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二次方程式の対数。対数方程式を解く。ザ・コンプリートガイド (2019)

代数 11 年生

テーマ：「対数方程式の解法」

レッスンの目標:

教育的: ～についての知識を構築するさまざまな方法で対数方程式を解く能力、それをそれぞれの特定の状況に適用し、解くための任意の方法を選択する能力。

現像： 知識を観察、比較し、新しい状況に適用し、パターンを特定し、一般化するスキルの開発。相互制御と自制のスキルを開発する。

教育的: 教育活動に対する責任ある態度、授業内容の注意深い認識、注意深いメモの取り方を養います。

レッスンタイプ : 新しい素材の紹介に関するレッスン。

「対数の発明は、天文学者の仕事を減らしながら、彼の寿命を延ばしました。」
フランスの数学者、天文学者 P.S. ラプラス

授業中

I. レッスンの目標を設定する

対数の定義、対数の性質、対数関数を学習すると、対数方程式を解くことができます。すべての対数方程式は、どれほど複雑であっても、統一されたアルゴリズムを使用して解決されます。今日のレッスンでは、これらのアルゴリズムを見ていきます。それらはそれほど多くありません。これらをマスターすれば、対数を使った方程式は誰でも実行可能になります。

授業のテーマ「対数方程式の解き方」をノートに書き留めます。皆様のご協力をお願いいたします。

II. 参考知識の更新

レッスンのテーマを勉強する準備をしましょう。各タスクを解決して答えを書き留めます。条件を書く必要はありません。ペアで作業します。

1) x のどの値に対してこの関数は意味を持ちますか:

（スライドごとに解答をチェックし、間違いを整理します）

2) 関数のグラフは一致していますか?

a) y = x および

b)そして

3) 等式を対数等式として書き換えます。

4) 数値を底 2 の対数として書きます。

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) 計算する :

6) これらの等式に欠けている要素を復元または補完してみてください。

Ⅲ．新素材のご紹介

次のステートメントが画面に表示されます。

「方程式は、すべての数学のゴマを開ける黄金の鍵です。」
現代ポーランドの数学者 S. コワル

対数方程式の定義を定式化してみてください。 (対数記号の下に未知数を含む方程式 ).

考えてみましょう最も単純な対数方程式: ログあ x = b (a>0、a ≠ 1)。なぜなら対数関数セット上で増加（または減少）正の数すべての実数値を取ると、根定理により、この方程式は任意の b に対して、解が 1 つだけあり、正の値が 1 つだけ存在することがわかります。

対数の定義を思い出してください。 (数値 x の底 a に対する対数は、数値 x を得るために底 a を累乗する必要があることを示します。 ）。対数の定義からすぐに次のことがわかります。あ V そのような解決策です。

タイトルを書き留めます:対数方程式を解く方法

1. 対数の定義による .

これは、次の形式の最も単純な方程式を解く方法です。.

考えてみましょうNo.514(a) ): 方程式を解きます

それを解決するにはどのように提案しますか？ (対数の定義により )

解決 . , したがって、2x – 4 = 4; x = 4。

答え: 4.

このタスクでは 2x – 4 > 0 であるため、> 0 であるため、無関係なルートは表示されません。チェックする必要はありません 。このタスクでは、条件 2x – 4 > 0 を書き出す必要はありません。

2. 強化 (指定された式の対数からこの式自体への遷移)。

考えてみましょうNo.519(g): ログ 5 ( バツ 2 +8)- ログ 5 ( バツ+1)=3 ログ 5 2

どのような特徴に気づきましたか?(底が同じで、2 つの式の対数は等しい) 。何ができるでしょうか？(強化)。

対数式が正となるすべての x には任意の解が含まれることを考慮する必要があります。

解決： ODZ:

バツ 2 +8>0 不必要な不等号

ログ 5 ( バツ 2 +8) = ログ 5 2 3 + ログ 5 ( バツ+1)

ログ 5 ( バツ 2 +8)= ログ 5 (8 バツ+8)

元の方程式を強化しましょう

バツ 2 +8= 8 バツ+8

方程式が得られますバツ 2 +8= 8 バツ+8

それを解決しましょう:バツ 2 -8 バツ=0

x=0、x=8

答え: 0; 8

一般的に同等のシステムへの移行 :

方程式

(システムには冗長な条件が含まれています - 不等式の 1 つを考慮する必要はありません)。

クラスへの質問 : これら 3 つのソリューションのうち、どれが一番気に入りましたか? （方法の議論）。

あなたにはどんな形であれ決定する権利があります。

3. 新しい変数の導入 .

考えてみましょうNo.520(g) . .

何に気づきましたか? (これはlog3xに関する二次方程式です) あなたの提案は？ (新しい変数を導入します)

解決。 ODZ: x > 0。

させての場合、方程式は次の形式になります。。判別式 D > 0。ビエタの定理による根:.

置換に戻りましょう:または.

最も単純な対数方程式を解くと、次の結果が得られます。

; .

答え : 27;

4. 方程式の両辺を対数計算します。

方程式を解きます。.

解決 : ODZ: x>0、方程式の両辺の対数を底 10 で計算してみます。

。べき乗の対数の性質を適用してみましょう。

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

logx = y とすると、(y + 3)y = 4

, (D > 0) は、ビエタの定理に従って根を求めます: y1 = -4 および y2 = 1。

置換に戻りましょう。 lgx = -4 となります。; logx = 1、. . それは次のとおりです: いずれかの関数の場合 y = f(x) 増加し、もう一つは y = g(x) 区間 X で減少すると、方程式は次のようになります。 f(x)= g(x) 区間 X にはルートが最大 1 つあります .

ルートがある場合は、それを推測できます。 .

答え : 2

« 正しい使い方メソッドを学ぶことができる
それをさまざまな例に適用するだけです。」
デンマークの数学史家 G. G. ザイテン

私 V. 宿題

P.39 例題3を考えて、No.514(b)、No.529(b)、No.520(b)、No.523(b)を解く

V. レッスンのまとめ

授業では対数方程式を解くどのような方法を学びましたか?

次のレッスンではさらに詳しく見ていきます複雑な方程式。それらを解決するには、研究された方法が役立ちます。

表示された最後のスライド:

「この世で何よりも大切なものは何でしょうか？
空間。
最も賢明なことは何ですか？
時間。
一番良い点は何ですか?
望むものを達成してください。」
タレス

誰もが望むことを達成できることを願っています。ご理解とご協力をお願いいたします。

対数方程式の解法に関する長いレッスンシリーズの最後のビデオ。今回は主に対数の ODZ を扱います。このような問題を解くときにほとんどのエラーが発生するのは、まさに定義領域の誤った考慮 (または無視) が原因です。

この短いビデオレッスンでは、対数の加算と減算の公式の使用法を見ていき、また、多くの生徒が問題を抱えている分数有理方程式についても扱います。

何を話しましょうか？私が理解したい主な式は次のようになります。

log a (f g ) = log a f + log a g

これは、積から対数の和へ、そしてその逆への標準的な遷移です。おそらく、対数を勉強し始めた当初からこの公式を知っているでしょう。ただし、問題が 1 つあります。

変数 a、f、g が普通の数であれば問題はありません。この公式は非常にうまく機能します。

しかし、f と g の代わりに関数が登場すると、どの方向に変換するかによって定義範囲が拡大または縮小されるという問題が発生します。自分で判断してください。左に書かれた対数の定義域は次のとおりです。

fg > 0

しかし、右側に書かれた部分では、定義の領域がすでに多少異なります。

f > 0

g > 0

この一連の要件は、元の要件よりも厳格です。最初のケースでは、オプション f で満足します。< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0が実行されます）。

したがって、左側の構造から右側の構造に移行すると、定義領域の狭まりが発生します。最初に合計があり、それを積の形に書き直すと、定義の領域が拡張されます。

言い換えれば、前者の場合は根が失われる可能性があり、後者の場合は余分な根が得られる可能性があります。実対数方程式を解くときは、これを考慮する必要があります。

したがって、最初のタスクは次のとおりです。

[写真のキャプション]

左側には、同じ底を使用した対数の合計が表示されます。したがって、これらの対数を追加できます。

[写真のキャプション]

ご覧のとおり、右側では次の式を使用してゼロを置き換えています。

a = log b b a

方程式をもう少し整理してみましょう。

log 4 (x − 5) 2 = log 4 1

目の前には対数方程式の標準形式があり、対数記号を取り消して引数を等価にすることができます。

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

注意してください: モジュールはどこから来たのでしょうか? 正確な平方根は係数に等しいことを思い出してください。

[写真のキャプション]

次に、係数を使用して古典方程式を解きます。

|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; × 2 = 5 + 1 = 6

答えの候補を 2 つ挙げます。それらは元の対数方程式の解ですか? とんでもない！

すべてをそのままにして答えを書き留める権利は私たちにはありません。対数の合計を引数の積の 1 つの対数に置き換えるステップを見てください。問題は、元の式に関数があることです。したがって、次のことを要求する必要があります。

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0。

積を変換して正確な平方を取得すると、要件が変わりました。

(x − 5) 2 > 0

この要件はいつ満たされるのでしょうか? はい、ほとんどいつもです！ x − 5 = 0 の場合を除きます。不等式は 1 つのパンクポイントに縮小されます。

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

ご覧のとおり、定義の範囲が拡大しました。これがレッスンの最初に話した内容です。その結果、余分な根が現れる可能性があります。

このような余分な根が現れるのを防ぐにはどうすればよいでしょうか? それは非常に簡単です。取得したルートを見て、元の方程式の定義領域と比較します。数えてみましょう：

x (x − 5) > 0

間隔法を使用して解決します。

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

結果の数字を線上にマークします。不等式が厳密であるため、すべての点が欠落しています。 5 より大きい任意の数値を取得し、次のように置き換えます。

[写真のキャプション]

区間 (−∞; 0) ∪ (5; ∞) に興味があります。セグメント上で根をマークすると、x = 4 が適切ではないことがわかります。これは、この根が元の対数方程式の定義範囲外にあるためです。

全体性に戻り、根 x = 4 を取り消して、答えを書き留めます: x = 6。これが元の対数方程式の最終的な答えです。以上です、問題は解決しました。

2 番目の対数方程式に移りましょう。

[写真のキャプション]

解決しましょう。最初の項は分数であり、2 番目の項は同じ分数ですが反転されていることに注意してください。 lgx という式を怖がらないでください。これは単なる 10 進対数なので、次のように書くことができます。

lgx = log 10 x

2 つの逆分数があるため、新しい変数を導入することを提案します。

[写真のキャプション]

したがって、方程式は次のように書き換えることができます。

t + 1/t = 2;

t + 1/t − 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0。

ご覧のとおり、分数の分子は正確な二乗です。分数は分子がゼロになるとゼロに等しくなります。ゼロに等しい、分母はゼロではありません。

(t − 1) 2 = 0; t≠0

最初の方程式を解いてみましょう。

t − 1 = 0;

t = 1。

この値は 2 番目の要件を満たします。したがって、変数 t に関してのみ方程式を完全に解いたと言えます。ここで、t が何であるかを思い出してみましょう。

[写真のキャプション]

比率は次のようになります。

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

logx = −1

この方程式を標準形式に変換します。

logx = log 10 −1

x = 10 −1 = 0.1

その結果、理論的には元の方程式の解となる 1 つの根が得られました。ただし、安全策を講じて、元の方程式の定義領域を書き出してみましょう。

[写真のキャプション]

したがって、私たちのルートはすべての要件を満たしています。元の対数方程式の解を見つけました。答え: x = 0.1。問題は解決された。

今日のレッスンの重要なポイントは 1 つだけです。積から和に移動し、またその逆に移動する公式を使用するときは、移動の方向に応じて定義の範囲が狭くなったり拡大したりする可能性があることを必ず考慮してください。

何が起こっているのか、つまり縮小か拡大かをどうやって理解すればよいでしょうか? とてもシンプルです。以前は機能が一緒だったが、現在は別々になっている場合、定義の範囲は狭くなります (要件が増えるため)。最初は機能が別々に存在していたが、現在は一緒になっている場合、定義の領域は拡張されます (個々の要素よりも製品に課される要件が少なくなります)。

この指摘を考慮して、2 番目の対数方程式はこれらの変換をまったく必要としない、つまり引数をどこにも加算または乗算しないことに注意してください。ただし、ここでは、ソリューションを大幅に簡素化できる別の素晴らしいテクニックに注目していただきたいと思います。変数の置き換えについてです。

ただし、定義の範囲から解放される置換は存在しないことに注意してください。だからこそ、すべての根が見つかった後、私たちは怠けずに元の方程式に戻ってその ODZ を見つけました。

多くの場合、変数を置き換えるとき、生徒が t の値を見つけて解決策が完了したと考えると、迷惑なエラーが発生します。とんでもない！

t の値が見つかったら、元の方程式に戻って、この文字が正確に何を意味するのかを確認する必要があります。その結果、もう 1 つ方程式を解く必要がありますが、元のものよりもはるかに単純になります。

これがまさに新しい変数を導入するポイントです。元の方程式を 2 つの中間の方程式に分割し、それぞれがはるかに単純な解を持っています。

「入れ子になった」対数方程式を解く方法

今日も対数方程式の学習を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。正準形式を使用して両方の方程式を解きます。

今日も対数方程式の研究を続け、ある対数が別の対数の符号の下にある場合の構造を分析します。正準形式を使用して両方の方程式を解きます。 log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式がある場合、そのような方程式を解くには次の手順を実行することを思い出してください。まず最初に、数値 b を置き換える必要があります。

b = ログ a a b

注: a b は引数です。同様に、元の方程式では、引数は関数 f(x) です。次に、方程式を書き直すと、次の構造が得られます。

log a f (x) = log a a b

次に、3 番目のステップを実行できます。対数記号を取り除き、単純に次のように記述します。

f (x) = a b

その結果、新しい方程式が得られます。この場合、関数f(x)には何の制約も課されない。たとえば、対数関数を代わりに使用することもできます。そして、再び対数方程式を取得します。これを再び最も単純な形に還元し、正準形で解きます。

でも、歌詞だけでも十分。本当の問題を解決しましょう。したがって、タスク番号 1:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2

ご覧のとおり、単純な対数方程式があります。 f (x) の役割は 1 + 3 log 2 x という構成で、数 b の役割は数 2 です (a の役割も 2 つで果たします)。この2つを次のように書き換えてみましょう。

最初の 2 つの 2 は対数の底から得られたものであることを理解することが重要です。つまり、元の方程式に 5 があった場合、2 = log 5 5 2 が得られます。一般に、底は問題で最初に与えられた対数のみに依存します。私たちの場合、これは番号 2 です。

そこで、右側の 2 つも実際には対数であるという事実を考慮して、対数方程式を書き直します。我々が得る：

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

スキームの最後のステップである正規形式の削除に進みましょう。単純に丸太の記号を消しているだけだと言えます。ただし、数学的な観点からは、「対数を取り消す」ことは不可能です。単に引数を同一視すると言ったほうが正しいでしょう。

1 + 3 log 2 x = 4

ここから、3 log 2 x を簡単に見つけることができます。

3 log 2 x = 3

対数 2 x = 1

最も単純な対数方程式が再び得られました。これを正準形式に戻しましょう。これを行うには、次の変更を加える必要があります。

1 = 対数 2 2 1 = 対数 2 2

なぜ根元に2つあるのでしょうか？左側の正準方程式には正確に底 2 までの対数があるためです。この事実を考慮して問題を書き直します。

log 2 x = log 2 2

ここでも対数符号を取り除きます。つまり、単に引数を等価にします。ベースが同じであり、右側でも左側でもそれ以上の追加アクションは実行されないため、これを行う権利があります。

それだけです！問題は解決された。対数方程式の解を見つけました。

注記！変数 x が引数に現れますが (つまり、定義領域に要件があります)、追加の要件は設けません。

上で述べたように、変数が 1 つの対数のみの 1 つの引数にのみ出現する場合、このチェックは冗長です。この場合、x は実際には引数内にのみ、また 1 つの対数記号の下にのみ出現します。したがって、追加のチェックは必要ありません。

ただし、この方法が信頼できない場合でも、x = 2 が実際にルートであることを簡単に検証できます。この数値を元の式に代入するだけで十分です。

2 番目の方程式に移りましょう。これはもう少し興味深いものです。

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

大きな対数内の式を関数 f (x) で表すと、今日のビデオレッスンを開始した最も単純な対数方程式が得られます。したがって、標準形式を適用できます。この形式では単位を log 2 2 1 = log 2 2 の形式で表す必要があります。

大きな方程式を書き直してみましょう。

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

引数を等価にして、対数の符号から離れましょう。左でも右でもベースは同じなので、私たちにはこれを行う権利があります。さらに、log 2 4 = 2 であることに注意してください。

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

再び、log a f (x) = b という形式の最も単純な対数方程式が目の前にあります。正規形式に移りましょう。つまり、log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1 の形式でゼロを表します。

方程式を書き換えて対数記号を取り除き、引数を等価にします。

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

繰り返しますが、すぐに回答を受け取りました。元の式には引数として関数が含まれる対数が 1 つだけであるため、追加のチェックは必要ありません。

したがって、追加のチェックは必要ありません。 x = 1 がこの方程式の唯一の根であると言っても過言ではありません。

しかし、第 2 対数に 4 ではなく x の関数がある場合 (または 2x が引数ではなく底にある場合)、定義領域をチェックする必要があります。そうしないと、余分な根に遭遇する可能性が高くなります。

この余分な根はどこから来るのでしょうか？この点はしっかりと理解しておかなければなりません。元の方程式を見てください。関数 x が対数記号の下にあるすべての箇所です。したがって、log 2 x を書き留めたので、要件 x > 0 が自動的に設定されます。そうでない場合、このエントリは単に意味がありません。

ただし、対数方程式を解くと、すべての対数符号が取り除かれ、単純な構造が得られます。ここにはもう制限はありません。一次関数 x の任意の値に対して定義されます。

最終関数はどこでも常に定義されるが、元の関数はどこでも常に定義されないというこの問題が、対数方程式を解く際に余分な根が頻繁に発生する理由です。

しかし、もう一度繰り返しますが、これは関数が複数の対数にある、またはそれらの 1 つの底にある状況でのみ発生します。本日検討している問題では、定義領域を拡大することは原則として問題ありません。

根拠が異なるケース

このレッスンでは、より複雑な構造について説明します。現在の方程式の対数はすぐには解けなくなり、最初にいくつかの変換を行う必要があります。

互いに正確なべき乗ではない、まったく異なる底を持つ対数方程式を解き始めます。このような問題を恐れる必要はありません。これらの問題は、上で説明した最も単純な設計と同じように解決が難しいものではありません。

しかし、問題に直接移る前に、正準形式を使用して最も単純な対数方程式を解く公式を思い出してください。次のような問題を考えてみましょう。

log a f (x) = b

関数 f (x) は単なる関数であり、数値 a と b の役割は数値 (変数 x なし) であることが重要です。もちろん、文字通り、変数 a と b の代わりに関数がある場合をすぐに見ていきますが、それは今の話ではありません。

覚えているように、数値 b は、左側にある同じ底 a の対数に置き換える必要があります。これは非常に簡単に行われます。

b = ログ a a b

もちろん、「任意の数ｂ」および「任意の数ａ」という言葉は、定義の範囲を満たす値を意味する。特に、この式では私たちが話しているのは基数 a > 0 および a ≠ 1 のみ。

ただし、元の問題には a を底とする対数がすでに含まれているため、この要件は自動的に満たされます。これは確実に 0 より大きく、1 に等しくありません。したがって、対数方程式を解き続けます。

log a f (x) = log a a b

このような表記法を標準形式と呼びます。その便利さは、引数を等価にすることでログ記号をすぐに取り除くことができるという事実にあります。

f (x) = a b

この手法を使用して対数方程式を解くことにします。変数ベース。じゃ、行こう！

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0.5 0.125

次は何ですか？誰かが、正しい対数を計算する必要がある、またはそれらを同じ底に減らす必要がある、または他の何かを言う必要があると言うでしょう。そして実際、今度は両方の塩基を同じ形式 (2 または 0.5) にする必要があります。ただし、次のルールを最後に学びましょう。

対数方程式に次の値が含まれる場合、小数、これらの分数は必ず 10 進表記から通常の表記に変換してください。この変換により、ソリューションが大幅に簡素化されます。

このような遷移は、アクションや変換を実行する前であっても、直ちに実行する必要があります。見てみましょう:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8

このような記録は私たちに何をもたらすのでしょうか？ 1/2 と 1/8 は、負の指数を持つ累乗として表すことができます。

[写真のキャプション]

私たちの前にあるのは正規形です。引数を等しくすると、古典的な二次方程式が得られます。

× 2 + 4x + 11 = 8

× 2 + 4x + 3 = 0

私たちの前には次の二次方程式があり、これはビエタの公式を使用して簡単に解くことができます。高校では、同様の表示が文字通り口頭で行われるはずです。

(x + 3)(x + 1) = 0

× 1 = −3

× 2 = −1

それだけです！元の対数方程式が解けました。根が２本出てきました。

この場合、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在するため、定義域を決定する必要がないことを思い出してください。したがって、スコープの定義は自動的に行われます。

したがって、最初の方程式は解けます。 2 番目に進みましょう。

log 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

ここで、最初の対数の引数は、負の指数をもつべき乗として書くこともできることに注意してください: 1/2 = 2 −1。次に、方程式の両辺の累乗を取り出し、すべてを −1 で割ります。

[写真のキャプション]

そして今、私たちは非常に大きなことを達成しました重要なステップ対数方程式を解くとき。おそらく誰かが何かに気づいていないので、説明しましょう。

方程式を見てください。左側と右側の両方に対数符号がありますが、左側には底 2 の対数があり、右側には底 3 の対数があります。3 は整数乗ではありません。 2 であり、逆に、2 を整数度で 3 と書くことはできません。

したがって、これらは底が異なる対数であり、単にべき乗を加算するだけでは互いに約分できません。このような問題を解決する唯一の方法は、これらの対数の 1 つを取り除くことです。この場合、まだ検討中ですので、単純な作業、右側の対数が単純に計算され、最も単純な方程式が得られました。これは、まさに今日のレッスンの最初に説明したものです。

右側にある数値 2 を log 2 2 2 = log 2 4 として表しましょう。そして、対数記号を取り除くと、単純に 2 次方程式が残ります。

log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

私たちの前には通常の二次方程式がありますが、x 2 の係数が 1 と異なるため、これは約分されません。したがって、判別式を使用してそれを解決します。

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

それだけです！両方の根が見つかりました。これは、元の対数方程式の解が得られたことを意味します。実際、元の問題では、変数 x を持つ関数は 1 つの引数にのみ存在します。したがって、定義領域に対する追加のチェックは必要ありません。私たちが見つけた両方のルートは、考えられるすべての制限を確実に満たしています。

今日のビデオレッスンはこれで終わりかもしれませんが、最後にもう一度言いたいのは、対数方程式を解くときは、すべての小数を必ず普通の分数に変換してください。ほとんどの場合、これによりソリューションが大幅に簡素化されます。

ごくまれに、小数部を削除しても計算が複雑になるだけの問題に遭遇することがあります。ただし、そのような方程式では、原則として、小数を取り除く必要がないことは最初から明らかです。

その他のほとんどの場合 (特に対数方程式を解く練習を始めたばかりの場合)、自由に小数点を削除して通常の小数点に変換してください。なぜなら、実践すると、この方法でその後の解決策と計算が大幅に簡素化されることがわかるからです。

解決策の微妙な点とコツ

今日はより複雑な問題に移り、数値ではなく関数に基づく対数方程式を解きます。

そして、たとえこの関数が線形であっても、解法スキームに小さな変更を加える必要があります。その意味は結局、対数の定義領域に課せられる追加の要件に帰着します。

複雑なタスク

このチュートリアルはかなり長くなります。その中で、多くの生徒が間違える、かなり深刻な 2 つの対数方程式を分析します。数学の家庭教師として働いている間、私は常に 2 種類の間違いに遭遇しました。

対数の定義領域の拡張による余分な根の出現。このような不快な間違いを避けるために、各変換を注意深く監視してください。
学生がいくつかの「微妙な」ケースを考慮するのを忘れたという事実によるルーツの喪失 - これらが今日私たちが焦点を当てる状況です。

これ最後の授業、対数方程式専用。長くなりますので、複雑な対数方程式を解析していきます。快適になって、お茶を淹れて、さあ始めましょう。

最初の方程式は非常に標準的なものに見えます。

log x + 1 (x − 0.5) = log x − 0.5 (x + 1)

両方の対数が互いの反転コピーであることにすぐに注目してください。素晴らしい公式を思い出してみましょう。

log a b = 1/log b a

ただし、この式には、数値 a と b の代わりに変数 x の関数がある場合に生じるいくつかの制限があります。

b > 0

1 ≠ a > 0

これらの要件は対数の底に適用されます。一方、分数では、変数 a が対数の引数に含まれるだけでなく (したがって a > 0)、対数自体が分数の分母に含まれるため、1 ≠ a > 0 である必要があります。。ただし、log b 1 = 0 であり、分母はゼロ以外でなければならないため、a ≠ 1 となります。

したがって、変数 a に対する制限は残ります。しかし、変数 b はどうなるでしょうか? 一方では、底は b > 0 を意味し、他方では、対数の底は 1 とは異なる必要があるため、変数 b ≠ 1 を意味します。合計すると、式の右側から、1 ≠ ということがわかります。 b > 0。

しかし、ここに問題があります。左対数を扱う最初の不等式には、2 番目の要件 (b ≠ 1) が欠落しています。言い換えれば、この変換を実行するときは、次のようにする必要があります。 別途確認してください、引数 b は 1 とは異なります。

それでは、確認してみましょう。式を適用してみましょう。

[写真のキャプション]

1 ≠ x − 0.5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

したがって、元の対数方程式から、a と b の両方が 0 より大きく、1 に等しくない必要があることがわかりました。これは、対数方程式を簡単に反転できることを意味します。

新しい変数を導入することをお勧めします。

log x + 1 (x − 0.5) = t

この場合、構築は次のように書き換えられます。

(t 2 − 1)/t = 0

分子には二乗の差があることに注意してください。省略された乗算公式を使用して平方の差を明らかにします。

(t − 1)(t + 1)/t = 0

分数は、分子がゼロで分母がゼロ以外の場合、ゼロに等しくなります。ただし、分子には積が含まれるため、各因数をゼロとみなします。

t 1 = 1;

t 2 = −1;

t≠0。

ご覧のとおり、変数 t の両方の値が適切です。ただし、t ではなく x の値を見つける必要があるため、解決策はそこで終わりません。対数に戻ると次のようになります。

log x + 1 (x − 0.5) = 1;

log x + 1 (x − 0.5) = −1。

これらの各方程式を標準形式に置き換えてみましょう。

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x − 0.5) = log x + 1 (x + 1) −1

最初のケースでは対数符号を取り除き、引数を同等にします。

x − 0.5 = x + 1;

x − x = 1 + 0.5;

このような方程式には根がありません。したがって、最初の対数方程式にも根がありません。しかし、2 番目の方程式を使用すると、すべてがはるかに興味深いものになります。

(x − 0.5)/1 = 1/(x + 1)

比率を解くと、次のようになります。

(x − 0.5)(x + 1) = 1

対数方程式を解くときは、すべての小数を通常の小数として使用する方がはるかに便利であることを思い出してください。そのため、方程式を次のように書き換えましょう。

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0。

以下の二次方程式が目の前にありますが、これは Vieta の公式を使用して簡単に解くことができます。

(x + 3/2) (x − 1) = 0;

x 1 = −1.5;

× 2 = 1。

2 つの根が得られました。これらは元の対数方程式を解くための候補です。実際にどのような根が答えに含まれるのかを理解するために、元の問題に戻りましょう。ここで、それぞれのルートをチェックして、定義の範囲内に収まるかどうかを確認します。

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > −1。

これらの要件は二重不等式に相当します。

1 ≠ x > 0.5

ここから、根 x = −1.5 は適切ではありませんが、x = 1 は非常に適切であることがすぐにわかります。したがって、x = 1 が対数方程式の最終的な解になります。

2 番目のタスクに進みましょう。

対数 x 25 + 対数 125 x 5 = 対数 25 x 625

一見すると、すべての対数には異なる底と異なる引数があるように見えるかもしれません。このような構造物はどうすればよいでしょうか? まず、25、5、625 という数字は 5 の累乗であることに注意してください。

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

次に、対数の素晴らしい性質を利用してみましょう。重要なのは、引数から因数の形式でべき乗を抽出できるということです。

log a b n = n ∙ log a b

この変換は、b を関数に置き換える場合にも制限を受けます。しかし、私たちにとって、b は単なる数字であり、追加の制限は発生しません。方程式を書き直してみましょう。

2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5

対数符号を含む 3 つの項を含む方程式が得られました。さらに、3 つの対数の引数はすべて等しい。

対数を反転して同じ底の 5 にします。変数 b は定数であるため、定義領域の変更は発生しません。ただ書き直すだけです:

[写真のキャプション]

予想通り、分母には同じ対数が現れました。変数を置き換えることをお勧めします。

log 5 x = t

この場合、方程式は次のように書き換えられます。

分子を書き出して括弧を開けてみましょう。

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

分数に戻りましょう。分子はゼロでなければなりません。

[写真のキャプション]

そして、分母はゼロとは異なります。

t≠0; t ≠ −3; t ≠ −2

最後の要件はすべて整数に「結び付けられ」、すべての答えが非合理的であるため、自動的に満たされます。

それで、分数有理方程式解決すると、変数 t の値が見つかります。対数方程式の解き方に戻って、t が何であるかを思い出してみましょう。

[写真のキャプション]

この方程式を正準形式に還元し、無理次数をもつ数値を取得します。混乱しないでください。このような議論さえも同等視することができます。

[写真のキャプション]

根が２本出てきました。より正確には、2 つの候補の答え - それらが定義の領域に準拠しているかどうかを確認してみましょう。対数の底は変数 x であるため、次のことが必要です。

1 ≠ x > 0;

同じ成功で、x ≠ 1/125 であると主張します。そうでない場合、2 番目の対数の底は 1 になります。最後に、第 3 対数の x ≠ 1/25 です。

合計 4 つの制限がありました。

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; ×≠1/25

ここで問題は、私たちの根がこれらの要件を満たしているかどうかです。もちろん満足です！ 5 の任意のべき乗はゼロより大きく、要件 x > 0 が自動的に満たされるためです。

一方、1 = 5 0、1/25 = 5 −2、1/125 = 5 −3 は、ルートに対するこれらの制限 (念のために言いますが、指数に無理数があります) を意味します。も満足されており、どちらの答えも問題の解決策です。

それで、最終的な答えが得られました。キーポイントこの問題には 2 つあります。

引数と底が入れ替わるときに対数を反転するときは注意してください。このような変換は、定義の範囲に不必要な制限を課します。
対数を変換することを恐れないでください。対数をひっくり返すだけでなく、和の公式を使用して対数を開き、通常は、解くときに学習した公式を使用して対数を変更することもできます。対数表現。ただし、常に覚えておいてください。一部の変換は定義の範囲を拡大し、一部の変換は定義の範囲を狭めます。

私たちは皆方程式に精通していますプライマリークラス。そこで私たちは、最も単純な例を解く方法も学びました。そして、それらが次のような場合にも応用できることを認めなければなりません。高等数学。二次方程式を含む方程式を使えば、すべてが簡単になります。このトピックに関して問題がある場合は、再検討することを強くお勧めします。

おそらく対数もすでに経験しているでしょう。しかし、まだ知らない人にそれが何であるかを伝えることが重要であると考えています。対数は、対数記号の右側の数値を取得するために底を累乗する必要があると同等です。すべてが明らかになる例を示しましょう。

3 を 4 乗すると 81 になります。次に、類推によって数値を代入すると、最終的に対数の解き方を理解できるようになります。あとは、これまで説明してきた 2 つの概念を組み合わせるだけです。一見、状況は非常に複雑に見えますが、詳しく調べてみると重要な点が分かります。この短い記事を読めば、統一州試験のこの部分で問題がなくなることは間違いありません。

今日、そのような構造を解決する方法はたくさんあります。統一国家試験のタスクの場合に、最も単純で、最も効果的で、最も応用可能なものについて説明します。対数方程式を解くには、最初から始めなければなりません。簡単な例。最も単純な対数方程式は、関数とその中の 1 つの変数で構成されます。

x が引数の中にあることに注意することが重要です。 A と b は数値でなければなりません。この場合、関数を数値のべき乗で単純に表現できます。こんな感じです。

もちろん、この方法で対数方程式を解けば正解が導き出されます。この場合、大多数の学生にとっての問題は、何がどこから来るのかを理解していないことです。その結果、ミスを我慢しなければならず、望むポイントを獲得できません。最も不快な間違いは、文字を取り違えることです。この方程式を解くには、この標準的な学校公式を理解するのが難しいため、暗記する必要があります。

これを簡単にするために、別の方法、つまり正規形式を使用することができます。考え方は非常にシンプルです。問題に注意を戻してください。文字 a は関数や変数ではなく、数値であることに注意してください。 A は 1 ではなく、0 より大きくなります。 bについては制限はありません。さて、数ある公式のうち、1 つだけ覚えておきましょう。 Bは次のように表すことができます。

このことから、対数を含むすべての元の方程式は次の形式で表すことができることがわかります。

これで対数を削除できるようになりました。それはうまくいきますシンプルなデザイン、これはすでに前に見ました。

この公式の便利さは、最も単純な設計だけでなく、さまざまな場合に使用できるという事実にあります。

OOFのことは心配しないでください！

多くの経験豊富な数学者は、私たちが定義の領域に注意を払っていないことに気づくでしょう。ルールは要約すると、F(x) は必ず 0 より大きいという事実になります。いいえ、この点を見逃したわけではありません。ここで、正規形式のもう 1 つの重大な利点について話します。

ここには余分な根はありません。変数が 1 か所のみに出現する場合、スコープは必要ありません。それは自動的に行われます。この判断を検証するには、いくつかの簡単な例を解いてみてください。

底が異なる対数方程式を解く方法

これらはすでに複雑な対数方程式であり、それを解くアプローチは特別なものでなければなりません。ここでは、悪名高い正規形式に限定することはほとんど不可能です。始めましょう詳しい話。弊社では以下のような施工を行っております。

端数に注意してください。対数が含まれています。タスクでこれを見た場合は、興味深いトリックを 1 つ覚えておく価値があります。

それはどういう意味ですか？各対数は、便利な底を使用した 2 つの対数の商として表すことができます。そして、この式には、この例に適用できる特殊なケースがあります (c=b の場合を意味します)。

これはまさにこの例で見られる部分です。したがって。

基本的に、分数を逆にして、より便利な式が得られました。このアルゴリズムを覚えておいてください。

ここで、対数方程式には次のものが含まれていないことが必要です。さまざまな理由。底を分数で表しましょう。

数学には、基数から学位を導き出すための規則があります。以下の施工実績です。

私たちの表現を標準的な形式に変換し、それを初歩的な方法で解決することを妨げているものは何でしょうか? そんなに単純ではありません。対数の前に分数があってはなりません。この状況を解決しましょう！分数は度数として使用できます。

それぞれ。

底が同じ場合は、対数を削除して式自体を同等とみなすことができます。このようにして、状況は以前よりもはるかに単純になります。残ります初等方程式、私たち一人一人は、中学 2 年生、さらには 7 年生のときに解き方を知っていました。計算は自分で行うことができます。

この対数方程式の唯一の真の根が得られました。対数方程式を解く例は非常に簡単ですよね。これで、統一州試験の準備と合格のための最も複雑なタスクにも独自に対処できるようになります。

結果はどうなりましたか?

対数方程式の場合は、非常に 1 つの方程式から始めます。重要なルール。表現を最大限に発揮するように行動する必要があるシンプルなビュー。この場合、タスクを正しく解決できるだけでなく、可能な限り最も単純かつ論理的な方法で解決できる可能性が高くなります。これはまさに数学者が常に行う方法です。

特にこの場合、難しいパスを探すことは強くお勧めしません。いくつか覚えておいてください簡単なルールを使用すると、あらゆる式を変換できるようになります。たとえば、2 つまたは 3 つの対数を同じ底に減らすか、底からべき乗を導出し、これに基づいて勝ちます。

対数方程式を解くには継続的な練習が必要であることも覚えておく価値があります。徐々に、より複雑な構造に進み、これにより、統一国家試験のあらゆる種類の問題を自信を持って解決できるようになります。試験に向けて十分な準備をしてください。頑張ってください!

対数方程式。単純なものから複雑なものまで。

注意！
追加もあります
特別セクション 555 の資料。
とても「あまり…」という方へ。
そして「とても…」という人のために）

対数方程式とは何ですか?

これは対数を使った方程式です。びっくりしましたよね？）それでは、はっきりさせておきます。これは、未知数 (x) とそれを含む式を求める方程式です。 対数の内側。そしてそこだけ！大事です。

ここではいくつかの例を示します 対数方程式:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

まあ、わかります... )

注記！ X が付いた最も多様な表現が見つかります。 もっぱら対数内で。突然、方程式のどこかに X が現れた場合外、例えば：

log 2 x = 3+x、

これは方程式になります混合タイプ。このような方程式には、それを解くための明確なルールがありません。今のところは考慮しません。ちなみに、対数の中に次の方程式があります。 数字だけ。例えば：

何と言えばいい？これに出会えたらラッキー！数値の対数は ある数字。それだけです。このような方程式を解くには、対数の性質を知っていれば十分です。特別なルールに関する知識、解決に特化したテクニック 対数方程式、ここでは必要ありません。

それで、 対数方程式とは何ですか- 私たちはそれを理解しました。

対数方程式を解くにはどうすればよいですか?

解決 対数方程式- 事は実際にはそれほど単純ではありません。したがって、私たちのセクションは 4 つです...あらゆる種類の関連トピックに関するかなりの量の知識が必要です。さらに、これらの式には特別な特徴があります。そして、この特徴は対数方程式を解く際の主要な問題と言っても差し支えないほど重要です。この問題については、次のレッスンで詳しく扱います。

今のところは心配しないでください。僕らは正しい道を行くよ 単純なものから複雑なものまで。の上具体的な例。重要なのは、単純なことを深く掘り下げ、リンクをたどることを怠らないことです。リンクをそこに置いたのには理由があります。そうすればすべてがうまくいきます。必然的に。

最も基本的で最も単純な方程式から始めましょう。それらを解決するには、対数の概念を理解することをお勧めしますが、それ以上のことはありません。全く分からない 対数、決断を下す対数方程式 - どういうわけかぎこちなくさえあります...非常に大胆だと思います)。

最も単純な対数方程式。

これらは次の形式の方程式です。

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

解決プロセス 任意の対数方程式対数を含む方程式から対数を持たない方程式への移行にあります。最も単純な方程式では、この遷移は 1 ステップで実行されます。そのため、これらが最も単純です。)

そして、このような対数方程式は驚くほど簡単に解けます。自分で見て。

最初の例を解いてみましょう。

log 3 x = log 3 9

この例を解決するには、ほとんど何も知る必要はありません、そうです...純粋に直感です!) 何が必要ですか特にこの例が気に入らないですか？なんというか…対数が嫌いなんです！右。それで、それらを取り除きましょう。この例をよく見てみると、自然な欲求が湧き出てきます...実に魅力的です。対数をすべて取得して捨てます。そして何が良いかというと、 できるする！数学はそれを可能にします。 対数が消える答えは次のとおりです。

すごいですよね？これはいつでも行うことができます (そしてそうすべきです)。この方法で対数を消去することは、対数方程式と不等式を解く主な方法の 1 つです。数学では、この操作はと呼ばれます 増強。もちろん、そのような清算に関する規則はありますが、それらはほとんどありません。覚えて：

対数が以下の場合、心配することなく対数を消去できます。

a) 同じ数値基礎

c) 左から右への対数は純粋 (係数なし) で、見事に分離されています。

最後の点を明確にさせてください。方程式で次のようにしましょう

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

対数は削除できません。右側の2つはそれを許可しません。係数ですね...例では

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

方程式を強化することも不可能です。左側には孤立対数はありません。そのうちの2つがあります。

つまり、方程式が次のようになり、次のようになった場合にのみ、対数を削除できます。

ログ a (....) = ログ a (....)

括弧内には省略記号があります。 あらゆる表現。シンプルなもの、超複雑なもの、あらゆる種類。何でも。重要なことは、対数を消去した後に残るのは、 より単純な方程式。もちろん、対数を使用しない一次方程式、二次方程式、分数方程式、指数方程式、その他の方程式の解き方をすでに知っていることが前提です。)

これで、2 番目の例を簡単に解決できます。

log 7 (2x-3) = log 7 x

実は心の中で決まっているんです。私たちは強化し、次のことを実現します。

まあ、それは非常に難しいですか？）ご覧のとおり、対数方程式の解の一部は 対数を消去する場合のみ...そして、それらを除いた残りの方程式の解が得られます。些細な事だ。

3 番目の例を解いてみましょう。

log 7 (50x-1) = 2

左に対数があることがわかります。

この対数は、部分対数表現を得るために底を上げなければならない数 (つまり 7) であることを思い出してください。 (50x-1)。

しかし、この数は 2 です。式によると、あれは：

基本的にはこれですべてです。対数 消えた、残るのは無害な方程式です。

この対数方程式を対数の意味のみに基づいて解きました。対数を消去する方がまだ簡単ですか?) 私も同感です。ちなみに、この例は2から対数をとれば消去法で解けます。任意の数値を対数にすることができます。さらに、私たちがそれを必要とする方法。対数方程式と (特に!) 不等式を解く際に非常に役立つテクニックです。

数値から対数を求める方法がわかりません! 大丈夫です。セクション 555 では、この手法について詳しく説明しています。マスターして最大限に活用できます！エラーの数が大幅に減少します。

4 番目の方程式は、(定義上) まったく同様の方法で解かれます。

それでおしまい。

この教訓を要約しましょう。例を使用して、最も単純な対数方程式の解法を調べました。それは非常に重要です。そして、そのような方程式がテストや試験に出てくるからだけではありません。事実は、最も邪悪で複雑な方程式でさえ、必然的に最も単純なものに還元されるということです。

実際には、最も単純な方程式が解決策の最終部分になります。 どれでも方程式。そして、この最後の部分は厳密に理解する必要があります。そしてさらに。このページを必ず最後までお読みください。そこには驚きが…)

今、私たちは自分たちで決めます。言ってみれば、もっと良くなりましょう...）

方程式の根 (または根が複数ある場合はその和) を求めます。

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0.5x-1.5) = 0.25

log 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

答え（もちろん混乱しています）：42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

なんだ、すべてがうまくいくわけではないのか？起こります。心配しないで！セクション 555 では、これらすべての例に対する解決策が明確かつ詳細に説明されています。間違いなくそこでわかります。役立つ実践テクニックも学べます。

全てがうまくいきました！？「残り 1 つ」のすべての例?) おめでとうございます!

苦い真実をあなたに明らかにする時が来ました。これらの例を正しく解決しても、他のすべての対数方程式を正しく解くことが保証されるわけではありません。このような最も単純なものでも。ああ。

実際のところ、対数方程式 (最も基本的なものであっても) の解は次のもので構成されます。 2つの等しい部分。方程式を解き、ODZ を操作します。私たちは方程式自体を解くという 1 つの部分をマスターしました。 そんなに難しくないよ右？

このレッスンでは、DL が解答にまったく影響を及ぼさない例を特別に選択しました。でも、みんなが私みたいに優しいわけじゃないですよね…）

したがって、他の部分をマスターすることが不可欠です。 ODZ。これは対数方程式を解く際の主な問題です。難しいからではありません。この部分は最初の部分よりもさらに簡単です。しかし、人々はODZのことを単に忘れているからです。あるいは彼らは知りません。または両方）。そして彼らは突然降ってきます...

次のレッスンでは、この問題を扱います。そうすれば自信を持って決断できる どれでも単純な対数方程式を使用し、非常に確実なタスクにアプローチします。

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ちなみに、他にも興味深いサイトがいくつかあります。)

例題を解く練習をして自分のレベルを知ることができます。即時検証によるテスト。興味を持って学びましょう!)

関数と導関数について知ることができます。

対数式、解決例。この記事では、対数を解くことに関連する問題を見ていきます。このタスクでは、式の意味を見つけるという質問が行われます。対数の概念は多くのタスクで使用され、その意味を理解することが非常に重要であることに注意してください。統一国家試験に関しては、方程式を解くとき、応用問題、関数の学習に関連するタスクでも対数が使用されます。

対数の意味そのものを理解するために例を示します。