İki sayı arasındaki ortalama değer. Aritmetik ortalama ve özellikleri. "Vesna" ticaret şirketinin mağazalarının satış alanına göre dağılımı, metrekare M

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. ortalama anlam.

Ortalama(matematik ve istatistikte) sayı kümeleri - tüm sayıların toplamının kendi sayılarına bölümü. Merkezi eğilim ölçülerinin en yaygınlarından biridir.

Pisagorcular tarafından (geometrik ortalama ve harmonik ortalamayla birlikte) önerildi.

Aritmetik ortalamanın özel durumları ortalama (genel popülasyon) ve örnek ortalamasıdır (örneklem).

giriiş

Veri kümesini gösterelim X = (X 1 , X 2 , …, X N), bu durumda örnek ortalama genellikle değişkenin üzerinde yatay bir çubukla gösterilir (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), " olarak telaffuz edilir X bir çizgiyle").

Yunanca μ harfi tüm popülasyonun aritmetik ortalamasını belirtmek için kullanılır. Ortalama değeri belirlenen bir rastgele değişken için μ olasılıksal ortalama veya rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi. Eğer set X olasılıksal ortalaması μ olan rastgele sayıların bir koleksiyonudur, o zaman herhangi bir örnek için X Ben bu kümeden μ = E( X Ben) bu numunenin matematiksel beklentisidir.

Uygulamada, μ ve x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) arasındaki fark, μ'nin tipik bir değişken olmasıdır çünkü bütünü yerine bir örneği görebilirsiniz Genel popülasyon. Bu nedenle, eğer örnek rastgele temsil edilirse (olasılık teorisi açısından), o zaman x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ancak μ değil), örnek üzerinde olasılık dağılımına sahip bir rastgele değişken olarak ele alınabilir ( ortalamanın olasılık dağılımı).

Bu miktarların her ikisi de aynı şekilde hesaplanır:

X¯ = 1 n ∑ ben = 1 n x ben = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n))).)

Eğer X rastgele bir değişken ise matematiksel beklenti X bir büyüklüğün tekrarlanan ölçümlerindeki değerlerin aritmetik ortalaması olarak düşünülebilir X. Bu kanunun bir tezahürüdür büyük sayılar. Bu nedenle, bilinmeyen beklenen değeri tahmin etmek için örnek ortalama kullanılır.

Temel cebirde ortalamanın olduğu kanıtlanmıştır. N+ 1 sayı ortalamanın üzerinde N sayılar ancak ve ancak yeni sayı eski ortalamadan büyükse, daha az ancak yeni sayı ortalamadan küçükse ve yalnızca yeni sayı ortalamaya eşitse değişmez. Daha fazla N yeni ve eski ortalamalar arasındaki fark ne kadar küçük olursa.

Güç ortalaması, Kolmogorov ortalaması, harmonik ortalama, aritmetik-geometrik ortalama ve çeşitli ağırlıklı ortalamalar (örneğin, ağırlıklı aritmetik ortalama, ağırlıklı geometrik ortalama, ağırlıklı harmonik ortalama) dahil olmak üzere başka birçok "ortalama" bulunduğunu unutmayın.

Örnekler

• Üç sayı için bunları toplayıp 3'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3))).)

• Dört sayı için bunları toplayıp 4'e bölmeniz gerekir:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4))).)

Veya daha basiti 5+5=10, 10:2. Çünkü 2 sayı topluyorduk, yani kaç sayı topluyorsak o kadara bölüyoruz.

Sürekli rastgele değişken

Sürekli olarak dağıtılan bir f (x) (\displaystyle f(x)) miktarı için, [ a ; b ] (\displaystyle ) belirli bir integral aracılığıyla belirlenir:

F(x)¯[ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x))))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Ortalamayı kullanmanın bazı sorunları

Sağlamlık eksikliği

Ana makale: İstatistiklerde sağlamlık

Aritmetik ortalamalar genellikle ortalamalar veya merkezi eğilimler olarak kullanılsa da, bu kavram sağlam bir istatistik değildir; bu, aritmetik ortalamanın "büyük sapmalardan" büyük ölçüde etkilendiği anlamına gelir. Büyük bir çarpıklık katsayısına sahip dağılımlar için aritmetik ortalamanın “ortalama” kavramına karşılık gelmeyebileceği ve sağlam istatistiklerden (örneğin medyan) ortalama değerlerinin merkezini daha iyi tanımlayabileceği dikkat çekicidir. eğilim.

Klasik bir örnek ortalama gelirin hesaplanmasıdır. Aritmetik ortalama, medyan olarak yanlış yorumlanabilir ve bu da gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip insanların olduğu sonucuna varılmasına yol açabilir. “Ortalama” gelir, çoğu insanın bu rakam civarında bir gelire sahip olduğu şeklinde yorumlanıyor. Bu "ortalama" (aritmetik ortalama anlamında) gelir, çoğu insanın gelirinden daha yüksektir, çünkü ortalamadan büyük bir sapma ile birlikte yüksek bir gelir, aritmetik ortalamayı oldukça çarpık hale getirir (bunun tersine, medyan ortalama gelir böyle bir çarpıklığa "direnir"). Ancak bu "ortalama" gelir, medyan gelire yakın insan sayısı hakkında hiçbir şey söylemez (ve modal gelire yakın insan sayısı hakkında da hiçbir şey söylemez). Ancak, "ortalama" ve "çoğu insan" kavramlarını hafife alırsanız, çoğu insanın gerçekte olduğundan daha yüksek gelire sahip olduğu yönünde yanlış bir sonuca varabilirsiniz. Örneğin, Medine, Washington'da sakinlerin tüm yıllık net gelirlerinin aritmetik ortalaması olarak hesaplanan "ortalama" net gelir raporu şaşırtıcı bir şekilde sonuç verecektir. Büyük sayı Bill Gates yüzünden. Örneği düşünün (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetik ortalama 3,17 ama altı değerden beşi bu ortalamanın altında.

Bileşik faiz

Ana makale: Yatırım getirisi

Eğer sayılar çarpmak, Ama değil katlamak aritmetik ortalamayı değil geometrik ortalamayı kullanmanız gerekir. Çoğu zaman bu olay, finans yatırımının getirisi hesaplanırken ortaya çıkar.

Örneğin, bir hisse senedi ilk yıl %10 düşüp ikinci yılda %30 yükseldiyse, bu iki yıldaki “ortalama” artışın aritmetik ortalama (-%10 + %30) / 2 olarak hesaplanması yanlıştır. = %10; bu durumda doğru ortalama, yalnızca yaklaşık %8,16653826392 ≈ %8,2 yıllık büyüme oranı veren bileşik yıllık büyüme oranıyla verilmektedir.

Bunun nedeni yüzdelerin her seferinde yeni bir başlangıç ​​noktasına sahip olmasıdır: %30, %30'dur. ilk yılın başındaki fiyattan daha düşük bir rakamdan: Eğer bir hisse senedi 30 dolardan başlayıp %10 düşerse, ikinci yılın başında değeri 27 dolar olur. Hisse senedi %30 değer kazanırsa ikinci yılın sonunda değeri 35,1 dolar olacaktı. Bu büyümenin aritmetik ortalaması %10'dur, ancak hisse senedi 2 yılda yalnızca 5,1 dolar arttığından, %8,2'lik ortalama büyüme 35,1 dolarlık nihai sonucu verir:

[30 ABD Doları (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 ABD Doları (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 ABD Doları]. Ortalamayı aynı şekilde kullanırsak aritmetik değer%10, gerçek değeri alamayacağız: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3$].

2 yıl sonundaki bileşik faiz: %90 * %130 = %117 yani toplam artış %17, yıllık ortalama bileşik faiz ise %117 ≈ %108,2 (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\yaklaşık 108,2\%) , yani yıllık ortalama %8,2 artış.

Talimatlar

Ana makale: Hedef istatistikleri

Döngüsel olarak değişen bazı değişkenlerin (faz veya açı gibi) aritmetik ortalaması hesaplanırken özel dikkat gösterilmelidir. Örneğin, 1° ve 359°'nin ortalaması 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° olacaktır. Bu sayı iki nedenden dolayı yanlıştır.

• Birincisi, açısal ölçüler yalnızca 0° ila 360° (veya radyan cinsinden ölçüldüğünde 0 ila 2π) aralığı için tanımlanır. Yani aynı sayı çifti (1° ve −1°) veya (1° ve 719°) şeklinde yazılabilir. Her çiftin ortalama değerleri farklı olacaktır: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ daire)) .
• İkincisi, bu durumda, 0° değeri (360°'ye eşdeğer) geometrik olarak daha iyi bir ortalama değer olacaktır, çünkü sayılar 0°'den diğer herhangi bir değere göre daha az sapar (0° değeri en küçük varyansa sahiptir). Karşılaştırmak:
  • 1° sayısı 0°'den yalnızca 1° sapar;
  • 1° sayısı hesaplanan ortalama 180°'den 179° sapmaktadır.

Yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanan döngüsel bir değişkenin ortalama değeri, gerçek ortalamaya göre yapay olarak sayısal aralığın ortasına doğru kaydırılacaktır. Bu nedenle ortalama farklı şekilde hesaplanır, yani varyansı en küçük olan sayı (merkez noktası) ortalama değer olarak seçilir. Ayrıca çıkarma yerine modüler mesafe (yani çevresel mesafe) kullanılır. Örneğin, 1° ile 359° arasındaki modüler mesafe 358° değil 2°'dir (359° ile 360°==0° arasındaki daire üzerinde - bir derece, 0° ile 1° arasında - ayrıca 1°, toplamda - 2 °).

4.3. Ortalama değerler. Ortalama değerlerin özü ve anlamı

Ortalama boyut istatistikte, niteliksel olarak homojen bir nüfusun birimi başına değişen bir özelliğin değerini yansıtan, belirli yer ve zaman koşullarında bir olgunun tipik seviyesini karakterize eden genel bir göstergedir. Ekonomik uygulamada ortalama değerler olarak hesaplanan çok çeşitli göstergeler kullanılır.

Örneğin, çalışanların gelirinin genel bir göstergesi anonim şirket(JSC), fon oranına göre belirlenen bir işçinin ortalama geliri olarak hizmet vermektedir. ücretler ve JSC çalışanlarının sayısına incelenen döneme (yıl, çeyrek, ay) ilişkin sosyal ödemeler.

Ortalamanın hesaplanması yaygın genelleme tekniklerinden biridir; ortalama gösterge, incelenen popülasyonun tüm birimleri için ortak olanı (tipik) yansıtırken aynı zamanda bireysel birimlerin farklılıklarını da göz ardı eder. Her olguda ve onun gelişiminde bir kombinasyon vardır. kazalar Ve gerekli. Ortalamaları hesaplarken, büyük sayılar yasasının etkisi nedeniyle, rastgelelik iptal edilir ve dengelenir, böylece olgunun önemsiz özelliklerinden, her bir özel durumda karakteristiklerin niceliksel değerlerinden soyutlamak mümkündür. . Bireysel değerlerin rastgeleliğinden, dalgalanmalardan soyutlama yeteneği, ortalamaların bilimsel değerinde yatmaktadır. genelleme popülasyonların özellikleri.

Genelleme ihtiyacının ortaya çıktığı durumlarda, bu tür özelliklerin hesaplanması, özelliğin birçok farklı bireysel değerinin değiştirilmesine yol açmaktadır. ortalama bireysel fenomenlerde görünmeyen, kitlesel sosyal fenomenlerin doğasında bulunan kalıpları tanımlamayı mümkün kılan, tüm fenomen setini karakterize eden bir gösterge.

Ortalama, incelenen olgunun karakteristik, tipik, gerçek seviyesini yansıtır, bu seviyeleri ve bunların zaman ve mekandaki değişimlerini karakterize eder.

Ortalama, gerçekleştiği koşullardaki süreç yasalarının özet bir özelliğidir.

4.4. Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri

Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ve kaynak verilerin ekonomik içeriğine göre belirlenir. Her özel durumda ortalama değerlerden biri kullanılır: aritmetik, garmonik, geometrik, ikinci dereceden, kübik vesaire. Listelenen ortalamalar sınıfa aittir sakinleştirici ortalama.

İstatistiksel uygulamada güç ortalamalarının yanı sıra mod ve medyan olarak kabul edilen yapısal ortalamalar da kullanılmaktadır.

Güç ortalamaları üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım.

Aritmetik ortalama

En yaygın ortalama türü ortalama aritmetik. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin özelliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal olgular, değişen karakteristiklerin hacimlerinin toplamı (özetlenmesi) ile karakterize edilir; bu, aritmetik ortalamanın uygulama kapsamını belirler ve genel bir gösterge olarak yaygınlığını açıklar, örneğin: toplam ücret fonu, ücretlerin toplamıdır. Tüm işçiler için brüt hasat, tüm ekim sezonu alanında üretilen ürünlerin toplamıdır.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir.

Aritmetik ortalama şu şekilde kullanılır: basit ortalama ve ağırlıklı ortalama. Başlangıçtaki tanımlayıcı biçim basit ortalamadır.

Basit aritmetik ortalama ortalaması alınan özelliğin bireysel değerlerinin basit toplamının bu değerlerin toplam sayısına bölünmesine eşittir (özelliğin gruplanmamış bireysel değerlerinin olduğu durumlarda kullanılır):

Nerede
- değişkenin bireysel değerleri (varyantlar); M - popülasyondaki birim sayısı.

Ayrıca formüllerde toplam limitleri belirtilmeyecektir. Örneğin, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiğini biliyorsanız, bir işçinin (tamircinin) ortalama çıktısını bulmanız gerekir; karakteristiğin bir takım bireysel değerleri verilmiştir, adet:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Basit aritmetik ortalama, 1 adet formül (4.1) kullanılarak hesaplanır:

Farklı sayıda tekrarlanan veya dedikleri gibi farklı ağırlıklara sahip seçeneklerin ortalamasına denir. ağırlıklı. Ağırlıklar, popülasyonun farklı gruplarındaki birimlerin sayısıdır (aynı seçenekler bir grupta birleştirilir).

Aritmetik ortalama ağırlıklı- gruplandırılmış değerlerin ortalaması, - aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

, (4.2)

Nerede
- ağırlık (aynı işaretlerin tekrarlanma sıklığı);

- özelliklerin büyüklüğü ve frekanslarının çarpımlarının toplamı;

- toplam nüfus birimi sayısı.

Yukarıda tartışılan örneği kullanarak aritmetik ağırlıklı ortalamayı hesaplama tekniğini gösteriyoruz. Bunu yapmak için kaynak verileri gruplandırıp bir tabloya yerleştireceğiz. 4.1.

Tablo 4.1

Parça üretimi için işçi dağıtımı

Formül (4.2)'ye göre ağırlıklı aritmetik ortalama, adetlere eşittir:

Bazı durumlarda ağırlıklar mutlak değerler olarak değil, göreceli değerler olarak (bir birimin yüzdeleri veya kesirleri olarak) sunulabilir. O zaman aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şöyle görünecektir:

Nerede
- özellik, yani her bir frekansın tüm frekansların toplamındaki payı

Frekanslar kesirler (katsayılar) halinde sayılırsa, o zaman
= 1 ve aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şu şekildedir:

Grup ortalamalarından ağırlıklı aritmetik ortalamanın hesaplanması formüle göre gerçekleştirilir:

,

Nerede F-her gruptaki birim sayısı.

Grup ortalamalarından aritmetik ortalamanın hesaplanmasının sonuçları tabloda sunulmaktadır. 4.2.

Tablo 4.2

Çalışanların ortalama hizmet süresine göre dağılımı

Bu örnekte seçenekler, bireysel çalışanların hizmet süresine ilişkin bireysel veriler değil, her atölye için ortalamadır. Terazi F mağazalardaki işçi sayısıdır. Dolayısıyla, işletme genelinde çalışanların ortalama iş deneyimi yıl olacaktır:

.

Dağılım serilerinde aritmetik ortalamanın hesaplanması

Ortalaması alınan özelliğin değerleri aralıklar şeklinde ("-den-e") belirtilirse, yani. aralık serileri dağılımları, daha sonra aritmetik ortalama hesaplanırken bu aralıkların orta noktaları gruplardaki özelliklerin değerleri olarak alınır ve sonuçta ayrık bir seri oluşur. Aşağıdaki örneği inceleyin (Tablo 4.3).

Aralık değerlerini ortalama değerleriyle değiştirerek aralıklı bir seriden ayrık bir seriye geçelim/(basit ortalama

Tablo 4.3

JSC çalışanlarının aylık ücret düzeyine göre dağılımı

İşçi grupları	Çalışan sayısı	Aralığın ortası
maaşlar, ovmak.	insanlar, F	ovmak., X
900 veya daha fazla

açık aralıkların değerleri (birinci ve son) koşullu olarak kendilerine bitişik aralıklara (ikinci ve sondan bir önceki) eşittir.

Ortalamanın bu şekilde hesaplanmasıyla, grup içindeki karakteristik birimlerin tekdüze dağılımı hakkında bir varsayım yapıldığından bir miktar yanlışlığa izin verilir. Ancak aralık ne kadar darsa ve aralıktaki birim sayısı arttıkça hata da o kadar küçük olur.

Aralıkların orta noktaları bulunduktan sonra hesaplamalar ayrı bir seride olduğu gibi yapılır - seçenekler frekanslarla (ağırlıklar) çarpılır ve çarpımların toplamı frekansların (ağırlıkların) toplamına bölünür. , bin ruble:

.

Bu yüzden, ortalama seviye JSC çalışanlarının ücreti 729 ruble. her ay.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması genellikle çok fazla zaman ve emek gerektirir. Bununla birlikte, bazı durumlarda, ortalamayı hesaplama prosedürü, özelliklerini kullanırsanız basitleştirilebilir ve kolaylaştırılabilir. Aritmetik ortalamanın bazı temel özelliklerini (kanıt olmadan) sunalım.

Mülk 1. Bir özelliğin tüm bireysel değerleri (ör. tüm seçenekler) azaltın veya artırın Bençarpı, ardından ortalama değer yeni karakteristik buna bağlı olarak azalacak veya artacaktır Benbir kere.

Mülk 2. Ortalaması alınan özelliğin tüm değişkenleri azaltılırsaA numarasına göre dikin veya artırın, o zaman aritmetik ortalama karşılık geliraslında aynı A sayısı kadar azalacak veya artacaktır.

Mülk 3. Tüm ortalama seçeneklerin ağırlıkları azaltılırsa veya şu kadar artırın İle kez olursa aritmetik ortalama değişmeyecektir.

Ortalama ağırlıklar olarak mutlak göstergeler yerine genel toplamdaki (paylar veya yüzdeler) belirli ağırlıkları kullanabilirsiniz. Bu ortalamanın hesaplanmasını basitleştirir.

Ortalama hesaplamalarını basitleştirmek için seçeneklerin ve frekansların değerlerini azaltma yolunu izlerler. En büyük basitleştirme şu şekilde sağlanır: A Merkezi seçeneklerden en yüksek frekansa sahip olanın değeri / - aralığın değeri (eşit aralıklı seriler için) olarak seçilir. A miktarına referans noktası denir, bu nedenle ortalamayı hesaplamanın bu yöntemine “koşullu sıfırdan sayma yöntemi” veya "anların yolunda."

Diyelim ki tüm seçenekler Xönce aynı A sayısı kadar azaldı, sonra da azaldı Ben bir kere. Yeni seçeneklerin yeni bir varyasyonel dağılım serisini elde ediyoruz .

Daha sonra yeni seçenekler ifade edilecektir:

,

ve bunların yeni aritmetik ortalamaları , -ilk sipariş anı-formül:

.

İlk olarak azaltılan orijinal seçeneklerin ortalamasına eşittir. A, ve sonra Ben bir kere.

Gerçek ortalamayı elde etmek için birinci dereceden bir momente ihtiyaç vardır. M 1 , ile çarpın Ben ve Ekle A:

.

Bir varyasyon serisinin aritmetik ortalamasını hesaplamanın bu yöntemine denir. "anların yolunda." Bu yöntem eşit aralıklarla satırlar halinde kullanılır.

Momentler yöntemi kullanılarak aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 4.4.

Tablo 4.4

2000 yılında bölgedeki küçük işletmelerin sabit üretim varlıklarının (FPF) değerine göre dağılımı.

OPF değerine göre işletme grupları, bin ruble.	İşletme sayısı F	Aralıkların orta noktaları X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

İlk sipariş anını bulma

.

O zaman A = 19'u alıp bunu bilerek Ben= 2, hesapla X, bin ruble.:

Ortalama değer türleri ve hesaplama yöntemleri

İstatistiksel işleme aşamasında, çözümü için uygun ortalamanın seçilmesinin gerekli olduğu çeşitli araştırma problemleri belirlenebilir. Bu durumda, aşağıdaki kurala göre yönlendirilmek gerekir: ortalamanın payını ve paydasını temsil eden miktarlar birbirleriyle mantıksal olarak ilişkili olmalıdır.

• güç ortalamaları;
• yapısal ortalamalar.

Aşağıdakileri tanıtalım semboller:

Ortalaması hesaplanan miktarlar;

Yukarıdaki çubuğun bireysel değerlerin ortalamasının alındığını gösterdiği ortalama;

Frekans (bireysel karakteristik değerlerin tekrarlanabilirliği).

Çeşitli ortalamalar elde edilir Genel formül güç ortalaması:

(5.1)

k = 1 olduğunda - aritmetik ortalama; k = -1 - harmonik ortalama; k = 0 - geometrik ortalama; k = -2 - ortalama karenin kökü.

Ortalama değerler basit veya ağırlıklı olabilir. Ağırlıklı ortalamalar Bunlar, özellik değerlerinin bazı varyantlarının farklı sayılara sahip olabileceğini ve dolayısıyla her seçeneğin bu sayıyla çarpılması gerektiğini dikkate alan değerlerdir. Başka bir deyişle, "ölçekler" farklı gruplardaki toplam birimlerin sayısıdır; Her seçenek sıklığına göre "ağırlıklandırılır". f frekansına denir istatistiksel ağırlık veya ortalama ağırlık.

Aritmetik ortalama- en yaygın ortalama türü. Ortalama terimi elde etmeniz gereken gruplanmamış istatistiksel veriler üzerinde hesaplama yapıldığında kullanılır. Aritmetik ortalama, bir özelliğin toplamdaki toplam hacminin değişmeden kaldığı elde edildiğinde, bir özelliğin ortalama değeridir.

Aritmetik ortalama formülü ( basit) formu var

burada n popülasyon büyüklüğüdür.

Örneğin, bir işletme çalışanlarının ortalama maaşı aritmetik ortalama olarak hesaplanır:

Buradaki belirleyici göstergeler her çalışanın maaşı ve işletmenin çalışan sayısıdır. Ortalama hesaplanırken toplam ücret tutarı aynı kaldı ancak tüm çalışanlara eşit olarak dağıtıldı. Örneğin 8 kişinin çalıştığı küçük bir şirkette çalışanların ortalama maaşını hesaplamanız gerekiyor:

Ortalama değerleri hesaplarken, ortalaması alınan özelliğin bireysel değerleri tekrarlanabilir, böylece hesaplama ortalama boyut gruplandırılmış veriler kullanılarak üretilmiştir. Bu durumda Hakkında konuşuyoruz kullanım hakkında aritmetik ortalama ağırlıklı formuna sahip olan

(5.3)

Bu nedenle, bir anonim şirketin hisse senetlerinin borsadaki ortalama fiyatını hesaplamamız gerekiyor. İşlemlerin 5 gün (5 işlem) içerisinde gerçekleştirildiği bilinmekte olup, satış kuru üzerinden satılan hisse adedi şu şekilde dağıtılmıştır:

1 - 800 ak. - 1010 ovmak.

2 - 650 ak. - 990 ovmak.

3 - 700 ak. - 1015 ovmak.

4 - 550 ak. - 900 ovmak.

5 - 850 Ak. - 1150 ovmak.

Hisselerin ortalama fiyatını belirlemek için kullanılan başlangıç ​​oranı, toplam işlem tutarının (TVA) satılan hisse sayısına (KPA) oranıdır.

Şimdi konuşalım ortalama nasıl hesaplanır.
Klasik görünüm genel teori istatistikler bize ortalama değeri seçme kurallarının bir versiyonunu sunar.
Öncelikle ortalama değeri (AFV) hesaplamak için doğru mantıksal formülü oluşturmanız gerekir. Her ortalama değer için, onu hesaplamak için her zaman tek bir mantıksal formül vardır, bu nedenle burada hata yapmak zordur. Ancak payda (kesrin tepesinde olan budur) tüm olayların toplamının ve paydada (kesirin altında olan) toplam öğe sayısının olduğunu her zaman hatırlamalıyız.

Mantıksal formül derlendikten sonra kuralları kullanabilirsiniz (anlaşılma kolaylığı için bunları basitleştirip kısaltacağız):
1. Kaynak veriler (frekansla belirlenir) mantıksal bir formülün paydasını içeriyorsa, hesaplama ağırlıklı aritmetik ortalama formülü kullanılarak gerçekleştirilir.
2. Mantıksal bir formülün payı kaynak verilerde sunuluyorsa, hesaplama ağırlıklı harmonik ortalama formülü kullanılarak gerçekleştirilir.
3. Sorun mantıksal bir formülün hem payını hem de paydasını sunuyorsa (bu nadiren olur), hesaplamayı bu formülü veya basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak yaparız.
Ortalamayı hesaplamak için doğru formülü seçmenin klasik fikri budur. Daha sonra, ortalama değeri hesaplamak için problemleri çözerken yapılacak eylem sırasını sunuyoruz.

Ortalama değerin hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için algoritma

A. Ortalama değeri hesaplama yöntemini belirleyin - basit veya ağırlıklı . Veriler tablo halinde sunuluyorsa ağırlıklı yöntem, veriler basit bir numaralandırmayla sunuluyorsa basit hesaplama yöntemi kullanıyoruz.

B. Sembolleri tanımlar veya düzenleriz - X - seçenek, F - sıklık . Seçenek, hangi olguya ilişkin ortalama değeri bulmak istediğinizdir. Tabloda kalan veriler frekans olacaktır.

B. Ortalama değeri hesaplamak için formu belirleriz - aritmetik veya harmonik . Belirleme frekans sütunu kullanılarak gerçekleştirilir. Frekanslar açık bir miktarla belirtilmişse aritmetik form kullanılır (şartlı olarak, parça kelimesini, öğe sayısını "parça" olarak değiştirebilirsiniz). Frekanslar açık bir miktarla değil, karmaşık bir göstergeyle (ortalama miktar ve frekansın çarpımı) belirtilirse harmonik form kullanılır.

Özellikle bu konularda tecrübesiz bir öğrenci için en zor olanı nereye ve ne miktarda verildiğini tahmin etmektir. Böyle bir durumda aşağıdaki yöntemlerden birini kullanabilirsiniz. Bazı görevler için (ekonomik), yıllar süren uygulamalar sonucunda geliştirilen bir ifade uygundur (B.1 noktası). Diğer durumlarda B.2 maddesini kullanmanız gerekecektir.

B.1 Frekans para birimi cinsinden (ruble cinsinden) verilmişse, hesaplama için harmonik ortalama kullanılır, bu ifade her zaman doğrudur, eğer tanımlanan frekans para cinsinden verilirse, diğer durumlarda bu kural geçerli değildir.

B.2 Yukarıda bu makalede belirtilen ortalama değeri seçmek için kuralları kullanın. Frekans, ortalama değeri hesaplamak için mantıksal formülün paydası tarafından veriliyorsa, o zaman aritmetik ortalama formunu kullanarak hesaplarız; eğer frekans, ortalama değeri hesaplamak için mantıksal formülün payı tarafından verilirse, o zaman aşağıdakileri kullanarak hesaplarız: harmonik ortalama formu.

Bu algoritmayı kullanma örneklerine bakalım.

C. Veriler bir satırda sunulduğu için basit bir hesaplama yöntemi kullanıyoruz.

B.V. Elimizde yalnızca emekli maaşlarının miktarına ilişkin veriler var ve bunlar bizim seçeneğimiz olacak - x. Veriler basit bir sayı (12 kişi) olarak sunulmaktadır, hesaplama için basit aritmetik ortalamayı kullanıyoruz.

Bir emeklinin ortalama emekli maaşı 9208,3 ruble.

B. Bulmamız gerektiğinden ortalama boyutçocuk başına ödemeler, o zaman seçenekler ilk sütundadır, oraya x adını koyun, ikinci sütun otomatik olarak frekans f olur.

B. Sıklık (çocuk sayısı) açık bir miktarla verilir (çocukların kelime parçalarını değiştirebilirsiniz, Rus dili açısından bu yanlış bir ifadedir, ancak aslında çok uygundur) Bu, hesaplama için ağırlıklı aritmetik ortalamanın kullanıldığı anlamına gelir.

Aynı problem formülsel bir yöntemle değil, tablosal bir yöntemle, yani ara hesaplamaların tüm verilerinin bir tabloya girilmesiyle çözülebilir.

Sonuç olarak şimdi yapılması gereken tek şey iki toplamı doğru sırayla ayırmaktır.

Çocuk başına aylık ortalama ödeme 1.910 ruble idi.

C. Veriler tabloda sunulduğundan hesaplama için ağırlıklı bir form kullanıyoruz.

B. Sıklık (üretim maliyeti), örtülü bir miktarla verilir (sıklık, ruble B1 algoritmasının noktası), bu da hesaplama için ağırlıklı harmonik ortalamanın kullanıldığı anlamına gelir. Genel olarak üretim maliyeti, bir ürünün birim maliyetinin bu tür ürünlerin sayısıyla çarpılmasıyla elde edilen karmaşık bir göstergedir, harmonik ortalama değerin özü budur.

Bu problemin aritmetik ortalama formülü kullanılarak çözülebilmesi için üretim maliyeti yerine ürün sayısının buna karşılık gelen maliyete sahip olması gerekir.

Hesaplamalar sonucunda elde edilen paydanın toplamı 410 (120+80+210) olup, üretilen toplam ürün sayısıdır.

Birim ürün başına ortalama maliyet 314,4 ruble idi.

C. Veriler tabloda sunulduğundan hesaplama için ağırlıklı bir form kullanıyoruz.

B. Birim ürün başına ortalama maliyeti bulmamız gerektiğinden, seçenekler ilk sütundadır, oraya x adını koyarız, ikinci sütun otomatik olarak f frekansı olur.

B. Sıklık (toplam devamsızlık sayısı) örtülü bir miktarla verilir (bu, devamsızlık sayısı ile bu sayıda devamsızlığı olan öğrenci sayısının iki göstergesinin çarpımıdır), bu da ağırlıklı harmonik ortalamanın kullanıldığı anlamına gelir. hesaplama için. B2 algoritmasının noktasını kullanacağız.

Bu problemin aritmetik ortalama formülü kullanılarak çözülebilmesi için toplam devamsızlık sayısı yerine öğrenci sayısının bulunması gerekmektedir.

Öğrenci başına ortalama devamsızlık sayısını hesaplamak için mantıksal bir formül oluşturuyoruz.

Görev koşuluna göre sıklık Toplam ihmal sayısı. Mantıksal formülde bu gösterge paydadır, yani harmonik ortalama formülünü kullanıyoruz.

Lütfen 31 (18+8+5) hesaplaması sonucunda elde edilen paydadaki toplamın toplam öğrenci sayısı olduğunu unutmayın.

Öğrenci başına ortalama devamsızlık sayısı 13,8 gündür.

Farklı çalışanların görevlerini tamamlamak için ortalama gün sayısını bulmanız gerektiğini varsayalım. Veya 10 yıllık bir zaman aralığını, belirli bir gündeki ortalama sıcaklığı hesaplamak istiyorsunuz. Bir sayı dizisinin ortalamasını çeşitli yollarla hesaplamak.

Ortalama, istatistiksel dağılımdaki bir sayı serisinin merkezinin bulunduğu merkezi eğilim ölçüsünün bir fonksiyonudur. Üçü merkezi eğilimin en yaygın kriterleridir.

Ortalama Aritmetik ortalama, bir dizi sayının toplanması ve ardından bu sayıların sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Örneğin 2, 3, 3, 5, 7 ve 10'un ortalaması 30 bölü 6,5'tir;

Medyan Bir sayı dizisinin ortalama sayısı. Sayıların yarısı Medyandan büyük değerlere sahip, sayıların yarısı da Medyandan küçük değerlere sahip. Örneğin 2, 3, 3, 5, 7 ve 10'un medyanı 4'tür.

Mod Bir sayı grubunda en yaygın sayı. Örneğin mod 2, 3, 3, 5, 7 ve 10 - 3.

Merkezi eğilim ölçüsü olan bu üç sayı dizisinin simetrik dağılımı aynıdır. Bir dizi sayının asimetrik dağılımında farklı olabilirler.

Aynı satır veya sütunda bitişik olan hücrelerin ortalamasını hesaplayın

Bu adımları takip et:

Rastgele hücrelerin ortalamasını hesaplama

Bu görevi gerçekleştirmek için işlevi kullanın ORTALAMA. Aşağıdaki tabloyu boş bir kağıda kopyalayın.

Ağırlıklı ortalamanın hesaplanması

ÖZETÜRÜN Ve miktarlar. vBu örnek, her satın alma işleminin farklı birim fiyatlarında farklı sayıda birim için olduğu üç satın alma işleminde ödenen ortalama birim fiyatı hesaplar.

Aşağıdaki tabloyu boş bir kağıda kopyalayın.

Sıfır değerler hariç sayıların ortalamasını hesaplama

Bu görevi gerçekleştirmek için işlevleri kullanın ORTALAMA Ve Eğer. Aşağıdaki tabloyu kopyalayın ve bu örnekte anlaşılmasını kolaylaştırmak için boş bir kağıda kopyalayın.

Aritmetik ortalama, belirli bir veri dizisinin ortalama değerini gösteren istatistiksel bir göstergedir. Bu gösterge, payı dizideki tüm değerlerin toplamı olan ve paydası onların sayısı olan bir kesir olarak hesaplanır. Aritmetik ortalama günlük hesaplamalarda kullanılan önemli bir katsayıdır.

Katsayının anlamı

Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, farklı mağazalar belirli bir üreticinin bir kutu birasını satıyor. Ancak bir mağazada 67 rubleye, diğerinde - 70 rubleye, üçüncüsünde - 65 rubleye ve sonuncusunda - 62 rubleye mal oluyor. Oldukça geniş bir fiyat aralığı var, bu nedenle alıcı kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecek ve böylece bir ürünü satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilecektir. Şehirde bir kutu biranın ortalama fiyatı:

Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.

Ortalama fiyatı bilerek, ürünü nerede satın almanın karlı olduğunu ve nerede fazla ödeme yapmanız gerektiğini belirlemek kolaydır.

Homojen bir veri kümesinin analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda aritmetik ortalama sürekli olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte aynı markanın bir kutu birasının fiyatıdır. Ancak farklı üreticilerin bira fiyatlarını veya bira ve limonata fiyatlarını karşılaştıramayız çünkü bu durumda değerlerin dağılımı daha büyük olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı da artacaktır. karikatürize edilecek kadar çarpıtılacak." ortalama sıcaklık hastane civarında." Heterojen veri kümelerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlıklandırma katsayısını aldığında ağırlıklı aritmetik ortalama kullanılır.

Aritmetik ortalamanın hesaplanması

Hesaplamaların formülü son derece basittir:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

burada an miktarın değeridir, n ise değerlerin toplam sayısıdır.

Bu gösterge ne için kullanılabilir? Bunun ilk ve bariz kullanımı istatistiktir. Hemen hemen her istatistiksel çalışmada aritmetik ortalama kullanılır. Olabilir ortalama yaş Rusya'da evlilik, bir okul çocuğunun bir dersteki ortalama notu veya günlük alışverişe yapılan ortalama harcama. Yukarıda bahsedildiği gibi ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler üretebilir.

Örneğin, başkan Rusya Federasyonu istatistiklere göre bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu açıkladı. Rusya'da yaşayanların çoğu için bu maaş düzeyi saçma görünüyordu. Hesaplarken bir yandan oligarkların, sanayi kuruluşlarının başkanlarının, büyük bankacıların gelirlerini, diğer yandan öğretmenlerin, temizlikçilerin ve satıcıların maaşlarını hesaba katmamız şaşırtıcı değil. Örneğin muhasebeci gibi bir uzmanlık alanındaki ortalama maaşlarda bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıklar olacaktır.

Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır?

Bordro durumlarında her bir değerin ağırlığının dikkate alınması önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarının örneğin 0,00001 ve satıcı maaşlarının ise 0,12 ağırlık alacağı anlamına geliyor. Bunlar birdenbire ortaya çıkan rakamlar, ancak kabaca Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını gösteriyorlar.

Dolayısıyla heterojen bir veri kümesindeki ortalamaların veya ortalama değerlerin ortalamasını hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde Rusya'da ortalama 27.000 ruble maaş alacaksınız. Eğer bilmek istiyorsan Ortalama puanı matematikte veya seçilen hokey oyuncusunun attığı ortalama gol sayısı, o zaman aritmetik ortalama hesaplayıcı size uyacaktır.

Programımız aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için yalnızca parametre değerlerini girmeniz gerekir.

Birkaç örneğe bakalım

Ortalama puan hesaplaması

Birçok öğretmen bir konunun yıllık notunu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Çocuğun matematikte şu çeyrek notlarını aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona yıllık olarak hangi notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Başlamak için uygun sayıda alanı seçin ve görünen hücrelere derecelendirme değerlerini girin:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlayacak ve öğrenci o yıl için sağlam bir B alacak.

Yenilen şekerlerin hesaplanması

Aritmetik ortalamanın bazı saçmalıklarını örnekleyelim. Masha ve Vova'nın 10 şekeri olduğunu hayal edelim. Masha 8 şeker yedi ve Vova sadece 2 şeker yedi. Her çocuk ortalama kaç şeker yedi? Bir hesap makinesi kullanarak ortalama olarak çocukların 5 şeker yediğini hesaplamak kolaydır ki bu tamamen yanlıştır ve sağduyu. Bu örnek, anlamlı veri kümeleri için aritmetik ortalamanın önemli olduğunu göstermektedir.

Çözüm

Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok bilimsel alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finans alanlarında da popülerdir. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasıyla ilgili problemleri çözmek için hesap makinelerimizi yardımcı olarak kullanın.

En önemlisi denklemde. Uygulamada basit ve ağırlıklı aritmetik ortalama olarak hesaplanabilen aritmetik ortalamayı kullanmak zorundayız.

Aritmetik ortalama (SA)-N En yaygın ortalama türü. Tüm popülasyon için değişen bir özelliğin hacminin, bireysel birimlerinin özelliklerinin değerlerinin toplamı olduğu durumlarda kullanılır. Sosyal olgular, değişen karakteristik hacimlerin toplanabilirliği (toplamlığı) ile karakterize edilir; bu, SA'nın uygulama kapsamını belirler ve genel bir gösterge olarak yaygınlığını açıklar, örneğin: genel maaş fonu tüm çalışanların maaşlarının toplamıdır.

SA'yı hesaplamak için tüm özellik değerlerinin toplamını sayılarına bölmeniz gerekir. SA 2 biçimde kullanılır.

Öncelikle basit bir aritmetik ortalamayı ele alalım.

1-CA basit (başlangıç, tanımlayıcı form), ortalaması alınan özelliğin bireysel değerlerinin basit toplamının, bu değerlerin toplam sayısına bölünmesine eşittir (özelliğin gruplanmamış indeks değerleri olduğunda kullanılır):

Yapılan hesaplamalar aşağıdaki formüle genelleştirilebilir:

(1)

Nerede - değişen özelliğin ortalama değeri, yani basit aritmetik ortalama;

toplama, yani bireysel özelliklerin eklenmesi anlamına gelir;

X- değişken adı verilen değişken bir özelliğin bireysel değerleri;

N - nüfusun birim sayısı

Örnek 1, 15 işçinin her birinin kaç parça ürettiği biliniyorsa, bir işçinin (tamircinin) ortalama çıktısını bulmak gerekir; bir dizi ind verildi. nitelik değerleri, adet: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Basit SA, formül (1) kullanılarak hesaplanır, adet:

Örnek2. Ticaret şirketine dahil olan 20 mağazanın koşullu verilerine dayanarak SA'yı hesaplayalım (Tablo 1). tablo 1

"Vesna" ticaret şirketinin mağazalarının satış alanına göre dağılımı, metrekare M

Mağaza no.		Mağaza no.

Ortalama mağaza alanını hesaplamak için ( ) tüm mağazaların alanlarını toplamak ve elde edilen sonucu mağaza sayısına bölmek gerekir:

Dolayısıyla bu perakende işletme grubu için ortalama mağaza alanı 71 m2'dir.

Bu nedenle, basit bir SA belirlemek için, belirli bir niteliğin tüm değerlerinin toplamını, bu niteliğe sahip birimlerin sayısına bölmeniz gerekir.

2

Nerede F 1 , F 2 , … ,F N – ağırlık (aynı işaretlerin tekrarlanma sıklığı);

- özelliklerin büyüklüğü ve frekanslarının çarpımlarının toplamı;

– nüfus birimlerinin toplam sayısı.

- SA ağırlıklı - İle Farklı sayıda tekrarlanan veya dedikleri gibi farklı ağırlıklara sahip seçeneklerin ortası. Ağırlıklar, popülasyonun farklı gruplarındaki birimlerin sayısıdır (aynı seçenekler bir grupta birleştirilir). SA ağırlıklı – gruplandırılmış değerlerin ortalaması X 1 , X 2 , .., X N, – hesaplandı: (2)

Nerede X- seçenekler;

F- frekans (ağırlık).

Ağırlıklı SA, seçeneklerin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen frekansların toplamının tüm frekansların toplamına bölünmesiyle elde edilen bölümdür. Frekanslar ( F SA formülünde görünen ) genellikle denir terazi Bunun sonucunda ağırlıklar dikkate alınarak hesaplanan SA'ya ağırlıklı denir.

Yukarıda tartışılan örnek 1'i kullanarak ağırlıklı SA hesaplama tekniğini göstereceğiz.Bunu yapmak için başlangıç ​​verilerini gruplandıracağız ve bunları tabloya yerleştireceğiz.

Gruplandırılan verilerin ortalaması şu şekilde belirlenir: Önce seçenekler frekanslarla çarpılır, ardından ürünler toplanır ve elde edilen toplam, frekansların toplamına bölünür.

Formül (2)'ye göre, ağırlıklı SA eşittir, adet:

Parça üretimi için işçi dağıtımı

P

Önceki örnek 2'de sunulan veriler, tabloda sunulan homojen gruplar halinde birleştirilebilir. Masa

Vesna mağazalarının satış alanlarına göre dağılımı, m2 M

Böylece sonuç aynı oldu. Ancak bu zaten ağırlıklı bir aritmetik ortalama değeri olacaktır.

Önceki örnekte mutlak frekansların (depo sayısının) bilinmesi şartıyla aritmetik ortalamayı hesapladık. Bununla birlikte, bazı durumlarda mutlak frekanslar mevcut değildir ancak bağıl frekanslar bilinmektedir veya genel olarak adlandırıldığı gibi, oranı gösteren frekanslar veya tüm setteki frekansların oranı.

SA ağırlıklı kullanımı hesaplarken frekanslar Frekans büyük, çok basamaklı sayılarla ifade edildiğinde hesaplamaları basitleştirmenize olanak tanır. Hesaplama aynı şekilde yapılır ancak ortalama değer 100 kat arttığı için sonucun 100'e bölünmesi gerekir.

O zaman aritmetik ağırlıklı ortalamanın formülü şöyle görünecektir:

Nerede D- sıklık yani her frekansın tüm frekansların toplamındaki payı.

(3)

2. örneğimizde öncelikle Vesna firmasının toplam mağaza sayısı içindeki mağazaların grup bazında payını belirliyoruz. Yani birinci grup için özgül ağırlık %10'a karşılık gelir.
. Aşağıdaki verileri alıyoruz Tablo 3