فاصله قبل از میلاد تا هواپیما. فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما. نظریه تفصیلی با مثال

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• تعمیم و نظام مند کردن دانش و مهارت های دانش آموزان؛
• توسعه مهارت های تجزیه و تحلیل، مقایسه، نتیجه گیری.

تجهیزات:

• پروژکتور چند رسانه ای؛
• کامپیوتر؛
• برگه هایی با متون مشکل

پیشرفت کلاس

I. لحظه سازمانی

II. مرحله به روز رسانی دانش(اسلاید 2)

نحوه تعیین فاصله از یک نقطه تا یک صفحه را تکرار می کنیم

III. سخنرانی(اسلایدهای 3-15)

در کلاس به بررسی خواهیم پرداخت راه های مختلفپیدا کردن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه

روش اول: محاسباتی گام به گام

فاصله نقطه M تا صفحه α:
- مساوی فاصله صفحه α از نقطه دلخواه P که روی خط مستقیم a قرار دارد که از نقطه M می گذرد و موازی با صفحه α است.
– برابر است با فاصله صفحه α از نقطه دلخواه P واقع در صفحه β که از نقطه M می گذرد و موازی با صفحه α است.

ما مشکلات زیر را حل خواهیم کرد:

№1. در مکعب A...D 1 فاصله نقطه C 1 تا صفحه AB 1 C را پیدا کنید.

باقی مانده است که مقدار طول بخش O 1 N را محاسبه کنیم.

№2. در یک منشور شش ضلعی منظم A...F 1 که تمام لبه های آن برابر با 1 است، فاصله نقطه A تا صفحه DEA 1 را پیدا کنید.

روش بعدی: روش حجم.

اگر حجم هرم ABCM برابر با V باشد، فاصله نقطه M تا صفحه α حاوی ΔABC با فرمول ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = محاسبه می شود.
هنگام حل مسائل از برابری حجم های یک شکل که با دو بیان می شود استفاده می کنیم راه های مختلف.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№3. لبه AD هرم DABC عمود بر صفحه پایه ABC است. فاصله A تا صفحه ای که از وسط یال های AB، AC و AD می گذرد را بیابید، اگر.

هنگام حل مشکلات روش مختصاتفاصله نقطه M تا صفحه α را می توان با استفاده از فرمول ρ(M; α) = محاسبه کرد ، که در آن M(x 0؛ y 0؛ z 0)، و صفحه با معادله ax + توسط + cz + d = 0 به دست می آید.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№4. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه A 1 تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

بیایید یک سیستم مختصات با مبدأ در نقطه A معرفی کنیم، محور y در امتداد لبه AB، محور x در امتداد لبه AD و محور z در امتداد لبه AA 1 قرار خواهد گرفت. سپس مختصات نقاط B (0؛ 1؛ 0) D (1؛ 0؛ 0؛) C 1 (1؛ 1؛ 1)
بیایید برای صفحه ای که از نقاط B، D، C 1 عبور می کند، معادله ای ایجاد کنیم.

سپس – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1 = 0. بنابراین، ρ =

برای حل مشکلات می توان از روش زیر استفاده کرد از این نوع – روش مشکلات پشتیبانی

کاربرد این روش شامل استفاده از مسائل مرجع شناخته شده است که به صورت قضایا فرموله می شوند.

بیایید مشکل زیر را حل کنیم:

№5. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه D 1 تا صفحه AB 1 C را پیدا کنید.

بیایید برنامه را در نظر بگیریم روش برداری

№6. در مکعب واحد A...D 1، فاصله نقطه A 1 تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

بنابراین، ما روش‌های مختلفی را بررسی کردیم که می‌توان از آنها برای حل این نوع مشکلات استفاده کرد. انتخاب یک روش یا روش دیگر به کار خاص و ترجیحات شما بستگی دارد.

IV. کار گروهی

سعی کنید مشکل را به روش های مختلف حل کنید.

№1. لبه مکعب A...D 1 برابر است با . فاصله راس C تا صفحه BDC 1 را پیدا کنید.

№2. در یک چهار وجهی منظم ABCD با یک یال، فاصله نقطه A تا صفحه BDC را پیدا کنید.

№3. در یک منشور مثلثی منظم ABCA 1 B 1 C 1 که تمام یال های آن برابر با 1 هستند، فاصله A تا صفحه BCA 1 را پیدا کنید.

№4. در یک هرم چهار ضلعی منظم SABCD که تمام لبه های آن برابر با 1 است، فاصله A تا صفحه SCD را پیدا کنید.

V. خلاصه درس، مشق شب، بازتاب

دستورالعمل ها

برای پیدا کردن فاصله از نکته هاقبل از سطحبا استفاده از روش های توصیفی: روی را انتخاب کنید سطحنقطه دلخواه؛ دو خط مستقیم را از طریق آن بکشید (در این قرار گرفته است سطح) عمود بر سطحعبور از این نقطه (یک خط عمود بر هر دو خط متقاطع به طور همزمان ایجاد کنید). یک خط مستقیم به موازات عمود ساخته شده از طریق یک نقطه مشخص رسم کنید. فاصله بین نقطه تلاقی این خط با صفحه و نقطه داده شده را پیدا کنید.

اگر موقعیت نکته هاداده شده توسط مختصات سه بعدی آن، و موقعیت سطح – معادله خطی، سپس برای پیدا کردن فاصله از سطحقبل از نکته ها، از روش های هندسه تحلیلی استفاده کنید: مختصات را نشان دهید نکته هااز طریق x، y، z، به ترتیب (x – abscissa، y – ordinate، z – applicate)؛ معادلات را با A، B، C، D نشان دهید سطح(A – پارامتر در abscissa، B – در، C – در اعمال، D – ترم آزاد). محاسبه فاصله از نکته هاقبل از سطحطبق فرمول:s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |، که در آن s فاصله بین نقطه و صفحه است،|| - قدر مطلق(یا ماژول).

مثال: فاصله بین نقطه A با مختصات (2، 3، -1) و صفحه را بیابید، توسط معادله داده شده است: 7x-6y-6z+20=0 حل از شرایط به دست می آید که: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20 این مقادیر را با مقادیر بالا جایگزین کنید: s = | (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2-پاسخ: فاصلهاز جانب نکته هاقبل از سطحبرابر 2 (واحد دلخواه).

نکته 2: نحوه تعیین فاصله از یک نقطه تا یک صفحه

تعیین فاصله از نکته هاقبل از سطح- یکی از کارهای رایج پلان سنجی مدرسه. همانطور که مشخص است، کوچکترین فاصلهاز جانب نکته هاقبل از سطحاز این یک عمود رسم خواهد شد نکته هابه این سطح. بنابراین طول این عمود به عنوان فاصله از در نظر گرفته می شود نکته هاقبل از سطح.

شما نیاز خواهید داشت

• معادله هواپیما

دستورالعمل ها

اجازه دهید اولین مورد از موازی f1 با معادله y=kx+b1 به دست آید. با ترجمه عبارت به شکل کلی، kx-y+b1=0 را دریافت می کنید، یعنی A=k، B=-1. نرمال آن n=(k, -1) خواهد بود.
اکنون یک ابسیسا دلخواه از نقطه x1 در f1 دنبال می شود. سپس مختصات آن y1=kx1+b1 است.
معادله دوم از خطوط موازی f2 به شکل زیر باشد:
y=kx+b2 (1)،
که k برای هر دو خط یکسان است، به دلیل موازی بودن آنها.

در مرحله بعد، باید معادله متعارف یک خط عمود بر f2 و f1 را ایجاد کنید که حاوی نقطه M (x1, y1) است. در این حالت فرض می شود که x0=x1، y0=y1، S=(k، -1). در نتیجه، باید برابری زیر را بدست آورید:
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2).

پس از حل سیستم معادلات متشکل از عبارات (1) و (2)، نقطه دومی را خواهید یافت که فاصله مورد نیاز بین موازی های N(x2، y2) را تعیین می کند. خود فاصله مورد نیاز برابر با d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2 خواهد بود.

مثال. معادلات خطوط موازی داده شده در صفحه f1 – y=2x +1 (1) را در نظر بگیرید.
f2 – y=2x+5 (2). یک نقطه دلخواه x1=1 در f1 بگیرید. سپس y1=3. بنابراین نقطه اول دارای مختصات M (1،3) خواهد بود. معادله عمود کلی (3):
(x-1)/2 = -y+3 یا y=-(1/2)x+5/2.
با جایگزینی این مقدار y به (1)، دریافت می کنید:
-(1/2)x+5/2=2x+5، (5/2)x=-5/2، x2=-1، y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
قاعده دوم عمود در نقطه ای با مختصات N (-1، 3) قرار دارد. فاصله بین خطوط موازی خواهد بود:
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4.47.

منابع:

• رشد ریهدو و میدانی در روسیه

بالای هر تخت یا حجمی شکل هندسیمنحصر به فرد توسط مختصات آن در فضا تعیین می شود. به همین ترتیب، هر نقطه دلخواه در همان سیستم مختصات را می توان به طور منحصر به فرد تعیین کرد و این امکان محاسبه فاصله بین این نقطه دلخواه و راس شکل را فراهم می کند.

شما نیاز خواهید داشت

• - کاغذ؛
• - خودکار یا مداد؛
• - ماشین حساب.

دستورالعمل ها

اگر مختصات نقطه مشخص شده در مسئله و رئوس شکل هندسی مشخص باشد، مسئله را به یافتن طول پاره بین دو نقطه کاهش دهید. این طول را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث در رابطه با پیش بینی های یک قطعه در محور مختصات محاسبه کرد - برابر است با ریشه دوماز مجموع مجذورات طول تمام برجستگی ها. برای مثال، اجازه دهید نقطه A(X1;Y1;Z1) و راس C هر شکل هندسی با مختصات (X2;Y2;Z2) در یک سیستم مختصات سه بعدی داده شود. سپس طول برجستگی های قطعه بین آنها روی محورهای مختصات می تواند به صورت X1-X2، Y1-Y2 و Z1-Z2، و طول قطعه به صورت √((X1-X2)²+(Y1-Y2 باشد. )²+(Z1-Z2)²). برای مثال، اگر مختصات نقطه A(5;9;1) و رئوس C(7;8;10) باشد، فاصله بین آنها برابر با √((5-7)²+ خواهد بود. (9-8)²+(1-10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274.

ابتدا مختصات راس را در صورتی که به صراحت در شرایط مسئله ارائه نشده اند محاسبه کنید. روش خاص به نوع شکل و پارامترهای اضافی شناخته شده بستگی دارد. برای مثال، اگر مختصات سه بعدی سه راس A(X1;Y1;Z1)، B(X2;Y2;Z2) و C(X3;Y3;Z3) مشخص باشد، مختصات راس چهارم آن (مقابل). به راس B) خواهد بود (X3+X2 -X1؛ Y3+Y2-Y1؛ Z3+Z2-Z1). پس از تعیین مختصات راس از دست رفته، محاسبه فاصله بین آن و یک نقطه دلخواه مجدداً به تعیین طول قطعه بین این دو نقطه در یک سیستم مختصات معین کاهش می یابد - این کار را به همان روشی که در توضیح داده شد انجام دهید. مرحله قبل به عنوان مثال، برای راس متوازی الاضلاع شرح داده شده در این مرحله و نقطه E با مختصات (X4;Y4;Z4)، فرمول محاسبه فاصله از مرحله قبل می تواند به صورت زیر باشد: √((X3+X2-X1- X4)²+(Y3+Y2-Y1-Y4)²+(Z3+Z2-Z1-Z4)²).

برای محاسبات عملی می توانید به عنوان مثال از داخلی استفاده کنید موتور جستجوگوگل. بنابراین، برای محاسبه مقدار با استفاده از فرمول به دست آمده در مرحله قبل، برای نقاط با مختصات A(7;5;2)، B(4;11;3)، C(15;2;0)، E(7; 9؛ 2)، عبارت جستجوی زیر را وارد کنید: sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2). موتور جستجو نتیجه محاسبه را محاسبه و نمایش می دهد (5.19615242).

ویدیو در مورد موضوع

بهبود عمود بربه سطح- یکی از وظایف مهمدر هندسه، زیربنای بسیاری از قضایا و براهین است. برای ساختن یک خط عمود بر سطح، باید چندین مرحله را به صورت متوالی انجام دهید.

شما نیاز خواهید داشت

• - هواپیمای داده شده؛
• - نقطه ای که می خواهید از آن یک عمود رسم کنید.
• - قطب نما؛
• - خط كش؛
• - مداد.

هر صفحه در سیستم مختصات دکارتی را می توان با معادله "Ax + By + Cz + D = 0" مشخص کرد، که در آن حداقل یکی از اعداد "A"، "B"، "C" غیر صفر است. اجازه دهید یک نقطه "M (x_0;y_0;z_0)" داده شود، بیایید فاصله آن تا صفحه "Ax + By + Cz + D = 0" را پیدا کنیم.

اجازه دهید خطی که از نقطه "M" می گذرد عمود بر صفحه «آلفا»، آن را در نقطه «K» قطع می کند با مختصات "(x; y; z)". وکتور `vec(MK)` عمود بر صفحه «آلفا» است، همانطور که بردار «vecn» «(A;B;C)» است، یعنی بردارهای "vec(MK)" و "vecn". خطی، `vec(MK)= λvecn`.

از آنجایی که «(x-x_0;y-y_0;z-z-0)». و «vecn(A,B,C)»، سپس «x-x_0=lambdaA»، «y-y_0=lambdaB»، «z-z_0=lambdaC».

نقطه "K". در صفحه «آلفا» قرار دارد (شکل 6)، مختصات آن معادله صفحه را برآورده می کند. «x=x_0+lambdaA»، «y=y_0+lambdaB»، «z=z_0+lambdaC» را در معادله «Ax+By+Cz+D=0» جایگزین می کنیم.

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

از آنجا "lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)".

طول بردار "vec(MK)" را پیدا کنید، که برابر است با فاصله از نقطه `M(x_0;y_0;z_0)` به صفحه `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`.

بنابراین، فاصله «h» از نقطه «M(x_0;y_0;z_0)» تا صفحه «Ax + By + Cz + D = 0» به شرح زیر است.

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`.

با استفاده از روش هندسی برای یافتن فاصله از نقطه A تا صفحه آلفا، قاعده عمود A A^" را که از نقطه A به صفحه آلفا پایین آمده است را پیدا کنید. اگر نقطه A^ "" خارج از قسمت صفحه "آلفا" مشخص شده در مسئله قرار دارد، سپس از طریق نقطه "A" یک خط مستقیم "c" را رسم کنید، موازی با هواپیما"آلفا"، و یک نقطه راحت تر "C" را روی آن انتخاب کنید، که نمای متعامد آن "C^" است. متعلق به این بخش از صفحه «آلفا» است. طول بخش "C C^"".برابر فاصله لازم از نقطه A خواهد بودبه هواپیمای آلفا.

در یک منشور شش ضلعی منتظم «A...F_1» که تمام لبه های آن برابر با «1» است، فاصله نقطه «B» تا صفحه «AF F_1» را پیدا کنید.

اجازه دهید "O" مرکز پایه پایینی منشور باشد (شکل 7). خط مستقیم «BO» موازی با خط مستقیم «AF» است و بنابراین، فاصله از نقطه «B» تا صفحه «AF F_1» برابر است با فاصله «OH» از نقطه «O» تا هواپیما "AF F_1". در مثلث "AOF" "AO=OF=AF=1" داریم. ارتفاع «OH» این مثلث «(sqrt3)/2» است. بنابراین فاصله مورد نیاز `(sqrt3)/2` است.

بیایید راه دیگری را نشان دهیم (روش حجم کمکی)پیدا کردن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه مشخص است که حجم هرم `V` ، مساحت پایه آن 'S'و طول ارتفاع `h`با فرمول `h=(3V)/S` مرتبط هستند. اما طول ارتفاع هرم چیزی جز فاصله بالای آن تا صفحه قاعده نیست. بنابراین برای محاسبه فاصله یک نقطه تا یک صفحه کافی است حجم و مساحت قاعده فلان هرم را با راس در این نقطه و با قاعده ای که در این صفحه قرار دارد، پیدا کنیم.

یک منشور منظم «A...D_1» داده می‌شود، که در آن «AB=a»، «A A_1=2a». فاصله نقطه تقاطع مورب های پایه «A_1B_1C_1D_1» تا صفحه «BDC_1» را پیدا کنید.

چهار وجهی «O_1DBC_1» را در نظر بگیرید (شکل 8). فاصله مورد نیاز «h» طول ارتفاع این چهار وجهی است که از نقطه «O_1» تا صفحه «BDC_1» پایین آمده است. . برای یافتن آن کافی است حجم «V» را بدانیدچهار وجهی «O_1DBC_1». و منطقه مثلث "DBC_1".. بیایید آنها را محاسبه کنیم. به خط مستقیم «O_1C_1» توجه کنید عمود بر صفحه "O_1DB"., زیرا بر "BD" عمود استو «B B_1». . این بدان معناست که حجم چهار وجهی 'O_1DBC_1' است برابر است

این مقاله در مورد تعیین فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما صحبت می کند. بیایید روش مختصات را تجزیه و تحلیل کنیم، که به ما امکان می دهد فاصله از آن را پیدا کنیم نقطه داده شدهفضای سه بعدی برای تقویت این موضوع، به مثال هایی از چندین کار نگاه می کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فاصله از یک نقطه تا یک صفحه از طریق فاصله شناخته شده از یک نقطه به یک نقطه، که در آن یکی از آنها داده شده است، و دیگری طرح ریزی بر روی یک صفحه معین است.

وقتی نقطه M 1 با صفحه χ در فضا مشخص می شود، آنگاه می توانید از طریق نقطه رسم کنید عمود بر صفحهمستقیم. H 1 نقطه تقاطع مشترک آنهاست. از این نتیجه می‌گیریم که قطعه M 1 H 1 عمودی است که از نقطه M 1 به صفحه χ کشیده شده است، جایی که نقطه H 1 قاعده عمود است.

تعریف 1

فاصله یک نقطه معین تا قاعده یک عمود رسم شده از یک نقطه معین را به هواپیما داده شده.

تعریف را می توان در فرمول های مختلف نوشت.

تعریف 2

فاصله از نقطه به هواپیماطول عمود رسم شده از یک نقطه معین به یک صفحه معین است.

فاصله نقطه M 1 تا صفحه χ به صورت زیر تعیین می شود: فاصله از نقطه M 1 تا صفحه χ از یک نقطه معین تا هر نقطه از صفحه کوچکترین خواهد بود. اگر نقطه H 2 در صفحه χ قرار داشته باشد و با نقطه H 2 برابر نباشد، دریافت می کنیم راست گوشهنوع M 2 H 1 H 2 ، که مستطیل شکل است، جایی که یک پایه M 2 H 1، M 2 H 2 وجود دارد - هیپوتنوئوس. این به این معنی است که M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 مایل در نظر گرفته می شود که از نقطه M 1 به صفحه χ کشیده شده است. داریم که عمود رسم شده از یک نقطه معین به صفحه کمتر از عمودی است که از نقطه به صفحه داده شده کشیده شده است. بیایید به این مورد در شکل زیر نگاه کنیم.

فاصله از یک نقطه تا یک صفحه - نظریه، مثال ها، راه حل ها

تعدادی وجود دارد مسائل هندسیکه محلول های آن باید حاوی فاصله نقطه تا صفحه باشد. ممکن است راه های مختلفی برای شناسایی این موضوع وجود داشته باشد. برای حل، از قضیه فیثاغورث یا تشابه مثلث ها استفاده کنید. هنگامی که طبق شرایط لازم است فاصله یک نقطه تا یک صفحه محاسبه شود که در یک سیستم مختصات مستطیلی فضای سه بعدی داده شده است، با روش مختصات حل می شود. این پاراگراف این روش را مورد بحث قرار می دهد.

با توجه به شرایط مسئله داریم که نقطه ای در فضای سه بعدی با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) با صفحه χ داده می شود؛ باید فاصله M 1 تا را تعیین کرد. هواپیما χ. برای حل این مشکل از چندین روش راه حل استفاده می شود.

راه اول

این روش بر اساس یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه با استفاده از مختصات نقطه H 1 است که قاعده عمود از نقطه M 1 به صفحه χ است. بعد، باید فاصله بین M 1 و H 1 را محاسبه کنید.

برای حل مسئله به روش دوم، از معادله نرمال یک صفحه معین استفاده کنید.

راه دوم

طبق شرط، ما باید H 1 قاعده عمود باشد که از نقطه M 1 به صفحه χ پایین آمده است. سپس مختصات (x 2, y 2, z 2) نقطه H 1 را تعیین می کنیم. فاصله مورد نیاز از M 1 تا صفحه χ با فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 پیدا می شود، که در آن M 1 (x 1، y 1، z 1) و H 1 (x 2، y 2، z 2). برای حل باید مختصات نقطه H 1 را بدانید.

داریم که H 1 نقطه تلاقی صفحه χ با خط a است که از نقطه M 1 عمود بر صفحه χ می گذرد. بنابراین لازم است معادله ای برای خط مستقیمی که از نقطه معینی عمود بر صفحه معین می گذرد، تهیه کنیم. پس از آن است که می توانیم مختصات نقطه H 1 را تعیین کنیم. محاسبه مختصات نقطه تقاطع خط و صفحه ضروری است.

الگوریتم یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) تا صفحه χ:

تعریف 3

• معادله خط مستقیم a را که از نقطه M 1 می گذرد و در همان زمان ایجاد می کند
• عمود بر صفحه χ؛
• مختصات (x 2 , y 2 , z 2) نقطه H 1 را پیدا و محاسبه کنید که نقاط هستند
• تقاطع خط a با صفحه χ.
• فاصله M 1 تا χ را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 محاسبه کنید.

راه سوم

در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده O x y z صفحه χ وجود دارد، سپس یک معادله نرمال از صفحه به شکل cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 به دست می آوریم. از اینجا به دست می آوریم که فاصله M 1 H 1 با نقطه M 1 (x 1 , y 1 , z 1) به صفحه χ کشیده شده است که با فرمول M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos محاسبه می شود. γ z - p . این فرمول معتبر است، زیرا به لطف قضیه ایجاد شده است.

قضیه

اگر نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) در فضای سه بعدی داده شود، با داشتن یک معادله نرمال از صفحه χ به شکل cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0، سپس محاسبه فاصله از نقطه تا صفحه M 1 H 1 از فرمول M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p به دست می آید، زیرا x = x 1، y = y 1 z = z 1.

اثبات

اثبات قضیه به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط می رسد. از این نتیجه می‌گیریم که فاصله M 1 تا صفحه χ مدول تفاوت بین طرح عددی بردار شعاع M 1 با فاصله مبدا تا صفحه χ است. سپس عبارت M 1 H 1 = n p n → O M → - p را به دست می آوریم. بردار نرمال صفحه χ به شکل n → = cos α، cos β، cos γ است و طول آن برابر با یک است، n p n → O M → طرح عددی بردار O M → = (x 1, y 1 است. ، z 1) در جهت تعیین شده توسط بردار n → .

بیایید فرمول محاسبه بردارهای اسکالر را اعمال کنیم. سپس عبارتی برای یافتن بردار به شکل n →، O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → به دست می آوریم، زیرا n → = cos α , cos β , cos γ · z و O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . فرم مختصات نوشتن به شکل n →، O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 خواهد بود، سپس M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . قضیه ثابت می شود.

از اینجا به این نتیجه می رسیم که فاصله نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) تا صفحه χ با جایگزینی cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 در مقدار محاسبه می شود. سمت چپ معادله نرمال صفحه به جای مختصات x، y، z x 1، y 1 و z 1، مربوط به نقطه M 1 با گرفتن قدر مطلق مقدار به دست آمده.

بیایید به نمونه هایی از یافتن فاصله از یک نقطه با مختصات تا یک صفحه معین نگاه کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (5، - 3، 10) تا صفحه 2 x - y + 5 z - 3 = 0 را محاسبه کنید.

راه حل

بیایید مشکل را از دو طریق حل کنیم.

روش اول با محاسبه بردار جهت خط a شروع می شود. با شرط، داریم که معادله داده شده 2 x - y + 5 z - 3 = 0 معادله هواپیما باشد. نمای کلیو n → = (2، - 1، 5) بردار نرمال صفحه داده شده است. به عنوان بردار جهت یک خط مستقیم a که عمود بر یک صفحه معین است استفاده می شود. لازم است معادله متعارف یک خط در فضایی که از M 1 (5، - 3، 10) می گذرد، با بردار جهت با مختصات 2، - 1، 5 یادداشت کنید.

معادله x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 می شود.

نقاط تقاطع باید مشخص شود. برای انجام این کار، به آرامی معادلات را در یک سیستم ترکیب کنید تا از حالت متعارف به معادلات دو خط متقاطع حرکت کنید. بیایید این نقطه را به عنوان H 1 در نظر بگیریم. ما آن را دریافت می کنیم

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

پس از آن باید سیستم را فعال کنید

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

اجازه دهید به قانون حل سیستم گاوسی بپردازیم:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 1 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0، y = - 1 10 10 + 2 z = - 1، x = - 1 - 2 y = 1

ما دریافت می کنیم که H 1 (1، - 1، 0).

ما فاصله یک نقطه معین تا صفحه را محاسبه می کنیم. نقاط M 1 (5, - 3, 10) و H 1 (1, - 1, 0) را می گیریم و بدست می آوریم

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

راه حل دوم این است که ابتدا معادله داده شده 2 x - y + 5 z - 3 = 0 را به شکل عادی برسانید. ما ضریب نرمال سازی را تعیین می کنیم و 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 می گیریم. از اینجا معادله صفحه 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 را استخراج می کنیم. سمت چپ معادله با جایگزینی x = 5، y = - 3، z = 10 محاسبه می شود و باید فاصله M 1 (5، - 3، 10) را تا 2 x - y + 5 z - بگیرید. 3 = 0 مدول. این عبارت را دریافت می کنیم:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

پاسخ: 2 30.

هنگامی که صفحه χ با یکی از روش های بخش روش های تعیین صفحه مشخص می شود، ابتدا باید معادله صفحه χ را بدست آورید و با هر روشی فاصله مورد نیاز را محاسبه کنید.

مثال 2

در فضای سه بعدی، نقاطی با مختصات M 1 (5، - 3، 10)، A (0، 2، 1)، B (2، 6، 1)، C (4، 0، - 1) مشخص شده است. فاصله M 1 تا صفحه A B C را محاسبه کنید.

راه حل

ابتدا باید معادله هواپیمای عبوری از سه نقطه داده شده را با مختصات M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( بنویسید. 4، 0، - 1).

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

نتیجه این است که مشکل راه حلی مشابه راه حل قبلی دارد. این بدان معنی است که فاصله از نقطه M 1 تا صفحه A B C دارای مقدار 2 30 است.

پاسخ: 2 30.

با استفاده از فرمول M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p برای یافتن فاصله از یک نقطه معین در یک صفحه یا به صفحه ای که با آن موازی هستند راحت تر است. . از این نتیجه به دست می آید که معادلات نرمال صفحات در چند مرحله به دست می آیند.

مثال 3

فاصله یک نقطه معین با مختصات M 1 (- 3، 2، - 7) تا صفحه مختصات O x y z و صفحه داده شده با معادله 2 y - 5 = 0 را بیابید.

راه حل

صفحه مختصات O y z با معادله ای به شکل x = 0 مطابقت دارد. برای صفحه O y z طبیعی است. بنابراین، لازم است مقادیر x = - 3 را در سمت چپ عبارت جایگزین کنید و مقدار مطلق فاصله را از نقطه با مختصات M 1 (- 3، 2، - 7) به صفحه بگیرید. مقداری برابر با - 3 = 3 دریافت می کنیم.

پس از تبدیل، معادله نرمال صفحه 2 y - 5 = 0 به شکل y - 5 2 = 0 خواهد بود. سپس می توانید فاصله مورد نیاز را از نقطه با مختصات M 1 (- 3، 2، - 7) تا صفحه 2 y - 5 = 0 پیدا کنید. با جایگزینی و محاسبه، 2 - 5 2 = 5 2 - 2 بدست می آوریم.

پاسخ:فاصله مورد نیاز از M 1 (- 3، 2، - 7) تا O y z دارای مقدار 3 و تا 2 y - 5 = 0 دارای مقدار 5 2 - 2 است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

ماشین حساب آنلاین
محاسبه فاصله نقطه تا صفحه

این ماشین حساب آنلاین فواصل یک نقطه تا صفحه ای که در فرم داده شده را محاسبه می کند معادله کلیسطح:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

یک ماشین حساب آنلاین برای محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما نه تنها پاسخ مسئله را می دهد، بلکه می دهد راه حل دقیقبا توضیحات، یعنی. فرآیند حل را برای آزمایش دانش در ریاضیات و/یا جبر نمایش می دهد.

این ماشین حساب آنلاین ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید تکالیف ریاضی یا جبر خود را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب می توانید آموزش و/یا آموزش خود را انجام دهید. برادران کوچکتریا خواهران، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه مشکلات در حال حل افزایش می یابد.

ما ماشین حساب آنلایننه تنها پاسخ مسئله را می دهد، بلکه روند حل را نیز مرحله به مرحله نمایش می دهد. در نتیجه، شما قادر خواهید بود روند حل مسائل را برای یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه درک کنید.

اگر با قوانین درج اعداد آشنا نیستید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن اعداد

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسریرا می توان نه تنها به عنوان اعشار، بلکه به عنوان یک کسر معمولی وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
برای مثال می توانید وارد شوید اعداد اعشاریمانند این: 2.5 یا مانند این 1.3

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
ورودی: -2/3
نتیجه: \(-\frac(2)(3)\)

کل قسمت با علامت آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی: -1&5/7
نتیجه: \(-1\frac(5)(7)\)

x+

y+

z+ =0

M(

;

;

)

فاصله یک نقطه تا یک صفحه را محاسبه کنید

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادله صفحه نرمال فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی Oxyz و یک صفحه دلخواه \(\pi \) داده شود (شکل را ببینید).

اجازه دهید یک خط مستقیم از مبدا رسم کنیم، عمود بر صفحه \(\pi\). بگذارید آن را عادی بنامیم. اجازه دهید نقطه ای را که در آن حالت عادی صفحه \(\pi\) را قطع می کند با P نشان دهیم. در حالت عادی جهت را از نقطه O به نقطه P معرفی می کنیم. اگر نقاط O و P بر هم منطبق باشند، هر یک از دو جهت را روی حالت عادی می گیریم. اجازه دهید \(\آلفا، \; \بتا، \; \گاما \) زوایایی باشد که نرمال جهت‌دار با محورهای مختصات ایجاد می‌کند. p طول بخش OP است.

اجازه دهید معادله این صفحه \(\pi \) را استخراج کنیم، با فرض اینکه اعداد \(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) و p شناخته شده باشند. برای این کار بردار واحد n را روی نرمال معرفی می کنیم که جهت آن با جهت مثبت نرمال منطبق است. از آنجایی که n یک بردار واحد است، پس
\(\begin(array)(lr) \vec(n) = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end (آرایه)\)

فرض کنید M (x; y; z) یک نقطه دلخواه باشد. اگر و فقط در صورتی روی صفحه \(\pi \) قرار می‌گیرد که پیش‌بینی بردار OM روی حالت عادی برابر با p باشد، یعنی.
$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = p & (6) \end(array) $$

اکنون توجه داشته باشید که \(Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) \) و \(\vec(OM) = (x;\; y; \ ; z) \) سپس با در نظر گرفتن برابری (5)

$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end (آرایه) $$

از برابری های (6) و (7) به دست می آوریم که نقطه M(x; y; z) روی صفحه \(\pi \) قرار دارد اگر و فقط اگر مختصات آن معادله را برآورده کند.

\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (8) \end(array) \) که لازم است معادله یک صفحه معین معادله صفحه به شکل (8) معادله صفحه نرمال نامیده می شود.

قضیه
اگر نقطه M* دارای مختصات x*، y*، z* باشد و صفحه با معادله نرمال به دست می آید.

\(x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 \) سپس فاصله d از نقطه M* تا این صفحه با فرمول تعیین می شود
\(d = |x^* \cos \alpha + y^* \cos\beta + z^* \cos\gamma - p | \)

اجازه دهید نشان دهیم که چگونه معادله صفحه کلی را به شکل عادی کاهش دهیم. اجازه دهید
\(\begin(array)(lr) Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end(array) \)
معادله کلی یک صفحه معین است و
\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end(array) \)
معادله نرمال آن است. از آنجایی که معادلات (11) و (12) یک صفحه را تعریف می کنند، پس طبق قضیه، ضرایب این معادلات متناسب هستند. این بدان معنی است که با ضرب تمام عبارات (11) در یک عامل \(\mu\)، معادله را بدست می آوریم.
\(\mu Ax + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
منطبق با معادله (12)، یعنی. ما داریم
\(\begin(array)(lr) \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \ mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end (آرایه) \)

برای یافتن عامل \(\mu\)، سه برابر اول (13) را مربع می کنیم و آنها را با هم جمع می کنیم. سپس دریافت می کنیم
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \بتا + \cos ^2\گاما \)
اما سمت راست برابری آخر برابر با یک است. از این رو،
$$ \mu = \pm \frac(1)( \sqrt(A^2+B^2+C^2)) $$

عدد \(\mu\) که با کمک آن معادله کلی هواپیما به یک نرمال تبدیل می شود، ضریب نرمال کننده این معادله نامیده می شود. علامت \(\mu \) با برابری \(\mu D = -p \) تعیین می شود، یعنی. \(\mu \) دارای علامتی مخالف علامت جمله آزاد معادله عمومی (11) است.

اگر در رابطه (11) D=0، علامت ضریب نرمال کننده به صورت دلخواه انتخاب می شود.

کتاب ها (کتاب های درسی) چکیده ها آزمون های یکپارچه دولتی و آزمون های OGE به صورت آنلاین