Allgemeine Sinusformel. Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Cosinus ermitteln. Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden

Einer der Bereiche der Mathematik, mit denen Schüler am meisten zu kämpfen haben, ist die Trigonometrie. Es ist nicht verwunderlich: Um dieses Wissensgebiet frei zu beherrschen, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens mithilfe von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in verwenden zu können Berechnungen. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweisen von Theoremen in der Lage sein, die Trigonometrie anzuwenden, und dies erfordert entweder ein ausgeprägtes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Wenn Sie sich mit dieser Wissenschaft vertraut machen, sollten Sie mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels beginnen. Zunächst müssen Sie jedoch verstehen, was die Trigonometrie im Allgemeinen bewirkt.

Historisch gesehen waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Zweig der Mathematik. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht die Durchführung verschiedener Operationen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betreffenden Figur anhand von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Über den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten wurde zunächst ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke gesprochen. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Anwendungsgrenzen zu erweitern Alltagsleben Dieser Zweig der Mathematik.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, danach nutzen die Schüler die erworbenen Kenntnisse in Physik und lösen abstrakte Probleme. trigonometrische Gleichungen, Arbeit mit dem beginnt in der High School.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Kugelgeometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Winkelsumme in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist zumindest deshalb notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen Erdoberfläche, und die Oberfläche jedes anderen Planeten ist konvex, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung im dreidimensionalen Raum „bogenförmig“ ist.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten des Globus, sodass er gespannt ist. Bitte beachten Sie, dass es die Form eines Bogens angenommen hat. Mit solchen Formen beschäftigt sich die Kugelgeometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen Anwendung findet.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Es ist das längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

Wenn die beiden Seiten beispielsweise 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Darüber hinaus müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Mit einem guten Verständnis der geometrischen Grundlagen kann man sich schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis gegenüberliegendes Bein(d. h. die Seite gegenüber gewünschten Winkel) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis benachbartes Bein zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Warum? Weil die Hypotenuse standardmäßig die längste ist. Egal wie lang das Bein ist, es wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer gleich sein wird Weniger als eins. Wenn Sie also in Ihrer Antwort auf eine Aufgabe einen Sinus- oder Kosinuswert mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in den Berechnungen oder der Argumentation. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur benachbarten Seite. Die Division des Sinus durch den Cosinus führt zum gleichen Ergebnis. Schauen Sie: Gemäß der Formel teilen wir die Länge der Seite durch die Hypotenuse, dividieren dann durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Somit erhalten wir die gleiche Beziehung wie bei der Definition der Tangente.

Der Kotangens ist dementsprechend das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir eins durch die Tangente dividieren.

Wir haben uns also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens angesehen und können nun mit den Formeln fortfahren.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus – wie findet man Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Aber genau das ist bei der Lösung von Problemen erforderlich.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, spart jedoch Zeit, wenn Sie die Größe des Winkels und nicht die Seite kennen müssen.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch bei der Lösung von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Dies ist die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur dass beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus geteilt wurden. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation dies bewirkt trigonometrische Formel völlig unkenntlich. Denken Sie daran: Wenn Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, Transformationsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie jederzeit selbstständig das erforderliche Mehr ableiten komplexe Formeln auf einem Stück Papier.

Formeln für Doppelwinkel und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Cosinus für die Summe und Differenz von Winkeln. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verknüpft sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet – versuchen Sie als Training, sie selbst zu erhalten, indem Sie den Alpha-Winkel einnehmen gleich dem Winkel Beta.

Beachten Sie abschließend, dass Doppelwinkelformeln neu angeordnet werden können, um die Potenz von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu reduzieren.

Theoreme

Die beiden Hauptsätze der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Theoreme können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass die Division der Länge jeder Seite eines Dreiecks durch den entgegengesetzten Winkel dieselbe Zahl ergibt. Darüber hinaus entspricht diese Zahl zwei Radien des umschriebenen Kreises, also des Kreises, der alle Punkte eines gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass man von der Summe der Quadrate der beiden Seiten deren Produkt multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert – der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Somit erweist sich der Satz des Pythagoras als Sonderfall des Kosinussatzes.

Flüchtigkeitsfehler

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man aufgrund von Geistesabwesenheit oder einem Fehler bei den einfachsten Berechnungen leicht einen Fehler machen. Um solche Fehler zu vermeiden, werfen wir einen Blick auf die beliebtesten.

Erstens sollten Sie Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten – Sie können die Antwort so belassen gemeinsamer Bruch, sofern in den Bedingungen nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, es sollte jedoch beachtet werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln entstehen können, die nach Ansicht des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Ihre Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Dies gilt insbesondere für Werte wie die Wurzel aus drei oder die Wurzel aus zwei, da sie bei jedem Schritt in Problemen vorkommen. Das Gleiche gilt für das Runden „hässlicher“ Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Doppelte des Produkts aus den Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Unverständnis für das Thema. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad für Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, was unweigerlich zu einem falschen Ergebnis führt.

Anwendung

Viele Studierende haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie deren praktische Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Das sind Konzepte, mit denen man die Entfernung zu entfernten Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen oder eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken kann. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung einer Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Der Sinn der Trigonometrie besteht darin, dass man mithilfe der bekannten Parameter eines Dreiecks die Unbekannten berechnen muss. Insgesamt gibt es sechs Parameter: die Längen von drei Seiten und die Größe drei Ecken. Der einzige Unterschied bei den Aufgaben besteht darin, dass unterschiedliche Eingabedaten angegeben werden.

So finden Sie Sinus, Cosinus und Tangens basierend auf bekannte Längen Beine oder Hypotenuse, wissen Sie jetzt. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, Hauptziel Das trigonometrische Problem wird zum Finden der Wurzeln gewöhnliche Gleichung oder Gleichungssysteme. Und hier hilft Ihnen die reguläre Schulmathematik.

Beispiele:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argument und Bedeutung

Kosinus eines spitzen Winkels

Kosinus eines spitzen Winkels kann mit einem rechtwinkligen Dreieck bestimmt werden – es ist gleich dem Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Beispiel :

1) Es sei ein Winkel gegeben und wir müssen den Kosinus dieses Winkels bestimmen.

2) Vervollständigen wir ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck in diesem Winkel.

3) Nachdem wir die erforderlichen Seiten gemessen haben, können wir den Kosinus berechnen.

Kosinus einer Zahl

Mit dem Zahlenkreis können Sie den Kosinus einer beliebigen Zahl bestimmen, aber normalerweise finden Sie den Kosinus von Zahlen, die irgendwie mit Folgendem zusammenhängen: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Beispielsweise ist für die Zahl \(\frac(π)(6)\) der Kosinus gleich \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Und für die Zahl \(-\)\(\frac(3π)(4)\) ist sie gleich \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (ungefähr \ (-0 ,71\)).

Zum Kosinus für andere in der Praxis häufig anzutreffende Zahlen siehe.

Der Kosinuswert liegt immer im Bereich von \(-1\) bis \(1\). In diesem Fall kann der Kosinus für absolut jeden Winkel und jede Zahl berechnet werden.

Kosinus eines beliebigen Winkels

Dank des Zahlenkreises können Sie nicht nur den Kosinus bestimmen spitzer Winkel, aber auch stumpf, negativ und sogar größer als \(360°\) (volle Drehung). Wie man das macht, ist leichter einmal zu sehen als hundertmal zu hören, schauen Sie sich also das Bild an.

Nun eine Erklärung: Angenommen, wir müssen den Kosinus des Winkels bestimmen KOA mit Gradmaß in \(150°\). Den Punkt kombinieren UM mit dem Mittelpunkt des Kreises und der Seite OK– mit der \(x\)-Achse. Danach \(150°\) gegen den Uhrzeigersinn beiseite legen. Dann die Ordinate des Punktes A zeigt uns den Kosinus dieses Winkels.

Wenn wir uns für einen Winkel mit Gradmaß interessieren, zum Beispiel in \(-60°\) (Winkel KOV), machen wir dasselbe, setzen aber \(60°\) im Uhrzeigersinn.

Und schließlich ist der Winkel größer als \(360°\) (Winkel CBS) - Alles ist ähnlich wie beim Dummen, nur nachdem wir eine volle Umdrehung im Uhrzeigersinn gemacht haben, gehen wir zum zweiten Kreis und „bekommen das Fehlen von Graden“. Konkret wird in unserem Fall der Winkel \(405°\) als \(360° + 45°\) aufgetragen.

Es ist leicht zu erraten, dass man zum Zeichnen eines Winkels, beispielsweise in \(960°\), zwei Drehungen machen muss (\(360°+360°+240°\)), und für einen Winkel in \(2640 °\) - ganze sieben.

Wie Sie vielleicht sagen, sind sowohl der Kosinus einer Zahl als auch der Kosinus eines beliebigen Winkels nahezu identisch definiert. Lediglich die Art und Weise, wie der Punkt auf dem Kreis gefunden wird, ändert sich.

Kosinuszeichen pro Viertel

Anhand der Kosinusachse (also der Abszissenachse, in der Abbildung rot hervorgehoben) lassen sich die Vorzeichen der Kosinuswerte entlang des numerischen (trigonometrischen) Kreises leicht bestimmen:

Wenn die Werte auf der Achse von \(0\) bis \(1\) reichen, hat der Kosinus ein Pluszeichen (I- und IV-Viertel – grüner Bereich),
- wo die Werte auf der Achse von \(0\) bis \(-1\) liegen, hat der Kosinus ein Minuszeichen (II. und III. Viertel – violetter Bereich).

Beziehung zu anderen trigonometrischen Funktionen:

- der gleiche Winkel (oder die gleiche Zahl): main trigonometrische Identität\(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- der gleiche Winkel (oder die gleiche Zahl): nach der Formel \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- und der Sinus desselben Winkels (oder derselben Zahl): die Formel \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Weitere am häufigsten verwendete Formeln finden Sie unter.

Lösung der Gleichung \(\cos⁡x=a\)

Die Lösung der Gleichung \(\cos⁡x=a\), wobei \(a\) eine Zahl ist, die nicht größer als \(1\) und nicht kleiner als \(-1\) ist, d. h. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Wenn \(a>1\) oder \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Beispiel . Lösen Sie die trigonometrische Gleichung \(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\).
Lösung:

Lösen wir die Gleichung mithilfe des Zahlenkreises. Dafür:
1) Lasst uns die Achsen bauen.
2) Lassen Sie uns einen Kreis konstruieren.
3) Markieren Sie auf der Kosinusachse (Achse \(y\)) den Punkt \(\frac(1)(2)\) .
4) Zeichnen Sie durch diesen Punkt eine Senkrechte zur Kosinusachse.
5) Markieren Sie die Schnittpunkte der Senkrechten und des Kreises.
6) Unterschreiben wir die Werte dieser Punkte: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Schreiben wir alle Werte, die diesen Punkten entsprechen, mit der Formel \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) auf:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Antwort: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funktion \(y=\cos(x)\)

Wenn wir die Winkel im Bogenmaß entlang der \(x\)-Achse und die diesen Winkeln entsprechenden Kosinuswerte entlang der \(y\)-Achse auftragen, erhalten wir die folgende Grafik:

Dieser Graph heißt und hat folgende Eigenschaften:

Der Definitionsbereich ist jeder Wert von x: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- Wertebereich – von \(-1\) bis einschließlich \(1\): \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- gerade: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- periodisch mit Periode \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:
Abszissenachse: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), wobei \(n ϵ Z\)
Y-Achse: \((0;1)\)
- Intervalle der Vorzeichenkonstanz:
die Funktion ist positiv auf den Intervallen: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion ist negativ auf den Intervallen: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), wobei \(n ϵ Z\)
- Anstiegs- und Abfallintervalle:
die Funktion wächst auf den Intervallen: \((π+2πn;2π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion nimmt auf den Intervallen ab: \((2πn;π+2πn)\), wobei \(n ϵ Z\)
- Maxima und Minima der Funktion:
die Funktion hat einen Maximalwert \(y=1\) an den Punkten \(x=2πn\), wobei \(n ϵ Z\)
die Funktion hat einen Minimalwert \(y=-1\) an Punkten \(x=π+2πn\), wobei \(n ϵ Z\).

Trigonometrische Identitäten- Dies sind Gleichheiten, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, die es Ihnen ermöglicht, jede dieser Funktionen zu finden, sofern eine andere bekannt ist.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .

Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate von Kosinus und Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und den Ersetzungsvorgang auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.

Tangens und Kotangens mithilfe von Sinus und Cosinus ermitteln

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Wenn man es sich genau ansieht, dann ist die Ordinate y per Definition ein Sinus und die Abszisse x ein Kosinus. Dann ist der Tangens gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- wird ein Kotangens sein.

Fügen wir hinzu, dass die Identitäten nur für solche Winkel \alpha gelten, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen einen Sinn ergeben, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Diese Identität gilt nur für andere Winkel \alpha als \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird weder Kotangens noch Tangens bestimmt.

Basierend auf den oben genannten Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Es folgt dem tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Daher sind Tangens und Kotangens desselben Winkels, in dem sie sinnvoll sind, zueinander inverse Zahlen.

Beziehungen zwischen Tangens und Cosinus, Kotangens und Sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- Die Summe des Quadrats des Tangens des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem Umkehrquadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem Umkehrquadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes \alpha, das sich von \pi z unterscheidet.

Beispiele mit Lösungen für Probleme unter Verwendung trigonometrischer Identitäten

Beispiel 1

Finden Sie \sin \alpha und tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 Und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Lösung anzeigen

Lösung

Die Funktionen \sin\alpha und \cos\alpha hängen durch die Formel zusammen \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Diese Gleichung hat zwei Lösungen:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Um tan \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Beispiel 2

Finden Sie \cos \alpha und ctg \alpha, wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Lösung anzeigen

Lösung

Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 angegebene Nummer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Nach Bedingung \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

In diesem Artikel zeigen wir, wie man gibt Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels und einer Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notationen sprechen, Beispiele für Einträge geben und grafische Illustrationen geben. Lassen Sie uns abschließend eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Trigonometrie und Geometrie ziehen.

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Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens

Sehen wir uns an, wie in einem Schulmathematikkurs die Vorstellung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens entsteht. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben. Und später wird die Trigonometrie untersucht, die sich mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl befasst. Lassen Sie uns alle diese Definitionen vorstellen, Beispiele nennen und die notwendigen Kommentare abgeben.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Geometriekurs kennen wir die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie werden als Verhältnis der Seiten angegeben rechtwinkliges Dreieck. Geben wir ihre Formulierungen.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des Nachbarschenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck– das ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck- Dies ist das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.

Dort werden auch die Bezeichnungen für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt – sin, cos, tg bzw. ctg.

Wenn ABC beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel C ist, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis der gegenüberliegenden Seite BC zur Hypotenuse AB, d. h. sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus den bekannten Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sowie aus den bekannten Werten von Sinus, Cosinus, Tangens berechnen. Kotangens und die Länge einer der Seiten, um die Längen der anderen Seiten zu ermitteln. Wenn wir beispielsweise wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC gleich 3 und die Hypotenuse AB gleich 7 ist, könnten wir den Wert des Kosinus des spitzen Winkels A per Definition berechnen: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten – sie führen das Konzept des Drehwinkels ein. Die Größe des Drehwinkels ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht auf 0 bis 90 Grad beschränkt; der Drehwinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch jede reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund beziehen sich die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens nicht auf einen spitzen Winkel, sondern auf einen Winkel beliebiger Größe – den Drehwinkel. Sie sind durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 gegeben, zu dem der sogenannte Startpunkt A(1, 0) nach seiner Drehung um einen Winkel α um den Punkt O – den Beginn des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems – geht und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1, also sinα=y.

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα heißt Abszisse des Punktes A 1, also cosα=x.

Definition.

Tangente des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, also tanα=y/x.

Definition.

Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, d. h. ctgα=x/y.

Sinus und Cosinus sind für jeden Winkel α definiert, da wir immer die Abszisse und Ordinate des Punktes bestimmen können, der durch Drehen des Startpunkts um den Winkel α entsteht. Aber Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Die Tangente ist für Winkel α nicht definiert, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit der Abszisse Null (0, 1) oder (0, −1) geht, und dies geschieht bei Winkeln 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Tatsächlich ergibt bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x keinen Sinn, da er eine Division durch Null enthält. Der Kotangens ist nicht für Winkel α definiert, bei denen der Startpunkt zum Punkt mit der Null-Ordinate (1, 0) oder (−1, 0) geht, und dies gilt für Winkel 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Sinus und Kosinus sind also für alle Drehwinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180° ·k definiert , k∈Z (π·k rad).

Die Definitionen umfassen die uns bereits bekannten Bezeichnungen sin, cos, tg und ctg, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man die Bezeichnungen tan und cotentsprechend Tangens und Kotangens) . So kann der Sinus eines Drehwinkels von 30 Grad als sin30° geschrieben werden, die Einträge tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Drehwinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Drehwinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Bezeichnung „rad“ oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Drehwinkels von drei pi rad üblicherweise mit cos3·π bezeichnet.

Abschließend ist es erwähnenswert, dass bei Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels häufig der Ausdruck „Drehwinkel“ oder das Wort „Rotation“ weggelassen wird. Das heißt, anstelle der Formulierung „Sinus des Drehwinkels Alpha“ wird üblicherweise die Formulierung „Sinus des Alpha-Winkels“ oder noch kürzer „Sinus Alpha“ verwendet. Das Gleiche gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Wir werden auch sagen, dass die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Definitionen übereinstimmen, die gerade für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Drehwinkels im Bereich von 0 bis 90 Grad gegeben wurden. Wir werden dies begründen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die jeweils dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels im Bogenmaß t entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus der Zahl 8·π per Definition eine Zahl, die gleich dem Kosinus des Winkels 8·π rad ist. Und der Kosinus eines Winkels von 8·π rad ist gleich eins, daher ist der Kosinus der Zahl 8·π gleich 1.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Bestimmung von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zugeordnet ist und Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens durch die Koordinaten dieses Punktes bestimmt werden. Schauen wir uns das genauer an.

Lassen Sie uns zeigen, wie eine Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten auf einem Kreis hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugewiesen;
• die positive Zahl t ist mit einem Punkt auf dem Einheitskreis verbunden, zu dem wir gelangen, wenn wir uns vom Startpunkt aus entgegen dem Uhrzeigersinn entlang des Kreises bewegen und einen Weg der Länge t zurücklegen;
• Die negative Zahl t ist mit einem Punkt auf dem Einheitskreis verbunden, zu dem wir gelangen, wenn wir uns vom Startpunkt aus im Uhrzeigersinn entlang des Kreises bewegen und einen Weg der Länge |t| zurücklegen .

Nun kommen wir zu den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Nehmen wir an, dass die Zahl t einem Punkt auf dem Kreis A 1 (x, y) entspricht (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1)).

Definition.

Sinus der Zahl t ist die Ordinate des Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, also sint=y.

Definition.

Kosinus der Zahl t wird als Abszisse des Punktes des Einheitskreises bezeichnet, der der Zahl t entspricht, dh Kosten = x.

Definition.

Tangens der Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, d. h. tgt=y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens einer Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, also tgt=sint/cost.

Definition.

Kotangens der Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, d. h. ctgt=x/y. Eine andere Formulierung lautet: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t: ctgt=cost/sint.

Hier stellen wir fest, dass die soeben gegebenen Definitionen mit der Definition am Anfang dieses Absatzes übereinstimmen. Tatsächlich stimmt der Punkt auf dem Einheitskreis, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt überein, den man durch Drehen des Startpunkts um einen Winkel von t im Bogenmaß erhält.

Es lohnt sich dennoch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben den Eintrag sin3. Wie können wir verstehen, ob wir über den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Bogenmaß sprechen? Dies geht in der Regel aus dem Kontext hervor, andernfalls ist es wahrscheinlich nicht von grundlegender Bedeutung.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den Definitionen im vorherigen Absatz entspricht jeder Drehwinkel α einem ganz bestimmten Wert sinα sowie dem Wert cosα. Darüber hinaus entsprechen alle anderen Rotationswinkel als 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα-Werten und andere Werte als 180°k, k∈Z (πk rad) – Werten ​​von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tanα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ähnlich können wir über die Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem ganz bestimmten Wert sint sowie Kosten. Darüber hinaus entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k, k∈Z den Werten tgt und die Zahlen π·k, k∈Z den Werten ctgt.

Es werden die Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens aufgerufen hauptsächlich trigonometrische Funktionen .

Aus dem Kontext geht meist klar hervor, ob es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines numerischen Arguments handelt. Ansonsten können wir uns die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (Winkelargument) als auch als numerisches Argument vorstellen.

In der Schule beschäftigen wir uns jedoch hauptsächlich mit numerischen Funktionen, also Funktionen, deren Argumente sowie die entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Wenn wir also speziell über Funktionen sprechen, ist es ratsam, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Zusammenhang zwischen Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Drehwinkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad betrachten, dann stimmen die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels im Kontext der Trigonometrie vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens von an überein Spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs angegeben werden. Begründen wir das.

Stellen wir den Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy dar. Markieren wir den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, wir erhalten Punkt A 1 (x, y). Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 zur Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu erkennen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH gleich dem Drehwinkel α ist, die Länge des an diesen Winkel angrenzenden Schenkels OH gleich der Abszisse des Punktes A 1 ist, also |OH |=x, die Länge des Schenkels A 1 H gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1, d. h. |A 1 H|=y, und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins, da es sich um den Radius des Einheitskreises handelt. Dann ist per Definition aus der Geometrie der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, d. h. sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, also sinα=y. Dies zeigt, dass die Bestimmung des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Bestimmung des Sinus des Drehwinkels α entspricht, wenn α zwischen 0 und 90 Grad liegt.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels α übereinstimmen.

Referenzliste.

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In diesem Artikel werfen wir einen umfassenden Blick darauf. Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Gleichheiten, die eine Verbindung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen und es einem ermöglichen, jede dieser trigonometrischen Funktionen über eine bekannte andere zu finden.

Lassen Sie uns gleich die wichtigsten trigonometrischen Identitäten auflisten, die wir in diesem Artikel analysieren werden. Schreiben wir sie in eine Tabelle, und unten geben wir die Ergebnisse dieser Formeln an und geben die notwendigen Erklärungen.

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Beziehung zwischen Sinus und Cosinus eines Winkels

Manchmal geht es nicht um die in der obigen Tabelle aufgeführten wichtigsten trigonometrischen Identitäten, sondern um eine einzige grundlegende trigonometrische Identität Art . Die Erklärung für diese Tatsache ist recht einfach: Die Gleichheiten werden aus der trigonometrischen Hauptidentität erhalten, nachdem beide Teile durch und bzw. und die Gleichheiten dividiert wurden Und ergeben sich aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Wir werden in den folgenden Abschnitten ausführlicher darauf eingehen.

Das heißt, von besonderem Interesse ist die Gleichheit, die den Namen der wichtigsten trigonometrischen Identität erhielt.

Bevor wir die trigonometrische Hauptidentität beweisen, geben wir ihre Formulierung an: Die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels ist identisch gleich eins. Jetzt wollen wir es beweisen.

Die grundlegende trigonometrische Identität wird sehr oft verwendet, wenn Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke. Es ermöglicht, die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels durch eins zu ersetzen. Nicht seltener wird die grundlegende trigonometrische Identität in umgekehrter Reihenfolge verwendet: Die Einheit wird durch die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines beliebigen Winkels ersetzt.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus

Identitäten, die Tangens und Kotangens mit Sinus und Cosinus eines Blickwinkels verbinden und ergeben sich unmittelbar aus den Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Tatsächlich ist der Sinus per Definition die Ordinate von y, der Kosinus die Abszisse von x und der Tangens das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse, d. h. , und der Kotangens ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate, d. h. .

Dank dieser Offensichtlichkeit der Identitäten und Tangens und Kotangens werden oft nicht durch das Verhältnis von Abszisse und Ordinate, sondern durch das Verhältnis von Sinus und Cosinus definiert. Der Tangens eines Winkels ist also das Verhältnis des Sinus zum Cosinus dieses Winkels, und der Kotangens ist das Verhältnis des Cosinus zum Sinus.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass die Identitäten und finden für alle Winkel statt, bei denen die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen sinnvoll sind. Die Formel gilt also für alle außer (ansonsten hat der Nenner eine Null, und wir haben die Division durch Null nicht definiert) und die Formel - für alle, anders als wenn z irgendein Wert ist.

Beziehung zwischen Tangens und Kotangens

Eine noch offensichtlichere trigonometrische Identität als die beiden vorherigen ist die Identität, die Tangens und Kotangens eines Winkels der Form verbindet . Es ist klar, dass dies für alle anderen Winkel als gilt, da sonst entweder der Tangens oder der Kotangens nicht definiert sind.

Beweis der Formel sehr einfach. Per Definition und von wo . Der Beweis hätte etwas anders erfolgen können. Seit , Das .

Tangens und Kotangens des gleichen Winkels, bei dem sie einen Sinn ergeben, sind also .