入り口「自然数の割り切れる兆候」というテーマに関する研究活動。 整数。 自然数の割り算
可分性関係。 自然数aを自然数bで割った余りが0のとき、aはbで割り切れるといいます。 この場合、a は b の倍数、b は a の約数と呼ばれます。
指定a:b
(a,bN) (a:b)(cN) (a=bc) という記号で記録します。
素数。 自然数は、それ自体と 1 だけで割り切れる場合、つまり約数が 2 つしかない場合、素数と呼ばれます。
合成数。 自然数が 2 つ以上の約数を持つ場合、その自然数は合成と呼ばれます。
- 1 は素数でも合成数でもありません。それは、約数が 1 つだけ、つまりそれ自体しかないからです。
- 2 は唯一の偶数の素数です。
可算関係のプロパティ:
- 1. a が b で割り切れる場合、a?b になります。
- 2. 反射性、つまり すべての自然数はそれ自体で割り切れます。
- 3. 反対称、つまり 2 つの数値が等しくなく、最初の数値が 2 番目の数値で割り切れる場合、2 番目の数値は最初の数値で割り切れません。
- 4. 推移性、つまり 最初の数値が 2 番目の数値で割り切れ、2 番目の数値が 3 番目の数値で割り切れる場合、最初の数値は 3 番目の数値で割り切れます。
N による割り算関係は、部分的な非厳密な順序関係です。 順序は部分的です。 こんなに違うペアがあるんだ 自然数、どちらも他方で割り切れるものではありません。
合計が数値で割り切れることを示す記号。 和の各項が数値で割り切れる場合、合計全体がこの数値で除算されます (和を数値で割り切れるためには、各項がこの数値で割り切れるだけで十分です)。 この機能は必要ありません。つまり、 各項が数値で割り切れない場合は、全体の合計をその数値で割ることができます。
差が数値で割り切れるかどうかをテストします。 被減数と減数が数値で除算され、被減数が減数より大きい場合、差はこの数値で除算されます (差が数値で割り切れるためには、被減数と減数が次の条件を満たすだけで十分です)この差が正の場合、をこの数値で割ります)。 この機能は必要ありません。つまり、 被減数と減数は数値で割り切れない場合がありますが、その差はこの数値で割り切れる可能性があります。
和が数字で割り切れないことを示す記号。 和の 1 つを除くすべての項が数値で割り切れる場合、和はその数値で割り切れません。
積が数値で割り切れるかどうかのテスト。 積の少なくとも 1 つの因子が数値で割り切れる場合、その積はその数値で除算されます (積が数値で割り切れるためには、積の 1 つの因子がこの数値で割り切れるだけで十分です)。 。 この機能は必要ありません。つまり、 積のどの因数も数値で割り切れない場合は、その積をその数値で割ることができます。
作品が製品に分割可能であることの兆候。 数値 a が数値 b で割り切れる場合、数値 c は数値 d で除算され、数値 a と数値 c の積は数値 b と数値 d の積で除算されます。 この属性は必要ありません。
自然数が 2 で割り切れるかどうかをテストします。自然数が 2 で割り切れるためには、この数値の 10 進表記が 0、2、4、6、または 8 のいずれかの数字で終わることが必要かつ十分です。
自然数が 5 で割り切れるかどうかをテストします。自然数が 5 で割り切れるためには、この数値の 10 進表記が 0 または 5 で終わることが必要かつ十分です。
自然数が 4 で割り切れるかどうかのテスト。自然数が 4 で割り切れるためには、この数の 10 進表記が 00 またはこの数値形式の 10 進表記の最後の 2 桁で終わることが必要かつ十分です。 2桁の数字、4の倍数。
自然数が 3 で割り切れるかどうかをテストします。自然数が 3 で割り切れるためには、この数値の 10 進表記のすべての桁の合計が 3 で割り切れる必要があります。
自然数が 9 で割り切れるかどうかをテストします。自然数が 9 で割り切れるためには、この数値の 10 進表記のすべての桁の合計が 9 で割り切れるだけで十分です。
自然数 a と b の公約数は、それぞれの数の約数となる自然数です。
自然数 a と b の最大公約数は、これらの数のすべての公約数のうち最大の自然数です。
指定 GCD (a、b)
GCD の特性 (a、b):
- 1. 常に 1 つだけです。
- 2. a と b の小さい方を超えない。
- 3. a と b の公約数で割り切れます。
自然数 a と b の公倍数は、これらのそれぞれの数の倍数である自然数です。
自然数 a と b の最小公倍数は、これらの数のすべての公倍数の最小の自然数です。
指定 NOC (a、b)
NOC の特性 (a、b):
- 1. 常に一つだけのものがある。
- 2. a と b の大きい方以上。
- 3. a と b の公倍数は、それで割り切れます。
互いに素数。 自然数 a と b は、1 以外に公約数がない場合、つまり、互いに素であると呼ばれます。 GCD (a, b) = 1。
合成数の割り算テスト。 自然数 a が素数 m と n の積で割り切れるためには、数 a がそれらのそれぞれで割り切れる必要があります。
- 1. ある数が 12 で割り切れるには、3 と 4 で割り切れる必要があり、十分です。
- 2. ある数が 18 で割り切れるには、2 と 9 で割り切れるだけで十分です。
数値を素因数に因数分解すると、この数値が素因数の積として表現されます。
算術の基本定理。 任意の合成数は、素因数の積として一意に表現できます。
GCD を求めるアルゴリズム:
与えられた数値に共通する素因数の積を書き留め、各因数をすべての展開に含まれる最小の指数とともに書き留めます。
結果として得られる製品の価値を求めます。 これはこれらの数値の GCD になります。
LOC を見つけるためのアルゴリズム:
各数値を素因数に分割します。
展開からのすべての素因数の積を書き留め、すべての展開に含まれる最大の指数をそれぞれの素因数に書き込みます。
結果として得られる製品の価値を求めます。 これはこれらの数値の最小公倍数になります。
正の有理数の集合
分数。 セグメントを与えてみましょう あと単位セグメント eで構成されます。 n等しいセグメント e.
セグメントの場合 あからなる メートル等しいセグメント e。 その場合、その長さは次のように表すことができます。
シンボルは次のように呼ばれます 分数; うーん、 n- 整数; メートル- 分数の分子、 n- 分数の分母。 n測定単位が何等分されるかを示します。 メートルセグメントにそのようなパーツがいくつ含まれているかを示します ａ．
等しい分数。 1 つの測定単位内で同じセグメントの長さを表す分数を等しいといいます。
分数の等価性の符号。
分数の主なプロパティ。 分数の分子と分母に同じ自然数を乗算または除算すると、指定された分数と等しい分数が得られます。
分数を減らすとは、指定された分数を、分子と分母が小さい、同じ分数の別の分数に置き換えることです。
既約分数とは、分子と分母が互いに素数である分数です。 それらの gcd は 1 に等しい。
分数を共通の分母に減らすとは、指定された分数を、分母が等しい他の分数に置き換えることです。
ポジティブ 有理数- これは、スペルは異なるが互いに等しい無限数の分数です。 このセットの各分数は、この正の有理数を記述する形式です。
等しい正の有理数は、等しい分数として記述できる数です。
正の有理数の合計。 正の有理数の場合 ある b分数で表し、その和をとります と、分数で表されます。
加算の可換性。 項の位置を変更しても、合計の値は変わりません。
加算の組み合わせの性質。 2 つの数値の合計に 3 番目の数値を加算するには、2 番目と 3 番目の数値の合計を最初の数値に加算します。
和の存在とその一意性。 正の有理数が何であっても あるそして bそれらの合計は常に存在し、一意です。
適切な分数は分数です。 分子が分母より小さいもの。
仮分数とは、分子が分母以上である分数のことです。
仮分数は自然数または帯分数として書くことができます。
帯分数は、自然数と固有分数 (通常は加算記号なしで記述されます) の合計です。
Q の「未満」関係。 正の有理数 b正の有理数より小さい ああ、正の有理数がある場合 c、合計すると b与える ある.
「未満」関係のプロパティ。
- 1. 反射防止。 数値自体より小さい数値は存在しません。
- 2. 非対称性。 最初の数値が 2 番目の数値より小さい場合、2 番目の数値を最初の数値より小さくすることはできません。
- 3. 推移性。 最初の数値が 2 番目の数値より小さく、2 番目の数値が 3 番目の数値より小さい場合、最初の数値は 3 番目の数値より小さくなります。
- 4. つながり。 2 つの数値が等しくない場合は、最初の数値が 2 番目の数値より小さいか、2 番目の数値が最初の数値より小さいかのいずれかです。
Q の「未満」関係は、厳密な線形順序の関係です。
正の有理数の差。 正の有理数の差 あるそして bは正の有理数と呼ばれます c、合計すると b与える ある.
差異の存在。 数値の差 あるそして b以下の場合にのみ存在します b少ない ある.
違いがあるとしたら、それしかありません。
正の有理数の積。 正の有理数の場合 ある分数、正の有理数で表される b分数で表される場合、その積は正の有理数になります と、分数で表されます。
作品の存在とその独自性。 正の有理数が何であっても あるそして b彼らの作品は常に存在しており、ユニークです。
乗算の可換性。 因子の位置を変更しても積の価値は変わりません。
乗算の組み合わせの性質。 2 つの数値の積に 3 分の 1 を掛けるには、最初の数値に 2 番目と 3 番目の数値の積を掛けます。
加算に対する乗算の分配特性。 数値の合計を数値で乗算するには、各項にこの数値を乗算し、その結果の積を加算します。
正の有理数の商。 正の有理数の商 あるそして bは正の有理数と呼ばれます c、これを掛けると b与える ある.
プライベートの存在。 正の有理数が何であっても あるそして b、それらの商は常に存在し、一意です。
セット Q とそのプロパティ。
- 1. Q は、「より小さい」関係を使用して線形に順序付けされます。
- 2. Q には最小の数はありません。
- 3. Q には最大の数はありません。
- 4. Q は無限集合です。
- 5. Q はそれ自体が密です。つまり、 2 つの異なる正の有理数には、無限の数の正の有理数が含まれます。
正の有理数を小数として書きます。
小数部は m/n 形式の分数です。ここで、 メートルそして n- 整数。
小数部の種類。 有限、無限、周期的（純粋周期的および混合周期）、非周期的。
最後の小数は分数です。 小数点以下の桁数は有限です。
無限周期小数とは、ある数値を起点として同じ桁を無限に繰り返すことで得られる分数であり、その繰り返しの桁を周期といいます。
純粋周期分数と混合周期分数。 分数の周期が小数点の直後から始まる場合、この分数は純粋に周期的であると呼ばれます。 小数点と周期の先頭の間に複数の桁がある場合、その分数は混合周期と呼ばれます。
定理。 任意の正の有理数は有限数として表すことができます。 10進数、または無限の周期小数。
翻訳 公分数 10進数に変換します。 変換するには、列内の分子を分母で割る必要があります。 除算すると、有限小数または無限周期分数のいずれかが得られます。
最終的な小数を公分数に変換します。 カンマを捨て、結果の数値を分子に書き込み、1 の後に小数点以下の桁数と同じ数のゼロを分母に書き込みます。
純粋に周期的な分数を通常の分数に変換します。 分数のピリオドを分子に書き、分母にピリオドの桁数と同じ数の 9 を書きます。
混合周期分数を公分数に変換します。 分子には、カンマと 2 番目の括弧の間の数値と、カンマと最初の括弧の間の数値の差を書き留めます。 分母には、ピリオドの桁数と同じ数の 9 を書き、その後に小数点と最初の括弧の間の桁数と同じ数の 0 を書きます。
定理。 既約分数を有限小数として書くためには、その分母を素因数に因数分解する際に数値 2 と 5 のみが含まれるだけで十分です。
数値の割り算。 素数と合成数。
自然数の割り算................................................................................ …………………………………… ……………………………… | |
算術の基本定理................................................................................ …………………………………… ……………… | |
割り切れる兆し.................................................... …………………………………… ...................................................................... …… | |
数値の割り算に関する記述................................................................... ...................................................................... .... | |
口頭課題................................................................................ …………………………………… ................................................................................... …… | |
「セミオーラル」タスク................................................................ …………………………………… …………………………………… ................... | |
10 の位が整数になるとき.................................................... ...................................................................... …………………… | |
和の割り算に関する問題:................................................................................ ...................................................................... ………………………… | |
非標準タスク................................................................................ ................................................................... ……………………………… .. | |
教科書の問題................................................................... ................................................................................... ...................................................... | |
比較................................................................................ ...................................................................... ...................................................................... ...... | |
フェルマーの小定理................................................................................ ...................................................................... ................................................................................... | |
整数の方程式を解く.................................................................. …………………………………… ……………… | |
参考文献:................................................................................ . ................................................................... ...................................................... |
ハインリヒ G.N. | FMS No.146、パーマ |
数学教育の目標の 1 つは、数学における州標準の連邦構成要素に反映されており、次のとおりです。 知的発達学生。
トピック: 数値の割り算。 素数と合成数」は、5 年生から始まる子どもたちの数学的能力をより広範囲に伸ばすことができるトピックの 1 つです。 数学、物理学、コンピューター サイエンスを徹底的に研究し、7 年生から指導が行われる学校で働いている当校の数学部門は、5 年生から 7 年生の生徒がこのテーマにもっと精通できるようにすることに関心を持っています。 私たちはこれを、若い数学者学校 (SYUM) の授業や、私が学校の教師と一緒に教える地域の夏の数学キャンプでも実践しようとしています。 5 年生から 11 年生までの生徒が興味を持ちそうな課題を選んでみました。 結局のところ、私たちの学校の生徒は勉強します このトピックプログラムによって。 そして過去 2 年間、学校卒業生は統一州試験 (タイプ C6 の問題) でこのテーマに関する問題に直面しています。 さまざまなケースに応じて、さまざまなボリュームの理論的資料を検討します。
自然数の割り算。
いくつかの定義:
a=bcとなる自然数cが存在するとき、自然数aは自然数bで割り切れるといいます。 同時に彼らは次のように書きます： a b。 その中で
この場合、b は a の約数と呼ばれ、a は b の倍数になります。 約数をもたない自然数を素数と呼びます。
それ自体ともユニットとも違う (例: 2、3、5、7 など)。素数でない場合、その数値は合成と呼ばれます。 このユニットは単純でも複合でもありません。
数 n が素数 p で割り切れるのは、n が分解される素因数の中に p が出現する場合に限ります。
数aとbの最大公約数をといいます。 最大の数 a の約数であり、b の約数でもある は、GCD (a;b) または D (a;b) で表されます。
最小公倍数はと呼ばれます 最小の数 a と b の両方で割り切れる は、LCM (a;b) または K (a;b) で表されます。
数字aとbは呼ばれます 互いに素な、最大公約数が 1 に等しい場合。
ハインリヒ G.N. | FMS No.146、パーマ |
算術の基本定理
すべての自然数 n は、素因数のべき乗の積に一意に拡張できます (因数の次数まで)。
n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m
ここで、p1、p2、…pm は数値 n のさまざまな素約数、k1、k2、…km はこれらの約数の出現度 (多重度) です。
割り切れる兆し
∙ 数値が 2 で割り切れるのは、最後の桁が 2 で割り切れる (つまり、偶数である) 場合に限ります。
∙ 数値が 3 で割り切れるのは、その桁の合計が 3 で割り切れる場合に限ります。
∙ 数値が 4 で割り切れるのは、最後の 2 桁で構成される 2 桁の数値が 4 で割り切れる場合に限ります。
∙ 数値が 5 で割り切れるのは、最後の桁が 5 で割り切れる (つまり、0 または 5 に等しい) 場合に限ります。
∙ 数値が 7 (13 で割り切れる) かどうかを確認するには、その 10 進表記を右から左に 3 桁ずつのグループに分割し (左端のグループには 1 桁または 2 桁を含めることができます)、奇数番目の数値を取得する必要があります。グループにはマイナス記号「」が付き、偶数のグループにはプラス記号が付きます。 結果の式が 7 (13) で割り切れる場合、指定された数値は 7 (13) で割り切れます。
∙ 数値が 8 で割り切れるのは、次の場合に限ります。 3桁の数字は下 3 桁で構成され、8 で割り切れます。
∙ 数値が 9 で割り切れるのは、その桁の合計が 9 で割り切れる場合に限ります。
∙ 数値が 10 で割り切れるのは、最後の桁が 0 の場合に限ります。
∙ 数値が 11 で割り切れるのは、10 進数の偶数桁の合計と 10 進数の奇数桁の合計が 11 で割ったときの余りが等しい場合に限ります。
数値の割り算に関する記述。
∙ a b と b c の場合、 a c 。
∙ a m の場合、ab m。
∙ a m と b m の場合、a+b m
∙ a+.b m と a m の場合、b m
∙ m と k、および m と k が互いに素の場合、mk
∙ ab m と a が m と互いに素である場合、b m
ハインリヒ G.N. | FMS No.146、パーマ |
∙ このテーマの授業では、生徒の年齢、授業の場所や時間に応じて、さまざまな課題を考慮します。 これらの問題は、主に作品の最後に示されている出典から選択しました。これには、前年の若い数学者によるペルミ地方大会の資料や、前年の学童向けロシアオリンピックの第 II ステージと第 III ステージの資料が含まれます。 。
SHYuM1 e の 5 年生、6 年生、7 年生の授業で「数の割り算」というテーマを取り上げるときに、次の問題を使用します。 素数と合成数。 分裂の兆し。」
口頭課題。
1. 15 という数字の左右に 1 桁ずつ足して、15 で割り切れるようにします。
答え: 1155、3150、4155、6150、7155、9150。
2. 数値 10 の左右に 1 桁を追加して、数値が 72 で割り切れるようにします。
答え: 4104。
3. ある数は 6 と 4 で割り切れます。それは 24 で割り切れなければなりませんか?
答え: いいえ、たとえば 12 です。
4. 36 の倍数で、すべての桁が 1 回表現される最大の自然数を見つけます。
答え: 9876543120。
5. 与えられた数値は 645*7235 です。 * を数値に置き換えて、結果の数値が 3 の倍数になるようにします。答え: 1、4、7。
6. 72*3*という数字が与えられています。 * を数値に置き換えて、結果の数値が 45 の倍数になるようにします。回答: 72630、72135。
「半口頭」タスク。
1. 日曜日は一年に何回ありますか?
2. ある月には日曜日が３日ありました 偶数。 今月の7日は何曜日でしたか?
3. 次のように指を数え始めましょう: 最初の指を 親指、2番目 - 人差し指、3番目 - 中、4番目 - 指輪、5番目 - 小指、6番目 - 再び指輪、7番目 - 中、8番目 - 人差し指、9番目 - 親指、10番目 - 人差し指等 どの指になりますか 2000年？
1 SHUM - 若い数学者の学校 - 物理学校の土曜学校 No. 146
ハインリヒ G.N. | FMS No.146、パーマ |
1111...111 は 7 で割り切れる n は何ですか?
1111...111 は 999,999,999 で割り切れる n は何ですか?
6. 分数 b a は約分可能です。 分数 a + − b b は約分できるでしょうか?
7. アンチュリアの国では、1 アンチュル、10 アンチュル、100 アンチュル、1000 アンチュルの額面の紙幣が流通しています。 50万枚の紙幣を使って100万本のアンカーを数えることは可能でしょうか？
8. 最初の桁が、この数値と同じ桁で逆順に書かれた数値の差に等しい 2 桁の数値を見つけます。
1. 1 年は 365 日または 366 日あり、7 日ごとが日曜日です。つまり、365 = 52 × 7 + 1 または 366 = 52 × 7 + 2、日曜日が 1 日の場合は 52 日、または 53 日になります。日。
2. この3つの日曜日は2日、16日、30日でした。 つまり、今月の 7 日は金曜日になります。
3. 数えるときの指の数は8周期で繰り返されます。つまり、2000を8で割った余りを計算すれば十分です。これは0に等しいためです。 人差し指が8番目に来ると、 2000番目は人差し指になります。
7 倍、111111=7 × 15873 となります。与えられた数値のレコードに 6 単位を超える単位がある場合、6 単位ごとの次の剰余は 0 に等しくなります。したがって、次のようになります。
1111...111 という形式の数値は、その量が次の場合にのみ 7 で割り切れます。
数字は 6 で割り切れます。つまり、 n=7×t、ここでtОZ。
同時に。 この数値では、単位の数は 9 の倍数です。ただし、最初と 2 番目の数値 111 111 111 と 111 111 111 111 111 111 は 999 999 999 で割り切れません。また、18 単位の数値は 999 で割り切れます。 999 999。さらに、18 日以降、18 番目の数字はすべて 999,999,999 で除算されます。 n=18× t、ここで tО N。
6. 分数 | a は約分可能です。つまり、 a=bn、ここで nО Z。次に、分数を書き換えます。 | a − b | ||||||
a+b | ||||||||
bn − b | b(n−1) | n − 1 | 分数 a a + − b b であることは明らかです。 | 削減可能。 | ||||
bn + b | b(n+1) | n+1 | ||||||
7. 1 アンチュール額面の紙幣 a、10 アンチュール額面の紙幣 b、100 アンチュール額面の紙幣、1000 アンチュール額面の紙幣 d があるとします。 我々が得る
教育分野：自然科学。
セクション: 「数学」
テーマに関する研究活動:
「自然数の割り切れる兆候」
頭: ラプコ I.V.
数学の先生
導入：
1. 数学の歴史からの事実。
2. 2、3、4、5、6、8、9、10 で割り切れる記号。
3. 自然数が 7、11、12、13、14、19、25.50 で割り切れる記号。
4. 割り算基準を使用して問題を解決する。
6. 使用した文献 (情報源) のリスト。
関連性:学校にいた私たちは皆、割り算のしるしを学びました。この割り算は、今日に至るまで、不必要な時間を無駄にすることなく、さまざまな数字をすばやく正確に割り算するのに役立ちます。 少し前、この話題を思い出して、自然数で割り切れる兆候が他にもあるのではないかと思い始めました。 そして、この考えが私に研究論文を書く動機を与えました。
仮説：自然数が 2、3、5、9、10 で割り切れるかどうかを判断できる場合は、自然数が他の数で割り切れるかどうかを判断できる記号がある可能性が高くなります。
研究対象:自然数の割り算。
研究テーマ:自然数が割り切れる兆候。
目標：学校で勉強した自然数の割り切れる既知の記号を補足します。
タスク:
1. すでに学習した 2、3、5、9、10 で割り切れる記号を定義し、繰り返します。
2. 追加の文献を研究して、自然数の可分性の他の記号の存在について提起された疑問の正しさを確認します。
3. 自然数が 4、6、8、15、25 で割り切れる符号を独立してチェックして取得します。
4. 追加の文献から、自然数が 7、11、12、13、14 で割り切れる兆候を見つけます。
5.結論を出します。
新規性:プロジェクトの過程で、私は自然数の割り切れる記号についての知識を広げました。
研究手法：資料の収集、データ処理、観察、比較、分析、合成。
1. 数学の歴史からの事実
1. 可分性の兆候- 数値があらかじめ決められた倍数であるかどうかを比較的迅速に判断できるアルゴリズム
割り算のテストは、割り算を実行せずに、ある自然数が別の自然数で割り切れるかどうかを判断できる規則です。 可分性の兆候は常に科学者に興味を持っています さまざまな国 2、3、5、9、10 で割り切れる記号は古くから知られています。 2 で割り切れる記号は紀元前 2,000 年前に古代エジプト人に知られており、2、3、5 で割り切れる記号はイタリアの数学者レオナルド ピサヌス (ラテン語 Leonardus Pisanus、イタリア語 Leonardo Pisano、1170 年頃) によって詳細に説明されました。ピサ - 1250 年頃、同上) - 最初の主要な数学者 中世ヨーロッパ。 彼はフィボナッチというニックネームで最もよく知られています。 紀元前 3 世紀に生きたアレクサンドリアの科学者エラトステネスも、かつて同じ問題について考えました。 素数のリストを作成する彼の方法は「エラトステネスの篩」と呼ばれました。 100 までの素数をすべて見つける必要があるとします。100 までのすべての数値を連続して書きましょう。
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
数字の 2 を残して、他のすべての偶数を取り消し線で消します。 2 の後に最初に残る数字は 3 になります。ここで、数字 3 を残して、3 で割り切れる数字に取り消し線を引きます。次に、5 で割り切れる数字に取り消し線を引きます。その結果、すべての合成数が取り消され、素数のみが取り消されます。残ります: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89 , 97. この方法を使用すると、100 を超える素数のリストを作成できます。
数の割り算の問題はピタゴラス学派によって考慮されました。 数論では、彼らは実行しました 大仕事自然数の類型論によると。 ピタゴラス派は彼らをクラスに分けました。 クラスは区別されました: 完全数 (数値) 合計に等しい独自の約数（例: 6=1+2+3）、友好的な数字（それぞれが他方の約数の合計に等しい、たとえば 220 と 284: 284=1+2+4+5+10+） 20+11+22+44 +55+110; 220=1+2+4+71+142)、数字(三角数、平方数)、素数など ブレーズ パスカル (1623-1662) は、数の割り切れる記号の研究への貢献。)。 幼いブレイズは幼い頃から優れた数学的能力を示し、文字が読めるようになる前に数え方を学びました。 一般に、彼の例は、子供時代の数学的天才の典型的な例です。 彼は 24 歳のときに最初の数学論文「円錐曲線の理論の経験」を書きました。 同じ頃、彼は加算機の原型となる機械加算機を設計しました。 で 初期彼の創造的な仕事 (1640 年から 1650 年) の中で、多才な科学者は、任意の整数を他の整数で割り切れる兆候を見つけるためのアルゴリズムを発見し、そこからすべての特定の符号が導き出されます。 その符号は次のとおりです。 自然数 a は、数値 a の各桁と、桁単位を数値 b で除算して得られる対応する剰余との積の和がこれで割り切れる場合にのみ、別の自然数 b で除算されます。番号。
このトピックを学習するときは、約数、倍数、素数、合成数の概念を知る必要があります。自然数 a の約数は、a を余りなしで割る自然数 b です。多くの場合、割り算に関する記述は、 a は b の倍数、b は a の約数、b は a を除算します。素数は、1 とその数値自体の 2 つの約数を持つ自然数です。 たとえば、数字 5、7、19 は素数です。 は 1 とそれ自体で割り切れます。 約数が 3 つ以上ある数を合成数と呼びます。 たとえば、数字 14 には 4 つの約数 (1、2、7、14) があり、これは合成であることを意味します。
2. 割り切れる兆候
自然数の割り算を単純化するために、最初の 10 の数字と 11、25 の数字に分割するための規則が導出され、自然数の割り算の符号に関するセクションにまとめられました。 以下は、別の自然数で除算せずに数値を分析することで質問に答える規則です。自然数は数値 2、3、4、5、6、9、10、11、25 の倍数であり、桁の単位は？
最初の桁が 2,4,6,8,0 で終わる自然数は偶数と呼ばれます。
数値を 2 で割り切れるかどうかのテスト
すべての偶数の自然数は 2 で割り切れます (例: 172、94.67、838、1670)。
たとえば、数値 52,738 は、最後の桁 8 が偶数であるため、2 で割り切れます。 1 は奇数なので、7691 は 2 で割り切れません。 1250 は最後の桁が 0 なので 2 で割り切れます。
数値を 3 で割り切れるかどうかのテスト
桁の合計が 3 で割り切れる自然数はすべて 3 で割り切れます。次に例を示します。
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
例。
数字 52632 は、その桁の合計 (18) が 9 で割り切れるため、9 で割り切れます。
数値を 4 で割り切れるかどうかのテスト
最後の 2 桁が 0 または 4 の倍数であるすべての自然数は 4 で割り切れます。
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
例。
31,700 は 2 つのゼロで終わるため、4 で割り切れます。
215,634 は 4 で割り切れません。最後の 2 桁の数字が 34 であり、4 で割り切れないからです。
16608 は 4 で割り切れます。08 の最後の 2 桁が 8 を表し、4 で割り切れるからです。
数値を 5 で割り切れるかどうかのテスト
数値を 6 で割り切れるかどうかのテスト
2 と 3 で同時に割り切れる自然数は、6 で割り切れます (3 で割り切れるすべての偶数)。 例: 126 (b - 偶数、1 + 2 + 6 = 9、9: 3 = 3)。
数値を 8 で割り切れるかどうかのテスト
3 つのゼロで終わる数値、または最後の 3 桁が 8 で割り切れる数値を表す数値のみが、8 で割り切れます。
853,000 という数字は 3 つのゼロで終わり、8 で割り切れることを意味します。
864 の下 3 桁で構成される数値は 8 で割り切れるため、381,864 という数値は 8 で割り切れます。
等数字の 9 で割り切れる記号
桁の合計が 9 の倍数である自然数は、9 で割り切れます。次に例を示します。
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
例。
数字 17835 は、3 で割り切れますが、9 では割り切れません。これは、その数字の合計 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 が 3 で割り切れますが、9 で割り切れないためです。
数値 105,499 は、その桁の合計 (29) が 3 または 9 のどちらでも割り切れないため、3 または 9 のどちらでも割り切れません。
数字 52632 は、その桁の合計 (18) が 9 で割り切れるため、9 で割り切れます。
数値を 10 で割り切れるかどうかのテスト
例。
8200 は 10 と 100 で割り切れます。
542000 は 10、100、1000 で割り切れます。
3. 自然数が 7、11、12、13、14、19、25.50 で割り切れる記号。
追加の文献から、自然数を 4、6、8、15、25、50、100、1000 で割り切れるかどうかについて私たちが定式化した基準の正確性が確認されたことがわかりました。また、7 で割り切れるいくつかの兆候も見つかりました。
1) 自然数が 7 で割り切れるのは、千の位と最後の 3 桁で表される数の差が 7 で割り切れる場合に限ります。
例:
478009 は 7 で割り切れます。 478-9=469、469は7で割り切れます。
479345 は 7 で割り切れません。 479-345=134、134は7で割り切れません。
2) 自然数は、10 の位までの 2 倍の数と残りの数の和が 7 で割り切れる場合に、7 で割り切れます。
例:
4592 は 7 で割り切れます。 45・2=90、90+92=182、182は7で割り切れます。
57384 は 7 で割り切れません。 573・2=1146、1146+84=1230、1230は7で割り切れません。
3) aba 形式の 3 桁の自然数は、a+b が 7 で割り切れる場合、7 で割り切れます。
例:
252 は 7 で割り切れます。 2+5=7、7/7。
636 は 7 で割り切れないので、 6+3=9、9は7で割り切れません。
4) baa 形式の 3 桁の自然数は、その数字の桁の合計が 7 で割り切れる場合、7 で割り切れます。
例:
455 は 7 で割り切れます。 4+5+5=14、14/7。
244 は 7 で割り切れないので、 2+4+4=12、12は7で割り切れません。
5) aab の形式の 3 桁の自然数は、2a-b が 7 で割り切れる場合、7 で割り切れます。
例:
882 は 7 で割り切れます。 8+8-2=14、14/7。
996 は 7 で割り切れないので、 9+9-6=12、12は7で割り切れません。
6) baa 形式の 4 桁の自然数 (b は 2 桁の数) は、b+2a が 7 で割り切れる場合、7 で割り切れます。
例:
2744 は 7 で割り切れます。 27+4+4=35、35/7。
1955 年は 7 で割り切れません。 19+5+5=29、29は7で割り切れません。
7) 自然数が 7 で割り切れるのは、最後の 1 桁を除いた数から最後の 1 桁を 2 倍引いた結果が 7 で割り切れる場合に限ります。
例:
483 は 7 で割り切れます。 48-3・2=42、42/7。
564 は 7 で割り切れないので、 56-4 2=48、48は7で割り切れません。
8) 自然数が 7 で割り切れるのは、その数字の桁と、桁単位を数字 7 で割って得られる対応する余りとの積の和が 7 で割り切れる場合に限ります。
例:
10×7=1 (オスト3)
100×7=14 (オスト2)
1000×7=142 (オスト6)
10000×7=1428 (OST 4)
100000׃7=14285 (ost 5)
1000000׃7=142857 (残り 1) と残りが再度繰り返されます。
1316 という数字は 7 で割り切れます。なぜなら... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (1000 を 7 で割った余り 6、100 を 7 で割った余り 2、10 を 7 で割った余り 3) 。
354722 という数字は 7 で割り切れません。なぜなら... 3・5+5・4+4・6+7・2+2・3+2=81、81は7で割り切れません（5は100,000を7で割った余り、4は10,000を7で割った余りです） ; 1000 を 7 で割った余り 6、100 を 7 で割った余り 2、10 を 7 で割った余り 3)。
11で割り切れる.
1) 奇数の桁の合計と偶数の桁の合計の差が 11 の倍数であれば、その数値は 11 で割り切れます。
差は負の数または 0 にすることができますが、11 の倍数である必要があります。番号は左から右に付けられます。
例：
2135704 2+3+7+4=16、1+5+0=6、16-6=10、10は11の倍数ではありません。つまり、この数値は11で割り切れません。
1352736 1+5+7+6=19、3+2+3=8、19-8=11、11は11の倍数なので、この数字は11で割り切れます。
2) 自然数を右から左へ 2 桁ずつのグループに分割し、それらのグループを加算します。 結果の合計が 11 の倍数である場合、テストされる数値は 11 の倍数です。
例: 数値 12561714 が 11 で割り切れるかどうかを調べます。
数値を 2 桁ずつのグループに分割しましょう: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99、99は11で割り切れます。つまり、この数字は11で割り切れます。
3) 3 桁の自然数は、その数の横の桁の合計が中央の桁と等しい場合、11 で割り切れます。 答えは同じ辺の数字で構成されます。
例:
594 は 11 で割り切れます。 5+4=9、9は真ん中です。
473 は 11 で割り切れます。 4+3=7、7-が真ん中です。
861 は 11 で割り切れないので、 8+1=9、真ん中に6があります。
12 で割り切れるテスト
自然数が 12 で割り切れるのは、それが同時に 3 と 4 で割り切れる場合に限ります。
例:
636は3と4で割り切れます、つまり12で割り切れます。
587 は 3 や 4 で割り切れない、つまり 12 で割り切れないということです。
27126 は 3 では割り切れますが、4 では割り切れません。つまり、12 では割り切れません。
13 で割り切れるかどうかのテスト
1) 千の位と最後の 3 桁で構成される数の差が 13 で割り切れる場合、自然数は 13 で割り切れます。
例:
465400 という数字は 13 で割り切れます。なぜなら... 465 - 400 = 65、65 割る 13。
256184 という数字は 13 で割り切れません。 256 - 184 = 72、72 は 13 で割り切れません。
2) 自然数が 13 で割り切れるのは、最後の 1 桁を除いたこの数値から 9 を掛けた最後の桁を引いた結果が 13 で割り切れる場合に限ります。
例:
988 は 13 で割り切れます。 98 - 9 8 = 26、26 を 13 で割ります。
853 は 13 で割り切れないので、 85 - 3 9 = 58、58 は 13 で割り切れません。
14 で割り切れるテスト
自然数が 14 で割り切れるのは、2 と 7 で同時に割り切れる場合に限ります。
例:
45826 という数字は 2 では割り切れますが、7 では割り切れません。つまり、14 では割り切れません。
1771 という数字は 7 では割り切れますが、2 では割り切れません。つまり、14 では割り切れません。
35882 という数字は 2 と 7 で割り切れます。つまり、14 で割り切れます。
19 で割り切れるテスト
自然数は、単位数の 2 倍に 10 の位を加えた数が 19 で割り切れる場合に限り、余りなしで 19 で割り切れます。
数の中の 10 の数は、10 の位の桁ではなく、数全体の中の 10 の位の合計数で数えるべきであることに注意してください。
例:
1534 の 10 は 153、4 2 = 8、153 + 8 = 161、161 は 19 で割り切れません。つまり、1534 は 19 で割り切れません。
1824 182+4・2=190、190/19、つまり1824/19になります。
25 と 50 で割り切れるかどうかをテストする
25 または 50 で割るのは、2 つのゼロで終わる数値、または最後の 2 桁がそれぞれ 25 または 50 で割り切れる数値を表す数値のみです。
97300 という数字は 2 つのゼロで終わります。これは、25 と 50 の両方で割り切れることを意味します。
最後の 2 桁 50 で構成される数は 25 と 50 の両方で割り切れるので、79,450 という数字は 25 と 50 で割り切れます。
4. 割り算基準を使用して問題を解決する。
店の店員さん。
買い手は店から、34.5ルーブル相当の牛乳パック、36ルーブル相当のカッテージチーズ1箱、ケーキ6個、砂糖3キログラムを持ち出した。 レジ係が296ルーブルの小切手を振り出すと、買い手は計算を確認して間違いを訂正するよう要求した。 購入者は請求書が間違っているとどのように判断したのでしょうか?
解決：各タイプの購入商品のコストは、3 で割り切れる数で表されます (最初の 2 タイプの商品の価格は 3 の倍数、残りの商品の購入数は 3 の倍数です)。各項が 3 で割り切れる場合、金額も 3 で割り切れる必要があります。数値 296 は 3 で割り切れないため、計算は正しくありません。
箱の中のリンゴケ。
箱の中のリンゴの数は 200 個未満です。それらを 2、3、4、5、6 人の子供たちに均等に分けることができます。 どれの 最高額もしかしたら箱の中にリンゴが入っているかもしれない？
解決。
LCM(2,3,4,5,6) = 60。
60年代< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180
答え: リンゴ 180 個。
5。結論：
仕事をしているうちに、私は割り切れる記号の発展の歴史を知り、自然数を 4、6、8、15、25、50 で割り切れる記号を定式化し、追加の文献からこれの裏付けを見つけました。 また、自然数の割り切れる兆候は他にもある (7、11、12、13、14、19、37 による) と確信するようになり、自然数の割り切れる兆候が他にも存在するという仮説の正しさが確認されました。
使用した文献 (情報源) のリスト:
1. ガルキン V.A. 「割り算基準」に関する問題。 // 数学、1999.-№5.-P.9。
2. グセフ V.A.、オルロフ A.I.、ローゼンタール A.L. 6 年生から 8 年生の数学の課外活動 - M.: 教育、1984 年。
3. カプルン L.M. GCD と LCM に問題があります。 // 数学、1999 年 - No. 7。 - P.4-6。
4. ペルマン Ya.I. 数学って面白いですね！ - M.: TERRA - ブッククラブ、2006
5. 百科事典若い数学者。/ Comp。 サビン A.P. - M.: 教育学、1989年。 - P. 352。
6. リソース - インターネット。
- 単純約数が 2 つだけある数値 (1 と数値自体)。
- 複合約数が 3 つ以上ある数値です。
- ナンバー1素数にも合成数にも当てはまりません。
- 合成数を素数のみの積として書くことを といいます。 分解合成数 の上 素因数。 任意の合成数は、素因数の積として一意に表現できます。
例。 合成数を素因数に分割します。
1) 48; 2) 75; 3) 80; 4) 120.
48という数字を書いて、その右側に縦線を引きましょう。 数字 48 の素因数を最小のものから並べ始めます。 2
。 行の右側に 2 を書きます。 48 という数字の下に、48 を 2 で割った商を書きます。これは 24 という数字で、これも次の数で割り切れます。 2
。 数字の24の右側に2を書き、数字の24の下に、24を2で割った結果を書きます。これは数字の12で、これを再び割ります。 2
。 右側に数字の 2 を書き、数字の 12 の下に 6 を置きます。再び数字の 6 を次の式で割ります。 2
、数字 3 が得られ、それを数字 6 の下に書きます。数字 3 を次で割ります。 3
最後に、数値 3 の下に 1 を書き込みます。したがって、数値 48 を素因数に分解すると、48= となります。 2・2・2・2・3または 48=2 4 ∙3。
最小の素因数 75 は次の数です。 3
、縦線の右側に配置します。 数値 75 を 3 で割った結果、25 が得られます。数値 75 の下に数値 25 を書きます。数値 25 を次で割ります。 5
したがって、数字 25 の右側に数字 5 を書き、数字 25 の下に数字 5 (25 を 5 で割った結果) を書きます。数字 5 は次のように除算されます。 5
、その下に数字の 1 を入れます。結果: 75= 3・5・5または 75=3∙5 2.
数字 80 はゼロで終わります。これは、10 で割り切れることを意味します。数字 10 は合成であり、素数 2 と 5 の積に等しいため、積を縦軸の右側に書くと便利です。バー 2・5。 次に、数字 80 の下に数字 8 を書きます。数字 8 を次の値で割ります。 2
(右側に 2 を書きます)、数字の 8 の下に数字の 4 を書きます。再度割ります。 2
、2を取得し、で割ります 2
, 1 が残ります。結果: 80=2 4 ∙5。
数値 120 をすぐに 10 で割ります。10 = 2 5 なので、縦線の右側に次のように書きます。 2・5。 数字 120 の下に 12 を書きます。数字 12 を次で割ります。 2
、数字 12 の下に数字 6 を書き、それを割ります。 2
、結果の数値 3 を次の値で割ります。 3
結果は 1 になります。結果: 120=2 3 ∙3∙5。
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この記事は資料から始まります 整数の割り算理論。 ここでは、可分性の概念を導入し、受け入れられる用語と表記法を示します。 これにより、可分性の主な特性をリストし、正当化できるようになります。
ページナビゲーション。
可分性の概念
可分性の概念算術および数論の基本概念の 1 つです。 可分性について、そして特殊な場合については可分性について説明します。 そこで、整数の集合における割り算について考えてみましょう。
整数 a 株式 a=b・q が成り立つような整数 (それを q で表す) がある場合、ゼロとは異なる整数 b によって計算されます。 この場合、b とも言えます。 分割するａ． この場合、整数 b は次のように呼ばれます。 ディバイダー数値 a、整数 a と呼ばれます 倍数数値 b (約数と倍数の詳細については、「約数と倍数」の記事を参照)、整数 q と呼ばれます。 プライベート.
上記の意味で、整数 a が整数 b で割り切れる場合、a は b で割り切れると言えます。 完全に。 この場合の「完全に」という言葉は、整数 a を整数 b で割った商が整数であることをさらに強調しています。
場合によっては、与えられた整数 a および b に対して、等式 a=b・q が真となる整数 q が存在しません。 このような場合、整数 a は整数 b で割り切れない (a は b で割り切れないという意味) と言います。 ただし、このような場合、彼らは次のような手段を講じます。
例を使用して割り算の概念を理解しましょう。
整数 a は、数値 a、数値 -a、a、1、および数値 -1 で割り切れます。
この割り切れる性質を証明してみましょう。
任意の整数 a について、等式 a=a・1 および a=1・a が有効です。このことから、a は a で割り切れ、商は 1 に等しく、a は 1 で割り切れます。商は a に等しい。 任意の整数 a について、等式 a=(−a)・(−1) および a=(−1)・(−a) も有効であり、以下のように、a は a の反対の数で割り切れることになります。 a はマイナス単位で割り切れます。
なお、整数 a の割り切れる性質自体を再帰性の性質と呼びます。
割り算の次の性質は、ゼロが任意の整数 b で割り切れることを示します。
実際、任意の整数 b に対して 0=b・0 であるため、ゼロは任意の整数で割り切れます。
特に、ゼロはゼロでも割り切れます。 これにより、等価性 0=0・q が確認されます。ここで、q は任意の整数です。 この等式から、ゼロをゼロで割った商は任意の整数であることがわかります。
ゼロ以外の整数 a は 0 で割り切れないことにも注意してください。 これについて説明しましょう。 ゼロがゼロとは異なる整数 a を除算した場合、等式 a=0・q が真になります。ここで、q は整数であり、最後の等式は a=0 の場合にのみ可能です。
整数 a が整数 b で割り切れ、a が b の法より小さい場合、a はゼロに等しくなります。 リテラル形式では、この割り算の性質は次のように記述されます: ab と の場合、a=0。
証拠。
a は b で割り切れるので、等式 a=b・q が成り立つ整数 q が存在します。 その場合、平等も真でなければならず、その性質上、形式の平等も真でなければなりません。 q がゼロに等しくない場合は、次のようになります。 得られた不等式を考慮すると、等式から次のことが得られます。 しかし、これは条件に矛盾します。 したがって、q は 0 のみに等しく、a=b・q=b・0=0 が得られます。これは証明する必要がありました。
整数 a がゼロでなく、整数 b で割り切れる場合、a の法は b の法以上になります。 つまり、a≠0 かつ ab の場合、 になります。 この割り算の性質は、前の性質から直接引き継がれます。
1 の約数は整数 1 と -1 だけです。
まず、1 が 1 と −1 で割り切れることを示します。 これは、等式 1=1・1 および 1=(-1)・(-1) から得られます。
他の整数が 1 の約数にならないことを証明することはまだ残っています。
1 や -1 とは異なる整数 b が 1 の約数であると仮定します。 1 は b で割り切れるので、先ほどの割り算の性質により、不等式が満たされる必要があり、これは不等式と等価です。 この不等式は、1、0、-1 の 3 つの整数だけで満たされます。 b は 1 および -1 とは異なると仮定したため、b=0 のみが残ります。 しかし、b=0 は 1 の約数になることはできません (割り算の 2 番目の性質を説明したときに示したように)。 これは、1 と -1 以外の数が 1 の約数ではないことを証明します。
整数 a が整数 b で割り切れるには、数 a の法が数 b の法で割り切れれば必要かつ十分です。
まず必要性を証明しましょう。
aをbで割ると、a=b・qとなる整数qが存在します。 それから 
。 これは整数であるため、この等価性は、数値 a の法が数値 b の法で割り切れることを意味します。
これで十分です。
数値 a の法を数値 b の法で割ると、次のような整数 q が存在します。 数値 a と b が正の場合、等式 a=b・q が成り立ち、これは a が b で割り切れることを証明します。 a と b が負の場合、等式 −a=(−b)・q が真となり、これは a=b・q と書き換えることができます。 もし - 負の数、 b が正の場合、 −a=b・q となり、この等式は a=b・(−q) と等価です。 a が正で b が負の場合、 a=(−b)・q および a=b・(−q) となります。 q と −q は両方とも整数であるため、結果の等式は a が b で割り切れることを証明します。
帰結 1.
整数 a が整数 b で割り切れる場合、a は反対の数 -b でも割り切れます。
帰結２．
整数 a が整数 b で割り切れる場合、-a も b で割り切れます。
先ほど議論した割り算の性質の重要性を過大評価することは困難です。割り算の理論は正の整数の集合で説明できますが、この割り算の性質はそれを負の整数に拡張します。
割り算には推移性の特性があります。整数 a が整数 m で割り切れ、さらに数値 m が整数 b で割り切れる場合、a は b で割り切れます。 つまり、am と mb の場合、ab になります。
この割り切れる性質の証明をしてみましょう。
a は m で割り切れるので、a=m・a 1 となる整数 a 1 が存在します。 同様に、m は b で割り切れるので、m=b・m 1 となる整数 m 1 が存在します。 それから a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1)。 2 つの整数の積は整数であるため、m 1 ·a 1 は何らかの整数になります。 これを q とすると、a=b・q という等式が得られ、これは検討中の割り切れる性質を証明します。
割り算には反対称の特性があります。つまり、a が b で除算され、同時に b が a で除算される場合、整数 a と b、または数値 a と −b のいずれかが等しくなります。
a と b、b と a の割り算から、a=b・q 1 および b=a・q 2 となる整数 q 1 および q 2 の存在について話すことができます。 a の代わりに b・q 1 を 2 番目の等式に代入するか、b の代わりに a・q 2 を最初の等式に代入すると、q 1 ・q 2 =1 が得られます。また、q 1 と q 2 が整数であるとすると、次のようになります。は、q 1 =q 2 =1 の場合、または q 1 =q 2 =−1 の場合にのみ可能です。 したがって、 a=b または a=−b (あるいは、同じことですが、 b=a または b=−a ) となります。
整数およびゼロ以外の数値 b の場合、b に等しくなく、b で割り切れる整数 a が存在します。
この数値は、a=b・q のいずれかの数値になります。ここで、q は任意の整数です。 1に等しい。 次の可分性の性質に進むことができます。
2 つの整数項 a および b がそれぞれ整数 c で割り切れる場合、和 a+b も c で割り切れます。
aとbはcで割り切れるので、a=c・q 1、b=c・q 2と書けます。 それから a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(最後の遷移は により可能です)。 2 つの整数の和は整数であるため、等式 a+b=c・(q 1 +q 2) は、和 a+b が c で割り切れることを証明します。
この特性は、3 つ、4 つ、またはそれ以上の項の合計に拡張できます。
整数 a から整数 b を引くことは、数値 a と数値 -b を加算することであることも覚えておくと (参照)、この割り切れる性質は数値の差にも当てはまります。 たとえば、整数 a と b が c で割り切れる場合、差 a − b も c で割り切れます。
k+l+…+n=p+q+…+s という形式の等式で、1 つを除くすべての項が整数 b で割り切れることがわかっている場合、この 1 つの項も b で割り切れます。
この項を p とします (等式の項はどれでも使用できますが、推論には影響しません)。 したがって、 p=k+l+…+n−q−…−s となります。 等式の右辺で得られた式は、前述の性質により b で除算されます。 したがって、数 p も b で割り切れます。
整数 a が整数 b で割り切れる場合、積 a・k (k は任意の整数) は b で除算されます。
a は b で割り切れるので、等式 a=b・q が成り立ちます。ここで、q は整数です。 次に、 a・k=(b・q)・k=b・(q・k) (最後の遷移は により実行されました)。 2 つの整数の積は整数であるため、等式 a・k=b・(q・k) は、積 a・k が b で割り切れることを証明します。
帰結: 整数 a が整数 b で割り切れる場合、積 a·k 1·k 2·…·k n (k 1、k 2、…、k n は整数) は b で割り切れます。
整数 a と b が c で割り切れる場合、a・u+b・v の形式の積 a・u と b・v の合計 (u と v は任意の整数) が c で除算されます。
この可分性の証明は、前の 2 つの証明と似ています。 条件から、a=c・q 1 および b=c・q 2 が得られます。 それから a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v)。 合計 q 1 ·u+q 2 ·v は整数なので、次の形式が等価になります。 a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) a・u+b・v は c で割り切れることを証明します。
これで、可分性の基本特性のレビューは終わりです。
参考文献。
- ビレンキン N.Ya. その他、数学。 6年生：一般教育機関向けの教科書。
- ヴィノグラドフ I.M. 整数論の基礎。
- ミケロヴィチ Sh.H. 数論。
- クリコフL.Ya。 代数・数論の問題集: チュートリアル物理学と数学の学生向け。 教育機関の専門分野。