Weltraumforschungslabor. Was bedeutet das Wort „Fraktal“?

Fraktales Beispiel

„Fraktal“ wurde vor weniger als einem halben Jahrhundert von Mathematikern eingeführt, wurde bald neben Synergetik und Attraktor zu einem der „drei Wale“ der jungen Theorie des deterministischen Chaos und wird heute bereits als einer der anerkannt grundlegende Elemente des Universums.

Mit wird das lateinische Wort fractus übersetzt als "kaputt", modern Lateinische Sprachen gab ihm die Bedeutung "zerrissen". Ein Fraktal ist etwas, das mit dem Ganzen / Größeren identisch ist, von dem es ein Teil ist, und gleichzeitig jedes für sich kopiert Bestandteil. Somit ist „Fraktalität“ eine unendliche Ähnlichkeit von „allem“ mit seinen Bestandteilen, das heißt, es ist Selbstähnlichkeit auf jeder Ebene. Jede Ebene eines fraktalen Astes wird als „Iteration“ bezeichnet, je weiter entwickelt das beschriebene oder grafisch dargestellte System, desto mehr fraktale Iterationen sieht der Betrachter. In diesem Fall wird der Punkt, an dem die Teilung erfolgt (z. B. ein Stamm in Äste, ein Fluss in zwei Bäche usw.), als Verzweigungspunkt bezeichnet.

Begriff fraktus wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot ausgewählt, um eine wissenschaftliche Entdeckung zu beschreiben, und wurde einige Jahre später populär, nachdem er das Thema in seinem Buch The Fractal Geometry of Nature für ein breiteres Publikum entwickelt hatte.

Heute sind Fraktale weithin als fantastische Muster sogenannter "Fraktalkunst" bekannt, die von Computerprogrammen erzeugt werden. Aber mit einem Computer kann man nicht nur schöne abstrakte Bilder erzeugen, sondern auch sehr glaubwürdige Naturlandschaften - Berge, Flüsse, Wälder. Hier ist in der Tat der Punkt des Übergangs von der Wissenschaft ins wirkliche Leben oder umgekehrt, wenn wir davon ausgehen, dass es allgemein möglich ist, sie zu trennen.

Die Sache ist die Fraktalitätsprinzip nicht nur zur Beschreibung von Entdeckungen in den exakten Wissenschaften geeignet. Das ist zunächst einmal das Prinzip des Aufbaus und der Entwicklung der Natur selbst. Alles um uns herum sind Fraktale! Die offensichtlichste Gruppe von Beispielen sind Flüsse mit Nebenflüssen, ein Venensystem mit Kapillaren, Blitze, Frostmuster, Bäume … In jüngerer Zeit haben Wissenschaftler Tests durchgeführt Fraktalitätstheorie, sogar experimentell davon überzeugt, dass man nach dem Schema eines Baumes Rückschlüsse auf die Waldfläche ziehen kann, in der diese Bäume wachsen. Weitere Beispiele fraktaler Gruppen: Atom - Molekül - Planetensystem - Sonnensystem - Galaxien - Universum ... Minute - Stunde - Tag - Woche - Monat - Jahr - Jahrhundert ... Auch die Gemeinschaft der Menschen organisiert sich nach den Prinzipien selbst der Fraktalität: Ich - Familie - Clan - Nationalität - Nationalität - Rassen ... Individuum - Gruppe - Partei - Staat. Mitarbeiter – Abteilung – Abteilung – Unternehmen – Konzern … Sogar die göttlichen Pantheons verschiedener Religionen, einschließlich des Christentums, sind auf demselben Prinzip aufgebaut: Gottvater – Dreifaltigkeit – Heilige – Kirche – Gläubige, ganz zu schweigen von der Organisation des Göttlichen Pantheons heidnischer Religionen.

Geschichte erklärt, dass im 19. Jahrhundert erstmals selbstähnliche Mengen in den Werken von Wissenschaftlern - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff - bemerkt wurden, aber die Wahrheit ist, dass uns bereits die heidnischen Slawen Beweise dafür hinterlassen haben, dass die Menschen das individuelle Sein als verstanden haben ein kleines detail im unendlichen universum. Dies ist ein Objekt der Volkskultur, das von Kunsthistorikern aus Weißrussland und der Ukraine untersucht wurde und „Spinne“ genannt wird. Es ist eine Art Prototyp einer Skulptur moderner Stil"mobil" (Teile sind dabei in ständiger Bewegung relativ zueinander). Die "Spinne" ist oft Stroh, besteht aus kleinen, mittleren, großen Elementen gleicher Form, die aneinander aufgehängt sind, so dass jeder kleinere Teil die größere Struktur und die gesamte Struktur als Ganzes genau wiederholt. Dieses Design wurde in der Hauptecke des Gehäuses aufgehängt, als ob es Ihr Zuhause als Element der ganzen Welt bezeichnen würde.

Die Theorie der Fraktalität funktioniert heute überall, auch in der Philosophie, die besagt, dass während jedes Lebens, und jedes Leben als Ganzes fraktal ist, „Bifurkationspunkte“ auftreten, wenn mehr hohe Levels Entwicklung kann auf unterschiedliche Weise verlaufen, und der Moment, in dem ein Mensch „vor einer Wahl steht“, ist der eigentliche „Bufurkationspunkt“ in den Fraktalen seines Lebens.

Die Theorie des deterministischen Chaos besagt, dass die Entwicklung jedes Fraktals nicht unendlich ist. Wissenschaftler glauben, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Grenze gibt, ab der das Wachstum der Iterationen aufhört und das Fraktal beginnt, sich zu „verengen“, allmählich sein ursprüngliches einzelnes Maß erreicht, und dann geht der Prozess wieder im Kreis – ähnlich wie beim Ein- und Ausatmen , der Wechsel von Morgen und Nacht, Winter und Sommer in der Natur.

Die meisten brillante Entdeckungen in der Wissenschaft können das menschliche Leben radikal verändern. Der erfundene Impfstoff kann Millionen von Menschen retten, die Herstellung von Waffen hingegen kostet diese Menschen das Leben. In jüngerer Zeit (im Maßstab der menschlichen Evolution) haben wir gelernt, Elektrizität zu „zähmen“ – und jetzt können wir uns ein Leben ohne all diese praktischen Geräte, die Elektrizität verwenden, nicht mehr vorstellen. Aber es gibt auch Entdeckungen, denen nur wenige Menschen Bedeutung beimessen, obwohl sie unser Leben ebenfalls stark beeinflussen.

Eine dieser „unmerklichen“ Entdeckungen sind Fraktale. Sie haben dieses griffige Wort wahrscheinlich schon einmal gehört, aber wissen Sie, was es bedeutet und wie viel Interessantes sich in diesem Begriff verbirgt?

Jeder Mensch hat eine natürliche Neugier, den Wunsch, etwas über die Welt um ihn herum zu lernen. Und bei diesem Streben versucht eine Person, sich in Urteilen an die Logik zu halten. Er analysiert die um ihn herum stattfindenden Prozesse und versucht, die Logik des Geschehens zu finden und eine gewisse Regelmäßigkeit abzuleiten. Mit dieser Aufgabe sind die größten Köpfe der Welt beschäftigt. Grob gesagt suchen Wissenschaftler nach einem Muster, wo es nicht sein sollte. Trotzdem kann man auch im Chaos eine Verbindung zwischen Ereignissen finden. Und diese Verbindung ist ein Fraktal.

Unsere kleine Tochter, viereinhalb Jahre alt, ist jetzt in diesem wunderbaren Alter, in dem die vielen Fragen „Warum? um ein Vielfaches größer als die Anzahl der Antworten, für die Erwachsene Zeit haben. Als meine Tochter vor nicht allzu langer Zeit einen vom Boden aufgerichteten Ast betrachtete, bemerkte sie plötzlich, dass dieser Ast mit Ästen und Ästen selbst wie ein Baum aussah. Und natürlich folgte die übliche Frage „Warum?“, für die die Eltern nach einer einfachen, für das Kind verständlichen Erklärung suchen mussten.

Die von einem Kind entdeckte Ähnlichkeit eines einzelnen Astes mit einem ganzen Baum ist eine sehr zutreffende Beobachtung, die einmal mehr das Prinzip der rekursiven Selbstähnlichkeit in der Natur bezeugt. Sehr viele organische und anorganische Formen in der Natur werden ähnlich gebildet. Wolken, Muscheln, das "Haus" einer Schnecke, die Rinde und Krone von Bäumen, das Kreislaufsystem und so weiter - die zufälligen Formen all dieser Objekte können durch einen fraktalen Algorithmus beschrieben werden.

⇡ Benoit Mandelbrot: der Vater der fraktalen Geometrie

Das Wort "Fraktal" selbst ist dank des brillanten Wissenschaftlers Benoît B. Mandelbrot entstanden.

Er hat den Begriff in den 1970er Jahren selbst geprägt und das Wort fractus aus dem Lateinischen entlehnt, wo es wörtlich „gebrochen“ oder „zerquetscht“ bedeutet. Was ist es? Heutzutage wird das Wort "Fraktal" am häufigsten verwendet, um eine grafische Darstellung einer Struktur zu bezeichnen, die sich selbst in einem größeren Maßstab ähnlich ist.

Die mathematische Grundlage für die Entstehung der Fraktaltheorie wurde viele Jahre vor der Geburt von Benoit Mandelbrot gelegt, aber sie konnte sich erst mit dem Aufkommen von Computergeräten entwickeln. Zu Beginn seines wissenschaftliche Tätigkeit Benoist arbeitete am IBM Research Center. Damals arbeiteten die Mitarbeiter des Zentrums an der Datenfernübertragung. Im Zuge der Forschung sahen sich die Wissenschaftler mit dem Problem großer Verluste durch Störgeräusche konfrontiert. Benoit stand vor einer schwierigen und sehr wichtigen Aufgabe – zu verstehen, wie man das Auftreten von Störgeräuschen vorhersagen kann elektronische Schaltkreise wenn die statistische Methode unwirksam ist.

Beim Durchsehen der Ergebnisse der Rauschmessungen machte Mandelbrot auf ein seltsames Muster aufmerksam - die Rauschdiagramme in verschiedenen Maßstäben sahen gleich aus. Ein identisches Muster wurde beobachtet, unabhängig davon, ob es sich um eine Rauschkurve für einen Tag, eine Woche oder eine Stunde handelte. Es hat sich gelohnt, den Maßstab der Grafik zu ändern, und das Bild wurde jedes Mal wiederholt.

Benoit Mandelbrot sagte zu Lebzeiten immer wieder, dass er sich nicht mit Formeln auseinandersetze, sondern einfach mit Bildern spiele. Dieser Mann dachte sehr bildlich und übersetzte jedes algebraische Problem in das Gebiet der Geometrie, wo seiner Meinung nach die richtige Antwort immer offensichtlich ist.

Es ist nicht verwunderlich, dass ein Mann mit einem so reichen räumlichen Vorstellungsvermögen zum Vater der fraktalen Geometrie wurde. Schließlich kommt die Erkenntnis der Essenz von Fraktalen genau dann, wenn Sie anfangen, Zeichnungen zu studieren und über die Bedeutung seltsamer Wirbelmuster nachzudenken.

Ein fraktales Muster hat keine identischen Elemente, ist aber in jedem Maßstab ähnlich. Erstellen Sie dieses Bild mit ein hohes Maß Eine manuelle Detaillierung war bisher einfach unmöglich, es erforderte eine enorme Menge an Berechnungen. Zum Beispiel beschrieb der französische Mathematiker Pierre Joseph Louis Fatou diese Menge mehr als siebzig Jahre vor der Entdeckung von Benoit Mandelbrot. Wenn wir über die Prinzipien der Selbstähnlichkeit sprechen, dann wurden sie in den Werken von Leibniz und Georg Cantor erwähnt.

Eine der ersten Zeichnungen eines Fraktals war eine grafische Interpretation der Mandelbrot-Menge, die aus der Forschung von Gaston Maurice Julia hervorgegangen ist.

Gaston Julia (immer maskiert - WWI-Verletzung)

Dieser französische Mathematiker fragte sich, wie eine Menge aussehen würde, wenn sie aus einer einfachen Formel konstruiert wäre, die durch eine Rückkopplungsschleife iteriert wird. Wenn es „an den Fingern“ erklärt wird, bedeutet dies, dass wir für eine bestimmte Zahl mithilfe der Formel einen neuen Wert finden, ihn dann wieder in die Formel einsetzen und einen anderen Wert erhalten. Das Ergebnis ist eine große Folge von Zahlen.

Um sich ein vollständiges Bild von einem solchen Satz zu machen, müssen Sie eine Vielzahl von Berechnungen durchführen - Hunderte, Tausende, Millionen. Es war einfach unmöglich, es manuell zu tun. Aber als den Mathematikern leistungsfähige Rechengeräte zur Verfügung standen, konnten sie einen neuen Blick auf Formeln und Ausdrücke werfen, die lange Zeit Interesse geweckt hatten. Mandelbrot war der erste, der einen Computer benutzte, um das klassische Fraktal zu berechnen. Nachdem er eine Folge verarbeitet hatte, die aus einer großen Anzahl von Werten bestand, übertrug Benoit die Ergebnisse in einen Graphen. Hier ist, was er hat.

Anschließend wurde dieses Bild gefärbt (eine Möglichkeit zum Färben ist beispielsweise die Anzahl der Iterationen) und wurde zu einem der beliebtesten Bilder, die jemals von Menschen geschaffen wurden.

Wie das alte Sprichwort, das Heraklit von Ephesus zugeschrieben wird, sagt: „Du kannst nicht zweimal in denselben Fluss steigen.“ Es ist am besten geeignet, um die Geometrie von Fraktalen zu interpretieren. Egal wie detailliert wir ein Fraktalbild untersuchen, wir werden immer ein ähnliches Muster sehen.

Wer sehen möchte, wie ein Bild des Mandelbrot-Raums aussehen würde, wenn es um ein Vielfaches vergrößert wird, kann dies tun, indem er ein animiertes GIF hochlädt.

⇡ Lauren Carpenter: von der Natur geschaffene Kunst

Die Theorie der Fraktale fand bald praktische Anwendung. Da es eng mit der Visualisierung von selbstähnlichen Bildern verwandt ist, ist es nicht verwunderlich, dass die ersten, die die Algorithmen und Konstruktionsprinzipien übernahmen ungewöhnliche Formen waren Künstler.

Der spätere Mitbegründer des legendären Pixar-Studios, Loren C. Carpenter, begann 1967 bei Boeing Computer Services zu arbeiten, einer der Abteilungen des bekannten Konzerns, die sich mit der Entwicklung neuer Flugzeuge beschäftigte.

1977 erstellte er Präsentationen mit Prototypen von Flugmodellen. Lauren war für die Entwicklung von Bildern des zu entwerfenden Flugzeugs verantwortlich. Er musste Bilder von neuen Modellen erstellen, die zukünftige Flugzeuge aus verschiedenen Blickwinkeln zeigen. Irgendwann hatte der spätere Gründer der Pixar Animation Studios die kreative Idee, ein Bild von Bergen als Hintergrund zu verwenden. Heute kann jedes Schulkind ein solches Problem lösen, aber Ende der siebziger Jahre des letzten Jahrhunderts konnten Computer solche komplexen Berechnungen nicht bewältigen - es gab keine grafischen Editoren, geschweige denn Anwendungen für dreidimensionale Grafiken. 1978 sah Lauren zufällig Benoit Mandelbrots Buch Fractals: Form, Randomness and Dimension in einem Geschäft. Was seine Aufmerksamkeit in diesem Buch erregte, war, dass Benoist viele Beispiele fraktaler Formen in gab wahres Leben und bewiesen, dass sie durch einen mathematischen Ausdruck beschrieben werden können.

Diese Analogie wurde vom Mathematiker nicht zufällig gewählt. Tatsache ist, dass er sich, sobald er seine Forschungen veröffentlichte, einer ganzen Flut von Kritik stellen musste. Die Hauptsache, die ihm seine Kollegen vorwarfen, war die Nutzlosigkeit der entwickelten Theorie. „Ja“, sagten sie, „das sind schöne Bilder, aber nicht mehr. Die Theorie der Fraktale hat keinen praktischen Wert.“ Es gab auch diejenigen, die im Allgemeinen glaubten, dass Fraktalmuster einfach ein Nebenprodukt der Arbeit von „Teufelsmaschinen“ seien, die vielen Ende der siebziger Jahre als etwas zu Kompliziertes und Unerforschtes erschienen, um vollständig vertrauenswürdig zu sein. Mandelbrot versuchte, eine offensichtliche Anwendung der Fraktaltheorie zu finden, aber im Großen und Ganzen war dies nicht nötig. Die Anhänger von Benoit Mandelbrot erwiesen sich in den nächsten 25 Jahren als sehr nützlich für eine solche "mathematische Kuriosität", und Lauren Carpenter war eine der ersten, die die fraktale Methode in die Praxis umsetzte.

Nachdem er das Buch studiert hatte, studierte der zukünftige Animator ernsthaft die Prinzipien der fraktalen Geometrie und begann nach einer Möglichkeit zu suchen, sie in der Computergrafik zu implementieren. In nur drei Arbeitstagen konnte Lauren ein realistisches Bild des Gebirgssystems auf seinem Computer visualisieren. Mit anderen Worten, er malte mit Hilfe von Formeln eine vollständig erkennbare Berglandschaft.

Das Prinzip, das Lauren benutzte, um ihr Ziel zu erreichen, war sehr einfach. Es war eine größere zu teilen geometrische Figur in kleine Elemente, und diese wiederum werden in ähnliche Figuren kleinerer Größe unterteilt.

Carpenter zerlegte größere Dreiecke in vier kleinere und wiederholte diesen Vorgang immer wieder, bis er eine realistische Berglandschaft hatte. So gelang es ihm, als erster Künstler einen fraktalen Algorithmus in der Computergrafik zu verwenden, um Bilder zu erstellen. Sobald die geleistete Arbeit bekannt wurde, griffen Enthusiasten auf der ganzen Welt diese Idee auf und begannen, den fraktalen Algorithmus zu verwenden, um realistische natürliche Formen zu simulieren.

Eines der ersten 3D-Renderings, das den Fraktal-Algorithmus verwendet

Nur wenige Jahre später konnte Lauren Carpenter seine Errungenschaften in einem viel größeren Projekt anwenden. Der Animator basierte sie auf einer zweiminütigen Demo, Vol Libre, die 1980 auf Siggraph gezeigt wurde. Dieses Video schockierte alle, die es sahen, und Lauren erhielt eine Einladung von Lucasfilm.

Die Animation wurde auf einem VAX-11/780-Computer von Digital Equipment Corporation mit einer Taktrate von fünf Megahertz gerendert, und jedes Bild dauerte ungefähr eine halbe Stunde zum Zeichnen.

Der Animator arbeitete für Lucasfilm Limited und erstellte die gleichen 3D-Landschaften für den zweiten Spielfilm der Star-Trek-Saga. In The Wrath of Khan war Carpenter in der Lage, einen ganzen Planeten mit dem gleichen Prinzip der fraktalen Oberflächenmodellierung zu erschaffen.

Derzeit verwenden alle gängigen Anwendungen zum Erstellen von 3D-Landschaften dasselbe Prinzip zum Erzeugen natürlicher Objekte. Terragen, Bryce, Vue und andere 3D-Editoren verlassen sich auf einen fraktalen Oberflächen- und Texturmodellierungsalgorithmus.

⇡ Fraktale Antennen: Weniger ist besser, aber besser

Im letzten halben Jahrhundert hat sich das Leben schnell verändert. Die meisten von uns nehmen die Fortschritte in der modernen Technologie als selbstverständlich hin. An alles, was das Leben angenehmer macht, gewöhnt man sich sehr schnell. Selten stellt sich jemand die Frage „Wo kommt das her?“ und wie funktioniert es?". Ein Mikrowellenherd wärmt das Frühstück auf - na toll, ein Smartphone ermöglicht es Ihnen, mit einer anderen Person zu sprechen - großartig. Dies scheint uns eine naheliegende Möglichkeit zu sein.

Aber das Leben könnte völlig anders sein, wenn eine Person nicht nach einer Erklärung für die stattfindenden Ereignisse suchen würde. Nehmen wir zum Beispiel Handys. Erinnern Sie sich an die einziehbaren Antennen der ersten Modelle? Sie mischten sich ein, vergrößerten das Gerät und gingen am Ende oft kaputt. Wir glauben, dass sie für immer in Vergessenheit geraten sind, und teilweise deshalb ... Fraktale.

Fraktale Zeichnungen faszinieren mit ihren Mustern. Sie ähneln definitiv Bildern von Weltraumobjekten - Nebeln, Galaxienhaufen und so weiter. Daher ist es ganz natürlich, dass, als Mandelbrot seine Theorie der Fraktale vorstellte, seine Forschung erhöhtes Interesse unter denen weckte, die sich mit Astronomie befassten. Ein solcher Laie namens Nathan Cohen war nach dem Besuch eines Vortrags von Benoit Mandelbrot in Budapest von der Idee der praktischen Anwendung der gewonnenen Erkenntnisse begeistert. Er tat es zwar intuitiv, und der Zufall spielte bei seiner Entdeckung eine wichtige Rolle. Als Funkamateur war Nathan bestrebt, eine Antenne mit höchstmöglicher Empfindlichkeit zu entwickeln.

Die einzige Möglichkeit, die Parameter der damals bekannten Antenne zu verbessern, bestand darin, ihre geometrischen Abmessungen zu vergrößern. Der Besitzer von Nathans Wohnung in der Innenstadt von Boston war jedoch entschieden dagegen, große Geräte auf dem Dach zu installieren. Dann begann Nathan mit verschiedenen Antennenformen zu experimentieren und versuchte, mit minimaler Größe das maximale Ergebnis zu erzielen. Befeuert von der Idee fraktaler Formen, hat Cohen, wie man so schön sagt, zufällig eines der berühmtesten Fraktale aus Draht gemacht – die „Koch-Schneeflocke“. Der schwedische Mathematiker Helge von Koch hat diese Kurve bereits 1904 erfunden. Es wird erhalten, indem das Segment in drei Teile geteilt wird und das mittlere Segment durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt wird, dessen Seite nicht mit diesem Segment zusammenfällt. Die Definition ist etwas schwer zu verstehen, aber die Abbildung ist klar und einfach.

Es gibt auch andere Varianten der "Koch-Kurve", aber die ungefähre Form der Kurve bleibt ähnlich

Als Nathan die Antenne an den Funkempfänger anschloss, war er sehr überrascht – die Empfindlichkeit stieg dramatisch an. Nach einer Reihe von Experimenten erkannte der zukünftige Professor an der Boston University, dass eine nach einem fraktalen Muster hergestellte Antenne einen hohen Wirkungsgrad hat und im Vergleich zu klassischen Lösungen einen viel größeren Frequenzbereich abdeckt. Zudem kann die Form der Antenne in Form einer fraktalen Kurve die geometrischen Abmessungen deutlich reduzieren. Nathan Cohen hat sogar ein Theorem entwickelt, das beweist, dass es zur Herstellung einer Breitbandantenne ausreicht, ihr die Form einer selbstähnlichen Fraktalkurve zu geben.

Der Autor ließ seine Entdeckung patentieren und gründete eine Firma für die Entwicklung und das Design fraktaler Antennen Fractal Antenna Systems, in der zu Recht glauben, dass Mobiltelefone dank seiner Entdeckung in Zukunft in der Lage sein werden, sperrige Antennen loszuwerden und kompakter zu werden.

Im Grunde ist das passiert. Natürlich befindet sich Nathan bis heute in einem Rechtsstreit mit großen Unternehmen, die seine Entdeckung illegal nutzen, um kompakte Kommunikationsgeräte herzustellen. Mit dem Erfinder der fraktalen Antenne haben einige namhafte Mobilgerätehersteller wie Motorola bereits ein Friedensabkommen geschlossen.

⇡ Fraktale Dimensionen: Der Verstand versteht nicht

Benoit hat diese Frage von dem berühmten amerikanischen Wissenschaftler Edward Kasner entlehnt.

Letzterer kommunizierte, wie viele andere berühmte Mathematiker, sehr gerne mit Kindern, stellte ihnen Fragen und erhielt unerwartete Antworten. Manchmal führte dies zu überraschenden Ergebnissen. So kam beispielsweise der neunjährige Neffe von Edward Kasner auf das heute bekannte Wort „googol“, das eine Einheit mit hundert Nullen bezeichnet. Aber zurück zu den Fraktalen. Der amerikanische Mathematiker fragte gern, wie lang die US-Küstenlinie ist. Nachdem er sich die Meinung des Gesprächspartners angehört hatte, sprach Edward selbst die richtige Antwort. Wenn Sie die Länge auf der Karte mit unterbrochenen Segmenten messen, ist das Ergebnis ungenau, da die Küste viele Unregelmäßigkeiten aufweist. Und was passiert, wenn man möglichst genau misst? Sie müssen die Länge jeder Unebenheit berücksichtigen - Sie müssen jedes Kap, jede Bucht, jeden Felsen, die Länge eines Felsvorsprungs, einen Stein darauf, ein Sandkorn, ein Atom und so weiter messen. Da die Anzahl der Unregelmäßigkeiten gegen unendlich tendiert, wird die gemessene Länge der Küstenlinie mit jeder neuen Unregelmäßigkeit bis ins Unendliche zunehmen.

Je kleiner das Maß beim Messen, desto größer die gemessene Länge

Interessanterweise sprachen Kinder viel schneller als Erwachsene, wenn sie Edwards Aufforderungen folgten. richtige Lösung, während letztere Schwierigkeiten hatte, eine so unglaubliche Antwort zu akzeptieren.

Anhand dieses Problems als Beispiel schlug Mandelbrot vor, zu verwenden neuer Ansatz zu Messungen. Da die Küstenlinie einer fraktalen Kurve nahe kommt, bedeutet dies, dass ein charakterisierender Parameter, die sogenannte fraktale Dimension, darauf angewendet werden kann.

Was das übliche Maß ist, ist jedem klar. Wenn die Dimension gleich eins ist, erhalten wir eine gerade Linie, wenn zwei - eine flache Figur, drei - Volumen. Ein solches Verständnis von Dimension in der Mathematik funktioniert jedoch nicht mit fraktalen Kurven, wo dieser Parameter einen gebrochenen Wert hat. Die fraktale Dimension in der Mathematik kann bedingt als "Rauheit" betrachtet werden. Je höher die Rauhigkeit der Kurve, desto größer ihre fraktale Dimension. Eine Kurve, die nach Mandelbrot eine fraktale Dimension hat, die höher ist als ihre topologische Dimension, hat eine ungefähre Länge, die nicht von der Anzahl der Dimensionen abhängt.

Derzeit finden Wissenschaftler immer mehr Bereiche für die Anwendung der Fraktaltheorie. Mit Hilfe von Fraktalen können Sie Schwankungen von Aktienkursen analysieren, alle Arten von natürlichen Prozessen untersuchen, wie z. B. Schwankungen in der Artenzahl, oder die Dynamik von Strömungen simulieren. Fraktale Algorithmen können zur Datenkomprimierung verwendet werden, beispielsweise zur Bildkomprimierung. Übrigens, um ein schönes Fraktal auf Ihren Computerbildschirm zu bekommen, müssen Sie keinen Doktortitel haben.

⇡ Fraktal im Browser

Eine der vielleicht einfachsten Möglichkeiten, ein Fraktalmuster zu erhalten, ist die Verwendung des Online-Vektoreditors des jungen talentierten Programmierers Toby Schachman. Das Toolkit dieses einfachen Grafikeditors basiert auf dem gleichen Prinzip der Selbstähnlichkeit.

Es stehen Ihnen nur zwei einfache Formen zur Verfügung - ein Quadrat und ein Kreis. Sie können sie der Leinwand hinzufügen, skalieren (um entlang einer der Achsen zu skalieren, halten Sie die Umschalttaste gedrückt) und drehen. In Anlehnung an das Prinzip der Booleschen Additionsoperationen bilden diese einfachsten Elemente neue, weniger triviale Formen. Darüber hinaus können diese neuen Formulare dem Projekt hinzugefügt werden, und das Programm wiederholt die Generierung dieser Bilder auf unbestimmte Zeit. In jeder Phase der Arbeit an einem Fraktal können Sie zu jeder Komponente einer komplexen Form zurückkehren und ihre Position und Geometrie bearbeiten. Es macht viel Spaß, besonders wenn man bedenkt, dass das einzige Werkzeug, das Sie brauchen, um kreativ zu sein, ein Browser ist. Wenn Sie das Prinzip der Arbeit mit diesem rekursiven Vektoreditor nicht verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich das Video auf der offiziellen Website des Projekts anzusehen, das den gesamten Prozess der Erstellung eines Fraktals detailliert zeigt.

⇡ XaoS: Fraktale für jeden Geschmack

Viele Grafikeditoren verfügen über integrierte Tools zum Erstellen von Fraktalmustern. Diese Werkzeuge sind jedoch normalerweise sekundär und ermöglichen Ihnen keine Feinabstimmung des generierten Fraktalmusters. In Fällen, in denen es notwendig ist, ein mathematisch genaues Fraktal zu erstellen, kommt der plattformübergreifende XaoS-Editor zur Rettung. Dieses Programm ermöglicht es nicht nur, ein selbstähnliches Bild zu erstellen, sondern auch verschiedene Manipulationen damit durchzuführen. Beispielsweise können Sie in Echtzeit durch ein Fraktal „gehen“, indem Sie seine Skalierung ändern. Animierte Bewegungen entlang eines Fraktals können als XAF-Datei gespeichert und dann im Programm selbst abgespielt werden.

XaoS kann einen zufälligen Satz von Parametern laden sowie verschiedene Bildnachbearbeitungsfilter verwenden - einen unscharfen Bewegungseffekt hinzufügen, scharfe Übergänge zwischen fraktalen Punkten glätten, ein 3D-Bild simulieren und so weiter.

⇡ Fractal Zoomer: kompakter Fraktalgenerator

Im Vergleich zu anderen Fraktalbildgeneratoren hat es mehrere Vorteile. Erstens ist es ziemlich klein und erfordert keine Installation. Zweitens implementiert es die Fähigkeit, die Farbpalette des Bildes zu definieren. Sie können Farbtöne in RGB-, CMYK-, HVS- und HSL-Farbmodellen auswählen.

Sehr komfortabel ist auch die Möglichkeit der zufälligen Auswahl von Farbtönen und die Funktion zum Invertieren aller Farben im Bild. Um die Farbe anzupassen, gibt es eine Funktion zur zyklischen Auswahl von Farbtönen - wenn der entsprechende Modus eingeschaltet ist, animiert das Programm das Bild und ändert zyklisch die Farben darauf.

Fractal Zoomer kann 85 verschiedene Fraktalfunktionen visualisieren, und Formeln werden deutlich im Programmmenü angezeigt. Es gibt Filter für die Nachbearbeitung von Bildern im Programm, wenn auch in geringer Menge. Jeder zugewiesene Filter kann jederzeit aufgehoben werden.

⇡ Mandelbulb3D: 3D-Fraktal-Editor

Wenn der Begriff "Fraktal" verwendet wird, bedeutet dies meistens ein flaches zweidimensionales Bild. Die fraktale Geometrie geht jedoch über die 2D-Dimension hinaus. In der Natur findet man sowohl Beispiele für flache fraktale Formen, beispielsweise die Geometrie von Blitzen, als auch für dreidimensionale dreidimensionale Figuren. Fraktale Oberflächen können 3D sein, und eine sehr anschauliche Illustration von 3D-Fraktalen im Alltag ist ein Kohlkopf. Die vielleicht beste Art, Fraktale zu sehen, ist in Romanesco, einer Mischung aus Blumenkohl und Brokkoli.

Und dieses Fraktal kann gegessen werden

Das Programm Mandelbulb3D kann dreidimensionale Objekte mit ähnlicher Form erstellen. Um eine 3D-Oberfläche unter Verwendung des Fraktalalgorithmus zu erhalten, konvertierten die Autoren dieser Anwendung, Daniel White und Paul Nylander, die Mandelbrot-Menge in sphärische Koordinaten. Das von ihnen erstellte Mandelbulb3D-Programm ist ein echter dreidimensionaler Editor, der fraktale Oberflächen verschiedener Formen modelliert. Da wir häufig fraktale Muster in der Natur beobachten, erscheint ein künstlich erzeugtes fraktales dreidimensionales Objekt unglaublich realistisch und sogar „lebendig“.

Es kann wie eine Pflanze aussehen, es kann einem seltsamen Tier, einem Planeten oder etwas anderem ähneln. Dieser Effekt wird durch einen fortschrittlichen Rendering-Algorithmus verstärkt, der es ermöglicht, realistische Reflexionen zu erhalten, Transparenz und Schatten zu berechnen, den Effekt der Schärfentiefe zu simulieren und so weiter. Mandelbulb3D hat eine riesige Menge an Einstellungen und Rendering-Optionen. Sie können die Schattierungen von Lichtquellen steuern, den Hintergrund und den Detaillierungsgrad des modellierten Objekts auswählen.

Der Incendia-Fraktaleditor unterstützt die Doppelbildglättung, enthält eine Bibliothek mit fünfzig verschiedenen dreidimensionalen Fraktalen und verfügt über ein separates Modul zum Bearbeiten von Grundformen.

Die Anwendung nutzt Fractal Scripting, mit dem Sie eigenständig neuartige fraktale Strukturen beschreiben können. Incendia verfügt über Textur- und Materialeditoren sowie eine Rendering-Engine, mit der Sie volumetrische Nebeleffekte und verschiedene Shader verwenden können. Das Programm verfügt über eine Option zum Speichern des Puffers während des Langzeit-Renderings, die Animationserstellung wird unterstützt.

Mit Incendia können Sie ein Fraktalmodell in gängige 3D-Grafikformate exportieren - OBJ und STL. Incendia enthält ein kleines Geometrica-Hilfsprogramm - ein spezielles Werkzeug zum Einrichten des Exports einer fraktalen Oberfläche in ein dreidimensionales Modell. Mit diesem Dienstprogramm können Sie die Auflösung einer 3D-Oberfläche bestimmen und die Anzahl der fraktalen Iterationen angeben. Exportierte Modelle können in 3D-Projekten verwendet werden, wenn Sie mit 3D-Editoren wie Blender, 3ds max und anderen arbeiten.

BEIM In letzter Zeit Die Arbeiten am Incendia-Projekt haben sich etwas verlangsamt. Auf der dieser Moment Der Autor sucht nach Sponsoren, die ihm bei der Entwicklung des Programms helfen.

Wenn Sie nicht genug Fantasie haben, um in diesem Programm ein schönes dreidimensionales Fraktal zu zeichnen, macht das nichts. Verwenden Sie die Parameterbibliothek, die sich im Ordner INCENDIA_EX\parameters befindet. Mit Hilfe von PAR-Dateien können Sie schnell die ungewöhnlichsten fraktalen Formen finden, einschließlich animierter.

⇡ Aural: wie Fraktale singen

Wir sprechen normalerweise nicht von Projekten, an denen gerade gearbeitet wird, aber in diesem Fall müssen wir eine Ausnahme machen, dies ist eine sehr ungewöhnliche Anwendung. Ein Projekt namens Aural entstand mit der gleichen Person wie Incendia. Allerdings visualisiert das Programm dieses Mal nicht das fraktale Set, sondern bringt es zum Ausdruck und verwandelt es in elektronische Musik. Die Idee ist sehr interessant, besonders wenn man die ungewöhnlichen Eigenschaften von Fraktalen betrachtet. Aural ist ein Audio-Editor, der Melodien mit fraktalen Algorithmen erzeugt, das heißt, es ist tatsächlich ein Audio-Synthesizer-Sequenzer.

Die von diesem Programm ausgegebene Tonfolge ist ungewöhnlich und ... schön. Es kann durchaus nützlich sein, um moderne Rhythmen zu schreiben, und eignet sich unserer Meinung nach besonders gut, um Soundtracks für die Intros von Fernseh- und Radiosendungen sowie "Loops" von Hintergrundmusik für Computerspiele zu erstellen. Ramiro hat noch keine Demo seines Programms zur Verfügung gestellt, verspricht aber, dass er dann, um mit Aural zu arbeiten, nicht die Theorie der Fraktale lernen muss – sondern einfach mit den Parametern des Algorithmus zur Generierung einer Tonfolge spielen muss . Hören Sie, wie Fraktale klingen, und.

Fraktale: musikalische Pause

Tatsächlich können Fraktale helfen, Musik auch ohne Software zu schreiben. Das kann aber nur jemand, der wirklich von der Idee der natürlichen Harmonie besessen ist und gleichzeitig nicht zum unglücklichen „Nerd“ geworden ist. Es ist sinnvoll, sich an einem Musiker namens Jonathan Coulton zu orientieren, der unter anderem Kompositionen für das Magazin Popular Science schreibt. Und im Gegensatz zu anderen Künstlern veröffentlicht Colton alle seine Werke unter einer Creative Commons Attribution-Noncommercial-Lizenz, die (bei Verwendung für nichtkommerzielle Zwecke) das kostenlose Kopieren, Verteilen, Übertragen von Werken an andere sowie deren Änderung (Erstellung von abgeleiteten Werken), um es an Ihre Bedürfnisse anzupassen.

Jonathan Colton hat natürlich ein Lied über Fraktale.

⇡ Fazit

In allem, was uns umgibt, sehen wir oft Chaos, aber tatsächlich ist dies kein Zufall, sondern eine ideale Form, die uns durch Fraktale zu erkennen hilft. Die Natur ist der beste Architekt, der ideale Baumeister und Ingenieur. Es ist sehr logisch angeordnet, und wenn wir irgendwo keine Muster sehen, bedeutet dies, dass wir es in einem anderen Maßstab suchen müssen. Die Menschen verstehen das immer besser und versuchen, natürliche Formen in vielerlei Hinsicht nachzuahmen. Ingenieure entwerfen Lautsprechersysteme in Form einer Hülle, erstellen Antennen mit Schneeflockengeometrie und so weiter. Wir sind sicher, dass Fraktale noch viele Geheimnisse bergen, und viele davon müssen noch vom Menschen entdeckt werden.

Gemeindehaushalt Bildungseinrichtung

"Siverskaya-Durchschnitt allgemein bildende Schule Nr. 3"

Forschung

Mathematik.

Hat den Job gemacht

Schüler der 8. Klasse

Emeline Pawel

Wissenschaftlicher Leiter

Mathematiklehrer

Tupitsyna Natalya Alekseevna

S. Siversky

Jahr 2014

Mathematik ist ganz von Schönheit und Harmonie durchdrungen,

Diese Schönheit muss man einfach gesehen haben.

B. Mandelbrot

Einführung

Kapitel 1. Die Entstehungsgeschichte von Fraktalen _______ 5-6 S.

Kapitel 2. Klassifizierung von Fraktalen.______6-10 Seiten.

geometrische Fraktale

Algebraische Fraktale

Stochastische Fraktale

Kapitel 3. "Fraktale Geometrie der Natur" ______ 11-13 Seiten.

Kapitel 4. Anwendung von Fraktalen _______________13-15pp.

Kapitel 5 Praktische Arbeit __________________ 16-24 S.

Fazit_________________________________25.Seite

Literaturverzeichnis und Internetquellen _______ 26 p.

Einführung

Mathematik,

wenn man es richtig sieht,

spiegelt nicht nur die Wahrheit wider,

sondern auch unvergleichliche Schönheit.

Bertrand Russell

Das Wort „Fraktal“ ist etwas, über das heutzutage viele Menschen sprechen, von Wissenschaftlern bis hin zu Studenten. weiterführende Schule. Es erscheint auf den Titelseiten vieler mathematischer Lehrbücher, wissenschaftlicher Zeitschriften und Computerboxen. Software. Farbbilder von Fraktalen sind heute überall zu finden: von Postkarten, T-Shirts bis hin zu Bildern auf dem Desktop eines Personal Computers. Also, was sind diese farbigen Formen, die wir sehen?

Mathematik ist die älteste Wissenschaft. Den meisten Menschen schien die Geometrie in der Natur auf so einfache Formen wie eine Linie, einen Kreis, ein Polygon, eine Kugel und so weiter beschränkt zu sein. Wie sich herausstellte, sind viele natürliche Systeme so komplex, dass es hoffnungslos erscheint, sie nur mit vertrauten Objekten gewöhnlicher Geometrie zu modellieren. Wie baut man zum Beispiel ein Modell einer Bergkette oder einer Baumkrone geometrisch? Wie kann man diese Vielfalt beschreiben Biodiversität, die wir in der Welt der Pflanzen und Tiere beobachten? Wie kann man sich die ganze Komplexität des Kreislaufsystems vorstellen, das aus vielen Kapillaren und Gefäßen besteht und jede Zelle des menschlichen Körpers mit Blut versorgt? Stellen Sie sich die Struktur der Lunge und der Nieren vor, die Bäumen mit einer verzweigten Krone in der Struktur ähneln?

Fraktale sind ein geeignetes Mittel, um den gestellten Fragen nachzugehen. Was wir in der Natur sehen, fasziniert uns oft mit der endlosen Wiederholung des gleichen Musters, das mehrmals vergrößert oder verkleinert wird. Zum Beispiel hat ein Baum Zweige. Diese Zweige haben kleinere Zweige und so weiter. Theoretisch wiederholt sich das „Fork“-Element unendlich oft und wird dabei immer kleiner. Das Gleiche kann man sehen, wenn man sich ein Foto eines bergigen Geländes ansieht. Versuchen Sie, die Bergkette ein wenig heranzuzoomen – Sie werden die Berge wieder sehen. So manifestiert sich die für Fraktale charakteristische Eigenschaft der Selbstähnlichkeit.

Das Studium von Fraktalen eröffnet wunderbare Möglichkeiten, sowohl beim Studium einer unendlichen Zahl von Anwendungen als auch auf dem Gebiet der Mathematik. Die Verwendung von Fraktalen ist sehr umfangreich! Immerhin sind diese Objekte so schön, dass sie von Designern, Künstlern verwendet werden, mit deren Hilfe viele Elemente von Bäumen, Wolken, Bergen usw. in Grafiken gezeichnet werden. Aber in vielen Handys werden Fraktale sogar als Antennen verwendet.

Für viele Chaologen (Wissenschaftler, die Fraktale und Chaos studieren) ist dies nicht nur ein neues Wissensgebiet, das Mathematik, theoretische Physik, Kunst und Computertechnologie kombiniert – es ist eine Revolution. Dies ist die Entdeckung einer neuen Art von Geometrie, der Geometrie, die die Welt um uns herum beschreibt und die nicht nur in Lehrbüchern, sondern auch in der Natur und überall im grenzenlosen Universum zu sehen ist..

Auch bei meiner Arbeit habe ich mich entschieden, die Welt der Schönheit zu „berühren“ und für mich entschieden…

Zielsetzung: Erstellen von Objekten, die der Natur sehr ähnlich sind.

Forschungsmethoden Schlüsselwörter: vergleichende Analyse, Synthese, Modellierung.

Aufgaben:

Bekanntschaft mit Konzept, Entstehungsgeschichte und Forschung von B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky und andere;

Bekanntschaft mit verschiedene Arten fraktale Mengen;

Studium der populärwissenschaftlichen Literatur zu diesem Thema, Bekanntschaft mit

wissenschaftliche Hypothesen;

Bestätigung der Theorie der Fraktalität der umgebenden Welt zu finden;

Studium der Verwendung von Fraktalen in anderen Wissenschaften und in der Praxis;

ein Experiment durchführen, um Ihre eigenen Fraktalbilder zu erstellen.

Kernfrage des Jobs:

Zeigen Sie, dass Mathematik kein trockenes, seelenloses Fach ist, sondern die geistige Welt eines Menschen individuell und in der Gesellschaft als Ganzes ausdrücken kann.

Gegenstand der Studie: Fraktale Geometrie.

Studienobjekt: Fraktale in der Mathematik und in der realen Welt.

Hypothese: Alles, was in der realen Welt existiert, ist ein Fraktal.

Forschungsmethoden: analytisch, suchen.

Relevanz des erklärten Themas wird in erster Linie durch den Forschungsgegenstand, nämlich die fraktale Geometrie, bestimmt.

Erwartete Ergebnisse: Im Laufe der Arbeit werde ich in der Lage sein, mein Wissen auf dem Gebiet der Mathematik zu erweitern, die Schönheit der fraktalen Geometrie zu sehen und mit der Arbeit an der Erstellung meiner eigenen Fraktale zu beginnen.

Das Ergebnis der Arbeit wird die Erstellung einer Computerpräsentation, eines Bulletins und einer Broschüre sein.

Kapitel 1

B Enua Mandelbrot

Der Begriff „Fraktal“ wurde von Benoit Mandelbrot geprägt. Das Wort kommt vom lateinischen „fractus“, was „gebrochen, zerschmettert“ bedeutet.

Fraktal (lat. fractus - zerkleinert, gebrochen, gebrochen) - ein Begriff, der eine komplexe geometrische Figur mit der Eigenschaft der Selbstähnlichkeit bezeichnet, dh aus mehreren Teilen besteht, von denen jeder der gesamten Figur als Ganzes ähnlich ist.

Die mathematischen Objekte, auf die es sich bezieht, zeichnen sich durch äußerst interessante Eigenschaften aus. In der gewöhnlichen Geometrie hat eine Linie eine Dimension, eine Oberfläche zwei Dimensionen und räumliche Figur dreidimensional. Fraktale hingegen sind keine Linien oder Flächen, sondern, wenn man sich das vorstellen kann, etwas dazwischen. Mit zunehmender Größe nimmt auch das Volumen des Fraktals zu, aber seine Dimension (Exponent) ist keine ganze Zahl, sondern ein Bruchwert, und daher ist die Grenze der fraktalen Figur keine Linie: Bei starker Vergrößerung wird sie deutlich dass es verschwommen ist und aus Spiralen und Locken besteht, die den Maßstab der Figur selbst im Kleinen wiederholen. Eine solche geometrische Regelmäßigkeit wird Skaleninvarianz oder Selbstähnlichkeit genannt. Sie bestimmt die gebrochene Dimension fraktaler Figuren.

Vor dem Aufkommen der fraktalen Geometrie befasste sich die Wissenschaft mit Systemen, die in drei räumlichen Dimensionen enthalten sind. Dank Einstein wurde klar, dass der dreidimensionale Raum nur ein Modell der Realität ist und nicht die Realität selbst. Tatsächlich befindet sich unsere Welt in einem vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum.
Dank Mandelbrot wurde klar, wie ein vierdimensionaler Raum aussieht, bildlich gesprochen das fraktale Gesicht des Chaos. Benoit Mandelbrot entdeckte, dass die vierte Dimension nicht nur die ersten drei Dimensionen umfasst, sondern auch (das ist sehr wichtig!) die Intervalle zwischen ihnen.

Rekursive (oder fraktale) Geometrie ersetzt die Euklidische. Die neue Wissenschaft ist in der Lage, die wahre Natur von Körpern und Phänomenen zu beschreiben. Die euklidische Geometrie befasste sich nur mit künstlichen, imaginären Objekten, die zu drei Dimensionen gehören. Erst die vierte Dimension kann sie Wirklichkeit werden lassen.

Flüssig, gasförmig, fest – die drei Üblichen physikalische Zustände Materie, die in der dreidimensionalen Welt existiert. Aber wie groß sind die Rauchschwaden, die Wolken bzw. ihre Grenzen, die durch turbulente Luftbewegungen ständig verwischt werden?

Grundsätzlich werden Fraktale in drei Gruppen eingeteilt:

Algebraische Fraktale

Stochastische Fraktale

geometrische Fraktale

Lassen Sie uns einen genaueren Blick auf jeden von ihnen werfen.

Kapitel 2. Klassifizierung von Fraktalen

geometrische Fraktale

Benoit Mandelbrot schlug ein fraktales Modell vor, das bereits zu einem Klassiker geworden ist und oft verwendet wird, um sowohl ein typisches Beispiel für das Fraktal selbst als auch die Schönheit von Fraktalen zu demonstrieren, was auch Forscher, Künstler und einfach Interessierte anzieht.

Mit ihnen begann die Geschichte der Fraktale. Diese Art von Fraktalen wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Üblicherweise geht man beim Konstruieren dieser Fraktale folgendermaßen vor: Man nimmt einen „Samen“ – ein Axiom – eine Menge von Segmenten, auf deren Grundlage das Fraktal aufgebaut wird. Außerdem wird auf diesen „Samen“ eine Reihe von Regeln angewendet, die ihn in eine geometrische Figur verwandeln. Ferner wird derselbe Satz von Regeln wieder auf jeden Teil dieser Figur angewendet. Mit jedem Schritt wird die Figur immer komplexer, und wenn wir (zumindest gedanklich) unendlich viele Transformationen durchführen, erhalten wir ein geometrisches Fraktal.

Fraktale dieser Klasse sind am visuellsten, weil sie in jedem Beobachtungsmaßstab sofort sichtbare Selbstähnlichkeit sind. Im zweidimensionalen Fall können solche Fraktale erhalten werden, indem eine unterbrochene Linie angegeben wird, die als Generator bezeichnet wird. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes der Segmente, die die unterbrochene Linie bilden, durch einen Generator für unterbrochene Linien im geeigneten Maßstab ersetzt. Als Ergebnis der endlosen Wiederholung dieses Vorgangs (genauer gesagt, beim Überschreiten des Limits) wird eine fraktale Kurve erhalten. Bei der offensichtlichen Komplexität der resultierenden Kurve ist ihre allgemeine Form nur durch die Form des Generators gegeben. Beispiele für solche Kurven sind: Koch-Kurve (Abb.7), Peano-Kurve (Abb.8), Minkowski-Kurve.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts suchten Mathematiker nach Kurven, die an keiner Stelle eine Tangente hatten. Dadurch änderte die Kurve schlagartig ihre Richtung, und zwar mit enorm hoher Geschwindigkeit (die Ableitung ist gleich unendlich). Die Suche nach diesen Kurven wurde nicht nur durch das müßige Interesse der Mathematiker verursacht. Tatsache ist, dass sich die Quantenmechanik zu Beginn des 20. Jahrhunderts sehr schnell entwickelt hat. Der Forscher M. Brown skizzierte die Flugbahn von Schwebeteilchen im Wasser und erklärte dieses Phänomen folgendermaßen: Zufällig bewegte Flüssigkeitsatome treffen auf Schwebeteilchen und setzen sie dadurch in Bewegung. Nach dieser Erklärung Brownsche Bewegung Die Wissenschaftler standen vor der Aufgabe, eine solche Kurve zu finden, die die Bewegung der Brownschen Teilchen am besten zeigt. Dazu musste die Kurve folgende Eigenschaften erfüllen: an keiner Stelle eine Tangente haben. Der Mathematiker Koch schlug eine solche Kurve vor.

Zu Die Koch-Kurve ist ein typisches geometrisches Fraktal. Der Prozess seiner Konstruktion ist wie folgt: Wir nehmen ein einzelnes Segment, teilen es in drei gleiche Teile und ersetzen das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne dieses Segment. Als Ergebnis wird eine unterbrochene Linie gebildet, die aus vier Gliedern der Länge 1/3 besteht. Im nächsten Schritt wiederholen wir die Operation für jeden der vier resultierenden Links und so weiter ...

Die Grenzkurve ist Koch-Kurve.

Schneeflocke Koch.Ähnliche Transformationen an den Seiten durchgeführt gleichseitiges Dreieck Sie können ein Fraktalbild einer Koch-Schneeflocke erhalten.

T
Ein weiterer einfacher Vertreter eines geometrischen Fraktals ist Sierpinski-Platz. Es ist ganz einfach aufgebaut: Das Quadrat wird durch gerade Linien parallel zu seinen Seiten in 9 gleichgroße Quadrate geteilt. Das zentrale Quadrat wird aus dem Quadrat entfernt. Es stellt sich ein Satz heraus, der aus 8 verbleibenden Quadraten des "ersten Ranges" besteht. Wenn wir dasselbe mit jedem der Quadrate des ersten Ranges tun, erhalten wir einen Satz, der aus 64 Quadraten des zweiten Ranges besteht. Wenn wir diesen Vorgang unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir eine unendliche Folge oder ein Sierpinski-Quadrat.

Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Algebraische Fraktale haben ihren Namen, weil sie mit einfachen algebraischen Formeln aufgebaut sind.

Sie werden unter Verwendung nichtlinearer Prozesse in erhalten n-dimensionale Räume. Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Anfangszustand ab. Daher hat jeder stabile Zustand (oder, wie sie sagen, ein Attraktor) einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System notwendigerweise in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems unterteilt Anziehungspunkte Attraktoren. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben erhalten Farbphasenporträt dieses System (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen mehrfarbigen Mustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mit primitiven Algorithmen sehr komplexe Strukturen zu erzeugen.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge. Es wird mit komplexen Zahlen aufgebaut.

Teil der Grenze der Mandelbrot-Menge, 200-fach vergrößert.

Das Mandelbrot-Set enthält Punkte, die währendendlos die Anzahl der Iterationen geht nicht gegen unendlich (schwarze Punkte). Punkte, die zur Grenze der Menge gehören(hier entstehen komplexe Strukturen) gehen in endlich vielen Iterationen ins Unendliche, und außerhalb der Menge liegende Punkte gehen nach mehreren Iterationen ins Unendliche (weißer Hintergrund).

P



Ein Beispiel für ein weiteres algebraisches Fraktal ist die Julia-Menge. Es gibt 2 Varianten dieses Fraktals.Überraschenderweise werden die Julia-Mengen nach der gleichen Formel wie die Mandelbrot-Menge gebildet. Die Julia-Menge wurde von dem französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem die Menge benannt wurde.

Und
interessante Tatsache, einige algebraische Fraktale ähneln auffallend Bildern von Tieren, Pflanzen und anderen biologischen Objekten, weshalb sie als Biomorphe bezeichnet werden.

Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die erhalten werden, wenn einer ihrer Parameter zufällig in einem iterativen Prozess geändert wird. In diesem Fall werden Objekte erhalten, die natürlichen sehr ähnlich sind - asymmetrische Bäume, geschnitten Küsten usw.

Ein typischer Vertreter dieser Gruppe von Fraktalen ist "Plasma".

D
Um es zu konstruieren, wird ein Rechteck genommen und für jede seiner Ecken eine Farbe bestimmt. Als nächstes wird der Mittelpunkt des Rechtecks ​​gefunden und in einer Farbe gezeichnet, die gleich dem arithmetischen Mittel der Farben an den Ecken des Rechtecks ​​plus einer Zufallszahl ist. Je größer die Zufallszahl, desto "zerrissener" wird das Bild. Wenn wir davon ausgehen, dass die Farbe des Punktes die Höhe über dem Meeresspiegel ist, erhalten wir anstelle von Plasma eine Bergkette. Nach diesem Prinzip werden Berge in den meisten Programmen modelliert. Mit einem Plasma-ähnlichen Algorithmus wird eine Höhenkarte erstellt, verschiedene Filter werden darauf angewendet, eine Textur wird angewendet und fertig sind fotorealistische Berge.

E
Wenn wir uns dieses Fraktal in einem Abschnitt ansehen, dann werden wir sehen, dass dieses Fraktal voluminös ist und eine „Rauheit“ hat, gerade wegen dieser „Rauheit“ gibt es eine sehr wichtige Anwendung dieses Fraktals.

Angenommen, Sie möchten die Form eines Berges beschreiben. Gewöhnliche Figuren aus der euklidischen Geometrie helfen hier nicht weiter, weil sie die Oberflächentopographie nicht berücksichtigen. Aber wenn Sie herkömmliche Geometrie mit fraktaler Geometrie kombinieren, können Sie die „Rauheit“ des Berges selbst erhalten. Plasma muss auf einen gewöhnlichen Kegel aufgetragen werden, und wir erhalten die Erleichterung des Berges. Solche Operationen können mit vielen anderen Objekten in der Natur durchgeführt werden, dank stochastischer Fraktale kann die Natur selbst beschrieben werden.

Lassen Sie uns nun über geometrische Fraktale sprechen.

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Kapitel 3 „Die fraktale Geometrie der Natur“

Warum wird Geometrie oft als „kalt" und „trocken" bezeichnet? Ein Grund dafür ist ihre Unfähigkeit, die Form einer Wolke, eines Berges, einer Küste oder eines Baumes zu beschreiben. Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küstenlinien sind keine Kreise, Bäume Rinde ist nicht glatt, sondern Komplexität auf einem ganz anderen Niveau Die Zahl der unterschiedlichen Längenskalen natürlicher Objekte für alle praktischen Zwecke ist unendlich.

(Benoit Mandelbrot „Die fraktale Geometrie der Natur“ ).

Zu Die Schönheit von Fraktalen ist zweierlei: Sie erfreut das Auge, wie zumindest die weltweite Ausstellung fraktaler Bilder beweist, die von einer Gruppe Bremer Mathematiker unter der Leitung von Peitgen und Richter organisiert wurde. Später wurden die Exponate dieser grandiosen Ausstellung in Illustrationen für das Buch "The Beauty of Fractals" der gleichen Autoren festgehalten. Aber es gibt einen anderen, abstrakteren oder erhabeneren Aspekt der Schönheit von Fraktalen, der laut R. Feynman nur dem mentalen Blick des Theoretikers zugänglich ist, in diesem Sinne sind Fraktale schön mit der Schönheit eines schwierigen mathematischen Problems. Benoit Mandelbrot wies seine Zeitgenossen (und vermutlich auch seine Nachkommen) auf eine unglückliche Lücke in Euklids Elementen hin, wonach die Menschheit, ohne die Lücke zu bemerken, fast zwei Jahrtausende lang die Geometrie der umgebenden Welt verstanden und deren mathematische Strenge gelernt hatte Präsentation. Natürlich sind beide Aspekte der Schönheit von Fraktalen eng miteinander verbunden und schließen sich nicht aus, sondern ergänzen sich gegenseitig, obwohl jeder von ihnen autark ist.

Die fraktale Geometrie der Natur ist nach Mandelbrot eine reelle Geometrie, die der in F. Kleins „Erlanger Programm“ vorgeschlagenen Definition von Geometrie genügt. Tatsache ist, dass vor dem Aufkommen der nichteuklidischen Geometrie N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, es gab nur eine Geometrie - die in den "Anfängen" dargelegte, und die Frage, was Geometrie ist und welche der Geometrien die Geometrie der realen Welt ist, stellte sich nicht und konnte nicht auftreten entstehen. Aber mit dem Aufkommen einer weiteren Geometrie stellte sich die Frage, was Geometrie überhaupt ist und welche der vielen Geometrien der realen Welt entspricht. Laut F. Klein untersucht die Geometrie solche Eigenschaften von Objekten, die unter Transformationen invariant sind: Euklidisch - Invarianten der Bewegungsgruppe (Transformationen, die den Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten nicht ändern, d.h. eine Überlagerung paralleler Translationen und Rotationen mit oder darstellen ohne Orientierungsänderung) , Lobatschewski-Bolyai-Geometrie - Invarianten der Lorentz-Gruppe. Die fraktale Geometrie befasst sich mit der Untersuchung von Invarianten der Gruppe der selbstaffinen Transformationen, d.h. Eigenschaften, die durch Potenzgesetze ausgedrückt werden.

Was die Entsprechung zur realen Welt betrifft, so beschreibt die fraktale Geometrie eine sehr breite Klasse von natürlichen Prozessen und Phänomenen, und daher können wir mit B. Mandelbrot zu Recht von der fraktalen Geometrie der Natur sprechen. Neu - fraktale Objekte haben ungewöhnliche Eigenschaften. Die Längen, Flächen und Volumen einiger Fraktale sind gleich Null, andere gehen gegen Unendlich.

Die Natur erschafft oft erstaunliche und schöne Fraktale mit perfekter Geometrie und einer solchen Harmonie, dass Sie vor Bewunderung einfach erstarren. Und hier sind ihre Beispiele:

Muscheln

Blitz bewundern ihre Schönheit. Die vom Blitz erzeugten Fraktale sind nicht zufällig oder regelmäßig.

fraktale Form Unterart des Blumenkohls(Brassica cauliflora). Diese besondere Art ist ein besonders symmetrisches Fraktal.

P Farn ist auch ein gutes Beispiel für ein Fraktal unter Flora.

Pfauen Jeder ist bekannt für sein buntes Gefieder, in dem solide Fraktale verborgen sind.

Eis, Frostmuster an den Fenstern sind dies auch Fraktale

Ö
t vergrößertes Bild Flugblatt, Vor Äste- Sie können Fraktale in allem finden

Fraktale sind überall und überall in der Natur um uns herum. Das gesamte Universum ist nach überraschend harmonischen Gesetzen mit mathematischer Präzision aufgebaut. Ist es danach möglich zu glauben, dass unser Planet eine zufällige Ansammlung von Teilchen ist? Kaum.

Kapitel 4

Fraktale finden immer mehr Anwendungen in der Wissenschaft. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt manchmal sogar besser beschreiben als traditionelle Physik oder Mathematik. Hier sind einige Beispiele:

Ö
Tage der mächtigsten Anwendungen von Fraktalen liegen vor uns Computergrafik. Dies ist eine fraktale Komprimierung von Bildern. Die moderne Physik und Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen.

Die Vorteile von fraktalen Bildkomprimierungsalgorithmen sind die sehr kleine Größe der gepackten Datei und die kurze Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können skaliert werden, ohne dass eine Verpixelung auftritt (schlechte Bildqualität – große Quadrate). Aber der Komprimierungsprozess dauert sehr lange und dauert manchmal Stunden. Der verlustbehaftete fraktale Packalgorithmus ermöglicht es Ihnen, die Komprimierungsstufe einzustellen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Teilen des Bildes, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur welches Stück welchem ​​ähnlich ist, wird in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird in der Regel ein quadratisches Raster verwendet (Stücke sind Quadrate), was zu einer leichten Winkligkeit beim Wiederherstellen des Bildes führt; ein sechseckiges Raster ist von einem solchen Nachteil frei.

Iterated hat ein neues Bildformat namens „Sting“ entwickelt, das Fraktal- und „Wellen“- (z. B. jpeg) verlustfreie Komprimierung kombiniert. Mit dem neuen Format können Sie Bilder mit der Möglichkeit einer anschließenden Skalierung in hoher Qualität erstellen, und das Volumen von Grafikdateien beträgt 15-20% des Volumens von unkomprimierten Bildern.

In Mechanik und Physik Fraktale werden dank verwendet einzigartiges Eigentum Wiederholen Sie die Umrisse vieler Naturobjekte. Fraktale ermöglichen es Ihnen, Bäume, Bergoberflächen und Risse mit höherer Genauigkeit anzunähern als Annäherungen mit Liniensegmenten oder Polygonen (mit der gleichen Menge an gespeicherten Daten). fraktale Muster, wie natürliche Objekte, haben "Rauigkeit", und diese Eigenschaft bleibt bei beliebig großer Vergrößerung im Modell erhalten. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht die Anwendung der Integration, der Potentialtheorie, um sie anstelle von Standardobjekten in den bereits untersuchten Gleichungen zu verwenden.

T
Fraktale Geometrie wird auch verwendet Design von Antennengeräten. Dies wurde zuerst von dem amerikanischen Ingenieur Nathan Cohen verwendet, der damals im Zentrum von Boston lebte, wo die Installation von Außenantennen an Gebäuden verboten war. Cohen schnitt eine Koch-Kurvenform aus Aluminiumfolie aus und klebte sie dann auf ein Stück Papier, bevor er sie an einem Empfänger befestigte. Es stellte sich heraus, dass eine solche Antenne nicht schlechter funktioniert als eine herkömmliche. Und obwohl die physikalischen Grundlagen einer solchen Antenne bisher nicht untersucht wurden, hinderte dies Cohen nicht daran, eine eigene Firma zu gründen und deren Serienproduktion aufzubauen. Aktuell hat die amerikanische Firma „Fractal Antenna System“ einen neuen Antennentyp entwickelt. Jetzt können Sie aufhören, abstehende externe Antennen in Mobiltelefonen zu verwenden. Die sogenannte Fraktalantenne befindet sich direkt auf der Hauptplatine im Inneren des Geräts.

Auch über die Verwendung von Fraktalen gibt es viele Hypothesen – so haben beispielsweise auch das Lymph- und Kreislaufsystem, die Lunge und vieles mehr fraktale Eigenschaften.

Kapitel 5. Praktische Arbeit.

Konzentrieren wir uns zunächst auf die Fraktale „Necklace“, „Victory“ und „Square“.

Zuerst - "Halskette"(Abb. 7). Der Kreis ist der Initiator dieses Fraktals. Dieser Kreis besteht aus einer bestimmten Anzahl gleicher, aber kleinerer Kreise, und er selbst ist einer von mehreren gleichen, aber größeren Kreisen. Der Bildungsprozess ist also endlos und kann sowohl in die eine als auch in die entgegengesetzte Richtung durchgeführt werden. Jene. die Figur kann vergrößert werden, indem man nur einen kleinen Bogen nimmt, oder sie kann verkleinert werden, indem man ihre Konstruktion aus kleineren betrachtet.

Reis. 7.

Fraktal "Halskette"

Das zweite Fraktal ist "Sieg"(Abb. 8). Er bekam diesen Namen, weil er äußerlich dem lateinischen Buchstaben „V“ ähnelt, also „Sieg“-Sieg. Dieses Fraktal besteht aus einer bestimmten Anzahl kleiner „v“, die ein großes „V“ ergeben, und in der linken Hälfte, in der die kleinen so platziert sind, dass ihre linken Hälften eine gerade Linie bilden, wird der rechte Teil gebaut auf die gleiche Weise. Jedes dieser "v" ist gleich aufgebaut und setzt dies bis ins Unendliche fort.

Abb.8. Fraktal "Sieg"

Das dritte Fraktal ist "Quadrat" (Abb. 9). Jede seiner Seiten besteht aus einer Reihe von Zellen, die wie Quadrate geformt sind, deren Seiten auch Reihen von Zellen darstellen, und so weiter.

Abb. 9. Fraktal "Quadrat"

Das Fraktal wurde aufgrund seiner äußeren Ähnlichkeit mit dieser Blume "Rose" (Abb. 10) genannt. Die Konstruktion eines Fraktals ist mit der Konstruktion einer Reihe konzentrischer Kreise verbunden, deren Radius sich proportional zu einem gegebenen Verhältnis ändert (in diesem Fall R m / R b = ¾ = 0,75). Danach wird in jeden Kreis ein regelmäßiges Sechseck eingeschrieben, dessen Seite gleich dem Radius des um ihn herum beschriebenen Kreises ist.

Reis. 11. Fraktal "Rose *"

Als nächstes wenden wir uns dem regulären Fünfeck zu, in dem wir seine Diagonalen zeichnen. Dann zeichnen wir in dem am Schnittpunkt der entsprechenden Segmente erhaltenen Fünfeck erneut Diagonalen. Setzen wir diesen Vorgang bis ins Unendliche fort und erhalten das "Pentagramm"-Fraktal (Abb. 12).

Lassen Sie uns ein Element der Kreativität einführen und unser Fraktal wird die Form eines eher visuellen Objekts annehmen (Abb. 13).

R
ist. 12. Fraktal "Pentagramm".

Reis. 13. Fraktal "Pentagramm *"

Reis. 14 Fraktal "Schwarzes Loch"

Experiment Nr. 1 "Baum"

Jetzt, da ich verstehe, was ein Fraktal ist und wie man eines baut, habe ich versucht, meine eigenen Fraktalbilder zu erstellen. In Adobe Photoshop habe ich eine kleine Unterroutine oder Aktion erstellt. Die Besonderheit dieser Aktion besteht darin, dass sie die von mir ausgeführten Aktionen wiederholt, und so erhalte ich ein Fraktal.

Zunächst habe ich einen Hintergrund für unser zukünftiges Fraktal mit einer Auflösung von 600 x 600 erstellt. Dann habe ich 3 Linien auf diesen Hintergrund gezeichnet - die Basis unseres zukünftigen Fraktals.

Mit Der nächste Schritt besteht darin, das Skript zu schreiben.

Ebene duplizieren ( Ebene > duplizieren) und ändern Sie den Mischungstyp in " Bildschirm" .

Nennen wir ihn“ fr1". Diese Ebene duplizieren (" fr1“) noch 2 mal.

Jetzt müssen wir zur letzten Ebene wechseln (fr3) und füge es zweimal mit dem vorherigen zusammen ( Strg+e). Ebenenhelligkeit verringern ( Bild > Anpassungen > Helligkeit/Kontrast , Helligkeit eingestellt 50% ). Verschmelzen Sie erneut mit der vorherigen Ebene und schneiden Sie die Kanten der gesamten Zeichnung ab, um unsichtbare Teile zu entfernen.

Als letzten Schritt habe ich dieses Bild kopiert und verkleinert und gedreht eingefügt. Hier ist das Endergebnis.

Fazit

Diese Arbeit ist eine Einführung in die Welt der Fraktale. Wir haben nur den kleinsten Teil dessen betrachtet, was Fraktale sind, auf der Grundlage ihrer Konstruktionsprinzipien.

Fraktale Grafiken sind nicht nur eine Reihe sich selbst wiederholender Bilder, sie sind ein Modell der Struktur und des Prinzips eines jeden Wesens. Unser ganzes Leben wird durch Fraktale dargestellt. Die ganze Natur um uns herum besteht aus ihnen. Es sei darauf hingewiesen, dass Fraktale in Computerspielen weit verbreitet sind, wo Terrains oft fraktale Bilder sind, die auf dreidimensionalen Modellen komplexer Mengen basieren. Fraktale erleichtern das Zeichnen von Computergrafiken erheblich, mit Hilfe von Fraktalen werden viele Spezialeffekte, verschiedene fabelhafte und unglaubliche Bilder usw. erstellt. Außerdem werden mit Hilfe der fraktalen Geometrie Bäume, Wolken, Küsten und alle andere Natur gezeichnet. Fraktale Grafiken werden überall benötigt, und die Entwicklung von „Fraktal-Technologien“ ist heute eine der wichtigsten Aufgaben.

In Zukunft möchte ich lernen, wie man algebraische Fraktale baut, wenn ich komplexe Zahlen genauer untersuche. Ich möchte auch versuchen, mein Fraktalbild in der Programmiersprache Pascal mithilfe von Zyklen zu erstellen.

Es sollte beachtet werden, dass Fraktale in der Computertechnologie verwendet werden, zusätzlich zum einfachen Erstellen schöner Bilder auf einem Computerbildschirm. Fraktale werden in der Computertechnik in folgenden Bereichen eingesetzt:

1. Bilder und Informationen komprimieren

2. Ausblenden von Informationen im Bild, im Ton, ...

3. Datenverschlüsselung mit fraktalen Algorithmen

4. Erstellen von fraktaler Musik

5. Systemmodellierung

In unserer Arbeit werden nicht alle Bereiche des menschlichen Wissens angegeben, in denen die Theorie der Fraktale ihre Anwendung gefunden hat. Wir wollen nur sagen, dass seit dem Aufkommen der Theorie nicht mehr als ein Dritteljahrhundert vergangen ist, aber in dieser Zeit sind Fraktale für viele Forscher zu einem plötzlichen hellen Licht in der Nacht geworden, das bisher unbekannte Tatsachen und Muster gezielt beleuchtete Datenbereiche. Mit der Theorie der Fraktale begannen sie, die Evolution der Galaxien und die Entwicklung der Zelle, die Entstehung von Bergen und die Bildung von Wolken, die Kursbewegungen an der Börse und die Entwicklung von Gesellschaft und Familie zu erklären. Vielleicht war diese Leidenschaft für Fraktale anfangs sogar zu stürmisch und Versuche, alles mit der Theorie der Fraktale zu erklären, waren unberechtigt. Aber ohne Zweifel diese Theorie hat das Recht zu existieren, und wir bedauern, dass es in letzter Zeit irgendwie in Vergessenheit geraten ist und das Los der Elite geblieben ist. Bei der Vorbereitung dieser Arbeit war es für uns sehr interessant, Anwendungen der THEORIE in der PRAXIS zu finden. Denn sehr oft entsteht das Gefühl, dass theoretisches Wissen von der Lebenswirklichkeit abweicht.

Damit wird das Konzept der Fraktale nicht nur zu einem Teil der "reinen" Wissenschaft, sondern auch zu einem Element der menschlichen Kultur. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit der Fraktale ist noch lange nicht erschöpft und wird uns noch viele Meisterwerke bescheren – solche, die das Auge erfreuen, und solche, die dem Geist wahre Freude bereiten.

10. Referenzen

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Mandelbrot B. Fraktale Geometrie der Natur. - M.: "Institut für Computerforschung", 2002.

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Internet-Ressourcen

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http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

fraktal

Fraktal (lat. fraktus- zerkleinert, gebrochen, gebrochen) - eine geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, das heißt, aus mehreren Teilen zusammengesetzt ist, von denen jeder der ganzen Figur als Ganzes ähnlich ist.In der Mathematik werden Fraktale als Mengen von verstanden Punkte im euklidischen Raum, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine andere als die topologische metrische Dimension haben. Fractasm ist eine unabhängige exakte Wissenschaft des Studiums und der Zusammenstellung von Fraktalen.

Mit anderen Worten, Fraktale sind geometrische Objekte mit einer gebrochenen Dimension. Beispielsweise ist die Dimension einer Linie 1, eine Fläche 2 und ein Volumen 3. Bei einem Fraktal kann der Dimensionswert zwischen 1 und 2 oder zwischen 2 und 3 liegen. Beispielsweise die Fraktaldimension eines zerknitterten Papierball ist ungefähr 2,5. In der Mathematik gibt es eine spezielle komplexe Formel zur Berechnung der Dimension von Fraktalen. Die Verästelungen der Trachealtuben, die Blätter an den Bäumen, die Venen im Arm, der Fluss sind Fraktale. Vereinfacht gesagt ist ein Fraktal eine geometrische Figur, von der sich ein bestimmter Teil immer wieder wiederholt und dabei seine Größe verändert – das ist das Prinzip der Selbstähnlichkeit. Fraktale sind sich selbst ähnlich, sie sind sich selbst auf allen Ebenen (dh in jeder Größenordnung) ähnlich. Es gibt viele verschiedene Arten von Fraktalen. Grundsätzlich lässt sich argumentieren, dass alles, was in der realen Welt existiert, ein Fraktal ist, sei es eine Wolke oder ein Sauerstoffmolekül.

Das Wort „Chaos“ suggeriert etwas Unvorhersehbares, aber tatsächlich ist Chaos ziemlich geordnet und gehorcht gewissen Gesetzen. Der Zweck der Untersuchung von Chaos und Fraktalen besteht darin, Muster vorherzusagen, die auf den ersten Blick unvorhersehbar und völlig chaotisch erscheinen mögen.

Der Pionier auf diesem Wissensgebiet war der französisch-amerikanische Mathematiker Professor Benoit B. Mandelbrot. Mitte der 1960er Jahre entwickelte er die fraktale Geometrie, deren Zweck es war, gebrochene, zerknitterte und unscharfe Formen zu analysieren. Das Mandelbrot-Set (in der Abbildung gezeigt) ist die erste Assoziation, die eine Person hat, wenn sie das Wort "Fraktal" hört. Übrigens hat Mandelbrot festgestellt, dass die fraktale Dimension der Küste Englands 1,25 beträgt.

Fraktale werden zunehmend in der Wissenschaft verwendet. Sie beschreiben die reale Welt noch besser als traditionelle Physik oder Mathematik. Die Brownsche Bewegung ist beispielsweise die zufällige und chaotische Bewegung von in Wasser schwebenden Staubpartikeln. Diese Art der Bewegung ist vielleicht der praktischste Aspekt der fraktalen Geometrie. Zufällige Brownsche Bewegung hat einen Frequenzgang, der verwendet werden kann, um Phänomene vorherzusagen, die große Mengen an Daten und Statistiken beinhalten. Zum Beispiel sagte Mandelbrot mithilfe der Brownschen Bewegung Änderungen des Wollpreises voraus.

Das Wort "Fraktal" kann nicht nur als mathematischer Begriff verwendet werden. Ein Fraktal in der Presse und populärwissenschaftlichen Literatur kann als Figuren bezeichnet werden, die eine der folgenden Eigenschaften haben:

Es hat eine nicht-triviale Struktur auf allen Skalen. Dies ist der Unterschied zu regulären Figuren (wie einem Kreis, einer Ellipse, dem Graphen einer glatten Funktion): Wenn wir ein kleines Fragment einer regulären Figur in einem sehr großen Maßstab betrachten, sieht es aus wie ein Fragment einer geraden Linie . Bei einem Fraktal führt das Hineinzoomen nicht zu einer Vereinfachung der Struktur, wir sehen in allen Maßstäben ein gleich komplexes Bild.

Es ist selbstähnlich oder annähernd selbstähnlich.

Es hat eine gebrochene metrische Dimension oder eine metrische Dimension, die der topologischen überlegen ist.

Die nützlichste Verwendung von Fraktalen beim Rechnen ist die fraktale Datenkomprimierung. Gleichzeitig werden Bilder deutlich besser komprimiert als mit herkömmlichen Verfahren – bis zu 600:1. Ein weiterer Vorteil der fraktalen Komprimierung besteht darin, dass beim Zoomen kein Pixelierungseffekt auftritt, der das Bild drastisch verschlechtert. Außerdem sieht ein fraktal komprimiertes Bild nach der Vergrößerung oft noch besser aus als vorher. Informatiker wissen auch, dass sich mit einfachen Formeln Fraktale von unendlicher Komplexität und Schönheit erzeugen lassen. Die Filmindustrie macht ausgiebigen Gebrauch von fraktaler Grafiktechnologie, um realistische Landschaftselemente (Wolken, Felsen und Schatten) zu erzeugen.

Das Studium der Turbulenz in Strömungen lässt sich sehr gut an Fraktale anpassen. Dies ermöglicht ein besseres Verständnis der Dynamik komplexer Strömungen. Flammen können auch mit Fraktalen modelliert werden. Poröse Materialien werden in fraktaler Form gut dargestellt, da sie eine sehr komplexe Geometrie haben. Um Daten über Distanzen zu übertragen, werden fraktalförmige Antennen verwendet, was ihre Größe und ihr Gewicht stark reduziert. Fraktale werden verwendet, um die Krümmung von Oberflächen zu beschreiben. Eine unebene Oberfläche zeichnet sich durch eine Kombination zweier unterschiedlicher Fraktale aus.

Viele Objekte in der Natur haben fraktale Eigenschaften, wie Küsten, Wolken, Baumkronen, Schneeflocken, das Kreislaufsystem und das Alveolarsystem von Menschen oder Tieren.

Fraktale, besonders im Flugzeug, sind beliebt wegen ihrer Kombination aus Schönheit und einfacher Konstruktion mit einem Computer.

Die ersten Beispiele für selbstähnliche Mengen mit ungewöhnlichen Eigenschaften tauchten im 19. Jahrhundert auf (z. B. die Bolzano-Funktion, die Weierstrass-Funktion, die Cantor-Menge). Der Begriff "Fraktal" wurde 1975 von Benoit Mandelbrot eingeführt und erlangte mit der Veröffentlichung seines Buches "The Fractal Geometry of Nature" im Jahr 1977 große Popularität.

Die Abbildung links zeigt als einfaches Beispiel ein Darer-Pentagon-Fraktal, das wie ein Haufen zusammengedrückter Fünfecke aussieht. Tatsächlich wird es durch die Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke gebildet, deren Verhältnis der größten Seite zur kleinsten genau dem sogenannten Goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1/(2cos72°)) entspricht Generator. Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks geschnitten, was zu einer Form führt, die aussieht wie 5 kleine Fünfecke, die an ein großes geklebt sind.

Die Chaostheorie besagt, dass komplexe nichtlineare Systeme erblich unvorhersagbar sind, behauptet aber gleichzeitig, dass sich die Art und Weise, solche unvorhersehbaren Systeme auszudrücken, nicht in exakten Gleichungen als wahr herausstellt, sondern in Darstellungen des Verhaltens des Systems - in Graphen seltsamer Attraktoren das sehen aus wie Fraktale. So entpuppt sich die Chaostheorie, die von vielen als Unvorhersagbarkeit angesehen wird, selbst in den instabilsten Systemen als die Wissenschaft der Vorhersagbarkeit. Die Lehre von dynamischen Systemen zeigt, dass einfache Gleichungen solch ein chaotisches Verhalten erzeugen können, bei dem das System nie wieder in einen stabilen Zustand zurückkehrt und gleichzeitig keine Regelmäßigkeit auftritt. Oft verhalten sich solche Systeme bis zu einem bestimmten Wert eines Schlüsselparameters ganz normal, erleben dann einen Übergang, bei dem es zwei Möglichkeiten zur Weiterentwicklung gibt, dann vier und schließlich ein chaotisches Set von Möglichkeiten.

Schemata von Prozessen, die in technischen Objekten ablaufen, haben eine klar definierte fraktale Struktur. Die Struktur des minimalen technischen Systems (TS) impliziert den Fluss von zwei Arten von Prozessen innerhalb des TS - der Haupt- und der unterstützenden, und diese Unterteilung ist bedingt und relativ. Jeder Prozess kann in Bezug auf die unterstützenden Prozesse der Hauptprozess sein, und jeder der unterstützenden Prozesse kann in Bezug auf „ihre“ unterstützenden Prozesse als der wichtigste angesehen werden. Die Kreise im Diagramm zeigen die physikalischen Effekte an, die den Ablauf jener Prozesse sicherstellen, für die es nicht notwendig ist, „eigene“ TS zu erstellen. Diese Prozesse sind das Ergebnis der Wechselwirkung zwischen Stoffen, Feldern, Stoffen und Feldern. Genau genommen ist die physikalische Wirkung ein Vehikel, dessen Prinzip wir nicht beeinflussen können und in dessen Aufbau wir auch nicht eingreifen wollen oder können.

Der im Diagramm gezeigte Ablauf des Hauptprozesses wird durch das Vorhandensein von drei unterstützenden Prozessen sichergestellt, die die Hauptprozesse für die TS sind, die sie erzeugen. Der Fairness halber weisen wir darauf hin, dass für das Funktionieren selbst eines minimalen TS drei Prozesse eindeutig nicht ausreichen, d.h. Das Schema ist sehr, sehr übertrieben.

Alles ist nicht so einfach wie in der Abbildung dargestellt. Ein nützlicher (für eine Person benötigter) Prozess kann nicht mit 100%iger Effizienz durchgeführt werden. Die verbrauchte Energie wird für die Schaffung schädlicher Prozesse aufgewendet - Erwärmung, Vibration usw. Infolgedessen entstehen parallel zum nützlichen Prozess schädliche. Es ist nicht immer möglich, einen „schlechten“ Prozess durch einen „guten“ zu ersetzen, daher müssen neue Prozesse organisiert werden, um die systemschädlichen Folgen zu kompensieren. Ein typisches Beispiel ist die Notwendigkeit, Reibung zu bekämpfen, was einen dazu zwingt, ausgeklügelte Schmiersysteme zu organisieren, teure Anti-Reibungs-Materialien zu verwenden oder Zeit damit zu verbringen, Komponenten und Teile zu schmieren oder sie regelmäßig auszutauschen.

In Verbindung mit dem Vorhandensein des unvermeidlichen Einflusses einer veränderlichen Umgebung muss möglicherweise ein nützlicher Prozess kontrolliert werden. Die Verwaltung kann sowohl mit Hilfe automatischer Geräte als auch direkt von einer Person durchgeführt werden. Das Prozessdiagramm ist eigentlich eine Reihe von speziellen Befehlen, d.h. Algorithmus. Die Essenz (Beschreibung) jedes Befehls ist eine Kombination aus einem einzelnen nützlichen Prozess, ihn begleitenden schädlichen Prozessen und einer Reihe notwendiger Kontrollprozesse. In einem solchen Algorithmus ist die Menge der unterstützenden Prozesse eine gewöhnliche Subroutine - und hier finden wir auch ein Fraktal. Die Methode von R. Koller, die vor einem Vierteljahrhundert entwickelt wurde, ermöglicht es, Systeme mit einer relativ begrenzten Menge von nur 12 Paaren von Funktionen (Prozessen) zu erstellen.

Selbstähnliche Mengen mit ungewöhnlichen Eigenschaften in der Mathematik

Ab Ende des 19. Jahrhunderts tauchten in der Mathematik Beispiele für selbstähnliche Objekte mit pathologischen Eigenschaften aus Sicht der klassischen Analysis auf. Dazu gehören die folgenden:

die Cantor-Menge ist eine nirgendwo dichte, unzählige perfekte Menge. Durch Modifizieren des Verfahrens kann man auch einen nirgendwo dichten Satz positiver Länge erhalten.

Das Sierpinski-Dreieck („Tischdecke“) und der Sierpinski-Teppich sind Analoga des Cantor-Sets im Flugzeug.

Mengers Schwamm - ein Analogon des Cantor-Sets im dreidimensionalen Raum;

Beispiele von Weierstrass und van der Waerden einer nirgends differenzierbaren stetigen Funktion.

Koch-Kurve - eine sich nicht selbst schneidende kontinuierliche Kurve unendlicher Länge, die an keinem Punkt eine Tangente hat;

Die Peano-Kurve ist eine kontinuierliche Kurve, die durch alle Punkte eines Quadrats verläuft.

die Flugbahn eines Brownschen Teilchens ist auch nirgendwo mit Wahrscheinlichkeit 1 differenzierbar. Seine Hausdorff-Dimension ist zwei

Rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven

Konstruktion der Kochkurve

Es gibt ein einfaches rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven in einer Ebene. Wir definieren eine beliebige unterbrochene Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, die Generator genannt wird. Als nächstes ersetzen wir jedes Segment darin durch einen Generator (genauer gesagt, eine unterbrochene Linie, die einem Generator ähnelt). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir wieder jedes Segment durch einen Generator. Weiter bis ins Unendliche erhalten wir am Limit eine fraktale Kurve. Die Abbildung rechts zeigt die ersten vier Schritte dieses Verfahrens für die Koch-Kurve.

Beispiele für solche Kurven sind:

Drachenkurve,

Koch-Kurve (Koch-Schneeflocke),

Abgabenkurve,

Minkowski-Kurve,

Hilbert-Kurve,

Gebrochener (Kurven-)Drache (Fractal Harter-Hateway),

Peano-Kurve.

Unter Verwendung eines ähnlichen Verfahrens wird ein Pythagoräischer Baum erhalten.

Fraktale als Fixpunkte von Kontraktionsabbildungen

Die Selbstähnlichkeitseigenschaft kann mathematisch streng wie folgt ausgedrückt werden. Seien Kontraktionskarten der Ebene. Betrachten Sie die folgende Abbildung auf die Menge aller kompakten (abgeschlossenen und beschränkten) Teilmengen der Ebene:

Es kann gezeigt werden, dass die Abbildung eine Kontraktionsabbildung auf der Menge der kompakten Mengen mit der Hausdorff-Metrik ist. Daher hat diese Abbildung nach dem Satz von Banach einen eindeutigen Fixpunkt. Dieser Fixpunkt wird unser Fraktal sein.

Das oben beschriebene rekursive Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven ist ein Spezialfall dieser Konstruktion. Darin sind alle Abbildungen Ähnlichkeitsabbildungen und ist die Anzahl der Generatorverbindungen.

Für das Sierpinski-Dreieck und die Abbildung sind , , Homothetien mit Zentren an den Ecken eines regelmäßigen Dreiecks und Koeffizienten 1/2. Es ist leicht zu sehen, dass sich das Sierpinski-Dreieck unter der Abbildung in sich selbst verwandelt.

In dem Fall, dass die Abbildungen Ähnlichkeitstransformationen mit Koeffizienten sind, kann die Dimension des Fraktals (unter einigen zusätzlichen technischen Bedingungen) als Lösung der Gleichung berechnet werden. Für das Sierpinski-Dreieck erhalten wir also .

Nach demselben Banach-Theorem erhalten wir ausgehend von einer beliebigen kompakten Menge und Anwendung von Iterationen der Abbildung eine Folge von kompakten Mengen, die (im Sinne der Hausdorff-Metrik) zu unserem Fraktal konvergieren.

Fraktale in komplexer Dynamik

Julia gesetzt

Ein weiterer Satz von Julia

Fraktale entstehen natürlich beim Studium nichtlinearer dynamischer Systeme. Der am besten untersuchte Fall ist, wenn das dynamische System durch Iterationen eines Polynoms oder einer holomorphen Funktion einer komplexen Variablen auf der Ebene definiert ist. Die ersten Studien in diesem Bereich gehen auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zurück und sind mit den Namen Fatou und Julia verbunden.

Lassen F(z) - Polynom, z 0 ist eine komplexe Zahl. Betrachten Sie die folgende Reihenfolge: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Wir interessieren uns für das Verhalten dieser Folge, wie wir es tendieren n zur Unendlichkeit. Diese Sequenz kann:

strebe nach Unendlichkeit

strebe nach dem Höchsten

zyklisches Verhalten im Grenzwert zeigen, z. B.: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

sich chaotisch zu verhalten, also keine der drei genannten Verhaltensweisen zu zeigen.

Sätze von Werten z 0 , für die die Sequenz einen bestimmten Verhaltenstyp aufweist, sowie Sätze von Verzweigungspunkten zwischen verschiedenen Typen haben häufig fraktale Eigenschaften.

Somit ist die Julia-Menge die Menge der Bifurkationspunkte für das Polynom F(z)=z 2 +c(oder eine andere ähnliche Funktion), also diese Werte z 0 , für die das Verhalten der Sequenz ( z n) kann sich mit beliebig kleinen Änderungen dramatisch ändern z 0 .

Eine weitere Möglichkeit, fraktale Mengen zu erhalten, besteht darin, einen Parameter in das Polynom einzuführen F(z) und unter Berücksichtigung der Menge jener Parameterwerte, für die die Folge ( z n) zeigt ein bestimmtes Verhalten für eine feste z 0 . Somit ist die Mandelbrot-Menge die Menge aller, für die ( z n) zum F(z)=z 2 +c und z 0 geht nicht bis unendlich.

Ein weiteres bekanntes Beispiel dieser Art sind die Newtonschen Pools.

Es ist beliebt, schöne grafische Bilder auf der Grundlage komplexer Dynamiken zu erstellen, indem ebene Punkte in Abhängigkeit vom Verhalten der entsprechenden dynamischen Systeme gefärbt werden. Um beispielsweise das Mandelbrot-Set zu ergänzen, können Sie die Punkte je nach Geschwindigkeit des Strebens einfärben ( z n) bis unendlich (z. B. als kleinste Zahl definiert n, wo | z n| einen festgelegten großen Wert überschreitet EIN.

Biomorphe sind Fraktale, die auf der Grundlage komplexer Dynamiken aufgebaut sind und lebenden Organismen ähneln.

Stochastische Fraktale

Randomisiertes Fraktal basierend auf der Julia-Menge

Natürliche Objekte haben oft eine fraktale Form. Zu ihrer Modellierung können stochastische (zufällige) Fraktale verwendet werden. Beispiele für stochastische Fraktale:

Flugbahn der Brownschen Bewegung in der Ebene und im Raum;

Grenze der Bahn der Brownschen Bewegung in der Ebene. Im Jahr 2001 bewiesen Lawler, Schramm und Werner Mandelbrots Vermutung, dass seine Dimension 4/3 ist.

Schramm-Löwner-Entwicklungen sind konform invariante Fraktalkurven, die in kritischen zweidimensionalen Modellen der statistischen Mechanik auftreten, beispielsweise im Ising-Modell und in der Perkolation.

verschiedene Arten von randomisierten Fraktalen, d. h. Fraktale, die durch ein rekursives Verfahren erhalten werden, bei dem bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird. Plasma ist ein Beispiel für die Verwendung eines solchen Fraktals in der Computergrafik.

In der Natur

Vorderansicht der Luftröhre und der Bronchien

Bronchialbaum

Netzwerk von Blutgefäßen

Anwendung

Naturwissenschaften

In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse, wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien verwendet, beispielsweise in der Petrochemie. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen innerer Organe (Blutgefäßsystem) verwendet.

Funktechnik

fraktale Antennen

Die Verwendung fraktaler Geometrie beim Design von Antennengeräten wurde zuerst von dem amerikanischen Ingenieur Nathan Cohen angewendet, der damals in der Innenstadt von Boston lebte, wo es verboten war, externe Antennen an Gebäuden zu installieren. Nathan schnitt eine Figur in Form einer Koch-Kurve aus Alufolie aus, klebte sie auf ein Blatt Papier und befestigte sie dann am Empfänger. Cohen gründete seine eigene Firma und startete deren Serienproduktion.

Informatik

Bildkompression

Hauptartikel: Fraktaler Kompressionsalgorithmus

Fraktaler Baum

Es gibt Bildkomprimierungsalgorithmen, die Fraktale verwenden. Sie basieren auf der Idee, dass Sie anstelle des Bildes selbst eine Kontraktionskarte speichern können, für die dieses Bild (oder ein ähnliches) ein Fixpunkt ist. Eine der Varianten dieses Algorithmus wurde verwendet [ Quelle nicht näher bezeichnet 895 Tage] von Microsoft bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie, aber diese Algorithmen waren nicht weit verbreitet.

Computergrafik

Ein weiterer fraktaler Baum

Fraktale werden in der Computergrafik häufig verwendet, um Bilder von natürlichen Objekten wie Bäumen, Büschen, Berglandschaften, Meeresoberflächen usw. zu erstellen. Es gibt viele Programme zum Generieren von Fraktalbildern, siehe Fractal Generator (Programm).

dezentrale Netzwerke

Das IP-Adresszuweisungssystem von Netsukuku verwendet das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung, um Informationen über Netzwerkknoten kompakt zu speichern. Jeder Knoten im Netsukuku-Netzwerk speichert nur 4 KB an Informationen über den Status benachbarter Knoten, während sich jeder neue Knoten mit dem allgemeinen Netzwerk verbindet, ohne dass eine zentrale Regulierung der Verteilung von IP-Adressen erforderlich ist, was beispielsweise für die typisch ist Internet. Das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung garantiert somit einen vollständig dezentralen und damit stabilsten Betrieb des gesamten Netzwerks.

Fraktale sind seit fast einem Jahrhundert bekannt, gut untersucht und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Diesem Phänomen liegt eine ganz einfache Idee zugrunde: Mit nur zwei Operationen – Kopieren und Skalieren – lassen sich aus relativ einfachen Strukturen unendlich viele Figuren in Schönheit und Vielfalt gewinnen.

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Dies ist normalerweise der Name einer geometrischen Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt:

• hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur;
• ist (annähernd) selbstähnlich;
• hat eine gebrochene Hausdorff-(Fraktal-)Dimension, die größer ist als die topologische;
• kann durch rekursive Prozeduren aufgebaut werden.

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war die Untersuchung von Fraktalen eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien untersucht werden konnten. 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher hat der Schwede Helge von Koch 1904 eine kontinuierliche Kurve entwickelt, die nirgendwo tangiert und die ganz einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variation dieser Kurve wird Koch-Schneeflocke genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden von dem Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 erschien sein Artikel „Ebene und räumliche Kurven und Flächen, die aus Teilen bestehen, die dem Ganzen ähnlich sind“, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wird – die Lévy-C-Kurve. Alle oben genannten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Studien in diese Richtung gehen auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zurück und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. 1918 wurden fast zweihundert Seiten von Julias Arbeit veröffentlicht, die Iterationen komplexer rationaler Funktionen gewidmet sind, in denen Julia-Mengen beschrieben werden - eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Diese Arbeit wurde mit dem Preis der französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der entdeckten Objekte nicht gewürdigt werden konnte. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit.

Erst ein halbes Jahrhundert später, mit dem Aufkommen von Computern, richtete sich die Aufmerksamkeit auf die Arbeit von Julia und Fatou: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten. Schließlich konnte Fatou die Bilder, die wir heute als Bilder des Mandelbrot-Sets kennen, niemals betrachten, weil die erforderliche Anzahl von Berechnungen nicht manuell durchgeführt werden kann. Der erste, der dafür einen Computer benutzte, war Benoit Mandelbrot.

1982 erschien Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte den Schwerpunkt seiner Präsentation nicht auf schwerfällige Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie geschickt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und die Fraktale einer breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg bei Nichtmathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe von sehr einfachen Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Als PCs leistungsfähig genug wurden, tauchte sogar ein ganzer Trend in der Kunst auf - Fraktalmalerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte es tun. Jetzt im Internet können Sie leicht viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.