Finden Sie den Wert des Logarithmusausdrucks. Natürlicher Logarithmus, Funktion ln x

Aufgaben, deren Lösung ist Konvertieren logarithmischer Ausdrücke, sind bei der Einheitlichen Staatsprüfung durchaus üblich.

Um sie mit minimalem Zeitaufwand erfolgreich zu bewältigen, müssen Sie neben den grundlegenden logarithmischen Identitäten noch einige weitere Formeln kennen und richtig anwenden.

Dies ist: a log a b = b, wobei a, b > 0, a ≠ 1 (Es folgt direkt aus der Definition des Logarithmus).

log a b = log c b / log c a oder log a b = 1/log b a
wobei a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
wobei a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
wobei a, b, c > 0 und a, b, c ≠ 1

Um die Gültigkeit der vierten Gleichung zu zeigen, nehmen wir den Logarithmus der linken und rechten Seite zur Basis von a. Wir erhalten log a (a log mit b) = log a (b log mit a) oder log mit b = log mit a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log mit b = log mit b.

Wir haben die Gleichheit der Logarithmen bewiesen, was bedeutet, dass auch die Ausdrücke unter den Logarithmen gleich sind. Die Formel 4 hat sich bewährt.

Beispiel 1.

Berechnen Sie 81 log 27 5 log 5 4 .

Lösung.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Daher gilt:

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Dann ist 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen.

Berechnen Sie (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Als Hinweis: 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Antwort: 5.

Beispiel 2.

Berechnen Sie (√11) Protokoll √3 9- Protokoll 121 81 .

Lösung.

Ändern wir die Ausdrücke: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (Formel 3 wurde verwendet).

Dann ist (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Beispiel 3.

Berechnen Sie log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Lösung.

Wir ersetzen die im Beispiel enthaltenen Logarithmen durch Logarithmen zur Basis 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Dann log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Nachdem wir die Klammern geöffnet und ähnliche Begriffe eingegeben haben, erhalten wir die Zahl 3. (Beim Vereinfachen des Ausdrucks können wir log 2 3 mit n bezeichnen und den Ausdruck vereinfachen

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Antwort: 3.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen:

Berechnen Sie (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Hier ist es notwendig, auf Logarithmen zur Basis 3 und die Faktorisierung großer Zahlen in Primfaktoren umzusteigen.

Antwort: 1/2

Beispiel 4.

Gegeben seien drei Zahlen A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Ordne sie in aufsteigender Reihenfolge an.

Lösung.

Lassen Sie uns die Zahlen A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Vergleichen wir sie

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 und log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Oder 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Antwort. Daher ist die Reihenfolge der Platzierung der Zahlen: C; A; IN.

Beispiel 5.

Wie viele ganze Zahlen sind im Intervall (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Lösung.

Bestimmen wir, zwischen welchen Potenzen der Zahl 3 die Zahl 1/16 liegt. Wir bekommen 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Da die Funktion y = log 3 x zunimmt, ist log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Vergleichen wir Log 6 (4/3) und 1/5. Und dazu vergleichen wir die Zahlen 4/3 und 6 1/5. Erhöhen wir beide Zahlen auf die 5. Potenz. Wir erhalten (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 · 52 / 243< 6. Следовательно,

Protokoll 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Daher umfasst das Intervall (log 3 1 / 16 ; log 6 48) das Intervall [-2; 4] und die ganzen Zahlen -2 werden darauf platziert; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Antwort: 7 ganze Zahlen.

Beispiel 6.

Berechnen Sie 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Lösung.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Dann 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Antwort 1.

Beispiel 7.

Es ist bekannt, dass log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Finden Sie log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Lösung.

Zahlen (√3 + 1) und (√3 – 1); (√6 – 2) und (√6 + 2) sind konjugiert.

Führen wir die folgende Transformation von Ausdrücken durch

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Dann log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Antwort: 2 – A.

Beispiel 8.

Vereinfachen Sie und ermitteln Sie den ungefähren Wert des Ausdrucks (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Lösung.

Reduzieren wir alle Logarithmen auf eine gemeinsame Basis 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Der ungefähre Wert von lg 2 kann mit einer Tabelle, einem Rechenschieber oder einem Taschenrechner ermittelt werden).

Antwort: 0,3010.

Beispiel 9.

Berechnen Sie log a 2 b 3 √(a 11 b -3), wenn log √ a b 3 = 1. (In diesem Beispiel ist a 2 b 3 die Basis des Logarithmus).

Lösung.

Wenn log √ a b 3 = 1, dann 3/(0,5 log a b = 1. Und log a b = 1/6.

Dann log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass log a b = 1/ 6 erhalten wir (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Antwort: 2.1.

Sie können die folgende Aufgabe selbst erledigen:

Berechnen Sie log √3 6 √2,1, wenn log 0,7 27 = a.

Antwort: (3 + a) / (3a).

Beispiel 10.

Berechnen Sie 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Lösung.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (Formel 4))

Wir erhalten 9 + 6 = 15.

Antwort: 15.

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Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b *a c = a b+c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Exponenten. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo Sie umständliche Multiplikationen durch einfache Addition vereinfachen müssen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. In einfacher und zugänglicher Sprache.

Definition in der Mathematik

Ein Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus einer beliebigen nicht negativen (d. h. positiven) Zahl „b“ zu ihrer Basis „a“ wird als Potenz „c“ betrachtet ” auf den die Basis „a“ angehoben werden muss, um letztlich den Wert „b“ zu erhalten. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach: Sie müssen eine solche Potenz finden, dass Sie von 2 bis zur erforderlichen Potenz 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das stimmt, denn 2 hoch 3 ergibt eine 8.

Arten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Dort sind drei einzelne Arten logarithmische Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
2. Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
3. Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen einzelnen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die richtigen Werte von Logarithmen zu erhalten, sollten Sie sich beim Lösen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln und Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie unterliegen keiner Diskussion und sind die Wahrheit. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, die gerade Wurzel negativer Zahlen zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• Die Basis „a“ muss immer größer als Null und nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, da „1“ und „0“ in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ ebenfalls größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wird die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x = 100 zu finden. Das ist sehr einfach, Sie müssen eine Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 = 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun in logarithmischer Form darstellen. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen, um die Potenz zu finden, mit der die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über technisches Verständnis und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Allerdings für große Werte Sie benötigen eine Gradtabelle. Es kann auch von Personen verwendet werden, die überhaupt keine Ahnung von komplexen mathematischen Themen haben. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe gibt den Wert der Potenz c an, mit der die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt enthalten die Zellen die Zahlenwerte, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der wahrste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichheit geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus zur Basis 3 von 81 gleich vier geschrieben werden (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32, wir schreiben es als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden uns unten Beispiele und Lösungen der Gleichungen ansehen, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben sei ein Ausdruck der folgenden Form: log 2 (x-1) > 3 – das ist es logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gewünschten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (Beispiel - Logarithmus 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während sie beim Lösen von Ungleichungen als Region definiert werden akzeptable Werte und die Haltepunkte dieser Funktion. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Antwort auf eine Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zur Ermittlung der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später Beispiele für Gleichungen ansehen; schauen wir uns zunächst jede Eigenschaft genauer an.

1. Die Hauptidentität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In diesem Fall lautet die zwingende Bedingung: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese logarithmische Formel mit Beispielen und Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2, dann a f1 = s 1, a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Eigenschaften von Grad ), und dann per Definition: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden musste.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht folgendermaßen aus: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Logarithmusgrades“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf natürlichen Postulaten basiert. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b = t, es ergibt sich a t =b. Potenzieren wir beide Teile m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n, also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmenproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch Pflichtbestandteil von Mathematikprüfungen. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmeprüfungen in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zur Lösung und Bestimmung des unbekannten Wertes des Logarithmus, aber bestimmte Regeln können auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder vereinfacht werden kann Gesamterscheinung. Vereinfachen Sie lange logarithmische Ausdrücke möglich, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig nutzen. Lernen wir sie schnell kennen.

Bei der Entscheidung logarithmische Gleichungen, sollten wir bestimmen, welche Art von Logarithmus wir haben: Ein Beispielausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass sie die Potenz bestimmen müssen, mit der die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen natürliche Logarithmen Sie müssen logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns die Lösung anhand von Beispielen an logarithmische Probleme verschiedene Typen.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der grundlegenden Sätze über Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen können, ist es uns mithilfe der vierten Eigenschaft der Logarithmuspotenz gelungen, einen scheinbar komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Sie müssen lediglich die Basis faktorisieren und dann die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnehmen.

Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen

Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten) vorhanden Testteil Prüfung), aber auch in Teil C (die komplexesten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung erfordert genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen Optionen für das einheitliche Staatsexamen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2, durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4, also 2x = 17; x = 8,5.

• Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
• Alle Ausdrücke unter dem Logarithmuszeichen werden als positiv angezeigt. Wenn daher der Exponent eines Ausdrucks, der unter dem Logarithmuszeichen steht und dessen Basis ist, als Multiplikator herausgenommen wird, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus von Eins. Seine Formulierung lautet wie folgt: Logarithmus der Einheit gleich Null, also, log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Der Beweis ist nicht schwierig: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt der zu beweisende Gleichheitslog a 1=0 unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft: log 3 1=0, log1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Logarithmus einer Zahl gleich der Basis gleich eins , also, log a a=1 für a>0, a≠1. Da a 1 =a für jedes a gilt, ist nach Definition des Logarithmus log a a=1.

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind die Gleichungen log 5 5=1, log 5,6 5,6 und lne=1.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts von zwei positive Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Abschlusses a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, und da durch die logarithmische Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y, dann a log a x ·a log a y =x·y. Somit ist ein log a x+log a y =x·y, woraus nach der Definition eines Logarithmus die zu beweisende Gleichheit folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts lässt sich auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as verallgemeinern log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Diese Gleichheit lässt sich problemlos beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus des Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4, e und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten entspricht einer Formel der Form, wobei a>0, a≠1, x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel ist ebenso bewiesen wie die Formel für den Logarithmus eines Produkts: seit , dann per Definition eines Logarithmus.

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Schreiben wir diese Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz als Formel: log a b p =p·log a |b|, wobei a>0, a≠1, b und p Zahlen sind, so dass der Grad b p sinnvoll ist und b p > 0.

Zuerst beweisen wir, dass diese Eigenschaft positiv b ist. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p·log a b . Wir kommen also zu der Gleichung b p =a p·log a b, woraus wir durch die Definition eines Logarithmus schließen, dass log a b p =p·log a b.

Es bleibt noch, diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grades b p größer als Null sein muss, sonst ergibt der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p =|b| P. Dann b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, woraus log a b p =p·log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Produkt des Bruchs 1/n mit dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. , wobei a>0, a≠1, n – natürliche Zahl, größer als eins, b>0.

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus der Potenz: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt lasst uns beweisen Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis Art . Dazu reicht es aus, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b·log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b =log a b log c a. Damit ist die Gleichheit log c b=log a b·log c a bewiesen, was bedeutet, dass auch die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus bewiesen ist.

Lassen Sie uns einige Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise auf natürliche oder natürliche Weise umsteigen dezimale Logarithmen damit Sie den Wert des Logarithmus aus der Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel zum Wechseln zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu ermitteln, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Ein Sonderfall der Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis für c=b der Form wird häufig verwendet . Dies zeigt, dass log a b und log b a – . Z.B, .

Die Formel wird auch häufig verwendet , was zum Finden von Logarithmuswerten praktisch ist. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie man damit den Wert eines Logarithmus der Form berechnen kann. Wir haben . Um die Formel zu beweisen es reicht aus, die Formel für den Übergang zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Eigenschaften des Vergleichs von Logarithmen zu beweisen.

Beweisen wir, dass für alle positiven Zahlen b 1 und b 2, b 1 log a b 2 und für a>1 – die Ungleichung log a b 1

Abschließend bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Logarithmen zu beweisen. Beschränken wir uns auf den Beweis des ersten Teils, das heißt, wir werden beweisen, dass a 1 > 1, a 2 > 1 und a 1 gilt 1 ist wahr log a 1 b>log a 2 b . Die übrigen Aussagen dieser Eigenschaft von Logarithmen werden nach einem ähnlichen Prinzip bewiesen.

Verwenden wir die umgekehrte Methode. Angenommen, für a 1 >1, a 2 >1 und a 1 1 ist wahr log a 1 b≤log a 2 b . Basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als Und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤log b a 2 bzw. log b a 1 ≥log b a 2. Dann müssen entsprechend den Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥b log b a 2 und b log b a 1 ≥b log b a 2 gelten, also a 1 ≥a 2 . Wir kamen also zu einem Widerspruch zur Bedingung a 1

Referenzliste.