1 تناسب مستقیم و معکوس. روابط مستقیم و معکوس نسبت

تکمیل شده توسط: Chepkasov Rodion

دانش آموز کلاس ششم

MBOU "دبیرستان شماره 53"

بارنائول

رئیس: Bulykina O.G.

معلم ریاضی

MBOU "دبیرستان شماره 53"

بارنائول

معرفی. 1

روابط و نسبت ها. 3

روابط مستقیم و معکوس نسبت. 4

کاربرد نسبت مستقیم و معکوس 6

وابستگی ها هنگام حل مسائل مختلف

نتیجه. یازده

ادبیات. 12

معرفی.

کلمه Proporcion از کلمه لاتین Proporcion گرفته شده است که به طور کلی به معنای تناسب، همسویی قطعات (نسبت معینی از قطعات به یکدیگر) است. در دوران باستان، آموزه تناسب نزد فیثاغورثی ها بسیار مورد احترام بود. آنها افکاری را در مورد نظم و زیبایی در طبیعت، در مورد آکوردهای همخوان در موسیقی و هارمونی در کیهان با تناسبات مرتبط کردند. آنها برخی از انواع نسبت ها را موزیکال یا هارمونیک می نامیدند.

حتی در دوران باستان، انسان کشف کرد که همه پدیده های طبیعت با یکدیگر مرتبط هستند، همه چیز در حرکت مداوم است، تغییر می کند و وقتی به صورت اعداد بیان شود، الگوهای شگفت انگیزی را آشکار می کند.

فیثاغورثی ها و پیروانشان به دنبال همه چیز در جهان بودند بیان عددی. آنها کشف کردند؛ نسبت های ریاضی زیربنای موسیقی هستند (نسبت طول سیم به گام، رابطه بین فواصل، نسبت صداها در آکوردهایی که صدایی هارمونیک می دهند). فیثاغورثی ها سعی کردند ایده وحدت جهان را از نظر ریاضی اثبات کنند و استدلال کردند که اساس جهان اشکال هندسی متقارن است. فیثاغورثی ها به دنبال مبنایی ریاضی برای زیبایی بودند.

آگوستین، دانشمند قرون وسطایی، به پیروی از فیثاغورثین، زیبایی را «برابری عددی» نامید. فیلسوف مکتبی بوناونتور نوشت: "زیبایی و لذت بدون تناسب وجود ندارد و تناسب در درجه اول در اعداد وجود دارد. لازم است همه چیز قابل شمارش باشد." لئوناردو داوینچی در رساله نقاشی خود در مورد استفاده از تناسب در هنر می نویسد: "نقاش همان الگوهای نهفته در طبیعت را که دانشمند در قالب قانون عددی می شناسد را در قالب تناسب مجسم می کند."

از نسبت ها برای حل استفاده شد وظایف مختلفچه در دوران باستان و چه در قرون وسطی. اکنون انواع خاصی از مشکلات با استفاده از نسبت ها به راحتی و به سرعت حل می شوند. تناسب و تناسب نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و هنر نیز مورد استفاده قرار می گرفت. تناسب در معماری و هنر به معنای حفظ روابط معین بین اندازه هاست بخش های مختلفساختمان، شکل، مجسمه یا سایر آثار هنری. تناسب در چنین مواردی شرط ساخت و تصویرسازی صحیح و زیبا است

در کارم سعی کردم استفاده از روابط مستقیم و معکوس تناسب را در زمینه های مختلف در نظر بگیرم زندگی پیرامونردیابی تماس با موضوعات دانشگاهیاز طریق وظایف

روابط و نسبت ها.

ضریب دو عدد نامیده می شود نگرشاینها شماره.

نگرش نشان می دهد، چند برابر عدد اول بیشتر از دومییا اینکه عدد اول کدام قسمت دومی است.

وظیفه.

2.4 تن گلابی و 3.6 تن سیب به فروشگاه آورده شد. چه نسبتی از میوه های آورده شده گلابی است؟

راه حل . بیایید دریابیم که آنها چقدر میوه آورده اند: 2.4+3.6=6(t). برای اینکه بفهمیم چه قسمتی از میوه های آورده شده گلابی است، نسبت را 2.4:6= می کنیم. پاسخ را می توان در فرم نیز نوشت اعشارییا به صورت درصد: = 0.4 = 40%.

متقابل معکوستماس گرفت شماره، که محصولات آن برابر با 1. بنابراین رابطه را معکوس رابطه می نامند.

دو نسبت مساوی را در نظر بگیرید: 4.5:3 و 6:4. بیایید یک علامت مساوی بین آنها قرار دهیم و نسبت را بدست آوریم: 4.5:3=6:4.

تناسب، قسمتبرابری دو رابطه است: a : b =c :d یا = ، جایی که a و d هستند شرایط شدید نسبت، ج و ب - اعضای متوسط(همه شرایط نسبت با صفر متفاوت است).

ویژگی اصلی نسبت:

در نسبت صحیح، حاصل ضرب جملات افراطی برابر است با حاصلضرب عبارات میانی.

با اعمال خاصیت جابجایی ضرب، متوجه می‌شویم که در نسبت صحیح، عبارت‌های افراطی یا میانی را می‌توان جایگزین کرد. نسبت های حاصل نیز صحیح خواهد بود.

با استفاده از ویژگی اصلی نسبت، در صورتی که همه اصطلاحات دیگر شناخته شده باشند، می توانید عبارت مجهول آن را پیدا کنید.

برای یافتن جمله افراطی مجهول نسبت، باید عبارات میانگین را ضرب کرده و بر جمله افراطی شناخته شده تقسیم کنید. x : b = c : d، x =

برای یافتن جمله میانی مجهول نسبت، باید جملات افراطی را ضرب کرده و بر جمله میانی شناخته شده تقسیم کنید. a: b =x: d، x = .

روابط مستقیم و معکوس نسبت.

مقادیر دو کمیت مختلف می توانند متقابلاً به یکدیگر وابسته باشند. بنابراین، مساحت مربع به طول ضلع آن بستگی دارد و بالعکس - طول ضلع مربع به مساحت آن بستگی دارد.

گفته می شود که دو کمیت متناسب هستند اگر، با افزایش

(کاهش) یکی از آنها چند برابر، دیگری افزایش (کاهش) همان تعداد.

اگر دو کمیت مستقیماً متناسب باشند، نسبت مقادیر متناظر این مقادیر برابر است.

مثال وابستگی متناسب مستقیم .

در پمپ بنزین 2 لیتر بنزین 1.6 کیلوگرم وزن دارد. وزن آنها چقدر خواهد بود 5 لیتر بنزین؟

راه حل:

وزن نفت سفید متناسب با حجم آن است.

2 لیتر - 1.6 کیلوگرم

5 لیتر - x کیلوگرم

2:5=1.6:x،

x=5*1.6 x=4

پاسخ: 4 کیلوگرم.

در اینجا نسبت وزن به حجم بدون تغییر باقی می ماند.

دو کمیت با نسبت معکوس نامیده می شوند که وقتی یکی از آنها چندین برابر افزایش (کاهش) شود، دیگری به همان مقدار کاهش یابد (افزایش یابد).

اگر مقادیر معکوس متناسب باشند، نسبت مقادیر یک کمیت برابر است با نسبت معکوس مقادیر متناظر کمیت دیگر.

پ مثالرابطه معکوس متناسب

دو مستطیل مساحت یکسانی دارند. طول مستطیل اول 6/3 متر و عرض 4/2 متر طول مستطیل دوم 8/4 متر است عرض مستطیل دوم را بیابید.

راه حل:

1 مستطیل 3.6 متر 2.4 متر

2 مستطیل 4.8 متر در متر

3.6 متر در متر

4.8 متر 2.4 متر

x = 3.6 * 2.4 = 1.8 متر

جواب: 1.8 متر.

همانطور که می بینید، مشکلات مربوط به کمیت های متناسب را می توان با استفاده از نسبت ها حل کرد.

هر دو کمیت با نسبت مستقیم یا معکوس متناسب نیستند. به عنوان مثال، با افزایش سن، قد کودک افزایش می یابد، اما این مقادیر متناسب نیستند، زیرا زمانی که سن دو برابر می شود، قد کودک دو برابر نمی شود.

استفاده عملیوابستگی مستقیم و معکوس نسبت

وظیفه شماره 1

کتابخانه مدرسه دارای 210 کتاب درسی ریاضی است که 15 درصد کل مجموعه کتابخانه را تشکیل می دهد. چند کتاب در مجموعه کتابخانه وجود دارد؟

راه حل:

مجموع کتاب های درسی - ? - 100%

ریاضیدانان - 210 -15٪

15% 210 دانشگاهی.

X = 100 * 210 = 1400 کتاب درسی

100٪ x حساب. 15

پاسخ: 1400 کتاب درسی.

مشکل شماره 2

یک دوچرخه سوار 75 کیلومتر را در 3 ساعت طی می کند. یک دوچرخه سوار چقدر طول می کشد تا 125 کیلومتر را با همان سرعت طی کند؟

راه حل:

3 ساعت تا 75 کیلومتر

H – 125 کیلومتر

بنابراین، زمان و فاصله کمیت‌های نسبت مستقیم هستند

3: x = 75: 125،

x=
,

x=5.

پاسخ: در 5 ساعت.

مشکل شماره 3

8 لوله یکسان یک استخر را در 25 دقیقه پر می کنند. چند دقیقه طول می کشد تا یک استخر با 10 لوله از این قبیل پر شود؟

راه حل:

8 لوله - 25 دقیقه

10 لوله - ? دقایق

تعداد لوله ها با زمان نسبت معکوس دارد، بنابراین

8:10 = x:25،

x =

x = 20

پاسخ: در 20 دقیقه.

مشکل شماره 4

یک تیم 8 کارگری کار را در 15 روز کامل می کنند. چند کارگر می توانند کار را در 10 روز انجام دهند در حالی که با همان بهره وری کار می کنند؟

راه حل:

8 روز کاری - 15 روز

کارگران - 10 روز

تعداد کارگران با تعداد روزها نسبت معکوس دارد، بنابراین

x: 8 = 15: 10،

x=
,

x=12.

پاسخ: 12 کارگر.

مشکل شماره 5

از 5.6 کیلوگرم گوجه فرنگی، 2 لیتر سس به دست می آید. از 54 کیلوگرم گوجه فرنگی چند لیتر سس به دست می آید؟

راه حل:

5.6 کیلوگرم - 2 لیتر

54 کیلوگرم - ? ل

بنابراین تعداد کیلوگرم گوجه فرنگی با مقدار سس بدست آمده نسبت مستقیم دارد

5.6:54 = 2:x،

x =
,

x = 19.

جواب: 19 لیتر.

مشکل شماره 6

برای گرم کردن ساختمان مدرسه، زغال سنگ به مدت 180 روز به میزان مصرف ذخیره می شد

0.6 تن زغال سنگ در روز. اگر روزانه 0.5 تن مصرف شود این عرضه چند روز طول می کشد؟

راه حل:

تعداد روزها

نرخ مصرف

بنابراین تعداد روزها با میزان مصرف زغال سنگ نسبت معکوس دارد

180: x = 0.5: 0.6،

x = 180*0.6:0.5،

x = 216.

جواب: 216 روز.

مشکل شماره 7

که در سنگ آهنبرای 7 قسمت آهن 3 قسمت ناخالصی وجود دارد. در سنگ معدنی که 73.5 تن آهن دارد چند تن ناخالصی وجود دارد؟

راه حل:

تعداد قطعات

وزن

اهن

73,5

ناخالصی ها

بنابراین تعداد قطعات نسبت مستقیمی با جرم دارد

7: 73.5 = 3: x.

x = 73.5 * 3:7،

x = 31.5.

جواب: 31.5 تن

مشکل شماره 8

این خودرو 500 کیلومتر را طی کرد و 35 لیتر بنزین مصرف کرد. برای پیمودن 420 کیلومتر چند لیتر بنزین نیاز است؟

راه حل:

فاصله، کیلومتر

بنزین، l

فاصله با مصرف بنزین نسبت مستقیم دارد، بنابراین

500:35 = 420:x،

x = 35*420:500،

x = 29.4.

جواب: 29.4 لیتر

مشکل شماره 9

در عرض 2 ساعت 12 ماهی کپور صید کردیم. در عرض 3 ساعت چند ماهی کپور صید می شود؟

راه حل:

تعداد ماهی کپور صلیبی به زمان بستگی ندارد. این مقادیر نه نسبت مستقیم دارند و نه نسبت معکوس.

پاسخ: جوابی نیست.

مشکل شماره 10

یک شرکت معدنی نیاز به خرید 5 دستگاه جدید با مبلغ معینی با قیمت 12 هزار روبل در هر دستگاه دارد. اگر قیمت یک دستگاه 15 هزار روبل شود، یک شرکت می تواند چند عدد از این ماشین ها را خریداری کند؟

راه حل:

تعداد ماشین، عدد.

قیمت، هزار روبل

تعداد خودروها با هزینه نسبت معکوس دارد، بنابراین

5: x = 15: 12،

x=5*12:15،

x=4.

پاسخ: 4 ماشین.

مشکل شماره 11

در شهر N در مربع P فروشگاهی وجود دارد که صاحبش آنقدر سختگیر است که به دلیل دیر آمدن کسر می کند دستمزد 70 روبل برای 1 تاخیر در روز. دو دختر یولیا و ناتاشا در یک بخش کار می کنند. آنها حق الزحمهبستگی به تعداد روزهای کاری دارد. یولیا در 20 روز 4100 روبل دریافت کرد و ناتاشا باید در 21 روز بیشتر دریافت می کرد، اما او 3 روز متوالی دیر کرد. ناتاشا چند روبل دریافت می کند؟

راه حل:

روزهای کاری

حقوق، مالش.

جولیا

4100

ناتاشا

بنابراین حقوق با تعداد روزهای کاری متناسب است

20:21 = 4100:x،

x=4305.

4305 روبل. ناتاشا باید آن را دریافت می کرد.

4305 - 3 * 70 = 4095 (مالش.)

پاسخ: ناتاشا 4095 روبل دریافت می کند.

مشکل شماره 12

فاصله بین دو شهر روی نقشه 6 سانتی متر است اگر مقیاس نقشه 1: 250000 باشد فاصله این شهرها را روی زمین بیابید.

راه حل:

اجازه دهید فاصله بین شهرهای روی زمین را با x نشان دهیم (به سانتی متر) و نسبت طول قطعه روی نقشه به فاصله روی زمین را پیدا کنیم که برابر با مقیاس نقشه خواهد بود: 6: x = 1 : 250000

x = 6 * 250000،

x = 1500000.

1500000 سانتی متر = 15 کیلومتر

جواب: 15 کیلومتر.

مشکل شماره 13

4000 گرم محلول حاوی 80 گرم نمک است. غلظت نمک در این محلول چقدر است؟

راه حل:

وزن، گرم

تمرکز، ٪

راه حل

4000

نمک

4000: 80 = 100: x،

x =
,

x = 2.

پاسخ: غلظت نمک 2 درصد است.

مشکل شماره 14

بانک سالانه 10 درصد وام می دهد. شما 50000 روبل وام دریافت کردید. در یک سال چقدر باید به بانک برگردید؟

راه حل:

50000 روبل.

100%

x مالش.

50000: x = 100: 10،

x= 50000*10:100،

x=5000.

5000 روبل. 10 درصد است.

50000 + 5000=55000 (مالش)

پاسخ: در یک سال بانک 55000 روبل پس می گیرد.

نتیجه.

همانطور که از مثال های ارائه شده می بینیم، روابط مستقیم و معکوس در زمینه های مختلف زندگی قابل استفاده هستند:

اقتصاد،

تجارت،

در تولید و صنعت،

دوران مدرسه,

آشپزی،

ساخت و ساز و معماری.

ورزش ها،

دام پروری،

توپوگرافی ها،

فیزیکدانان،

شیمی و غیره

در زبان روسی ضرب المثل ها و ضرب المثل هایی نیز وجود دارد که روابط مستقیم و معکوس برقرار می کند:

با بازگشت، پاسخ خواهد داد.

هر چه کنده بالاتر باشد، سایه بالاتر است.

هر چه تعداد افراد بیشتر باشد، اکسیژن کمتری دارد.

و آماده است، اما احمقانه.

ریاضیات یکی از قدیمی ترین علوم است که بر اساس نیازها و خواسته های بشر پدید آمده است. با گذشتن از تاریخ شکل گیری از آن زمان یونان باستان، همچنان مرتبط و ضروری است زندگی روزمرههر شخصی. مفهوم تناسب مستقیم و معکوس از زمان های قدیم شناخته شده است، زیرا این قوانین تناسب بود که معماران را در هنگام ساخت یا ایجاد هر مجسمه ای برانگیخت.

دانش در مورد تناسبات به طور گسترده ای در تمام زمینه های زندگی و فعالیت انسان استفاده می شود - هنگام نقاشی نمی توان بدون آن کار کرد (مناظر، طبیعت بی جان، پرتره، و غیره)، همچنین در بین معماران و مهندسان گسترده است - به طور کلی، دشوار است تصور کنید چیزی را بدون استفاده از دانش نسبت ها و روابط آنها ایجاد کنید.

ادبیات.

ریاضی-6، ن.یا. ویلنکین و همکاران

جبر -7، G.V. دوروفیف و دیگران.

Mathematics-9، GIA-9، ویرایش شده توسط F.F. لیسنکو، اس.یو. کولابوخوا

ریاضیات-6، مواد آموزشی، P.V. چولکوف، A.B. اودینوف

مشکلات در ریاضیات برای کلاس های 4-5، I.V. Baranova و همکاران، M. "Prosveshchenie" 1988

مجموعه مسائل و مثال های ریاضی پایه 5-6، N.A. ترشین،

T.N. ترشینا، م. "آکواریوم" 1997

امروز به این خواهیم پرداخت که چه کمیت هایی را با نسبت معکوس می نامند، نمودار تناسب معکوس چگونه به نظر می رسد، و چگونه همه اینها می تواند نه تنها در درس های ریاضی، بلکه در خارج از مدرسه نیز برای شما مفید باشد.

چنین نسبت های متفاوتی

تناسبدو کمیت را نام ببرید که به یکدیگر وابسته هستند.

وابستگی می تواند مستقیم و معکوس باشد. در نتیجه، روابط بین کمیت ها با یک خط مستقیم و نسبت معکوس.

تناسب مستقیم- این رابطه بین دو کمیت است که افزایش یا کاهش یکی از آنها منجر به افزایش یا کاهش دیگری می شود. آن ها نگرش آنها تغییر نمی کند.

به عنوان مثال، هرچه تلاش بیشتری برای مطالعه در امتحانات انجام دهید، نمرات شما بالاتر می رود. یا هر چه چیزهای بیشتری در پیاده روی با خود ببرید، حمل کوله پشتی شما سنگین تر خواهد بود. آن ها میزان تلاش صرف شده برای آمادگی برای امتحانات با نمرات کسب شده نسبت مستقیم دارد. و تعداد وسایل بسته بندی شده در کوله پشتی با وزن آن نسبت مستقیم دارد.

نسبت معکوس- این یک وابستگی تابعی است که در آن کاهش یا افزایش چندین برابری در یک مقدار مستقل (به آن آرگومان می گویند) باعث افزایش یا کاهش متناسب (یعنی همان تعداد دفعات) در یک مقدار وابسته می شود (به نام یک مقدار وابسته) تابع).

بیایید با یک مثال ساده توضیح دهیم. شما می خواهید سیب را از بازار بخرید. سیب های روی پیشخوان و مقدار پول در کیف شما نسبت معکوس دارند. آن ها هرچه سیب های بیشتری بخرید، پول کمتری خواهید داشت.

تابع و نمودار آن

تابع تناسب معکوس را می توان به این صورت توصیف کرد y = k/x. که در آن ایکس≠ 0 و ک≠ 0.

این تابع دارای ویژگی های زیر است:

1. دامنه تعریف آن مجموعه ای از همه اعداد حقیقی به جز ایکس = 0. D(y): (-∞؛ 0) U (0؛ +∞).
2. محدوده همه اعداد واقعی است به جز y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. مقادیر حداکثر یا حداقل را ندارد.
4. عجیب است و نمودار آن نسبت به مبدا متقارن است.
5. غیر دوره ای
6. نمودار آن محورهای مختصات را قطع نمی کند.
7. صفر ندارد
8. اگر ک> 0 (یعنی آرگومان افزایش می یابد)، تابع در هر یک از بازه های آن به تناسب کاهش می یابد. اگر ک< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. با افزایش استدلال ( ک> 0) مقادیر منفیتوابع در بازه (-∞؛ 0) و توابع مثبت (0؛ +∞) هستند. وقتی آرگومان کاهش می یابد ( ک< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

نمودار تابع تناسب معکوس هذلولی نامیده می شود. به صورت زیر نشان داده شده است:

مشکلات تناسب معکوس

برای روشن تر شدن آن، اجازه دهید به چند کار نگاه کنیم. آنها خیلی پیچیده نیستند و حل آنها به شما کمک می کند تجسم کنید که تناسب معکوس چیست و چگونه این دانش می تواند در زندگی روزمره شما مفید باشد.

وظیفه شماره 1. یک ماشین با سرعت 60 کیلومتر در ساعت در حال حرکت است. 6 ساعت طول کشید تا به مقصد برسد. اگر با سرعت دوبرابر حرکت کند چقدر طول می کشد تا همان مسافت را طی کند؟

می‌توانیم با نوشتن فرمولی که رابطه بین زمان، مسافت و سرعت را توصیف می‌کند شروع کنیم: t = S/V. موافقم، این تابع تناسب معکوس را بسیار به ما یادآوری می کند. و نشان می دهد که مدت زمانی که خودرو در جاده می گذراند و سرعت حرکت آن با هم نسبت معکوس دارد.

برای تأیید این موضوع، اجازه دهید V 2 را پیدا کنیم، که طبق شرایط، 2 برابر بیشتر است: V 2 = 60 * 2 = 120 کیلومتر در ساعت. سپس فاصله را با استفاده از فرمول S = V * t = 60 * 6 = 360 کیلومتر محاسبه می کنیم. اکنون یافتن زمان t 2 که با توجه به شرایط مشکل از ما لازم است دشوار نیست: t 2 = 360/120 = 3 ساعت.

همانطور که می بینید، زمان سفر و سرعت در واقع با یکدیگر نسبت معکوس دارند: با سرعتی 2 برابر بیشتر از سرعت اصلی، خودرو 2 برابر زمان کمتری را در جاده می گذراند.

راه حل این مشکل را می توان به صورت نسبت نیز نوشت. پس بیایید ابتدا این نمودار را ایجاد کنیم:

↓ 60 کیلومتر در ساعت - 6 ساعت

↓120 کیلومتر در ساعت – x h

فلش ها نشان دهنده یک رابطه معکوس نسبت هستند. آنها همچنین پیشنهاد می کنند که هنگام ترسیم نسبت، سمت راست رکورد باید برگردانده شود: 60/120 = x/6. از کجا x = 60 * 6/120 = 3 ساعت بدست می آوریم.

وظیفه شماره 2. در این کارگاه 6 کارگر مشغول به کار هستند که می توانند مقدار مشخصی کار را در 4 ساعت انجام دهند. اگر تعداد کارگران نصف شود، کارگران باقیمانده چقدر طول می کشد تا همین مقدار کار را انجام دهند؟

اجازه دهید شرایط مسئله را در قالب یک نمودار بصری بنویسیم:

↓ 6 کارگر – 4 ساعت

↓ 3 کارگر – x h

بیایید این را به صورت نسبت بنویسیم: 6/3 = x/4. و x = 6 * 4/3 = 8 ساعت به دست می آید.اگر تعداد کارگران 2 برابر کمتر باشد، بقیه 2 برابر زمان بیشتری را صرف انجام همه کارها می کنند.

وظیفه شماره 3. دو لوله به داخل استخر منتهی می شود. از طریق یک لوله، آب با سرعت 2 لیتر در ثانیه جریان می یابد و ظرف 45 دقیقه استخر را پر می کند. از طریق لوله دیگری، استخر در 75 دقیقه پر می شود. آب از طریق این لوله با چه سرعتی وارد استخر می شود؟

برای شروع، اجازه دهید تمام کمیت های داده شده را با توجه به شرایط مسئله به همان واحدهای اندازه گیری کاهش دهیم. برای این کار سرعت پر شدن استخر را بر حسب لیتر در دقیقه بیان می کنیم: 2 لیتر بر ثانیه = 2 * 60 = 120 لیتر در دقیقه.

از آنجایی که شرط حاکی از آن است که استخر از طریق لوله دوم کندتر پر می شود، این بدان معنی است که سرعت جریان آب کمتر است. تناسب معکوس است. اجازه دهید سرعت مجهول را از طریق x بیان کنیم و نمودار زیر را ترسیم کنیم:

↓ 120 لیتر در دقیقه - 45 دقیقه

↓ x لیتر در دقیقه - 75 دقیقه

و سپس نسبت را تشکیل می دهیم: 120/x = 75/45، از آنجا x = 120 * 45/75 = 72 لیتر در دقیقه.

در مسئله، سرعت پر شدن استخر بر حسب لیتر در ثانیه بیان می شود؛ بیایید پاسخی را که دریافت کردیم به همان شکل کاهش دهیم: 72/60 = 1.2 لیتر در ثانیه.

وظیفه شماره 4. یک چاپخانه خصوصی کوچک کارت ویزیت چاپ می کند. یک کارمند چاپخانه با سرعت 42 کارت ویزیت در ساعت کار می کند و یک روز کامل - 8 ساعت کار می کند. اگر او سریعتر کار می کرد و 48 کارت ویزیت را در یک ساعت چاپ می کرد، چقدر زودتر می توانست به خانه برود؟

مسیر ثابت شده را دنبال می کنیم و نموداری را با توجه به شرایط مسئله ترسیم می کنیم و مقدار مورد نظر را x تعیین می کنیم:

↓ 42 کارت ویزیت در ساعت – 8 ساعت

↓ 48 کارت ویزیت در ساعت – x h

برگشت جلوی ما وابستگی متناسب: تعداد دفعاتی که یک کارمند چاپخانه در هر ساعت کارت ویزیت چاپ می کند، به همان تعداد زمان کمتری برای تکمیل همان کار نیاز دارد. با دانستن این موضوع، بیایید نسبتی ایجاد کنیم:

42/48 = x/8، x = 42 * 8/48 = 7 ساعت.

بدین ترتیب کارمند چاپخانه پس از اتمام کار در 7 ساعت، می توانست یک ساعت زودتر به خانه برود.

نتیجه

به نظر ما این مسائل تناسب معکوس واقعا ساده هستند. امیدواریم اکنون شما نیز اینگونه به آنها فکر کنید. و نکته اصلی این است که دانش در مورد وابستگی معکوس نسبت مقادیر واقعاً می تواند بیش از یک بار برای شما مفید باشد.

نه فقط در درس ریاضی و امتحان. اما حتی در آن زمان، وقتی برای رفتن به سفر آماده می شوید، به خرید بروید، تصمیم بگیرید که در تعطیلات کمی پول اضافی به دست آورید و غیره.

در نظرات به ما بگویید که چه نمونه هایی از روابط معکوس و نسبت مستقیم را در اطراف خود مشاهده می کنید. بگذار چنین بازی باشد. خواهید دید که چقدر هیجان انگیز است. فراموش نکنید که این مقاله را به اشتراک بگذارید در شبکه های اجتماعیتا دوستان و همکلاسی های شما نیز بتوانند بازی کنند.

blog.site، هنگام کپی کردن کامل یا جزئی مطالب، پیوند به منبع اصلی الزامی است.

مثال

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 و غیره

عامل تناسب

رابطه ثابت مقادیر متناسب نامیده می شود عامل تناسب. ضریب تناسب نشان می دهد که چند واحد از یک کمیت در واحد کمیت دیگر است.

تناسب مستقیم

تناسب مستقیم- وابستگی عملکردی، که در آن مقدار معینی به کمیت دیگر بستگی دارد به گونه ای که نسبت آنها ثابت می ماند. به عبارت دیگر این متغیرها تغییر می کنند به نسبت، در سهم های مساوی، یعنی اگر آرگومان دو بار در هر جهت تغییر کند، تابع نیز دو بار در همان جهت تغییر می کند.

از نظر ریاضی، تناسب مستقیم به صورت فرمول نوشته می شود:

f(ایکس) = آایکس,آ = جonستی

نسبت معکوس

نسبت معکوس- این یک وابستگی عملکردی است که در آن افزایش مقدار مستقل (برهان) باعث کاهش متناسب مقدار وابسته (تابع) می شود.

از نظر ریاضی، تناسب معکوس به صورت فرمول نوشته می شود:

ویژگی های عملکرد:

منابع

بنیاد ویکی مدیا 2010.

مثال

1.6 / 2 = 0.8; 4/5 = 0.8; 5.6 / 7 = 0.8 و غیره

عامل تناسب

رابطه ثابت مقادیر متناسب نامیده می شود عامل تناسب. ضریب تناسب نشان می دهد که چند واحد از یک کمیت در واحد کمیت دیگر است.

تناسب مستقیم

تناسب مستقیم- وابستگی عملکردی، که در آن مقدار معینی به کمیت دیگر بستگی دارد به گونه ای که نسبت آنها ثابت می ماند. به عبارت دیگر این متغیرها تغییر می کنند به نسبت، در سهم های مساوی، یعنی اگر آرگومان دو بار در هر جهت تغییر کند، تابع نیز دو بار در همان جهت تغییر می کند.

از نظر ریاضی، تناسب مستقیم به صورت فرمول نوشته می شود:

f(ایکس) = آایکس,آ = جonستی

نسبت معکوس

نسبت معکوس- این یک وابستگی عملکردی است که در آن افزایش مقدار مستقل (برهان) باعث کاهش متناسب مقدار وابسته (تابع) می شود.

از نظر ریاضی، تناسب معکوس به صورت فرمول نوشته می شود:

ویژگی های عملکرد:

منابع

بنیاد ویکی مدیا 2010.

§ 129. توضیحات مقدماتی.

یک فرد دائماً با مقادیر بسیار متنوعی سروکار دارد. یک کارمند و یک کارگر سعی می کنند تا زمان مشخصی به محل کار برسند، یک عابر پیاده عجله دارد تا به محل کار برسد. مکان معروفبه طور خلاصه، بخاری بخار نگران است که دمای دیگ به آرامی بالا می رود، مدیر تجاری در حال برنامه ریزی برای کاهش هزینه تولید و غیره است.

می توان هر تعداد از این نمونه ها را ذکر کرد. زمان، مسافت، دما، هزینه - همه اینها مقادیر مختلفی هستند. در قسمت های اول و دوم این کتاب، با کمیت های مخصوصا رایج آشنا شدیم: مساحت، حجم، وزن. ما هنگام مطالعه فیزیک و سایر علوم با کمیت های زیادی مواجه می شویم.

تصور کنید که در حال سفر با قطار هستید. هرازگاهی به ساعت خود نگاه می کنید و متوجه می شوید که چقدر در جاده بوده اید. مثلاً می گویید 2، 3، 5، 10، 15 ساعت از حرکت قطار شما گذشته است، و غیره. به آنها مقادیر این کمیت (زمان) می گویند. یا از پنجره به بیرون نگاه می کنید و پست های جاده را دنبال می کنید تا مسافتی را که قطارتان طی می کند ببینید. اعداد 110، 111، 112، 113، 114 کیلومتر در مقابل شما چشمک می زند. این اعداد نشان دهنده فواصل مختلفکه قطار از مبدأ عبور کرد. آنها همچنین مقادیر نامیده می شوند، این زمان با قدر متفاوت (مسیر یا فاصله بین دو نقطه). بنابراین، یک کمیت، به عنوان مثال زمان، مسافت، دما، می‌تواند به همان اندازه باشد معانی مختلف.

لطفاً توجه داشته باشید که یک شخص تقریباً هرگز فقط یک کمیت را در نظر نمی گیرد، بلکه همیشه آن را با کمیت های دیگر مرتبط می کند. او باید با دو، سه و تعداد زیادیمقادیر تصور کنید که باید تا ساعت 9 به مدرسه بروید. به ساعت خود نگاه می کنید و می بینید که 20 دقیقه فرصت دارید. سپس به سرعت متوجه می شوید که آیا باید سوار تراموا شوید یا می توانید پیاده به مدرسه بروید. بعد از فکر کردن، تصمیم می گیرید راه بروید. توجه داشته باشید که در حالی که فکر می کردید، در حال حل مشکلی بودید. این کار ساده و آشنا شده است، زیرا شما هر روز چنین مشکلاتی را حل می کنید. در آن شما به سرعت چندین مقدار را مقایسه کردید. این شما بودید که به ساعت نگاه کردید، یعنی زمان را در نظر گرفتید، سپس به طور ذهنی فاصله خانه خود تا مدرسه را تصور کردید. در نهایت، شما دو مقدار را مقایسه کردید: سرعت گام خود و سرعت تراموا، و به این نتیجه رسیدید زمان داده شده(20 دقیقه) زمانی برای پیاده روی خواهید داشت. از این مثال سادهمی بینید که در عمل ما برخی از کمیت ها به هم مرتبط هستند، یعنی به یکدیگر وابسته هستند

فصل دوازدهم در مورد رابطه مقادیر همگن صحبت کرد. به عنوان مثال، اگر یک قطعه 12 متر و دیگری 4 متر باشد، نسبت این بخش ها 12 به 4 خواهد بود.

گفتیم که این نسبت دو کمیت همگن است. راه دیگر برای گفتن این است که نسبت دو عدد است یک نام

حال که با کمیت ها بیشتر آشنا شدیم و مفهوم مقدار کمیت را معرفی کردیم، می توانیم تعریف نسبت را به شیوه ای جدید بیان کنیم. در واقع، وقتی دو بخش 12 متری و 4 متری را در نظر گرفتیم، در مورد یک مقدار صحبت می کردیم - طول، و 12 متر و 4 متر تنها دو بودند. معانی مختلفاین مقدار

بنابراین، در آینده، وقتی صحبت از نسبت ها را شروع می کنیم، دو مقدار از یک کمیت را در نظر خواهیم گرفت و نسبت یک مقدار یک کمیت به مقدار دیگر همان کمیت، ضریب تقسیم اولین مقدار نامیده می شود. توسط دوم

§ 130. ارزش ها مستقیماً متناسب هستند.

بیایید مسئله ای را در نظر بگیریم که شرایط آن شامل دو کمیت است: فاصله و زمان.

وظیفه 1.جسمی که به صورت مستقیم و یکنواخت حرکت می کند در هر ثانیه 12 سانتی متر را طی می کند مسافت طی شده توسط جسم را در 2، 3، 4، ...، 10 ثانیه تعیین کنید.

بیایید جدولی ایجاد کنیم که بتوان از آن برای ردیابی تغییرات زمان و مسافت استفاده کرد.

جدول به ما فرصت مقایسه این دو سری از مقادیر را می دهد. از آن می بینیم که وقتی مقادیر کمیت اول (زمان) به تدریج 2، 3، ...، 10 برابر افزایش می یابد، سپس مقادیر کمیت دوم (فاصله) نیز 2، 3 افزایش می یابد، ...، 10 بار. بنابراین، زمانی که مقادیر یک کمیت چندین برابر افزایش می یابد، مقادیر کمیت دیگر به همان میزان افزایش می یابد و زمانی که مقادیر یک کمیت چندین برابر کاهش می یابد، مقادیر یک کمیت دیگر کاهش می یابد. همان شماره

اجازه دهید اکنون مشکلی را در نظر بگیریم که شامل دو مقدار است: مقدار ماده و هزینه آن.

وظیفه 2. 15 متر پارچه 120 روبل هزینه دارد. هزینه این پارچه را برای چند متر دیگر مشخص شده در جدول محاسبه کنید.

با استفاده از این جدول می توان نحوه افزایش تدریجی قیمت تمام شده یک محصول بسته به افزایش مقدار آن را ردیابی کرد. علیرغم این واقعیت که این مشکل شامل مقادیر کاملاً متفاوتی است (در مسئله اول - زمان و مسافت، و در اینجا - کمیت کالا و ارزش آن)، با این وجود، شباهت های زیادی در رفتار این مقادیر می توان یافت.

در واقع، در خط بالای جدول اعدادی وجود دارد که تعداد متر پارچه را نشان می‌دهند؛ زیر هر کدام از آنها عددی وجود دارد که نشان دهنده هزینه مقدار مربوط به کالا است. حتی یک نگاه کوتاه به این جدول نشان می دهد که اعداد در هر دو ردیف بالا و پایین در حال افزایش هستند. با بررسی دقیق‌تر جدول و مقایسه ستون‌های جداگانه، مشخص می‌شود که در همه موارد مقادیر کمیت دوم به همان تعداد دفعات افزایش می‌یابد که مقادیر مقدار اول افزایش می‌یابد، یعنی اگر مقدار مقدار اول افزایش یابد. مقدار اول، مثلاً 10 برابر افزایش می یابد، سپس مقدار کمیت دوم نیز 10 برابر افزایش می یابد.

اگر جدول را از راست به چپ نگاه کنیم، متوجه می شویم که مقادیر مشخص شده کمیت ها به همان تعداد دفعات کاهش می یابد. از این نظر، شباهت بی قید و شرطی بین تکلیف اول و دوم وجود دارد.

جفت کمیتی که در مسئله اول و دوم با آنها مواجه شدیم نامیده می شوند به طور مستقیم متناسب.

بنابراین، اگر دو کمیت به نحوی با یکدیگر مرتبط باشند که با چند برابر افزایش (کاهش) یکی از آنها، مقدار دیگری به همان میزان افزایش (کاهش) شود، چنین کمیت هایی را با نسبت مستقیم می نامند. .

همچنین گفته می‌شود که چنین مقادیری با یک رابطه مستقیم با هم مرتبط هستند.

مقادیر مشابه زیادی در طبیعت و زندگی اطراف ما یافت می شود. در اینجا چند نمونه آورده شده است:

1. زمانکار (روز، دو روز، سه روز و غیره) و درآمد، در این مدت با دستمزد روزانه دریافت می شود.

2. جلدهر جسم ساخته شده از یک ماده همگن، و وزناین آیتم.

§ 131. خاصیت کمیت های با نسبت مستقیم.

بیایید مسئله ای را در نظر بگیریم که شامل دو کمیت زیر است: زمان کاریو درآمد اگر درآمد روزانه 20 روبل باشد، درآمد 2 روزه 40 روبل و غیره خواهد بود. ایجاد جدولی که در آن تعداد معینی از روزها با درآمد خاصی مطابقت دارد، راحت تر است.

با نگاهی به این جدول، می بینیم که هر دو کمیت 10 مقدار متفاوت گرفتند. هر مقدار از مقدار اول مربوط به مقدار مشخصی از مقدار دوم است، به عنوان مثال، 2 روز مربوط به 40 روبل است. 5 روز معادل 100 روبل است. در جدول این اعداد یکی زیر دیگری نوشته شده است.

ما قبلاً می دانیم که اگر دو کمیت مستقیماً متناسب باشند ، هر یک از آنها در روند تغییر خود به همان اندازه که دیگری افزایش می یابد افزایش می یابد. بلافاصله از این نتیجه می شود: اگر نسبت هر دو مقدار کمیت اول را بگیریم، آنگاه برابر با نسبت دو مقدار متناظر کمیت دوم خواهد بود. در واقع:

چرا این اتفاق می افتد؟ اما از آنجا که این مقادیر مستقیماً متناسب هستند، یعنی زمانی که یکی از آنها (زمان) 3 برابر افزایش می یابد، سپس دیگری (درآمد) 3 برابر افزایش می یابد.

بنابراین ما به این نتیجه رسیدیم: اگر دو مقدار از کمیت اول را بگیریم و آنها را بر یکدیگر تقسیم کنیم و سپس مقادیر متناظر کمیت دوم را بر یکی تقسیم کنیم، در هر دو مورد به این نتیجه خواهیم رسید. همان عدد، یعنی همان رابطه. این بدان معنی است که دو رابطه ای که در بالا نوشتیم را می توان با یک علامت مساوی به هم متصل کرد.

شکی نیست که اگر این روابط را نه، بلکه دیگران را و نه به آن ترتیب، بلکه به ترتیب مخالف می گرفتیم، به تساوی روابط نیز می رسیدیم. در واقع مقادیر مقادیر خود را از چپ به راست در نظر می گیریم و مقادیر سوم و نهم را می گیریم:

60:180 = 1 / 3 .

بنابراین می توانیم بنویسیم:

این منجر به نتیجه زیر می شود: اگر دو کمیت مستقیماً متناسب باشند، نسبت دو مقدار دلخواه از کمیت اول برابر است با نسبت دو مقدار متناظر از کمیت دوم.

§ 132. فرمول تناسب مستقیم.

بیایید جدولی از هزینه مقادیر مختلف شیرینی تهیه کنیم، اگر 1 کیلوگرم از آنها 10.4 روبل است.

حالا بیایید این کار را انجام دهیم. هر عددی را در سطر دوم بگیرید و بر عدد مربوطه در سطر اول تقسیم کنید. مثلا:

می بینید که در ضریب همیشه یک عدد به دست می آید. در نتیجه، برای یک جفت کمیت با نسبت مستقیم، ضریب تقسیم هر مقدار از یک کمیت بر مقدار متناظر کمیت دیگر یک عدد ثابت است (یعنی تغییر نمی کند). در مثال ما، این ضریب 10.4 است. این عدد ثابت را ضریب تناسب می نامند. در این حالت قیمت یک واحد اندازه گیری یعنی یک کیلوگرم کالا را بیان می کند.

چگونه ضریب تناسب را پیدا یا محاسبه کنیم؟ برای انجام این کار، باید هر مقدار از یک کمیت را بگیرید و آن را بر مقدار مربوط به مقدار دیگر تقسیم کنید.

اجازه دهید این مقدار دلخواه یک کمیت را با حرف نشان دهیم در ، و مقدار مربوط به مقدار دیگری - حرف ایکس ، سپس ضریب تناسب (آن را نشان می دهیم به) با تقسیم پیدا می کنیم:

در این برابری در - قابل تقسیم، ایکس - مقسوم علیه و به- ضریب، و از آنجایی که با خاصیت تقسیم، سود تقسیمی برابر است با تقسیم کننده ضرب در ضریب، می توان نوشت:

y =ک ایکس

برابری حاصل نامیده می شود فرمول تناسب مستقیمبا استفاده از این فرمول، اگر مقادیر متناظر کمیت دیگر و ضریب تناسب را بدانیم، می توانیم هر تعداد از مقادیر یکی از کمیت های با نسبت مستقیم را محاسبه کنیم.

مثال.از فیزیک ما آن وزن را می دانیم آرهر جسمی برابر با وزن مخصوص آن است د ضرب در حجم این بدنه V، یعنی آر = د V.

بیایید پنج میله آهنی با حجم های مختلف را در نظر بگیریم. با دانستن وزن مخصوص آهن (7.8)، می توان وزن این شمش ها را با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

آر = 7,8 V.

مقایسه این فرمول با فرمول در = به ایکس ، ما آن را می بینیم y = آر, x = Vو ضریب تناسب به= 7.8. فرمول یکسان است، فقط حروف متفاوت هستند.

با استفاده از این فرمول، بیایید یک جدول بسازیم: اجازه دهید حجم خالی اول برابر با 8 متر مکعب باشد. سانتی متر، سپس وزن آن 7.8 8 = 62.4 (گرم) است. حجم بلنک 2 27 متر مکعب است. سانتی متر وزن آن 7.8 27 = 210.6 (گرم) است. جدول به شکل زیر خواهد بود:

اعداد موجود در این جدول را با استفاده از فرمول محاسبه کنید آر= د V.

§ 133. روش های دیگر حل مسائل با کمیت های متناسب مستقیم.

در پاراگراف قبل، مسئله ای را حل کردیم که شرط آن شامل مقادیر مستقیم بود. برای این منظور ابتدا فرمول تناسب مستقیم را استخراج و سپس این فرمول را اعمال کردیم. اکنون دو راه دیگر را برای حل مشکلات مشابه نشان خواهیم داد.

بیایید با استفاده از داده های عددی ارائه شده در جدول در پاراگراف قبل مشکل ایجاد کنیم.

وظیفه.بلنک با حجم 8 متر مکعب. سانتی متر وزن آن 62.4 گرم است، وزن یک بلنک با حجم 64 متر مکعب چقدر خواهد بود؟ سانتی متر؟

راه حل.وزن آهن، همانطور که مشخص است، متناسب با حجم آن است. اگر 8 مس سانتی متر وزن 62.4 گرم، سپس 1 مس. سانتی متر 8 برابر کمتر وزن خواهد داشت، یعنی.

62.4:8 = 7.8 (گرم).

بلنک با حجم 64 متر مکعب. سانتی متر 64 برابر بیشتر از وزن یک متر مکعبی خالی خواهد بود. سانتی متر، یعنی

7.8 64 = 499.2 (g).

ما مشکل خود را با تقلیل به وحدت حل کردیم. معنای این نام با این واقعیت توجیه می شود که برای حل آن باید وزن یک واحد حجم را در سؤال اول پیدا می کردیم.

2. روش تناسب.بیایید همین مسئله را با استفاده از روش نسبت حل کنیم.

از آنجایی که وزن آهن و حجم آن با مقادیر مستقیم متناسب هستند، نسبت دو مقدار یک کمیت (حجم) برابر است با نسبت دو مقدار متناظر از کمیت دیگر (وزن).

(حرف آروزن مجهول جای خالی را تعیین کردیم). از اینجا:

(G).

مشکل با استفاده از روش نسبت حل شد. این بدان معنی است که برای حل آن، نسبتی از اعداد موجود در شرط جمع آوری شده است.

§ 134. ارزش ها نسبت معکوس دارند.

مشکل زیر را در نظر بگیرید: "پنج سنگ تراشی می توانند دیوارهای آجری یک خانه را در 168 روز بچینند. مشخص کنید که در چند روز 10، 8، 6، و غیره سنگ‌تراشان می‌توانند همان کار را به پایان برسانند.»

اگر 5 سنگ تراشی دیوارهای یک خانه را در 168 روز بکشند، آنگاه (با همان بهره وری نیروی کار) 10 سنگ تراشی می توانند این کار را در نیمی از زمان انجام دهند، زیرا به طور متوسط ​​10 نفر دو برابر 5 نفر کار می کنند.

بیایید جدولی تهیه کنیم که با آن بتوانیم تغییرات تعداد کارگران و ساعات کار را نظارت کنیم.

به عنوان مثال، برای اینکه بفهمید 6 کارگر چند روز طول می کشد، ابتدا باید محاسبه کنید که یک کارگر چند روز طول می کشد (168 5 = 840) و سپس چند روز طول می کشد شش کارگر (840: 6 = 140). با نگاهی به این جدول، می بینیم که هر دو کمیت شش مقدار متفاوت گرفتند. هر مقدار از کمیت اول مربوط به مقدار خاصی است. مقدار مقدار دوم، به عنوان مثال، 10 مربوط به 84، عدد 8 مربوط به عدد 105، و غیره است.

اگر مقادیر هر دو کمیت را از چپ به راست در نظر بگیریم، خواهیم دید که مقادیر کمیت بالا افزایش و مقادیر کمیت پایین کاهش می یابد. افزایش و کاهش تابع قانون زیر است: مقادیر تعداد کارگران به همان اندازه افزایش می یابد که مقادیر زمان کار صرف شده کاهش می یابد. این ایده را می توان حتی ساده تر به این صورت بیان کرد: هر چه کارگران بیشتر درگیر هر کاری باشند، زمان کمتری برای تکمیل یک کار خاص نیاز دارند. دو کمیتی که در این مشکل با آن مواجه شدیم نامیده می شوند نسبت معکوس

بنابراین، اگر دو کمیت به گونه‌ای با یکدیگر مرتبط باشند که با چند برابر افزایش (کاهش) یکی از آن‌ها، مقدار دیگری به همان میزان کاهش (افزایش) شود، چنین کمیت‌ها را با نسبت معکوس می‌گویند. .

مقادیر مشابه زیادی در زندگی وجود دارد. بیایید مثال بزنیم.

1. اگر برای 150 روبل. در صورت نیاز به خرید چند کیلویی شیرینی، تعداد شیرینی ها به قیمت یک کیلوگرم بستگی دارد. هر چه قیمت بالاتر باشد، کالاهای کمتری می توانید با این پول خریداری کنید. این را می توان از جدول مشاهده کرد:

با چندین برابر افزایش قیمت آب نبات، تعداد کیلوگرم آب نباتی که می توان با قیمت 150 روبل خریداری کرد به همان میزان کاهش می یابد. در این حالت دو مقدار (وزن محصول و قیمت آن) با هم نسبت عکس دارند.

2. اگر فاصله دو شهر 1200 کیلومتر باشد، بسته به سرعت حرکت در زمان های مختلف می توان آن را طی کرد. وجود داشته باشد راه های مختلفحمل و نقل: پیاده، سواره، با دوچرخه، با قایق، در ماشین، با قطار، با هواپیما. هرچه سرعت کمتر باشد، زمان بیشتری برای حرکت نیاز است. این را می توان از جدول مشاهده کرد:

با چندین برابر افزایش سرعت، زمان سفر به همان میزان کاهش می یابد. این بدان معناست که در این شرایط، سرعت و زمان کمیت هایی با هم نسبت عکس دارند.

§ 135. خاصیت مقادیر معکوس نسبت.

بیایید مثال دوم را که در پاراگراف قبل به آن نگاه کردیم را در نظر بگیریم. در آنجا با دو کمیت سروکار داشتیم - سرعت و زمان. اگر به جدول مقادیر این مقادیر از چپ به راست نگاه کنیم، خواهیم دید که مقادیر کمیت اول (سرعت) افزایش و مقادیر کمیت دوم (زمان) کاهش می یابد و سرعت به همان میزان با کاهش زمان افزایش می یابد.درک این موضوع دشوار نیست که اگر نسبت برخی از مقادیر یک کمیت را بنویسید، آنگاه با نسبت مقادیر مربوط به کمیت دیگر برابر نخواهد بود. در واقع، اگر نسبت مقدار چهارم مقدار بالایی را به مقدار هفتم (40: 80) در نظر بگیریم، آنگاه با نسبت مقدار چهارم و هفتم مقدار پایین تر نخواهد بود (30: 15). می توان اینگونه نوشت:

40:80 برابر با 30:15 یا 40:80 =/=30:15 نیست.

اما اگر به جای یکی از این روابط، عکس آن را بگیریم، برابری به دست می آید، یعنی از این روابط می توان نسبت ایجاد کرد. مثلا:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

بر اساس موارد فوق، می توان نتیجه گیری زیر را گرفت: اگر دو کمیت با هم نسبت معکوس باشند، نسبت دو مقدار دلخواه از یک کمیت برابر است با نسبت معکوس مقادیر متناظر کمیت دیگر.

§ 136. فرمول تناسب معکوس.

مشکل را در نظر بگیرید: «6 تکه پارچه ابریشمی با اندازه های مختلف و درجه های مختلف وجود دارد. قیمت تمام قطعات یکسان است. یک قطعه شامل 100 متر پارچه است که قیمت آن 20 روبل است. در هر متر اگر یک متر پارچه در این قطعات به ترتیب 25، 40، 50، 80، 100 روبل باشد، در هر یک از پنج قطعه دیگر چند متر است؟ برای حل این مشکل، بیایید یک جدول ایجاد کنیم:

باید سلول های خالی ردیف بالای این جدول را پر کنیم. ابتدا سعی می کنیم مشخص کنیم که قطعه دوم چند متر است. این میتواند بصورت زیر انجام شود. از شرایط مشکل مشخص می شود که هزینه تمام قطعات یکسان است. تعیین هزینه اولین قطعه آسان است: شامل 100 متر و هر متر 20 روبل است، به این معنی که اولین تکه ابریشم 2000 روبل ارزش دارد. از آنجایی که تکه دوم ابریشم حاوی همان مقدار روبل است، پس از تقسیم 2000 روبل. به قیمت یک متر، یعنی 25، اندازه قطعه دوم را پیدا می کنیم: 2000: 25 = 80 (m). به همین ترتیب اندازه تمام قطعات دیگر را خواهیم یافت. جدول به شکل زیر خواهد بود:

به راحتی می توان فهمید که بین تعداد متر و قیمت رابطه معکوس وجود دارد.

اگر خودتان محاسبات لازم را انجام دهید، متوجه می شوید که هر بار باید عدد 2000 را بر قیمت 1 متر تقسیم کنید، برعکس، اگر اکنون شروع به ضرب کردن اندازه قطعه بر حسب متر در قیمت 1 متر کنید. ، همیشه شماره 2000 را دریافت خواهید کرد. این و باید منتظر بمانید، زیرا قیمت هر قطعه 2000 روبل است.

از اینجا می‌توان نتیجه‌گیری زیر را گرفت: برای یک جفت مقادیر معکوس متناسب، حاصلضرب هر مقدار یک کمیت با مقدار متناظر کمیت دیگر یک عدد ثابت است (یعنی تغییر نمی‌کند).

در مشکل ما این محصول برابر با 2000 است، بررسی کنید که در مسئله قبلی که در مورد سرعت حرکت و زمان مورد نیاز برای حرکت از شهری به شهر دیگر صحبت شد، یک عدد ثابت برای آن مشکل نیز وجود داشت (1200).

با در نظر گرفتن همه چیز، به راحتی می توان فرمول تناسب معکوس را استخراج کرد. اجازه دهید مقدار معینی از یک کمیت را با حرف نشان دهیم ایکس ، و مقدار متناظر کمیت دیگر با حرف نمایش داده می شود در . سپس با توجه به موارد فوق، کار ایکس بر در باید برابر با مقداری ثابت باشد که آن را با حرف نشان می دهیم به، یعنی

x y = به.

در این برابری ایکس - ضرب در - ضریب و ک- کار با توجه به خاصیت ضرب، ضریب برابر است با حاصلضرب تقسیم بر ضریب. به معنای،

این فرمول تناسب معکوس است. با استفاده از آن، می توانیم هر تعداد از مقادیر یکی از کمیت های معکوس متناسب را با دانستن مقادیر دیگری و عدد ثابت محاسبه کنیم. به.

مشکل دیگری را در نظر بگیریم: «نویسنده یک مقاله محاسبه کرده است که اگر کتابش در قالب معمولی باشد، 96 صفحه دارد، اما اگر قالب جیبی باشد، 300 صفحه خواهد بود. او سعی کرد انواع مختلف، با 96 صفحه شروع کرد و سپس 2500 حرف در هر صفحه داشت. سپس شماره صفحات نشان داده شده در جدول زیر را گرفت و دوباره محاسبه کرد که چند حرف در صفحه وجود دارد.

بیایید سعی کنیم محاسبه کنیم اگر کتاب 100 صفحه داشته باشد چند حرف در یک صفحه وجود دارد.

در کل کتاب 240000 حرف وجود دارد، از 2500 96 = 240000.

با در نظر گرفتن این موضوع، از فرمول تناسب معکوس ( در - تعداد حروف در صفحه، ایکس - تعدادی از صفحات):

در مثال ما به= 240000 بنابراین

بنابراین 2400 حرف در صفحه وجود دارد.

به همین ترتیب، می آموزیم که اگر یک کتاب 120 صفحه داشته باشد، تعداد حروف آن صفحه خواهد بود:

جدول ما به شکل زیر خواهد بود:

سلول های باقی مانده را خودتان پر کنید.

§ 137. روش های دیگر حل مسائل با کمیت های با نسبت معکوس.

در پاراگراف قبل، مسائلی را حل کردیم که شرایط آنها شامل مقادیر معکوس متناسب بود. ابتدا فرمول تناسب معکوس را استخراج کردیم و سپس این فرمول را اعمال کردیم. اکنون دو راه حل دیگر را برای چنین مشکلاتی نشان خواهیم داد.

1. روش تنزل به وحدت.

وظیفه. 5 تراشکار می توانند در 16 روز برخی کارها را انجام دهند. 8 تراشکار در چند روز می توانند این کار را تکمیل کنند؟

راه حل.بین تعداد تراتورها و ساعات کار رابطه معکوس وجود دارد. اگر 5 تراشکار کار را در 16 روز انجام دهند، یک نفر برای این کار 5 برابر زمان بیشتری نیاز دارد، یعنی.

5 تراشکار کار را در 16 روز کامل می کنند،

1 ترنر آن را در 16 5 = 80 روز کامل می کند.

مشکل می پرسد چند روز طول می کشد تا 8 ترنر کار را کامل کنند. بدیهی است که آنها 8 برابر سریعتر از 1 تراشکار با کار کنار می آیند، یعنی در

80: 8 = 10 (روز).

این راه حل مشکل با تقلیل آن به وحدت است. در اینجا لازم بود قبل از هر چیز زمان مورد نیاز برای تکمیل کار توسط یک کارگر مشخص شود.

2. روش تناسب.بیایید همین مشکل را به روش دوم حل کنیم.

از آنجایی که بین تعداد کارگران و زمان کار رابطه معکوس وجود دارد، می‌توانیم بنویسیم: مدت زمان کار 5 تراش تعداد جدید تراتور (8) مدت زمان کار 8 تراش تعداد قبلی تراتور (5) مدت زمان مورد نیاز کار توسط نامه ایکس و اعداد لازم را به نسبت بیان شده در کلمات جایگزین کنید:

همین مشکل با روش نسبت ها حل می شود. برای حل آن، باید نسبتی از اعداد موجود در بیان مسئله ایجاد می‌کردیم.

توجه داشته باشید.در پاراگراف های قبل موضوع تناسب مستقیم و معکوس را بررسی کردیم. طبیعت و زندگی مثال های زیادی از وابستگی مستقیم و معکوس کمیت ها به ما می دهد. با این حال، باید توجه داشت که این دو نوع وابستگی تنها ساده ترین هستند. در کنار آنها، وابستگی‌های پیچیده‌تر دیگری نیز بین کمیت‌ها وجود دارد. علاوه بر این، نباید فکر کرد که اگر هر دو کمیت به طور همزمان افزایش یابد، لزوماً یک تناسب مستقیم بین آنها وجود دارد. این دور از واقعیت است. مثلا عوارض برای راه آهنبسته به مسافت افزایش می یابد: هرچه بیشتر سفر کنیم، بیشتر هزینه می کنیم، اما این بدان معنا نیست که پرداخت متناسب با مسافت است.