ریشه های معادله از طریق ممیز. حل معادلات درجه دوم، فرمول ریشه، مثال. رابطه بین ریشه ها و ضرایب

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 یا x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

پس از یادگیری حل معادلات درجه یک، البته، شما می خواهید با دیگران کار کنید، به ویژه با معادلات درجه دوم که در غیر این صورت به آنها درجه دوم می گویند.

معادلات درجه دوم معادلاتی هستند مانند ax² + bx + c = 0 که در آن متغیر x است، اعداد a، b، c هستند که a برابر با صفر نیست.

اگر در یک معادله درجه دوم یکی یا آن ضریب (c یا b) برابر با صفر باشد، این معادله به عنوان یک معادله درجه دوم ناقص طبقه بندی می شود.

در صورتی که دانش آموزان تا کنون فقط قادر به حل معادلات درجه یک بوده اند چگونه یک معادله درجه دوم ناقص را حل کنیم؟ معادلات درجه دوم ناقص را در نظر بگیرید انواع متفاوتو راه های ساده برای حل آنها

الف) اگر ضریب c برابر 0 باشد و ضریب b نخواهد بود برابر با صفر، سپس ax ² + bx + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² + bx = 0 کاهش می یابد.

برای حل چنین معادله ای باید فرمول حل یک معادله درجه دوم ناقص را بدانید که عبارت است از فاکتورگیری سمت چپ آن و بعداً از شرط مساوی بودن حاصل ضرب.

به عنوان مثال، 5x² - 20x = 0. ما سمت چپ معادله را فاکتور می کنیم، در حالی که عملیات ریاضی معمول را انجام می دهیم: خارج کردن ضریب مشترک از براکت ها

5x (x - 4) = 0

از شرطی استفاده می کنیم که محصولات برابر با صفر باشند.

5 x = 0 یا x - 4 = 0

پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 0 است. ریشه دوم 4 است.

ب) اگر b = 0، و جمله آزاد برابر با صفر نباشد، معادله ax ² + 0x + c = 0 به معادله ای به شکل ax ² + c = 0 کاهش می یابد. معادلات به دو روش حل می شوند. : الف) با فاکتورگیری چند جمله ای معادله سمت چپ . ب) استفاده از خصوصیات حساب ریشه دوم. چنین معادله ای را می توان با استفاده از یکی از روش ها حل کرد، به عنوان مثال:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. پاسخ این خواهد بود: ریشه اول 5/2 است. ریشه دوم برابر است با - 5/2.

ج) اگر b برابر 0 و c برابر با 0 باشد، ax ² + 0 + 0 = 0 به معادله ای به شکل ax ² = 0 تقلیل می یابد. در چنین معادله ای x برابر با 0 خواهد بود.

همانطور که می بینید، معادلات درجه دوم ناقص نمی توانند بیش از دو ریشه داشته باشند.

فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم. موارد ریشه های واقعی، متعدد و پیچیده در نظر گرفته شده است. فاکتورگیری یک مثلث درجه دوم. تفسیر هندسی نمونه هایی از تعیین ریشه و فاکتورسازی.

فرمول های پایه

معادله درجه دوم را در نظر بگیرید:
(1) .
ریشه های یک معادله درجه دوم(1) با فرمول های زیر تعیین می شود:
; .
این فرمول ها را می توان به صورت زیر ترکیب کرد:
.
هنگامی که ریشه های یک معادله درجه دوم مشخص است، آنگاه یک چند جمله ای درجه دوم را می توان به عنوان حاصلضرب عوامل (فاکتور) نشان داد:
.

بعد فرض می کنیم که اعداد واقعی هستند.
در نظر بگیریم تمایز یک معادله درجه دوم:
.
اگر ممیز مثبت باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی متفاوت است:
; .
سپس فاکتورسازی مثلثی درجه دوم به شکل زیر است:
.
اگر ممیز برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه واقعی چندگانه (برابر) است:
.
فاکتورسازی:
.
اگر ممیز منفی باشد، معادله درجه دوم (1) دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است:
;
.
در اینجا واحد خیالی، ;
و قسمت های واقعی و خیالی ریشه ها هستند:
; .
سپس

.

تفسیر گرافیکی

اگر بسازید نمودار یک تابع
,
که سهمی است، سپس نقاط تلاقی نمودار با محور، ریشه معادله خواهد بود.
.
در نمودار، محور x (محور) را در دو نقطه قطع می کند.
هنگامی که نمودار، محور x را در یک نقطه لمس می کند.
هنگامی که نمودار از محور x عبور نمی کند.

در زیر نمونه هایی از این گونه نمودارها آورده شده است.

فرمول های مفید مربوط به معادله درجه دوم

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و فرمول های (f.1) و (f.3) را اعمال می کنیم:




,
جایی که
; .

بنابراین، ما فرمول چند جمله ای درجه دوم را به شکل زیر دریافت کردیم:
.
این نشان می دهد که معادله

انجام شده در
و .
یعنی و ریشه های معادله درجه دوم هستند
.

نمونه هایی از تعیین ریشه های یک معادله درجه دوم

مثال 1

(1.1) .

راه حل

.
با مقایسه با معادله ما (1.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد:
;
;
.

از اینجا فاکتورسازی سه جمله درجه دوم را بدست می آوریم:

.

نمودار تابع y = 2 x 2 + 7 x + 3محور x را در دو نقطه قطع می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. از محور آبسیسا (محور) در دو نقطه عبور می کند:
و .
این نقاط ریشه معادله اصلی (1.1) هستند.

پاسخ

;
;
.

مثال 2

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(2.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را در آن بنویسیم نمای کلی:
.
در مقایسه با معادله اصلی (2.1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
از آنجایی که ممیز صفر است، معادله دارای دو ریشه چندگانه (برابر) است:
;
.

سپس فاکتورگیری مثلثی به شکل زیر است:
.

نمودار تابع y = x 2 - 4 x + 4محور x را در یک نقطه لمس می کند.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x (محور) را در یک نقطه لمس می کند:
.
این نقطه ریشه معادله اصلی (2.1) است. زیرا این ریشه دو بار فاکتور می شود:
,
سپس چنین ریشه ای معمولاً مضرب نامیده می شود. یعنی معتقدند دو ریشه مساوی وجود دارد:
.

پاسخ

;
.

مثال 3

ریشه های یک معادله درجه دوم را پیدا کنید:
(3.1) .

راه حل

بیایید معادله درجه دوم را به صورت کلی بنویسیم:
(1) .
بیایید معادله اصلی (3.1) را بازنویسی کنیم:
.
در مقایسه با (1)، مقادیر ضرایب را پیدا می کنیم:
.
ما تمایز را پیدا می کنیم:
.
ممیز منفی است، . بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

شما می توانید ریشه های پیچیده را پیدا کنید:
;
;
.

سپس


.

نمودار تابع از محور x عبور نمی کند. هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

بیایید تابع را رسم کنیم
.
نمودار این تابع یک سهمی است. محور x را قطع نمی کند. بنابراین هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

پاسخ

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد. ریشه های پیچیده:
;
;
.

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح "معادله درجه دوم"، کلمه کلیدی "معادل درجه دوم" است. این به این معنی است که معادله لزوماً باید دارای یک متغیر (همان x) باشد، و نباید X برای توان سوم (یا بیشتر) وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم ختم می شود.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که این یک معادله درجه دوم است و نه یک معادله دیگر.

مثال 1.

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر جمله معادله را در ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم و اصطلاحات را به ترتیب نزولی توان های X مرتب کنیم

حالا با اطمینان می توان گفت که این معادله درجه دوم است!

مثال 2.

ضلع چپ و راست را در:

این معادله با اینکه در اصل در آن بود، درجه دوم نیست!

مثال 3.

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... اما اگر جایگزینی انجام دهیم می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4.

به نظر می رسد وجود دارد، اما اجازه دهید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

می بینید، کوچک شده است - و اکنون ساده است معادله خطی!

حال سعی کنید خودتان تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست؛
4. مربع نیست؛
5. مربع نیست؛
6. مربع؛
7. مربع نیست؛
8. مربع.

ریاضیدانان به طور معمول تمام معادلات درجه دوم را به انواع زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم را کامل کنید- معادلاتی که در آنها ضرایب و همچنین عبارت آزاد c برابر با صفر نیستند (مانند مثال). علاوه بر این، در میان معادلات درجه دوم کامل وجود دارد داده شده- اینها معادلاتی هستند که در آنها ضریب (معادله مثال یک نه تنها کامل است، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که در آنها ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند زیرا برخی از عناصر را از دست داده اند. اما معادله باید همیشه x مربع باشد!!! در غیر این صورت، دیگر معادله درجه دوم نخواهد بود، بلکه معادله دیگری خواهد بود.

چرا چنین تقسیم بندی کردند؟ به نظر می رسد که یک X مربع وجود دارد، و خوب است. این تقسیم بندی با روش های حل تعیین می شود. بیایید به هر یک از آنها با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

اول، بیایید روی حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار ساده تر هستند!

انواع معادلات درجه دوم ناقص وجود دارد:

1. ، در این معادله ضریب برابر است.
2. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.
3. ، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

1. من. از آنجایی که می دانیم چگونه جذر را بگیریم، بیایید از این معادله بیان کنیم

عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود، بنابراین: اگر، پس معادله هیچ جوابی ندارد.

و اگر، پس دو ریشه می گیریم. نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی این است که باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که نمی تواند کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از سمت چپ و راست است. پس از همه، شما به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

ریشه های دارای علامت منفی را هرگز فراموش نکنید!!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

اوه مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند، ریاضیدانان نماد خاصی را ارائه کردند - (مجموعه خالی). و پاسخ را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند، درست است؟). بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا از ذکر مثال صرف نظر می کنیم.

حل معادلات درجه دوم کامل

یادآوری می کنیم که یک معادله درجه دوم کامل معادله ای از معادله فرم است که در آن

حل معادلات درجه دوم کمی دشوارتر از اینها (فقط کمی) است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

روش‌های دیگر به شما کمک می‌کنند این کار را سریع‌تر انجام دهید، اما اگر با معادلات درجه دوم مشکل دارید، ابتدا با استفاده از تفکیک کننده به حل مسلط شوید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از این روش بسیار ساده است؛ نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید.

اگر، پس معادله ریشه دارد. توجه ویژهیک قدم بردار. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، فرمول موجود در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.
• اگر، پس نمی‌توانیم ریشه ممیز را در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3.

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

این بدان معنی است که ما نمی توانیم ریشه تمایز را استخراج کنیم. هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد.

اکنون می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید، یک نوع معادله وجود دارد که به آن کاهش می گویند (زمانی که ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ضرب ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا .

مجموع ریشه های معادله برابر است، یعنی. معادله اول را بدست می آوریم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله داده شده است که به این معنی است:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم معادله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد، و.

عدد بالاترین یا نامیده می شود ضریب اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، آ - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید خواهد شد.

در این مورد، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه عبارت ها سر جای خود باشند، یعنی معادله کامل است.

راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

ابتدا، بیایید به روش هایی برای حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کنیم - آنها ساده تر هستند.

ما می توانیم انواع معادلات زیر را تشخیص دهیم:

I.، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

II. ، در این معادله ضریب برابر است.

III. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو عدد مثبت را ضرب کنید، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از همین رو:

اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر دو ریشه داشته باشیم

نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز ریشه های دارای علامت منفی را فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای اینکه به طور خلاصه بنویسیم که یک مشکل راه حلی ندارد، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. این به این معنی است که معادله یک راه حل دارد که:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم و ریشه ها را پیدا کنیم:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم:

1. ممیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید. به یاد داشته باشید، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

آیا متوجه ریشه از متمایز کننده در فرمول ریشه ها شده اید؟ اما تمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ ما باید به مرحله 2 توجه ویژه ای داشته باشیم. تفکیک کننده تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، پس معادله ریشه دارد:
• اگر، پس معادله دارای ریشه های یکسان و در واقع یک ریشه است:

  به این گونه ریشه ها، ریشه دوتایی می گویند.

• اگر، پس ریشه ممیز استخراج نمی شود. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا ممکن است مقادیر مختلفریشه ها؟ بیایید به حس هندسیمعادله درجه دوم. نمودار تابع یک سهمی است:

در یک حالت خاص که یک معادله درجه دوم است، . این بدان معنی است که ریشه های یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع با محور آبسیسا (محور) هستند. یک سهمی ممکن است اصلاً محور را قطع نکند، یا ممکن است آن را در یک (زمانی که راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه قطع کند.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر به سمت پایین هدایت می شوند.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است: فقط باید یک جفت اعدادی را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد معادله باشد و مجموع آن برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم کاهش یافته ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا . سایر ضرایب: ; .

مجموع ریشه های معادله برابر است با:

و محصول برابر است با:

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ .

مثال شماره 2:

راه حل:

بیایید جفت‌هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند، و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

و: در مجموع می دهند.

و: در مجموع می دهند. برای به دست آوردن، کافی است به سادگی علائم ریشه های فرضی را تغییر دهید: و در نهایت، محصول.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

جمله آزاد معادله منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها یک عدد منفی است. این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی و دیگری مثبت باشد. بنابراین مجموع ریشه ها برابر است با تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید جفت‌هایی از اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست;

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجایی که مجموع آنها باید برابر باشد، ریشه با مدول کوچکتر باید منفی باشد: . بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

عبارت آزاد منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است، و سپس تعیین کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

مجموع ریشه ها منفی است، یعنی حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجایی که محصول آنها مثبت است، به این معنی است که هر دو ریشه یک علامت منفی دارند.

اجازه دهید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر با:

بدیهی است که ریشه ها اعداد و.

پاسخ:

موافقم، به جای شمردن این تمایز ناخوشایند، خیلی راحت است که به صورت شفاهی به ریشه ها بپردازیم. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه ها مورد نیاز است. برای اینکه بتوانید از استفاده از آن بهره مند شوید، باید اقدامات را به صورت خودکار انجام دهید. و برای این، پنج مثال دیگر را حل کنید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از تمایز استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل های وظایف برای کار مستقل:

کار 1. ((x)^(2))-8x+12=0

طبق قضیه ویتا:

طبق معمول، انتخاب را با این قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست زیرا مقدار;

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 2.

و دوباره قضیه مورد علاقه ما Vieta: مجموع باید برابر باشد، و حاصلضرب باید برابر باشد.

اما چون نباید باشد، اما، نشانه های ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در مجموع).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 3.

هوم... اون کجاست؟

شما باید تمام اصطلاحات را به یک قسمت منتقل کنید:

مجموع ریشه ها برابر است با حاصل ضرب.

باشه بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات داده شده قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید یک معادله ارائه دهید. اگر نمی توانید رهبری کنید، این ایده را رها کنید و آن را به روش دیگری حل کنید (مثلاً از طریق یک ممیز). اجازه دهید به شما یادآوری کنم که برای دادن یک معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو است:

عالی. سپس مجموع ریشه ها برابر و حاصلضرب می شود.

در اینجا انتخاب کردن به آسانی گلابی پوست کنده است: به هر حال، این یک عدد اول است (با عرض پوزش برای توتولوژی).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 4.

عضو رایگان منفی است. این چه ویژگی خاصی دارد؟ و واقعیت این است که ریشه ها نشانه های متفاوتی خواهند داشت. و اکنون، در حین انتخاب، ما نه مجموع ریشه ها، بلکه تفاوت ماژول های آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است، اما یک محصول.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند با و، اما یکی از آنها منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم با علامت مخالف، یعنی. این به این معنی است که ریشه کوچکتر یک منفی خواهد داشت: and, since.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 5.

اول باید چی کار کنید؟ درست است، معادله را ارائه دهید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و اختلاف آنها باید برابر باشد:

ریشه ها برابر هستند و اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد، به این معنی که منهای یک ریشه بزرگتر خواهد داشت.

پاسخ: ؛ .

بگذارید خلاصه کنم:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا، می توانید ریشه ها را با انتخاب، به صورت شفاهی پیدا کنید.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفت عامل مناسبی از جمله آزاد پیدا نشود، هیچ ریشه کاملی وجود ندارد و باید آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق ممیز) حل کنید.

3. روش انتخاب مربع کامل

اگر همه عبارت‌های حاوی مجهول به صورت عبارت از فرمول‌های ضرب اختصاری - مجذور مجموع یا تفاوت - نشان داده شوند، پس از جایگزینی متغیرها، می‌توان معادله را در قالب یک معادله درجه دوم ناقص از نوع ارائه کرد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

به طور کلی، تبدیل به این شکل خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ این یک چیز تبعیض آمیز است! این دقیقاً چگونه است که ما فرمول تشخیص را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

معادله درجه دوم - این یک معادله شکل است، جایی که - مجهول، - ضرایب معادله درجه دوم، - عبارت آزاد.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیستند.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب، یعنی: .

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد، معادله به نظر می رسد:
• اگر یک جمله آزاد وجود داشته باشد، معادله به شکل زیر است:
• اگر و، معادله به نظر می رسد: .

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) مجهول را بیان کنیم:

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد،
• اگر، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) عامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

2) اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بنابراین، معادله دو ریشه دارد:

1.3. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد: .

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم Where

2.1. راه حل با استفاده از تشخیص

1) معادله را به کاهش می دهیم نمای استاندارد: ,

2) بیایید تفکیک کننده را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر، پس معادله دارای ریشه هایی است که با فرمول پیدا می شوند:
• اگر، پس معادله یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود:
• اگر، پس معادله ریشه ندارد.

2.2. حل با استفاده از قضیه Vieta

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادله شکل که در آن) برابر است، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است، یعنی. ، آ.

2.3. حل با روش انتخاب مربع کامل

مدرسه متوسطه روستایی Kopyevskaya

10 روش برای حل معادلات درجه دوم

رئیس: پاتریکیوا گالینا آناتولیونا،

معلم ریاضی

روستای Kopevo، 2007

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد

1.3 معادلات درجه دوم در هند

1.4 معادلات درجه دوم توسط الخوارزمی

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا قرن XIII - XVII

1.6 درباره قضیه ویتا

2. روش های حل معادلات درجه دوم

نتیجه

ادبیات

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در دوران باستان، ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت زمین ها و انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی بوده است. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات. معادلات درجه دوم را می توان در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کرد. ه. بابلی ها

با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها علاوه بر متن های ناقص، معادلات درجه دوم کامل وجود دارد:

ایکس 2 + ایکس = ¾; ایکس 2 - ایکس = 14,5

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها.

با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد این مفهوم هستند عدد منفیو روش های عمومیحل معادلات درجه دوم

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد.

حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل یک سری مسائل سیستماتیک است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 11."دو عدد را بیابید، با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است."

دیوفانتوس چنین استدلال می کند: از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز مساوی نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصلضرب آنها برابر با 96 نمی شد، بلکه برابر 100 بود. بنابراین، یکی از آنها بیشتر از نیمی از مجموع آنها، یعنی . 10 + x، دیگری کمتر است، یعنی. دهه 10. تفاوت بین آنها 2 برابر .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

از اینجا x = 2. یکی از اعداد مورد نیاز برابر است با 12 ، دیگر 8 . راه حل x = -2زیرا دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی فقط اعداد مثبت می دانستند.

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنیم، به جواب معادله خواهیم رسید.

y (20 - y) = 96،

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

واضح است که دیوفانتوس با انتخاب نیم تفاضل اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول، راه حل را ساده می کند. او موفق می شود مسئله را به حل یک معادله درجه دوم ناقص تقلیل دهد (1).

1.3 معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است، یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم) به طور خلاصه بیان کرد قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

آه 2 + ب x = c، a > 0. (1)

در رابطه (1)، ضرایب، به جز آ، همچنین می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

که در هند باستانمسابقات عمومی در حل مسائل دشوار رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هند در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همانطور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها می‌درخشد، یک مرد دانشمند نیز در مجامع عمومی و طرح و حل مسائل جبری، از شکوه دیگری پیشی می‌گیرد.» مسائل غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

مسئله 13.

گله ای از میمون های دمدمی مزاج و دوازده میمون در کنار تاک ها...

مسئولین پس از خوردن غذا، خوش گذشت. شروع کردند به پریدن، آویزان شدن...

آنها در میدان، قسمت هشتم هستند، چند میمون آنجا بودند؟

در پاکسازی داشتم تفریح ​​می کردم. به من بگو، در این بسته؟

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که او می دانست که ریشه های معادلات درجه دوم دو مقدار هستند (شکل 3).

معادله مربوط به مسئله 13 به صورت زیر است:

( ایکس /8) 2 + 12 = ایکس

باسکارا در پوشش می نویسد:

x 2 - 64x = -768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به مربع، به هر دو طرف اضافه می کند 32 2 ، سپس دریافت:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x - 32 = 16 ±،

x 1 = 16، x 2 = 48.

1.4 معادلات درجه دوم در خوارزمی

در رساله جبری خوارزمی طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم آورده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع ها برابر با ریشه هستند" یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

2) "مربع مساوی اعداد هستند"، یعنی. تبر 2 = ج.

3) "ریشه ها مساوی عدد هستند" یعنی. ah = s.

4) «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

5) «مربع و ریشه مساوی اعداد هستند» یعنی. آه 2 + bx = s.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی. bx + c = تبر 2 .

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المقابله ارائه می کند. البته تصمیمات او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً هنگام حل یک معادله درجه دوم ناقص نوع اول

الخوارزمی، مانند همه ریاضیدانان قبل از قرن هفدهم، راه حل صفر را در نظر نمی گیرد، احتمالاً به این دلیل که در مسائل عملی خاص مهم نیست. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قوانین حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی تعیین می کند.

مسئله 14.«مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کن" (به معنای ریشه معادله x 2 + 21 = 10x).

راه حل نویسنده چیزی شبیه به این است: تعداد ریشه ها را به نصف تقسیم کنید، 5 بدست می آورید، 5 را در خودش ضرب کنید، 21 را از حاصلضرب کم کنید، آنچه باقی می ماند 4 است. ریشه را از 4 بگیرید، 2 را دریافت می کنید. ، شما 3 دریافت می کنید، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا 2 به 5 اضافه کنید که 7 می شود، این هم ریشه است.

رساله خوارزمی اولین کتابی است که به دست ما رسیده است که به طور سیستماتیک طبقه بندی معادلات درجه دوم را بیان می کند و برای حل آنها فرمول هایی ارائه می دهد.

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا سیزدهم - XVII bb

فرمول های حل معادلات درجه دوم در امتداد خطوط خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، ارائه شد. این اثر حجیم که نشان دهنده تأثیر ریاضیات، هم کشورهای اسلامی و هم یونان باستان، هم از نظر کامل بودن و هم وضوح ارائه متمایز می شود. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از کتاب چرتکه تقریباً در تمام کتابهای درسی اروپایی قرن 16 - 17 استفاده شد. و تا حدودی هجدهم.

قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

x 2 + bx = ج،

برای همه ترکیبات ممکن از علائم ضریب ب , باتنها در سال 1544 توسط M. Stiefel در اروپا فرموله شد.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلی از جمله اولین ریاضیدانان در قرن شانزدهم بودند. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. به لطف کار ژیرار، دکارت، نیوتن و دیگر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرنی به خود می گیرد.

1.6 درباره قضیه ویتا

قضیه بیان کننده رابطه بین ضرایب یک معادله درجه دوم و ریشه های آن به نام ویتا برای اولین بار توسط وی در سال 1591 به صورت زیر فرموله شد: «اگر ب + D، ضربدر آ - آ 2 ، برابر است BD، آن آبرابر است که درو برابر D ».

برای درک ویتا، باید آن را به خاطر بسپاریم آ، مانند هر حرف مصوت به معنای ناشناخته (ما ایکس)، مصوت ها که در، D- ضرایب برای مجهول. در زبان جبر مدرن، فرمول Vieta فوق به معنای: اگر وجود دارد

(a + ب )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + ب )x + a ب = 0,

x 1 = a، x 2 = ب .

بیان رابطه بین ریشه و ضرایب معادلات فرمول های کلیبا استفاده از نمادها نوشته شده است، ویت یکنواختی را در روش های حل معادلات ایجاد کرد. با این حال، نمادگرایی ویت هنوز دور است ظاهر مدرن. او اعداد منفی را تشخیص نمی داد و بنابراین هنگام حل معادلات فقط مواردی را در نظر می گرفت که همه ریشه ها مثبت بودند.

2. روش های حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم شالوده ای هستند که بنای با شکوه جبر بر آن استوار است. معادلات درجه دوم به طور گسترده ای در حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، غیر منطقی و ماورایی استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم را از مدرسه (کلاس هشتم) تا فارغ التحصیلی حل کنیم.

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم " حل معادلات" ما قبلا با معادلات خطی آشنا شده ایم و به سراغ آشنایی با آن می رویم معادلات درجه دوم.

ابتدا به این خواهیم پرداخت که معادله درجه دوم چیست، چگونه به صورت کلی نوشته می شود و تعاریف مرتبط را ارائه می دهیم. پس از این، از مثال هایی برای بررسی دقیق چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص استفاده می کنیم. بیایید به سراغ راه حل برویم معادلات کامل، فرمول ریشه را بدست می آوریم، با ممیز یک معادله درجه دوم آشنا می شویم و راه حل هایی برای مثال های معمولی در نظر می گیریم. در نهایت، بیایید ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را ردیابی کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط، گفتگو در مورد معادلات درجه دوم را آغاز کنیم. پس از این می توانید انواع اصلی معادلات درجه دوم را در نظر بگیرید: کاهش یافته و کاهش نیافته و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است a x 2 +b x+c=0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد و a غیر صفر است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به دلیل این واقعیت است که معادله درجه دوم است معادله جبری درجه دوم

تعریف بیان شده به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 +6 x+1=0، 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0، و غیره. اینها معادلات درجه دوم هستند.

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 و ضریب a را اولین یا بالاترین یا ضریب x 2 می گویند، b ضریب دوم یا ضریب x و c عبارت آزاد است. .

به عنوان مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x −3=0 در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم برابر با −2، و جمله آزاد برابر با −3 است. توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و/یا c مانند مثالی که ارائه شد، منفی هستند، پس شکل مختصرنوشتن یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x−3=0 و نه 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و/یا b برابر با 1 یا -1 هستند، معمولاً به صراحت در معادله درجه دوم وجود ندارند، که به دلیل ویژگی‌های نوشتن چنین است. به عنوان مثال، در معادله درجه دوم y 2 −y+3=0 ضریب پیشرو یک است و ضریب y برابر با 1- است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته

بسته به مقدار ضریب پیشرو، معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. در غیر این صورت معادله درجه دوم است دست نخورده.

مطابق با این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3·x+1=0، x 2 −x−2/3=0، و غیره. - داده شده، در هر یک از آنها اولین ضریب برابر با یک. A 5 x 2 −x−1=0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم کاهش نیافته، با تقسیم هر دو طرف بر ضریب پیشرو، می توانید به ضریب کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته به دست آمده از این طریق دارای ریشه های معادل معادله درجه دوم تقلیل نشده اصلی است یا مانند آن ریشه ندارد.

اجازه دهید به مثالی نگاه کنیم که چگونه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته انجام می‌شود.

مثال.

از معادله 3 x 2 +12 x−7=0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

فقط باید دو طرف معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 تقسیم کنیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 که یکسان است، (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0، و سپس (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، از کجا . به این ترتیب معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست آوردیم که معادل معادل اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

تعریف یک معادله درجه دوم شامل شرط a≠0 است. این شرط لازم است تا معادله a x 2 + b x + c = 0 درجه دوم باشد، زیرا وقتی a = 0 باشد در واقع به یک معادله خطی به شکل b x + c = 0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند برابر با صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 نامیده می شود ناقص، اگر حداقل یکی از ضرایب b، c برابر با صفر باشد.

در نوبتش

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب با صفر متفاوت هستند.

چنین اسامی تصادفی نبود. این از بحث های بعدی روشن خواهد شد.

اگر ضریب b صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +0·x+c=0 است و معادل معادله a·x 2 +c=0 است. اگر c=0، یعنی معادله درجه دوم به شکل a·x 2 +b·x+0=0 باشد، می توان آن را به صورت a·x 2 +b·x=0 بازنویسی کرد. و با b=0 و c=0 معادله درجه دوم a·x 2 =0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0.2=0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0، 5 x 2 +3=0 ، −x 2 −5 x=0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبل چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

• a·x 2 =0، ضرایب b=0 و c=0 با آن مطابقت دارد.
• a x 2 +c=0 وقتی b=0 ;
• و a·x 2 +b·x=0 وقتی c=0.

اجازه دهید به ترتیب چگونگی حل معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع را بررسی کنیم.

a x 2 = 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آن ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلات به شکل a x 2 = 0. معادله a·x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت بر یک عدد غیر صفر a از اصل به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 = 0 صفر است، زیرا 0 2 = 0 است. این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد، که با این واقعیت توضیح داده می شود که برای هر عدد غیر صفر p، نابرابری p 2 > 0 برقرار است، به این معنی که برای p≠0 تساوی p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 = 0 دارای یک ریشه واحد x=0 است.

به عنوان مثال، حل معادله درجه دوم ناقص -4 x 2 = 0 را می‌دهیم. معادل معادله x 2 = 0 است، تنها ریشه آن x=0 است، بنابراین، معادله اصلی دارای یک ریشه واحد صفر است.

یک راه حل کوتاه در این مورد را می توان به صورت زیر نوشت:
-4 x 2 = 0،
x 2 = 0،
x=0.

a x 2 + c=0

حال بیایید ببینیم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که در آنها ضریب b صفر و c≠0 است، یعنی معادلاتی به شکل a x 2 +c=0. می دانیم که با حرکت یک جمله از یک طرف معادله به سمت دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، یک معادله معادل به دست می آید. بنابراین، می‌توانیم تبدیل‌های معادل زیر را از معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 انجام دهیم:

• c را به سمت راست حرکت دهید، که معادله a x 2 =−c را به دست می‌دهد،
• و هر دو طرف را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال، اگر a=1 و c=2، سپس ) یا مثبت (به عنوان مثال، اگر a=−2 و c=6 باشد، سپس ) صفر نیست، زیرا با شرط c≠0. بیایید موارد را جداگانه بررسی کنیم.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی , پس برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این صورت، اگر ما به یاد داشته باشیم، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود؛ این عدد است، زیرا به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع، . این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با تناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

اجازه دهید ریشه های معادله را که به صورت x 1 و −x 1 اعلام شده است نشان دهیم. فرض کنید که معادله یک ریشه x 2 بیشتر دارد که با ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 متفاوت است. مشخص است که جایگزین کردن ریشه های آن به یک معادله به جای x، معادله را به یک برابری عددی صحیح تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما این امکان را می‌دهند که تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی صحیح را انجام دهیم، بنابراین با تفریق قسمت‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 −x 2 2 = 0 به دست می‌آید. ویژگی‌های عملیات با اعداد به ما اجازه می‌دهد تساوی حاصل را به صورت (x 1 −x 2)·(x1 +x2)=0 بازنویسی کنیم. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. بنابراین، از تساوی حاصل چنین می شود که x 1 −x 2 = 0 و/یا x 1 +x 2 = 0، که یکسان است، x 2 =x 1 و/یا x 2 =−x 1. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه ای جز و ندارد.

اجازه دهید اطلاعات این پاراگراف را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر،
• دو ریشه دارد و اگر .

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a·x 2 +c=0 را در نظر می گیریم.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 +7=0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9 x 2 =−7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله حاصل بر 9، به . از آنجایی که سمت راست دارای یک عدد منفی است، این معادله ریشه ندارد، بنابراین، معادله درجه دوم ناقص اولیه 9 x 2 +7 = 0 ریشه ندارد.

بیایید یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنیم -x 2 +9=0. نه را به سمت راست منتقل می کنیم: −x 2 =−9. حالا هر دو طرف را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 =9 به دست می آید. در سمت راست یک عدد مثبت وجود دارد که از آن نتیجه می گیریم که یا . سپس پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 +9=0 دارای دو ریشه x=3 یا x=−3 است.

a x 2 +b x=0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c=0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص به شکل a x 2 + b x = 0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی. بدیهی است که می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است ضریب مشترک x را از پرانتز خارج کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل به شکل x·(a·x+b)=0 حرکت کنیم. و این معادله معادل مجموعه ای از دو معادله x=0 و a·x+b=0 است که دومی خطی است و ریشه x=−b/a دارد.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a·x 2 +b·x=0 دارای دو ریشه x=0 و x=−b/a است.

برای ادغام مطالب، راه حل را به یک مثال خاص تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

با خارج کردن x از پرانتز معادله بدست می آید. معادل دو معادله x=0 و . معادله خطی حاصل را حل می کنیم: و تقسیم را انجام می دهیم شماره های درهمبر کسر مشترک، ما پیدا می کنیم . بنابراین، ریشه های معادله اصلی x=0 و .

پس از کسب تمرین لازم، جواب این گونه معادلات را می توان به اختصار نوشت:

پاسخ:

x=0، .

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای حل معادلات درجه دوم یک فرمول ریشه وجود دارد. بیایید آن را بنویسیم فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم: ، جایی که D=b 2-4 a c- باصطلاح تمایز یک معادله درجه دوم. مدخل در اصل به این معنی است که .

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه از آن در یافتن ریشه معادلات درجه دوم استفاده می شود مفید است. بیایید این را بفهمیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

• می‌توانیم هر دو طرف این معادله را بر یک عدد غیرصفر a تقسیم کنیم که معادله درجه دوم زیر به دست می‌آید.
• اکنون بیایید برجسته کنیم مربع کامل در سمت چپ آن: . پس از این، معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله امکان انتقال دو عبارت آخر به سمت راست با علامت مقابل وجود دارد.
• و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل کنیم: .

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 است.

ما قبلاً در پاراگراف های قبلی که بررسی کردیم معادلات مشابه را حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

• اگر ، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
• اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، که تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
• اگر، آنگاه یا، که همان یا است، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و بنابراین معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود، زیرا مخرج 4·a 2 همیشه مثبت است، یعنی با علامت عبارت b2-4·a·c. این عبارت b 2-4 a c نامیده شد تمایز یک معادله درجه دومو توسط نامه تعیین شده است D. از اینجا ماهیت ممیز مشخص می شود - بر اساس ارزش و علامت آن نتیجه می گیرند که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چند است - یک یا دو.

بیایید به معادله برگردیم و آن را با استفاده از نماد تفکیک بازنویسی کنیم: . و نتیجه گیری می کنیم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• اگر D=0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
• در نهایت اگر D>0 باشد، معادله دارای دو ریشه یا است که می توان آن ها را به شکل یا بازنویسی کرد و پس از بسط و آوردن کسرها به مخرج مشترک به دست می آوریم.

بنابراین ما فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم را به دست آوردیم، آنها به نظر می‌رسند، که در آن ممیز D با فرمول D=b 2-4·a·c محاسبه می‌شود.

با کمک آنها، با یک ممیز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را محاسبه کنید. هنگامی که متمایز برابر با صفر است، هر دو فرمول مقدار یکسانی از ریشه را می دهند که مربوط به یک راه حل منحصر به فرد برای معادله درجه دوم است. و با تفکیک منفی، هنگام تلاش برای استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را از محدوده برنامه درسی مدرسه خارج می کند. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها را می‌توان با استفاده از همان فرمول‌های ریشه‌ای که ما به دست آوردیم پیدا کرد.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل معادلات درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه برای محاسبه مقادیر آنها استفاده کنید. اما این بیشتر به یافتن ریشه های پیچیده مربوط می شود.

با این حال، در یک دوره جبر مدرسه معمولاً اینطور است ما در موردنه در مورد پیچیده، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم. در این مورد، توصیه می شود قبل از استفاده از فرمول های ریشه های یک معادله درجه دوم، ابتدا ممیز را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت می توان نتیجه گرفت که معادله ریشه واقعی ندارد). و فقط پس از آن مقادیر ریشه ها را محاسبه کنید.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد الگوریتم حل معادله درجه دوم. برای حل معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 باید:

• با استفاده از فرمول متمایز D=b 2 −4·a·c، مقدار آن را محاسبه کنید.
• نتیجه بگیرید که یک معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
• تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید اگر D=0;
• اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط به این نکته توجه می کنیم که اگر تفکیک کننده برابر با صفر باشد، می توانید از فرمول نیز استفاده کنید؛ همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به مثال هایی از استفاده از الگوریتم برای حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

بیایید راه حل های سه معادله درجه دوم با ممیز مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیریم. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 +2·x−6=0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت، ضرایب زیر را از معادله درجه دوم داریم: a=1، b=2 و c=−6. طبق الگوریتم، ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید؛ برای انجام این کار، a، b و c نشان داده شده را به فرمول تفکیک جایگزین می کنیم. D=b 2-4·a·c=2 2-4·1·(-6)=4+24=28. از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، معادله درجه دوم دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنیم، دریافت می کنیم، در اینجا می توانید عبارات حاصل را با انجام این کار ساده کنید حرکت ضریب فراتر از علامت ریشهبه دنبال کاهش کسر:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4 x 2 +28 x−49=0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D=28 2-4·(-4)·(-49)=784-784=0. بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که ما آن را به صورت، یعنی

پاسخ:

x=3.5.

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم را با ممیز منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5·y 2 +6·y+2=0 را حل کنید.

راه حل.

ضرایب معادله درجه دوم عبارتند از: a=5، b=6 و c=2. ما این مقادیر را با فرمول متمایز جایگزین می کنیم D=b 2-4·a·c=6 2-4·5·2=36-40=-4. ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به نشان دادن ریشه های پیچیده دارید، فرمول شناخته شده را برای ریشه های یک معادله درجه دوم اعمال می کنیم و عملیات با اعداد مختلط:

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده عبارتند از: .

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم که اگر ممیز یک معادله درجه دوم منفی باشد، در مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخی را می نویسند که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی شود.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D=b2-4·a·c به شما امکان می دهد فرمولی با فرم فشرده تر به دست آورید، به شما امکان می دهد معادلات درجه دوم را با ضریب زوج برای x (یا به سادگی با یک) حل کنید. ضریب به شکل 2·n، برای مثال، یا 14· ln5=2·7·ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 2 n x+c=0 حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که می شناسیم پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه می کنیم D=(2 n) 2-4 a c=4 n 2-4 a c=4 (n 2-a c)، و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

اجازه دهید عبارت n 2 −a c را با D 1 نشان دهیم (گاهی اوقات با D نشان داده می شود) سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم مورد بررسی با ضریب دوم 2 n شکل خواهد گرفت. ، جایی که D 1 = n 2 -a·c.

به راحتی می توان دید که D=4·D 1 یا D 1 =D/4. به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های یک معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2·n، شما نیاز دارید

• محاسبه D 1 = n 2 −a·c ;
• اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0، سپس تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1 > 0 باشد، با استفاده از فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

بیایید حل مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیریم.

مثال.

معادله درجه دوم 5 x 2 −6 x −32=0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2·(-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 +2 (-3) x−32=0، در اینجا a=5، n=−3 و c=−32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم را محاسبه کنید. متمایز کننده: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2-5·(-32)=9+160=169. از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه مناسب پیدا کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این مورد باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ها، پرسیدن این سوال ضرری ندارد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات، حل معادله درجه دوم 11 x 2 −4 x−6=0 آسان تر از 1100 x 2 −400 x−600=0 خواهد بود.

به طور معمول، ساده کردن شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو طرف در یک عدد مشخص به دست می آید. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل می‌توان معادله 1100 x 2 −400 x −600=0 را با تقسیم هر دو طرف بر 100 ساده کرد.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو طرف معادله بر مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x+48=0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: GCD (12، 42، 48) = GCD (GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. با تقسیم دو طرف معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x+8=0 می رسیم.

و ضرب هر دو طرف یک معادله درجه دوم معمولا برای خلاص شدن از شر ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت ضرب با مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو طرف معادله درجه دوم در LCM(6, 3, 1)=6 ضرب شوند، آنگاه به شکل ساده‌تر x 2 +4·x−18=0 خواهد بود.

در نتیجه گیری از این نکته، توجه می کنیم که آنها تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت ها از منهای بالاترین ضریب یک معادله درجه دوم خلاص می شوند که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو طرف در -1 است. به عنوان مثال، معمولاً یکی از معادله درجه دوم -2 x 2 -3 x+7=0 به حل 2 x 2 +3 x−7=0 حرکت می‌کند.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از طریق ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول های قضیه ویتا به شکل و . به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عنوان مثال، با نگاه کردن به شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x + 22 = 0، بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن برابر با 7/3 است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با 22 است. /3.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی ارتباط دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. برای مثال می توانید مجموع مجذورات یک معادله درجه دوم را از طریق ضرایب آن بیان کنید: .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزشی/ A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.