GirişAritmetik ortalama nasıl hesaplanır. Koşullara göre ortalama değerin hesaplanması. Mutlak büyüme, büyüme ve büyüme oranları, zincir ve temel
içindeki her insan modern dünya, kış için kredi almayı veya sebze stoklamayı planlayan, periyodik olarak "ortalama" gibi bir kavramla karşı karşıya kalıyor. Ne olduğunu, hangi türleri ve sınıfları olduğunu ve neden istatistik ve diğer disiplinlerde kullanıldığını öğrenelim.
Ortalama değer - bu nedir?
Benzer bir ad (SV), herhangi bir nicel değişken özniteliği tarafından belirlenen bir dizi homojen fenomenin genelleştirilmiş bir özelliğidir.
Ancak, bu tür belirsiz tanımlardan uzak insanlar, bu kavramı ortalama bir miktar olarak anlarlar. Örneğin, bir banka çalışanı kredi çekmeden önce, potansiyel bir müşteriden, yıl için ortalama gelir, yani bir kişinin kazandığı toplam para miktarı hakkında veri sağlamasını kesinlikle isteyecektir. Tüm yıl için kazançların toplanıp ay sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Böylece banka, müşterisinin borcunu zamanında ödeyip ödeyemeyeceğini belirleyebilecektir.
Neden kullanılıyor?
Kural olarak, kitlesel nitelikteki belirli sosyal fenomenlerin nihai bir karakterizasyonunu vermek için ortalama değerler yaygın olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bir kredi durumunda olduğu gibi daha küçük hesaplamalar için de kullanılabilirler.
Bununla birlikte, çoğu zaman ortalamalar hala küresel amaçlar için kullanılmaktadır. Bunlardan bir örnek, vatandaşların bir takvim ayı boyunca tükettiği elektrik miktarının hesaplanmasıdır. Elde edilen verilere göre ayrıca maksimum oranlar devletten yararlanan nüfus kategorileri için.
Ayrıca kullanarak ortalama değerler belirli ev aletlerinin, arabaların, binaların vb. servisi için bir garanti süresi geliştirilmektedir.Bu şekilde toplanan verilere dayanarak, bir zamanlar modern çalışma ve dinlenme standartları geliştirildi.
Aslında, herhangi bir fenomen modern hayat kitlesel nitelikte olan , bir şekilde veya başka bir şekilde, söz konusu kavramla mutlaka bağlantılıdır.
Uygulamalar
Bu fenomen, hemen hemen tüm kesin bilimlerde, özellikle deneysel niteliktekilerde yaygın olarak kullanılmaktadır.
Tıpta, mühendislikte, yemek pişirmede, ekonomide, politikada vb. alanlarda ortalamayı bulmak büyük önem taşır.
Bu tür genellemelerden elde edilen verilere dayanarak tıbbi hazırlıklar, müfredatlar geliştirir, asgari geçim ve maaşları belirler, bina inşa eder. çalışma programları, mobilya, giyim ve ayakkabı, hijyen ürünleri ve çok daha fazlasını üretin.
Matematikte bu terime "ortalama değer" denir ve çeşitli örnek ve problemlere çözümler uygulamak için kullanılır. Bunların en basiti adi kesirlerle toplama ve çıkarmadır. Sonuçta bildiğiniz gibi bu tür örnekleri çözebilmek için her iki kesri de ortak paydada toplamak gerekiyor.
Ayrıca, kesin bilimlerin kraliçesinde, anlamca yakın olan “rastgele bir değişkenin ortalama değeri” terimi sıklıkla kullanılır. Çoğu kişi için, daha çok olasılık teorisinde düşünülen "beklenti" olarak bilinir. Benzer bir olgunun istatistiksel hesaplamalar yaparken de geçerli olduğunu belirtmekte fayda var.
İstatistiklerde ortalama değer
Bununla birlikte, çoğu zaman incelenen kavram istatistikte kullanılır. Bildiğiniz gibi, bu bilimin kendisi, kitlesel sosyal fenomenlerin nicel özelliklerinin hesaplanması ve analizinde uzmanlaşmıştır. Bu nedenle, istatistiklerdeki ortalama değer, ana hedeflerine ulaşmak için özel bir yöntem olarak kullanılır - bilgilerin toplanması ve analizi.
Bu istatistiksel yöntemin özü, söz konusu özelliğin bireysel benzersiz değerlerini belirli bir dengeli ortalama değerle değiştirmektir.
Bir örnek ünlü yemek şakasıdır. Bu nedenle, Salı günleri belirli bir fabrikada öğle yemeği için patronları genellikle etli güveç yer ve sıradan işçiler haşlanmış lahana yer. Bu verilere dayanarak, tesis personelinin salı günleri ortalama olarak lahana ruloları yediği sonucuna varabiliriz.
Bu örnek biraz abartılı olsa da, ortalama değer arama yönteminin ana dezavantajını gösterir - nesnelerin veya kişiliklerin bireysel özelliklerinin seviyelendirilmesi.
Ortalamalar yalnızca toplanan bilgileri analiz etmek için değil, aynı zamanda daha ileri eylemleri planlamak ve tahmin etmek için de kullanılır.
Ayrıca elde edilen sonuçları değerlendirmek için de kullanılır (örneğin, ilkbahar-yaz sezonu için buğday yetiştirme ve hasat planının uygulanması).
Nasıl hesaplanır
CV türüne bağlı olarak, hesaplanması için farklı formüller olmasına rağmen, genel teori istatistikler, kural olarak, bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için yalnızca bir yöntem kullanılır. Bunu yapmak için önce tüm fenomenlerin değerlerini bir araya getirmeli ve ardından ortaya çıkan toplamı sayılarına bölmelisiniz.
Bu tür hesaplamaları yaparken, ortalama değerin her zaman popülasyonun ayrı bir birimi olarak aynı boyuta (veya birimlere) sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.
Doğru hesaplama için koşullar
Yukarıda tartışılan formül çok basit ve evrenseldir, bu nedenle hata yapmak neredeyse imkansızdır. Ancak, her zaman iki yönü dikkate almaya değer, aksi takdirde elde edilen veriler gerçek durumu yansıtmaz.
CB sınıfları
Ana sorulara cevap bulduktan sonra: "Ortalama değer - nedir?", "Nerede kullanılır?" ve "Bunu nasıl hesaplayabilirim?", hangi sınıfların ve CB türlerinin bulunduğunu bilmeye değer.
Her şeyden önce, bu fenomen 2 sınıfa ayrılmıştır. Bunlar yapısal ve güç ortalamalarıdır.
Güç SW türleri
Yukarıdaki sınıfların her biri sırayla türlere ayrılmıştır. Güç sınıfında dört tane var.
- Aritmetik ortalama, en yaygın SV türüdür. Veri kümesindeki dikkate alınan özniteliğin toplam hacminin, bu kümenin tüm birimleri arasında eşit olarak dağıtıldığının belirlenmesinde ortalama bir terimdir.
Bu tür alt türlere ayrılmıştır: basit ve ağırlıklı aritmetik SV.
- Ortalama harmonik değer, söz konusu özelliğin karşılıklı değerlerinden hesaplanan basit aritmetik ortalamanın karşılığı olan bir göstergedir.
Özelliğin ve ürünün bireysel değerlerinin bilindiği ancak frekans verilerinin bilinmediği durumlarda kullanılır.
- Geometrik ortalama, en çok büyüme oranlarının analizinde kullanılır. ekonomik fenomenler. Belirli bir miktarın bireysel değerlerinin çarpımını toplamdan ziyade değişmeden tutmayı mümkün kılar.
Aynı zamanda basit ve dengeli olur.
- Orta kare değer hesaplamada kullanılan bireysel göstergelerçıktının ritmini karakterize eden varyasyon katsayısı gibi göstergeler vb.
Ayrıca, yardımı ile boruların, tekerleklerin ortalama çapları, bir karenin ortalama kenarları ve benzeri rakamlar hesaplanır.
Diğer tüm ortalama SW türleri gibi, kök ortalama kare basit ve ağırlıklıdır.
Yapısal miktar türleri
Ortalama SW'lere ek olarak, yapısal türler genellikle istatistikte kullanılır. Değişken bir özniteliğin değerlerinin göreli özelliklerini hesaplamak için daha uygundurlar ve iç yapı dağıtım hatları.
Böyle iki tip var.
İstatistiksel toplam birimlerinin işaretleri anlamlarında farklıdır, örneğin, bir işletmenin bir mesleğinin işçilerinin ücretleri aynı süre için aynı değildir, aynı ürünler için piyasa fiyatları farklıdır, çiftliklerde mahsul verimi bölgenin vb. Bu nedenle, incelenen tüm birim popülasyonunun bir özelliğinin değerini belirlemek için ortalama değerler hesaplanır.
ortalama değer –
bazı nicel özelliklerin bireysel değerlerinin genelleştirici bir özelliğidir.
Nicel bir nitelik tarafından incelenen popülasyon, bireysel değerlerden oluşur; olarak etkilenirler yaygın sebepler, ve bireysel koşullar. Ortalama değerde, bireysel değerlerin karakteristik sapmaları iptal edilir. Bir dizi bireysel değerin bir fonksiyonu olan ortalama, tüm seti tek bir değerle temsil eder ve tüm birimlerinde var olan ortak şeyi yansıtır.
Niteliksel olarak homojen birimlerden oluşan popülasyonlar için hesaplanan ortalamaya denir. tipik ortalama. Örneğin, bir veya başka bir meslek grubunun (madenci, doktor, kütüphaneci) bir çalışanının ortalama aylık maaşını hesaplayabilirsiniz. Tabii ki, aylık seviyeler ücretler madencilerin nitelikleri, hizmet süreleri, aylık çalışılan saat sayısı ve diğer birçok faktördeki farklılık nedeniyle birbirlerinden ve ortalama ücret düzeyinden farklılık göstermektedir. Ancak ortalama seviye, ücret seviyesini etkileyen ana faktörleri yansıtır ve çalışanın bireysel özelliklerinden kaynaklanan farklılıkları karşılıklı olarak dengeler. Ortalama ücret, bu tür bir işçi için tipik ücret düzeyini yansıtır. Tipik bir ortalamanın elde edilmesinden önce, bu popülasyonun niteliksel olarak nasıl homojen olduğunun bir analizi yapılmalıdır. Koleksiyon ayrı bölümlerden oluşuyorsa, tipik gruplara ayrılmalıdır ( ortalama sıcaklık hastane tarafından).
Heterojen popülasyonlar için karakteristik olarak kullanılan ortalama değerlere denir. sistem ortalamaları. Örneğin, kişi başına düşen ortalama gayri safi yurtiçi hasıla (GSYİH) değeri, çeşitli mal gruplarının kişi başına ortalama tüketimi ve tek bir ekonomik sistem olarak devletin genel özelliklerini temsil eden diğer benzer değerler.
Yeterli sayıda popülasyondan oluşan popülasyonlar için ortalama hesaplanmalıdır. Büyük bir sayı birimler. Kanunun yürürlüğe girebilmesi için bu şartın sağlanması gerekmektedir. büyük sayılar, bunun sonucunda bireysel değerlerin rastgele sapmaları Genel trend birbirinize geri ödeyin.
Ortalama türleri ve bunları hesaplama yöntemleri
Ortalama türünün seçimi, belirli bir göstergenin ekonomik içeriği ve ilk veriler tarafından belirlenir. Bununla birlikte, herhangi bir ortalama değer, ortalaması alınan özelliğin her bir varyantını değiştirdiğinde, nihai, genelleme veya genel olarak adlandırıldığı gibi değişmeyecek şekilde hesaplanmalıdır. belirleyici gösterge, ortalama ile ilgilidir. Örneğin, yolun ayrı bölümlerinde gerçek hızları değiştirirken, bunlar ortalama sürat aracın aynı anda kat ettiği toplam mesafe değişmemelidir; gerçek ücretleri değiştirirken bireysel işçiler orta ölçekli işletmeler maaş maaş bordrosu değişmemelidir. Sonuç olarak, her özel durumda, mevcut verilerin doğasına bağlı olarak, incelenen sosyo-ekonomik olgunun özelliklerine ve özüne uygun göstergenin yalnızca bir gerçek ortalama değeri vardır.
En yaygın olarak kullanılanlar aritmetik ortalama, harmonik ortalama, geometrik ortalama, ortalama kare ve ortalama kübiktir.
Listelenen ortalamalar sınıfa aittir güç orta ve kombine Genel formül:
,
incelenen özelliğin ortalama değeri nerede;
m, ortalamanın üssüdür;
– ortalama özelliğin mevcut değeri (varyant);
n, özelliklerin sayısıdır.
M üssünün değerine bağlı olarak, aşağıdaki güç ortalamaları türleri ayırt edilir:
m = -1'de – ortalama harmonik ;
m = 0 – geometrik ortalamada;
m = 1'de - aritmetik ortalama;
m = 2'de – kök ortalama kare ;
m = 3 - ortalama kübik.
Aynı girdi verilerini kullanırken, yukarıdaki formülde m üssü ne kadar büyükse, daha fazla değer orta boy:
.
Kuvvet yasasının bu özelliğine, tanımlayıcı fonksiyonun üssündeki bir artışla artma anlamına gelir. araçların majör kuralı.
İşaretli ortalamaların her biri iki şekilde olabilir: basit ve ağırlıklı.
Ortanın basit şekli ortalama, birincil (gruplandırılmamış) veriler üzerinde hesaplandığında geçerlidir. ağırlıklı form– ikincil (gruplandırılmış) veriler için ortalama hesaplanırken.
Aritmetik ortalama
Aritmetik ortalama, popülasyonun hacmi, değişen özelliğin tüm bireysel değerlerinin toplamı olduğunda kullanılır. Ortalama türü belirtilmezse, aritmetik ortalamanın varsayıldığına dikkat edilmelidir. Mantıksal formülü şudur: 
basit aritmetik ortalama hesaplanmış gruplandırılmamış verilere göre
formüle göre: 
veya ,
özelliğin bireysel değerleri nerede;
j- seri numarası değer ile karakterize edilen gözlem birimi;
N, gözlem birimlerinin sayısıdır (set boyutu).
Misal.“İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması” dersinde, 10 kişilik bir ekibin iş deneyiminin gözlemlenmesinin sonuçları değerlendirildi. Tugay çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplayın. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.
Aritmetik ortalamanın formülüne göre basit, bir de hesaplar kronolojik ortalamalar, karakteristik değerlerin sunulduğu zaman aralıkları eşitse.
Misal. Ses satılan ürünler ilk çeyrek için 47 den olarak gerçekleşti. ikinci 54 birim, üçüncü 65 birim ve dördüncü 58 den. birimler Ortalama üç aylık ciro (47+54+65+58)/4 = 56 den. birimler
Kronolojik seride anlık göstergeler verilirse, ortalama hesaplanırken, dönemin başında ve sonunda değerlerin yarı toplamları ile değiştirilir.
İkiden fazla an varsa ve aralarındaki aralıklar eşitse, ortalama kronolojik formül kullanılarak ortalama hesaplanır.
,
n zaman noktalarının sayısıdır
Veriler öznitelik değerlerine göre gruplandırıldığında
(yani, ayrık bir varyasyon dağılım serisi oluşturulur) ağırlıklı aritmetik ortalama(k) gözlem sayısından (N) önemli ölçüde daha az olan özelliğin belirli değerlerinin frekansları veya gözlem frekansları kullanılarak hesaplanır.
,
,
burada k, varyasyon serisinin grup sayısıdır,
i, varyasyon serisinin grup numarasıdır.
, and 'dan beri, pratik hesaplamalar için kullanılan formülleri elde ederiz:
ve
Misal. Gruplandırılmış seriler için çalışan ekiplerin ortalama hizmet sürelerini hesaplayalım.
a) frekansları kullanarak:
b) frekansları kullanarak:
Veriler aralıklara göre gruplandırıldığında
, yani aralık dağılım serisi şeklinde sunulur; aritmetik ortalama hesaplanırken, aralığın ortası, bu aralıktaki popülasyon birimlerinin düzgün bir dağılımı varsayımına dayanarak özelliğin değeri olarak alınır. Hesaplama aşağıdaki formüllere göre yapılır:
ve
aralığın ortası nerede: ,
nerede ve aralıkların alt ve üst sınırlarıdır (bu aralığın üst sınırının bir sonraki aralığın alt sınırı ile çakışması şartıyla).
Misal. 30 işçinin yıllık ücretlerine ilişkin bir çalışmanın sonuçlarından oluşturulan aralıklı varyasyon serilerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım ("İstatistiksel verilerin özeti ve gruplandırılması" dersine bakın).
Tablo 1 - Aralıklı varyasyon dağılımı serisi.
Aralıklar, UAH |
Frekans, kişi. |
Sıklık, |
Aralığın ortası |
||
600-700 |
3 |
0,10 |
(600+700):2=650 |
1950 |
65 |
UAH veya 
UAH
İlk veriler ve aralık varyasyon serileri temelinde hesaplanan aritmetik ortalamalar, öznitelik değerlerinin aralıklar içindeki eşit olmayan dağılımı nedeniyle çakışmayabilir. Bu durumda aritmetik ağırlıklı ortalamanın daha doğru hesaplanması için aralıkların ortası değil, her grup için hesaplanan basit aritmetik ortalamalar kullanılmalıdır ( grup ortalamaları). Ağırlıklı bir hesaplama formülü kullanılarak grup ortalamalarından hesaplanan ortalamaya denir. genel ortalama.
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır.
1. Varyantın ortalamadan sapmalarının toplamı sıfırdır:
.
2. Seçeneğin tüm değerleri A değeri kadar artar veya azalırsa, ortalama değer aynı A değeri kadar artar veya azalır: 
3. Her seçenek B kat artırılır veya azaltılırsa, ortalama değer de aynı sayıda artar veya azalır:
veya 
4. Varyantın ürünlerinin frekanslara göre toplamı, frekansların toplamına göre ortalama değerin ürününe eşittir: 
5. Tüm frekanslar herhangi bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, aritmetik ortalama değişmez: 
6) tüm aralıklarda frekanslar birbirine eşitse, aritmetik ağırlıklı ortalama, basit aritmetik ortalamaya eşittir: 
,
burada k, varyasyon serisindeki grup sayısıdır.
Ortalamanın özelliklerini kullanmak, hesaplamasını basitleştirmenizi sağlar.
Tüm seçeneklerin (x) önce aynı A sayısına, sonra da B faktörüne indirgendiğini varsayalım. En büyük sadeleştirme, en yüksek frekansa sahip aralığın orta değeri A ve aralığın değeri B (aynı aralıklı satırlar için) seçildiğinde elde edilir. A miktarına orijin denir, dolayısıyla bu ortalamayı hesaplama yöntemine denir. yol b koşullu sıfırdan ohm referansı veya anların yolu.
Böyle bir dönüşümden sonra, varyantları eşit olan yeni bir varyasyon dağılım serisi elde ederiz. Onların aritmetik ortalamaları, ilk sipariş anı, formül ile ifade edilir ve ikinci ve üçüncü özelliklere göre, aritmetik ortalama, orijinal versiyonun ortalamasına eşittir, önce A, sonra B çarpı, yani .
Almak gerçek ortalama(orijinal satırın ortasında) ilk sıranın anını B ile çarpmanız ve A eklemeniz gerekir: 
Moment yöntemiyle aritmetik ortalamanın hesaplanması Tablodaki verilerle gösterilmektedir. 2.
Tablo 2 - İşletme mağazası çalışanlarının hizmet süresine göre dağılımı
İş deneyimi, yıllar |
işçi miktarı |
Aralık orta noktası |
|||
0 – 5 |
12 |
2,5 |
15 |
3 |
36 |
İlk siparişin anını bulma 
. Ardından, A = 17.5 ve B = 5 olduğunu bilerek, mağaza çalışanlarının ortalama iş deneyimini hesaplıyoruz:
yıllar
ortalama harmonik
Yukarıda gösterildiği gibi, aritmetik ortalama, bir özelliğin x varyantlarının ve f frekanslarının bilindiği durumlarda bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için kullanılır.
İstatistiksel bilgiler, popülasyonun bireysel x seçenekleri için f frekanslarını içermiyor, ancak bunların çarpımı olarak sunuluyorsa, formül uygulanır. ortalama harmonik ağırlıklı. Ortalamayı hesaplamak için, nereden olduğunu belirtin. Bu ifadeleri ağırlıklı aritmetik ortalama formülüyle değiştirerek, ağırlıklı harmonik ortalama formülünü elde ederiz: 
,
i sayısı (i=1,2, …, k) aralığındaki gösterge öznitelik değerlerinin hacmi (ağırlığı) nerededir.
Bu nedenle, harmonik ortalama, toplamaya tabi olan seçeneklerin kendilerinin değil, karşılıklılarının olduğu durumlarda kullanılır: 
.
Her seçeneğin ağırlığının olduğu durumlarda bire eşit, yani Ters özelliğin bireysel değerleri bir kez oluşur, uygulanır basit harmonik ortalama:
,
bir kez meydana gelen ters özelliğin bireysel varyantları nerede;
N, seçeneklerin sayısıdır.
Popülasyonun iki bölümü için ve sayısı ile harmonik ortalamalar varsa, tüm popülasyon için toplam ortalama aşağıdaki formülle hesaplanır: 
ve aradı grup ortalamalarının ağırlıklı harmonik ortalaması.
Misal. Döviz ticaretinin ilk saatinde üç anlaşma yapıldı. Grivnası satış miktarı ve ABD doları karşısındaki Grivnası kuruna ilişkin veriler Tablo'da verilmiştir. 3 (sütun 2 ve 3). Ticaretin ilk saati için Grivnasının ABD doları karşısındaki ortalama döviz kurunu belirleyin.
Tablo 3 - Döviz ticaretinin seyrine ilişkin veriler
Ortalama dolar kuru, tüm işlemler sırasında satılan Grivnası miktarının aynı işlemler sonucunda elde edilen dolar miktarına oranı ile belirlenir. Grivnası satışının toplam tutarı tablonun 2. sütunundan bilinir ve her işlemde satın alınan dolar tutarı, Grivnası satış tutarının döviz kuruna bölünmesiyle belirlenir (4. sütun). Üç işlem sırasında toplam 22 milyon dolar satın alındı. Bu, bir dolar için ortalama Grivnası döviz kurunun 
.
Ortaya çıkan değer gerçektir, çünkü işlemlerde fiili Grivnası döviz kurlarını ikame etmesi, Grivnasının toplam satış tutarını değiştirmeyecektir. belirleyici gösterge: milyon UAH
Hesaplama için aritmetik ortalama kullanılmışsa, yani. 
Grivnası, ardından döviz kuru üzerinden 22 milyon dolarlık alım yapacak. 110.66 milyon UAH harcanması gerekecek, bu doğru değil.
geometrik ortalama
Geometrik ortalama, fenomenlerin dinamiklerini analiz etmek için kullanılır ve belirlemenizi sağlar. ortalama katsayı büyüme. Geometrik ortalama hesaplanırken, özelliğin bireysel değerleri Göreceli performans her seviyenin bir öncekine oranı olarak zincir değerleri şeklinde inşa edilmiş dinamikler.
Geometrik basit ortalama şu formülle hesaplanır: 
,
ürünün işareti nerede,
N, ortalama değerlerin sayısıdır.
Misal. 4 yıl boyunca kayıtlı suç sayısı, 1. - 1.08 kat, 2. - 1.1 kat, 3. - 1.18 ve 4. - 1.12 kat olmak üzere 1.57 kat arttı. O halde suç sayısının yıllık ortalama büyüme oranı: , yani. Kayıtlı suçların sayısı yıllık ortalama %12 arttı.
1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4
1
3
4
1
1
3,24
0,64
0,04
1
1,96
3,24
1,92
0,16
1
1,96
Ağırlıklı ortalama kareyi hesaplamak için tabloyu belirleyip giriyoruz. Daha sonra, belirli bir normdan ürünlerin uzunluğunun ortalama sapma değeri şuna eşittir: 
Bu durumda aritmetik ortalama uygun olmaz, çünkü sonuç olarak, sıfır sapma elde ederiz.
Kök ortalama karesinin kullanımı daha sonra varyasyon üslerinde tartışılacaktır.
Aritmetik ortalama - belirli bir veri dizisinin ortalama değerini gösteren istatistiksel bir gösterge. Böyle bir gösterge, payı tüm dizi değerlerinin toplamı olan bir kesir olarak hesaplanır ve payda onların sayısıdır. Aritmetik ortalama, ev hesaplamalarında kullanılan önemli bir katsayıdır.
katsayının anlamı
Aritmetik ortalama, verileri karşılaştırmak ve kabul edilebilir bir değer hesaplamak için temel bir göstergedir. Örneğin, belirli bir üreticiden bir kutu bira farklı mağazalarda satılmaktadır. Ancak bir mağazada 67 ruble, diğerinde - 70 ruble, üçüncü - 65 ruble ve son - 62 ruble. Oldukça geniş bir fiyat aralığı vardır, bu nedenle alıcı bir kutunun ortalama maliyetiyle ilgilenecektir, böylece bir ürün satın alırken maliyetlerini karşılaştırabilir. Ortalama olarak, şehirde bir kutu biranın fiyatı:
Ortalama fiyat = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 ruble.
Ortalama fiyatı bilerek, mal satın almanın nerede karlı olduğunu ve nerede fazla ödeme yapmanız gerektiğini belirlemek kolaydır.
Aritmetik ortalama, homojen bir veri kümesinin analiz edildiği durumlarda istatistiksel hesaplamalarda sürekli olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte, bu aynı marka bir kutu biranın fiyatıdır. Ancak, farklı üreticilerin bira fiyatını veya bira ve limonata fiyatlarını karşılaştıramayız, çünkü bu durumda değerlerin yayılması daha büyük olacak, ortalama fiyat bulanık ve güvenilmez olacak ve hesaplamaların anlamı "Hastanedeki ortalama sıcaklık" karikatürüne çarpıtılacak. Heterojen veri dizilerini hesaplamak için, her değer kendi ağırlık faktörünü aldığında aritmetik ağırlıklı ortalama kullanılır.
Aritmetik ortalamanın hesaplanması
Hesaplamalar için formül son derece basittir:
P = (a1 + a2 + … bir) / n,
an miktarın değeri olduğunda, n toplam değer sayısıdır.
Bu gösterge ne için kullanılabilir? Bunun ilk ve bariz kullanımı istatistiklerdedir. Hemen hemen her istatistiksel çalışma aritmetik ortalamayı kullanır. Bu, Rusya'daki ortalama evlilik yaşı, bir konudaki ortalama öğrenci notu veya günlük ortalama yiyecek harcaması olabilir. Yukarıda bahsedildiği gibi, ağırlıklar dikkate alınmadan ortalamaların hesaplanması garip veya saçma değerler verebilir.
Örneğin, cumhurbaşkanı Rusya Federasyonu istatistiklere göre bir Rus'un ortalama maaşının 27.000 ruble olduğunu açıkladı. Rusya'daki çoğu insan için bu maaş seviyesi saçma görünüyordu. Hesaplamanın bir yandan oligarkların, sanayi işletmelerinin başkanlarının, büyük bankacıların gelirlerini ve diğer yandan öğretmen, temizlikçi ve satıcıların maaşlarını hesaba katması şaşırtıcı değildir. Bir uzmanlıktaki, örneğin bir muhasebecideki ortalama maaşların bile Moskova, Kostroma ve Yekaterinburg'da ciddi farklılıkları olacaktır.
Heterojen veriler için ortalamalar nasıl hesaplanır
Bordro durumlarında, her bir değerin ağırlığını dikkate almak önemlidir. Bu, oligarkların ve bankacıların maaşlarına örneğin 0.00001 ağırlık verileceği ve satış görevlilerinin maaşlarının 0.12 olacağı anlamına gelir. Bunlar tavandan alınan rakamlar, ancak Rus toplumunda oligarkların ve satıcıların yaygınlığını kabaca gösteriyorlar.
Bu nedenle, heterojen bir veri dizisindeki ortalamaların ortalamasını veya ortalama değerini hesaplamak için aritmetik ağırlıklı ortalamanın kullanılması gerekir. Aksi takdirde, Rusya'da 27.000 ruble düzeyinde ortalama bir maaş alacaksınız. seninkini bilmek istersen ortalama derece matematikte veya seçilen hokey oyuncusu tarafından atılan ortalama gol sayısında, aritmetik ortalama hesaplayıcı size uyacaktır.
Programımız, aritmetik ortalamayı hesaplamak için basit ve kullanışlı bir hesap makinesidir. Hesaplamaları gerçekleştirmek için sadece parametre değerlerini girmeniz yeterlidir.
bir iki örneğe bakalım
Ortalama Not Hesaplama
Birçok öğretmen, bir konudaki yıllık notu belirlemek için aritmetik ortalama yöntemini kullanır. Çocuğun matematikte şu çeyrek puanları aldığını düşünelim: 3, 3, 5, 4. Öğretmen ona hangi yıllık notu verecek? Bir hesap makinesi kullanalım ve aritmetik ortalamayı hesaplayalım. Öncelikle uygun sayıda alan seçin ve çıkan hücrelere not değerlerini girin:
(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75
Öğretmen değeri öğrencinin lehine yuvarlar ve öğrenci yıl için sağlam bir dört alır.
Yenilen tatlıların hesaplanması
Aritmetik ortalamanın saçmalığını biraz açıklayalım. Masha ve Vova'nın 10 tatlısı olduğunu hayal edin. Masha 8 şeker yemiş ve Vova sadece 2. Her çocuk ortalama kaç şeker yemiştir? Bir hesap makinesi kullanarak, çocukların ortalama olarak her birinin 5 tatlı yediğini hesaplamak kolaydır, bu tamamen yanlış ve sağduyuludur. Bu örnek, aritmetik ortalamanın anlamlı veri kümeleri için önemli olduğunu göstermektedir.
Çözüm
Aritmetik ortalamanın hesaplanması birçok bilimsel alanda yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu gösterge yalnızca istatistiksel hesaplamalarda değil, aynı zamanda fizik, mekanik, ekonomi, tıp veya finansta da popülerdir. Aritmetik ortalama problemlerini çözmek için hesap makinelerimizi asistan olarak kullanın.
Ortalama değerler istatistikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Ortalama değerler, ticari faaliyetin niteliksel göstergelerini karakterize eder: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.
Orta Bu en yaygın genellemelerden biridir. Ortalamanın özünün doğru anlaşılması, ortalamanın tek ve rastgele bir ortalama aracılığıyla genel ve gerekli olanı tanımlamayı, ekonomik gelişme kalıplarının eğilimini tanımlamayı mümkün kıldığı bir piyasa ekonomisindeki özel önemini belirler.
ortalama değer - bunlar eylem ifadesini buldukları genelleştirici göstergelerdir. Genel Şartlar, çalışılan fenomenin düzenlilikleri.
İstatistiksel ortalamalar, doğru istatistiksel olarak organize edilmiş kütle gözleminin (sürekli ve seçici) kütle verileri temelinde hesaplanır. Bununla birlikte, niteliksel olarak homojen bir popülasyon (kütle fenomeni) için kütle verilerinden hesaplanırsa, istatistiksel ortalama nesnel ve tipik olacaktır. Örneğin, kooperatiflerde ve devlete ait işletmelerde ortalama ücretleri hesaplar ve sonucu tüm nüfusa yayarsak, o zaman ortalama, heterojen bir nüfus için hesaplandığından hayalidir ve böyle bir ortalama tüm anlamını kaybeder.
Ortalamanın yardımıyla, bireysel gözlem birimlerinde şu veya bu nedenle ortaya çıkan özelliğin büyüklüğündeki farklılıkların yumuşatılması söz konusudur.
Örneğin, bir satış elemanının ortalama çıktısı birçok faktöre bağlıdır: nitelikler, hizmet süresi, yaş, hizmet biçimi, sağlık vb.
Ortalama çıktı, tüm nüfusun genel özelliğini yansıtır.
Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır, bu nedenle bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.
Her ortalama değer, çalışılan popülasyonu herhangi bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi temel özellik açısından incelenen popülasyonun eksiksiz ve kapsamlı bir resmini elde etmek için, genellikle fenomeni farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.
Çeşitli ortalamalar vardır:
aritmetik ortalama;
geometrik ortalama;
ortalama harmonik;
Kök kare ortalama;
kronolojik ortalama.
İstatistikte en yaygın olarak kullanılan bazı ortalama türlerini düşünün.
Aritmetik ortalama
Basit aritmetik ortalama (ağırlıksız), özelliğin bireysel değerlerinin toplamına, bu değerlerin sayısına bölünmesine eşittir.
Özelliğin bireysel değerlerine değişken denir ve x () ile gösterilir; popülasyon birimlerinin sayısı n ile gösterilir, özelliğin ortalama değeri - ile 
. Bu nedenle, basit aritmetik ortalama:
Kesikli dağılım serisinin verilerine göre, özniteliğin (seçeneklerin) aynı değerlerinin birkaç kez tekrarlandığı görülebilir. Yani, değişken x toplamda 2 kez ve değişken x - 16 kez, vb.
Dağılım serisindeki bir özelliğin özdeş değerlerinin sayısına frekans veya ağırlık denir ve n sembolü ile gösterilir.
Çalışan başına ortalama ücreti hesaplayın 
ruble olarak:
Her işçi grubu için ücret faturası, seçeneklerin ve sıklığın çarpımına eşittir ve bu ürünlerin toplamı tüm işçilerin toplam ücret faturasını verir.
Buna göre, hesaplamalar genel bir biçimde sunulabilir:
Elde edilen formüle ağırlıklı aritmetik ortalama denir.
İşleme sonucunda elde edilen istatistiksel malzeme, yalnızca ayrık dağılım serileri şeklinde değil, aynı zamanda kapalı veya açık aralıklı aralıklı varyasyon serileri şeklinde de sunulabilir.
Gruplandırılmış veriler için ortalamanın hesaplanması, ağırlıklı aritmetik ortalama formülüne göre yapılır:
Ekonomik istatistik uygulamasında, bazen ortalamayı grup ortalamalarına veya nüfusun bireysel bölümlerinin ortalamalarına (kısmi ortalamalar) göre hesaplamak gerekir. Bu gibi durumlarda, toplam ortalamanın olağan aritmetik ağırlıklı ortalama olarak hesaplandığı temel alınarak grup veya kısmi ortalamalar seçenekler (x) olarak alınır.
Aritmetik ortalamanın temel özellikleri .
Aritmetik ortalamanın bir takım özellikleri vardır:
1. x özniteliğinin her bir değerinin frekanslarındaki n kez bir azalma veya artıştan, aritmetik ortalamanın değeri değişmeyecektir.
Tüm frekanslar bir sayıya bölünür veya çarpılırsa, ortalamanın değeri değişmez.
2. Özelliğin bireysel değerlerinin toplam çarpanı, ortalamanın işaretinden çıkarılabilir:
3. İki veya daha fazla miktarın ortalama toplamı (fark), ortalamalarının toplamına (farkına) eşittir:
4. x \u003d c ise, burada c sabit bir değerdir, o zaman 
.
5. X özelliğinin değerlerinin x aritmetik ortalamasından sapmalarının toplamı sıfıra eşittir:
Ortalama harmonik.
Aritmetik ortalama ile birlikte, istatistikler, özelliğin karşılıklı değerlerinin aritmetik ortalamasının karşılığı olan harmonik ortalamayı kullanır. Aritmetik ortalama gibi, basit ve ağırlıklı olabilir.
Ortalamalarla birlikte, varyasyon serisinin özellikleri mod ve medyandır.
Moda - bu, çalışılan popülasyonda en sık tekrarlanan özelliğin (varyant) değeridir. Ayrık dağıtım serileri için mod, en yüksek frekansa sahip varyantın değeri olacaktır.
Eşit aralıklı aralıklı dağılım serileri için mod şu formülle belirlenir:
nerede 
- modu içeren aralığın ilk değeri;
- mod aralığının değeri;
- modsal aralık frekansı;
- moddan önceki aralığın sıklığı;
- modu takip eden aralığın sıklığı.
Medyan varyasyon satırının ortasında bulunan varyanttır. Dağıtım serisi ayrık ise ve garip numaraüyeler, o zaman medyan sıralı serinin ortasında yer alan varyant olacaktır (sıralı bir seri, popülasyon birimlerinin artan veya azalan düzende düzenlenmesidir).
Çoğu durumda, veriler bir merkezi nokta etrafında toplanmıştır. Bu nedenle herhangi bir veri setini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için kullanılan art arda üç sayısal özelliği göz önünde bulundurun: aritmetik ortalama, medyan ve mod.
Ortalama
Aritmetik ortalama (genellikle sadece ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesinin sonucudur. Bir sayı örneği için X 1, X 2, ..., Xn, örnek ortalama (sembolü ile gösterilir) ) eşittir \u003d (X 1 + X 2 + ... + Xn) / n, veya
örnek ortalama nerede, n- örnek boyut, Xben – i. elemanörnekler.
Notu veya biçiminde indirin, örnekler biçiminde
15 çok yüksek riskli yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin aritmetik ortalamasını hesaplamayı düşünün (Şekil 1).
Pirinç. 1. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi
Örnek ortalama şu şekilde hesaplanır:
Bu, özellikle banka veya kredi birliği mudilerinin aynı zaman diliminde aldıkları %3-4'lük getiri ile karşılaştırıldığında, iyi bir getiridir. Geri dönüş değerlerini sıralarsanız, sekiz fonun ortalamanın üstünde ve yedi - altında getirisi olduğunu görmek kolaydır. Aritmetik ortalama bir denge noktası görevi görür, böylece düşük gelirli fonlar yüksek gelirli fonları dengeler. Numunenin tüm unsurları ortalamanın hesaplanmasına dahil edilir. Dağılım ortalamasının diğer tahmin edicilerinin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.
Aritmetik ortalama ne zaman hesaplanır? Aritmetik ortalama, örneğin tüm elemanlarına bağlı olduğundan, uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri kümesini tanımlarken medyanı veya aritmetik ortalamayı ve medyanı belirtmek gerekir. Örneğin, RS Gelişen Büyüme fonunun getirisi örneklemden çıkarılırsa, 14 fonun getirisinin örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşmektedir.
Medyan
Medyan, sıralı bir sayı dizisinin orta değeridir. Dizi tekrar eden sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı medyandan daha az ve yarısından fazla olacaktır. Örnek uç değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine medyanı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.
Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlıdır. n:
- Örnek tek sayıda öğe içeriyorsa, medyan (n+1)/2-inci eleman.
- Örnek çift sayıda eleman içeriyorsa, medyan örneğin ortadaki iki elemanı arasındadır ve bu iki eleman üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.
15 çok yüksek riskli yatırım fonu örneğinin ortancasını hesaplamak için önce ham verileri sıralamamız gerekir (Şekil 2). O zaman medyan, örneğin orta elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in, sırasız dizilerle de çalışan özel bir =MEDIAN() işlevi vardır.
Pirinç. 2. Medyan 15 fon
Bu nedenle, medyan 6.5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların yarısının 6,5'i geçmediği, diğer yarısının ise bunu yaptığı anlamına geliyor. 6.5 medyanının 6.08 medyanından biraz daha büyük olduğuna dikkat edin.
RS Gelişen Büyüme fonunun kârlılığını örneklemden çıkarırsak, kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşecek, yani aritmetik ortalama kadar önemli değil (Şekil 3).
Pirinç. 3. Medyan 14 fon
Moda
Terim ilk olarak 1894'te Pearson tarafından tanıtıldı. Moda, örneklemde en sık görülen sayıdır (en moda). Moda, örneğin, sürücülerin trafiği durdurmak için bir trafik sinyaline verdiği tipik tepkiyi iyi tanımlar. Moda kullanımının klasik bir örneği, üretilen ayakkabı partisinin boyutunun veya duvar kağıdının renginin seçimidir. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bunun çok modlu veya çok modlu olduğu söylenir (iki veya daha fazla "tepe" vardır). Çok modlu dağılım, incelenen değişkenin doğası hakkında önemli bilgiler sağlar. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk, birkaç kesin değişken olduğu anlamına gelebilir. farklı görüşler. Çok modluluk aynı zamanda örneğin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından oluşturulabileceğinin bir göstergesidir. Aritmetik ortalamanın aksine, aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirileri gibi sürekli olarak dağıtılan rastgele değişkenler için, mod bazen hiç mevcut değildir (veya mantıklı değildir). Bu göstergeler çeşitli değerler alabildiğinden, tekrar eden değerler son derece nadirdir.
çeyrekler
Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini tanımlarken verilerin dağılımını değerlendirmek için en yaygın olarak kullanılan ölçülerdir. Medyan sıralı diziyi yarıya bölerken (dizi elemanlarının %50'si medyandan küçük ve %50 daha büyüktür), çeyrekler sıralı veri setini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q 1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.
Üçüncü çeyrek Q 3, aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Elementlerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i fazladır.
2007'den önceki Excel sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(dizi, parça) işlevi kullanıldı. Excel 2010'dan itibaren iki işlev geçerlidir:
- =QUARTILE.ON(dizi, kısım)
- =QUARTILE.HRC(dizi, kısım)
Bu iki fonksiyon biraz çeşitli anlamlar(Şek. 4). Örneğin, 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirisine ilişkin verileri içeren bir örneklem için çeyrekler hesaplanırken, QUARTILE.INC ve QUARTILE.EXC için sırasıyla Q 1 = 1.8 veya -0.7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi şuna karşılık gelir: modern fonksiyonÇEYREK AÇIK Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisi sırasız bırakılabilir.
Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplayın
Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri, rastgele bir değişkenin değerlerini içeren. Frekansa dayalı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.
geometrik ortalama
Aritmetik ortalamadan farklı olarak geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içinde ne kadar değiştiğini ölçer. Geometrik ortalama köktür nüründen inci derece n değerler (Excel'de = CUGEOM işlevi kullanılır):
G= (X 1 * X 2 * ... * X n) 1/n
Benzer bir parametre ortalama geometrik değer getiri oranı aşağıdaki formülle belirlenir:
G \u003d [(1 + R 1) * (1 + R 2) * ... * (1 + R n)] 1 / n - 1,
nerede Ri- getiri oranı ben-inci zaman dilimi.
Örneğin, ilk yatırımın 100.000 ABD Doları olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000 ABD Dolarına düşer ve ikinci yılın sonunda orijinal 100.000 ABD Dolarına geri döner. fonların başlangıç ve son miktarları birbirine eşit olduğu için yıl periyodu 0'a eşittir. Ancak, yıllık getiri oranlarının aritmetik ortalaması = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 veya %25'tir, çünkü ilk yıldaki getiri oranı R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5 , ve ikincisinde R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, iki yıllık getiri oranının geometrik ortalaması: G = [(1–0.5) * (1 + 1 )] 1 /2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Böylece, geometrik ortalama, iki yıl boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha doğrusu değişimin yokluğunu) aritmetik ortalamadan daha doğru bir şekilde yansıtır.
İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından daha küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkincisi, özellikleri göz önünde bulundurarak sağ üçgen, ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığını anlayabilirsiniz. Dik açılı bir üçgenin hipotenüse indirilmiş yüksekliği, bacakların hipotenüs üzerindeki izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüs üzerindeki izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmanın geometrik bir yolunu verir: Bu iki parçanın toplamı üzerinde bir çap olarak bir daire oluşturmanız gerekir, ardından yükseklik, bağlantı noktalarından kesişme noktasına geri yüklenir. daire, istenen değeri verecektir:
Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)
İkinci önemli mülk sayısal veriler - onların varyasyon verilerin dağılma derecesini karakterize eder. İki farklı numune hem ortalama değerlerde hem de varyasyonlarda farklılık gösterebilir. Ancak, Şek. 6 ve 7'de gösterildiği gibi, iki numune aynı varyasyona ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyona sahip olabilir. Şekil 2'deki poligon B'ye karşılık gelen veriler. 7, poligon A'nın oluşturulduğu verilerden çok daha az değişiklik gösterir.
Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı dağılıma sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım
Veri varyasyonunun beş tahmini vardır:
- açıklık,
- çeyrekler arası aralık,
- dağılım,
- standart sapma,
- varyasyon katsayısı.
kapsam
Aralık, örneğin en büyük ve en küçük öğeleri arasındaki farktır:
Kaydır = XMax-XMin.
15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örneklem aralığı, sıralı bir dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): aralık = 18.5 - (-6.1) = 24,6. Yani çok yüksek riskli fonlar için en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getiri arasındaki fark %24,6'dır.
Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin toplam yayılımının çok basit bir tahmini olmasına rağmen, zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında tam olarak nasıl dağıldığını hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 1'de iyi görülmektedir. 8, aynı aralığa sahip örnekleri gösterir. B ölçeği, örnek en az bir uç değer içeriyorsa, örnek aralığının veri dağılımının çok yanlış bir tahmini olduğunu gösterir.
Pirinç. 8. Aynı aralıkta üç örneğin karşılaştırılması; üçgen, terazinin desteğini sembolize eder ve konumu, numunenin ortalama değerine karşılık gelir.
Çeyrekler arası aralık
Çeyrekler arası veya ortalama aralık, örneğin üçüncü ve ilk çeyreği arasındaki farktır:
Çeyrekler arası aralık \u003d Q 3 - Q 1
Bu değer, elementlerin %50'sinin yayılmasını tahmin etmeyi ve ekstrem elementlerin etkisini hesaba katmamayı mümkün kılar. 15 çok yüksek riskli yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerine ilişkin verileri içeren bir örnek için çeyrekler arası aralık, Şekil 2'deki veriler kullanılarak hesaplanabilir. 4 (örneğin, QUARTILE.HRC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 - (-0,7) = 10,5. 9.8 ile -0.7 arasındaki aralığa genellikle orta yarı denir.
Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya Q 3'ten büyük olacak herhangi bir değeri hesaba katmaz. . Aykırı değerlerden etkilenmeyen ortanca, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi toplam nicel özelliklere sağlam göstergeler denir.
Aralık ve çeyrekler arası aralık, sırasıyla örneğin toplam ve ortalama dağılımının bir tahminini sağlarken, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu eksiklikten arınmış Bu göstergeler, verilerin ortalama etrafındaki dalgalanma derecesini değerlendirmenize izin verir. örnek varyans her bir numune elemanı ve numune ortalaması arasındaki kare farklarından hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. X 1 , X 2 , ... X n'lik bir örnek için örnek varyansı (S 2 sembolü ile gösterilir, aşağıdaki formülle verilir:
Genel olarak, numune varyansı, numune elemanları ile numune ortalaması arasındaki kare farklarının toplamının numune boyutu eksi bire eşit bir değere bölümüdür:
nerede - aritmetik ortalama, n- örnek boyut, X ben - ben-inci örnek eleman X. 2007 sürümünden önceki Excel'de, örnek varyansı hesaplamak için =VAR() işlevi kullanılıyordu, 2010 sürümünden bu yana =VAR.V() işlevi kullanılıyor.
Veri dağılımının en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmini, standart sapma. Bu gösterge S sembolü ile gösterilir ve şuna eşittir: kare kökörnek varyansından:
2007 sürümünden önceki Excel'de, standart sapmayı hesaplamak için =STDEV() işlevi, 2010 sürümünden itibaren =STDEV.B() işlevi kullanılır. Bu fonksiyonları hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.
Ne örnek varyansı ne de örnek standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, örneğin tüm elemanlarının eşit olmasıdır. Bu tamamen olasılık dışı durumda, aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.
Sayısal veriler doğası gereği uçucudur. Herhangi bir değişken bir küme alabilir farklı değerler. Örneğin, farklı yatırım fonları farklı göstergeler karlılık ve kayıplar. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özetleyici olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin dağılımını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.
Varyans ve standart sapma, verilerin ortalama etrafındaki yayılımını tahmin etmemize, başka bir deyişle, örneğin kaç öğesinin ortalamadan daha az olduğunu ve kaçının daha büyük olduğunu belirlememize izin verir. Dağılımın bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Bununla birlikte, değeri bir ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, varyansın doğal bir tahmini, olağan ölçüm birimlerinde ifade edilen standart sapmadır - gelir yüzdesi, dolar veya inç.
Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki dalgalanma miktarını tahmin etmenizi sağlar. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma içindedir. Bu nedenle, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri yığınının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.
15 çok yüksek riskli yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük bölümünün karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklı olmadığı anlamına gelir (yani, aşağıdaki aralıkta dalgalanır). - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila + S= 12.8). Aslında bu aralık, beş yıllık ortalama %53,3'lük (15 üzerinden 8'i) fon getirisini içermektedir.
Pirinç. 9. Standart sapma
Farkların karesini alma sürecinde, ortalamadan daha uzak olan öğelerin, daha yakın olanlardan daha fazla ağırlık kazandığını unutmayın. Bu özellik, bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir.
varyasyon katsayısı
Önceki dağılım tahminlerinden farklı olarak, varyasyon katsayısı göreceli değerlendirme. Orijinal veri birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV sembolleri ile gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Varyasyon katsayısı, aritmetik ortalamaya bölünen ve %100 ile çarpılan standart sapmaya eşittir:
nerede S- standart örnek sapması, - örnek ortalama.
Varyasyon katsayısı, öğeleri farklı ölçüm birimlerinde ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yükseltmeyi planlıyor. Paketleri yüklerken, dikkate alınması gereken iki tür kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound olarak) ve hacmi (fit küp olarak). 200 torbalık bir numunede, ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapması 3,9 pound, ortalama paket hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık dağılımı ve hacmi nasıl karşılaştırılır?
Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğu için yöneticinin bu değerlerin göreli dağılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık varyasyon katsayısı CV W = 3.9 / 26.0 * %100 = %15 ve hacim varyasyon katsayısı CV V = 2.2 / 8.8 * %100 = %25'tir. Bu nedenle, paket hacimlerinin göreli dağılımı, ağırlıklarının göreli dağılımından çok daha büyüktür.
dağıtım formu
Numunenin üçüncü önemli özelliği dağılım şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. Bu iki ölçü aynıysa, değişkenin simetrik olarak dağıldığı söylenir. Bir değişkenin ortalama değeri medyandan büyükse, dağılımı pozitif bir çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse, değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı bir şekilde arttığında pozitif çarpıklık oluşur. yüksek değerler. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık oluşur. Bir değişken, her iki yönde de uç değerler almıyorsa, değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini yok edecek şekilde simetrik olarak dağıtılır.
Pirinç. 10. Üç tür dağıtım
A ölçeğinde gösterilen veriler negatif bir çarpıklığa sahiptir. Bu şekil gösterir uzun kuyruk ve alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan sola çarpık. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırır ve medyandan daha küçük olur. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılır. Dağılımın sol ve sağ yarısı onların ayna görüntüleridir. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler, ortalama ve medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif bir çarpıklığa sahiptir. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruk ve sağa eğriliği göstermektedir. bunlar da Büyük miktarlar ortalama değeri sağa kaydırdığınızda medyandan daha büyük olur.
Excel'de, eklenti kullanılarak açıklayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüden geçmek Veri → Veri analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı istatistikler ve tıklayın Tamam. Pencerede Tanımlayıcı istatistikler belirttiğinizden emin olun giriş aralığı(Şek. 11). Orijinal verilerle aynı sayfada tanımlayıcı istatistikleri görmek istiyorsanız, radyo düğmesini seçin. çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesini yerleştirmek istediğiniz hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Verileri yeni bir sayfaya veya yeni kitap sadece uygun radyo düğmesini seçin. yanındaki kutucuğu işaretleyin Nihai istatistikler. İsteğe bağlı olarak da seçebilirsiniz Zorluk seviyesi,k'inci en küçük vek'inci en büyük.
Mevduat varsa Veri bölgede analiz simgeyi görmüyorsun Veri analizi, önce eklentiyi yüklemelisiniz Analiz paketi(bkz: örneğin).
Pirinç. 11. Eklenti kullanılarak hesaplanan, çok yüksek riskli fonların beş yıllık ortalama yıllık getirilerinin tanımlayıcı istatistikleri Veri analizi Excel programları
Excel, yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( Aralık), minimum, maksimum ve örnek boyutu ( Kontrol). Ek olarak, Excel bizim için bazı yeni istatistikler hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. standart hataörnek boyutunun kareköküne bölünen standart sapmaya eşittir. asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve numunenin elemanları ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına karşı ortalama etrafında veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek ile dördüncü güce yükseltilmiş ortalama arasındaki farklara bağlıdır.
hesaplama tanımlayıcı istatistikler için nüfus
Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, dağılımı ve şekli, numuneye dayalı özelliklerdir. Ancak, veri kümesi tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa, parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını içerir.
Beklenen değer genel nüfusun tüm değerlerinin toplamının genel nüfusun hacmine bölünmesine eşittir:
nerede µ - beklenen değer, Xben- ben-th değişken gözlemi X, N- genel nüfusun hacmi. Excel'de, matematiksel beklentiyi hesaplamak için, aritmetik ortalamayla aynı işlev kullanılır: =ORTALAMA().
Nüfus değişimi genel popülasyonun elemanları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. nüfusun büyüklüğüne bölünen beklenti:
nerede σ2 genel popülasyonun varyansıdır. 2007 sürümünden önceki Excel, 2010 sürümünden başlayarak popülasyon varyansını hesaplamak için =VAR() işlevini kullanır =VAR.G().
Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:
Excel 2007'den önce, 2010 sürümünden =SDV.Y() popülasyon standart sapmasını hesaplamak için =SDV() işlevi kullanılıyordu. Popülasyon varyansı ve standart sapma formüllerinin, örnek varyansı ve standart sapma formüllerinden farklı olduğuna dikkat edin. Hesaplarken örnek istatistik S2 ve S kesrin paydası n - 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 ve σ - genel nüfusun hacmi N.
temel kural
Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklıklı veri kümelerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani aşağıda), negatif çarpıklıklı kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani yukarıda) bulunur. Simetrik veriler aynı ortalamaya ve medyana sahiptir ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım belirgin bir çarpıklığa sahip değilse ve veriler belirli bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için bir genel kural kullanılabilir, bu da şöyle der: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, yaklaşık %68 gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentinin bir standart sapması içindedir, Gözlemlerin yaklaşık %95'i beklenen değerin iki standart sapması içindedir ve gözlemlerin %99,7'si beklenen değerin üç standart sapması içindedir.
Böylece, matematiksel beklenti etrafındaki ortalama dalgalanmanın bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kuraldan, çan şeklindeki dağılımlar için yirmide yalnızca bir değerin matematiksel beklentiden ikiden fazla standart sapma ile farklı olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, aralığın dışındaki değerler µ ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ek olarak, 1000 gözlemden sadece üçü, matematiksel beklentiden üçten fazla standart sapma ile farklılık gösterir. Böylece aralığın dışındaki değerler µ ± 3σ neredeyse her zaman aykırı değerlerdir. Çok çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Biename-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.
Yüz yıldan fazla bir süre önce, matematikçiler Bienamay ve Chebyshev bağımsız olarak keşfettiler. faydalı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekli ne olursa olsun, uzaklığı geçmeyen gözlemlerin yüzdesinin olduğunu buldular. k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ 2)*%100.
örneğin, eğer k= 2, Biename-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 - (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta olması gerektiğini belirtir. µ ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir. k birini aşan. Biename-Chebyshev kuralı çok genel bir yapıya sahiptir ve her türlü dağıtım için geçerlidir. Matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığı minimum gözlem sayısını gösterir. Bununla birlikte, dağılım çan şeklindeyse, temel kural, ortalama etrafındaki veri konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.
Frekans tabanlı bir dağılım için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması
Orijinal veriler mevcut değilse, frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda dağılımın aritmetik ortalama, standart sapma, çeyrekler gibi nicel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplayabilirsiniz.
Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak sunulursa, her sınıf içindeki tüm değerlerin içinde yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık bir değeri hesaplanabilir. orta nokta sınıf:
nerede - örnek ortalama, n- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, ile- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta j-inci sınıf, fj- karşılık gelen frekans j-inci sınıf.
Frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için ayrıca her sınıf içindeki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı varsayılır.
Serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun ortalama kişi başına nakit gelir dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyrek hesaplamasını ele alalım (Şekil 12).
Pirinç. 12. Aylık ortalama kişi başına düşen parasal gelir ile Rusya nüfusunun payı, ruble
Aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:
burada Q1 ilk çeyreğin değeridir, xQ1 ilk çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk çeyreğin %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i aralığın değeridir; Σf, tüm örneğin frekanslarının toplamıdır; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın kümülatif frekansıdır; fQ1, alt çeyreği içeren aralığın frekansıdır. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiğinden farklıdır.
Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek, kümülatif frekansı %26.4 olan 7000.1 - 10.000 aralığındadır. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralığın birikmiş frekansı %13.4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13.0'dır. Böylece: Q1 \u003d 7000 + 3000 * (¼ * 100 - 13.4) / 13 \u003d 9677 ruble.
Tanımlayıcı istatistiklerle ilişkili tuzaklar
Bu notta, ortalamasını, dağılımını ve dağılımını tahmin eden çeşitli istatistikleri kullanarak bir veri setini nasıl tanımlayacağımıza baktık. Bir sonraki adım, verileri analiz etmek ve yorumlamaktır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına dönüyoruz. Araştırmacıyı bekleyen iki hata vardır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.
15 çok yüksek riskli yatırım fonunun performansının analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen objektif sonuçlara yol açtı: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri var, fon getirilerinin dağılımı -6.1 ile 18.5 arasında değişiyor ve ortalama getiri 6.08'dir. Veri analizinin nesnelliği sağlanır doğru seçim dağılımın toplam nicel göstergeleri. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler değerlendirildi ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlayan doğru istatistikler nasıl seçilir? Veri dağılımı biraz çarpıksa, medyan aritmetik ortalama üzerinden mi seçilmeli? Hangi gösterge verilerin yayılmasını daha doğru bir şekilde karakterize ediyor: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpıklığı gösterilmeli mi?
Öte yandan, veri yorumlama öznel bir süreçtir. Farklı insanlar aynı sonuçları yorumlayarak farklı sonuçlara varır. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Riski çok yüksek olan 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisini iyi gören biri, aldığı gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların çok düşük getirisi olduğunu düşünebilir. Bu nedenle, öznellik dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.
Etik konular
Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyolar, televizyonlar ve internet aracılığıyla yayılan bilgilere eleştirel yaklaşılmalıdır. Zamanla, yalnızca sonuçlar hakkında değil, aynı zamanda araştırmanın amaçları, konusu ve nesnelliği hakkında da şüpheci olmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz politikacı Benjamin Disraeli en iyisini söyledi: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, lanet olası yalanlar ve istatistikler."
Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçlar seçilirken etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem olumsuz sonuçlar. Ayrıca rapor veya yazılı rapor hazırlanırken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Kötü ve dürüst olmayan sunumlar arasında ayrım yapın. Bunu yapmak için, konuşmacının niyetlerinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı cehaletten ve bazen de kasıtlı olarak önemli bilgileri atlar (örneğin, istenen sonucu elde etmek için açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçları gizlemek de sahtekârlık olur.
Yöneticiler için Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmaktadır. - E.: Williams, 2004. - s. 178–209
QUARTILE işlevi, daha fazlası ile birleştirilmeye bırakıldı erken sürümler mükemmel