So finden Sie Beispiele für Odz-Gleichungen. Der Bereich akzeptabler Werte ist eine Lösung. Bereich der trigonometrischen Funktionen

Wie ?
Beispiele für Lösungen

Wenn irgendwo etwas fehlt, bedeutet das, dass irgendwo etwas ist

Wir studieren weiterhin den Abschnitt „Funktionen und Graphen“ und die nächste Station unserer Reise ist. Aktive Diskussion dieses Konzept begann im Artikel über Mengen und fuhr in der ersten Lektion über fort Funktionsgraphen, wo ich elementare Funktionen und insbesondere ihre Definitionsbereiche untersuchte. Daher empfehle ich Dummies, mit den Grundlagen des Themas zu beginnen, da ich nicht noch einmal auf einige grundlegende Punkte eingehen werde.

Es wird davon ausgegangen, dass der Leser den Definitionsbereich der folgenden Funktionen kennt: linear, quadratisch, kubische Funktion, Polynome, Exponential, Sinus, Cosinus. Sie sind definiert auf (die Menge aller reellen Zahlen). Für Tangenten, Arkussinus, sei es so, ich verzeihe dir =) - seltenere Graphen bleiben einem nicht sofort in Erinnerung.

Der Umfang der Definition scheint eine einfache Sache zu sein, und es stellt sich die logische Frage: Worum geht es in dem Artikel? In dieser Lektion werde ich mich mit häufigen Problemen bei der Bestimmung des Definitionsbereichs einer Funktion befassen. Darüber hinaus werden wir es wiederholen Ungleichungen mit einer Variablen, deren Lösungsfähigkeiten bei anderen Aufgaben gefragt sein werden höhere Mathematik. Bei dem Material handelt es sich übrigens ausschließlich um Schulmaterial, sodass es nicht nur für Schüler, sondern auch für Schüler nützlich sein wird. Die Informationen erheben natürlich nicht den Anspruch, enzyklopädisch zu sein, aber hier handelt es sich nicht um weit hergeholte „tote“ Beispiele, sondern um geröstete Kastanien, die echten praktischen Arbeiten entnommen sind.

Beginnen wir mit einem kurzen Einblick in das Thema. Kurz zur Hauptsache: Es handelt sich um eine Funktion einer Variablen. Sein Definitionsbereich ist viele Bedeutungen von „x“, wofür existieren Bedeutungen von „Spielern“. Schauen wir uns ein hypothetisches Beispiel an:

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist eine Vereinigung von Intervallen:
(Für diejenigen, die es vergessen haben: - Vereinigungssymbol). Mit anderen Worten, wenn Sie einen Wert von „x“ aus dem Intervall oder aus oder aus nehmen, dann gibt es für jedes dieser „x“ einen Wert „y“.

Grob gesagt gibt es dort, wo sich der Definitionsbereich befindet, einen Graphen der Funktion. Aber das Halbintervall und der „tse“-Punkt sind nicht im Definitionsbereich enthalten und es gibt dort keine Grafik.

Wie finde ich den Definitionsbereich einer Funktion? Viele Menschen erinnern sich an den Kinderreim: „Stein, Papier, Schere“, und in diesem Fall kann man ihn getrost umschreiben: „Wurzel, Bruch und Logarithmus“. Also, wenn Sie Lebensweg Wenn Sie auf einen Bruch, eine Wurzel oder einen Logarithmus stoßen, sollten Sie sofort sehr, sehr vorsichtig sein! Tangens, Kotangens, Arkussinus und Arkuskosinus sind viel seltener, und wir werden auch über sie sprechen. Doch zunächst Skizzen aus dem Leben der Ameisen:

Domäne einer Funktion, die einen Bruch enthält

Angenommen, wir erhalten eine Funktion, die einen Bruch enthält. Wie Sie wissen, können Sie nicht durch Null dividieren: , also jene „X“-Werte, die den Nenner auf Null drehen, fallen nicht in den Umfang dieser Funktion.

Ich werde nicht auf die einfachsten Funktionen eingehen, z usw., da jeder perfekt Punkte sieht, die nicht in seinem Definitionsbereich enthalten sind. Schauen wir uns bedeutungsvollere Brüche an:

Beispiel 1

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: Der Zähler enthält nichts Besonderes, aber der Nenner muss ungleich Null sein. Setzen wir es gleich Null und versuchen wir, die „schlechten“ Punkte zu finden:

Die resultierende Gleichung hat zwei Wurzeln: . Datenwerte liegen nicht im Funktionsumfang. Ersetzen Sie tatsächlich oder in der Funktion und Sie werden sehen, dass der Nenner gegen Null geht.

Antwort: Domäne:

Der Eintrag lautet wie folgt: „Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen mit Ausnahme der aus Werten bestehenden Menge.“ " Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Backslash-Symbol in der Mathematik für logische Subtraktion steht und geschweifte Klammern für Menge stehen. Die Antwort kann äquivalent als Vereinigung von drei Intervallen geschrieben werden:

Wem es gefällt.

An Punkten Funktion toleriert endlose Pausen, und gerade Linien, durch Gleichungen gegeben Sind vertikale Asymptoten für den Graphen dieser Funktion. Dies ist jedoch ein etwas anderes Thema, und ich werde diesem Thema im weiteren Verlauf nicht viel Aufmerksamkeit widmen.

Beispiel 2

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Die Aufgabe ist im Wesentlichen mündlich und viele von Ihnen werden den Definitionsbereich fast sofort finden. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wird ein Bruch immer „schlecht“ sein? Nein. Beispielsweise wird eine Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert. Egal welchen Wert von „x“ wir annehmen, der Nenner geht nicht auf Null, außerdem wird er immer positiv sein: . Somit ist der Umfang dieser Funktion: .

Alle Funktionen wie definiert und kontinuierlich An .

Etwas komplizierter ist die Situation, wenn der Nenner besetzt ist quadratisches Trinom:

Beispiel 3

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: Versuchen wir, die Punkte zu finden, an denen der Nenner auf Null geht. Dafür werden wir uns entscheiden quadratische Gleichung:

Es stellte sich heraus, dass die Diskriminante negativ war, was bedeutet, dass es keine echten Wurzeln gibt und unsere Funktion auf der gesamten Zahlenachse definiert ist.

Antwort: Domäne:

Beispiel 4

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion. Ich rate Ihnen, bei einfachen Problemen nicht faul zu sein, da sich bei weiteren Beispielen Missverständnisse häufen.

Domäne einer Funktion mit einer Wurzel

Die Quadratwurzelfunktion ist nur für die Werte von „x“ definiert, wenn Der radikale Ausdruck ist nicht negativ: . Liegt die Wurzel im Nenner, dann ist die Bedingung offensichtlich verschärft: . Ähnliche Berechnungen gelten für jede Wurzel mit positivem geradem Grad: , allerdings ist die Wurzel bereits 4. Grades in Funktionsstudien Ich erinnere mich nicht.

Beispiel 5

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: Der radikale Ausdruck darf nicht negativ sein:

Bevor ich mit der Lösung fortfahre, möchte ich Sie an die aus der Schule bekannten Grundregeln für die Arbeit mit Ungleichheiten erinnern.

Ich appelliere Besondere Aufmerksamkeit! Jetzt betrachten wir Ungleichheiten mit einer Variablen- das heißt, für uns gibt es nur eine Dimension entlang der Achse. Bitte nicht verwechseln mit Ungleichungen zweier Variablen, wobei die gesamte Koordinatenebene geometrisch beteiligt ist. Es gibt jedoch auch angenehme Zufälle! Für Ungleichheit sind also die folgenden Transformationen äquivalent:

1) Die Bedingungen können von Teil zu Teil übertragen werden, indem sie (die Bedingungen) geändert werden. Zeichen.

2) Beide Seiten der Ungleichung können mit einer positiven Zahl multipliziert werden.

3) Wenn beide Seiten der Ungleichung mit multipliziert werden Negativ Nummer, dann müssen Sie ändern Zeichen der Ungleichheit selbst. Wenn es zum Beispiel „mehr“ gab, wird es „weniger“; wenn es „kleiner als oder gleich“ war, dann wird es zu „größer als oder gleich“.

In der Ungleichung verschieben wir die „Drei“ mit Vorzeichenwechsel auf die rechte Seite (Regel Nr. 1):

Multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit –1 (Regel Nr. 3):

Multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit (Regel Nr. 2):

Antwort: Domäne:

Die Antwort kann auch in einem äquivalenten Satz geschrieben werden: „Die Funktion ist definiert bei.“
Geometrisch wird der Definitionsbereich durch die Schattierung der entsprechenden Intervalle auf der Abszissenachse dargestellt. In diesem Fall:

Ich erinnere Sie noch einmal daran geometrische Bedeutung Definitionsbereich – Graph einer Funktion existiert nur im schattierten Bereich und fehlt bei .

In den meisten Fällen ist eine rein analytische Bestimmung des Definitionsbereichs geeignet, bei sehr komplizierten Funktionen sollte man jedoch eine Achse zeichnen und Notizen machen.

Beispiel 6

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können.

Wenn unter der Quadratwurzel ein Quadratbinomial oder -trinom steht, wird die Situation etwas komplizierter, und jetzt analysieren wir die Lösungstechnik im Detail:

Beispiel 7

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: Der radikale Ausdruck muss streng positiv sein, das heißt, wir müssen die Ungleichung lösen. Im ersten Schritt versuchen wir, das quadratische Trinom zu faktorisieren:

Die Diskriminante ist positiv, wir suchen nach Wurzeln:

Also die Parabel schneidet die Abszissenachse an zwei Punkten, was bedeutet, dass ein Teil der Parabel unterhalb der Achse liegt (Ungleichung) und ein Teil der Parabel oberhalb der Achse liegt (die Ungleichung, die wir brauchen).

Da der Koeffizient gleich ist, zeigen die Äste der Parabel nach oben. Daraus folgt, dass die Ungleichung in den Intervallen erfüllt ist (die Äste der Parabel gehen nach oben ins Unendliche) und der Scheitelpunkt der Parabel in dem Intervall unterhalb der x-Achse liegt, was der Ungleichung entspricht:

! Notiz: Wenn Sie die Erklärungen nicht vollständig verstehen, zeichnen Sie bitte die zweite Achse und die gesamte Parabel! Es ist ratsam, zum Artikel und zum Handbuch zurückzukehren Heiße Formeln für den Schulmathematikkurs.

Bitte beachten Sie, dass die Punkte selbst entfernt werden (nicht in der Lösung enthalten), da unsere Ungleichung streng ist.

Antwort: Domäne:

Im Allgemeinen werden viele Ungleichungen (einschließlich der betrachteten) durch das Universelle gelöst Intervallmethode, wieder bekannt aus dem Schullehrplan. Aber bei quadratischen Binomialen und Trinomen ist es meiner Meinung nach viel bequemer und schneller, die Lage der Parabel relativ zur Achse zu analysieren. Und wir werden die Hauptmethode – die Intervallmethode – im Artikel ausführlich analysieren. Funktionsnullstellen. Konstanzintervalle.

Beispiel 8

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Das Beispiel kommentiert ausführlich die Logik des Denkens + die zweite Lösungsmethode und eine weitere wichtige Transformation der Ungleichheit, ohne deren Kenntnis der Schüler auf einem Bein hinken wird ..., ...hmm ... vielleicht war ich aufgeregt etwa am Bein, eher an einem Zeh. Daumen.

Kann eine Quadratwurzelfunktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert werden? Sicherlich. Alle bekannten Gesichter: . Oder eine ähnliche Summe mit einem Exponenten: . Tatsächlich gilt für alle Werte von „x“ und „ka“: , also auch und .

Hier ist ein weniger offensichtliches Beispiel: . Hier ist die Diskriminante negativ (die Parabel schneidet die x-Achse nicht), während die Äste der Parabel nach oben gerichtet sind, daher der Definitionsbereich: .

Die entgegengesetzte Frage: Kann der Definitionsbereich einer Funktion sein? leer? Ja, und ein primitives Beispiel drängt sich sofort auf , wobei der Wurzelausdruck für jeden Wert von „x“ negativ ist, und der Definitionsbereich: (leeres Mengensymbol). Eine solche Funktion ist überhaupt nicht definiert (natürlich ist der Graph auch illusorisch).

Mit seltsamen Wurzeln usw. Alles ist viel besser - hier radikaler Ausdruck kann negativ sein. Beispielsweise wird eine Funktion auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert. Allerdings hat die Funktion einen einzelnen Punkt, der noch nicht im Definitionsbereich enthalten ist, da der Nenner auf Null gesetzt ist. Aus dem gleichen Grund für die Funktion Punkte sind ausgeschlossen.

Definitionsbereich einer Funktion mit Logarithmus

Die dritte gemeinsame Funktion ist der Logarithmus. Als Beispiel werde ich zeichnen natürlicher Logarithmus, was in etwa 99 von 100 Beispielen vorkommt. Wenn eine bestimmte Funktion einen Logarithmus enthält, sollte ihr Definitionsbereich nur die Werte von „x“ umfassen, die die Ungleichung erfüllen. Wenn der Logarithmus im Nenner steht: , dann zusätzlich eine Bedingung wird gestellt (seit ).

Beispiel 9

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: In Übereinstimmung mit dem oben Gesagten werden wir das System zusammenstellen und lösen:

Grafische Lösung für Dummies:

Antwort: Domäne:

Ich werde noch auf einen weiteren technischen Punkt eingehen: Ich habe den Maßstab nicht angegeben und die Unterteilungen entlang der Achse sind nicht markiert. Es stellt sich die Frage: Wie erstellt man solche Zeichnungen in einem Notizbuch auf kariertem Papier? Sollte der Abstand zwischen Punkten durch Zellen streng nach Maßstab gemessen werden? Es ist natürlich kanonischer und strenger im Maßstab, aber auch eine schematische Zeichnung, die grundsätzlich die Situation widerspiegelt, ist durchaus akzeptabel.

Beispiel 10

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Um das Problem zu lösen, können Sie die Methode des vorherigen Absatzes verwenden – analysieren Sie, wie sich die Parabel relativ zur x-Achse befindet. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Wie Sie sehen, ist im Bereich der Logarithmen alles sehr ähnlich wie bei den Quadratwurzeln: der Funktion (quadratisches Trinom aus Beispiel Nr. 7) wird über die Intervalle und die Funktion definiert (quadratisches Binomial aus Beispiel Nr. 6) auf dem Intervall . Es ist schon umständlich zu sagen, dass Typfunktionen auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind.

Eine nützliche Information : Die typische Funktion ist interessant, sie ist auf der gesamten Zahlenlinie außer dem Punkt definiert. Gemäß der Eigenschaft des Logarithmus können die „zwei“ außerhalb des Logarithmus multipliziert werden, aber damit sich die Funktion nicht ändert, muss das „x“ unter dem Modulzeichen eingeschlossen werden: . Hier ist noch einer für dich“ praktischer Nutzen» Modul =). Dies müssen Sie in den meisten Fällen beim Abriss tun sogar Abschluss, zum Beispiel: . Wenn die Basis des Grades beispielsweise offensichtlich positiv ist, ist das Modulzeichen nicht erforderlich und es reicht aus, Klammern zu verwenden: .

Um Wiederholungen zu vermeiden, komplizieren wir die Aufgabe:

Beispiel 11

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: In dieser Funktion haben wir sowohl die Wurzel als auch den Logarithmus.

Der Wurzelausdruck darf nicht negativ sein: , und der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen muss streng positiv sein: . Daher ist es notwendig, das System zu lösen:

Viele von Ihnen wissen sehr gut oder vermuten intuitiv, dass die Systemlösung zufriedenstellen muss zu jedem Zustand.

Wenn wir die Lage der Parabel relativ zur Achse untersuchen, kommen wir zu dem Schluss, dass die Ungleichung durch das Intervall (blaue Schattierung) erfüllt wird:

Die Ungleichung entspricht offensichtlich dem „roten“ Halbintervall.

Da beide Bedingungen erfüllt sein müssen gleichzeitig, dann ist die Lösung des Systems der Schnittpunkt dieser Intervalle. „Gemeinsame Interessen“ werden in der Halbzeitpause berücksichtigt.

Antwort: Domäne:

Die typische Ungleichung, wie sie in Beispiel Nr. 8 gezeigt wird, ist analytisch nicht schwer aufzulösen.

Die gefundene Domain ändert sich nicht für „ähnliche Funktionen“, z.B. oder . Sie können auch einige kontinuierliche Funktionen hinzufügen, zum Beispiel: oder so: , oder auch so: . Wie man sagt, sind die Wurzel und der Logarithmus hartnäckige Dinge. Das Einzige ist, dass sich der Definitionsbereich ändert, wenn eine der Funktionen auf den Nenner „zurückgesetzt“ wird (obwohl dies im allgemeinen Fall nicht immer zutrifft). Nun, in der Matan-Theorie zu diesem verbalen... oh... gibt es Theoreme.

Beispiel 12

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Verwendung einer Zeichnung ist durchaus sinnvoll, da die Funktion nicht die einfachste ist.

Noch ein paar Beispiele zur Verstärkung des Materials:

Beispiel 13

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: Lasst uns das System zusammenstellen und lösen:

Alle Maßnahmen wurden bereits im gesamten Artikel besprochen. Stellen wir das der Ungleichung entsprechende Intervall auf der Zahlengeraden dar und eliminieren wir gemäß der zweiten Bedingung zwei Punkte:

Die Bedeutung erwies sich als völlig irrelevant.

Antwort: Domäne

Ein kleines Mathe-Wortspiel zu einer Variation des 13. Beispiels:

Beispiel 14

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Wer es verpasst hat, hat kein Glück ;-)

Der letzte Abschnitt der Lektion ist selteneren, aber auch „funktionierenden“ Funktionen gewidmet:

Funktionsdefinitionsbereiche
mit Tangenten, Kotangenten, Arkussinus, Arkuskosinus

Wenn eine Funktion enthält, dann aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen Punkte , Wo Z– eine Menge von ganzen Zahlen. Insbesondere, wie im Artikel erwähnt Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, die Funktion ist punktiert folgende Werte:

Das heißt, der Definitionsbereich der Tangente: .

Lasst uns nicht zu viel töten:

Beispiel 15

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Lösung: In diesem Fall fallen folgende Punkte nicht in den Definitionsbereich:

Werfen wir die „Zwei“ der linken Seite in den Nenner der rechten Seite:

Ergebend :

Antwort: Domäne: .

Im Prinzip lässt sich die Antwort als Vereinigung unendlich vieler Intervalle schreiben, allerdings ist die Konstruktion sehr umständlich:

Die analytische Lösung stimmt vollständig mit überein geometrische Transformation des Graphen: Wenn das Argument einer Funktion mit 2 multipliziert wird, schrumpft ihr Graph zweimal auf die Achse. Beachten Sie, dass die Periode der Funktion halbiert wurde und Bruchstellen Häufigkeit verdoppelt. Tachykardie.

Ähnliche Geschichte mit Kotangens. Wenn eine Funktion enthält, werden die Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen. Insbesondere für die automatische Burst-Funktion fotografieren wir folgende Werte:

Mit anderen Worten:

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Jeder Ausdruck mit einer Variablen verfügt dort, wo er vorhanden ist, über einen eigenen Bereich gültiger Werte. ODZ muss bei Entscheidungen stets berücksichtigt werden. Fehlt es, erhalten Sie möglicherweise ein falsches Ergebnis.

In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie ODZ richtig finden und Beispiele verwenden. Auch die Bedeutung der Angabe der DZ bei der Entscheidungsfindung wird thematisiert.

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Gültige und ungültige Variablenwerte

Diese Definition bezieht sich auf die zulässigen Werte der Variablen. Wenn wir die Definition einführen, wollen wir sehen, zu welchem ​​Ergebnis sie führen wird.

Ab der 7. Klasse beginnen wir mit Zahlen und zu arbeiten numerische Ausdrücke. Bei den anfänglichen Definitionen mit Variablen geht es um die Bedeutung von Ausdrücken mit ausgewählten Variablen.

Wenn Ausdrücke mit ausgewählten Variablen vorhanden sind, erfüllen einige davon möglicherweise nicht die Anforderungen. Zum Beispiel ein Ausdruck der Form 1: a, wenn a = 0, dann macht es keinen Sinn, da eine Division durch Null unmöglich ist. Das heißt, der Ausdruck muss Werte haben, die in jedem Fall geeignet sind und eine Antwort geben. Mit anderen Worten: Sie machen mit den vorhandenen Variablen Sinn.

Definition 1

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht er nur dann Sinn, wenn der Wert durch deren Ersetzung berechnet werden kann.

Definition 2

Wenn es einen Ausdruck mit Variablen gibt, dann macht es keinen Sinn, wenn beim Ersetzen der Variablen der Wert nicht berechnet werden kann.

Das heißt, dies impliziert eine vollständige Definition

Definition 3

Vorhandene zulässige Variablen sind diejenigen Werte, für die der Ausdruck sinnvoll ist. Und wenn es keinen Sinn ergibt, gelten sie als inakzeptabel.

Um das Obige zu verdeutlichen: Wenn mehr als eine Variable vorhanden ist, kann es ein Paar geeigneter Werte geben.

Beispiel 1

Betrachten Sie beispielsweise einen Ausdruck der Form 1 x - y + z, bei dem es drei Variablen gibt. Andernfalls können Sie es als x = 0, y = 1, z = 2 schreiben, während ein anderer Eintrag die Form (0, 1, 2) hat. Diese Werte werden als gültig bezeichnet, was bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks gefunden werden kann. Wir erhalten 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Daraus sehen wir, dass (1, 1, 2) inakzeptabel sind. Die Substitution führt zu einer Division durch Null, also 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Was ist ODZ?

Bereich akzeptabler Werte – wichtiges Element bei der Auswertung algebraischer Ausdrücke. Daher lohnt es sich, bei Berechnungen darauf zu achten.

Definition 4

ODZ-Bereich ist die Menge der für einen bestimmten Ausdruck zulässigen Werte.

Schauen wir uns einen Beispielausdruck an.

Beispiel 2

Wenn wir einen Ausdruck der Form 5 z - 3 haben, dann hat die ODZ die Form (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . Dies ist der Bereich gültiger Werte, der die Variable z für einen bestimmten Ausdruck erfüllt.

Wenn es Ausdrücke der Form z x - y gibt, dann ist klar, dass x ≠ y, z nimmt einen beliebigen Wert an. Dies nennt man ODZ-Ausdrücke. Dies muss berücksichtigt werden, um beim Ersetzen keine Division durch Null zu erhalten.

Der zulässige Wertebereich und der Definitionsbereich haben die gleiche Bedeutung. Nur der zweite von ihnen wird für Ausdrücke verwendet, und der erste wird für Gleichungen oder Ungleichungen verwendet. Mit Hilfe von DL ergibt der Ausdruck bzw. die Ungleichung einen Sinn. Der Definitionsbereich der Funktion fällt mit dem Bereich zulässiger Werte der Variablen x für den Ausdruck f (x) zusammen.

Wie finde ich ODZ? Beispiele, Lösungen

Das Finden von ODZ bedeutet, alle gültigen Werte zu finden, die für geeignet sind gegebene Funktion oder Ungleichheit. Die Nichterfüllung dieser Bedingungen kann zu falschen Ergebnissen führen. Um die ODZ zu finden, ist es oft notwendig, Transformationen in einem bestimmten Ausdruck durchzuführen.

Es gibt Ausdrücke, bei denen ihre Berechnung unmöglich ist:

• wenn es eine Division durch Null gibt;
• Ziehen der Wurzel einer negativen Zahl;
• das Vorhandensein eines negativen Integer-Indikators – nur für positive Zahlen;
• Berechnen des Logarithmus einer negativen Zahl;
• Definitionsbereich des Tangens π 2 + π · k, k ∈ Z und des Kotangens π · k, k ∈ Z;
• Ermitteln des Werts von Arkussinus und Arkuskosinus einer Zahl für einen Wert, der nicht zu [-1; 1 ] .

All dies zeigt, wie wichtig es ist, ODZ zu haben.

Beispiel 3

Finden Sie den ODZ-Ausdruck x 3 + 2 x y − 4 .

Lösung

Jede Zahl kann gewürfelt werden. Dieser Ausdruck hat keinen Bruch, daher können die Werte von x und y beliebig sein. Das heißt, ODZ ist eine beliebige Zahl.

Antwort: x und y – beliebige Werte.

Beispiel 4

Finden Sie die ODZ des Ausdrucks 1 3 - x + 1 0.

Lösung

Es ist ersichtlich, dass es einen Bruch gibt, dessen Nenner Null ist. Das bedeutet, dass wir für jeden Wert von x eine Division durch Null erhalten. Dies bedeutet, dass wir den Schluss ziehen können, dass dieser Ausdruck als undefiniert gilt, das heißt, er hat keine zusätzliche Haftung.

Antwort: ∅ .

Beispiel 5

Finden Sie die ODZ des gegebenen Ausdrucks x + 2 · y + 3 - 5 · x.

Lösung

Das Vorhandensein einer Quadratwurzel bedeutet, dass dieser Ausdruck größer oder gleich Null sein muss. Bei negativer Wert es ergibt keinen Sinn. Dies bedeutet, dass es notwendig ist, eine Ungleichung der Form x + 2 · y + 3 ≥ 0 zu schreiben. Das heißt, dies ist der gewünschte Bereich akzeptabler Werte.

Antwort: Menge von x und y, wobei x + 2 y + 3 ≥ 0.

Beispiel 6

Bestimmen Sie den ODZ-Ausdruck der Form 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

Lösung

Aufgrund der Bedingung haben wir einen Bruch, daher sollte sein Nenner nicht gleich Null sein. Wir erhalten, dass x + 1 - 1 ≠ 0. Der Wurzelausdruck ist immer dann sinnvoll, wenn er größer oder gleich Null ist, also x + 1 ≥ 0. Da es einen Logarithmus hat, muss sein Ausdruck streng positiv sein, d. h. x 2 + 3 > 0. Die Basis des Logarithmus muss ebenfalls einen positiven Wert haben und von 1 verschieden sein, dann fügen wir die Bedingungen x + 8 > 0 und x + 8 ≠ 1 hinzu. Daraus folgt, dass die gewünschte ODZ die Form annimmt:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Mit anderen Worten spricht man von einem System von Ungleichungen mit einer Variablen. Die Lösung führt zur folgenden ODZ-Notation [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Antwort: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Warum ist es wichtig, DPD zu berücksichtigen, wenn Veränderungen vorangetrieben werden?

Bei Identitätstransformationen ist es wichtig, die ODZ zu finden. Es gibt Fälle, in denen die Existenz einer ODZ nicht vorliegt. Um zu verstehen, ob ein gegebener Ausdruck eine Lösung hat, müssen Sie die VA der Variablen des ursprünglichen Ausdrucks und die VA des resultierenden Ausdrucks vergleichen.

Identitätstransformationen:

• hat möglicherweise keinen Einfluss auf DL;
• kann zur Erweiterung oder Hinzufügung von DZ führen;
• kann die DZ eingrenzen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel 7

Wenn wir einen Ausdruck der Form x 2 + x + 3 · x haben, dann ist seine ODZ über den gesamten Definitionsbereich definiert. Auch wenn ähnliche Begriffe herangezogen und der Ausdruck vereinfacht wird, ändert sich an der ODZ nichts.

Beispiel 8

Nehmen wir das Beispiel des Ausdrucks x + 3 x − 3 x, dann liegen die Dinge anders. Wir haben einen gebrochenen Ausdruck. Und wir wissen, dass eine Division durch Null nicht akzeptabel ist. Dann hat die ODZ die Form (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Es ist ersichtlich, dass Null keine Lösung ist, also fügen wir sie mit einer Klammer hinzu.

Betrachten wir ein Beispiel mit dem Vorhandensein eines radikalen Ausdrucks.

Beispiel 9

Wenn es x - 1 · x - 3 gibt, dann sollten Sie auf die ODZ achten, da diese als Ungleichung (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 geschrieben werden muss. Es ist möglich, mit der Intervallmethode zu lösen, dann stellen wir fest, dass die ODZ die Form (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) annimmt. Nach der Transformation von x - 1 · x - 3 und der Anwendung der Wurzeleigenschaft haben wir, dass die ODZ ergänzt werden kann und alles in Form eines Ungleichungssystems der Form x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ geschrieben werden kann 0. Bei der Lösung stellen wir fest, dass [ 3 , + ∞) . Das bedeutet, dass die ODZ vollständig wie folgt geschrieben wird: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Transformationen, die die DZ einengen, müssen vermieden werden.

Beispiel 10

Betrachten wir ein Beispiel für den Ausdruck x - 1 · x - 3, wenn x = - 1. Beim Ersetzen erhalten wir Folgendes: - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Wenn wir diesen Ausdruck transformieren und in die Form x - 1 · x - 3 bringen, dann stellen wir bei der Berechnung fest, dass 2 - 1 · 2 - 3 der Ausdruck keinen Sinn ergibt, da der Wurzelausdruck nicht negativ sein sollte.

Sollte eingehalten werden Identitätstransformationen, woran ODZ nichts ändern wird.

Wenn es Beispiele gibt, die dies erweitern, sollte es dem DL hinzugefügt werden.

Beispiel 11

Schauen wir uns das Beispiel eines Bruchs der Form x x 3 + x an. Wenn wir um x kürzen, erhalten wir 1 x 2 + 1. Dann erweitert sich die ODZ und wird zu (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Außerdem arbeiten wir beim Rechnen bereits mit dem zweiten vereinfachten Bruch.

Bei Logarithmen ist die Situation etwas anders.

Beispiel 12

Wenn es einen Ausdruck der Form ln x + ln (x + 3) gibt, wird er basierend auf der Eigenschaft des Logarithmus durch ln (x · (x + 3)) ersetzt. Daraus können wir erkennen, dass die ODZ von (0 , + ∞) bis (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) ist. Deshalb für ADL-Definitionen ln (x · (x + 3)) ist es notwendig, Berechnungen für die ODZ, also die (0 , + ∞)-Menge, durchzuführen.

Beim Lösen muss immer auf die Struktur und Art des durch die Bedingung gegebenen Ausdrucks geachtet werden. Wenn der Definitionsbereich korrekt gefunden wird, ist das Ergebnis positiv.

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Eine Funktion ist ein Modell. Definieren wir X als eine Menge von Werten einer unabhängigen Variablen // unabhängig bedeutet beliebig.

Eine Funktion ist eine Regel, mit deren Hilfe man für jeden Wert einer unabhängigen Variablen aus der Menge X einen eindeutigen Wert der abhängigen Variablen finden kann. // d.h. Für jedes x gibt es ein y.

Aus der Definition folgt, dass es zwei Konzepte gibt – eine unabhängige Variable (die wir mit x bezeichnen und die einen beliebigen Wert annehmen kann) und eine abhängige Variable (die wir mit y oder f (x) bezeichnen und die aus der Funktion wann berechnet wird). wir ersetzen x).

ZUM BEISPIEL y=5+x

1. Unabhängig ist x, was bedeutet, dass wir einen beliebigen Wert annehmen, sei x=3

2. Berechnen wir nun y, was y=5+x=5+3=8 bedeutet. (y hängt von x ab, denn egal, welches x wir ersetzen, wir erhalten das gleiche y)

Die Variable y soll funktional von der Variablen x abhängen und wird wie folgt bezeichnet: y = f (x).

ZUM BEISPIEL.

1.y=1/x. (genannt Übertreibung)

2. y=x^2. (genannt Parabel)

3.y=3x+7. (genannt gerade Linie)

4. y= √ x. (genannt Parabelast)

Die unabhängige Variable (die wir mit x bezeichnen) wird Funktionsargument genannt.

Funktionsdomäne

Die Menge aller Werte, die ein Funktionsargument annimmt, wird als Funktionsbereich bezeichnet und mit D(f) oder D(y) bezeichnet.

Betrachten Sie D(y) für 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) und (0;+∞) //die gesamte Menge der reellen Zahlen außer Null.

2. D (y)= (∞; +∞)//alle reellen Zahlen

3. D (y)= (∞; +∞)//alle reellen Zahlen

4. D (y)= )