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一次関数は偶数です。関数の基本的なプロパティ

関数の導関数を取得することを学びます。導関数は、関数のグラフ上の特定の点における関数の変化率を特徴付けます。この場合、グラフは直線または曲線のいずれかになります。つまり、導関数は、特定の時点での関数の変化率を特徴付けます。覚えて一般的なルール、それによって導関数が取られ、それからのみ次のステップに進みます。

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最も単純な導関数、たとえば導関数を取得する方法指数方程式、説明された。以下のステップで示される計算は、そこで説明されている方法に基づいています。

関数の導関数を通じて傾き係数を計算する必要がある問題を区別する方法を学びます。問題では、関数の傾きや導関数を見つけることが常に求められるわけではありません。たとえば、点 A(x,y) における関数の変化率を求めるように求められる場合があります。点 A(x,y) における接線の傾きを求めるように求められる場合もあります。どちらの場合も、関数の導関数を取得する必要があります。

与えられた関数の導関数を取得します。ここではグラフを作成する必要はありません。必要なのは関数の方程式だけです。この例では、関数の導関数を取得します。上記の記事で概説した方法に従って導関数を取得します。

派生語:

指定された点の座標を、見つかった導関数に代入して傾きを計算します。関数の導関数は、特定の点での傾きに等しくなります。言い換えれば、f"(x) は任意の点 (x,f(x)) における関数の傾きです。この例では次のようになります。

関数の傾きを求める f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)点A(4,2)で。
関数の導関数:
- f ' (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
この点の「x」座標の値を代入します。
- f ' (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
傾きを求めます。
スロープ関数 f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)点 A(4,2) は 22 に等しくなります。

可能であれば、答えをグラフで確認してください。傾きはすべての点で計算できるわけではないことに注意してください。微分積分を調べます複雑な関数複雑なグラフでは、すべての点で傾きを計算することができず、場合によっては点がグラフ上にまったく存在しないこともあります。可能であれば、グラフ電卓を使用して、指定された関数の傾きが正しいことを確認してください。それ以外の場合は、指定された点でグラフに接線を引き、見つけた傾きの値がグラフに表示されている値と一致するかどうかを考えてください。

接線は、ある点における関数のグラフと同じ傾きを持ちます。特定の点で接線を描くには、X 軸上で左/右に移動し (この例では、右に 22 個の値)、次に Y 軸上で 1 つ上に移動します。点をマークし、それをあなたに与えられたポイント。この例では、座標 (4,2) と (26,3) の点を接続します。

一次関数の定義

一次関数の定義を紹介しましょう

意味

$y=kx+b$ という形式の関数 ($k$ がゼロ以外) は、線形関数と呼ばれます。

一次関数のグラフは直線です。番号 $k$ が呼び出されますスロープ真っ直ぐ。

$b=0$ のとき、線形関数は正比例関数 $y=kx$ と呼ばれます。

図 1 を考えてみましょう。

米。 1. 線の傾きの幾何学的意味

三角形ABCを考えてみましょう。 $ВС=kx_0+b$ であることがわかります。直線 $y=kx+b$ と軸 $Ox$ の交点を見つけてみましょう。

\ \

つまり $AC=x_0+\frac(b)(k)$ となります。これらの辺の比率を求めてみましょう。

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

一方、$\frac(BC)(AC)=tg\angle A$ となります。

したがって、次の結論を導き出すことができます。

結論

幾何学的な意味係数 $k$。直線 $k$ の角度係数は、$Ox$ 軸に対するこの直線の傾斜角の接線に等しい。

一次関数 $f\left(x\right)=kx+b$ とそのグラフの研究

まず、関数 $f\left(x\right)=kx+b$ ($k > 0$) を考えます。

$f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$。したがって、この機能定義領域全体にわたって増加します。極端な点はありません。
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
グラフ（図2）。

米。 2. $k > 0$ の関数 $y=kx+b$ のグラフ。

ここで関数 $f\left(x\right)=kx$ を考えてみましょう。ここで、$k

定義範囲はすべての数値です。
値の範囲はすべて数値です。
$f\left(-x\right)=-kx+b$。この関数は偶数でも奇数でもありません。
$x=0,f\left(0\right)=b$ の場合。 $y=0.0=kx+b の場合、\ x=-\frac(b)(k)$ となります。

座標軸との交点: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ および $\left(0,\ b\right)$

$f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
$f^("")\left(x\right)=k"=0$。したがって、この関数には変曲点がありません。
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
グラフ（図3）。

説明書

グラフが座標原点を通りOX軸と角度αをなす直線の場合（正の半軸OXに対する直線の傾き角）。この行を記述する関数は、y = kx の形式になります。比例係数ｋはｔａｎαに等しい。直線が座標の 2 番目と 4 番目の四半期を通過する場合、k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 と関数が増加するので、座標軸に対してさまざまな方向に配置された直線を表すとします。これは線形関数であり、y = kx + b の形式になります。ここで、変数 x と y は 1 乗であり、k と b は正または負のいずれかになります。負の値またはゼロに等しい。この線は線 y = kx に平行で、軸 |b| で切れています。単位。線が横軸に平行な場合は k = 0、縦軸に平行な場合、方程式は x = const の形式になります。

異なる四半期に位置する 2 つの枝からなり、座標の原点に対して対称な曲線は双曲線です。このチャート逆関係変数 y は x から計算され、方程式 y = k/x で記述されます。ここで、k ≠ 0 は比例係数です。さらに、k > 0 の場合、関数は減少します。もしkなら< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

二次関数の形式は y = ax2 + bx + c です。ここで、a、b、c は定数であり、a  0 です。条件 b = c = 0 が満たされる場合、関数の方程式は y = ax2 (最も単純なケース)、そのグラフは原点を通過する放物線です。関数 y = ax2 + bx + c のグラフは、関数の最も単純な場合と同じ形状ですが、その頂点 (OY 軸との交点) は原点にありません。

グラフも放物線ですべき乗関数、n が任意の場合、方程式 y = xⁿ で表されます。偶数。 n が任意の場合奇数、このようなべき乗関数のグラフは、三次放物線のように見えます。
n が any の場合、関数方程式は次の形式になります。奇数 n の関数のグラフは双曲線になり、偶数 n の場合、その分岐は op 軸に関して対称になります。

また、学生時代関数が詳細に研究され、グラフが作成されます。しかし、残念ながら、関数のグラフを読んで、提示された図からその型を見つける方法は実際には教えられていません。基本的な関数の種類を覚えていれば、実際には非常に簡単です。

説明書

提示されたグラフが、座標の原点を通り、OX 軸との角度 α (正の半軸に対する直線の傾斜角) である場合、そのような直線を記述する関数は次のようになります。 y = kx として表されます。この場合、比例係数ｋは角度αの正接に等しい。

指定された直線が 2 番目と 4 番目の座標の四分の一を通過する場合、k は 0 に等しく、関数は増加します。提示されたグラフを、座標軸に対して任意の方法で配置された直線とする。次に、そのような機能 グラフィックアートは線形となり、y = kx + b の形式で表されます。変数 y と x が最初にあり、b と k は負の値と負の値の両方を取ることができます。正の値または。

線がグラフ y = kx の線に平行で、縦軸で b 単位を切り取る場合、方程式は x = const の形式になります。グラフが横軸に平行な場合、k = 0 になります。

原点に対して対称で、異なる四分率に位置する 2 つの枝からなる曲線は双曲線です。このようなグラフは、変数 x に対する変数 y の逆依存性を示し、y = k/x の形式の方程式で記述されます。ここで、k は次のとおりであってはなりません。ゼロに等しい、係数なので反比例。さらに、k の値がゼロより大きい場合、関数は減少します。 k がゼロより小さい場合、k は増加します。

提案されたグラフが原点を通過する放物線である場合、その関数は b = c = 0 という条件に従い、y = ax2 の形式になります。これは最も単純なケースです二次関数。 y = ax2 + bx + c という形式の関数のグラフは、最も単純な場合と同じ形式になりますが、頂点 (グラフが縦軸と交差する点) は原点にありません。 y = ax2 + bx + c の形式で表される二次関数では、a、b、c の値は定数ですが、a は 0 に等しくありません。

放物線は、n が偶数の場合に限り、y = xⁿ の形の方程式で表されるべき乗関数のグラフであることもあります。 n の値が奇数の場合、このようなべき乗関数のグラフは 3 次放物線で表されます。変数nが任意の場合負の数、関数の方程式は次の形式になります。

トピックに関するビデオ

平面上のあらゆる点の座標は、横軸と縦軸の 2 つの量によって決まります。このような多くの点の集合が関数のグラフを表します。これにより、X 値の変化に応じて Y 値がどのように変化するかがわかり、どの区間 (区間) で関数が増加し、どの区間で関数が減少するかを判断することもできます。

説明書

グラフが直線である場合、関数について何が言えるでしょうか? この線が座標の原点 (つまり、X と Y の値が 0 に等しい点) を通過するかどうかを確認します。合格した場合、そのような関数は方程式 y = kx で記述されます。 k の値が大きいほど、この直線は縦軸に近くなることが容易に理解できます。そして、Y 軸自体は実際には無限に対応します非常に重要な k.

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1) 機能ドメインと機能範囲.

関数のドメインは、すべての有効な引数値のセットです。バツ（変数バツ)、その関数 y = f(x)決定した。関数の範囲はすべての実数値のセットです y、関数はそれを受け入れます。

初等数学では、関数は実数の集合についてのみ研究されます。

2) 関数ゼロ.

関数ゼロは、関数の値がゼロに等しくなる引数の値です。

3) 関数の定数符号の区間.

関数の定数符号の区間は、関数値が正のみまたは負のみとなる引数値のセットです。

4) 関数の単調性.

(一定の間隔で) 増加する関数とは、次のような関数です。より高い値この区間の引数は、関数のより大きな値に対応します。

(特定の区間における) 減少関数は、この区間からの引数のより大きな値が関数のより小さな値に対応する関数です。

5) 偶数（奇数）関数.

偶数関数とは、定義域が原点に対して対称であり、任意の関数です。バツ定義領域からの等価性 f(-x) = f(x)。偶関数のグラフは縦軸に対して対称です。

奇関数とは、定義域が原点に対して対称であり、任意の関数です。バツ定義領域から等価性は真です f(-x) = - f(x）。スケジュール奇関数原点に対して対称です。

6) 制限された機能と無制限の機能.

|f(x)| のような正の数 M がある場合、関数は有界と呼ばれます。 x のすべての値について ≤ M。そのような数が存在しない場合、機能は無制限になります。

7) 関数の周期性.

関数 f(x) は、関数の定義領域からの任意の x に対して、f(x+T) = f(x) が成り立つようなゼロ以外の数 T が存在する場合、周期的です。この最小の数は関数の周期と呼ばれます。全て三角関数定期的です。 (三角関数の公式)。

19. 基本的な初等関数、そのプロパティとグラフ。経済学における関数の応用。

基本的な初等関数。それらの特性とグラフ

1. 線形関数。

一次関数 はの形式の関数と呼ばれます。ここで、x は変数、a と b は実数です。

番号あ線の傾きと呼ばれるこの値は、x 軸の正の方向に対するこの線の傾斜角の正接に等しくなります。一次関数のグラフは直線です。それは2つの点で定義されます。

一次関数の性質

1. 定義領域 - すべての実数の集合: D(y)=R

2. 値のセットはすべての実数のセットです: E(y)=R

3. or の場合、関数はゼロ値をとります。

4. 関数は定義領域全体にわたって増加 (減少) します。

5. 一次関数定義領域全体にわたって連続的であり、微分可能であり、です。

2. 二次関数。

次の形式の関数 (x は変数、係数 a、b、c は実数) と呼ばれます。 二次関数

一次関数は偶数です。 関数の基本的なプロパティ