مثلث ها یا متساوی الساقین یا متساوی الاضلاع هستند. مثلث. دروس کامل - هایپر مارکت دانش
مثلثچند ضلعی با 3 ضلع (یا 3 زاویه) است. اضلاع یک مثلث اغلب با حروف کوچک نشان داده می شوند که مطابق با حروف بزرگ نشان دهنده رئوس معکوس است.
مثلث حادبه مثلثی گفته می شود که هر سه زاویه آن تند باشد.
مثلث ماتبه مثلثی گفته می شود که یکی از زوایای آن منفرد است.
راست گوشهبه مثلثی گفته می شود که یکی از زوایای آن قائم الزاویه و به عبارت دیگر برابر 90 درجه باشد. اضلاع a و b که زاویه قائمه تشکیل می دهند نامیده می شوند پاها; ضلع c در مقابل زاویه راست نامیده می شود هیپوتنوئوس.
مثلث متساوی الساقینبه مثلثی گفته می شود که دو ضلع آن برابر است (a = c). این اضلاع مساوی نامیده می شوند جانبی، شخص 3 نامیده می شود پایه مثلث.
مثلث متساوی الاضلاعبه مثلثی گفته می شود که تمام اضلاع آن برابر باشد (a = b = c). در آن صورت، در یک مثلث هیچ یک از اضلاع آن (abc) برابر نیست، پس این است مثلث متساوی الاضلاع.
ویژگی های اصلی مثلث ها
در هر مثلث:
نشانه های تساوی مثلث ها
مثلث ها متجانس هستند که در این صورت به ترتیب برابر هستند:
نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه
دو مثلث قائم الزاویه مساوی هستند که در این صورت یکی از معیارهای زیر انجام می شود:
ارتفاعمثلثعمودی است که از هر رأسی به پایین افتاده است سمت معکوس(یا ادامه آن). این طرف نامیده می شود پایه مثلث. سه ارتفاع یک مثلث همیشه در یک نقطه به نام همدیگر را قطع می کنند مرکز متعامد مثلث.
مرکز قائم مثلث حاد در داخل مثلث و مرکز عمود مثلث منفرد در خارج قرار دارد. مرکز متعامد مثلث قائم الزاویه با راس منطبق است زاویه راست.
میانه- این قطعه ای است که هر رأس مثلث را به وسط ضلع معکوس متصل می کند. سه وسط یک مثلث در یک نقطه تلاقی می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و مرکز جرم آن است. این نقطه هر میانه را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از رأس شمارش می کند.
نیمساز- این قسمت نیمساز زاویه از راس تا نقطه تقاطع با است سمت معکوس. سه نیمساز یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و مرکز دایره محاطی است. نیمساز ضلع عقب را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند.
عمود بر میانهعمودی است که از نقطه میانیبخش (سمت). سه عمود بر میانه یک مثلث در یک نقطه که مرکز دایره دایره است، همدیگر را قطع می کنند.
که در مثلث حاداین نقطه در داخل مثلث، در یک مثلث منفرد - در خارج، در یک مثلث مستطیلی - در وسط هیپوتنوس قرار دارد. مرکز عمود، مرکز جرم، مرکز دایره محصور و مرکز دایره محاطی منحصراً در یک مثلث متساوی الاضلاع منطبق هستند.
اصل موضوع فیثاغورث
که در راست گوشهمجذور طول هیپوتونوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها.
تایید اصل فیثاغورث
بیایید یک AKMB مربع با استفاده از فرض AB به عنوان ضلع بسازیم. سپس اضلاع مثلث قائم الزاویه ABC را طوری ادامه می دهیم که یک مربع CDEF که ضلع آن برابر a + b است به دست می آوریم. اکنون مشخص است که مساحت مربع CDEF برابر است با (a + b) 2. از طرف دیگر، این مساحت برابر است با مجموع مساحت های چهار مثلث قائم الزاویه و مربع AKMB، در موارد دیگر. کلمات،
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
و داریم:
c 2 = a 2 + b 2 .
نسبت تصویر در یک مثلث تصادفی
در حالت کلی (برای یک مثلث تصادفی) داریم:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C،
که در آن C زاویه بین ضلع a و b است.
علاوه بر این در سایت:
علم هندسه به ما می گوید که مثلث، مربع و مکعب چیست. که در دنیای مدرنهمه بدون استثنا در مدارس مطالعه می کنند. همچنین علمی که مستقیماً بررسی می کند که مثلث چیست و چه ویژگی هایی دارد مثلثات است. او با جزئیات تمام پدیده های مربوط به داده ها را بررسی می کند.ما در مقاله خود در مورد اینکه مثلث امروز چیست صحبت خواهیم کرد. انواع آنها و همچنین برخی از قضایای مرتبط با آنها در زیر توضیح داده خواهد شد.
مثلث چیست؟ تعریف
این یک چند ضلعی تخت است. همانطور که از نامش مشخص است دارای سه گوشه است. همچنین دارای سه ضلع و سه رأس است که اولی آنها پاره و دومی نقطه هستند. با دانستن اینکه دو زاویه برابر است، می توانید سومی را با کم کردن مجموع دو زاویه اول از عدد 180 پیدا کنید.
چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟
آنها را می توان بر اساس معیارهای مختلف طبقه بندی کرد.
اول از همه، آنها به زاویه حاد، زاویه باز و مستطیل تقسیم می شوند. زوایای اولی دارای زوایای حاد هستند، یعنی آنهایی که برابر با کمتر از 90 درجه هستند. در زوایای منفرد یکی از زوایای منفرد است یعنی یکی که مساوی بیش از 90 درجه باشد دو زاویه دیگر حاد است. مثلث های حاد شامل مثلث های متساوی الاضلاع نیز می شوند. این مثلث ها همه ضلع ها و زوایا مساوی هستند. همه آنها برابر با 60 درجه هستند، این را می توان به راحتی با تقسیم مجموع تمام زوایا (180) بر سه محاسبه کرد.
راست گوشه
نمی توان در مورد اینکه مثلث قائم الزاویه چیست صحبت نکرد.
چنین شکلی یک زاویه برابر با 90 درجه (مستقیم) دارد، یعنی دو ضلع آن عمود هستند. دو زاویه باقی مانده حاد هستند. آنها می توانند برابر باشند، سپس متساوی الساقین خواهد بود. قضیه فیثاغورث مربوط به مثلث قائم الزاویه است. با استفاده از آن، می توانید طرف سوم را با دانستن دو مورد اول پیدا کنید. با توجه به این قضیه، اگر مربع یک پا را به مربع پای دیگر اضافه کنید، می توانید مربع فرضیه را بدست آورید. مربع پا را می توان با کم کردن مربع پای شناخته شده از مربع هیپوتانوس محاسبه کرد. در مورد اینکه مثلث چیست، می توانیم مثلث متساوی الساقین را نیز به یاد بیاوریم. این یکی است که در آن دو ضلع برابر و دو زاویه نیز برابر هستند.
پا و هیپوتانوز چیست؟
ساق یکی از اضلاع مثلثی است که زاویه 90 درجه را تشکیل می دهد. هیپوتنوز ضلع باقیمانده ای است که در مقابل زاویه راست قرار دارد. می توانید یک عمود از آن روی پا پایین بیاورید. نگرش پای مجاوربه هیپوتنوس چیزی کمتر از کسینوس نمیگویند و عکس آن را سینوس میگویند.
- چه ویژگی هایی دارد؟
مستطیل شکل است. پاهایش سه و چهار و هیپوتونوس آن پنج است. اگر دیدید که پایه های یک مثلث معین برابر با سه و چهار هستند، می توانید مطمئن باشید که هیپوتانوس برابر با پنج خواهد بود. همچنین با استفاده از این اصل می توانید به راحتی تعیین کنید که پا در صورتی که دومی برابر با چهار و هپوتنوس برابر با پنج باشد، برابر با سه خواهد بود. برای اثبات این جمله می توانید قضیه فیثاغورث را اعمال کنید. اگر دو پایه برابر با 3 و 4 باشند، 9 + 16 = 25، ریشه 25 برابر با 5 است، یعنی افت فشار برابر با 5 است. و 10; 9، 12 و 15 و اعداد دیگر با نسبت 3:4:5.
مثلث دیگر چه می تواند باشد؟
مثلث ها همچنین می توانند محاطی یا محدود شوند. شکلی که دور آن دایره توصیف می شود، محاط نامیده می شود؛ تمام رئوس آن نقاطی هستند که روی دایره قرار دارند. مثلث محصور مثلثی است که دایره ای در آن حک شده باشد. همه طرف های آن در نقاط خاصی با آن تماس پیدا می کنند.
چگونه قرار دارد؟
مساحت هر رقم بر حسب واحد مربع (متر مربع، میلی متر مربع، سانتی متر مربع، دسی متر مربع و غیره) اندازه گیری می شود. این مقدار بسته به نوع مثلث به روش های مختلفی قابل محاسبه است. مساحت هر شکل با زاویه را می توان با ضرب ضلع آن در عمود بر روی آن از گوشه مقابل و تقسیم این رقم بر دو یافت. همچنین می توانید این مقدار را با ضرب دو طرف بدست آورید. سپس این عدد را در سینوس زاویه ای که بین این ضلع ها قرار دارد ضرب کنید و این نتیجه را بر دو تقسیم کنید. با دانستن تمام اضلاع یک مثلث، اما عدم دانستن زوایای آن، می توانید مساحت را به روش دیگری پیدا کنید. برای انجام این کار باید نیمی از محیط را پیدا کنید. سپس به طور متناوب اضلاع مختلف را از این عدد کم کنید و چهار مقدار حاصل را ضرب کنید. بعد، از شماره ای که بیرون آمد پیدا کنید. مساحت یک مثلث محاطی را می توان با ضرب همه اضلاع و تقسیم عدد حاصل بر عددی که در اطراف آن محصور شده است، ضرب در چهار پیدا کرد.
مساحت یک مثلث محصور شده به این ترتیب پیدا می شود: نیمی از محیط را در شعاع دایره ای که در آن محاط شده است ضرب می کنیم. اگر مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت: ضلع را مربع کنید، شکل حاصل را در ریشه سه ضرب کنید، سپس این عدد را بر چهار تقسیم کنید. به همین ترتیب می توانید ارتفاع مثلثی را که همه اضلاع آن برابر هستند محاسبه کنید؛ برای این کار باید یکی از آنها را در ریشه سه ضرب کنید و سپس این عدد را بر دو تقسیم کنید.
قضایای مربوط به مثلث
قضایای اصلی که با این شکل همراه است، قضیه فیثاغورث که در بالا توضیح داده شد و کسینوس ها هستند. دوم (از سینوس ها) این است که اگر هر ضلعی را بر سینوس زاویه مقابل آن تقسیم کنید، می توانید شعاع دایره ای را که در اطراف آن توصیف شده ضرب در دو بدست آورید. سوم (کسینوس) این است که اگر از مجموع مربع های دو ضلع حاصل ضرب آنها در دو و کسینوس زاویه بین آنها را کم کنیم، مربع ضلع سوم به دست می آید.
مثلث دالی - چیست؟
خیلی ها وقتی با این مفهوم مواجه می شوند، در ابتدا فکر می کنند که این نوعی تعریف در هندسه است، اما اصلاً اینطور نیست. مثلث دالی است نام متداولسه مکان که ارتباط نزدیکی با زندگی این هنرمند مشهور دارد. قله های آن خانه ای است که سالوادور دالی در آن زندگی می کرد، قلعه ای که او به همسرش داد و همچنین موزه نقاشی های سوررئالیستی. در طی گشت و گذار در این مکان ها می توانید چیزهای زیادی یاد بگیرید. حقایق جالبدر مورد این هنرمند خلاق منحصر به فرد که در سراسر جهان شناخته شده است.
مثلثچند ضلعی با سه ضلع (یا سه زاویه) است. اضلاع یک مثلث اغلب با حروف کوچک (a, b, c) مشخص میشوند که با آنها مطابقت دارد حروف بزرگ، نشان دهنده رئوس مخالف (A، B، C).
اگر هر سه زاویه یک مثلث تند باشد، آن وقت است مثلث حاد.
اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه باشد، پس درست است راست گوشه. اضلاع تشکیل دهنده یک زاویه قائمه نامیده می شوند پاها. ضلع مقابل زاویه راست نامیده می شود هیپوتنوئوس.
اگر یکی از زوایای مثلث منفرد باشد، آن گاه است مثلث منفرد
مثلث متساوی الساقیناگر دو ضلع آن مساوی باشد. این ضلع های مساوی را جانبی و ضلع سوم را قاعده مثلث می نامند.
مثلث متساوی الاضلاع، اگر همه اضلاع آن برابر باشد.
ویژگی های اساسی مثلث ها
در هر مثلث:
1. در مقابل ضلع بزرگتر زاویه بزرگتر قرار دارد و بالعکس.
2. زوایای مساوی در مقابل اضلاع مساوی قرار دارند و بالعکس.
به طور خاص، تمام زوایای یک مثلث متساوی الاضلاع برابر هستند.
3. مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.
از دو ویژگی آخر چنین برمیآید که هر زاویه در متساوی الاضلاع است
مثلث 60 درجه است.
4. با ادامه یکی از اضلاع مثلث، بیرونی را به دست می آوریم
گوشه. زاویه خارجی یک مثلث برابر است با مجموع زوایای داخلی
در مجاورت آن نیست
5. هر ضلع مثلث کوچکتر از مجموع دو ضلع دیگر و بزرگتر است
تفاوت های آنها
نشانه های تساوی مثلث ها.
مثلث ها همسان هستند اگر به ترتیب برابر باشند:
الف) دو ضلع و زاویه بین آنها.
ب) دو گوشه و ضلع مجاور آنها.
ج) سه طرف
نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه.
اگر یکی از شرایط زیر درست باشد دو مثلث قائم الزاویه با هم همخوان هستند:
1) پاهای آنها برابر است.
2) ساق و هیپوتنوز یک مثلث با ساق و هیپوتنوز دیگری برابر است.
3) هيپوتنوز و زاويه حاد يك مثلث با زاويه هيپوتنوز و حاد ديگري برابر است.
4) ساق و زاویه حاد مجاور یک مثلث با ساق و زاویه حاد مجاور دیگری برابر است.
5) ساق و زاویه حاد مقابل یک مثلث با ساق و زاویه حاد مخالف مثلث دیگر برابر است.
ارتفاع مثلثعمودی است که از هر راس به سمت مقابل (یا ادامه آن) افتاده است. به این ضلع قاعده مثلث می گویند. سه ارتفاع یک مثلث همیشه در یک نقطه به نام همدیگر را قطع می کنند مرکز متعامد مثلث. مرکز قائم مثلث حاد در داخل مثلث قرار دارد و مرکز عمود مثلث منفرد بیرون است. مرکز قائم مثلث قائم الزاویه با راس زاویه قائم الزاویه منطبق است.
میانهقطعه ای است که هر راس مثلث را به وسط ضلع مقابل متصل می کند. سه وسط یک مثلث در یک نقطه تلاقی می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و همان نقطه آن است مرکز گرانش. این نقطه هر میانه را به نسبت 2:1 تقسیم می کند و از رأس شمارش می کند.
ویژگی میانه مثلث متساوی الساقین.در مثلث متساوی الساقین، وسط کشیده شده به قاعده، نیمساز و ارتفاع است.
نیمساز- این قسمت نیمساز زاویه از راس تا نقطه تقاطع با طرف مقابل است. سه نیمساز یک مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند که همیشه در داخل مثلث قرار دارد و مرکز دایره محاطی. نیمساز طرف مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند.
عمود بر میانهعمودی است که از نقطه وسط یک پاره (ضلع) کشیده شده است. سه وسط عمود بر یک مثلث در یک نقطه تلاقی می کنند که این است مرکز دایره محدود شدهدر یک مثلث حاد، این نقطه در داخل مثلث قرار دارد. در یک زاویه مبهم - خارج؛ در یک مستطیل - در وسط هیپوتنوز. مرکز ثقل، مرکز ثقل، محیط و دایره محاطی تنها در یک مثلث متساوی الاضلاع منطبق هستند.
خط وسط مثلثقطعه ای است که نقاط میانی دو ضلع آن را به هم متصل می کند.
ویژگی خط وسط مثلث. خط وسط مثلث که نقاط میانی دو ضلع داده شده را به هم وصل می کند، موازی با ضلع سوم و برابر با نیمی از آن است.
قضیه فیثاغورس.در مثلث قائم الزاویه، مجذور طول هیپوتنوس برابر است با مجموع مجذورات طول پاها. c 2 = a 2 + b 2 .
اثبات قضیه فیثاغورثمیتوانی ببینی اینجا.
قضیه سینوس ها. اضلاع یک مثلث با سینوس های زوایای مقابل متناسب است .
قضیه کسینوسمربع هر ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر بدون اینکه دو برابر حاصل ضرب این ضلع ها در کسینوس زاویه بین آنها باشد. .
اثبات قضیه سینوس و قضیه کسینوسمیتوانی ببینی اینجا.
قضیه مجموع زوایای یک مثلث.مجموع زوایای داخلی یک مثلث 180 درجه است.
قضیه زاویه بیرونی مثلث. زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویه داخلی که مجاور آن نیستند.
شاید ابتدایی ترین، ساده ترین و جالب ترین شکل در هندسه مثلث باشد. میدانم دبیرستانخواص اولیه آن مورد مطالعه قرار می گیرد، اما گاهی اوقات دانش در مورد این موضوع ناقص است. انواع مثلث ها در ابتدا خواص آنها را مشخص می کنند. اما این دیدگاه مختلط باقی می ماند. بنابراین، اکنون اجازه دهید این موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.
انواع مثلث ها به درجه اندازه گیری زاویه ها بستگی دارد. این اشکال حاد، مستطیل و منفرد هستند. اگر همه زوایا از 90 درجه تجاوز نکنند، می توان با خیال راحت این رقم را حاد نامید. اگر حداقل یک زاویه از مثلث 90 درجه باشد، پس شما با یک زیرگونه مستطیلی روبرو هستید. بر این اساس، در سایر موارد، مورد مورد نظر زاویهدار نامیده میشود.
مشکلات زیادی برای زیرگروه های حاد زاویه دار وجود دارد. ویژگی متمایزمحل داخلی نقاط تقاطع نیمسازها، میانه ها و ارتفاعات است. در موارد دیگر ممکن است این شرط رعایت نشود. تعیین نوع شکل مثلث کار سختی نیست. کافی است که مثلا کسینوس هر زاویه را بدانیم. اگر مقداری کمتر از صفر باشد، در هر صورت مثلث منفرد است. در مورد نشانگر صفر، شکل دارای زاویه قائمه است. همه ارزش های مثبتتضمین می شود که به شما می گویند که به یک نمای زاویه ای نگاه می کنید.
نمی توان به مثلث منظم اشاره نکرد. این ایده آل ترین منظره است که در آن تمام نقاط تقاطع میانه ها، نیمسازها و ارتفاعات بر هم منطبق هستند. مرکز دایره منقوش و محصور نیز در همین مکان قرار دارد. برای حل مشکلات، فقط باید یک طرف را بشناسید، زیرا ابتدا زوایای آن به شما داده می شود و دو طرف دیگر مشخص هستند. یعنی رقم فقط با یک پارامتر مشخص می شود. وجود دارند ویژگی اصلی- برابری دو ضلع و زاویه در قاعده.
گاهی این سوال پیش می آید که آیا مثلثی با اضلاع معین وجود دارد؟ در واقع از شما سوال می شود که آیا مناسب است یا خیر این توصیفتحت انواع اصلی به عنوان مثال، اگر مجموع دو ضلع کمتر از ضلع سوم باشد، در واقع چنین رقمی اصلا وجود ندارد. اگر کار از شما بخواهد که کسینوس زوایای مثلثی با ضلع های 3،5،9 را پیدا کنید، آنگاه می توان واضح را بدون تکنیک های پیچیده ریاضی توضیح داد. فرض کنید می خواهید از نقطه A به نقطه B برسید فاصله در یک خط مستقیم 9 کیلومتر است. با این حال، به یاد آوردید که باید به نقطه C در فروشگاه بروید. فاصله A تا C 3 کیلومتر و از C تا B 5 است. بنابراین، معلوم می شود که هنگام حرکت در فروشگاه، یک کیلومتر کمتر پیاده روی خواهید کرد. اما از آنجایی که نقطه C در مسیر مستقیم AB قرار ندارد، باید مسافت بیشتری را طی کنید. اینجا یک تناقض وجود دارد. البته، توضیح شرطی. ریاضیات بیش از یک راه برای اثبات اینکه همه انواع مثلث ها از هویت اصلی تبعیت می کنند می داند. بیان می کند که مجموع دو طرف طولانی ترسوم.
هر نوع دارای خواص زیر است:
1) مجموع تمام زوایا 180 درجه است.
2) همیشه یک مرکز متعامد وجود دارد - نقطه تقاطع هر سه ارتفاع.
3) هر سه وسط رسم شده از رئوس زوایای داخلی در یک مکان تلاقی می کنند.
4) دور هر مثلثی می توان یک دایره رسم کرد. همچنین می توانید دایره ای را طوری بنویسید که فقط سه نقطه تماس داشته باشد و از اضلاع بیرونی خارج نشود.
اکنون با خواص اصلی آنها آشنا شدید انواع مختلفمثلثها. در آینده، مهم است که بفهمید هنگام حل یک مشکل با چه چیزی سر و کار دارید.