نحوه نوشتن odz در معادلات ناحیه تعریف کسر دامنه تابع

شمشورین A.V. 1

گاگارینا N.A. 1

1 بودجه شهرداری موسسه تحصیلی"میانگین مدرسه جامعشماره 31"

متن اثر بدون تصویر و فرمول درج شده است.
نسخه کاملکار در برگه "فایل های کاری" در قالب PDF موجود است

معرفی

من با بررسی بسیاری از موضوعات ریاضی در اینترنت شروع کردم و این موضوع را انتخاب کردم زیرا معتقدم اهمیت یافتن DL نقش بسیار زیادی در حل معادلات و مسائل دارد. در او کار تحقیقاتیمن به معادلاتی نگاه کردم که در آنها فقط کافی است ODZ، خطر، اختیاری، ODZ محدود، برخی ممنوعیت ها در ریاضیات را پیدا کنیم. مهمترین چیز برای من این است که امتحان دولتی واحد ریاضی را به خوبی قبول کنم و برای این باید بدانم: کی، چرا و چگونه DL را پیدا کنم. این من را بر آن داشت تا در مورد موضوع تحقیق کنم، هدف از آن این بود که نشان دهم تسلط بر این مبحث به دانش آموزان کمک می کند تا وظایف خود را در آزمون یکپارچه دولتی به درستی انجام دهند. برای رسیدن به این هدف، ادبیات اضافی و منابع دیگر را بررسی کردم. من فکر می کردم که آیا دانش آموزان مدرسه ما می دانند: کی، چرا و چگونه ODZ را پیدا کنند. بنابراین، من آزمایشی را با موضوع "چه زمانی، چرا و چگونه ODZ را پیدا کنیم؟" (10 معادله داده شد). تعداد دانش آموزان - 28. با آن مقابله کردند - 14٪، خطر DD (در نظر گرفته شده) - 68٪، اختیاری (در نظر گرفته شده) - 36٪.

هدف: شناسایی: کی، چرا و چگونه ODZ را پیدا کنیم.

مسئله:معادلات و نابرابری هایی که در آنها لازم است ODZ را بیابید در درس جبر جایی برای ارائه سیستماتیک پیدا نکردند، احتمالاً به همین دلیل است که من و همسالانم اغلب هنگام حل چنین مثال هایی اشتباه می کنیم و زمان زیادی را برای حل آنها صرف می کنیم و در عین حال فراموش می کنیم. در مورد ODZ

وظایف:

1. اهمیت ODZ را هنگام حل معادلات و نابرابری ها نشان دهید.
2. انجام کار عملی در مورد این موضوع و خلاصه نتایج آن.

فکر می‌کنم دانش و مهارت‌هایی که کسب کرده‌ام به من کمک می‌کند تا این سوال را حل کنم: آیا جستجوی DZ ضروری است یا خیر؟ با یادگیری نحوه صحیح انجام ODZ از اشتباه کردن خودداری می کنم. آیا من می توانم این کار را انجام دهم، زمان، یا بهتر است بگوییم آزمون یکپارچه ایالت، نشان می دهد.

فصل 1

ODZ چیست؟

ODZ است منطقه ارزش های قابل قبول ، یعنی اینها همه مقادیر متغیری هستند که عبارت برای آنها معنی دارد.

مهم.برای یافتن ODZ مثالی را حل نمی کنیم! تکه هایی از مثال را حل می کنیم تا مکان های ممنوعه را پیدا کنیم.

برخی ممنوعیت ها در ریاضیاتچنین اعمال ممنوعه در ریاضیات بسیار کم است. اما همه آنها را به یاد نمی آورند ...

• عبارات متشکل از یک علامت تعدد زوج یا باید بیش از 0 یا برابر با صفر باشد، ODZ:f(x)
• عبارت در مخرج کسر نمی تواند برابر با صفر باشد، ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x)، ODZ: g(x) 0

چگونه ODZ را ضبط کنیم؟بسیار ساده. همیشه در کنار مثال ODZ بنویسید. در زیر این حروف شناخته شده، با نگاه کردن به معادله اصلی، مقادیر x را که برای مثال اصلی مجاز است، یادداشت می کنیم. تبدیل مثال ممکن است OD و بر این اساس، پاسخ را تغییر دهد.

الگوریتم برای یافتن ODZ:

1. نوع ممنوعیت را مشخص کنید.
2. مقادیری را بیابید که عبارت در آنها معنی ندارد.
3. این مقادیر را از مجموعه اعداد واقعی R حذف کنید.

معادله را حل کنید: =

بدون DZ	با ODZ
پاسخ: x=5	ODZ: => => پاسخ: بدون ریشه

محدوده مقادیر قابل قبول ما را از چنین خطاهای جدی محافظت می کند. صادقانه بگویم، دقیقاً به دلیل ODZ است که بسیاری از دانش آموزان شوک به دانش آموزان «C» تبدیل می شوند. با توجه به اینکه جستجو و در نظر گرفتن DL مرحله بی اهمیتی در تصمیم گیری است، از آن می گذرند و بعد تعجب می کنند: "چرا معلم به آن نمره 2 داده است؟" بله، به همین دلیل آن را گذاشتم زیرا پاسخ نادرست است! این «نیت‌چینی» معلم نیست، بلکه یک اشتباه بسیار خاص است، درست مانند یک محاسبه نادرست یا یک علامت گمشده.

معادلات اضافی:

الف) = ب) -42=14x+; ج) =0; د) |x-5|=2x-2

فصل 2

ODZ. برای چی؟ چه زمانی؟ چگونه؟

محدوده مقادیر قابل قبول - یک راه حل وجود دارد

1. ODZ یک مجموعه خالی است، به این معنی که مثال اصلی هیچ راه حلی ندارد

• = ODZ:

پاسخ: بدون ریشه.

• = ODZ:

پاسخ: بدون ریشه.

0، معادله ریشه ندارد

پاسخ: بدون ریشه.

مثال های اضافی:

الف) + = 5; ب) + =23x-18; ج) = 0.

1. ODZ شامل یک یا چند عدد است و یک جایگزینی ساده به سرعت ریشه ها را مشخص می کند.

ODZ: x=2، x=3

بررسی کنید: x=2، +، 0<1, верно

بررسی کنید: x=3، +، 0<1, верно.

پاسخ: x=2، x=3.

• > ODZ: x=1،x=0

بررسی کنید: x=0، >، 0>0، نادرست است

بررسی کنید: x=1، >، 1>0، درست است

پاسخ: x=1.

• + =x ODZ: x=3

بررسی کنید: + =3، 0=3، نادرست است.

پاسخ: بدون ریشه.

مثال های اضافی:

الف) = ب) + =0; ج) + =x -1

خطر DD

توجه داشته باشید که تحولات هویتیمی توان:

• DL را تحت تأثیر قرار ندهید.
• منجر به گسترش DL شود.
• منجر به باریک شدن ODZ می شود.

همچنین مشخص است که در نتیجه برخی تغییرات که ODZ اصلی را تغییر می دهد، می تواند منجر به تصمیم گیری های نادرست شود.

بیایید هر مورد را با یک مثال توضیح دهیم.

1) عبارت x + 4x + 7x را در نظر بگیرید، ODZ متغیر x برای این مجموعه R است. اجازه دهید اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم. در نتیجه به شکل x 2 +11x خواهد بود. بدیهی است که ODZ متغیر x این عبارت نیز یک مجموعه R است. بنابراین، تبدیل انجام شده تغییری در ODZ ایجاد نکرد.

2) معادله x+ - =0 را در نظر بگیرید. در این مورد، ODZ: x≠0. این عبارت همچنین شامل عبارات مشابهی است که پس از کاهش به عبارت x می رسیم که ODZ برای آن R است. متغیر x برای عبارت اصلی).

3) بیایید عبارت را در نظر بگیریم. VA متغیر x با نابرابری (x−5)·(x−2)≥0، VA: (−∞, 2]∪∪/حالت دسترسی: مطالب از سایت‌های www.fipi.ru، www.eg تعیین می‌شود.

محدوده مقادیر قابل قبول - راه حلی وجود دارد [منبع الکترونیکی]/حالت دسترسی: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - ناحیه مقادیر قابل قبول، نحوه یافتن ODZ [منبع الکترونیکی]/حالت دسترسی: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

محدوده مقادیر قابل قبول: تئوری و عمل [منبع الکترونیکی]/حالت دسترسی: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ [منبع الکترونیکی] چیست/ حالت دسترسی: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ چیست و چگونه آن را جستجو کنیم - توضیح و مثال. منبع الکترونیکی]/ حالت دسترسی: cos-cos.ru›math/82/

پیوست 1

کار عملی "ODZ: کی، چرا و چگونه؟"

انتخاب 1	گزینه 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

ضمیمه 2

پاسخ به تکالیف کار عملی"ODZ: کی، چرا و چگونه؟"

انتخاب 1	گزینه 2
پاسخ: بدون ریشه	پاسخ: x-هر عددی به جز x=5
9x+ = +27 ODZ: x≠3 پاسخ: بدون ریشه	ODZ: x=-3، x=5. پاسخ: -3;5.
y= -کاهش می یابد، y= -افزایش می یابد یعنی معادله حداکثر یک ریشه دارد. پاسخ: x=6.	ODZ: → →х≥5 پاسخ: x≥5، x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0، x≤1 x=-4، x=16، 16 متعلق به ODZ نیست	کاهش می یابد، افزایش می یابد معادله حداکثر یک ریشه دارد. پاسخ: بدون ریشه.
0، ODZ: x≥3، x≤2 پاسخ: x≥3، x≤2	8x+ = -32، ODZ: x≠-4. پاسخ: بدون ریشه.
x=7، x=1. پاسخ: راه حلی وجود ندارد	افزایش - کاهش پاسخ: x=2.
0 ODZ: x≠15 پاسخ: x هر عددی است به جز x=15.	│3-х│=1-3х، ODZ: 1-3х≥0، x≤ x=-1، x=1 به ODZ تعلق ندارد. پاسخ: x=-1.

\(\frac(x)(x-1)\) مقدار متغیر برابر با 1 خواهد بود، قانون نقض می شود: شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید. بنابراین، در اینجا \(x\) نمی تواند یک واحد باشد و ODZ به صورت زیر نوشته می شود: \(x\neq1\);

اگر در عبارت \(\sqrt(x-2)\) مقدار متغیر \(0\ باشد)، قانون نقض می شود: بیان رادیکال نباید منفی باشد. این بدان معنی است که در اینجا \(x\) نمی تواند \(0\) و همچنین \(1, -3, -52.7\) و غیره باشد. یعنی x باید بزرگتر یا مساوی 2 باشد و ODZ خواهد بود: \(x\geq2\);

اما در عبارت \(4x+1\) می توانیم هر عددی را به جای X جایگزین کنیم و هیچ قانونی شکسته نمی شود. بنابراین، محدوده مقادیر قابل قبول در اینجا کل محور عددی است. در چنین مواردی، DZ ثبت نمی شود، زیرا حاوی اطلاعات مفیدی نیست.

شما می توانید تمام قوانینی را که باید رعایت کنید پیدا کنید.

ODZ در معادلات

مهم است که در هنگام تصمیم گیری، محدوده مقادیر قابل قبول را به خاطر بسپارید، زیرا در آنجا ما فقط به دنبال مقادیر متغیرها هستیم و می توانیم به طور تصادفی متغیرهایی را پیدا کنیم که قوانین ریاضیات را نقض می کنند.

برای درک اهمیت ODZ، اجازه دهید دو راه حل معادله را با هم مقایسه کنیم: با ODZ و بدون ODZ.

مثال: معادله را حل کنید
راه حل :

بدون ODZ:		با ODZ:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2 1)\)\(=-3\) - برای ODZ واجد شرایط نیست
پاسخ : \(4; -3\)		پاسخ : \(4\)

آیا تفاوت را میبینید؟ در راه حل اول، ما در پاسخ خود، یک نادرست، اضافه! چرا اشتباه؟ بیایید سعی کنیم آن را در معادله اصلی جایگزین کنیم.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

ببینید، ما عبارات غیر قابل محاسبه و بی معنی را هم در سمت چپ و هم در سمت راست به دست آورده‌ایم (در نهایت، شما نمی‌توانید بر صفر تقسیم کنید). و این واقعیت که آنها یکسان هستند دیگر نقشی ندارد، زیرا این ارزش ها وجود ندارند. بنابراین، "\(-3\)" یک ریشه نامناسب و خارجی است و محدوده مقادیر قابل قبول ما را از چنین خطاهای جدی محافظت می کند.

به همین دلیل است که برای راه حل اول یک D و برای راه حل دوم یک A دریافت خواهید کرد. و اینها سخنان خسته کننده معلم نیستند، زیرا عدم در نظر گرفتن ODS یک چیز کوچک نیست، بلکه یک اشتباه بسیار خاص است، مانند علامت گم شده یا استفاده از فرمول اشتباه. بالاخره جواب نهایی اشتباه است!

یافتن محدوده مقادیر قابل قبول اغلب منجر به نیاز به حل یا معادلات می شود، بنابراین باید بتوانید آن را به خوبی انجام دهید.

مثال : دامنه عبارت \(\sqrt(5-2x)+\) را پیدا کنید \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

راه حل : در بیان دو ریشه وجود دارد که یکی از آنها در مخرج است. هرکس محدودیت های اعمال شده در این مورد را به خاطر نداشته باشد ... هر کس به یاد آورد می نویسد که عبارت زیر ریشه اول بزرگتر یا مساوی صفر است و زیر ریشه دوم بزرگتر از صفر است. آیا می دانید چرا محدودیت ها این گونه است؟

پاسخ : \((-2;2,5]\)

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

چگونه دامنه یک تابع را پیدا کنیم؟ دانش آموزان دوره راهنمایی اغلب باید با این کار کنار بیایند.

والدین باید به فرزندان خود در درک این موضوع کمک کنند.

تعیین یک تابع

اجازه دهید اصطلاحات اساسی جبر را به یاد بیاوریم. در ریاضیات تابع وابستگی یک متغیر به متغیر دیگر است. می توان گفت که این یک قانون ریاضی سختگیرانه است که دو عدد را به روش خاصی به هم متصل می کند.

در ریاضیات، هنگام تجزیه و تحلیل فرمول ها، متغیرهای عددی با علامت های الفبایی جایگزین می شوند. رایج ترین آنها x ("x") و y ("y") هستند. متغیر x آرگومان و متغیر y را متغیر وابسته یا تابع x می نامند.

وجود داشته باشد راه های مختلفتنظیم وابستگی های متغیر

بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. نوع تحلیلی
2. نمای جدولی.
3. نمایشگر گرافیکی

روش تحلیلی با فرمول نشان داده شده است. بیایید به مثال‌هایی نگاه کنیم: y=2x+3، y=log(x)، y=sin(x). فرمول y=2x+3 معمولی است تابع خطی. با جایگزینی مقدار عددی آرگومان به فرمول داده شده، مقدار y را بدست می آوریم.

روش جدولی یک جدول متشکل از دو ستون است. ستون اول به مقادیر X اختصاص داده می شود و در ستون بعدی اطلاعات پخش کننده ثبت می شود.

روش گرافیکی بصری ترین در نظر گرفته می شود. نمودار نمایش مجموعه تمام نقاط یک صفحه است.

برای ساخت نمودار از سیستم مختصات دکارتی استفاده می شود. این سیستم از دو خط عمود بر هم تشکیل شده است. بخش های واحد یکسان روی محورها گذاشته می شود. شمارش از نقطه مرکزی تقاطع خطوط مستقیم انجام می شود.

متغیر مستقل در یک خط افقی نشان داده شده است. به آن محور آبسیسا می گویند. خط عمودی (محور y) مقدار عددی متغیر وابسته را نمایش می دهد. نقاط در محل تلاقی عمود بر این محورها مشخص می شوند. با اتصال نقاط به یکدیگر، یک خط ثابت به دست می آوریم. اساس برنامه است.

انواع وابستگی های متغیر

تعریف.

که در نمای کلیوابستگی به صورت یک معادله ارائه می شود: y=f(x). از فرمول به دست می آید که برای هر مقدار از عدد x یک عدد y وجود دارد. مقدار بازی که با عدد x مطابقت دارد، مقدار تابع نامیده می شود.

تمام مقادیر ممکن که متغیر مستقل به دست می آورد دامنه تعریف تابع را تشکیل می دهد. بر این اساس، کل مجموعه اعداد متغیر وابسته محدوده مقادیر تابع را تعیین می کند. دامنه تعریف همه مقادیر آرگومان است که f(x) برای آنها معنا دارد.

وظیفه اولیه در مطالعه قوانین ریاضی یافتن حوزه تعریف است. این اصطلاح باید به درستی تعریف شود. در غیر این صورت، تمام محاسبات بعدی بی فایده خواهد بود. از این گذشته ، حجم مقادیر بر اساس عناصر مجموعه اول شکل می گیرد.

دامنه یک تابع مستقیماً به محدودیت ها بستگی دارد. محدودیت ها ناشی از ناتوانی در انجام برخی عملیات است. همچنین محدودیت هایی برای استفاده از مقادیر عددی وجود دارد.

در صورت عدم وجود محدودیت، دامنه تعریف کل فضای اعداد است. علامت بی نهایت دارای نماد افقی هشت است. کل مجموعه اعداد به این صورت نوشته می شود: (-∞؛ ∞).

در موارد خاص، مجموعه داده از چندین زیر مجموعه تشکیل شده است. دامنه فواصل یا فاصله های عددی به نوع قانون تغییر پارامتر بستگی دارد.

در اینجا لیستی از عوامل موثر بر محدودیت ها آمده است:

• نسبت معکوس؛
• ریشه حسابی؛
• توانمندی؛
• وابستگی لگاریتمی؛
• اشکال مثلثاتی

اگر چندین عنصر از این قبیل وجود داشته باشد، جستجوی محدودیت ها برای هر یک از آنها تقسیم می شود. بزرگترین مشکل شناسایی نقاط بحرانی و شکاف است. راه حل مسئله این خواهد بود که همه زیر مجموعه های عددی را متحد کنید.

مجموعه و زیر مجموعه اعداد

درباره مجموعه ها

دامنه تعریف به صورت D(f) و علامت اتحاد با نماد ∪ نشان داده می شود. تمام فواصل عددی در داخل پرانتز قرار می گیرند. اگر مرز سایت در مجموعه گنجانده نشده باشد، یک براکت نیم دایره قرار می گیرد. در غیر این صورت، هنگامی که یک عدد در یک زیرمجموعه گنجانده می شود، از براکت مربع استفاده می شود.

تناسب معکوس با فرمول y=k/x بیان می شود. نمودار تابع یک خط منحنی است که از دو شاخه تشکیل شده است. معمولاً هذلولی نامیده می شود.

از آنجایی که تابع به صورت کسری بیان می شود، یافتن دامنه تعریف به تجزیه و تحلیل مخرج می رسد. معروف است که در ریاضیات تقسیم بر صفر ممنوع است. حل مسئله به مساوی کردن مخرج به صفر و یافتن ریشه ها می رسد.

در اینجا یک مثال است:

داده شده: y=1/(x+4). دامنه تعریف را پیدا کنید.

1. مخرج را برابر با صفر می کنیم.
   x+4=0
2. پیدا کردن ریشه معادله.
   x=-4
3. مجموعه تمام مقادیر ممکن آرگومان را تعریف می کنیم.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

پاسخ: دامنه تابع همه اعداد حقیقی هستند به جز 4-.

مقدار یک عدد زیر علامت جذر نمی تواند منفی باشد. در این حالت، تعریف یک تابع با ریشه به حل یک نامساوی کاهش می یابد. عبارت رادیکال باید بزرگتر از صفر باشد.

ناحیه تعیین ریشه به برابری شاخص ریشه مربوط می شود. اگر نشانگر بر 2 بخش پذیر باشد، این عبارت تنها در صورتی معنا پیدا می کند ارزش مثبت. عدد فردشاخص مجاز بودن هر معنایی از عبارت رادیکال را نشان می دهد: هم مثبت و هم منفی.

نابرابری ها به همان روش معادلات حل می شوند. فقط یک تفاوت وجود دارد. پس از ضرب هر دو طرف نابرابری در یک عدد منفیعلامت باید معکوس شود

اگر جذر در مخرج باشد، باید یک شرط اضافی اعمال شود. مقدار عدد نباید صفر باشد. نابرابری به دسته نابرابری های شدید منتقل می شود.

توابع لگاریتمی و مثلثاتی

شکل لگاریتمی برای اعداد مثبت معنا دارد. بنابراین، حوزه تعریف تابع لگاریتمیمشابه تابع ریشه مربع، به جز صفر.

بیایید مثالی از وابستگی لگاریتمی را در نظر بگیریم: y=log(2x-6). دامنه تعریف را پیدا کنید.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x> 6/2

پاسخ: (3؛ +∞).

دامنه تعریف y=sin x و y=cos x مجموعه همه اعداد حقیقی است. محدودیت هایی برای مماس و کوتانژانت وجود دارد. آنها با تقسیم توسط کسینوس یا سینوس یک زاویه همراه هستند.

مماس یک زاویه با نسبت سینوس به کسینوس تعیین می شود. اجازه دهید مقادیر زاویه ای را نشان دهیم که در آن مقدار مماس وجود ندارد. تابع y=tg x برای همه مقادیر آرگومان به جز x=π/2+πn، n∈Z معنا دارد.

دامنه تعریف تابع y=ctg x کل مجموعه اعداد حقیقی است، به استثنای x=πn، n∈Z. اگر آرگومان برابر با عدد π یا مضرب π باشد، سینوس زاویه برابر با صفر. در این نقاط ( مجانب ) کوتانژانت نمی تواند وجود داشته باشد.

اولین تکالیف برای شناسایی حوزه تعریف از دروس کلاس هفتم شروع می شود. هنگامی که دانش آموز برای اولین بار با این بخش از جبر آشنا می شود، باید موضوع را به وضوح درک کند.

لازم به ذکر است که این ترم در تمام مدت تحصیل همراه دانش آموز و سپس دانش آموز خواهد بود.

چگونه؟
نمونه هایی از راه حل ها

اگر چیزی در جایی گم شده است، به این معنی است که چیزی در جایی وجود دارد

ما به مطالعه بخش "توابع و نمودارها" ادامه می دهیم و ایستگاه بعدی سفر ما است. بحث فعال این مفهومدر مقاله درباره مجموعه ها شروع شد و در درس اول درباره نمودارهای تابع، جایی که من به توابع ابتدایی و به ویژه حوزه های تعریف آنها نگاه کردم. بنابراین، من توصیه می کنم که آدمک ها با اصول مبحث شروع کنند، زیرا دیگر به برخی نکات اساسی نمی پردازم.

فرض بر این است که خواننده دامنه تعریف توابع زیر را می داند: خطی، درجه دوم، توابع مکعبی، چند جمله ای، نمایی، سینوس، کسینوس. آنها بر روی تعریف شده اند (مجموعه تمام اعداد واقعی). برای مماس ها، آرکسین ها، همینطور باشد، من شما را می بخشم =) - نمودارهای نادرتر بلافاصله به خاطر نمی آیند.

به نظر می رسد دامنه تعریف چیز ساده ای است و یک سؤال منطقی مطرح می شود: مقاله درباره چه چیزی خواهد بود؟ در این درس به مشکلات رایج در یافتن دامنه یک تابع نگاه خواهم کرد. علاوه بر این، ما تکرار می کنیم نابرابری با یک متغیر، مهارت حل آن در سایر کارها مورد نیاز خواهد بود ریاضیات بالاتر. به هر حال، مطالب تماماً مواد مدرسه است، بنابراین نه تنها برای دانش آموزان، بلکه برای دانش آموزان نیز مفید خواهد بود. اطلاعات، البته، تظاهر به دایره المعارفی بودن ندارند، اما در اینجا نمونه های "مرده" دور از ذهن نیست، بلکه شاه بلوط برشته شده است که از کارهای عملی واقعی گرفته شده است.

بیایید با یک فرو رفتن سریع در موضوع شروع کنیم. به طور خلاصه در مورد چیز اصلی: ما در مورد تابعی از یک متغیر صحبت می کنیم. حوزه تعریف آن است معانی بسیاری از "x"، برای کدام وجود داشته باشدمعانی "بازیکنان". بیایید به یک مثال فرضی نگاه کنیم:

دامنه تعریف این تابع ترکیبی از فواصل است:
(برای کسانی که فراموش کرده اند: - نماد وحدت). به عبارت دیگر، اگر هر مقدار "x" را از بازه، یا از، یا از، بگیرید، برای هر یک از این "x" یک مقدار "y" وجود خواهد داشت.

به طور کلی، جایی که دامنه تعریف است، یک نمودار از تابع وجود دارد. اما نیم فاصله و نقطه "tse" در ناحیه تعریف گنجانده نشده است و هیچ نموداری در آنجا وجود ندارد.

چگونه دامنه یک تابع را پیدا کنیم؟ بسیاری از مردم قافیه کودکان را به یاد می آورند: "سنگ، کاغذ، قیچی" و در این مورد می توان آن را با خیال راحت ترجمه کرد: "ریشه، کسری و لگاریتم". بنابراین، اگر شما مسیر زندگیبا کسری، ریشه یا لگاریتم مواجه می شود، باید فوراً بسیار بسیار محتاط باشید! مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین بسیار کمتر رایج هستند و ما همچنین در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. اما ابتدا طرح هایی از زندگی مورچه ها:

دامنه تابعی که شامل کسری است

فرض کنید تابعی به ما داده می شود که شامل کسری است. همانطور که می دانید، شما نمی توانید بر صفر تقسیم کنید: پس آن ها مقادیر "X" که مخرج را به صفر تبدیل می کند در محدوده این تابع گنجانده نشده است..

من در مورد ساده ترین توابع مانند و غیره، زیرا هر کس کاملاً نکاتی را می بیند که در محدوده تعریف آنها گنجانده نشده است. بیایید به کسرهای معنادارتر نگاه کنیم:

مثال 1

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: هیچ چیز خاصی در صورت وجود ندارد، اما مخرج باید غیر صفر باشد. بیایید آن را برابر با صفر قرار دهیم و سعی کنیم نقاط "بد" را پیدا کنیم:

معادله حاصل دو ریشه دارد: . مقادیر داده ها در محدوده عملکرد نیستند. در واقع، تابع یا را جایگزین کنید و خواهید دید که مخرج به صفر می رسد.

پاسخ: دامنه:

مدخل به این صورت است: «حوزه تعریف همه اعداد حقیقی است به استثنای مجموعه ای که از مقادیر تشکیل شده است. " اجازه دهید یادآوری کنم که علامت بک اسلش در ریاضیات نشان دهنده تفریق منطقی است و براکت های فرفری نشان دهنده مجموعه هستند. پاسخ را می توان به طور معادل به صورت اتحاد سه بازه نوشت:

هر کی دوست داره

در نقاط عملکرد را تحمل می کند استراحت های بی پایانو خطوط مستقیم، توسط معادلات داده شده است هستند مجانب عمودیبرای نمودار این تابع با این حال، این یک موضوع کمی متفاوت است، و من بیشتر به این موضوع توجه نمی کنم.

مثال 2

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این کار اساساً شفاهی است و بسیاری از شما تقریباً بلافاصله منطقه تعریف را پیدا خواهید کرد. پاسخ در پایان درس است.

آیا یک کسری همیشه "بد" خواهد بود؟ خیر به عنوان مثال، یک تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. مهم نیست که چه مقدار "x" را بگیریم، مخرج به صفر نمی رسد، علاوه بر این، همیشه مثبت خواهد بود: . بنابراین، دامنه این تابع عبارت است از: .

همه توابع مانند تعریف شده و مداومبر .

وقتی مخرج اشغال می شود، وضعیت کمی پیچیده تر می شود سه جمله ای درجه دوم:

مثال 3

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیایید سعی کنیم نقاطی را پیدا کنیم که مخرج در آنها به صفر می رسد. برای این ما تصمیم خواهیم گرفت معادله درجه دوم:

ممیز منفی بود، به این معنی که هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، و تابع ما در کل محور اعداد تعریف شده است.

پاسخ: دامنه:

مثال 4

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. راه حل و پاسخ در پایان درس است. من به شما توصیه می کنم در مورد مشکلات ساده تنبل نباشید، زیرا با مثال های بعدی سوء تفاهم ها جمع می شود.

دامنه یک تابع با ریشه

عملکرد با ریشه دومزمانی که فقط برای مقادیر "x" تعریف می شود بیان رادیکال غیر منفی است: . اگر ریشه در مخرج قرار گیرد، آنگاه شرط واضح است: . محاسبات مشابه برای هر ریشه با درجه زوج مثبت معتبر است: ، با این حال، ریشه در حال حاضر از درجه 4 در است مطالعات عملکردیادم نمیاد

مثال 5

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد:

قبل از ادامه راه حل، اجازه دهید قوانین اساسی کار با نابرابری ها را که از مدرسه شناخته شده است، یادآوری کنم.

لطفا توجه داشته باشید توجه ویژه! اکنون نابرابری ها را در نظر می گیریم با یک متغیر- یعنی برای ما فقط وجود دارد یک بعدی در امتداد محور. لطفا اشتباه نگیرید نابرابری های دو متغیر، که در آن کل صفحه مختصات از نظر هندسی درگیر است. با این حال، اتفاقات خوشایندی نیز وجود دارد! بنابراین، برای نابرابری، تبدیل‌های زیر معادل هستند:

1) شرایط را می توان با تغییر (شرایط) آنها از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کرد. نشانه ها

2) هر دو طرف نابرابری را می توان در یک عدد مثبت ضرب کرد.

3) اگر دو طرف نامساوی ضرب شود منفیشماره، سپس شما باید تغییر دهید خود نشانه نابرابری. به عنوان مثال، اگر "بیشتر" بود، "کمتر" می شود. اگر «کمتر یا مساوی» بود، «بزرگتر یا مساوی» می‌شود.

در نابرابری، "سه" را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم (قانون شماره 1):

بیایید هر دو طرف نابرابری را در -1 ضرب کنیم (قانون شماره 3):

بیایید هر دو طرف نابرابری را در (قانون شماره 2) ضرب کنیم:

پاسخ: دامنه:

پاسخ را می توان در یک عبارت معادل نیز نوشت: "تابع در تعریف شده است."
از نظر هندسی، ناحیه تعریف با سایه زدن فواصل مربوطه در محور آبسیسا به تصویر کشیده می شود. در این مورد:

من یک بار دیگر به شما یادآوری می کنم معنی هندسیدامنه تعریف - نمودار یک تابع فقط در ناحیه سایه دار وجود دارد و در وجود ندارد.

در بیشتر موارد، یک تعیین کاملاً تحلیلی دامنه تعریف مناسب است، اما زمانی که تابع بسیار پیچیده است، باید یک محور ترسیم کنید و یادداشت برداری کنید.

مثال 6

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

هنگامی که یک دوجمله ای یا سه جمله ای مربعی در زیر ریشه مربع وجود دارد، وضعیت کمی پیچیده تر می شود و اکنون روش حل را با جزئیات تجزیه و تحلیل می کنیم:

مثال 7

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: عبارت رادیکال باید کاملاً مثبت باشد، یعنی باید نابرابری را حل کنیم. در مرحله اول سعی می کنیم سه جمله درجه دوم را فاکتور بگیریم:

تمایز مثبت است، ما به دنبال ریشه ها هستیم:

پس سهمی محور آبسیسا را ​​در دو نقطه قطع می کند، به این معنی که بخشی از سهمی در زیر محور (نابرابری) و بخشی از سهمی در بالای محور قرار دارد (نابرابری که ما نیاز داریم).

از آنجایی که ضریب برابر است، شاخه های سهمی به سمت بالا هستند. از موارد فوق چنین استنباط می شود که نابرابری در بازه ها برآورده می شود (شاخه های سهمی به سمت بالا تا بی نهایت می روند) و راس سهمی در بازه زیر محور x قرار دارد که با نابرابری مطابقت دارد:

! توجه داشته باشید: اگر توضیحات را کامل متوجه نشدید لطفا محور دوم و کل سهمی را بکشید! توصیه می شود به مقاله و کتابچه راهنمای کاربر بازگردید فرمول های داغ برای درس ریاضی مدرسه.

لطفاً توجه داشته باشید که خود امتیازها حذف می شوند (در راه حل گنجانده نمی شوند)، زیرا نابرابری ما شدید است.

پاسخ: دامنه:

به طور کلی، بسیاری از نابرابری ها (از جمله نابرابری در نظر گرفته شده) توسط جهانی حل می شوند روش فاصله، دوباره از برنامه درسی مدرسه شناخته شده است. اما در مورد دوجمله ای ها و سه جمله ای های مربعی، به نظر من، تحلیل موقعیت سهمی نسبت به محور بسیار راحت تر و سریعتر است. و روش اصلی - روش فاصله - را به طور مفصل در مقاله تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تابع صفرها فواصل ثابت.

مثال 8

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. نظرات نمونه به تفصیل در مورد منطق استدلال + روش دوم حل و تبدیل مهم دیگر نابرابری که دانش آموز بدون آگاهی از آن می لنگد روی یک پا...، ...هوم... شاید هیجان زده شدم. در مورد پا، به احتمال زیاد روی یک انگشت. شست.

آیا می توان تابع جذر را روی کل خط اعداد تعریف کرد؟ قطعا. همه چهره های آشنا: . یا جمع مشابه با توان: . در واقع، برای هر مقدار "x" و "ka": ، بنابراین همچنین و .

در اینجا یک مثال کمتر واضح آورده شده است: . در اینجا تفکیک کننده منفی است (پارابولا محور x را قطع نمی کند)، در حالی که شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند، بنابراین دامنه تعریف: .

سوال مقابل: آیا دامنه تعریف تابع می تواند باشد خالی? بله، و یک مثال ابتدایی بلافاصله خود را نشان می دهد ، که در آن عبارت رادیکال برای هر مقدار "x" منفی است، و دامنه تعریف: (نماد مجموعه خالی). چنین تابعی اصلاً تعریف نشده است (البته نمودار هم توهمی است).

با ریشه های عجیب و غریب و غیره. همه چیز خیلی بهتر است - اینجا بیان رادیکال می تواند منفی باشد. به عنوان مثال، یک تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. با این حال، تابع دارای یک نقطه واحد است که هنوز در دامنه تعریف گنجانده نشده است، زیرا مخرج آن صفر است. به همین دلیل برای عملکرد امتیاز حذف شده است.

دامنه یک تابع با لگاریتم

سومین تابع رایج لگاریتم است. به عنوان نمونه می کشم لگاریتم طبیعی، که تقریباً در 99 مثال از 100 مورد رخ می دهد. اگر یک تابع خاص حاوی یک لگاریتم باشد، دامنه تعریف آن باید فقط مقادیر "x" را شامل شود که نابرابری را برآورده می کند. اگر لگاریتم در مخرج باشد:، پس علاوه بر اینشرط تحمیل می شود (از ).

مثال 9

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: مطابق با موارد فوق، سیستم را تنظیم و حل می کنیم:

راه حل گرافیکیبرای Dummies:

پاسخ: دامنه:

من در مورد یک نکته فنی دیگر صحبت خواهم کرد - من مقیاس نشان داده نشده است و تقسیمات در امتداد محور مشخص نشده اند. این سوال مطرح می شود: چگونه می توان چنین نقاشی هایی را در یک دفترچه روی کاغذ شطرنجی انجام داد؟ آیا فاصله بین نقاط باید توسط سلول ها دقیقاً بر اساس مقیاس اندازه گیری شود؟ البته مقیاس بندی آن متعارف تر و سخت گیرانه تر است، اما ترسیم شماتیکی که اساساً وضعیت را منعکس می کند نیز کاملاً قابل قبول است.

مثال 10

دامنه یک تابع را پیدا کنید

برای حل مشکل، می توانید از روش پاراگراف قبلی استفاده کنید - تجزیه و تحلیل کنید که سهمی نسبت به محور x چگونه قرار دارد. پاسخ در پایان درس است.

همانطور که می بینید، در حوزه لگاریتم همه چیز بسیار شبیه به وضعیت ریشه های مربع است: تابع (مثلثی مربع از مثال شماره 7) بر روی بازه ها و تابع تعریف شده است. (دوجمله ای مربع از مثال شماره 6) در بازه . حتی اگر بگوییم توابع نوع در کل خط اعداد تعریف شده اند، ناخوشایند است.

اطلاعات مفید : تابع معمولی جالب است، در کل خط اعداد به جز نقطه تعریف شده است. با توجه به خاصیت لگاریتم، "دو" را می توان در خارج از لگاریتم ضرب کرد، اما برای اینکه تابع تغییر نکند، "x" باید زیر علامت مدول محصور شود: . اینم یکی دیگه برای شما" استفاده عملی» ماژول =). این همان کاری است که در بیشتر موارد هنگام تخریب باید انجام دهید زوجمدرک، به عنوان مثال: . اگر مثلاً پایه درجه مشخصاً مثبت باشد، دیگر نیازی به علامت مدول نیست و کافی است از پرانتز استفاده کنید: .

برای جلوگیری از تکرار، بیایید کار را پیچیده کنیم:

مثال 11

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این تابع هم ریشه داریم و هم لگاریتم.

عبارت رادیکال باید غیر منفی باشد: و عبارت زیر علامت لگاریتم باید کاملاً مثبت باشد: . بنابراین، حل سیستم ضروری است:

بسیاری از شما به خوبی می دانید یا به طور شهودی حدس می زنید که راه حل سیستم باید راضی کننده باشد به هروضعیت.

با بررسی موقعیت سهمی نسبت به محور، به این نتیجه می رسیم که نابرابری با فاصله (سایه آبی) برآورده می شود:

نابرابری آشکارا با نیم فاصله "قرمز" مطابقت دارد.

از آنجایی که هر دو شرط باید رعایت شود همزمان، سپس راه حل سیستم تقاطع این فواصل است. "منافع مشترک" در نیمه وقت برآورده می شود.

پاسخ: دامنه:

نابرابری معمولی، همانطور که در مثال شماره 8 نشان داده شده است، حل تحلیلی دشوار نیست.

دامنه یافت شده برای "عملکردهای مشابه" تغییر نمی کند، به عنوان مثال. یا . همچنین می توانید برخی از توابع پیوسته را اضافه کنید، به عنوان مثال: یا مانند این: ، یا حتی مانند این: . همانطور که می گویند ریشه و لگاریتم چیزهای سرسختی هستند. تنها چیزی که وجود دارد این است که اگر یکی از توابع به مخرج "بازنشانی" شود، دامنه تعریف تغییر خواهد کرد (اگرچه در حالت کلی این همیشه درست نیست). خب در نظریه ماتان در مورد این لفظی ... اوه ... قضایایی وجود دارد.

مثال 12

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. استفاده از نقاشی کاملاً مناسب است، زیرا عملکرد ساده ترین نیست.

چند مثال دیگر برای تقویت مطالب:

مثال 13

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

همه اقدامات قبلاً در سراسر مقاله مورد بحث قرار گرفته است. بیایید فاصله مربوط به نابرابری روی خط اعداد را به تصویر بکشیم و طبق شرط دوم، دو نقطه را حذف کنیم:

معنی کاملاً بی ربط بود.

پاسخ: دامنه

یک جناس ریاضی کوچک در مورد نمونه سیزدهم:

مثال 14

دامنه یک تابع را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. اونایی که از دست دادن شانسشون نیست ;-)

بخش پایانی درس به عملکردهای کمیاب تر، اما همچنین "کار" اختصاص دارد:

مناطق تعریف تابع
با مماس، کوتانژانت، آرکسین، آرکوزین

اگر تابعی شامل , از دامنه تعریف آن است مستثنی شده استنقاطی که در آن ز- مجموعه ای از اعداد صحیح به طور خاص، همانطور که در مقاله ذکر شد نمودارها و خواص توابع ابتدایی، عملکرد سوراخ شده است مقادیر زیر:

یعنی دامنه تعریف مماس: .

زیاد نکشیم:

مثال 15

دامنه یک تابع را پیدا کنید

راه حل: در این صورت موارد زیر در محدوده تعریف لحاظ نخواهد شد:

بیایید "دو" سمت چپ را به مخرج سمت راست بیندازیم:

در نتیجه :

پاسخ: دامنه: .

در اصل، پاسخ را می توان به صورت اتحاد تعداد نامتناهی از بازه ها نوشت، اما ساخت بسیار دشوار خواهد بود:

راه حل تحلیلی کاملاً مطابقت دارد تبدیل هندسی نمودار: اگر آرگومان یک تابع در 2 ضرب شود، نمودار آن دو بار به محور کوچک می شود. توجه کنید که چگونه دوره تابع به نصف کاهش یافته است، و نقاط شکستفرکانس دو برابر شد تاکی کاردی.

داستان مشابهبا کوتانژانت اگر برخی از تابع ها شامل , آنگاه نقاط از دامنه تعریف آن حذف می شوند. به طور خاص، برای تابع انفجار خودکار مقادیر زیر را می گیریم:

به عبارت دیگر: