Odz fonksiyonları örnekleri. Teğet, kotanjant, arksinüs, arkkosinüs ile fonksiyonların tanım alanları. Kabul edilebilir değer aralığı – bir çözüm var

\(\frac(x)(x-1)\) değişkenin değeri 1'e eşit olacaktır, kural ihlal edilir: Sıfıra bölemezsin. Dolayısıyla burada \(x\) bir birim olamaz ve ODZ şu şekilde yazılır: \(x\neq1\);

\(\sqrt(x-2)\) ifadesinde değişkenin değeri \(0\) ise kural ihlal edilir: radikal ifade negatif olmamalıdır. Bu, burada \(x\)'in \(0\), aynı zamanda \(1, -3, -52.7\) vb. olamayacağı anlamına gelir. Yani x, 2'den büyük veya ona eşit olmalıdır ve ODZ şöyle olacaktır: \(x\geq2\);

Ancak \(4x+1\) ifadesinde X yerine herhangi bir sayıyı koyabiliriz ve hiçbir kural ihlal edilmeyecektir. Dolayısıyla burada kabul edilebilir değer aralığı sayısal eksenin tamamıdır. Bu gibi durumlarda DZ kaydedilmezçünkü faydalı bilgiler içermiyor.

Uyulması gereken tüm kuralları burada bulabilirsiniz.

Denklemlerde ODZ

Karar verirken kabul edilebilir değerlerin aralığını hatırlamak önemlidir ve çünkü Orada sadece değişkenlerin değerlerini arıyoruz ve tesadüfen matematik kurallarını ihlal edenleri bulabiliriz.

ODZ'nin önemini anlamak için denklemin iki çözümünü karşılaştıralım: ODZ'li ve ODZ'siz.

Örnek: Denklemi çözün
Çözüm :

ODZ'siz:		ODZ ile:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - ODZ'ye uygun değil
Cevap : \(4; -3\)		Cevap : \(4\)

Farkı görüyor musun? İlk çözümde cevabımızda hatalı, fazladan bir ! vardı! Neden yanlış? Bunu orijinal denklemde yerine koymaya çalışalım.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Görüyorsunuz, hem solda hem de sağda hesaplanamaz, anlamsız ifadeler elde ettik (sonuçta sıfıra bölemezsiniz). Ve bu değerler mevcut olmadığı için aynı olmaları artık bir rol oynamıyor. Dolayısıyla “\(-3\)” uygunsuz, yabancı bir köktür ve kabul edilebilir değerler aralığı bizi bu tür ciddi hatalardan korur.

Bu nedenle ilk çözüm için D, ikinci çözüm için A alacaksınız. Ve bunlar öğretmenin sıkıcı kelime oyunları değil, çünkü ODS'yi hesaba katmamak önemsiz bir şey değil, çok özel bir hatadır, kayıp bir işaret veya yanlış formülün uygulanmasıyla aynıdır. Sonuçta son cevap yanlış!

Kabul edilebilir değer aralığını bulmak çoğu zaman çözme veya denklem kurma ihtiyacına yol açar, bu nedenle bunu iyi yapabilmeniz gerekir.

Örnek : \(\sqrt(5-2x)+\) ifadesinin tanım kümesini bulun \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2))))\)

Çözüm : İfadede biri paydada olmak üzere iki kök vardır. Bu davada uygulanan kısıtlamaları hatırlamayan herkes... Hatırlayanlar birinci kökün altındaki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunu, ikinci kökün altındaki ifadenin ise sıfırdan büyük olduğunu yazar. Kısıtlamaların neden bu şekilde olduğunu anlıyor musunuz?

Cevap : \((-2;2,5]\)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Ortaokul öğrencileri sıklıkla bu görevle uğraşmak zorunda kalıyorlar.

Ebeveynler çocuklarının bu konuyu anlamalarına yardımcı olmalıdır.

Bir işlevin belirtilmesi.

Cebirin temel terimlerini hatırlayalım. Matematikte fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Bunun iki sayıyı belirli bir şekilde birbirine bağlayan katı bir matematik yasası olduğunu söyleyebiliriz.

Matematikte formüller analiz edilirken sayısal değişkenlerin yerini alfabetik semboller alır. En yaygın kullanılanlar x (“x”) ve y (“y”)'dir. X değişkenine argüman, y değişkenine ise bağımlı değişken veya x'in fonksiyonu adı verilir.

Var olmak çeşitli yollar değişken bağımlılıklarını ayarlama.

Bunları listeleyelim:

1. Analitik tip.
2. Tablo görünümü.
3. Grafik ekranı.

Analitik yöntem formülle temsil edilir. Örneklere bakalım: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 formülü aşağıdakiler için tipiktir: doğrusal fonksiyon. Argümanın sayısal değerini verilen formülde yerine koyarak y değerini elde ederiz.

Tablo yöntemi iki sütundan oluşan bir tablodur. İlk sütun X değerlerine ayrılmıştır ve sonraki sütuna oynatıcının verileri kaydedilir.

Grafiksel yöntem en görsel olarak kabul edilir. Grafik, bir düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gösterimidir.

Bir grafik oluşturmak için Kartezyen koordinat sistemi kullanılır. Sistem birbirine dik iki çizgiden oluşmaktadır. Eksenler üzerinde aynı birim segmentler yerleştirilmiştir. Sayım, düz çizgilerin kesiştiği merkez noktadan yapılır.

Bağımsız değişken yatay bir çizgide gösterilir. Apsis ekseni denir. Dikey çizgi (y ekseni) bağımlı değişkenin sayısal değerini gösterir. Bu eksenlere dik olanların kesişim noktalarında noktalar işaretlenir. Noktaları birbirine bağlayarak düz bir çizgi elde ederiz. Bu, programın temelidir.

Değişken bağımlılık türleri

Tanım.

İÇİNDE Genel görünüm bağımlılık bir denklem olarak sunulur: y=f(x). Formülden, x sayısının her değeri için belirli bir y sayısının olduğu sonucu çıkar. Oyunun x sayısına karşılık gelen değerine fonksiyonun değeri denir.

Bağımsız değişkenin elde ettiği tüm olası değerler, fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Buna göre bağımlı değişkenin tüm sayı kümesi, fonksiyonun değer aralığını belirler. Tanım alanı, f(x)'in anlamlı olduğu argümanın tüm değerleridir.

Matematik yasalarını incelemede ilk görev tanım alanını bulmaktır. Bu terimin doğru tanımlanması gerekir. Aksi takdirde, sonraki tüm hesaplamalar işe yaramaz olacaktır. Sonuçta değerlerin hacmi ilk setin unsurlarına göre oluşuyor.

Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan kısıtlamalara bağlıdır. Sınırlamalar, belirli işlemlerin gerçekleştirilememesinden kaynaklanır. Sayısal değerlerin kullanımının da sınırları vardır.

Kısıtlamaların olmadığı durumda tanım alanı sayı uzayının tamamıdır. Sonsuzluk işaretinin yatay sekiz rakamı sembolü vardır. Tüm sayı kümesi şu şekilde yazılır: (-∞; ∞).

Bazı durumlarda veri seti birkaç alt kümeden oluşur. Sayısal aralıkların veya boşlukların kapsamı, parametre değişim yasasının türüne bağlıdır.

Kısıtlamaları etkileyen faktörlerin bir listesi:

• ters orantılılık;
• aritmetik kök;
• üs alma;
• logaritmik bağımlılık;
• trigonometrik formlar.

Bu tür birkaç öğe varsa, kısıtlama arayışı bunların her biri için bölünür. En büyük sorun kritik noktaların ve boşlukların belirlenmesidir. Sorunun çözümü tüm sayısal alt kümeleri birleştirmek olacaktır.

Sayı kümesi ve alt kümesi

Setler hakkında.

Tanım alanı D(f) olarak ifade edilir ve birleşim işareti ∪ sembolüyle temsil edilir. Tüm sayısal aralıklar parantez içine alınmıştır. Sitenin sınırı sete dahil değilse yarım daire şeklinde bir braket yerleştirilir. Aksi takdirde, bir sayı bir alt kümeye dahil edildiğinde köşeli parantezler kullanılır.

Ters orantı y=k/x formülüyle ifade edilir. Fonksiyon grafiği iki daldan oluşan eğri bir çizgidir. Buna genellikle abartı denir.

Fonksiyon kesir olarak ifade edildiğinden tanım tanım kümesini bulmak paydayı analiz etmekten geçer. Matematikte sıfıra bölmenin yasak olduğu iyi bilinmektedir. Sorunu çözmek, paydayı sıfıra eşitlemek ve kökleri bulmaktan geçer.

İşte bir örnek:

Verilen: y=1/(x+4). Tanımın alanını bulun.

1. Paydayı sıfıra eşitliyoruz.
   x+4=0
2. Denklemin kökünü bulma.
   x=-4
3. Argümanın olası tüm değerlerinin kümesini tanımlarız.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Cevap: Fonksiyonun tanım kümesi -4 dışındaki tüm reel sayılardır.

Bir sayının karekök işareti altındaki değeri negatif olamaz. Bu durumda bir fonksiyonun kök ile tanımlanması bir eşitsizliğin çözümüne indirgenir. Radikal ifade sıfırdan büyük olmalıdır.

Kökün belirlenme alanı kök göstergesinin paritesi ile ilgilidir. Gösterge 2'ye bölünebiliyorsa ifade yalnızca pozitif olması durumunda anlamlıdır. Tek sayı gösterge, radikal ifadenin herhangi bir anlamının kabul edilebilirliğini gösterir: hem olumlu hem de olumsuz.

Eşitsizlikler denklemlerle aynı şekilde çözülür. Tek bir fark var. Eşitsizliğin her iki tarafı da çarpıldıktan sonra negatif bir sayı işaret tersine çevrilmelidir.

Karekök paydada ise ek bir koşul getirilmelidir. Sayı değeri sıfır olmamalıdır. Eşitsizlik katı eşitsizlikler kategorisine girer.

Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar

Logaritmik form pozitif sayılar için anlamlıdır. Dolayısıyla tanım alanı logaritmik fonksiyon sıfır dışında karekök fonksiyonuna benzer.

Logaritmik bağımlılığın bir örneğini ele alalım: y=log(2x-6). Tanımın alanını bulun.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Cevap: (3; +∞).

Y=sin x ve y=cos x tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Teğet ve kotanjant için kısıtlamalar vardır. Bir açının kosinüsü veya sinüsü ile bölünmeyle ilişkilidirler.

Bir açının tanjantı sinüsün kosinüse oranıyla belirlenir. Teğet değerinin bulunmadığı açı değerlerini belirtelim. y=tg x fonksiyonu, argümanın x=π/2+πn, n∈Z dışındaki tüm değerleri için anlamlıdır.

y=ctg x fonksiyonunun tanım alanı, x=πn, n∈Z hariç gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Argüman π sayısına veya π'nin bir katına eşitse, açının sinüsü sıfıra eşit. Bu noktalarda (asimptotlar) kotanjant mevcut olamaz.

Tanım alanını belirlemeye yönelik ilk görevler 7. sınıftaki derslerde başlar. Cebirin bu bölümüyle ilk kez tanıştırıldığında öğrencinin konuyu net bir şekilde anlaması gerekir.

Bu terimin tüm çalışma süresi boyunca okul çocuğuna ve ardından öğrenciye eşlik edeceği unutulmamalıdır.

Değişken içeren herhangi bir ifadenin, mevcut olduğu yerde kendi geçerli değer aralığı vardır. Karar verirken ODZ her zaman dikkate alınmalıdır. Eksik olması durumunda hatalı sonuç alabilirsiniz.

Bu makale ODZ'nin nasıl doğru şekilde bulunacağını ve örneklerin nasıl kullanılacağını gösterecektir. Karar verirken DZ'yi belirtmenin önemi de tartışılacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geçerli ve geçersiz değişken değerleri

Bu tanım değişkenin izin verilen değerleri ile ilgilidir. Tanımı tanıttığımızda bakalım nasıl bir sonuca varacak.

7. sınıftan itibaren sayılarla çalışmaya başlıyoruz ve sayısal ifadeler. Değişkenlerle yapılan ilk tanımlar, seçilen değişkenlerle ifadelerin anlamlarına geçer.

Seçilen değişkenlere sahip ifadeler olduğunda bazıları tatmin edici olmayabilir. Örneğin, 1: a formunun ifadesi, eğer a = 0 ise, o zaman sıfıra bölmek imkansız olduğu için mantıklı değildir. Yani ifadenin her durumda uygun ve cevap verecek değerlere sahip olması gerekir. Başka bir deyişle mevcut değişkenlerle anlam kazanırlar.

Tanım 1

Değişkenleri olan bir ifade varsa, o zaman yalnızca değerin yerine konulmasıyla hesaplanabiliyorsa anlamlıdır.

Tanım 2

Değişkenleri olan bir ifade varsa, bunları değiştirirken değerin hesaplanamamasının bir anlamı yoktur.

Yani bu tam bir tanım anlamına gelir

Tanım 3

Mevcut kabul edilebilir değişkenler, ifadenin anlamlı olduğu değerlerdir. Ve eğer mantıklı değilse, o zaman kabul edilemez sayılırlar.

Yukarıdakileri açıklığa kavuşturmak gerekirse: birden fazla değişken varsa, o zaman bir çift uygun değer olabilir.

örnek 1

Örneğin, üç değişkenin olduğu 1 x - y + z formundaki bir ifadeyi düşünün. Aksi taktirde x = 0, y = 1, z = 2 şeklinde yazabilirsiniz, diğer bir girdi ise (0, 1, 2) şeklindedir. Bu değerlere geçerli denir, yani ifadenin değeri bulunabilir. 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 sonucunu elde ederiz. Buradan (1, 1, 2)'nin kabul edilemez olduğunu görüyoruz. Değiştirme sıfıra bölünmeyle sonuçlanır, yani 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ nedir?

Kabul edilebilir değer aralığı – önemli unsur Cebirsel ifadeleri değerlendirirken. Bu nedenle hesaplama yaparken buna dikkat etmekte fayda var.

Tanım 4

ODZ alanı belirli bir ifade için izin verilen değerler kümesidir.

Örnek bir ifadeye bakalım.

Örnek 2

5 z - 3 biçiminde bir ifademiz varsa, o zaman ODZ (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) biçimine sahiptir. Bu, belirli bir ifade için z değişkenini karşılayan geçerli değerler aralığıdır.

z x - y biçiminde ifadeler varsa, x ≠ y, z'nin herhangi bir değer alacağı açıktır. Buna ODZ ifadeleri denir. Değiştirme sırasında sıfıra bölünmeyi elde etmemek için dikkate alınmalıdır.

İzin verilen değer aralığı ve tanım aralığı aynı anlama sahiptir. Bunlardan sadece ikincisi ifadeler için, ilki denklemler veya eşitsizlikler için kullanılır. DL'nin yardımıyla ifade veya eşitsizlik anlamlı hale gelir. Fonksiyonun tanım alanı, f (x) ifadesi için x değişkeninin izin verilen değerlerinin aralığı ile çakışmaktadır.

ODZ'yi nasıl bulabilirim? Örnekler, çözümler

ODZ'yi bulmak, uygun tüm geçerli değerleri bulmak anlamına gelir verilen fonksiyon veya eşitsizlik. Bu koşulların sağlanmaması hatalı sonuçlara yol açabilir. ODZ'yi bulmak için genellikle belirli bir ifadede dönüşümlerden geçmek gerekir.

Hesaplanmasının imkansız olduğu ifadeler vardır:

• sıfıra bölme varsa;
• negatif bir sayının kökünü almak;
• negatif tam sayı göstergesinin varlığı – yalnızca pozitif sayılar için;
• negatif bir sayının logaritmasının hesaplanması;
• tanjant π 2 + π · k, k ∈ Z ve kotanjant π · k, k ∈ Z'nin tanım alanı;
• [-1'e ait olmayan bir değer için bir sayının arksinüs ve arkkosinüsünün değerini bulma; 1 ] .

Bütün bunlar ODZ'ye sahip olmanın ne kadar önemli olduğunu gösteriyor.

Örnek 3

ODZ ifadesini bulun x 3 + 2 x y − 4 .

Çözüm

Herhangi bir sayının küpü alınabilir. Bu ifadenin kesri yoktur, dolayısıyla x ve y'nin değerleri herhangi biri olabilir. Yani ODZ herhangi bir sayıdır.

Cevap: x ve y – herhangi bir değer.

Örnek 4

1 3 - x + 1 0 ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Paydanın sıfır olduğu bir kesirin olduğu görülebilir. Bu, herhangi bir x değeri için sıfıra bölünmeyi elde edeceğimiz anlamına gelir. Bu, bu ifadenin tanımsız kabul edildiği, yani herhangi bir ek yükümlülüğü olmadığı sonucuna varabileceğimiz anlamına gelir.

Cevap: ∅ .

Örnek 5

Verilen x + 2 · y + 3 - 5 · x ifadesinin ODZ'sini bulun.

Çözüm

Karekökün varlığı, bu ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerektiği anlamına gelir. Şu tarihte: olumsuz değer mantıklı değil. Bu, x + 2 · y + 3 ≥ 0 biçiminde bir eşitsizliği yazmanın gerekli olduğu anlamına gelir. Yani bu, kabul edilebilir değerlerin istenen aralığıdır.

Cevap: x + 2 y + 3 ≥ 0 olmak üzere x ve y kümesi.

Örnek 6

1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) formunun ODZ ifadesini belirleyin.

Çözüm

Koşullu olarak bir kesirimiz var, dolayısıyla paydası sıfıra eşit olmamalıdır. x + 1 - 1 ≠ 0 sonucunu elde ederiz. Radikal ifade sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunda, yani x + 1 ≥ 0 olduğunda her zaman anlamlıdır. Logaritması olduğundan ifadesi kesinlikle pozitif olmalıdır, yani x 2 + 3 > 0 olmalıdır. Logaritmanın tabanı da olmalıdır pozitif değer ve 1'den farklıysa x + 8 > 0 ve x + 8 ≠ 1 koşullarını toplarız. İstenilen ODZ'nin şu şekli alacağı anlaşılmaktadır:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Başka bir deyişle tek değişkenli eşitsizlikler sistemi denir. Çözüm aşağıdaki ODZ gösterimine yol açacaktır [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Cevap: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Değişimi yönlendirirken DPD'yi dikkate almak neden önemlidir?

Kimlik dönüşümleri sırasında ODZ'yi bulmak önemlidir. ODZ'nin varlığının gerçekleşmediği durumlar vardır. Belirli bir ifadenin bir çözümü olup olmadığını anlamak için, orijinal ifadenin değişkenlerinin VA'sını ve sonuçta ortaya çıkan değişkenlerin VA'sını karşılaştırmanız gerekir.

Kimlik dönüşümleri:

• DL'yi etkilemeyebilir;
• DZ'nin genişlemesine veya eklenmesine yol açabilir;
• DZ'yi daraltabilir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 7

Eğer x 2 + x + 3 · x şeklinde bir ifademiz varsa, o zaman bunun ODZ'si tüm tanım alanı boyunca tanımlanır. Benzer terimler getirildiğinde ve ifade basitleştirildiğinde bile ODZ değişmez.

Örnek 8

Eğer x + 3 x − 3 x ifadesini örnek alırsak işler farklıdır. Kesirli bir ifademiz var. Ve sıfıra bölmenin kabul edilemez olduğunu biliyoruz. O halde ODZ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) biçimine sahiptir. Sıfırın çözüm olmadığı görülüyor, bu yüzden onu parantez içinde ekliyoruz.

Radikal bir ifadenin varlığına sahip bir örneği ele alalım.

Örnek 9

Eğer x - 1 · x - 3 varsa, bu durumda (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 eşitsizliği olarak yazılması gerektiğinden ODZ'ye dikkat etmelisiniz. Aralık yöntemiyle çözmek mümkündür, o zaman ODZ'nin (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) formunu alacağını buluruz. x - 1 · x - 3'ü dönüştürdükten ve köklerin özelliğini uyguladıktan sonra, ODZ'nin tamamlanabileceğine ve her şeyin x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ biçiminde bir eşitsizlik sistemi biçiminde yazılabileceğine sahip oluruz. 0. Bunu çözerken şunu buluruz: [ 3 , + ∞) . Bu, ODZ'nin tamamen şu şekilde yazıldığı anlamına gelir: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZ'yi daraltan dönüşümlerden kaçınılmalıdır.

Örnek 10

x = - 1 olduğunda x - 1 · x - 3 ifadesinin bir örneğini ele alalım. Yerine koyarken şunu elde ederiz: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Bu ifadeyi dönüştürüp x - 1 · x - 3 biçimine getirirsek, hesaplama yaparken 2 - 1 · 2 - 3 ifadesini buluruz, çünkü kök ifadenin negatif olmaması gerekir.

Uyulmalıdır kimlik dönüşümleri ODZ değişmeyecek.

Üzerine genişleyen örnekler varsa o zaman DL'ye eklenmelidir.

Örnek 11

x x 3 + x formunun kesirli örneğine bakalım. Eğer x ile sadeleştirirsek, o zaman 1 x 2 + 1 elde ederiz. Daha sonra ODZ genişler ve (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) olur. Üstelik hesaplarken zaten ikinci basitleştirilmiş kesirle çalışıyoruz.

Logaritmaların varlığında durum biraz farklıdır.

Örnek 12

ln x + ln (x + 3) biçiminde bir ifade varsa, logaritmanın özelliğine bağlı olarak bunun yerine ln (x · (x + 3)) kullanılır. Buradan ODZ'nin (0 , + ∞)'dan (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞)'a kadar olduğunu görebiliriz. Bu nedenle ADL tanımları ln (x · (x + 3)) ODZ üzerinde yani (0 , + ∞) kümesi üzerinde hesaplamalar yapmak gerekir.

Çözerken her zaman koşulun verdiği ifadenin yapısına ve türüne dikkat etmek gerekir. Tanım alanı doğru bulunursa sonuç olumlu olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Nasıl ?
Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu. Aktif tartışma bu kavram Kümelerle ilgili makalede başladı ve ilk derste devam etti. fonksiyon grafikleri, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temellerinden başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun aşağıdaki fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs. Bunlar üzerinde tanımlanır (tüm gerçek sayılar kümesi). Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) - daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler diğer görevlerde çözüm becerileri gerekli olacak yüksek Matematik. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, hangisi için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak tanım alanında yarım aralık ve “tse” noktası yer almamaktadır ve orada grafik bulunmamaktadır.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Pek çok kişi çocuk tekerlemesini hatırlar: "taş, kağıt, makas" ve bu durumda güvenle başka kelimelerle ifade edilebilir: "kök, kesir ve logaritma." Böylece, eğer hayat yolu Bir kesir, kök veya logaritmayla karşılaştığınızda hemen çok ama çok dikkatli olmalısınız! Teğet, kotanjant, ark sinüs, ark kosinüs çok daha az yaygındır ve bunlardan da bahsedeceğiz. Ama önce karıncaların hayatından kesitler:

Kesir içeren bir fonksiyonun tanım kümesi

Diyelim ki bize bir miktar kesir içeren bir fonksiyon verildi. Bildiğiniz gibi sıfıra bölünemezsiniz: Paydayı sıfıra çeviren “X” değerleri bu fonksiyonun kapsamına dahil değildir..

gibi en basit işlevler üzerinde durmayacağım. vb., çünkü herkes kendi tanım alanına dahil olmayan noktaları mükemmel bir şekilde görür. Daha anlamlı kesirlere bakalım:

örnek 1

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Payda özel bir şey yoktur ancak paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bunu sıfıra eşitleyelim ve “kötü” noktaları bulmaya çalışalım:

Ortaya çıkan denklemin iki kökü vardır: . Veri değerleri fonksiyonun kapsamında değil. Aslında, veya fonksiyonunu yerine koyarsanız paydanın sıfıra gittiğini göreceksiniz.

Cevap: ihtisas:

Giriş şu şekildedir: “Tanım alanı, değerlerden oluşan küme dışındaki tüm gerçek sayılardır. " Matematikte ters eğik çizgi sembolünün mantıksal çıkarmayı, süslü parantezlerin ise kümeyi ifade ettiğini hatırlatayım. Cevap eşdeğer olarak üç aralığın birleşimi olarak yazılabilir:

Kimin hoşuna giderse.

noktalarda fonksiyon tolere eder sonsuz molalar ve düz çizgiler, denklemlerle verilir öyle dikey asimtotlar Bu fonksiyonun grafiği için. Ancak bu biraz farklı bir konu ve ayrıca buna fazla dikkat etmeyeceğim.

Örnek 2

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Görev esasen sözlüdür ve çoğunuz neredeyse anında tanım alanını bulacaksınız. Cevap dersin sonundadır.

Bir kesir her zaman “kötü” mü olacak? HAYIR. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. “x”in hangi değerini alırsak alalım, payda sıfıra gitmeyecek, üstelik her zaman pozitif olacaktır: . Dolayısıyla bu fonksiyonun kapsamı: .

Gibi tüm işlevler tanımlanmış ve sürekli Açık .

Payda dolu olduğunda durum biraz daha karmaşıktır. ikinci dereceden üç terimli:

Örnek 3

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Paydanın sıfıra gittiği noktaları bulmaya çalışalım. Bunun için karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Diskriminantın negatif olduğu ortaya çıktı, bu da gerçek köklerin olmadığı ve fonksiyonumuzun tüm sayı ekseninde tanımlandığı anlamına gelir.

Cevap: ihtisas:

Örnek 4

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Basit problemlerde tembellik etmemenizi tavsiye ederim, çünkü daha sonraki örneklerle yanlış anlaşılmalar birikecektir.

Köklü bir fonksiyonun etki alanı

Şununla işlev: kare kök yalnızca “x” değerleri için tanımlanır radikal ifade negatif değildir: . Kök paydada bulunuyorsa, koşul açıkça sıkılaştırılır: . Benzer hesaplamalar pozitif çift dereceli herhangi bir kök için geçerlidir: ancak kök zaten 4. dereceden fonksiyon çalışmaları Hatırlamıyorum.

Örnek 5

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: radikal ifade negatif olmamalıdır:

Çözüme devam etmeden önce, eşitsizliklerle çalışmanın okuldan bilinen temel kurallarını size hatırlatmama izin verin.

lütfen aklınızda bulundurun Özel dikkat! Şimdi eşitsizlikleri ele alıyoruz tek değişkenli- yani bizim için sadece eksen boyunca bir boyut. Lütfen karıştırmayın iki değişkenin eşitsizlikleri, koordinat düzleminin tamamının geometrik olarak dahil olduğu yer. Ancak hoş tesadüfler de var! Dolayısıyla eşitsizlik için aşağıdaki dönüşümler eşdeğerdir:

1) Şartlar, (şartlar) değiştirilerek bir kısımdan diğerine aktarılabilir. işaretler.

2) Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayı ile çarpılabilir.

3) Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpılırsa olumsuz numara, o zaman değiştirmeniz gerekir bizzat eşitsizliğin işareti. Örneğin “fazla” varsa o zaman “daha ​​az” olur; "küçük veya eşit" ise, o zaman "büyük veya eşit" olur.

Eşitsizlikte “üç”ü işaret değişikliği ile sağa kaydırıyoruz (kural 1):

Eşitsizliğin her iki tarafını –1 ile çarpalım (kural 3):

Eşitsizliğin her iki tarafını da (kural 2) ile çarpalım:

Cevap: ihtisas:

Cevap aynı zamanda eşdeğer bir ifadeyle de yazılabilir: "işlev şurada tanımlıdır."
Geometrik olarak tanım alanı apsis ekseninde karşılık gelen aralıkların gölgelenmesiyle gösterilir. Bu durumda:

Bir kez daha hatırlatıyorum geometrik anlamı tanım alanı - bir fonksiyonun grafiği yalnızca gölgeli alanda bulunur ve 'de yoktur.

Çoğu durumda, tanım alanının tamamen analitik olarak belirlenmesi uygundur, ancak fonksiyon çok karmaşık olduğunda bir eksen çizmeli ve notlar almalısınız.

Örnek 6

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Karekökün altında kare binom veya trinomial olduğunda durum biraz daha karmaşık hale geliyor, şimdi çözüm tekniğini detaylı olarak inceleyeceğiz:

Örnek 7

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Radikal ifade kesinlikle pozitif olmalı, yani eşitsizliği çözmemiz gerekiyor. İlk adımda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmaya çalışıyoruz:

Diskriminant pozitif, kökleri arıyoruz:

Yani parabol apsis eksenini iki noktada keser; bu, parabolün bir kısmının eksenin altında (eşitsizlik) ve parabolün bir kısmının eksenin üzerinde (ihtiyacımız olan eşitsizlik) bulunduğu anlamına gelir.

Katsayı olduğu için parabolün dalları yukarı doğru bakar. Yukarıdakilerden, eşitsizliğin aralıklarda karşılandığı (parabolün dalları sonsuza kadar yukarı doğru uzanır) ve parabolün tepe noktasının, eşitsizliğe karşılık gelen x ekseninin altındaki aralıkta yer aldığı sonucu çıkar:

! Not: Açıklamaları tam olarak anlamadıysanız lütfen ikinci ekseni ve parabolün tamamını çiziniz! Makaleye ve kılavuza geri dönmeniz tavsiye edilir Okul matematik dersi için sıcak formüller.

Eşitsizliğimiz katı olduğundan, noktaların kaldırıldığını (çözüme dahil edilmediğini) lütfen unutmayın.

Cevap: ihtisas:

Genel olarak, pek çok eşitsizlik (dikkate alınanlar dahil) evrensel çözümle çözülür. aralık yöntemi, yine okul müfredatından biliniyor. Ancak kare binom ve üç terimli durumlarda, bence parabolün eksene göre konumunu analiz etmek çok daha uygun ve daha hızlıdır. Ve makalede ana yöntemi - aralık yöntemini - ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Fonksiyon sıfırları. Sabitlik aralıkları.

Örnek 8

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek, akıl yürütmenin mantığı + ikinci çözüm yöntemi ve eşitsizliğin bir başka önemli dönüşümü hakkında ayrıntılı olarak yorum yapıyor, öğrencinin haberi olmadan tek ayak üzerinde topallayacağı..., ...hmm... belki de heyecanlandım bacak hakkında, daha çok tek ayak parmağında. Baş parmak.

Sayı doğrusunda karekök fonksiyonu tanımlanabilir mi? Kesinlikle. Tüm tanıdık yüzler: . Veya üslü benzer bir toplam: . Aslında, herhangi bir "x" ve "ka" değeri için: , dolayısıyla da ve .

İşte daha az belirgin bir örnek: . Burada diskriminant negatiftir (parabol x eksenini kesmez), parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir, dolayısıyla tanım alanı: .

Tersi soru: Bir fonksiyonun tanım alanı olabilir mi? boş? Evet ve ilkel bir örnek hemen kendini gösteriyor , burada radikal ifade herhangi bir "x" değeri için negatiftir ve tanım alanı: (boş küme simgesi). Böyle bir fonksiyon hiç tanımlanmamıştır (elbette grafik de yanıltıcıdır).

Garip köklerle vesaire. her şey çok daha iyi - burada radikal ifade negatif olabilir. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. Bununla birlikte, payda sıfıra ayarlandığından fonksiyonun hala tanım alanına dahil olmayan tek bir noktası vardır. İşlev için aynı nedenden dolayı puanlar hariçtir.

Logaritmik bir fonksiyonun tanım kümesi

Üçüncü ortak fonksiyon logaritmadır. Örnek olarak çizeceğim doğal logaritma 100 örnekten yaklaşık 99'unda görülür. Belirli bir fonksiyon bir logaritma içeriyorsa, tanım alanı yalnızca eşitsizliği karşılayan "x" değerlerini içermelidir. Logaritma paydada ise: , o zaman bunlara ek olarak bir koşul empoze edilmiştir ('den beri).

Örnek 9

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Yukarıdakilere uygun olarak sistemi oluşturup çözeceğiz:

Grafik çözümü Aptallar için:

Cevap: ihtisas:

Bir teknik nokta daha üzerinde duracağım - ölçeği belirtmiyorum ve eksen boyunca bölümler işaretlenmemiş. Şu soru ortaya çıkıyor: Kareli kağıt üzerine bir defterde bu tür çizimler nasıl yapılır? Noktalar arasındaki mesafe hücreler tarafından kesinlikle ölçeğe göre mi ölçülmeli? Elbette ölçeklendirmek daha kanonik ve daha katıdır, ancak durumu temel olarak yansıtan şematik bir çizim de oldukça kabul edilebilir.

Örnek 10

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Sorunu çözmek için önceki paragrafın yöntemini kullanabilirsiniz - parabolün x eksenine göre nasıl yerleştirildiğini analiz edin. Cevap dersin sonundadır.

Gördüğünüz gibi logaritma alanında her şey kareköklerle ilgili duruma çok benzer: fonksiyon (Örnek No. 7'deki kare trinomial) aralıklarda tanımlanır ve fonksiyon (Örnek No. 6'dan kare binom) aralıkta . Tip fonksiyonlarının sayı doğrusunda tanımlandığını söylemek bile gariptir.

Yardımcı bilgi : tipik fonksiyon ilginçtir, nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlanır. Logaritmanın özelliğine göre “iki” logaritmanın dışında çarpılabilir ancak fonksiyonun değişmemesi için “x”in modül işaretinin altına alınması gerekir: . İşte sana bir tane daha" pratik kullanım» modül =). Yıkarken çoğu durumda yapmanız gereken şey budur. eşit derece, örneğin: . Örneğin derecenin tabanı açıkça pozitifse, modül işaretine gerek yoktur ve parantezlerin kullanılması yeterlidir: .

Tekrarı önlemek için görevi karmaşıklaştıralım:

Örnek 11

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu fonksiyonda hem kök hem de logaritmaya sahibiz.

Radikal ifade negatif olmamalıdır: ve logaritma işaretinin altındaki ifade kesinlikle pozitif olmalıdır: . Bu nedenle sistemi çözmek gerekir:

Birçoğunuz sistem çözümünün tatmin edici olması gerektiğini çok iyi biliyor veya sezgisel olarak tahmin ediyorsunuz. her birine durum.

Parabolün eksene göre konumunu inceleyerek eşitsizliğin aralık (mavi gölgelendirme) tarafından karşılandığı sonucuna varıyoruz:

Eşitsizlik açıkça “kırmızı” yarı aralığa karşılık gelir.

Her iki koşulun da sağlanması gerektiğinden eşzamanlı ise sistemin çözümü bu aralıkların kesişimidir. Devre arasında "ortak çıkarlar" karşılanır.

Cevap: ihtisas:

Örnek 8'de gösterildiği gibi tipik eşitsizliğin analitik olarak çözülmesi zor değildir.

Bulunan etki alanı "benzer işlevler" için değişmeyecektir, ör. veya . Ayrıca bazı sürekli işlevler de ekleyebilirsiniz, örneğin: veya bunun gibi: , hatta şöyle: . Dedikleri gibi kök ve logaritma inatçı şeylerdir. Tek şey, eğer işlevlerden biri paydaya "sıfırlanırsa", o zaman tanım alanı değişecektir (her ne kadar genel durumda bu her zaman doğru olmasa da). Matan teorisinde bu sözel konu hakkında... ah... teoremler var.

Örnek 12

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İşlev en basit olmadığından çizim kullanmak oldukça uygundur.

Malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha:

Örnek 13

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Sistemi oluşturup çözelim:

Tüm eylemler makale boyunca zaten tartışılmıştır. Eşitsizliğe karşılık gelen aralığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve ikinci koşula göre iki noktayı ortadan kaldıralım:

Anlamın tamamen alakasız olduğu ortaya çıktı.

Cevap: ihtisas

13. örneğin bir varyasyonu üzerine küçük bir matematik oyunu:

Örnek 14

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kaçıranlar şanssız ;-)

Dersin son bölümü daha nadir fakat aynı zamanda “çalışan” işlevlere ayrılmıştır:

Fonksiyon Tanım Alanları
teğetler, kotanjantlar, arksinüsler, arkkosinüsler ile

Eğer bir işlev içeriyorsa, o zaman onun tanım alanından hariç tutuldu puan , Nerede Z– bir tamsayılar kümesi. Özellikle makalede belirtildiği gibi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, fonksiyon delinmiş aşağıdaki değerler:

Yani teğetin tanım alanı: .

Çok fazla öldürmeyelim:

Örnek 15

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu durumda aşağıdaki hususlar tanım alanına dahil edilmeyecektir:

Sol tarafın "ikisini" sağ tarafın paydasına atalım:

Sonuç olarak :

Cevap: ihtisas: .

Prensipte cevap sonsuz sayıda aralığın birleşimi olarak yazılabilir, ancak yapımı çok hantal olacaktır:

Analitik çözüm tamamen tutarlıdır. grafiğin geometrik dönüşümü: Bir fonksiyonun argümanı 2 ile çarpılırsa grafiği eksene iki kez küçülür. Fonksiyonun periyodunun nasıl yarıya indirildiğine dikkat edin ve kırılma noktaları sıklığı iki katına çıktı. Taşikardi.

Benzer hikaye kotanjant ile. Eğer bir fonksiyon şunu içeriyorsa, o zaman noktalar onun tanım alanının dışında bırakılır. Özellikle otomatik seri çekim işlevi için aşağıdaki değerleri çekiyoruz:

Başka bir deyişle: