So lösen Sie einfache logarithmische Gleichungen. Logarithmische Gleichungen

Logarithmische Gleichungen. Von einfach bis komplex.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Was ist eine logarithmische Gleichung?

Dies ist eine Gleichung mit Logarithmen. Ich bin überrascht, oder?) Dann werde ich es klarstellen. Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen gefunden werden innerhalb von Logarithmen. Und nur dort! Es ist wichtig.

Hier sind einige Beispiele logarithmische Gleichungen:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Nun ja, du verstehst... )

Beachten Sie! Es werden die unterschiedlichsten Ausdrücke mit X's lokalisiert ausschließlich innerhalb von Logarithmen. Wenn plötzlich irgendwo in der Gleichung ein X auftaucht draußen, Zum Beispiel:

log 2 x = 3+x,

das wird eine Gleichung sein gemischter Typ. Für solche Gleichungen gibt es keine klaren Regeln zu ihrer Lösung. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Übrigens gibt es Gleichungen, bei denen die Logarithmen innerhalb liegen nur Zahlen. Zum Beispiel:

Was kann ich sagen? Sie haben Glück, wenn Sie darauf stoßen! Logarithmus mit Zahlen ist irgendeine Zahl. Und alle. Um eine solche Gleichung zu lösen, reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen. Kenntnis spezieller Regeln und speziell für die Lösung angepasster Techniken logarithmische Gleichungen, hier nicht erforderlich.

Also, Was ist eine logarithmische Gleichung?- Wir haben es herausgefunden.

Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Lösung logarithmische Gleichungen- Die Sache ist eigentlich nicht ganz einfach. Unser Abschnitt besteht also aus vier... Ein angemessenes Maß an Wissen zu allen möglichen verwandten Themen ist erforderlich. Darüber hinaus gibt es in diesen Gleichungen eine Besonderheit. Und diese Funktion ist so wichtig, dass sie getrost als Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen bezeichnet werden kann. Mit diesem Problem werden wir uns in der nächsten Lektion ausführlich befassen.

Machen Sie sich vorerst keine Sorgen. Wir werden den richtigen Weg gehen von einfach bis komplex. An konkrete Beispiele. Die Hauptsache ist, sich mit einfachen Dingen zu befassen und nicht faul zu sein, den Links zu folgen, ich habe sie aus einem bestimmten Grund dort platziert ... Und alles wird für Sie klappen. Notwendig.

Beginnen wir mit den elementarsten und einfachsten Gleichungen. Um sie zu lösen, ist es ratsam, eine Vorstellung vom Logarithmus zu haben, mehr aber nicht. Einfach keine Ahnung Logarithmus, eine Entscheidung treffen logarithmisch Gleichungen - irgendwie sogar umständlich... Sehr gewagt, würde ich sagen).

Protozoen logarithmische Gleichungen.

Dies sind Gleichungen der Form:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Lösungsprozess jede logarithmische Gleichung besteht im Übergang von einer Gleichung mit Logarithmen zu einer Gleichung ohne Logarithmen. In den einfachsten Gleichungen erfolgt dieser Übergang in einem Schritt. Deshalb sind sie die einfachsten.)

Und solche logarithmischen Gleichungen sind überraschend einfach zu lösen. Überzeugen Sie sich selbst.

Lösen wir das erste Beispiel:

log 3 x = log 3 9

Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie fast nichts wissen, ja... reine Intuition!) Was brauchen wir? besonders gefällt Ihnen dieses Beispiel nicht? Was-was... Ich mag keine Logarithmen! Rechts. Also lasst uns sie loswerden. Wir schauen uns das Beispiel genau an und in uns entsteht ein natürliches Verlangen... Geradezu unwiderstehlich! Nehmen Sie Logarithmen und werfen Sie sie ganz weg. Und was gut ist, ist das Kann Tun! Mathematik erlaubt. Logarithmen verschwinden die Antwort ist:

Großartig, oder? Das kann (und sollte) immer gemacht werden. Die Eliminierung von Logarithmen auf diese Weise ist eine der Hauptmethoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik heißt diese Operation Potenzierung. Natürlich gibt es Regeln für eine solche Liquidation, aber es gibt nur wenige. Erinnern:

Sie können Logarithmen bedenkenlos eliminieren, wenn sie Folgendes haben:

a) die gleichen Zahlenbasen

c) Logarithmen von links nach rechts sind rein (ohne Koeffizienten) und befinden sich in hervorragender Isolation.

Lassen Sie mich den letzten Punkt klarstellen. Sagen wir in der Gleichung

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logarithmen können nicht entfernt werden. Die beiden auf der rechten Seite erlauben es nicht. Der Koeffizient, wissen Sie ... Im Beispiel

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

Es ist auch unmöglich, die Gleichung zu potenzieren. Auf der linken Seite gibt es keinen einsamen Logarithmus. Es gibt zwei davon.

Kurz gesagt, Sie können Logarithmen entfernen, wenn die Gleichung so und nur so aussieht:

log a (.....) = log a (.....)

In Klammern stehen möglicherweise Auslassungspunkte irgendwelche Ausdrücke. Einfach, superkomplex, alles Mögliche. Was auch immer. Wichtig ist, dass wir nach Eliminierung der Logarithmen übrig bleiben einfachere Gleichung. Es wird natürlich vorausgesetzt, dass Sie bereits wissen, wie man lineare, quadratische, gebrochene, exponentielle und andere Gleichungen ohne Logarithmen löst.)

Jetzt können Sie das zweite Beispiel ganz einfach lösen:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Eigentlich wird es im Kopf entschieden. Wir potenzieren, wir bekommen:

Nun, ist es sehr schwierig?) Wie Sie sehen können, logarithmisch Teil der Lösung der Gleichung ist nur bei der Eliminierung von Logarithmen ... Und dann kommt die Lösung der verbleibenden Gleichung ohne sie. Eine triviale Angelegenheit.

Lösen wir das dritte Beispiel:

log 7 (50x-1) = 2

Wir sehen, dass links ein Logarithmus steht:

Erinnern wir uns daran, dass dieser Logarithmus eine Zahl ist, auf die die Basis erhöht werden muss (d. h. sieben), um einen sublogarithmischen Ausdruck zu erhalten, d. h. (50x-1).

Aber diese Zahl ist zwei! Nach Gl. Das ist:

Das ist im Grunde alles. Logarithmus verschwunden,Übrig bleibt eine harmlose Gleichung:

Wir haben diese logarithmische Gleichung nur basierend auf der Bedeutung des Logarithmus gelöst. Ist es noch einfacher, Logarithmen zu eliminieren?) Ich stimme zu. Wenn man aus zwei einen Logarithmus macht, kann man dieses Beispiel übrigens durch Elimination lösen. Jede Zahl kann logarithmiert werden. Darüber hinaus so, wie wir es brauchen. Eine sehr nützliche Technik zum Lösen logarithmischer Gleichungen und (insbesondere!) Ungleichungen.

Sie wissen nicht, wie man aus einer Zahl einen Logarithmus macht!? Macht nichts. Abschnitt 555 beschreibt diese Technik ausführlich. Sie können es beherrschen und in vollem Umfang nutzen! Dadurch wird die Anzahl der Fehler erheblich reduziert.

Die vierte Gleichung wird (per Definition) auf völlig ähnliche Weise gelöst:

Das ist es.

Fassen wir diese Lektion zusammen. Wir haben uns anhand von Beispielen die Lösung einfachster logarithmischer Gleichungen angesehen. Es ist sehr wichtig. Und das nicht nur, weil solche Gleichungen in Tests und Prüfungen auftauchen. Tatsache ist, dass selbst die bösesten und kompliziertesten Gleichungen zwangsläufig auf die einfachsten reduziert werden!

Tatsächlich sind die einfachsten Gleichungen der letzte Teil der Lösung beliebig Gleichungen. Und dieser letzte Teil muss genau verstanden werden! Und weiter. Lesen Sie diese Seite unbedingt bis zum Ende durch. Da gibt es eine Überraschung...)

Jetzt entscheiden wir selbst. Lasst uns sozusagen besser werden...)

Finden Sie die Wurzel (oder die Summe der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichungen:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 · 7 + 2

Antworten (natürlich durcheinander): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Was, nicht alles klappt? Das passiert. Mach dir keine Sorge! Abschnitt 555 erläutert die Lösung für alle diese Beispiele klar und detailliert. Da wirst du es auf jeden Fall herausfinden. Außerdem erlernen Sie nützliche praktische Techniken.

Es hat alles geklappt!? Alle Beispiele für „one left“?) Herzlichen Glückwunsch!

Es ist Zeit, Ihnen die bittere Wahrheit zu enthüllen. Die erfolgreiche Lösung dieser Beispiele garantiert nicht den Erfolg bei der Lösung aller anderen logarithmischen Gleichungen. Sogar die einfachsten wie diese. Ach.

Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung (auch der elementarsten!) besteht aus zwei gleiche Teile. Die Gleichung lösen und mit ODZ arbeiten. Einen Teil beherrschen wir – das Lösen der Gleichung selbst. Es ist nicht so schwer Rechts?

Für diese Lektion habe ich speziell Beispiele ausgewählt, bei denen DL keinen Einfluss auf die Antwort hat. Aber nicht jeder ist so nett wie ich, oder?...)

Daher ist es zwingend erforderlich, den anderen Teil zu beherrschen. ODZ. Dies ist das Hauptproblem bei der Lösung logarithmischer Gleichungen. Und das nicht, weil es schwierig ist – dieser Teil ist sogar einfacher als der erste. Aber weil die Leute ODZ einfach vergessen. Oder sie wissen es nicht. Oder beides). Und sie fallen aus heiterem Himmel ...

In der nächsten Lektion werden wir uns mit diesem Problem befassen. Dann können Sie getrost entscheiden beliebig einfache logarithmische Gleichungen lösen und recht solide Aufgaben lösen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Logarithmische Gleichungen. Wir betrachten weiterhin Aufgaben aus Teil B des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. Lösungen zu einigen Gleichungen haben wir bereits in den Artikeln „“, „“ untersucht. In diesem Artikel betrachten wir logarithmische Gleichungen. Ich sage gleich, dass es beim Lösen solcher Gleichungen im Einheitlichen Staatsexamen keine komplexen Transformationen geben wird. Sie sind einfach.

Es reicht aus, die grundlegende logarithmische Identität zu kennen und zu verstehen, um die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen. Bitte beachten Sie, dass Sie nach der Lösung eine Überprüfung durchführen MÜSSEN – setzen Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung ein und berechnen Sie, am Ende sollten Sie die richtige Gleichung erhalten.

Definition:

Der Logarithmus einer Zahl zur Basis b ist der Exponent,auf den b erhöht werden muss, um a zu erhalten.

Zum Beispiel:

Log 3 9 = 2, da 3 2 = 9

Eigenschaften von Logarithmen:

Sonderfälle von Logarithmen:

Lasst uns Probleme lösen. Im ersten Beispiel führen wir eine Prüfung durch. Überprüfen Sie es in Zukunft selbst.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 3 (4–x) = 4

Da log b a = x b x = a, dann

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Untersuchung:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Richtig.

Antwort: – 77

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 2 (4 – x) = 7

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5(4 + x) = 2

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität.

Da log a b = x b x = a, dann

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Untersuchung:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Richtig.

Antwort: 21

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 3 (14 – x) = log 3 5.

Die folgende Eigenschaft tritt auf, ihre Bedeutung ist wie folgt: Wenn wir auf der linken und rechten Seite der Gleichung Logarithmen mit derselben Basis haben, dann können wir die Ausdrücke unter den Vorzeichen der Logarithmen gleichsetzen.

14 – x = 5

x=9

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 9

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (5 – x) = log 5 3.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Eine kleine Ergänzung - das Grundstück wird hier genutzt

Grad ().

Antwort: – 51

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 1/7 (7 – x) = – 2

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Lassen Sie uns die rechte Seite transformieren. Nutzen wir die Eigenschaft:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: – 21

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Lösen Sie die Gleichung log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Wenn log c a = log c b, dann ist a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 2,75

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lösen Sie die Gleichung log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Es ist notwendig, einen Ausdruck der Form auf der rechten Seite der Gleichung zu erhalten:

Protokoll 2 (......)

Wir stellen 1 als Logarithmus zur Basis 2 dar:

1 = Protokoll 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Wir bekommen:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Wenn log c a = log c b, dann a = b, dann

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 0,4

Entscheide dich selbst: Als nächstes müssen Sie sich entscheiden quadratische Gleichung. Übrigens,

die Wurzeln sind 6 und – 4.

Wurzel "-4“ ist keine Lösung, da die Basis des Logarithmus größer als Null sein muss, und mit „– 4" es ist gleich " – 5". Die Lösung ist Root 6.Führen Sie eine Überprüfung durch.

Antwort: 6.

R Essen Sie selbst:

Lösen Sie die Gleichung log x –5 49 = 2. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, antworten Sie mit der kleineren.

Wie Sie gesehen haben, gibt es keine komplizierten Transformationen mit logarithmischen GleichungenNein. Es reicht aus, die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen und anwenden zu können. Im Einheitlichen Staatsexamen Probleme im Zusammenhang mit der Transformation logarithmische Ausdrücke, werden schwerwiegendere Transformationen durchgeführt und tiefere Lösungskompetenzen sind erforderlich. Wir werden uns solche Beispiele ansehen, verpassen Sie sie nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!!!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Beispiele:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Gleichungen:

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen, sollten Sie versuchen, sie in die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) umzuwandeln und dann den Übergang zu \(f(x) vorzunehmen )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Beispiel:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Lösung: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Untersuchung:\(10>2\) – geeignet für DL Antwort:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Sehr wichtig! Dieser Übergang ist nur möglich, wenn:

Sie haben für die ursprüngliche Gleichung geschrieben und prüfen am Ende, ob die gefundenen in der ODZ enthalten sind. Geschieht dies nicht, können zusätzliche Wurzeln entstehen, was eine falsche Entscheidung bedeutet.

Die Zahl (oder der Ausdruck) links und rechts ist gleich;

Die Logarithmen links und rechts sind „rein“, d. h. es dürfen keine Multiplikationen, Divisionen etc. erfolgen. – nur einzelne Logarithmen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Zum Beispiel:

Beachten Sie, dass die Gleichungen 3 und 4 leicht gelöst werden können, indem die notwendigen Eigenschaften von Logarithmen angewendet werden.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Lösung :

		Schreiben wir die ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Links vor dem Logarithmus steht der Koeffizient, rechts die Summe der Logarithmen. Das stört uns. Verschieben wir die beiden gemäß der Eigenschaft zum Exponenten \(x\): \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Stellen wir die Summe der Logarithmen als einen Logarithmus gemäß der Eigenschaft dar: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Wir haben die Gleichung auf die Form \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) reduziert und die ODZ aufgeschrieben, was bedeutet, dass wir zur Form \(f(x)) übergehen können. =g(x)\ ).
		Passiert . Wir lösen es und finden die Wurzeln.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Wir prüfen, ob die Wurzeln für ODZ geeignet sind. Dazu ersetzen wir in \(x>0\) anstelle von \(x\) \(5\) und \(-5\). Diese Operation kann mündlich durchgeführt werden.
\(5>0\), \(-5>0\)		Die erste Ungleichung ist wahr, die zweite nicht. Das bedeutet, dass \(5\) die Wurzel der Gleichung ist, \(-5\) jedoch nicht. Wir schreiben die Antwort auf.

Antwort : \(5\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Lösung :

		Schreiben wir die ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Eine typische Gleichung, die mit gelöst wird. Ersetzen Sie \(\log_2⁡x\) durch \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Wir bekamen das Übliche. Wir suchen nach seinen Wurzeln.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Einen umgekehrten Ersatz durchführen
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Wir transformieren die rechten Seiten und stellen sie als Logarithmen dar: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) und \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Jetzt lauten unsere Gleichungen \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) und wir können zu \(f(x)=g(x)\) übergehen.
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Wir prüfen die Übereinstimmung der Wurzeln der ODZ. Setzen Sie dazu \(4\) und \(2\) anstelle von \(x\) in die Ungleichung \(x>0\) ein.
\(4>0\) \(2>0\)		Beide Ungleichungen sind wahr. Das bedeutet, dass sowohl \(4\) als auch \(2\) Wurzeln der Gleichung sind.

Antwort : \(4\); \(2\).

Wir alle kennen Gleichungen Grundschulklassen. Dort haben wir auch gelernt, die einfachsten Beispiele zu lösen, und wir müssen zugeben, dass sie sogar in Anwendung finden höhere Mathematik. Mit Gleichungen ist alles einfach, auch mit quadratischen Gleichungen. Wenn Sie Probleme mit diesem Thema haben, empfehlen wir Ihnen dringend, es zu lesen.

Wahrscheinlich haben Sie auch schon Logarithmen durchgemacht. Wir halten es jedoch für wichtig, denjenigen, die es noch nicht wissen, zu sagen, was es ist. Ein Logarithmus entspricht der Potenz, mit der die Basis erhöht werden muss, um die Zahl rechts vom Logarithmuszeichen zu erhalten. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, anhand dessen Ihnen alles klar wird.

Wenn Sie 3 in die vierte Potenz erhöhen, erhalten Sie 81. Ersetzen Sie nun die Zahlen durch Analogie und Sie werden endlich verstehen, wie Logarithmen gelöst werden. Jetzt müssen nur noch die beiden besprochenen Konzepte kombiniert werden. Zunächst scheint die Situation äußerst kompliziert zu sein, doch bei näherer Betrachtung ergibt sich ein klares Bild. Wir sind sicher, dass Sie nach diesem kurzen Artikel in diesem Teil des Einheitlichen Staatsexamens keine Probleme mehr haben werden.

Heutzutage gibt es viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Wir informieren Sie über die einfachsten, effektivsten und am besten anwendbaren Aufgaben im Rahmen des Einheitlichen Staatsexamens. Die Lösung logarithmischer Gleichungen muss von vorne beginnen. einfaches Beispiel. Die einfachsten logarithmischen Gleichungen bestehen aus einer Funktion und einer darin enthaltenen Variablen.

Es ist wichtig zu beachten, dass x innerhalb des Arguments steht. A und b müssen Zahlen sein. In diesem Fall können Sie die Funktion einfach durch eine Potenz einer Zahl ausdrücken. Es sieht aus wie das.

Wenn Sie eine logarithmische Gleichung mit dieser Methode lösen, erhalten Sie natürlich die richtige Antwort. Das Problem für die allermeisten Studierenden besteht dabei darin, dass sie nicht verstehen, was woher kommt. Dadurch muss man Fehler in Kauf nehmen und erhält nicht die gewünschten Punkte. Der beleidigendste Fehler wird sein, wenn Sie die Buchstaben verwechseln. Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie sich diese Standardschulformel merken, da sie schwer zu verstehen ist.

Um es einfacher zu machen, können Sie auf eine andere Methode zurückgreifen – die kanonische Form. Die Idee ist äußerst einfach. Konzentrieren Sie sich wieder auf das Problem. Denken Sie daran, dass der Buchstabe a eine Zahl ist, keine Funktion oder Variable. A ist ungleich eins und größer als null. Es gibt keine Einschränkungen für b. Erinnern wir uns nun an eine von allen Formeln. B kann wie folgt ausgedrückt werden.

Daraus folgt, dass alle Originalgleichungen mit Logarithmen in der Form dargestellt werden können:

Jetzt können wir die Logarithmen weglassen. Das Ergebnis ist ein einfaches Design, das wir bereits zuvor gesehen haben.

Der Vorteil dieser Formel liegt darin, dass sie in einer Vielzahl von Fällen und nicht nur für die einfachsten Designs verwendet werden kann.

Machen Sie sich keine Sorgen wegen OOF!

Vielen erfahrenen Mathematikern wird auffallen, dass wir dem Definitionsbereich keine Beachtung geschenkt haben. Die Regel läuft darauf hinaus, dass F(x) notwendigerweise größer als 0 ist. Nein, diesen Punkt haben wir nicht übersehen. Jetzt sprechen wir über einen weiteren gravierenden Vorteil der kanonischen Form.

Hier wird es keine zusätzlichen Wurzeln geben. Wenn eine Variable nur an einer Stelle erscheint, ist kein Gültigkeitsbereich erforderlich. Dies geschieht automatisch. Um dieses Urteil zu überprüfen, versuchen Sie, einige einfache Beispiele zu lösen.

So lösen Sie logarithmische Gleichungen mit unterschiedlichen Basen

Dabei handelt es sich bereits um komplexe logarithmische Gleichungen, und der Lösungsansatz muss speziell sein. Hier ist es selten möglich, sich auf die berüchtigte kanonische Form zu beschränken. Beginnen wir mit unserem ausführliche Geschichte. Wir haben die folgende Konstruktion.

Achten Sie auf den Bruch. Es enthält den Logarithmus. Wenn Sie dies in einer Aufgabe sehen, sollten Sie sich einen interessanten Trick merken.

Was bedeutet das? Jeder Logarithmus kann als Quotient zweier Logarithmen mit einer geeigneten Basis dargestellt werden. Und diese Formel hat einen Sonderfall, der auf dieses Beispiel anwendbar ist (wir meinen, wenn c=b).

Dies ist genau der Bruch, den wir in unserem Beispiel sehen. Auf diese Weise.

Im Wesentlichen haben wir den Bruch umgedreht und einen bequemeren Ausdruck erhalten. Denken Sie an diesen Algorithmus!

Jetzt brauchen wir, dass die logarithmische Gleichung nicht enthalten ist verschiedene Gründe. Stellen wir die Basis als Bruch dar.

In der Mathematik gibt es eine Regel, nach der man aus einer Basis einen Abschluss ableiten kann. Es ergibt sich folgende Konstruktion.

Es scheint, was hindert uns jetzt daran, unseren Ausdruck in die kanonische Form zu bringen und ihn einfach zu lösen? Nicht so einfach. Vor dem Logarithmus sollten keine Brüche stehen. Lassen Sie uns diese Situation beheben! Als Grade dürfen Brüche verwendet werden.

Jeweils.

Wenn die Basen gleich sind, können wir die Logarithmen entfernen und die Ausdrücke selbst gleichsetzen. Auf diese Weise wird die Situation viel einfacher als sie war. Wird bleiben Elementargleichung, das jeder von uns schon in der 8. oder sogar 7. Klasse zu lösen wusste. Sie können die Berechnungen selbst durchführen.

Wir haben die einzig wahre Wurzel dieser logarithmischen Gleichung erhalten. Beispiele für die Lösung einer logarithmischen Gleichung sind recht einfach, nicht wahr? Jetzt sind Sie in der Lage, auch die komplexesten Aufgaben zur Vorbereitung und zum Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens selbstständig zu bewältigen.

Was ist das Ergebnis?

Bei allen logarithmischen Gleichungen beginnen wir bei eins wichtige Regel. Es ist notwendig, so zu handeln, dass der Ausdruck maximal wird einfache Ansicht. In diesem Fall haben Sie eine bessere Chance, die Aufgabe nicht nur richtig, sondern auch auf die einfachste und logischste Art und Weise zu lösen. Genau so arbeiten Mathematiker immer.

Wir raten dringend davon ab, schwierige Wege zu suchen, insbesondere in diesem Fall. Merken Sie sich ein paar einfache Regeln, mit dem Sie jeden Ausdruck umwandeln können. Reduzieren Sie beispielsweise zwei oder drei Logarithmen auf die gleiche Basis oder leiten Sie eine Potenz von der Basis ab und gewinnen Sie dabei.

Denken Sie auch daran, dass das Lösen logarithmischer Gleichungen ständige Übung erfordert. Nach und nach werden Sie immer mehr erreichen komplexe Strukturen, und dies führt Sie dazu, alle Problemvarianten des Einheitlichen Staatsexamens souverän zu lösen. Bereiten Sie sich rechtzeitig auf Ihre Prüfungen vor und wünschen Ihnen viel Erfolg!

Algebra 11. Klasse

Thema: „Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen“

Lernziele:

lehrreich: Wissensbildung über auf veschiedenen Wegen Lösen logarithmischer Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jeder spezifischen Situation anzuwenden und eine beliebige Lösungsmethode zu wählen;

Entwicklung: Entwicklung der Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern und Verallgemeinern; Entwicklung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;

pädagogisch: Förderung eines verantwortungsvollen Umgangs mit der pädagogischen Arbeit, aufmerksame Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs und sorgfältiges Mitschreiben.

Unterrichtsart: Lektion zur Einführung neuen Materials.

„Die Erfindung des Logarithmus verringerte zwar die Arbeit des Astronomen, verlängerte aber auch sein Leben.“
Der französische Mathematiker und Astronom P.S. Laplace

Während des Unterrichts

I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion werden es uns ermöglichen, logarithmische Gleichungen zu lösen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit einheitlichen Algorithmen gelöst. Wir werden uns diese Algorithmen in der heutigen Lektion ansehen. Es gibt nicht viele davon. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.

Notieren Sie das Thema der Lektion in Ihrem Notizbuch: „Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen.“ Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.

II. Aktualisierung des Referenzwissens

Bereiten wir uns darauf vor, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf; Sie müssen die Bedingung nicht aufschreiben. Partnerarbeit.

1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:

(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)

2) Stimmen die Graphen der Funktionen überein?

3) Schreiben Sie die Gleichungen als logarithmische Gleichungen um:

4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:

5) Berechnen Sie:

6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichungen wiederherzustellen oder zu ergänzen.

III. Einführung in neues Material

Auf dem Bildschirm wird folgende Aussage angezeigt:

„Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alle mathematischen Sesame öffnet.“
Moderner polnischer Mathematiker S. Kowal

Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Logarithmuszeichen enthält).

Lassen Sie uns überlegen die einfachste logarithmische Gleichung:ProtokollAx = b(wobei a>0, a ≠ 1). Als logarithmische Funktion erhöht (oder verringert) am Set positive Zahlen und alle reellen Werte annimmt, folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.

Denken Sie an die Definition des Logarithmus. (Der Logarithmus einer Zahl x zur Basis a ist ein Indikator für die Potenz, mit der die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten.) Aus der Definition des Logarithmus folgt dies unmittelbar AV ist so eine Lösung.

Schreiben Sie den Titel auf: Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen

1. Per Definition des Logarithmus.

So werden die einfachsten Gleichungen der Form gelöst.

Lassen Sie uns überlegen Nr. 514(a)): Löse die Gleichung

Wie schlagen Sie vor, das Problem zu lösen? (Nach Definition des Logarithmus)

Lösung. , Daher 2x - 4 = 4; x = 4.

In dieser Aufgabe ist 2x - 4 > 0, da > 0, sodass keine Fremdwurzeln auftreten können und keine Überprüfung erforderlich ist. In dieser Aufgabe muss die Bedingung 2x - 4 > 0 nicht ausgeschrieben werden.

2. Potenzierung(Übergang vom Logarithmus eines gegebenen Ausdrucks zu diesem Ausdruck selbst).

Lassen Sie uns überlegen Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen? (Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich.) Was kann getan werden? (Potenzieren).

Es ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die logarithmischen Ausdrücke positiv sind.

Lösung: ODZ:

X2+8>0 ist eine unnötige Ungleichung

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Potenzieren wir die ursprüngliche Gleichung

wir erhalten die Gleichung x2+8= 8x+8

Lösen wir es: x2-8x=0

Antwort: 0; 8

IN Gesamtansicht Übergang zu einem gleichwertigen System:

Die gleichung

(Das System enthält eine redundante Bedingung – eine der Ungleichungen muss nicht berücksichtigt werden).

Frage an die Klasse: Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Diskussion der Methoden).

Sie haben das Recht, in jeder Hinsicht zu entscheiden.

3. Einführung einer neuen Variablen.

Lassen Sie uns überlegen Nr. 520(g). .

Was haben Sie bemerkt? (Dies ist eine quadratische Gleichung in Bezug auf log3x) Irgendwelche Vorschläge? (Eine neue Variable einführen)

Lösung. ODZ: x > 0.

Lassen Sie, dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Wurzeln nach dem Satz von Vieta:.

Kehren wir zum Ersatz zurück: oder.

Nachdem wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen gelöst haben, erhalten wir:

Antwort: 27;

4. Logarithmieren Sie beide Seiten der Gleichung.

Löse die Gleichung:.

Lösung: ODZ: x>0, logarithmiere beide Seiten der Gleichung zur Basis 10:

Wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz an:

(logx + 3) logx = 4

Sei logx = y, dann ist (y + 3)y = 4

, (D > 0) Wurzeln nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.

Kehren wir zum Ersetzen zurück, wir erhalten: lgx = -4,; lgx = 1, .

Antwort: 0,0001; 10.

5. Reduzierung auf eine Basis.

Nr. 523(c). Löse die Gleichung:

Lösung: ODZ: x>0. Kommen wir zur Basis 3.

6. Funktionalgrafische Methode.

№ 509(d). Lösen Sie die Gleichung grafisch: = 3 - x.

Wie schlagen Sie eine Lösung vor? (Erstellen Sie Graphen zweier Funktionen y = log2x und y = 3 - x unter Verwendung von Punkten und suchen Sie nach der Abszisse der Schnittpunkte der Graphen).

Schauen Sie sich Ihre Lösung auf der Folie an.

Es gibt eine Möglichkeit, die Erstellung von Diagrammen zu vermeiden . Es ist wie folgt : wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht sich, und das andere y = g(x) nimmt im Intervall X ab, dann gilt die Gleichung f(x)= g(x) hat höchstens eine Wurzel im Intervall X.

Wenn es eine Wurzel gibt, kann sie erraten werden.

In unserem Fall nimmt die Funktion für x>0 zu und die Funktion y = 3 – x nimmt für alle Werte von x ab, auch für x>0, was bedeutet, dass die Gleichung nicht mehr als eine Wurzel hat. Beachten Sie, dass sich die Gleichung bei x = 2 in eine echte Gleichheit verwandelt, da .

« Richtige Verwendung Methoden können erlernt werden
nur indem man sie auf verschiedene Beispiele anwendet.“
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten

ICHV. Hausaufgaben

S. 39 Betrachten Sie Beispiel 3, lösen Sie Nr. 514(b), Nr. 529(b), Nr. 520(b), Nr. 523(b)

V. Zusammenfassung der Lektion

Welche Methoden zur Lösung logarithmischer Gleichungen haben wir uns im Unterricht angesehen?

In den nächsten Lektionen werden wir uns mehr ansehen komplexe Gleichungen. Um sie zu lösen, werden die untersuchten Methoden nützlich sein.

Zuletzt gezeigte Folie:

„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Raum.
Was ist das Klügste?
Zeit.
Was ist das Beste daran?
Erreiche, was du willst.
Thales

Ich wünsche jedem, dass er erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Kooperation und Ihr Verständnis.