Methodik zur Lösung von Konstruktionsproblemen in der Stereometrie. Zusammenfassung zum mathematischen Bild räumlicher Figuren auf einer Ebene

Berücksichtigt werden die Besonderheiten der Konstruktion von Figurenbildern, vor allem flacher Figuren, und die Aufgabe, Figuren auf Bildern zu konstruieren.

Bei der Untersuchung der Frage der Figurendarstellung in der Stereometrie konzentrieren wir uns auf die Darstellung flacher Figuren. Und das ist verständlich, denn wenn wir einen realen physischen Gegenstand (ein Haus, einen Würfel, ein Buch usw.) betrachten, sehen wir eine Oberfläche, die in vielen Fällen aus flachen Teilen besteht (Abb. 201 - 203). Zeichnungen und technische Zeichnungen versuchen in erster Linie die Oberfläche eines Gegenstandes und unserer selbst darzustellen Lebenserfahrung ermöglicht es, das Objekt als Ganzes hinter den Oberflächendetails zu sehen.

Da die wichtigste geometrische Figur ein Dreieck ist, wollen wir herausfinden, welche Figur ein Bild eines Dreiecks sein kann. Und dann können wir die Frage der Darstellung anderer aus der Planimetrie bekannter Polygone diskutieren. Darüber hinaus werden wir über die Darstellung der einfachsten sprechen räumliche Figuren.

Nehmen wir das parallele Design als geometrische Grundlage des Bildes. Zunächst ist es notwendig, den Inhalt des Begriffs „Bild“ zu klären, denn wenn man das Bild einer Figur direkt versteht, reicht ihre Parallelprojektion aus

unbequem. Figur große Größen Es ist einfach unmöglich, auf ein Blatt Papier zu projizieren – damit das Bild passt, muss die Parallelprojektion der Figur proportional verkleinert (oder in anderen Situationen vergrößert) werden.

Ein Bild einer räumlichen Figur ist eine Figur, die einer Parallelprojektion einer gegebenen Figur auf eine bestimmte Ebene ähnelt.

Diese Definition bedarf einer Ergänzung. Es ist klar, dass das Bild möglichst viele Informationen über die Figur enthalten sollte. Es ist unwahrscheinlich, dass die Parallelprojektion des Würfels in Abb. 204, a) spiegelt die Merkmale dieser Figur recht vollständig wider. Deshalb

Das Bild von Polyedern zeigt ihre sichtbaren und unsichtbaren Scheitelpunkte und Kanten. Wie bereits erwähnt, werden unsichtbare Linien durch gestrichelte Linien dargestellt. Somit ist das Bild des Würfels in Abb. 204, b)

gibt mehr volle Informationüber den Würfel. Im Bild räumlicher Fi-

Gurs hebt auch Bilder von ihr hervor wichtige Elemente(zum Beispiel Diagonalen, Abschnitte usw.).

Beachten Sie, dass die Definition weder die Projektionsebene noch die Entwurfsrichtung festlegt. Dies ist verständlich, da eine für die Betrachtung geeignete Position willkürlich gewählt werden kann.

Beantworten wir nun die Frage: Welche Figur kann ein Bild eines Dreiecks sein? Der Fall, wenn das Dreieck in der projizierten Ebene liegt

ty, wir werden es nicht in Betracht ziehen. In diesem Fall wird es auf ein Segment projiziert (Abb. 205).

Da die Parallelprojektion eines Dreiecks ein Dreieck ist (außer im oben genannten Fall), muss auch das Bild des Dreiecks ein Dreieck sein

Quadrat Gleichzeitig stellt sich die Frage: „Welches Dreieck kann als Abbild dieses Dreiecks betrachtet werden?“ Bekanntlich mit parallelem Design

Bei einer Änderung ändern sich die Längen der Segmente und die Winkelmaße. Es ist klar, dass die Parallelprojektion eines gleichschenkligen Dreiecks im Allgemeinen ein ungleichseitiges Dreieck ist, die Projektion eines stumpfen Dreiecks kann ein spitzes Dreieck sein usw.

Die Durchführung einfacher Experimente mit Pappmodellen von Dreiecken, die von der Sonne oder einer entfernten Lampe beschattet werden, zeigt, dass die Form paralleler Projektionen eines Dreiecks unterschiedlich sein kann. Darüber hinaus kann man davon überzeugt sein, dass durch geeignete Platzierung des Modells ein Dreieck einer bestimmten Form als Projektion erhalten werden kann. Wenn wir also die verschiedenen Schatten eines Dreiecks betrachten, können wir zu folgendem Schluss kommen.

Das Bild dieses Dreiecks kann ein beliebiges Dreieck sein.

Eine mathematische Begründung dieser Tatsache wird später erfolgen. Daraus lassen sich bestimmte Rückschlüsse auf das Bild einiger vier Personen ziehen.

neu winkelt. Aus den Eigenschaften des parallelen Designs

Daraus folgt, dass das Bild eines Parallelogramms willkürlich ist

Parallelogramm. Tatsächlich ist das Parallelogramm diagonal in zwei gleiche Dreiecke geteilt (Abb. 206, a). Bild

Der Ausdruck des Dreiecks ABD kann jedes beliebige Dreieck A 1 B 1 D 1 sein. Vollendet

und Dreieck A 1 B 1 D 1 zum Parallelogramm

ma (Abb. 206, b), die durch dieses Dreieck eindeutig bestimmt wird, erhalten wir die folgende Schlussfolgerung.

Die Bilder dieses Parallelogramms können beliebige Parallelogramme sein.

Bei Trapezen lässt sich in beiden Bildern kein vergleichbarer Schluss ziehen, da beim parallelen Entwurf das Verhältnis der Längen der parallelen Grundflächen gewahrt bleiben muss. Wenn beispielsweise eine der Basen halb so groß ist wie die zweite, sollte dieses Verhältnis im Bild erhalten bleiben. Obwohl das Bild eines Trapezes natürlich ein Trapez sein sollte (aber kein beliebiges!).

Für das Bild anderer Polygone können Sie drei Punkte auswählen, die nicht auf derselben Linie liegen (z. B. drei Eckpunkte). Diese Punkte definieren ein Dreieck, das als beliebiges Dreieck gezeichnet werden kann. Darüber hinaus ist es in einigen Fällen möglich, mithilfe der Eigenschaften der Parallelprojektion (sie sind auch Eigenschaften von Bildern) ein Bild des gesamten Polygons zu erstellen.

Nachdem wir gelernt haben, einige im Raum platzierte flache Figuren darzustellen, können wir mit der Darstellung der einfachsten räumlichen Figuren beginnen.

Bilder eines rechteckigen Parallelepipeds oder Würfels unterscheiden sich nicht von Bildern eines beliebigen Parallelepipeds, da Bilder von Quadraten und Rechtecken beliebige Parallelogramme sein können. Am häufigsten wird der Würfel wie in Abb. dargestellt dargestellt. 207, a). In Abb. 207, b)–d) werden auch Bilder eines Würfels gegeben. Im Gegensatz zu Abb. 207, a) ist es aus diesen Bildern schwierig, sich eine Vorstellung von den Eigenschaften des Würfels zu machen. In Abb. 207, b), c) Die Bilder sind einfach und korrekt, das heißt, sie werden nach den Gesetzen des parallelen Designs erstellt. Sie sind jedoch nicht visuell. Dies bedeutet nicht, dass wir in manchen Fällen nicht jedes der angegebenen Bilder benötigen.

Betrachten wir den Aufbau des Bildes eines Parallelepipeds genauer. In §7 wurde ein Parallelepiped als Polyeder betrachtet, dessen Flächen sechs Parallelogramme sind. In §8 haben wir einen Ansatz zur Konstruktion von Zahlen aus Segmenten betrachtet. Nutzen wir den Vorteil

ihnen. In dieser Ebene α konstruieren wir ein Parallelogramm ABCD und zeichnen durch alle seine Eckpunkte parallele Linien, die die Ebene α schneiden (Abb. 208). Auf diesen Geraden zeichnen wir auf einer Seite der Ebene α die gleich langen Segmente AA 1, BB 1, СС 1, DD 1 ein. Es ist nicht schwer zu beweisen, dass die Punkte A 1 , B 1 , C 1 , D 1 in derselben Ebene liegen und die Eckpunkte des Parallelogramms A 1 B 1 C 1 D 1 sind. Aktion

Da also AA 1 D 1 D , ABCD und BB 1 C 1 C Parallelogramme sind, gilt A 1 D 1 ||AD ,AD ||BC, BC ||B 1 C 1 und nach dem Kriterium paralleler Geraden ( Satz 2 §8) ,A 1 D 1 ||B 1 C 1 . Dies gibt uns insbesondere die Möglichkeit zu behaupten, dass die Punkte A 1, B 1, C 1, D 1 in derselben Ebene liegen.

Ebenso gilt A 1 B 1 ||D 1 C 1 , das heißt, das Viereck A 1 B 1 C 1 D 1 ist ein Parallelogramm.

Die Menge aller Punkte der Segmente, die die Punkte der Parallelogramme ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 verbinden, bilden eine Figur, also Parallelepiped(Abb. 209). Es ist klar, dass man beim Konstruieren von Parallelepipeden mit parallelen Segmenten auskommen kann, die die entsprechenden Punkte der Parallelogramme verbinden. Das Bild wird wie in Abb. erstellt. 208, wobei nur berücksichtigt wird, dass das Parallelepiped mit Punkten „gefüllt“ ist und einige Linien für den Betrachter unsichtbar sind. Sie sind wie in der Zeichnung mit einer gestrichelten Linie dargestellt. Ein Parallelepiped wird durch seine Eckpunkte bezeichnet:

ABCDA1 B 1 C 1 D 1 .

Zwei Flächen eines Parallelepipeds, die eine gemeinsame Kante haben, werden als benachbart bezeichnet, und diejenigen, die keine gemeinsame Kante haben, werden als benachbart bezeichnet. Gegenteil. Es werden zwei Scheitelpunkte aufgerufen, die nicht zur gleichen Fläche gehören Gegenteil. Ein Liniensegment, das gegenüberliegende Eckpunkte verbindet, wird aufgerufen diagonal parallel zu

Das Bild von Pyramiden, insbesondere Tetraedern, wurde in §8 im Zusammenhang mit ihrer Konstruktion aus Segmenten betrachtet.

! Berücksichtigung von flächigen und räumlichen Bildern

neue Zahlen ermöglichen Anforderungen an Bilder formulieren:

1) das Bild muss korrekt sein, das heißt, bestimmte Regeln erfüllen;

2) das Bild muss klar sein;

3) Das Bild sollte leicht zu verfolgen sein.

Die Richtigkeit des Bildes wird durch die Einhaltung der Regeln zur Erstellung paralleler Projektionen sichergestellt. Für Klarheit und Einfachheit sorgt die Wahl der Gestaltungsrichtung, also des „Blickwinkels“ der Figur und der Lage der Projektionsebene. So sind die Bilder des SABC-Tetraeders in Abb. 210, a), b) kann nicht als erfolgreich angesehen werden. Im ersten Fall wird die Parallelprojektion auf die Gesichtsebene ABC verwendet, im zweiten Fall wird die Designrichtung durch die Gerade AB bestimmt. In beiden Fällen geht das Volumen der Figur verloren. In der Regel wird das dritte Bild verwendet (Abb. 210, c). Es handelt sich um ein flaches Viereck ABCS, in das die Diagonalen AC und SB eingezeichnet sind. Die unsichtbare Kante AS ist mit einer gestrichelten Linie dargestellt.

Ein wichtiges Mittel zur Gewährleistung der Klarheit des Bildes ist die Darstellung der Elemente der Figur (Mediane, Winkelhalbierende, Mittellinien, Diagonalen usw.) sowie einfacher Abschnitte.

Die Konstruktion von Bildern verschiedener Figuren ist ein wesentlicher Bestandteil der Lösung stereometrischer Probleme.

Bei der Lösung von Problemen ist es oft notwendig, bestimmte Konstruktionen am Bild vorzunehmen (einen Mittelwert zeichnen, den Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises angeben, einen Abschnitt konstruieren usw.). Diese Konstruktionen werden üblicherweise unter Verwendung der Eigenschaften des parallelen Designs ausgeführt.

Beispiel 1. Konstruieren Sie auf einem beliebigen Bild eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks ABC (C = 90°) ein Bild von: 1) dem Mittelpunkt O des Umkreises; 2) ein beschriftetes Quadrat, dessen zwei Seiten auf den Beinen liegen

Dreieck, und einer der Eckpunkte liegt auf der Hypotenuse BA.

 Das Bild eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks ABC (Abb. 211, a) sei das Dreieck A 1 B 1 C 1 (Abb. 211, b).

1) Zentrum beschrieben ungefähr rechtwinkliges Dreieck Der Kreis ist der Mittelpunkt der Hypotenuse. Daher ist sein Bild die Mitte des Bildes der Hypotenuse.

Konstruktion. Teilen wir das Segment A 1 B 1 in zwei Hälften, der Teilungspunkt O 1 ist der gewünschte (Abb. 211, c).

2) Wenn wir aus der Mitte O der Hypotenuse AB Senkrechte zu den Beinen zeichnen (siehe Abb. 211, a), dann erhalten wir ein Quadrat, das die Bedingungen der Aufgabe erfüllt. Die gezeichneten Senkrechten verlaufen parallel zu den Beinen. Daraus erstellen wir das gewünschte Bild.

Konstruktion. Von Punkt O 1 aus zeichnen wir die Segmente O 1 E 1 und O 1 F 1 parallel zu C 1 B 1 bzw. C 1 A 1 (Abb. 211, d). ViereckC 1 E 1 O 1 F 1 ist das, wonach wir suchen.

Beispiel 2. Konstruieren Sie auf dem Bild eines Würfels seinen Schnitt mit einer Ebene, die durch die Mittelpunkte dreier paralleler Kanten verläuft.

 In Abb. 212 Mittelpunkte der Kanten AA 1, BB 1, СС 1, DD 1 des Würfels АBCDA 1 B 1 С 1 D 1 werden jeweils mit А 2, В 2, С 2, D 2 bezeichnet. Die Bilder dieser Punkte liegen in der Mitte der Bilder der entsprechenden Segmente (warum?). Lassen Sie die Schnittebene durch die Punkte A 2 , B 2 , D 2 verlaufen. Da alle Flächen des Würfels Quadrate sind, verläuft die Strecke A 2 B 2 durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Flächen

Dann gerade Linie BE legt die gewünschte Richtung für das Design fest

Seiten des Quadrats AA 1 B 1 B, gleich der Seite des Quadrats AB (oder der Kante des Würfels) und parallel zu dieser Seite.

Ebenso D 2 C 2 ||DC und D 2 C 2 =DC. Da uAB ||DC, dann gilt gemäß der Transitivität der Parallelitätsrelation A 2 B 2 ||D 2 C 2. Es gibt nur eine Ebene, die durch die parallelen Linien A 2 B 2, D 2 C 2 verläuft. Die Punkte A 2 , B 2 , D 2 liegen in dieser Ebene, daher ist diese Ebene die erforderliche Sekante. Die Schnittebene schneidet die Flächen des Würfels entlang gleicher Segmente A 2 B 2, B 2 C 2, C 2 D 2 und D 2 A 2. Folglich hat das Viereck A 2 B 2 C 2 D 2, das den gewünschten Querschnitt darstellt, die Form einer Raute. Es ist leicht zu erkennen, dass die Diagonalen B 2 D 2 und A 2 C 2 dieser Raute einander gleich sind. Das heißt, Viereck A 2 B 2 C 2 D 2 - Quadrat. Wir haben den Abschnitt nicht nur gebaut, sondern auch seine Form festgelegt.

Betrachten wir die Gründe für die obigen Schlussfolgerungen zum Bild grundlegender ebener Figuren.

Satz 1 (über das Bild eines Dreiecks).

Jedes Dreieck kann ein Bild eines bestimmten Dreiecks sein.

 Es sei das Dreieck ABC gegeben. Nehmen wir ein beliebiges Dreieck KMN. Es kann ein Bild des Dreiecks ABC sein, wenn es eine Projektionsebene und eine Projektionsrichtung gibt, so dass die Parallelprojektion des Dreiecks ABC dem Dreieck KMN ähnelt.

Wählen wir die Projektionsebene α so, dass sie die Ebene des Dreiecks ABC entlang der Geraden AC schneidet (Abb. 213). Wir müssen die Entwurfsrichtung so wählen, dass die Projektion des Dreiecks ABC auf die Ebene α ein Dreieck ähnlich dem Dreieck KMN ist. Dazu konstruieren wir in der α-Ebene ein Dreieck CAE, ähnlich dem Dreieck KMN mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten

Biya MK AC

umherziehen. Da das Dreieck CAE eine Parallelprojektion des Dreiecks ABC ist und die Dreiecke CAE und KMN ähnlich sind, ist das Dreieck KMN ein Bild eines Dreiecks

ka ABC.

! Dieser Satz offenbart reichlich Möglichkeiten um Bilder eines bestimmten Dreiecks auszuwählen, obwohl Sie natürlich keine Bilder mit Eigenschaften verwenden sollten, die das Original nicht hat. Beispielsweise ist es unangemessen, ein beliebiges Dreieck als rechtwinkliges Dreieck darzustellen.

Wenn wir uns den Bildern anderer Polygone zuwenden, stellen wir fest, dass für sie in der Regel Sätze ähnlich dem Satz 1 nicht gelten, obwohl einige ihrer Eigenschaften bei der Darstellung erhalten bleiben. Zunächst werden wir über die Parallelität der Seiten sprechen (warum?). In diesem Zusammenhang stellen wir einen weiteren wichtigen Satz vor.

Satz 2 (über das Bild eines Parallelogramms).

Jedes Parallelogramm kann ein Bild eines bestimmten Parallelogramms sein.

Dieser Satz kann bewiesen werden, indem Parallelogramme in Dreiecke mit Diagonalen unterteilt werden und Satz 1 verwendet wird (siehe.

Reis. 206, a, b)

Wir sind bereits auf Situationen gestoßen, in denen planimetrische Tatsachen im Raum Entsprechungen haben. Und solche Fälle werden weiterhin auftreten. Die einfachste Raumfigur – das Tetraeder – entspricht in der Ebene einem Dreieck. Nach Satz 1 kann jedes Dreieck ein Abbild eines gegebenen Dreiecks sein. Andererseits wird ein Tetraeder in ein Viereck projiziert, das nach dem Einzeichnen von Diagonalen darin zu einem Bild eines Tetraeders wird. Es stellt sich die Frage: Kann ein beliebiges Viereck ein Abbild eines gegebenen Tetraeders sein? Eine bejahende Antwort darauf gibt der Satz der deutschen Mathematiker K. Polke (1810–1877) und G. Schwartz (1843–1921). Darauf basierend können Sie ein Bild von Polyedern erstellen. Dazu müssen Sie vier Eckpunkte auswählen, die nicht in derselben Ebene liegen. Sie sind die Eckpunkte eines Tetraeders. Stellen Sie dann das Bild dieser Punkte auf beliebige Weise ein. Und erst dann vervollständigen Sie das Bild der gesamten Figur mithilfe der Designeigenschaften.

Beispiel 3. Konstruieren Sie ein Bild eines regelmäßigen Sechsecks.

 Betrachten Sie das regelmäßige Sechseck ABCDEF (Abb. 214, a). Es verfügt über Eigenschaften, die in seinen Bildern erhalten bleiben müssen. Die Seiten des Sechsecks sind paarweise parallel (AB ||ED, BC ||EF, CD ||AF). Es hat ein Symmetriezentrum O und die Segmente, die den Punkt O mit den Eckpunkten des Sechsecks verbinden, sind einander gleich und entsprechen seiner Seite. Nun ist leicht zu erkennen, dass es ausreicht, ein Bild eines Parallelogramms (sogar einer Raute) ABCO zu konstruieren, um dann das Bild des gesamten Sechsecks dazu zu vervollständigen.

Das Parallelogramm A 1 B 1 C 1 O 1 sei das Bild des Parallelogramms ABCO (dies kann ein beliebiges Parallelogramm sein!). Indem wir A 1 O 1 und C 1 O 1 über den Punkt O 1 hinaus erweitern, sodass O 1 D 1 = A 1 O 1, O 1 F 1 = C 1 O 1, konstruieren wir ein Parallelogramm F 1 O 1 D 1 E 1 ( Abb. 214, b). Im Wesentlichen wurde ein Parallelogramm konstruiert, das im Verhältnis zu seinem Scheitelpunkt O 1 zentralsymmetrisch zum Parallelogramm A 1 B 1 C 1 O 1 ist. Durch Verbinden der Punkte A 1 und F 1, C 1 und D 1, wir erhalten ein Bild eines regelmäßigen Sechsecks (Abb. 214, c).

 Testfragen

1. Welche der Figuren in Abb. 215, a)–d) ist kein Bild eines Quadrats?

2. Welche der Figuren in Abb. 216, a)–d) ist kein Bild eines Würfels?

3. Welche der Abb. 217, a)–d) ist das Bild des Würfels nicht korrekt?

4. Welche der Abb. 218, a)–d) ist das Bild des Tetraeders falsch?

5. Ist eine Parallelprojektion einer Figur ein Abbild davon?

6. Kann ein rechtwinkliges Dreieck als Bild eines gleichschenkligen Dreiecks betrachtet werden?

7. Stimmt es, dass das Bild der Mittellinie eines Dreiecks die Mittellinie seines Bildes ist?

8. Kann ein Parallelogramm ein Bild eines Trapezes sein?

9. Kann ein Dreieck ein Abbild eines Tetraeders sein?

10. Ist es möglich, ein Tetraeder so darzustellen, dass genau eine seiner Flächen unsichtbar ist?

11. Was ist die kleinste Anzahl an Würfelkanten, die in einem Bild sichtbar sind? Und das Größte?

12. Welche Figur ist das Bild von: a) einem Segment; b) Dreieck; c) Trapez; d) Parallelogramm; D) n-gon?

Grafische Übungen

1. Bestimmen Sie, welche Flächen das Tetraeder hat ABCD in Abb. 219, gehören zu den Punkten P, K, M?

2. Was für Punktpaare X, Y, Z, T, angegeben im Bild des Tetraeders in Abb. 220, nicht auf dem gleichen Gesicht liegen?

3. Welche Figur ist der Schnitt eines Würfels durch eine Ebene, die durch die Punkte verläuft? M, N, P, angegeben in Abb. 221, a)–d)?

174°. Gegeben sei ein Bild eines gleichschenkligen Dreiecks in der Form ungleichseitiges Dreieck. Erstellen Sie auf diesem Bild ein Bild:

1) Winkelhalbierende am Scheitelpunkt;

2) senkrecht zur Basis, durch die Mitte der Seite gezogen; 3) eine Raute, deren zwei benachbarte Seiten mit der Seite zusammenfallen

die gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks.

175. Konstruieren Sie anhand des Bildes eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ein Bild eines Quadrats, das in der Ebene des Dreiecks liegt, wenn die Seite des Quadrats ist:

1°) Schenkel dieses Dreiecks; 2) die Hypotenuse dieses Dreiecks.

176. Konstruieren Sie ein Bild auf einem beliebigen Bild eines gleichseitigen Dreiecks ABC:

1°) Schnittpunkte der Höhen des Dreiecks; 2°) eines „umschriebenen“ Rechtecks, dessen eine Seite

fällt mit einer Seite des Dreiecks zusammen und die andere enthält den gegenüberliegenden Scheitelpunkt; 3) Winkelhalbierende des Außenwinkels des Dreiecks.

177. Es wird ein Bild eines Dreiecks und seiner zwei Höhen gegeben. Konstruieren Sie ein Bild des Mittelpunkts des Kreises, der dieses Dreieck umschreibt.

178. Im Bild eines rechtwinkligen Dreiecks, eines von scharfe Kanten der 60° beträgt, konstruieren Sie ein Bild: 1) Winkelhalbierende dieses Winkels; 2) Höhe bis zur Hypotenuse;

3) der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises.

179°. Konstruieren Sie ein Bild einer Raute und ihrer Höhe, gezeichnet vom Scheitelpunkt eines Winkels, dessen Wert 120° beträgt.

180. Konstruieren Sie ein Bild eines Quadrats mit einem Bild des Schnittpunkts seiner Diagonalen und zwei:

1°) benachbarte Eckpunkte; 2*) gegenüberliegende Eckpunkte. 181. Konstruieren Sie auf einem beliebigen Bild eines gleichschenkligen Trapezes, dessen Seite gleich der kleineren Basis ist

Bild:

1°) Symmetrieachse des Trapezes; 2) ein beschriftetes Rechteck, von dem zwei Eckpunkte übrig bleiben

auf einer größeren Basis geerntet und eine der Seiten fällt mit der kleineren Basis zusammen; 3) Der Mittelpunkt des Kreises berührt die Seiten und ist kleiner

die Basis des Trapezes.

182. Gegeben ist ein Bild eines gleichschenkligen Trapezes, dessen Winkel an der Basis 45° betragen. Plotten Sie das Bild:

1) der Mittelpunkt eines um ein Trapez umschriebenen Kreises;

2*) Der Mittelpunkt des Kreises berührt die kleinere Basis und die Seiten.

183. Es wird ein Bild eines Kreises und eines seiner Durchmesser gegeben. Konstruieren Sie ein Bild der Radien des Kreises senkrecht zu diesem Durchmesser.

184. Gegeben ist ein Bild des Würfels ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1°) Konstruieren Sie die Schnittlinie der Ebenen DA 1 C 1 und B 1 D 1 D. 2) Bestimmen Sie die Länge des im Würfel enthaltenen Segments dieser Linie, wenn die Kante des Würfels gleich a ist.

3) Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch die Mittelpunkte seiner drei paarweise benachbarten Flächen verläuft.

185. Gegeben ein Bild eines Tetraeders ABCD, sind die Punkte K, M und P jeweils die Mittelpunkte von DC, AD und ÂD.

1°) Konstruieren Sie die Schnittlinie der ACP- und VMK-Ebenen. 2) Bestimmen Sie die Länge eines Segments dieser Linie, das in einem Tetraeder enthalten ist, wenn die Längen aller seiner Kanten gleich sind.

3) Konstruieren Sie einen Abschnitt des Tetraeders mit einer Ebene, die durch die Schnittpunkte der Mediane seiner drei Flächen verläuft.

186. Konstruieren Sie einen Abschnitt des Tetraeders SABC mit einer Ebene, die durch Folgendes verläuft:

1°) Mittelpunkte der Rippen SA, SC und BC;

2) Punkt M auf AS (AM :AS = 1:2), Punkt N auf SC (CN :NS = 1:2)

und Punkt P auf BC (CP:PB = 1:2);

3) die Mittelpunkte der Kanten AS, AB und die Mitte der Fläche SBC; 4*) Flächenzentren ASB, ABC und BSC.

187. Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 mit einer Ebene, die durch Folgendes verläuft:

1) Kante CD und GesichtsmitteAA 1 B 1 B;

2) Diagonale A 1 D und die Mitte der Fläche ВСС 1 В 1;

3*) Mittelpunkte der Kanten AD, CD und Punkt B;

4*) Mittelpunkte der Flächen CDD 1 C 1, SVV 1 C 1 und Punkt A.

Übungen zum Wiederholen

188. Zwei parallele Geraden werden von einer dritten Geraden geschnitten. Einer der acht gebildeten Winkel beträgt 50°. Welchen Wert haben die anderen Winkel?

189. Gegebener Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

1) Geben Sie alle Kanten an, die parallel zur Kante AA 1 sind.

2) Beweisen Sie, dass die Kante DC parallel zum Schnittpunkt der Ebenen ABC 1 und A 1 B 1 D ist.

4) Sei a ein beliebiges Segment in der Fläche eines Würfels. Konstruieren Sie ein Liniensegment parallel zum Liniensegment in einer nicht angrenzenden Fläche des Würfels.

Jedes Parallelogramm kann ein Bild eines bestimmten Parallelogramms sein.

Beim Erstellen axonometrischer Projektionen ist die Verwendung von Verzerrungskoeffizienten unpraktisch. Daher bauen sie normalerweise die von GOST 2.317-69 (ST SEV 1979-79) empfohlene standardmäßige rechteckige Isometrie und Dimetrie auf, wobei sie die entsprechenden Vergrößerungsskalen von 1,22-fach für Isometrie und 1,06-fach für Dimetrie verwenden. Die Einführung dieser Skalen ermöglicht die Konstruktion axonometrischer Projektionen, ohne die entlang der axonometrischen Achsen aufgetragenen Dimensionen zu reduzieren. Für eine dimetrische Projektion werden die Abmessungen entlang der y-Achse 0 halbiert.

A. Konstruktion axonometrischer Projektionen geometrischer Figuren, begrenzt durch gerade Linien und ebene Abschnitte.

Bei der Parallelprojektion auf eine Ebene werden Geraden in Geraden projiziert (siehe § 6, 1a). Um ein axonometrisches Bild einer Geraden a zu konstruieren, genügt es, die axonometrischen Projektionen zweier dazugehöriger Punkte zu bestimmen, die die Gerade a 0 eindeutig bestimmen - die axonometrische Projektion der Geraden a.

Bei der Konstruktion axonometrischer Projektionen von Polyedern, insbesondere von Polygonen, geht es darum, die axonometrischen Projektionen ihrer Eckpunkte zu bestimmen, die dann durch gerade Liniensegmente miteinander verbunden werden.

In Abb. 311.6 zeigt die Konstruktion einer isometrischen Standardprojektion einer sechseckigen Pyramide, deren orthogonale Projektionen in Abb. 311.6 dargestellt sind. 311, a. Wir führen die Konstruktion in der folgenden Reihenfolge durch: Zeichnen Sie gerade Linien x, y, z, die wir als Achsen des natürlichen Koordinatensystems nehmen; Als Koordinatenursprung nehmen wir den Punkt O (O", O"). Dann zeichnen wir die axonometrischen Achsen x 0, y 0, z 0. Nachdem wir die natürlichen Koordinaten der Scheitelpunkte der Basis der Pyramide (Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6) und ihrer Spitze (Punkt S) auf einer orthogonalen Zeichnung gemessen haben, konstruieren wir ihre axonometrischen Projektionen (Punkte 1 0, 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0, 6 0, S 0). Um eine isometrische Projektion der Pyramide zu erhalten, verbinden wir die resultierenden Punkte mit Geradensegmenten in derselben Reihenfolge, in der sie bei orthogonalen Projektionen verbunden werden.

B. Konstruktion axonometrischer Projektionen geometrischer Figuren, die durch gekrümmte Linien und Flächen begrenzt sind.

Im Allgemeinen ist die axonometrische Projektion einer gekrümmten Linie (oder Fläche) auch eine gekrümmte Linie (Fläche).

Ein Beispiel für die Konstruktion einer Standardisometrie einer beliebigen räumlichen Kurve l ist in Abb. dargestellt. 312. Konstruktion der Axonometrie

Projektionen von Punkten, die zur Kurve l gehören, werden in der unten angegebenen Reihenfolge durchgeführt.

1. Wir ordnen diese Linie einem natürlichen Koordinatensystem Oxyz zu.

2. Wir markieren die Punkte 1, 2, 3, ... auf der Kurve l und bestimmen ihre orthogonalen Koordinaten (Abb. 312, a).

3. Aus den Koordinaten der Punkte 1, 2, 3, ... konstruieren wir ihre Sekundärprojektionen 1 1 0, 2 1 0, 3 1 0, ... (Abb. 312.6).

4. Durch die Sekundärprojektionen der Punkte zeichnen wir Geraden parallel zur axonometrischen Achse z 0 und zeichnen darauf Segmente ein, gleich dem Wert entsprechende Anwendungspunkte (1, 2, 3, ...); Finden Sie die Punkte 1 0, 2 0, 3 0, ...

5. Indem wir die gefundenen axonometrischen Projektionen der Punkte 1 0, 2 0, 3 0, ... mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir eine axonometrische Projektion der Kurve l 0.

Bei der Konstruktion axonometrischer Projektionen technischer Teile ist es häufig erforderlich, axonometrische Projektionen von Kreisen zu erstellen. In den meisten Fällen sind die Kreisebenen parallel zu einer der Koordinatenebenen. Lassen Sie uns überlegen Möglichkeiten Konstruieren eines Kreises in isometrischen und dimetrischen Projektionen.

Um eine visuellere Vorstellung von der Lage und Größe der Achsen der Ellipsen zu erhalten, in die die Kreise projiziert werden, sind diese in die Flächen des Würfels eingeschrieben. In Abb. 313a zeigt die Projektion des Würfels in Isometrie, und in Abb. 313,6 - in Dimetrie. Ein in die Fläche eines Würfels eingeschriebener Kreis berührt dessen Kanten in der Mitte. Da die Tangentialität eine Invariante der Parallelprojektion ist, liegen bei axonometrischen Projektionen die Tangentialpunkte der Ellipsen, in die die Kreise transformiert werden, auch in den Mittelpunkten der Würfelkanten. Zusätzlich zu diesen vier Punkten können Sie vier weitere Punkte angeben, die zu den Enden des großen und kleinen Durchmessers der Ellipse gehören. In rechteckigen isometrischen und dimetrischen Projektionen sind die Richtungen der Hauptachsen der Ellipsen senkrecht zu den freien axonometrischen Achsen und die Nebenachsen der Ellipsen fallen in ihrer Richtung mit den freien axonometrischen Achsen zusammen.

Für die rechteckige (praktische) Isometrie beträgt der große Durchmesser der Ellipse 1,22d des Kreises und der kleine Durchmesser 0,0,71d (siehe Abb. 313, a). In der rechteckigen Dimetrie beträgt der Hauptdurchmesser der Ellipse l,06d, der Nebendurchmesser für Ellipsen, die sich auf den Flächen des Würfels parallel zu den Koordinatenebenen Oxy und Oyz befinden, beträgt 0,35d. Für eine Ellipse, die zu den Sünden eines Würfels gehört, parallel zur Ebene Oxz, kleiner Durchmesser wird mit 0,95d bestimmt (siehe Abb. 313.6).

Um arithmetische Berechnungen bei der Bestimmung der Segmentlängen multipliziert mit dem Wert der Verzerrungsskala zu vermeiden, sollten Sie eine Proportionalskala verwenden. Um es zu konstruieren, reicht es aus, zwei zueinander senkrechte Geraden a und b zu zeichnen (Abb. 314) und auf einer davon vom Schnittpunkt K aus [KO] gleich 100 Einheiten abzuziehen und auf der anderen - die Segmente , [KII], , , , [КVI ], jeweils gleich 35, 50, 71, 95, 106, 122 Maßeinheiten. Die Punkte I, II, ...VI sind mit Punkt O verbunden. Wenn wir nun [OB] einer gegebenen Länge l vom Punkt O auf der Geraden OK beiseite legen und vom Ende B des Segments [OB] eine Senkrechte konstruieren auf [OK], dann schneidet es die Linien (0I ), (OII), (OIII), (OIV), (OV), (OVI) an den Punkten 1, 2, 3, 4, 5, 6. Das Ergebnis Die Segmente [B1], [B2], [VZ], [B4], [B5], [B6] entsprechen jeweils 0,35 l, 0,5 l, 0,71 l, 0,95 l, 1,06 l und 1,22 l.

Wenn die Ebene des Kreises eine beliebige Position in Bezug auf die Koordinatenebenen einnimmt, erfolgt die Konstruktion einer axonometrischen Projektion des Kreises auf die gleiche Weise wie bei der Konstruktion einer axonometrischen Projektion einer Kurve (siehe S. 215). , Absatz B, Abb. 312). Die Konstruktion axonometrischer Projektionen von Flächen, die geometrische Figuren begrenzen, kann auf zwei Arten erfolgen:

1. Methode der Abschnitte. Diese Methode ist wie folgt:

1) Oberfläche geometrische Figur, dessen axonometrische Projektion konstruiert werden muss, wird durch die Ebenen γ 1, γ 2, γ 3,..., γ n zerlegt (Abb. 315);

2) Wir bestimmen die Schnittlinien einer gegebenen Figur Ф durch Ebenen γ j (l 1, l 2, l 3, ..., l n);

3) Konstruieren Sie axonometrische Projektionen der Linien l 1, l 2, l 3, ..., l n → l 0 1, l 0 2, l 0 3, ..., l 0 n; Um die Definition der Linien l j und die Konstruktion ihrer axonometrischen Projektionen zu vereinfachen, sollten Schnittebenen parallel zu jeder Projektionsebene genommen werden;

4) Kurve d 0, die die Linien l 0 1, l 0 2, l 0 3, ..., l 0 n umhüllt, ist eine Umrisslinie – die Linie der sichtbaren Kontur der Figur Ф 0.

2. Methode zum Beschriften sphärischer Oberflächen. Die Machbarkeit der Verwendung dieser Methode basiert direkt darauf

Bei der Kohlenstoffaxonometrie wird die Oberfläche der Kugel in Form eines Kreises auf die Bildebene projiziert. Diese Methode sollte in Fällen verwendet werden, in denen die Figur durch eine Rotationsfläche begrenzt ist. Da sphärische Oberflächen in jede Rotationsoberfläche eingeschrieben werden können, kann die axonometrische Projektion der Rotationsoberfläche als Hülle dieser Kugeln betrachtet werden.

Das Wesentliche der Methode wird in gezeigt konkretes Beispiel. Es sei notwendig, eine axonometrische Projektion (rechteckige Isometrie) eines Rings zu konstruieren (Abb. 316, a). Wir führen Konstruktionen in folgender Reihenfolge durch:

1) Konstruieren Sie eine Ellipse mit 0 – eine axonometrische Projektion eines Kreises mit (ACBD);

2) Aus beliebigen Punkten der Ellipse mit 0, O 0 1, O 0 2, O 0 3, ..., O 0 n, (∀ O 0 j; O 0 j ∈ c 0) zeichnen wir Kreise b j mit Radius r – axonometrische Projektionen mit eingeschriebenen sphärischen Oberflächen β;

3) die Einhüllenden d 0 und d 0 2 der Kreise b j sind ein sichtbarer Umriss der axonometrischen Projektion des Rings (Abb. 316.6)

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Im Stereometriekurs werden zwei Arten von Konstruktionsaufgaben betrachtet: imaginäre (bedingte) Konstruktionen und Konstruktionen auf einer Projektionszeichnung.

Raumfiguren werden in einem flachen Muster dargestellt, was bedeutet, dass ein solches Muster weitgehend konventionell ist: linear und Winkelmaße sind darauf verzerrt. Imaginäre Konstruktionen werden gedanklich ausgeführt. Die beiliegende Zeichnung dient nur zur Veranschaulichung. Die genannten Merkmale stereometrischer Zeichnungen bereiten den Studierenden Schwierigkeiten. Schulkinder können sie oft nicht verstehen oder zeichnen. Und die Lösung stereometrischer Probleme erfolgt meist in zwei Schritten.

Stufe 1 – konstruktiv und anschaulich. Schülerinnen und Schüler fertigen je nach Problemstellung eine Zeichnung an, suchen nach einer Lösung und führen die notwendigen Zusatzkonstruktionen durch.

Stufe 2 – technisch. Dabei wird die Lösung des Problems erfasst.

In Stufe 1 wird der Prozess der Ausbildung der grafischen Fähigkeiten der Studierenden und der Entwicklung ihrer räumlichen Konzepte verwirklicht. In der Praxis schenkt der Lehrer jedoch der 2. Phase – der Ausarbeitung der Lösung – mehr Aufmerksamkeit. Während des Unterrichts zeichnet der Lehrer häufig vorab eine Zeichnung für ein Problem und analysiert diese anhand der fertigen Zeichnung und erstellt einen Lösungsplan. Auf diese Weise wird Unterrichtszeit gespart, aber die meisten Schüler „kopieren“ einfach das Bild von der Tafel, ohne dessen Bedeutung zu verstehen.

Das Studium des Bildes räumlicher Figuren beginnt in den Klassen 5-6 – Würfel und Kugel. Der Stereometriekurs beginnt mit Bildern eines Tetraeders und eines Parallelepipeds. Bei der Darstellung geometrischer Figuren geht es darum, Projektionen dieser Figuren zu konstruieren. Grundlage für die Konstruktion von Bildern geometrischer Figuren ist daher die Theorie der Projektionen. Da wir in der Schule flache Bilder konstruieren müssen, können wir von Parallel- und Zentralprojektionen sprechen. N. F. Chetverukhin in Lehrbuch Für Lehrer formulierte „Image of Figures in Stereometry“ die Anforderungen, die Bilder erfüllen müssen: 1. Das Bild muss eine der Projektionen der abgebildeten Figur darstellen; 2. Das Bild muss klar sein, d.h. eine räumliche Darstellung des Originals hervorrufen; 3. Das Bild sollte leicht zu verstehen sein. All diese Anforderungen werden durch die Parallelprojektion am besten erfüllt. Daher empfiehlt es sich, als Abbild geometrischer Figuren eine Parallelprojektion einer gegebenen Figur oder etwas Ähnliches zu verwenden.

Methoden zum Aufbau von Abschnitten, die im Schulkurs studiert werden!

Analyse des Lehrbuchs von L.S. Atanasyan 10-11 Klassen. "Geometrie"

Nach dem Lehrbuch von L.S. Atanasyan, die Konstruktion von Abschnitten ist in Kapitel I „Parallelität von Linien und Ebenen“ im Abschnitt „Tetraeder und Parallelepiped“ enthalten. „Aufgaben zur Konstruktion von Abschnitten“ gelten als 1 Lektion. 3 Probleme werden als Beispiele für die Konstruktion von Abschnitten in einem Tetraeder und Parallelepiped betrachtet. Insgesamt gibt es 11 Aufgaben zum Konstruieren von Abschnitten, davon 3 Aufgaben zum Konstruieren von Abschnitten in einem Tetraeder, 8 Aufgaben zum Konstruieren von Abschnitten in Parallelepipeden und 4 Aufgaben sind auf der Grundstufe optional.

Im Lehrbuch L.S. Atanasyan Klasse 10-11 Geometriethema „Bild räumlicher Figuren“ wird in der Bewerbung als eine Frage mit 4 Unterpunkten angegeben:

Parallelprojektion von Figuren

Figurenbild

Bild von flachen Figuren

Bild räumlicher Figuren

Unterabschnitt 4 untersucht die Figuren eines Tetraeders, Parallelepipeds und einer Pyramide. In diesem Lehrbuch wird der Begriff des Bildes einer Figur anhand einer Parallelprojektion einer gegebenen Figur eingeführt.

Analyse des Lehrbuchs von I.F. Sharygina.

Abschnitt über Polyeder im Lehrbuch von I.F. Sharygina „Geometrie“ 10-11 Klassen. wird als Absatz „Konstruktion auf einem Bild“ zu Kapitel II „Polyeder“ angegeben. Es untersucht die Frage der „Methode der Spuren“ und der Hilfsebenen und betrachtet zwei Beispiele für die Lösung von Problemen auf den Abschnitten von Polyedern (Pyramiden). Dann folgt die Konsolidierung von 11 Aufgaben, davon sind 4 schwierig, 1 ist eine wichtige Aufgabe. Der Abschnitt wird auch im Kapitel 4 „Probleme und Methoden der Stereometrie“ unter Abschnitt 1 „Hilfsebenen, Schnitte“ besprochen, wo er als Hilfsabschnitt bei der Lösung von Problemen berücksichtigt wird. Das Aufgabenbuch besteht aus 6 Aufgaben.

• Vermitteln Sie, wie Sie das erworbene Wissen mithilfe eines Modells, eines Algorithmus und eines Hinweises in der Praxis anwenden können.
• Stärken Sie die Fähigkeit, Abschnitte mithilfe der Axiome der Stereometrie zu konstruieren.
• Entwickeln Sie das räumliche Denken der Schüler.

Während des Unterrichts.

I. Organisatorischer Teil.

II. Analyse der Hausaufgaben.

Die Hausaufgaben hatten drei Schwierigkeitsstufen

Aufgabe 1 und 2 – erste Ebene

Aufgabe 3 und 4 – zweite Ebene

Aufgabe 5 und 6 – dritte Ebene

Aufgabe 1. ABCA 1 C 1 – dreieckiges Prisma, Punkt F – Mitte der Rippe AB , Punkt UM liegt auf der Fortsetzung der Rippe Sonne Also MIT liegt dazwischen IN Und UM . Konstruieren Sie einen Ausschnitt des Prismas anhand der Ebene Bei 1 F.O. .

Aufgabe 2. Punkt UM – Mitte der Rippe TT 1 Kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Konstruieren Sie die Schnittpunkte der Linien A 1 O Und C1O mit Grundebene A B C D und berechnen Sie den Abstand zwischen ihnen, wenn die Länge der Würfelkante 2 cm beträgt.

Aufgabe 3. Gegeben sei eine dreieckige Pyramide SABC Punkte R Und R auf den Rippen liegen S.A. Und Sonne, Punkt F liegt auf der Fortsetzung der Rippe Wechselstrom Das ist also der Punkt MIT liegt zwischen den Punkten A Und F. Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide mit einer Ebene PRF

Aufgabe 4. SABCD- viereckige Pyramide. Punkt R liegt am Rande SCD, ein Punkt F auf der Fortsetzung der Rippe Gleichstrom Das ist also der Punkt D liegt zwischen F Und MIT. PFB.

Aufgabe 5. DABC- regelmäßiger Tetraeder mit einer Kantenlänge von 4 cm. Spitze UM - Mitte der Rippe D.B.. Punkt F liegt auf der Fortsetzung der Rippe Sonne Also MIT - die Mitte des Segments B.F., Punkt T liegt auf der Fortsetzung der Rippe Wechselstrom Also MIT - die Mitte des Segments BEI. Konstruieren Sie einen Abschnitt eines Tetraeders mit einer Ebene FTO und berechnen Sie seinen Umfang.

Aufgabe 6. DABC- dreieckiger Pyramidenpunkt F liegt am Rande D.B., Punkt T liegt auf der Fortsetzung der Rippe AB Das ist also der Punkt A zwischen Punkten gelegen T Und IN, ein Punkt R liegt auf der Fortsetzung der Rippe CD Das ist also der Punkt MIT liegt zwischen den Punkten D Und R. Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide mit einer Ebene TFR.

Je nach Schwierigkeitsgrad werden jeder Gruppe Aufgaben angeboten. Die Schüler bearbeiten diese Aufgaben und überlegen sich anschließend, wie sie das Problem lösen können.

Bedingung: Sind die schattierten Figuren Abschnitte der dargestellten Polyeder durch eine Ebene? PQR ? In Fällen, in denen der Abschnitt falsch angezeigt wird, suchen Sie richtige Lösung.

Die Bilder zeigen regelmäßige Parallelepipede.

Aufgabe der ersten Ebene:

Aufgabe der zweiten Ebene:

Quest der Stufe 3:

Jede Gruppe erhält eine Hauptaufgabe und eine Zusatzaufgabe. In der Zusatzaufgabe sind auf den Bildern dreieckige Prismen (Ebene 1 und 2) und eine dreieckige Pyramide (Ebene 3) zu sehen.

Die Arbeit wird vom Lehrer bewertet und anschließend im Tagebuch vermerkt.

Aufgabe der ersten Ebene:

• In einer dreieckigen Pyramide DABC Punkt UM - Schnittpunkt der Mittellinien des Gesichts DBC. Punkt F liegt auf einer Geraden AB Also IN liegt zwischen den Punkten A Und F, ein Punkt E liegt auf einer Geraden Wechselstrom Das ist also der Punkt MIT liegt zwischen A Und E. Konstruieren Sie einen Abschnitt der Pyramide mit einer Ebene O.E.F..

• PQR

Aufgabe der zweiten Ebene:

• ABCA 1 IN 1 MIT 1 - dreieckiges Prisma. Punkt UM liegt am Rande A 1 C 1 ,. Punkt F liegt auf der Fortsetzung der Rippe Wechselstrom Also MIT liegt zwischen A Und F. Punkt ZU liegt auf der Fortsetzung der Rippe AB Also IN liegt dazwischen A Und ZU. Konstruieren Sie einen Ausschnitt des Prismas anhand der Ebene OKF.

• Zusatzaufgabe: Sind die schattierten Figuren Ausschnitte der abgebildeten Polyeder? PQR ? In Fällen, in denen der Abschnitt falsch angezeigt wird, finden Sie die richtige Lösung.

Aufgabe der dritten Ebene:

• Basis eines rechteckigen Parallelepipeds A BCDA l B 1 C 1 D 1 - ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 2 cm. Punkt UM - Mitte der Seitenrippe TT 1 und die Punkte ZU Und F auf der Fortsetzung der Rippen liegen Sonne Und AB dementsprechend damit Sonne = 2SK, AB = 2FA . Berechnen Sie die Querschnittsfläche eines Parallelepipeds durch eine Ebene OFK , Wenn TT 1 = 4 cm.

• Zusatzaufgabe: Sind die schattierten Figuren Ausschnitte der abgebildeten Polyeder? PQR ? In Fällen, in denen der Abschnitt falsch angezeigt wird, finden Sie die richtige Lösung.

Die Studierenden wählen den passenden Schwierigkeitsgrad.

Aufgabe für den ersten Schwierigkeitsgrad:

Aufgabe für den zweiten Schwierigkeitsgrad:

Aufgabe für den dritten Schwierigkeitsgrad: