeichnung darstellen. Leider ist es für mich technisch schwierig, ein interaktives Modell des Problems zu erstellen, und deshalb werde ich gleich die endgültige Abbildung präsentieren, die alle bei der Recherche gefundenen „verdächtigen“ Punkte zeigt. Sie werden normalerweise nacheinander aufgelistet, sobald sie entdeckt werden:

Basierend auf der Präambel lässt sich die Entscheidung praktischerweise in zwei Punkte unterteilen:

I) Finden Sie stationäre Punkte. Dies ist eine Standardaktion, die wir im Unterricht wiederholt durchgeführt haben. über Extrema mehrerer Variablen:

Stationärer Punkt gefunden gehört Bereiche: (markieren Sie es auf der Zeichnung), was bedeutet, dass wir den Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen sollten:

- wie im Artikel Der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment, wichtige Ergebnisse werde ich fett hervorheben. Es ist praktisch, sie mit einem Bleistift in einem Notizbuch nachzuzeichnen.

Achten Sie auf unser zweites Glück – es hat keinen Sinn, es zu überprüfen ausreichende Bedingung für ein Extremum. Warum? Auch wenn die Funktion an einem Punkt beispielsweise erreicht lokales Minimum, dann BEDEUTET dies NICHT, dass der resultierende Wert sein wird minimal in der gesamten Region (siehe Beginn der Lektion über unbedingte Extreme) .

Was tun, wenn der stationäre Punkt NICHT zur Region gehört? Fast nichts! Das ist zu beachten und mit dem nächsten Punkt fortzufahren.

II) Wir erkunden die Grenze der Region.

Da die Grenze aus den Seiten eines Dreiecks besteht, ist es sinnvoll, die Studie in drei Unterabschnitte zu unterteilen. Aber es ist besser, es trotzdem nicht zu tun. Aus meiner Sicht ist es zunächst vorteilhafter, die Segmente zu betrachten, die parallel zu den Koordinatenachsen liegen, und zunächst diejenigen, die auf den Achsen selbst liegen. Um die gesamte Abfolge und Logik der Handlungen zu erfassen, versuchen Sie, das Ende „in einem Atemzug“ zu studieren:

1) Befassen wir uns mit der Unterseite des Dreiecks. Ersetzen Sie dazu direkt in die Funktion:

Alternativ können Sie es auch so machen:

Geometrisch bedeutet dies, dass die Koordinatenebene (was auch durch die Gleichung gegeben ist)„schnitzt“ heraus Oberflächen eine „räumliche“ Parabel, deren Spitze sofort in Verdacht gerät. Lass es uns herausfinden Wo ist sie?:

– Der resultierende Wert „fiel“ in den Bereich, und es kann durchaus sein, dass sich das an der Stelle herausstellt (auf der Zeichnung markiert) die Funktion erreicht den größten oder kleinsten Wert im gesamten Bereich. So oder so, lassen Sie uns die Berechnungen durchführen:

Die anderen „Kandidaten“ sind natürlich die Enden des Segments. Berechnen wir die Werte der Funktion an Punkten (auf der Zeichnung markiert):

Hier können Sie übrigens einen mündlichen Mini-Check in einer „abgespeckten“ Variante durchführen:

2) Um die rechte Seite des Dreiecks zu studieren, setzen Sie sie in die Funktion ein und „ordnen Sie die Dinge“:

Hier führen wir gleich eine grobe Prüfung durch, indem wir das bereits bearbeitete Ende des Segments „klingeln“ lassen:
, Großartig.

Die geometrische Situation hängt mit dem vorherigen Punkt zusammen:

– Der resultierende Wert „kam auch in den Bereich unseres Interesses“, was bedeutet, dass wir berechnen müssen, was die Funktion am angezeigten Punkt ist:

Schauen wir uns das zweite Ende des Segments an:

Verwendung der Funktion , führen wir eine Kontrollprüfung durch:

3) Wahrscheinlich kann jeder erraten, wie man die verbleibende Seite erkundet. Wir setzen es in die Funktion ein und führen Vereinfachungen durch:

Enden des Segments sind bereits recherchiert, im Entwurf prüfen wir aber noch, ob wir die Funktion richtig gefunden haben :
– stimmte mit dem Ergebnis von Unterabsatz 1 überein;
– stimmte mit dem Ergebnis des zweiten Unterabsatzes überein.

Es bleibt abzuwarten, ob es in dem Segment etwas Interessantes gibt:

- Es gibt! Wenn wir die Gerade in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die Ordinate dieser „Interessantheit“:

Wir markieren einen Punkt auf der Zeichnung und ermitteln den entsprechenden Wert der Funktion:

Überprüfen wir die Berechnungen anhand der „Budget“-Version :
, Befehl.

Und der letzte Schritt: Wir schauen uns SORGFÄLTIG alle „fetten“ Zahlen an, ich empfehle Anfängern sogar, eine einzige Liste zu erstellen:

aus denen wir die größten und kleinsten Werte auswählen. Antwort Schreiben wir im Stil des Findens das Problem auf der größte und kleinste Wert einer Funktion auf einem Segment:

Für alle Fälle werde ich noch einmal einen Kommentar abgeben geometrische Bedeutung Ergebnis:
- hier ist das Meiste Hochpunkt Flächen in der Umgebung;
– hier ist der tiefste Punkt der Oberfläche in der Gegend.

In der analysierten Aufgabe haben wir 7 „verdächtige“ Punkte identifiziert, deren Anzahl jedoch von Aufgabe zu Aufgabe variiert. Für einen dreieckigen Bereich besteht der minimale „Forschungssatz“ aus drei Punkte. Dies geschieht beispielsweise, wenn die Funktion Folgendes angibt Flugzeug– Es ist völlig klar, dass es keine stationären Punkte gibt und die Funktion ihre maximalen/kleinsten Werte nur an den Eckpunkten des Dreiecks erreichen kann. Aber es gibt nur ein oder zwei ähnliche Beispiele – normalerweise muss man sich mit einigen auseinandersetzen Oberfläche 2. Ordnung.

Wenn Sie solche Aufgaben ein wenig lösen, können Ihnen die Dreiecke den Kopf verdrehen, und deshalb habe ich ungewöhnliche Beispiele für Sie vorbereitet, um es quadratisch zu machen :))

Beispiel 2

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen, durch Linien begrenzten Bereich

Beispiel 3

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem begrenzten geschlossenen Bereich.

Besondere Aufmerksamkeit Achten Sie auf die rationale Reihenfolge und Technik der Untersuchung der Grenzen der Region sowie auf die Kette der Zwischenprüfungen, wodurch Rechenfehler fast vollständig vermieden werden. Im Allgemeinen können Sie es so lösen, wie Sie möchten, aber bei manchen Problemen, zum Beispiel in Beispiel 2, besteht die Möglichkeit, dass es Ihnen das Leben deutlich schwerer macht. Eine ungefähre Auswahl der Abschlussaufgaben am Ende der Lektion.

Lassen Sie uns den Lösungsalgorithmus systematisieren, sonst ging er bei meiner Sorgfalt als Spinne irgendwie in der langen Kommentarkette des 1. Beispiels verloren:

– Im ersten Schritt bauen wir eine Fläche, es empfiehlt sich, diese zu schattieren und den Rand mit einer fetten Linie hervorzuheben. Während der Lösung erscheinen Punkte, die auf der Zeichnung markiert werden müssen.

– Finden Sie stationäre Punkte und berechnen Sie die Werte der Funktion nur in denen von ihnen die zur Region gehören. Die resultierenden Werte markieren wir im Text (kreisen sie beispielsweise mit einem Bleistift ein). Wenn ein stationärer Punkt NICHT zur Region gehört, dann kennzeichnen wir diesen Umstand mit einem Symbol oder verbal. Wenn überhaupt keine stationären Punkte vorhanden sind, schließen wir schriftlich, dass sie fehlen. Auf jeden Fall darf dieser Punkt nicht übersprungen werden!

– Wir erkunden die Grenze der Region. Zunächst ist es hilfreich, die geraden Linien zu verstehen, die parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen (falls es überhaupt welche gibt). Wir heben auch die an „verdächtigen“ Punkten berechneten Funktionswerte hervor. Oben wurde viel über die Lösungstechnik gesagt und noch etwas anderes wird weiter unten gesagt – lesen, noch einmal lesen, sich damit befassen!

– Wählen Sie aus den ausgewählten Zahlen den größten und kleinsten Wert aus und geben Sie die Antwort an. Manchmal kommt es vor, dass eine Funktion solche Werte an mehreren Punkten gleichzeitig erreicht – in diesem Fall sollten sich alle diese Punkte in der Antwort widerspiegeln. Lassen Sie zum Beispiel und es stellte sich heraus, dass dies der kleinste Wert ist. Dann schreiben wir das auf

Die letzten Beispiele sind anderen gewidmet nützliche Ideen was in der Praxis nützlich sein wird:

Beispiel 4

Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich .

Ich habe die Formulierung des Autors beibehalten, in der die Fläche in Form einer doppelten Ungleichung angegeben wird. Diese Bedingung kann von einem äquivalenten System oder in einer traditionelleren Form für dieses Problem geschrieben werden:

Ich erinnere Sie daran mit nichtlinear Wir sind auf Ungleichungen gestoßen, und wenn Sie die geometrische Bedeutung der Notation nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht und klären Sie die Situation jetzt ;-)

Lösung Wie immer beginnt man mit der Konstruktion einer Fläche, die eine Art „Sohle“ darstellt:

Hmm, manchmal muss man nicht nur den Granit der Wissenschaft durchkauen...

I) Finden Sie stationäre Punkte:

Das System ist der Traum eines Idioten :)

Ein stationärer Punkt gehört zu der Region, liegt nämlich auf ihrer Grenze.

Und so ist es in Ordnung... der Unterricht ist gut verlaufen - das bedeutet es, den richtigen Tee zu trinken =)

II) Wir erkunden die Grenze der Region. Beginnen wir ohne weitere Umschweife mit der x-Achse:

1) Wenn, dann

Finden wir heraus, wo sich der Scheitelpunkt der Parabel befindet:
– Schätzen Sie solche Momente – Sie haben genau den Punkt „getroffen“, von dem aus bereits alles klar ist. Aber wir vergessen immer noch nicht, Folgendes zu überprüfen:

Berechnen wir die Werte der Funktion an den Enden des Segments:

2) C unten Lassen Sie uns die „Böden“ „in einer Sitzung“ herausfinden – wir setzen sie ohne Komplexe in die Funktion ein und interessieren uns nur für das Segment:

Kontrolle:

Das bringt schon etwas Spannung in das eintönige Fahren auf der Rändelschiene. Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Lass uns entscheiden quadratische Gleichung, erinnerst du dich noch an etwas dazu? ...Denken Sie aber natürlich daran, sonst würden Sie diese Zeilen nicht lesen =) Wenn in den beiden vorherigen Beispielen Berechnungen in Dezimalstellen(was übrigens selten vorkommt), dann erwarten uns hier die Üblichen gemeinsame Brüche. Wir finden die „X“-Wurzeln und verwenden die Gleichung, um die entsprechenden „Spiel“-Koordinaten der „Kandidaten“-Punkte zu bestimmen:


Berechnen wir die Werte der Funktion an den gefundenen Punkten:

Überprüfen Sie die Funktion selbst.

Jetzt studieren wir sorgfältig die gewonnenen Trophäen und schreiben sie auf Antwort:

Das sind „Kandidaten“, das sind „Kandidaten“!

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 5

Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion in einem geschlossenen Bereich

Ein Eintrag mit geschweiften Klammern lautet wie folgt: „eine Menge von Punkten, so dass.“

Manchmal verwenden sie in solchen Beispielen Lagrange-Multiplikator-Methode, aber es ist unwahrscheinlich, dass ein wirklicher Bedarf besteht, es zu verwenden. Wenn also zum Beispiel eine Funktion mit der gleichen Fläche „de“ gegeben ist, dann gibt es nach der Substitution in diese – mit der Ableitung von – keine Schwierigkeiten; Darüber hinaus ist alles „in einer Zeile“ (mit Zeichen) dargestellt, ohne dass der obere und der untere Halbkreis getrennt betrachtet werden müssen. Es gibt aber natürlich auch komplexere Fälle, in denen auf die Lagrange-Funktion verzichtet wird (wobei zum Beispiel die gleiche Kreisgleichung ist) Es ist schwer, durchzukommen – genauso wie es schwierig ist, ohne eine gute Erholung auszukommen!

Habt alle eine gute Zeit und bis bald nächste Saison!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung: Lassen Sie uns den Bereich in der Zeichnung darstellen:

Größter und kleinster Wert einer Funktion

Der größte Wert einer Funktion ist der größte, der kleinste Wert der kleinste aller ihrer Werte.

Eine Funktion kann nur einen größten und nur einen kleinsten Wert oder gar keinen haben. Das Ermitteln der größten und kleinsten Werte stetiger Funktionen basiert auf den folgenden Eigenschaften dieser Funktionen:

1) Wenn in einem bestimmten Intervall (endlich oder unendlich) die Funktion y=f(x) stetig ist und nur ein Extremum hat und dieses ein Maximum (Minimum) ist, dann ist es der größte (kleinste) Wert der Funktion in diesem Intervall.

2) Wenn die Funktion f(x) auf einem bestimmten Segment stetig ist, dann hat sie auf diesem Segment zwangsläufig den größten und kleinsten Wert. Diese Werte werden entweder an Extrempunkten erreicht, die innerhalb des Segments liegen, oder an den Grenzen dieses Segments.

Um die größten und kleinsten Werte in einem Segment zu finden, empfiehlt es sich, das folgende Schema zu verwenden:

1. Finden Sie die Ableitung.

2. Finden Sie kritische Punkte der Funktion, an denen =0 oder nicht existiert.

3. Finden Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments und wählen Sie daraus das größte f max und das kleinste f max aus.

Bei der Lösung angewandter Probleme, insbesondere Optimierungsprobleme, wichtig haben die Aufgabe, den größten und kleinsten Wert (globales Maximum und globales Minimum) einer Funktion im Intervall X zu finden. Um solche Probleme zu lösen, sollte man basierend auf der Bedingung eine unabhängige Variable auswählen und den untersuchten Wert durch ausdrücken diese Variable. Finden Sie dann den gewünschten größten oder kleinsten Wert der resultierenden Funktion. In diesem Fall wird auch das Änderungsintervall der unabhängigen Variablen, das endlich oder unendlich sein kann, aus den Bedingungen des Problems bestimmt.

Beispiel. Der Tank, der die Form eines oben offenen rechteckigen Parallelepipeds mit quadratischem Boden hat, muss innen mit Zinn verzinnt sein. Wie groß sollte der Tank sein, wenn sein Fassungsvermögen 108 Liter beträgt? Wasser, so dass die Kosten für die Verzinnung minimal sind?

Lösung. Die Kosten für die Beschichtung eines Tanks mit Zinn sind minimal, wenn seine Oberfläche bei gegebenem Fassungsvermögen minimal ist. Bezeichnen wir mit a dm die Seite des Sockels, b dm die Höhe des Tanks. Dann ist die Fläche S seiner Oberfläche gleich

UND

Die resultierende Beziehung stellt die Beziehung zwischen der Oberfläche des Reservoirs S (Funktion) und der Seite der Basis a (Argument) her. Untersuchen wir die Funktion S für ein Extremum. Finden wir die erste Ableitung, setzen sie mit Null gleich und lösen die resultierende Gleichung:

Daher ist a = 6. (a) > 0 für a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Beispiel. Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf dem Intervall.

Lösung: Angegebene Funktion stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl. Ableitung einer Funktion

Ableitung für und für . Berechnen wir die Funktionswerte an diesen Punkten:

.

Die Werte der Funktion an den Enden des angegebenen Intervalls sind gleich. Daher ist der größte Wert der Funktion gleich at, der kleinste Wert der Funktion ist gleich at.

Fragen zum Selbsttest

1. Formulieren Sie die L'Hopital-Regel zur Offenlegung von Formunsicherheiten. Listen Sie die verschiedenen Arten von Unsicherheiten auf, die mit der L'Hopital-Regel gelöst werden können.

2. Formulieren Sie die Zeichen der zunehmenden und abnehmenden Funktion.

3. Definieren Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion.

4. Formulieren notwendige Bedingung Existenz eines Extremums.

5. Welche Werte des Arguments (welche Punkte) werden als kritisch bezeichnet? Wie findet man diese Punkte?

6. Was sind ausreichende Anzeichen für die Existenz eines Extremums einer Funktion? Skizzieren Sie ein Schema zur Untersuchung einer Funktion an einem Extremum unter Verwendung der ersten Ableitung.

7. Skizzieren Sie ein Schema zur Untersuchung einer Funktion an einem Extremum unter Verwendung der zweiten Ableitung.

8. Definieren Sie die Konvexität und Konkavität einer Kurve.

9. Wie nennt man den Wendepunkt des Graphen einer Funktion? Geben Sie eine Methode zum Auffinden dieser Punkte an.

10. Formulieren Sie die notwendigen und ausreichende Zeichen Konvexität und Konkavität einer Kurve auf einem bestimmten Segment.

11. Definieren Sie die Asymptote einer Kurve. Wie finde ich die vertikalen, horizontalen und schrägen Asymptoten des Funktionsgraphen?

12. Gliederung allgemeines Schema eine Funktion erforschen und ihren Graphen erstellen.

13. Formulieren Sie eine Regel zum Ermitteln der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem bestimmten Intervall.