Fraktale Liste. Über Fraktale und ihre Algorithmen. Grundfrage der Arbeit

Mathematik,
wenn man es richtig betrachtet,
spiegelt nicht nur die Wahrheit wider,
aber auch unvergleichliche Schönheit.
Bertrand Russell.

Sie haben natürlich schon von Fraktalen gehört. Sie haben sicherlich diese atemberaubenden Bilder von Bryce3d gesehen, die realer sind als die Realität selbst. Berge, Wolken, Baumrinde – all das geht über die übliche euklidische Geometrie hinaus. Wir können einen Felsen oder die Grenzen einer Insel nicht mit geraden Linien, Kreisen und Dreiecken beschreiben. Und hier kommen uns Fraktale zu Hilfe. Was sind diese bekannten Fremden? Wann sind sie erschienen?

Geschichte des Aussehens.

Die ersten Ideen der fraktalen Geometrie entstanden im 19. Jahrhundert. Mithilfe eines einfachen rekursiven (wiederholenden) Verfahrens verwandelte Cantor die Linie in eine Ansammlung unverbundener Punkte (den sogenannten Cantor-Staub). Er nahm eine Linie, entfernte das mittlere Drittel und wiederholte das Gleiche dann mit den übrigen Abschnitten. Peano zeichnete eine besondere Linie (Abbildung Nr. 1). Um es zu zeichnen, verwendete Peano den folgenden Algorithmus.

Im ersten Schritt nahm er eine gerade Linie und ersetzte sie durch 9 Segmente, die dreimal kürzer als die Länge der ursprünglichen Linie waren (Teil 1 und 2 von Abbildung 1). Dann machte er dasselbe mit jedem Segment der resultierenden Linie. Und so weiter bis ins Unendliche. Seine Einzigartigkeit besteht darin, dass es die gesamte Ebene ausfüllt. Es ist bewiesen, dass man für jeden Punkt der Ebene einen Punkt finden kann, der zur Peano-Linie gehört. Peanos Kurve und Cantors Staub gingen über gewöhnliche geometrische Objekte hinaus. Sie hatten keine klare Dimension. Cantors Staub schien auf der Grundlage einer eindimensionalen geraden Linie aufgebaut zu sein, bestand jedoch aus Punkten (Dimension 0). Und die Peano-Kurve wurde auf der Grundlage einer eindimensionalen Linie erstellt und das Ergebnis war eine Ebene. In vielen anderen Bereichen der Wissenschaft traten Probleme auf, deren Lösung zu seltsamen Ergebnissen ähnlich den oben beschriebenen führte (Brownsche Bewegung, Aktienkurse).

Vater der Fraktale

Bis ins 20. Jahrhundert wurden Daten über solche seltsamen Objekte gesammelt, ohne dass der Versuch unternommen wurde, sie zu systematisieren. Das war, bis Benoit Mandelbrot, der Vater der modernen fraktalen Geometrie und des Wortes „Fraktal“, sie aufgriff. Während seiner Tätigkeit als mathematischer Analyst bei IBM untersuchte er Lärm elektronische Schaltkreise, was statistisch nicht beschreibbar ist. Nach und nach verglich er die Fakten und entdeckte eine neue Richtung in der Mathematik – die fraktale Geometrie.

Was ist ein Fraktal? Mandelbrot selbst leitete das Wort Fraktal vom lateinischen Wort fractus ab, was gebrochen (in Teile geteilt) bedeutet. Und eine der Definitionen eines Fraktals ist eine geometrische Figur, die aus Teilen besteht und in Teile geteilt werden kann, von denen jeder (zumindest annähernd) eine kleinere Kopie des Ganzen darstellt.

Um uns ein Fraktal klarer vorzustellen, betrachten wir ein Beispiel aus B. Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, das zu einem Klassiker geworden ist: „Wie lang ist die Küste Großbritanniens?“ Die Antwort auf diese Frage ist nicht so einfach, wie es scheint. Es hängt alles von der Länge des Werkzeugs ab, das wir verwenden werden. Indem wir das Ufer mit einem Kilometermaßstab messen, erhalten wir eine gewisse Länge. Allerdings werden wir viele kleine Buchten und Halbinseln vermissen, die deutlich kleiner sind als unsere Linie. Indem wir die Größe des Lineals auf beispielsweise 1 Meter reduzieren, berücksichtigen wir diese Details der Landschaft und dementsprechend wird die Länge der Küste größer. Gehen wir noch einen Schritt weiter und messen die Länge des Ufers mit einem Millimeterlineal. Dabei berücksichtigen wir Details, die größer als ein Millimeter sind, die Länge wird noch größer. Daher kann die Antwort auf eine scheinbar einfache Frage jeden verwirren – die Länge der Küste Großbritanniens ist endlos.

Ein wenig über die Abmessungen.

In seinem Alltagsleben Wir stoßen ständig auf Dimensionen. Wir schätzen die Länge der Straße (250 m), ermitteln die Fläche der Wohnung (78 m2) und suchen auf dem Aufkleber nach dem Volumen einer Bierflasche (0,33 dm3). Dieses Konzept ist recht intuitiv und bedarf anscheinend keiner Klärung. Die Linie hat die Dimension 1. Das bedeutet, dass wir durch die Wahl eines Referenzpunkts jeden Punkt auf dieser Linie mit einer Zahl – positiv oder negativ – definieren können. Darüber hinaus gilt dies für alle Linien – Kreis, Quadrat, Parabel usw.

Dimension 2 bedeutet, dass wir jeden Punkt durch zwei Zahlen eindeutig definieren können. Denken Sie nicht, dass zweidimensional flach bedeutet. Auch die Oberfläche einer Kugel ist zweidimensional (sie kann durch zwei Werte definiert werden – Winkel wie Breite und Länge).

Wenn wir es mathematisch betrachten, dann wird die Dimension wie folgt bestimmt: Bei eindimensionalen Objekten führt die Verdoppelung ihrer linearen Größe zu einer Vergrößerung (in diesem Fall der Länge) um den Faktor zwei (2). ^1).

Bei zweidimensionalen Objekten führt die Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer Vergrößerung der Größe (z. B. der Fläche eines Rechtecks) um das Vierfache (2^2).

Bei dreidimensionalen Objekten führt die Verdoppelung der linearen Abmessungen zu einer Verachtfachung des Volumens (2^3) und so weiter.

Somit kann die Dimension D basierend auf der Abhängigkeit der Zunahme der „Größe“ des Objekts S von der Zunahme der linearen Dimensionen L berechnet werden. D=log(S)/log(L). Für Zeile D=log(2)/log(2)=1. Für die Ebene D=log(4)/log(2)=2. Für Volumen D=log(8)/log(2)=3. Es kann etwas verwirrend sein, aber im Allgemeinen ist es nicht kompliziert und verständlich.

Warum erzähle ich das alles? Und um zu verstehen, wie man Fraktale beispielsweise von Wurst trennt. Versuchen wir, die Dimension für die Peano-Kurve zu berechnen. Wir haben also die ursprüngliche Linie, bestehend aus drei Segmenten der Länge X, ersetzt durch neun Segmente, die dreimal kürzer sind. Wenn also das minimale Segment um das Dreifache zunimmt, erhöht sich die Länge der gesamten Linie um das Neunfache und D=log(9)/log(3)=2 ist ein zweidimensionales Objekt!!!

Wenn also die Dimension einer aus einigen einfachen Objekten (Segmenten) gewonnenen Figur größer ist als die Dimension dieser Objekte, handelt es sich um ein Fraktal.

Fraktale werden in Gruppen eingeteilt. Die größten Gruppen sind:

Geometrische Fraktale.

Hier begann die Geschichte der Fraktale. Diese Art von Fraktal wird durch einfache geometrische Konstruktionen erhalten. Normalerweise gehen sie beim Konstruieren dieser Fraktale folgendermaßen vor: Sie nehmen einen „Samen“ – ein Axiom – eine Reihe von Segmenten, auf deren Grundlage das Fraktal erstellt wird. Anschließend wird auf diesen „Samen“ eine Reihe von Regeln angewendet, die ihn in eine Art geometrische Figur umwandeln. Anschließend werden die gleichen Regeln noch einmal auf jeden Teil dieser Figur angewendet. Mit jedem Schritt wird die Figur immer komplexer, und wenn wir (zumindest in unseren Gedanken) unendlich viele Transformationen durchführen, erhalten wir ein geometrisches Fraktal.

Die oben diskutierte Peano-Kurve ist ein geometrisches Fraktal. Die folgende Abbildung zeigt weitere Beispiele geometrischer Fraktale (von links nach rechts Kochs Schneeflocke, Liszt, Sierpinski-Dreieck).

Schneeflocke Koch

Blatt

Sierpinski-Dreieck

Von diesen geometrischen Fraktalen ist das erste, die Koch-Schneeflocke, sehr interessant und ziemlich berühmt. Es ist auf der Grundlage eines gleichseitigen Dreiecks aufgebaut. Jede Zeile davon ___ wird durch 4 Zeilen mit jeweils 1/3 der Länge des Originals _/\_ ersetzt. Somit erhöht sich die Länge der Kurve mit jeder Iteration um ein Drittel. Und wenn wir unendlich viele Iterationen durchführen, erhalten wir ein Fraktal – eine Koch-Schneeflocke von unendlicher Länge. Es stellt sich heraus, dass unsere unendliche Kurve einen begrenzten Bereich abdeckt. Versuchen Sie dasselbe mit Methoden und Figuren der euklidischen Geometrie.

Die Dimension einer Koch-Schneeflocke (wenn eine Schneeflocke um das Dreifache zunimmt, erhöht sich ihre Länge um das Vierfache) D=log(4)/log(3)=1,2619...

Die sogenannten L-Systeme eignen sich gut zur Konstruktion geometrischer Fraktale. Der Kern dieser Systeme besteht darin, dass es einen bestimmten Satz von Systemsymbolen gibt, von denen jedes eine bestimmte Aktion bezeichnet, und einen Satz von Symbolkonvertierungsregeln. Zum Beispiel die Beschreibung von Kochs Schneeflocke mit L-Systems im Fractint-Programm

; Adrian Mariano aus „Die fraktale Geometrie der Natur“ von Mandelbrot Koch1 ( ;Stellen Sie den Drehwinkel auf 360/6=60 Grad ein Winkel 6 ; Erste Zeichnung für den Bau Axiom F--F--F ; Zeichenkonvertierungsregel F=F+F--F+F )

In dieser Beschreibung sind die geometrischen Bedeutungen der Symbole wie folgt:

F bedeutet, eine Linie zeichnen + im Uhrzeigersinn drehen – gegen den Uhrzeigersinn drehen

Die zweite Eigenschaft von Fraktalen ist Selbstähnlichkeit. Nehmen wir zum Beispiel das Sierpinski-Dreieck. Um es zu konstruieren, „schneiden“ wir ein Dreieck aus der Mitte eines gleichseitigen Dreiecks aus. Wiederholen wir den gleichen Vorgang für die drei gebildeten Dreiecke (mit Ausnahme des mittleren) und so weiter bis ins Unendliche. Wenn wir nun eines der resultierenden Dreiecke nehmen und es vergrößern, erhalten wir eine exakte Kopie des Ganzen. In diesem Fall handelt es sich um völlige Selbstähnlichkeit.

Lassen Sie mich gleich einen Vorbehalt anbringen, dass die meisten fraktalen Zeichnungen in diesem Artikel mit dem Programm Fractint erstellt wurden. Wenn Sie sich für Fraktale interessieren, ist dieses Programm ein Muss für Sie. Mit seiner Hilfe können Sie Hunderte verschiedener Fraktale erstellen, umfassende Informationen darüber erhalten und sogar anhören, wie Fraktale klingen;).

Zu sagen, dass das Programm gut ist, bedeutet nichts zu sagen. Sie ist großartig, bis auf eine Sache: letzte Version 20.0 ist nur in der DOS-Version verfügbar:(. Sie finden dieses Programm (neueste Version 20.0) unter http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

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Kommentare

Na ja, für einen Snack interessantes Beispiel Microsoft Excel Die Zellen A2 und B2 haben die gleichen Werte zwischen 0 und 1. Ein Wert von 0,5 hat keine Auswirkung.

Hallo an alle, die es geschafft haben, ein Programm mit einem Fratal-Bild zu erstellen. Wer kann mir sagen, welche Zyklusmethode für mich am besten geeignet ist, um eine Lichtung aus fraktalen Farnen mit einem 3D-Max-Hintergrund mit einer dt-Iteration von 100.000 auf einem Stein mit 2800 mH zu bauen?

Es gibt einen Quellcode mit einem Programm zum Zeichnen der Drachenkurve, ebenfalls ein Fraktal.

Der Artikel ist großartig. Und Excel ist wahrscheinlich ein Coprozessorfehler (bei den letzten niederwertigen Ziffern)

Fraktales Beispiel

„Fraktal“ wurde vor weniger als einem halben Jahrhundert von Mathematikern eingeführt und wurde bald zusammen mit Synergetik und Attraktor zu einer der „drei Säulen“ der jungen Theorie des deterministischen Chaos und gilt heute bereits als eine davon grundlegende Elemente der Struktur des Universums.

MIT das lateinische Wort fractus wird übersetzt als „kaputt“, moderne lateinische Sprachen gaben ihm die Bedeutung „zerrissen“. Ein Fraktal ist etwas, das mit dem Ganzen/Größeren, von dem es ein Teil ist, identisch ist und gleichzeitig jedes seiner eigenen Elemente kopiert Komponente. Somit ist „Fraktalität“ die unendliche Ähnlichkeit von „allem“ mit seinen Bestandteilen, das heißt, es ist Selbstähnlichkeit auf jeder Ebene. Jede Ebene eines fraktalen Zweigs wird als „Iteration“ bezeichnet. Je weiter entwickelt das beschriebene oder grafisch dargestellte System ist, desto mehr fraktale Iterationen sieht der Betrachter. In diesem Fall wird der Punkt, an dem die Teilung erfolgt (z. B. ein Stamm in Zweige, ein Fluss in zwei Bäche usw.), als Gabelungspunkt bezeichnet.

Der Begriff Fraktus wurde 1975 vom Mathematiker Benoit Mandelbrot zur Beschreibung ausgewählt wissenschaftliche Entdeckung und wurde einige Jahre später populär – nachdem er das Thema in seinem Buch Fractal Geometry of Nature einem breiteren Publikum zugänglich machte.

Heutzutage ist Fraktal weithin bekannt als die fantastischen Muster der sogenannten „Fraktalkunst“, die von geschaffen wurden Computerprogramme. Aber mit Hilfe eines Computers können Sie nicht nur wunderschöne abstrakte Bilder erzeugen, sondern auch sehr glaubwürdige Naturlandschaften – Berge, Flüsse, Wälder. Hier liegt tatsächlich der Übergangspunkt der Wissenschaft wahres Leben oder umgekehrt, wenn wir davon ausgehen, dass es grundsätzlich möglich ist, sie zu trennen.

Die Sache ist die Fraktales Prinzip nicht nur zur Beschreibung von Entdeckungen in den exakten Wissenschaften geeignet. Dies ist zunächst einmal das Prinzip der Struktur und Entwicklung der Natur selbst. Alles um uns herum ist Fraktale! Die offensichtlichste Gruppe von Beispielen sind Flüsse mit Nebenflüssen, das Venensystem mit Kapillaren, Blitze, Frostmuster, Bäume ... In jüngerer Zeit testen Wissenschaftler Fraktale Theorie, wir waren experimentell sogar davon überzeugt, dass aus dem Diagramm eines Baumes Rückschlüsse auf gezogen werden können Waldgebiet wo diese Bäume wachsen. Weitere Beispiele für fraktale Gruppen: Atom – Molekül – Planetensystem – Sonnensystem- Galaxien - Universum... Minute - Stunde - Tag - Woche - Monat - Jahr - Jahrhundert... Auch die Gemeinschaft der Menschen organisiert sich nach den Prinzipien der Fraktalität: Ich - Familie - Clan - Nationalität - Nationalitäten - Rassen. . Individuum – Gruppe – Partei – Staat. Mitarbeiter – Abteilung – Abteilung – Unternehmen – Konzern... Sogar die göttlichen Pantheons verschiedener Religionen sind auf dem gleichen Prinzip aufgebaut, einschließlich des Christentums: Gott der Vater – Dreifaltigkeit – Heilige – Kirche – Gläubige, ganz zu schweigen von der Organisation der göttlichen Pantheons von heidnische Religionen.

Geschichte besagt, dass selbstähnliche Mengen erstmals im 19. Jahrhundert in den Werken von Wissenschaftlern bemerkt wurden – Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, aber die Wahrheit ist, dass uns bereits die heidnischen Slawen Beweise dafür hinterlassen haben, dass die Menschen die individuelle Existenz als kleines Detail verstanden in der Unendlichkeit des Universums. Dabei handelt es sich um ein Volkskulturobjekt namens „Spinne“, das von Kunsthistorikern aus Weißrussland und der Ukraine untersucht wurde. Es handelt sich um eine Art Prototyp einer Skulptur im modernen „mobilen“ Stil (Teile liegen bei). ständige Bewegung relativ zueinander). Die „Spinne“ besteht oft aus Stroh und besteht aus kleinen, mittleren und großen Elementen gleicher Form, die aneinander hängen, sodass jeder kleinere Teil den größeren und die gesamte Struktur als Ganzes genau wiederholt. Dieses Design wurde in der Hauptecke des Hauses aufgehängt, als ob es das eigene Zuhause als Teil der ganzen Welt bezeichnen würde.

Die Theorie der Fraktalität funktioniert heute überall, auch in der Philosophie, die besagt, dass während jedes Lebens und jedes Leben als Ganzes fraktal ist, „Gabelungspunkte“ auftreten, wenn mehr hohe Levels Die Entwicklung kann unterschiedliche Wege nehmen und der Moment, in dem ein Mensch „sich selbst vor einer Wahl steht“, ist der eigentliche „Stufenpunkt“ in den Fraktalen seines Lebens.

Die Theorie des deterministischen Chaos besagt, dass die Entwicklung jedes Fraktals nicht unendlich ist. Wissenschaftler glauben, dass es zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Grenze gibt, jenseits derer das Wachstum der Iterationen aufhört und das Fraktal beginnt, sich zu „verengen“ und allmählich sein ursprüngliches Einheitsmaß zu erreichen, und dann verläuft der Prozess wieder im Kreis – ähnlich wie beim Ein- und Ausatmen. die Veränderungen von Morgen und Nacht, Winter und Sommer in der Natur.

Fraktale Eigenschaften sind keine Laune oder ein Produkt der müßigen Fantasie von Mathematikern. Indem wir sie studieren, lernen wir, wichtige Merkmale der uns umgebenden Objekte und Phänomene zu unterscheiden und vorherzusagen, die zuvor, wenn nicht völlig ignoriert, dann nur annähernd, qualitativ, mit dem Auge beurteilt wurden. Durch den Vergleich der fraktalen Dimensionen komplexer Signale, Enzephalogramme oder Herzgeräusche können Ärzte beispielsweise einige diagnostizieren ernsthafte Krankheit in einem frühen Stadium, wenn dem Patienten noch geholfen werden kann. Außerdem kann ein Analyst durch den Vergleich des bisherigen Preisverhaltens zu Beginn der Einführung des Modells dessen weitere Entwicklung vorhersehen und so grobe Prognosefehler vermeiden.

Unregelmäßigkeit von Fraktalen

Die erste Eigenschaft von Fraktalen ist ihre Unregelmäßigkeit. Wenn ein Fraktal durch eine Funktion beschrieben wird, dann bedeutet die Eigenschaft der Unregelmäßigkeit in mathematischer Hinsicht, dass eine solche Funktion nicht differenzierbar, also an keiner Stelle glatt ist. Tatsächlich hat dies den direktesten Bezug zum Markt. Preisschwankungen sind teilweise so volatil und volatil, dass es viele Händler verwirrt. Unsere Aufgabe ist es, dieses Chaos zu ordnen und in Ordnung zu bringen.

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Selbstähnlichkeit von Fraktalen

Die zweite Eigenschaft besagt, dass ein Fraktal ein Objekt ist, das die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt. Hierbei handelt es sich um ein rekursives Modell, bei dem jeder Teil in seiner Entwicklung die Entwicklung des gesamten Modells als Ganzes wiederholt und in verschiedenen Maßstäben ohne sichtbare Änderungen reproduziert wird. Es kommt jedoch zu Veränderungen, die unsere Wahrnehmung des Objekts erheblich beeinflussen können.

Selbstähnlichkeit bedeutet, dass das Objekt keinen charakteristischen Maßstab hat: Wenn es einen solchen Maßstab hätte, würde man eine vergrößerte Kopie des Fragments sofort vom Originalfoto unterscheiden. Selbstähnliche Objekte haben unendlich viele Maßstäbe für jeden Geschmack. Das Wesen der Selbstähnlichkeit lässt sich anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Stellen Sie sich vor, vor Ihnen liegt ein Foto einer „echten“ geometrischen Linie, „Länge ohne Breite“, wie Euklid eine Linie definierte, und Sie vergnügen sich mit einem Freund und versuchen zu erraten, ob er Ihnen das Originalfoto zeigt ( das Original) oder ein um die erforderliche Anzahl vergrößertes Foto eines beliebigen Fragments einer geraden Linie. Egal wie sehr Sie es versuchen, Sie werden nie in der Lage sein, das Original von einer vergrößerten Kopie des Fragments zu unterscheiden; die gerade Linie ist in allen Teilen gleich aufgebaut, sie ist sich selbst ähnlich, aber diese bemerkenswerte Eigenschaft ist etwas verbirgt sich hinter der einfachen Struktur der Geraden selbst, ihrer „Geradheit“ (Abb. 7).

Wenn Sie auf die gleiche Weise ein Foto eines Objekts nicht von einem ordnungsgemäß vergrößerten Foto eines Fragments davon unterscheiden können, dann haben Sie ein selbstähnliches Objekt vor sich. Alle Fraktale, die zumindest eine gewisse Symmetrie aufweisen, sind selbstähnlich. Das bedeutet, dass sich einige Fragmente ihrer Struktur in bestimmten räumlichen Abständen strikt wiederholen. Es ist offensichtlich, dass diese Objekte beliebiger Natur sein können und ihr Aussehen und ihre Form unabhängig vom Maßstab unverändert bleiben. Ein Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal:

Im Finanzwesen handelt es sich bei diesem Konzept nicht um eine unbegründete Abstraktion, sondern um eine theoretische Neuformulierung eines praktischen Marktsprichworts – nämlich, dass die Bewegungen einer Aktie oder einer Währung oberflächlich betrachtet ähnlich sind, unabhängig von Zeitrahmen und Preis. Der Beobachter kann es nicht sagen Aussehen Stellen Sie grafisch dar, ob sich die Daten auf wöchentliche, tägliche oder stündliche Änderungen beziehen.

Natürlich haben nicht alle Fraktale eine so regelmäßige, sich endlos wiederholende Struktur wie diese wunderbaren Exponate des zukünftigen Museums für fraktale Kunst, die aus der Fantasie von Mathematikern und Künstlern entstanden sind. Vielen in der Natur vorkommenden Fraktalen (Verwerfungsflächen von Gesteinen und Metallen, Wolken, Währungskurse, turbulente Strömungen, Schaum, Gele, Konturen von Rußpartikeln usw.) mangelt es an geometrischer Ähnlichkeit, sie reproduzieren jedoch hartnäckig die statistischen Eigenschaften des Ganzen in jedem Fragment. Fraktale mit einer nichtlinearen Entwicklungsform wurden von Mandelbrot Multifraktale genannt. Ein Multifraktal ist ein quasi-fraktales Objekt mit einer variablen fraktalen Dimension. Natürlich lassen sich reale Objekte und Prozesse durch Multifraktale viel besser beschreiben.

Diese statistische Selbstähnlichkeit oder Selbstähnlichkeit im Durchschnitt unterscheidet Fraktale von einer Vielzahl natürlicher Objekte.

Betrachten wir ein Beispiel für Selbstähnlichkeit auf dem Devisenmarkt:

In diesen Abbildungen sehen wir, dass sie ähnlich sind, aber eine andere Zeitskala haben, in Abb. und 15-Minuten-Skala, in Abb. b wöchentliche Preisstaffel. Wie Sie sehen, haben diese Zitate nicht die Eigenschaft, sich perfekt zu wiederholen, aber wir können sie als ähnlich betrachten.

Selbst die einfachsten Fraktale – geometrisch selbstähnliche Fraktale – haben ungewöhnliche Eigenschaften. Beispielsweise hat eine von Koch-Schneeflocke einen Umfang von unendlicher Länge, obwohl sie eine endliche Fläche begrenzt (Abb. 9). Darüber hinaus ist es so stachelig, dass es unmöglich ist, an irgendeinem Punkt der Kontur eine Tangente daran zu ziehen (ein Mathematiker würde sagen, dass eine von Koch-Schneeflocke nirgends differenzierbar, also an keinem Punkt glatt ist).

Mandelbrot fand heraus, dass die Ergebnisse der Bruchmessung für verschiedene Grade zunehmender Unregelmäßigkeit des Objekts konstant blieben. Mit anderen Worten: Für jede Unregelmäßigkeit gibt es eine Regelmäßigkeit (Regelmäßigkeit, Ordnung). Wenn wir etwas so behandeln, als ob es zufällig geschieht, deutet das darauf hin, dass wir die Natur dieser Zufälligkeit nicht verstehen. Markttechnisch bedeutet dies, dass die Bildung gleicher typischer Formationen in unterschiedlichen Zeitrahmen erfolgen muss. Ein Ein-Minuten-Chart beschreibt die fraktale Bildung auf die gleiche Weise wie ein Monats-Chart. Eine solche „Selbstähnlichkeit“, die auf den Diagrammen der Rohstoff- und Finanzmärkte zu finden ist, zeigt alle Anzeichen dafür, dass das Marktverhalten eher dem Paradigma des „natürlichen“ Verhaltens als dem Verhalten der wirtschaftlichen Fundamentalanalyse entspricht.

In diesen Zahlen finden Sie eine Bestätigung des oben Gesagten. Links ist ein Diagramm mit einer Minutenskala, rechts eine Wochenskala. Dabei handelt es sich um die Währungspaare Dollar/Yen (Abb. 9 (a)) und Euro/Dollar (Abb. 9 (b)) mit unterschiedlichen Preisstaffeln. Obwohl das Währungspaar JPY/USD eine andere Volatilität aufweist als EUR/USD, können wir die gleiche Preisbewegungsstruktur beobachten.

Fraktale Dimension

Die dritte Eigenschaft von Fraktalen besteht darin, dass fraktale Objekte eine andere Dimension als die euklidische haben (mit anderen Worten, topologische Dimension). Die fraktale Dimension ist ein Indikator für die Komplexität der Kurve. Durch die Analyse des Wechsels von Bereichen mit unterschiedlichen fraktalen Dimensionen und der Art und Weise, wie das System durch externe und interne Faktoren beeinflusst wird, können Sie lernen, das Verhalten des Systems vorherzusagen. Und vor allem: Instabile Zustände diagnostizieren und vorhersagen.

Im Arsenal der modernen Mathematik fand Mandelbrot ein geeignetes quantitatives Maß für die Unvollkommenheit von Objekten – die Gewundenheit der Kontur, die Faltenbildung der Oberfläche, die Brüche und Porosität des Volumens. Es wurde von zwei Mathematikern vorgeschlagen – Felix Hausdorff (1868–1942) und Abram Samoilovich Besikovich (1891–1970). Heutzutage trägt es zu Recht die glorreichen Namen seiner Schöpfer (Hausdorff – Besicovich-Dimension) – Hausdorff – Besicovitch-Dimension. Was ist Dimension und warum brauchen wir sie im Zusammenhang mit der Analyse von Finanzmärkten? Zuvor kannten wir nur eine Art von Dimension – topologisch (Abb. 11). Das Wort Dimension selbst zeigt an, wie viele Dimensionen ein Objekt hat. Für ein Segment oder eine Gerade ist er gleich 1, d.h. wir haben nur eine Dimension, nämlich die Länge einer Strecke oder Geraden. Für eine Ebene beträgt die Dimension 2, da wir eine zweidimensionale Dimension, Länge und Breite, haben. Für räumliche oder volumetrische Objekte beträgt die Dimension 3: Länge, Breite und Höhe.

Schauen wir uns ein Beispiel mit an Computerspiele. Wenn das Spiel in 3D-Grafik erstellt wird, ist es räumlich und dreidimensional, in 2D-Grafik werden die Grafiken auf einer Ebene dargestellt (Abb. 10).

Das Ungewöhnlichste (richtiger wäre es, ungewöhnlich zu sagen) an der Hausdorff-Besicovitch-Dimension war, dass sie nicht nur ganzzahlige Werte wie eine topologische Dimension, sondern auch gebrochene Werte annehmen konnte. Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension ist für eine gerade Linie (unendliches, halbunendliches oder endliches Segment) gleich eins und nimmt mit zunehmender Tortuosität zu, während die topologische Dimension alle Änderungen, die mit der Linie auftreten, hartnäckig ignoriert.

Die Dimension charakterisiert die Kompliziertheit einer Menge (z. B. einer Linie). Handelt es sich um eine Kurve mit einer topologischen Dimension gleich 1 (Gerade), dann kann die Kurve durch unendlich viele Biegungen und Verzweigungen so stark verkompliziert werden, dass ihre fraktale Dimension gegen zwei geht, also wird fast die gesamte Ebene ausfüllen (Abb. 12)

Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension erhöht ihren Wert und verändert ihn nicht abrupt, wie es die topologische Dimension „an ihrer Stelle“ tun würde, indem sie direkt von 1 auf 2 übergeht. Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension – und das mag auf den ersten Blick ungewöhnlich und überraschend erscheinen – nimmt Bruchwerte an: gleich eins für eine gerade Linie, wird es gleich 1,15 für eine leicht gekrümmte Linie, 1,2 für eine stärker gekrümmte Linie, 1,5 für eine sehr gekrümmte Linie usw.

Gerade um die Fähigkeit der Hausdorff-Besicovitch-Dimension, gebrochene, nicht ganzzahlige Werte anzunehmen, besonders hervorzuheben, entwickelte Mandelbrot seinen Neologismus und nannte ihn die fraktale Dimension. Die fraktale Dimension (nicht nur Hausdorff-Besicovitch, sondern jede andere) ist also eine Dimension, die nicht unbedingt ganzzahlige Werte, sondern auch gebrochene Werte annehmen kann.

Bei linearen geometrischen Fraktalen charakterisiert die Dimension ihre Selbstähnlichkeit. Schauen wir uns Abb. an. 17 (A) besteht die Linie aus N=4 Segmenten, von denen jedes eine Länge von r = 1/3 hat. Als Ergebnis erhalten wir das Verhältnis:

D = logN/log(1/r)

Ganz anders verhält es sich, wenn wir von Multifraktalen (nichtlinear) sprechen. Hier verliert die Dimension ihre Bedeutung als Definition der Ähnlichkeit eines Objekts und wird durch verschiedene Verallgemeinerungen definiert, die viel weniger natürlich sind als die einzigartige Dimension selbstähnlicher Objekte.

Auf dem Devisenmarkt kann die Dimension die Volatilität von Preisnotierungen charakterisieren. Jedes Währungspaar hat sein eigenes Verhalten auf der Preisskala. Für das Pfund/Dollar-Paar (Abbildung 13(a)) ist es ruhiger als für das Euro/Dollar-Paar (Abbildung 13(b)). Das Interessanteste ist, dass sich diese Währungen mit der gleichen Struktur auf Preisniveaus bewegen, ihre Dimensionen jedoch unterschiedlich sind, was sich auf den Intraday-Handel und Musteränderungen auswirken kann, die dem ungeübten Auge entgehen.

In Abb. Abbildung 14 zeigt die Dimension im Verhältnis zum mathematischen Modell, damit Sie die Bedeutung dieses Begriffs besser verstehen können. Beachten Sie, dass alle drei Bilder einen Zyklus zeigen. In Abb. und die Abmessung beträgt 1,2, in Abb. b beträgt die Abmessung 1,5, und in Abb. im 1.9. Es ist zu erkennen, dass mit zunehmender Dimension die Wahrnehmung eines Objekts komplizierter wird und die Schwingungsamplitude zunimmt.

Auf den Finanzmärkten spiegelt sich die Dimensionalität nicht nur in der Qualität der Preisvolatilität wider, sondern auch in der Qualität der Zyklusdetails (Wellen). Dadurch können wir unterscheiden, ob eine Welle zu einer bestimmten Zeitskala gehört. In Abb. Abbildung 15 zeigt das Euro/Dollar-Paar auf einer täglichen Preisskala. Bitte beachten Sie, dass der gebildete Zyklus und der Beginn eines neuen, größeren Zyklus deutlich sichtbar sind. Wenn wir auf eine Stundenskala umschalten und einen der Zyklen vergrößern, können wir kleinere Zyklen erkennen und einen Teil des großen auf D1 (Abb. 16). Detaillierung der Zyklen, d.h. Ihre Dimension ermöglicht es uns, aus den Ausgangsbedingungen abzuleiten, wie sich die Situation in der Zukunft entwickeln könnte. Wir können sagen: Die fraktale Dimension spiegelt die Eigenschaft der Skaleninvarianz der betrachteten Menge wider.

Das Konzept der Invarianz wurde von Mandelbrot aus dem Wort „Versiegelung“ eingeführt – skalierbar, d.h. Wenn ein Objekt die Eigenschaft der Invarianz aufweist, weist es unterschiedliche Anzeigeskalen auf.

In Abb. 16, Kreis A markiert einen Minizyklus (detaillierte Welle), Kreis B – eine Welle eines größeren Zyklus. Gerade aufgrund der Dimension können wir nicht immer ALLE Zyklen auf der gleichen Preisskala ermitteln.

Über die Probleme bei der Definition und den Entwicklungseigenschaften nichtperiodischer Zyklen werden wir im Abschnitt „Zyklen auf dem Devisenmarkt“ sprechen; nun ging es für uns vor allem darum zu verstehen, wie und wo sich die Dimension auf den Finanzmärkten manifestiert.

Man kann also sagen, dass Fraktale als Modelle dann verwendet werden, wenn ein reales Objekt nicht in Form klassischer Modelle dargestellt werden kann. Das bedeutet, dass wir es mit nichtlinearen Beziehungen und der nichtdeterministischen (zufälligen) Natur von Daten zu tun haben. Unter Nichtlinearität im ideologischen Sinne versteht man multivariate Entwicklungspfade, das Vorhandensein einer Wahlmöglichkeit aus alternativen Pfaden und ein bestimmtes Evolutionstempo sowie die Irreversibilität evolutionärer Prozesse. Unter Nichtlinearität im mathematischen Sinne versteht man eine bestimmte Art mathematischer Gleichungen (nichtlineare Differentialgleichungen), die die gewünschten Größen in Potenzen größer eins oder Koeffizienten in Abhängigkeit von den Eigenschaften des Mediums enthalten. Ein einfaches Beispiel für ein nichtlineares dynamisches System:

Johnny wächst 2 Zoll pro Jahr. Dieses System erklärt, wie sich Johnnys Größe im Laufe der Zeit verändert. Sei x(n) Johnnys Größe in diesem Jahr. Sein Wachstum im nächsten Jahr sei als x(n+1) geschrieben. Dann können wir das dynamische System in Gleichungsform schreiben:

x(n+1) = x(n) + 2.

Siehst du? Ist das nicht nur einfache Mathematik? Wenn wir Johnnys Größe heute als x(n) = 38 Zoll eingeben, dann erhalten wir auf der rechten Seite der Gleichung Johnnys Größe im nächsten Jahr als x(n+1) = 40 Zoll:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Die Bewegung von rechts nach links in der Gleichung wird als Iteration (Wiederholung) bezeichnet. Wir können die Gleichung noch einmal wiederholen, indem wir Johnnys neue Größe von 40 Zoll auf der richtigen Seite der Gleichung einsetzen (d. h. x(n) = 40) und wir erhalten x(n+1) = 42. Wenn wir iterieren (wiederholen) Wenn wir die Gleichung dreimal anwenden, erhalten wir Johnnys Größe nach 3 Jahren, nämlich 44 Zoll, beginnend mit einer Größe von 38 Zoll.

Es handelt sich um ein deterministisches dynamisches System. Wenn wir es nicht deterministisch (stochastisch) machen wollten, könnten wir ein Modell wie dieses erstellen: Johnny wächst mehr oder weniger um 2 Zoll pro Jahr und schreiben die Gleichung wie folgt:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

wobei e ein kleiner Fehler ist (klein im Verhältnis zu 2), der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellt.

Kehren wir zur ursprünglichen deterministischen Gleichung zurück. Die ursprüngliche Gleichung x(n+1) = x(n) + 2 ist linear. Linear bedeutet, dass Sie Variablen oder Konstanten hinzufügen oder Variablen mit Konstanten multiplizieren. Zum Beispiel die Gleichung

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

ist linear. Aber wenn Sie die Variablen multiplizieren oder auf eine Potenz größer als eins erhöhen, wird die Gleichung (das System) nichtlinear. Zum Beispiel die Gleichung

x(n+1) = x(n) 2

ist nichtlinear, da x(n) quadriert ist. Die gleichung

ist nichtlinear, da die beiden Variablen x und y multipliziert werden.

Wenn wir klassische Modelle anwenden (z. B. Trend, Regression usw.), sagen wir, dass die Zukunft des Objekts eindeutig bestimmt ist, d. h. hängt ganz davon ab Anfangsbedingungen und kann eindeutig vorhergesagt werden. Sie können eines dieser Modelle selbst in Excel ausführen. Ein Beispiel für ein klassisches Modell kann als stetig abnehmender oder steigender Trend dargestellt werden. Und wir können sein Verhalten vorhersagen, indem wir die Vergangenheit des Objekts kennen (Ausgangsdaten für die Modellierung). Und Fraktale werden dann verwendet, wenn ein Objekt mehrere Entwicklungsmöglichkeiten hat und der Zustand des Systems durch die Position bestimmt wird, an der es sich befindet dieser Moment. Das heißt, wir versuchen, eine chaotische Entwicklung zu simulieren. Der Interbanken-Devisenmarkt ist genau ein solches System.

Schauen wir uns nun an, wie man aus einer geraden Linie das erhalten kann, was wir ein Fraktal mit seinen inhärenten Eigenschaften nennen.

In Abb. 17 (A) zeigt die Koch-Kurve. Nehmen wir ein Liniensegment, seine Länge = 1, d.h. ist immer noch eine topologische Dimension. Jetzt teilen wir es in drei Teile (jeweils 1/3 der Länge) und entfernen das mittlere Drittel. Aber wir werden das mittlere Drittel durch zwei Segmente (jeweils 1/3 der Länge) ersetzen, die man sich als zwei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks vorstellen kann. Dieses Design der Stufe zwei (b) ist in Abb. dargestellt. 17 (A). An diesem Punkt haben wir 4 kleinere Teile, jedes 1/3 der Länge, also beträgt die Gesamtlänge 4(1/3) = 4/3. Anschließend wiederholen wir diesen Vorgang für jeden der 4 kleineren Leitungsanteile. Dies ist Stufe drei (c). Dadurch erhalten wir 16 noch kleinere Linienanteile, jeweils 1/9 der Länge. Die Gesamtlänge beträgt nun also 16/9 oder (4/3) 2 . Als Ergebnis erhielten wir eine Bruchdimension. Aber das ist nicht das Einzige, was die resultierende Struktur von einer geraden unterscheidet. Es ist selbstähnlich geworden und es ist unmöglich, an irgendeinem seiner Punkte eine Tangente zu zeichnen (Abb. 17 (B)).

Inhalt

Selbstähnliche Mengen mit ungewöhnlichen Eigenschaften in der Mathematik

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts tauchen in der Mathematik Beispiele für selbstähnliche Objekte auf, deren Eigenschaften aus Sicht der klassischen Analysis pathologisch sind. Dazu gehören die folgenden:

• Das Cantor-Set ist ein nirgends dichtes, unzähliges perfektes Set. Durch Modifizieren des Verfahrens kann man auch eine nirgendwo dichte Menge positiver Länge erhalten;
• das Sierpinski-Dreieck („Tischdecke“) und der Sierpinski-Teppich sind Analogien des Cantor im Flugzeug;
• Mengers Schwamm ist ein Analogon des im dreidimensionalen Raum angesiedelten Cantor;
• Beispiele von Weierstrass und van der Waerden für eine nirgends differenzierbare stetige Funktion;
• Die Koch-Kurve ist eine sich selbst nicht schneidende kontinuierliche Kurve unendlicher Länge, die an keinem Punkt eine Tangente hat;
• Peano-Kurve – eine kontinuierliche Kurve, die durch alle Punkte des Quadrats verläuft;
• Auch die Flugbahn eines Brownschen Teilchens ist nirgends mit der Wahrscheinlichkeit 1 differenzierbar. Seine Hausdorff-Dimension beträgt zwei [ ] .

Rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven

Fraktale als Fixpunkte von Kompressionsabbildungen

Die Selbstähnlichkeitseigenschaft kann mathematisch streng wie folgt ausgedrückt werden. Seien es kontraktive Abbildungen der Ebene. Betrachten Sie die folgende Abbildung auf der Menge aller kompakten (geschlossenen und beschränkten) Teilmengen der Ebene: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

Es kann gezeigt werden, dass die Zuordnung Ψ (\displaystyle \Psi ) ist eine Kontraktionskarte auf der Menge der Kompakta mit der Hausdorff-Metrik. Daher hat diese Abbildung nach dem Satz von Banach einen eindeutigen Fixpunkt. Dieser Fixpunkt wird unser Fraktal sein.

Das oben beschriebene rekursive Verfahren zur Gewinnung fraktaler Kurven ist ein Sonderfall dieser Konstruktion. Es enthält alle Anzeigen ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- Ähnlichkeitsanzeigen und n (\displaystyle n)- Anzahl der Generatorverbindungen.

Es ist beliebt, schöne grafische Bilder basierend auf komplexer Dynamik zu erstellen, indem ebene Punkte abhängig vom Verhalten der entsprechenden dynamischen Systeme eingefärbt werden. Um beispielsweise den Mandelbrot-Satz zu vervollständigen, können Sie die Punkte abhängig von der Aspirationsgeschwindigkeit einfärben z n (\displaystyle z_(n)) bis Unendlich (z. B. als kleinste Zahl definiert). n (\displaystyle n), bei welchem | z n | (\displaystyle |z_(n)|) wird einen festen großen Wert überschreiten A (\displaystyle A)).

Biomorphe sind Fraktale, die auf der Grundlage komplexer Dynamiken aufgebaut sind und an lebende Organismen erinnern.

Stochastische Fraktale

Natürliche Objekte haben oft eine fraktale Form. Zur Modellierung können stochastische (zufällige) Fraktale verwendet werden. Beispiele für stochastische Fraktale:

• Flugbahn der Brownschen Bewegung in der Ebene und im Raum;
• Grenze der Flugbahn der Brownschen Bewegung in einer Ebene. Im Jahr 2001 bewiesen Lawler, Schramm und Werner Mandelbrots Hypothese, dass seine Dimension 4/3 beträgt.
• Schramm-Löwner-Entwicklungen sind konform invariante fraktale Kurven, die in kritischen zweidimensionalen Modellen der statistischen Mechanik wie dem Ising-Modell und der Perkolation auftreten.
• Verschiedene Arten randomisierte Fraktale, also Fraktale, die durch ein rekursives Verfahren erhalten werden, in das bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird. Plasma ist ein Beispiel für die Verwendung eines solchen Fraktals in der Computergrafik.

Natürliche Objekte mit fraktalen Eigenschaften

Natürliche Objekte ( Quasi-Fraktale) unterscheiden sich von idealen abstrakten Fraktalen durch die Unvollständigkeit und Ungenauigkeit der Wiederholungen der Struktur. Die meisten in der Natur vorkommenden fraktalähnlichen Strukturen (Wolkengrenzen, Küstenlinien, Bäume, Pflanzenblätter, Korallen usw.) sind Quasi-Fraktale, da die fraktale Struktur in einem kleinen Maßstab verschwindet. Natürliche Strukturen können aufgrund von Einschränkungen durch die Größe einer lebenden Zelle und letztendlich durch die Größe der Moleküle keine perfekten Fraktale sein.

• In der Tierwelt:
  • Seesterne und Seeigel
  • Blumen und Pflanzen (Brokkoli, Kohl)
  • Baumkronen und Pflanzenblätter
  • Obst (Ananas)
  • Kreislaufsystem und Bronchien von Mensch und Tier
• In der unbelebten Natur:
  • Grenzen geografischer Objekte (Länder, Regionen, Städte)
  • Frostige Muster auf Fensterglas
  • Stalaktiten, Stalagmiten, Heliktite.

Anwendung

Naturwissenschaften

In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken und dergleichen. Fraktale werden zur Modellierung poröser Materialien verwendet, beispielsweise in der Petrochemie. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen verwendet. innere Organe(System der Blutgefäße). Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, diese bei der Berechnung der Ausdehnung zu verwenden Küste.

Funktechnik

Fraktale Antennen

Verwendung fraktaler Geometrie im Design

Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre bei Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Das Wort Fraktal leitet sich vom lateinischen fractus ab und bedeutet aus Fragmenten bestehend. Es wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, mit denen er sich beschäftigte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „Die fraktale Geometrie der Natur“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die im Zeitraum 1875-1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Aber erst in unserer Zeit ist es möglich, ihre Arbeiten in einem einzigen System zusammenzufassen.
Die Rolle von Fraktalen in der Computergrafik ist heutzutage recht groß. Sie helfen beispielsweise dann, wenn es darum geht, Linien und Flächen mit sehr komplexen Formen mithilfe mehrerer Koeffizienten zu definieren. Aus Sicht der Computergrafik ist die fraktale Geometrie unverzichtbar, um künstliche Wolken, Berge und Meeresoberflächen zu erzeugen. Tatsächlich wurde eine Möglichkeit gefunden, komplexe nichteuklidische Objekte, deren Bilder den natürlichen sehr ähnlich sind, einfach darzustellen.
Eine der Haupteigenschaften von Fraktalen ist Selbstähnlichkeit. Im einfachsten Fall enthält ein kleiner Teil eines Fraktals Informationen über das gesamte Fraktal. Mandelbrots Definition eines Fraktals lautet: „Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen besteht, die in gewisser Weise dem Ganzen ähnlich sind.“

Existiert große Nummer mathematische Objekte, die Fraktale genannt werden (Sierpinski-Dreieck, Koch-Schneeflocke, Peano-Kurve, Mandelbrot-Menge und Lorentz-Attraktoren). Fraktale beschreiben mit großer Genauigkeit viele physikalische Phänomene und Formationen der realen Welt: Berge, Wolken, turbulente (Wirbel-)Strömungen, Wurzeln, Äste und Blätter von Bäumen, Blutgefäße, was alles andere als einfach ist geometrische Formen. Zum ersten Mal sprach Benoit Mandelbrot in seinem bahnbrechenden Werk „Fractal Geometry of Nature“ über die fraktale Natur unserer Welt.
Der Begriff Fraktal wurde 1977 von Benoit Mandelbrot in seinem grundlegenden Werk Fractals, Form, Chaos and Dimension eingeführt. Laut Mandelbrot kommt das Wort „Fraktal“ von den lateinischen Wörtern fractus – fraktional und frangere – „brechen“, was die Essenz eines Fraktals als „gebrochene“, unregelmäßige Menge widerspiegelt.

Klassifizierung von Fraktalen.

Um die ganze Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es sinnvoll, auf ihre allgemein anerkannte Klassifizierung zurückzugreifen. Es gibt drei Klassen von Fraktalen.

1. Geometrische Fraktale.

Fraktale dieser Klasse sind am visuellsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie mithilfe einer gestrichelten Linie (oder einer Fläche im dreidimensionalen Fall), einem sogenannten Generator, ermittelt. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes Segment, aus dem die Polylinie besteht, durch eine Generatorpolylinie im entsprechenden Maßstab ersetzt. Durch endlose Wiederholung dieses Vorgangs entsteht ein geometrisches Fraktal.

Betrachten wir ein Beispiel für eines dieser fraktalen Objekte – die triadische Koch-Kurve.

Konstruktion der triadischen Koch-Kurve.

Nehmen wir ein gerades Segment der Länge 1. Nennen wir es Samen. Teilen wir den Samen in drei gleiche Teile mit einer Länge von 1/3, verwerfen wir den mittleren Teil und ersetzen ihn durch eine gestrichelte Linie aus zwei Gliedern mit einer Länge von 1/3.

Wir erhalten eine gestrichelte Linie bestehend aus 4 Gliedern mit einer Gesamtlänge von 4/3 – die sogenannte erste Generation.

Um zur nächsten Generation der Koch-Kurve überzugehen, muss der mittlere Teil jedes Glieds verworfen und ersetzt werden. Dementsprechend beträgt die Länge der zweiten Generation 16/9, die der dritten 64/27. Wenn wir diesen Prozess bis ins Unendliche fortsetzen, ist das Ergebnis eine triadische Koch-Kurve.

Betrachten wir nun die Eigenschaften der triadischen Koch-Kurve und finden wir heraus, warum Fraktale „Monster“ genannt wurden.

Erstens hat diese Kurve keine Länge – wie wir gesehen haben, tendiert ihre Länge mit der Anzahl der Generationen gegen Unendlich.

Zweitens ist es unmöglich, eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren – jeder ihrer Punkte ist ein Wendepunkt, an dem die Ableitung nicht existiert – diese Kurve ist nicht glatt.

Länge und Glätte sind die grundlegenden Eigenschaften von Kurven, die sowohl in der euklidischen Geometrie als auch in der Geometrie von Lobatschewski und Riemann untersucht werden. Es stellte sich heraus, dass herkömmliche Methoden der geometrischen Analyse auf die triadische Koch-Kurve nicht anwendbar waren, sodass sich die Koch-Kurve als Monster herausstellte – als „Monster“ unter den glatten Bewohnern traditioneller Geometrien.

Bau des Harter-Haithaway „Drachen“.

Um ein weiteres fraktales Objekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das Formelement seien zwei gleiche Segmente, die im rechten Winkel verbunden sind. In der nullten Generation ersetzen wir das Einheitssegment durch dieses erzeugende Element, sodass der Winkel oben liegt. Wir können sagen, dass es bei einem solchen Austausch zu einer Verschiebung der Mitte des Glieds kommt. Bei der Konstruktion nachfolgender Generationen gilt die Regel: Das allererste Glied links wird durch ein Formelement ersetzt, sodass die Mitte des Glieds nach links von der Bewegungsrichtung verschoben wird, und beim Ersetzen nachfolgender Glieder werden die Richtungen verschoben Die Verschiebung der Segmentmitten muss abwechselnd erfolgen. Die Abbildung zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem oben beschriebenen Prinzip aufgebauten Kurve. Eine Kurve mit n gegen Unendlich wird Harter-Haithaway-Drache genannt.
In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale erforderlich, um Bilder von Bäumen und Büschen zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um dreidimensionale Texturen (Muster auf der Oberfläche eines Objekts) zu erzeugen.

2. Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Sie werden durch nichtlineare Prozesse in n-dimensionalen Räumen gewonnen. Zweidimensionale Prozesse werden am häufigsten untersucht. Bei der Interpretation eines nichtlinearen iterativen Prozesses als diskretes dynamisches System kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, stationärer Prozess, Attraktor usw.
Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Ausgangszustand ab. Daher verfügt jeder stabile Zustand (oder, wie man sagt, Attraktor) über einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System zwangsläufig in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems in Anziehungsbereiche von Attraktoren unterteilt. Wenn der Phasenraum ein zweidimensionaler Raum ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben ein farbiges Phasenporträt dieses Systems erhalten (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit bizarren mehrfarbigen Mustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mithilfe primitiver Algorithmen sehr komplexe nichttriviale Strukturen zu erzeugen.

Mandelbrot-Menge.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge. Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck: Z = Z[i] * Z[i] + C, Wo Zi Und C- komplexe Variablen. Für jeden Startpunkt werden Iterationen aus einem rechteckigen oder quadratischen Bereich – einer Teilmenge der komplexen Ebene – durchgeführt. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z[i] wird nicht über den Kreis mit dem Radius 2 hinausgehen, dessen Mittelpunkt im Punkt (0,0) liegt (das bedeutet, dass der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen liegt) oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (z. B , 200-500) Z[i] wird an einem Punkt auf dem Kreis zusammenlaufen. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während denen Z[i] Wenn der Punkt innerhalb des Kreises verbleibt, können Sie die Farbe des Punktes festlegen C(Wenn Z[i] bleibt ziemlich lange im Kreis große Menge Iterationen stoppt der Iterationsprozess und dieser Rasterpunkt wird schwarz gefärbt).

3. Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die entstehen, wenn einige ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert werden. In diesem Fall sind die resultierenden Objekte natürlichen Objekten sehr ähnlich – asymmetrische Bäume, zerklüftete Küsten usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden zur Modellierung von Gelände- und Meeresoberflächen verwendet.
Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung in deterministische (algebraische und geometrische) und nichtdeterministische (stochastische) Fraktale.

Über die Verwendung von Fraktalen

Erstens sind Fraktale ein Gebiet erstaunlicher mathematischer Kunst, wenn mit Hilfe einfachster Formeln und Algorithmen Bilder von außergewöhnlicher Schönheit und Komplexität entstehen! In den Konturen der konstruierten Bilder sind oft Blätter, Bäume und Blumen sichtbar.

Einige der leistungsstärksten Anwendungen von Fraktalen liegen in der Computergrafik. Dabei handelt es sich zum einen um die fraktale Komprimierung von Bildern, zum anderen um die Konstruktion von Landschaften, Bäumen, Pflanzen und die Erzeugung fraktaler Texturen. Die moderne Physik und Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen. Und natürlich werden Fraktale direkt in der Mathematik selbst verwendet.
Die Vorteile fraktaler Bildkomprimierungsalgorithmen liegen in der sehr geringen Größe der gepackten Datei und der kurzen Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können skaliert werden, ohne dass es zu Pixelbildung kommt. Aber der Komprimierungsprozess dauert lange Zeit und dauert manchmal stundenlang. Mit dem fraktalen verlustbehafteten Verpackungsalgorithmus können Sie die Komprimierungsstufe festlegen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Teilen des Bildes, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur welches Stück welchem ​​ähnlich ist, wird in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird üblicherweise ein quadratisches Raster verwendet (Stücke sind Quadrate), was bei der Wiederherstellung des Bildes zu einer leichten Winkligkeit führt; ein sechseckiges Raster hat diesen Nachteil nicht.
Iterated hat ein neues Bildformat entwickelt, „Sting“, das verlustfreie Fraktal- und „Wave“-Komprimierung (z. B. JPEG) kombiniert. Das neue Format ermöglicht die Erstellung von Bildern mit der Möglichkeit einer anschließenden hochwertigen Skalierung, wobei das Volumen der Grafikdateien 15-20 % des Volumens unkomprimierter Bilder beträgt.
Die Tendenz von Fraktalen, Bergen, Blumen und Bäumen zu ähneln, wird von einigen Grafikeditoren ausgenutzt, beispielsweise fraktale Wolken aus dem 3D-Studio MAX, fraktale Berge in World Builder. Fraktale Bäume, Berge und ganze Landschaften werden durch einfache Formeln definiert, sind leicht zu programmieren und zerfallen bei Annäherung nicht in einzelne Dreiecke und Würfel.
Man kann die Verwendung von Fraktalen in der Mathematik selbst nicht ignorieren. In der Mengenlehre beweist die Cantor-Menge die Existenz perfekter nirgendwo dichter Mengen; in der Maßtheorie ist die selbstaffine Funktion „Cantors Leiter“ ein gutes Beispiel für eine Verteilungsfunktion eines singulären Maßes.
In der Mechanik und Physik werden Fraktale aufgrund ihrer einzigartigen Eigenschaft verwendet, die Umrisse vieler natürlicher Objekte zu wiederholen. Mit Fraktalen können Sie Bäume, Bergoberflächen und Risse mit höherer Genauigkeit annähern als Annäherungen mithilfe von Sätzen von Segmenten oder Polygonen (mit der gleichen Menge an gespeicherten Daten). Fraktale Modelle haben wie natürliche Objekte eine „Rauheit“, und diese Eigenschaft bleibt erhalten, egal wie stark die Vergrößerung des Modells ist. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht die Anwendung von Integration und Potentialtheorie und deren Verwendung anstelle von Standardobjekten in bereits untersuchten Gleichungen.
Mit einem fraktalen Ansatz hört das Chaos auf, blaue Unordnung zu sein, und erhält eine feine Struktur. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit der Fraktale ist noch lange nicht erschöpft und wird uns noch viele Meisterwerke bescheren – solche, die das Auge erfreuen, und solche, die dem Geist wahre Freude bereiten.

Über die Konstruktion von Fraktalen

Sukzessive Approximationsmethode

Wenn man sich dieses Bild ansieht, ist es nicht schwer zu verstehen, wie man ein selbstähnliches Fraktal (in diesem Fall die Sierpinski-Pyramide) bauen kann. Wir müssen eine regelmäßige Pyramide (Tetraeder) nehmen und dann deren Mitte (Oktaeder) ausschneiden, sodass vier kleine Pyramiden entstehen. Mit jedem von ihnen führen wir den gleichen Vorgang usw. durch. Das ist eine etwas naive, aber klare Erklärung.

Betrachten wir das Wesen der Methode genauer. Es soll ein IFS-System geben, d.h. Komprimierungs-Mapping-System S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (Beispielsweise haben die Abbildungen für unsere Pyramide die Form S i (x)=1/2*x+o i , wobei o i sind die Eckpunkte des Tetraeders, i=1,..,4). Dann wählen wir eine kompakte Menge A 1 im R n (in unserem Fall wählen wir ein Tetraeder). Und wir definieren durch Induktion die Folge der Mengen A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Es ist bekannt, dass sich die Mengen A k mit zunehmendem k dem gewünschten Attraktor des Systems immer besser annähern S.

Beachten Sie, dass jede dieser Iterationen ein Attraktor ist wiederkehrendes System iterierter Funktionen (Englischer Begriff Digraph IFS, Gewehre und auch Graphgesteuertes IFS) und sind daher mit unserem Programm einfach zu erstellen.

Punkt-für-Punkt- oder probabilistische Methode

Dies ist die am einfachsten auf einem Computer zu implementierende Methode. Der Einfachheit halber betrachten wir den Fall einer flachen selbstaffinen Menge. Also sei (S

) - ein System affiner Kontraktionen. Anzeige S

vertretbar als: S

Feste Matrixgröße 2x2 und o

Zweidimensionale Vektorspalte.

• Nehmen wir den Fixpunkt der ersten Abbildung S 1 als Ausgangspunkt:
  x:= o1;
  Hier machen wir uns die Tatsache zunutze, dass alle festen Kompressionspunkte S 1 ,..,S m zum Fraktal gehören. Sie können einen beliebigen Punkt als Startpunkt auswählen und die von ihm erzeugte Punktfolge wird zu einem Fraktal gezeichnet, dann erscheinen jedoch mehrere zusätzliche Punkte auf dem Bildschirm.
• Markieren wir den aktuellen Punkt x=(x 1 ,x 2) auf dem Bildschirm:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Wählen wir zufällig eine Zahl j von 1 bis m und berechnen wir die Koordinaten von Punkt x neu:
  j:=Random(m)+1;
  x:=S j (x);
• Wir gehen zu Schritt 2 oder hören auf, wenn wir eine ausreichend große Anzahl von Iterationen durchgeführt haben.

Notiz. Wenn die Komprimierungsverhältnisse der Abbildungen S i unterschiedlich sind, wird das Fraktal ungleichmäßig mit Punkten gefüllt. Wenn die Abbildungen S i ähnlich sind, kann dies durch eine leichte Komplizierung des Algorithmus vermieden werden. Dazu muss im 3. Schritt des Algorithmus die Zahl j von 1 bis m mit Wahrscheinlichkeiten p 1 =r 1 s,..,p m =r m s gewählt werden, wobei r i die Kompressionskoeffizienten der Abbildungen Si bezeichnen, und Die Zahl s (Ähnlichkeitsdimension genannt) ergibt sich aus der Gleichung r 1 s +...+r m s =1. Die Lösung dieser Gleichung kann beispielsweise mit der Newton-Methode gefunden werden.

Über Fraktale und ihre Algorithmen

Fraktal kommt vom lateinischen Adjektiv „fractus“ und bedeutet in der Übersetzung „aus Fragmenten bestehen“, und das entsprechende lateinische Verb „frangere“ bedeutet brechen, also unregelmäßige Fragmente erzeugen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre bei Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Der Begriff wurde 1975 von Benoit Mandelbrot geprägt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, mit denen er sich beschäftigte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff).

Anpassungen

Lassen Sie mich einige Anpassungen an den im Buch von H.-O. vorgeschlagenen Algorithmen vornehmen. Peitgen und P.H. Richter „Die Schönheit der Fraktale“ M. 1993 dienten mir lediglich dazu, Tippfehler zu beseitigen und das Verständnis der Prozesse zu erleichtern, da mir nach dem Studium vieles noch ein Rätsel blieb. Leider führen diese „verständlichen“ und „einfachen“ Algorithmen einen rockigen Lebensstil.

Die Konstruktion von Fraktalen basiert auf einer bestimmten nichtlinearen Funktion eines komplexen Prozesses mit Rückkopplung z => z 2 +c, da z und c komplexe Zahlen sind, dann z = x + iy, c = p + iq es ist notwendig, es zu zerlegen in x und y, um realistischer vorzugehen gewöhnlicher Mensch Flugzeug:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Eine Ebene, die aus allen Paaren (x,y) besteht, kann wie bei festen Werten betrachtet werden p und q, und mit dynamischen. Im ersten Fall geht man alle Punkte (x, y) der Ebene gemäß dem Gesetz durch und färbt sie abhängig von der Anzahl der Wiederholungen der Funktion, die zum Beenden des iterativen Prozesses erforderlich sind, oder färbt sie nicht (schwarze Farbe). Wird das zulässige Maximum an Wiederholungen überschritten, erhalten wir eine Anzeige der Julia-Menge. Wenn wir im Gegenteil das anfängliche Wertepaar (x,y) bestimmen und sein koloristisches Schicksal mit sich dynamisch ändernden Werten der Parameter p und q verfolgen, dann erhalten wir Bilder, die Mandelbrot-Mengen genannt werden.

Zur Frage der Algorithmen zum Färben von Fraktalen.

Normalerweise wird der Körper einer Menge als schwarzes Feld dargestellt, obwohl es offensichtlich ist, dass schwarze Farbe durch jede andere ersetzt werden kann, aber das ist auch ein wenig interessantes Ergebnis. Ein Bild einer in allen Farben gefärbten Menge zu erhalten, ist eine Aufgabe, die nicht mit zyklischen Operationen gelöst werden kann, weil Die Anzahl der Iterationen der den Körper bildenden Mengen ist gleich dem maximal möglichen und immer gleich. Es ist möglich, eine Menge in verschiedenen Farben einzufärben, indem man das Ergebnis der Überprüfung der Schleifenausgangsbedingung (z_magnitude) oder etwas Ähnliches, aber mit anderen mathematischen Operationen, als Farbzahl verwendet.

Anwendung eines „Fraktalmikroskops“

Grenzphänomene zu demonstrieren.

Attraktoren sind Zentren, die den Kampf um die Vorherrschaft auf der Ebene anführen. Zwischen den Attraktoren erscheint eine Grenze, die ein blumiges Muster darstellt. Indem man den Betrachtungsumfang innerhalb der Grenzen der Menge vergrößert, kann man nicht-triviale Muster erhalten, die den Zustand des deterministischen Chaos widerspiegeln – ein häufiges Phänomen in der natürlichen Welt.

Die von Geographen untersuchten Objekte bilden ein System mit sehr komplex organisierten Grenzen, und daher ist ihre Identifizierung keine einfache praktische Aufgabe. Naturkomplexe verfügen über typische Kerne, die als Attraktoren wirken und ihren Einfluss auf das Territorium verlieren, wenn es sich entfernt.

Mit einem fraktalen Mikroskop für die Mandelbrot- und Julia-Menge kann man sich unabhängig vom Betrachtungsmaßstab eine Vorstellung von Grenzprozessen und Phänomenen machen, die gleich komplex sind, und so die Wahrnehmung des Spezialisten auf eine Begegnung mit der Dynamik und auf den ersten Blick vorbereiten , chaotisch in Raum und Zeit natürliches Objekt, zum Verständnis der fraktalen Geometrie der Natur. Die bunten Farben und die fraktale Musik werden definitiv einen tiefen Eindruck im Gedächtnis der Schüler hinterlassen.

Tausende Veröffentlichungen und umfangreiche Internetressourcen widmen sich den Fraktalen, doch für viele Spezialisten fernab der Informatik scheint dieser Begriff völlig neu zu sein. Fraktale sollten als Objekte, die für Spezialisten verschiedener Wissensgebiete von Interesse sind, einen angemessenen Platz in Informatikkursen erhalten.

Beispiele

SIEPINSKI-GITTER

Dies ist eines der Fraktale, mit denen Mandelbrot experimentiert hat, als er die Konzepte fraktaler Dimensionen und Iterationen entwickelte. Dreiecke, die durch Verbinden der Mittelpunkte eines größeren Dreiecks entstehen, werden aus dem Hauptdreieck herausgeschnitten, wodurch ein Dreieck mit mehr Löchern entsteht. In diesem Fall ist der Initiator das große Dreieck und die Vorlage ist der Vorgang des Ausschneidens ähnlicher Dreiecke wie das größere. Sie können auch eine dreidimensionale Version eines Dreiecks erhalten, indem Sie ein gewöhnliches Tetraeder verwenden und kleine Tetraeder ausschneiden. Die Dimension eines solchen Fraktals beträgt ln3/ln2 = 1,584962501. Um zu bekommen Sierpinski-Teppich, nimm ein Quadrat, teile es in neun Quadrate und schneide das mittlere aus. Das Gleiche machen wir auch mit den restlichen, kleineren Quadraten. Schließlich entsteht ein flaches fraktales Gitter ohne Fläche, aber mit unendlichen Verbindungen. In seiner räumlichen Form verwandelt sich der Sierpinski-Schwamm in ein System durchgehender Formen, in dem jedes durchgehende Element ständig durch ein eigenes ersetzt wird. Diese Struktur ist einem Knochengewebeabschnitt sehr ähnlich. Eines Tages werden solche sich wiederholenden Strukturen zu einem Element von Baustrukturen werden. Mandelbrot ist der Ansicht, dass ihre Statik und Dynamik eine eingehende Untersuchung verdient.

KOCH-KURVE

Die Koch-Kurve ist eines der typischsten deterministischen Fraktale. Es wurde im 19. Jahrhundert von einem deutschen Mathematiker namens Helge von Koch erfunden, der beim Studium der Arbeiten von Georg Kontor und Karl Weierstraße auf Beschreibungen einiger seltsamer Kurven mit ungewöhnlichem Verhalten stieß. Der Initiator ist eine gerade Linie. Der Generator ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seiten einem Drittel der Länge des größeren Segments entsprechen. Diese Dreiecke werden immer wieder in der Mitte jedes Segments hinzugefügt. In seiner Forschung experimentierte Mandelbrot ausführlich mit Koch-Kurven und erstellte Figuren wie Koch-Inseln, Koch-Kreuze, Koch-Schneeflocken und sogar dreidimensionale Darstellungen der Koch-Kurve, indem er ein Tetraeder verwendete und zu jeder seiner Flächen kleinere Tetraeder hinzufügte. Die Koch-Kurve hat die Dimension ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT-FRAKTAL

Dies ist NICHT die Mandelbrot-Menge, die man oft sieht. Die Mandelbrot-Menge basiert auf nichtlinearen Gleichungen und ist ein komplexes Fraktal. Dies ist ebenfalls eine Variante der Koch-Kurve, obwohl dieses Objekt dieser nicht ähnlich ist. Auch der Initiator und der Generator unterscheiden sich von denen, die zur Erzeugung von Fraktalen nach dem Koch-Kurven-Prinzip verwendet werden, die Idee bleibt jedoch dieselbe. Anstatt beizutreten gleichseitige Dreiecke Zu einem Kurvensegment werden Quadrate zum Quadrat hinzugefügt. Aufgrund der Tatsache, dass dieses Fraktal bei jeder Iteration genau die Hälfte des zugewiesenen Platzes einnimmt, hat es eine einfache fraktale Dimension von 3/2 = 1,5.

Wagemutigeres Fünfeck

Ein Fraktal sieht aus wie ein Bündel zusammengedrückter Fünfecke. Tatsächlich entsteht es durch die Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke, bei denen das Verhältnis der größeren Seite zur kleineren Seite genau dem sogenannten Goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1/(2cos72)) als Generator entspricht . Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks herausgeschnitten, sodass eine Form entsteht, die wie fünf kleine Fünfecke aussieht, die an ein großes Fünfeck geklebt sind. Eine Variante dieses Fraktals kann durch die Verwendung eines Sechsecks als Initiator erhalten werden. Dieses Fraktal wird Davidstern genannt und ähnelt einer sechseckigen Version der Koch-Schneeflocke. Die fraktale Dimension des Darer-Fünfecks beträgt ln6/ln(1+g), wobei g das Verhältnis der Länge der größeren Seite des Dreiecks zur Länge der kleineren Seite ist. In diesem Fall ist g Goldener Anteil, also beträgt die fraktale Dimension ungefähr 1,86171596. Fraktale Dimension des Davidsterns ln6/ln3 oder 1,630929754.

Komplexe Fraktale

Wenn Sie einen kleinen Bereich eines komplexen Fraktals vergrößern und dann dasselbe mit einem kleinen Bereich dieses Bereichs tun, unterscheiden sich die beiden Vergrößerungen tatsächlich erheblich voneinander. Die beiden Bilder werden sich im Detail sehr ähneln, aber nicht völlig identisch sein.

Abbildung 1. Mandelbrot-Set-Näherung

Vergleichen Sie zum Beispiel die hier gezeigten Bilder der Mandelbrot-Menge, von denen eines durch Vergrößerung eines bestimmten Bereichs des anderen erhalten wurde. Wie Sie sehen, sind sie absolut nicht identisch, obwohl wir auf beiden einen schwarzen Kreis sehen, aus dem sich brennende Tentakel in verschiedene Richtungen erstrecken. Diese Elemente werden in der Mandelbrot-Menge in abnehmenden Anteilen auf unbestimmte Zeit wiederholt.

Deterministische Fraktale sind linear, komplexe Fraktale hingegen nicht. Da diese Fraktale nichtlinear sind, werden sie durch das erzeugt, was Mandelbrot als nichtlinear bezeichnete algebraische Gleichungen. Gutes Beispiel ist der Prozess Zn+1=ZnІ + C, der die Gleichung ist, die zur Konstruktion der Mandelbrot- und Julia-Menge zweiten Grades verwendet wird. Die Lösung dieser mathematischen Gleichungen erfordert komplexe und imaginäre Zahlen. Wenn die Gleichung in der komplexen Ebene grafisch interpretiert wird, ergibt sich eine seltsame Figur, in der gerade Linien zu Kurven werden und Selbstähnlichkeitseffekte, wenn auch nicht ohne Deformationen, auf verschiedenen Skalenebenen auftreten. Gleichzeitig ist das Gesamtbild unvorhersehbar und sehr chaotisch.

Wie Sie anhand der Bilder sehen können, sind komplexe Fraktale tatsächlich sehr komplex und können nicht ohne die Hilfe eines Computers erstellt werden. Um farbenfrohe Ergebnisse zu erzielen, muss dieser Computer über einen leistungsstarken mathematischen Coprozessor und einen hochauflösenden Monitor verfügen. Im Gegensatz zu deterministischen Fraktalen werden komplexe Fraktale nicht in 5–10 Iterationen berechnet. Fast jeder Punkt auf einem Computerbildschirm ist wie ein separates Fraktal. Bei der mathematischen Verarbeitung wird jeder Punkt als separate Zeichnung behandelt. Jeder Punkt entspricht einem bestimmten Wert. Die Gleichung ist für jeden Punkt eingebaut und wird beispielsweise in 1000 Iterationen durchgeführt. Um in einem für Heimcomputer akzeptablen Zeitraum ein relativ unverzerrtes Bild zu erhalten, ist es möglich, 250 Iterationen für einen Punkt durchzuführen.

Die meisten Fraktale, die wir heute sehen, sind wunderschön gefärbt. Vielleicht erlangen fraktale Bilder gerade aufgrund ihrer Farbgebung eine so große ästhetische Bedeutung. Nachdem die Gleichung berechnet wurde, analysiert der Computer die Ergebnisse. Wenn die Ergebnisse stabil bleiben oder um einen bestimmten Wert schwanken, wird der Punkt normalerweise schwarz. Wenn der Wert bei der einen oder anderen Stufe gegen Unendlich geht, wird der Punkt in einer anderen Farbe dargestellt, vielleicht blau oder rot. Dabei ordnet der Computer allen Bewegungsgeschwindigkeiten Farben zu.

Typischerweise sind sich schnell bewegende Punkte rot gefärbt, langsamere dagegen gelb usw. Dunkle Flecken sind wahrscheinlich am stabilsten.

Komplexe Fraktale unterscheiden sich von deterministischen Fraktalen dadurch, dass sie unendlich komplex sind, aber dennoch durch eine sehr einfache Formel erzeugt werden können. Deterministische Fraktale erfordern keine Formeln oder Gleichungen. Nehmen Sie einfach etwas Zeichenpapier und Sie können problemlos ein Sierpinski-Sieb in bis zu 3 oder 4 Iterationen bauen. Versuchen Sie es mit viel Julia! Es ist einfacher, die Länge der englischen Küste zu messen!

MANDELBROT-SET

Abb. 2. Mandelbrot-Menge

Mandelbrot- und Julia-Mengen sind wahrscheinlich die beiden häufigsten unter komplexen Fraktalen. Sie sind in vielen wissenschaftlichen Zeitschriften, Buchumschlägen, Postkarten und Bildschirmschonern auf Computern zu finden. Die Mandelbrot-Menge, die von Benoit Mandelbrot konstruiert wurde, ist wahrscheinlich die erste Assoziation, die Menschen haben, wenn sie das Wort Fraktal hören. Dieses Fraktal, das einer Karde mit daran befestigten flammenbaumartigen und kreisförmigen Bereichen ähnelt, wird durch die einfache Formel Zn+1=Zna+C erzeugt, wobei Z und C komplexe Zahlen sind und a eine positive Zahl ist.

Die am häufigsten vorkommende Mandelbrot-Menge ist die Mandelbrot-Menge 2. Grades, also a = 2. Die Tatsache, dass die Mandelbrot-Menge nicht nur Zn+1=ZnІ+C ist, sondern ein Fraktal, dessen Exponent in der Formel beliebig sein kann positive Zahl hat viele in die Irre geführt. Auf dieser Seite sehen Sie ein Beispiel für die Mandelbrot-Menge für unterschiedliche Bedeutungen Indikator a.
Abbildung 3. Das Auftreten von Blasen bei a=3,5

Beliebt ist auch der Prozess Z=Z*tg(Z+C). Durch Einbeziehung der Tangensfunktion erhält man eine Mandelbrot-Menge, die von einer Fläche umgeben ist, die einem Apfel ähnelt. Bei Verwendung der Kosinusfunktion werden Luftblaseneffekte erzielt. Kurz gesagt, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Mandelbrot-Menge zu konfigurieren, um unterschiedlich schöne Bilder zu erzeugen.

VIEL JULIA

Überraschenderweise werden Julia-Mengen nach der gleichen Formel gebildet wie die Mandelbrot-Menge. Die Julia-Menge wurde vom französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem die Menge benannt wurde. Die erste Frage, die sich nach einer visuellen Bekanntschaft mit den Mandelbrot- und Julia-Mengen stellt, lautet: „Wenn beide Fraktale nach derselben Formel generiert werden, warum sind sie dann so unterschiedlich?“ Schauen Sie sich zunächst die Bilder des Julia-Sets an. Seltsamerweise gibt es verschiedene Arten von Julia-Sets. Wenn Sie ein Fraktal mit unterschiedlichen Startpunkten zeichnen (um den Iterationsprozess zu starten), werden unterschiedliche Bilder generiert. Dies gilt nur für die Julia-Menge.

Abbildung 4. Julia-Menge

Obwohl es auf dem Bild nicht zu sehen ist, besteht ein Mandelbrot-Fraktal tatsächlich aus vielen miteinander verbundenen Julia-Fraktalen. Jeder Punkt (oder jede Koordinate) der Mandelbrot-Menge entspricht einem Julia-Fraktal. Mit diesen Punkten als Anfangswerten in der Gleichung Z=ZI+C können Julia-Mengen erzeugt werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie das Julia-Fraktal erhalten, wenn Sie einen Punkt auf dem Mandelbrot-Fraktal auswählen und vergrößern. Diese beiden Punkte sind identisch, jedoch nur im mathematischen Sinne. Wenn Sie diesen Punkt nehmen und ihn mit dieser Formel berechnen, können Sie ein Julia-Fraktal erhalten, das einem bestimmten Punkt des Mandelbrot-Fraktals entspricht.