نحوه محاسبه میانگین حسابی محاسبه با استفاده از Function Wizard. میانگین تولید سالانه محصولات نهایی

مقدار متوسط ​​از نقطه نظر تحلیلی با ارزش ترین و یک شکل جهانی برای بیان شاخص های آماری است. رایج ترین میانگین - میانگین حسابی - دارای تعدادی ویژگی ریاضی است که می توان در محاسبه آن استفاده کرد. در عین حال، هنگام محاسبه یک میانگین خاص، همیشه توصیه می شود که بر فرمول منطقی آن تکیه کنید، که نسبت حجم ویژگی به حجم جمعیت است. برای هر میانگین فقط یک رابطه اولیه واقعی وجود دارد که اجرای آن بسته به داده های موجود ممکن است نیاز داشته باشد اشکال مختلفمیانگین. با این حال، در همه مواردی که ماهیت مقداری که به طور میانگین نشان داده می شود، وجود وزن ها را نشان می دهد، استفاده از فرمول های وزنی نشده آنها به جای فرمول های میانگین وزنی غیرممکن است.

مقدار متوسط ​​مشخص ترین مقدار ویژگی برای جمعیت و اندازه ویژگی جمعیت است که در سهم های مساوی بین واحدهای جمعیت توزیع شده است.

مشخصه ای که مقدار متوسط ​​برای آن محاسبه می شود نامیده می شود متوسط .

مقدار متوسط ​​شاخصی است که با مقایسه مقادیر مطلق یا نسبی محاسبه می شود. مقدار متوسط ​​نشان داده شده است

مقدار متوسط ​​منعکس کننده تأثیر همه عوامل مؤثر بر پدیده مورد مطالعه است و برای آنها نتیجه است. به عبارت دیگر، با خاموش کردن انحرافات فردی و از بین بردن تأثیر موارد، مقدار متوسط، منعکس کننده معیار کلی نتایج این عمل، به عنوان یک الگوی کلی از پدیده مورد مطالعه عمل می کند.

شرایط استفاده از مقادیر متوسط:

Ø همگنی جمعیت مورد مطالعه. اگر برخی از عناصر یک جمعیت تحت تأثیر یک عامل تصادفی دارای مقادیر مشخصه مورد مطالعه باشد که به طور قابل توجهی با بقیه متفاوت است، آنگاه این عناصر بر اندازه میانگین این جمعیت تأثیر می‌گذارند. در این مورد، میانگین معمول ترین مقدار مشخصه را برای جمعیت بیان نمی کند. اگر پدیده مورد مطالعه ناهمگن باشد، مستلزم تقسیم آن به گروه های حاوی عناصر همگن است. در این مورد، میانگین های گروه محاسبه می شود - میانگین های گروه، بیانگر مشخصه ترین مقدار پدیده در هر گروه، و سپس مقدار میانگین کلی برای همه عناصر محاسبه می شود و پدیده را به عنوان یک کل مشخص می کند. به عنوان میانگین میانگین های گروه، وزن دهی شده بر اساس تعداد عناصر جمعیت موجود در هر گروه محاسبه می شود.

Ø تعداد کافی واحد در کل؛

Ø حداکثر و حداقل مقادیر مشخصه در جمعیت مورد مطالعه.

مقدار متوسط ​​(شاخص)یک مشخصه کمی تعمیم یافته از یک ویژگی در یک مجموعه سیستماتیک تحت شرایط خاص مکان و زمان است..

در آمار از اشکال زیر (انواع) میانگین ها به نام توانی و ساختاری استفاده می شود:

Ø میانگین حسابی(ساده و وزن دار)؛

ساده

مقادیر متوسط ​​به طور گسترده در آمار استفاده می شود. مقادیر متوسط ​​شاخص های کیفی فعالیت تجاری را مشخص می کند: هزینه های توزیع، سود، سودآوری و غیره.

میانگین - این یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. درک صحیح از ماهیت میانگین اهمیت ویژه آن را در اقتصاد بازار تعیین می کند، زمانی که میانگین، از طریق فردی و تصادفی، به ما اجازه می دهد تا کلی و ضروری را شناسایی کنیم، تا روند الگوهای توسعه اقتصادی را شناسایی کنیم.

مقدار متوسط - اینها شاخص های کلی هستند که در آنها اقدامات بیان می شود شرایط عمومی، الگوهای پدیده مورد مطالعه.

میانگین های آماری بر اساس داده های انبوه از مشاهده انبوه به طور صحیح سازماندهی شده آماری (مستمر و انتخابی) محاسبه می شوند. با این حال، میانگین آماری اگر از داده های انبوه برای یک جمعیت کیفی همگن (پدیده های انبوه) محاسبه شود، عینی و معمولی خواهد بود. به عنوان مثال، اگر میانگین دستمزد را در تعاونی ها و شرکت های دولتی محاسبه کنید و نتیجه را به کل جمعیت تعمیم دهید، آنگاه میانگین ساختگی است، زیرا برای جمعیتی ناهمگن محاسبه می شود و چنین میانگینی معنای خود را از دست می دهد.

با کمک میانگین، تفاوت‌های ارزش یک مشخصه که به دلایلی در واحدهای مشاهده‌ای منفرد ایجاد می‌شوند، هموار می‌شوند.

به عنوان مثال، میانگین بهره وری یک فروشنده به دلایل زیادی بستگی دارد: صلاحیت، مدت خدمت، سن، نوع خدمات، سلامت و غیره.

میانگین خروجی منعکس کننده ویژگی کلی کل جمعیت است.

مقدار متوسط ​​بازتابی از مقادیر مشخصه مورد مطالعه است، بنابراین در همان بعد این مشخصه اندازه گیری می شود.

هر مقدار متوسط ​​جامعه مورد مطالعه را با توجه به هر یک از مشخصه ها مشخص می کند. برای به دست آوردن درک کامل و جامع از جمعیت مورد مطالعه با توجه به تعدادی از ویژگی های اساسی، به طور کلی لازم است سیستمی از مقادیر متوسط ​​وجود داشته باشد که بتواند پدیده را از زوایای مختلف توصیف کند.

میانگین های مختلفی وجود دارد:

میانگین حسابی؛

میانگین هندسی؛

میانگین هارمونیک؛

مربع میانگین؛

میانگین زمانی

بیایید به چند نوع میانگین که بیشتر در آمار استفاده می شود نگاه کنیم.

میانگین حسابی

میانگین حسابی ساده (بدون وزن) برابر است با مجموع مقادیر مجزای صفت تقسیم بر تعداد این مقادیر.

مقادیر مجزای یک مشخصه را variant می نامند و با x() نشان داده می شوند. تعداد واحدهای جمعیت با n نشان داده می شود، مقدار متوسط ​​مشخصه با نشان داده می شود . بنابراین، میانگین حسابی ساده برابر است با:

با توجه به داده های سری توزیع گسسته، واضح است که همان مقادیر مشخصه (انواع) چندین بار تکرار می شود. بنابراین گزینه x در مجموع 2 بار و گزینه x 16 بار و غیره رخ می دهد.

تعداد مقادیر یکسان یک مشخصه در سری توزیع فرکانس یا وزن نامیده می شود و با نماد n نشان داده می شود.

بیایید میانگین حقوق یک کارگر را محاسبه کنیم در مالش.:

صندوق دستمزد برای هر گروه از کارگران برابر است با حاصل ضرب گزینه ها و فراوانی و مجموع این محصولات کل صندوق دستمزد همه کارگران را نشان می دهد.

با توجه به این، محاسبات را می توان به شکل کلی ارائه کرد:

فرمول حاصل را میانگین حسابی وزنی می نامند.

در نتیجه پردازش، مطالب آماری را می توان نه تنها در قالب سری های توزیع گسسته، بلکه در قالب سری های تغییرات بازه ای با بازه های بسته یا باز ارائه کرد.

میانگین برای داده های گروه بندی شده با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی محاسبه می شود:

در عمل آمارهای اقتصادی، گاهی لازم است میانگین را با استفاده از میانگین های گروهی یا میانگین های تک تک افراد جامعه (میانگین جزئی) محاسبه کرد. در چنین مواردی، میانگین‌های گروهی یا خصوصی به‌عنوان گزینه (x) در نظر گرفته می‌شوند که بر اساس آن، میانگین کلی به‌عنوان یک میانگین حسابی موزون معمولی محاسبه می‌شود.

ویژگی های اساسی میانگین حسابی .

میانگین حسابی چند ویژگی دارد:

1. از کاهش یا افزایش فراوانی هر مقدار مشخصه x به میزان n برابر مقدار میانگین حسابیتغییر نخواهد کرد.

اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، مقدار متوسط ​​تغییر نمی کند.

2. ضریب مشترک مقادیر فردی یک مشخصه را می توان فراتر از علامت میانگین گرفت:

3. میانگین مجموع (تفاوت) دو یا چند کمیت برابر است با مجموع (تفاوت) میانگین آنها:

4. اگر x = c، که در آن c یک مقدار ثابت است، پس
.

5. مجموع انحراف مقادیر ویژگی X از میانگین حسابی x برابر با صفر است:

میانگین هارمونیک

همراه با میانگین حسابی، آمار از میانگین هارمونیک، معکوس میانگین حسابی مقادیر معکوس صفت استفاده می کند. مانند میانگین حسابی، می تواند ساده و وزنی باشد.

ویژگی های سری تغییرات به همراه میانگین ها حالت و میانه هستند.

روش - این مقدار یک مشخصه (نوعی) است که اغلب در جمعیت مورد مطالعه تکرار می شود. برای سری های توزیع گسسته، حالت مقدار متغیری با بالاترین فرکانس خواهد بود.

برای سری های توزیع بازه ای با فواصل مساوی، حالت با فرمول تعیین می شود:

جایی که
- مقدار اولیه بازه حاوی حالت؛

- مقدار فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله مودال؛

- فرکانس فاصله قبل از مدال.

- فرکانس فاصله پس از یک حالت.

میانه - این گزینه ای است که در وسط سری تغییرات قرار دارد. اگر سری توزیع گسسته است و دارد عدد فرداعضا، سپس میانه گزینه ای خواهد بود که در وسط سری مرتب شده قرار دارد (یک سری مرتب، آرایش واحدهای جمعیتی به ترتیب صعودی یا نزولی است).

ویژگی های واحدهای کل آماری از نظر معنایی متفاوت است، به عنوان مثال، دستمزد کارگران در همان حرفه یک شرکت برای مدت زمان یکسان، قیمت های بازار برای محصولات مشابه، عملکرد محصول در منطقه یکسان نیست. مزارع و غیره بنابراین، برای تعیین مقدار یک مشخصه که مشخصه کل جمعیت واحدهای مورد مطالعه است، مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.
مقدار متوسط – این یک ویژگی تعمیم دهنده مجموعه ای از مقادیر فردی برخی از ویژگی های کمی است.

جامعه مورد مطالعه بر اساس کمی از ارزش های فردی تشکیل شده است. تحت تأثیر قرار می گیرند دلایل رایج، بنابراین شرایط فردی. در مقدار متوسط، انحرافات مشخصه مقادیر فردی لغو می شوند. میانگین که تابعی از مجموعه ای از مقادیر فردی است، کل کل را با یک مقدار نشان می دهد و آنچه را که در همه واحدهای آن مشترک است منعکس می کند.

میانگین محاسبه شده برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن نامیده می شود میانگین معمولی. به عنوان مثال، می توانید میانگین حقوق ماهانه یک کارمند از یک گروه حرفه ای خاص (معدن، پزشک، کتابدار) را محاسبه کنید. البته سطح دستمزد ماهانه معدنچیان به دلیل تفاوت در صلاحیت، مدت خدمت، زمان کار در ماه و بسیاری عوامل دیگر، با یکدیگر و با سطح متوسط ​​دستمزد متفاوت است. با این حال، سطح متوسط ​​منعکس کننده عوامل اصلی تأثیرگذار بر سطح دستمزد است و تفاوت هایی که به دلیل ویژگی های فردی کارمند ایجاد می شود لغو می شود. متوسط ​​حقوق نشان دهنده سطح معمولی دستمزد برای یک نوع معین از کارگر است. به دست آوردن یک میانگین معمولی باید قبل از تجزیه و تحلیل میزان همگن بودن جامعه از نظر کیفی انجام شود. اگر کلیت شامل بخش‌های جداگانه باشد، باید به گروه‌های معمولی تقسیم شود ( دمای میانگینتوسط بیمارستان).

مقادیر متوسطی که به عنوان ویژگی برای جمعیت های ناهمگن استفاده می شود نامیده می شود میانگین های سیستم. به عنوان مثال، میانگین ارزش تولید ناخالص داخلی (GDP) سرانه، میانگین ارزش مصرف گروه‌های مختلف کالا به ازای هر نفر و سایر مقادیر مشابه که نشان‌دهنده ویژگی‌های عمومی دولت به عنوان یک نظام اقتصادی واحد است.

میانگین باید برای جمعیت هایی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده اند محاسبه شود. رعایت این شرط برای لازم الاجرا شدن قانون است اعداد بزرگ، در نتیجه انحرافات تصادفی مقادیر فردی از روند کلییکدیگر را خنثی کنند

انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. با این حال، هر مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی جایگزین هر یک از انواع مشخصه میانگین می‌شود، نهایی، تعمیم‌دهنده یا، همانطور که معمولاً نامیده می‌شود، تغییر نکند. شاخص تعریف، که با شاخص میانگین همراه است. به عنوان مثال، هنگام جایگزینی سرعت های واقعی در بخش های جداگانه مسیر، آنها سرعت متوسطکل مسافت طی شده توسط وسیله نقلیه در همان زمان نباید تغییر کند. هنگام جایگزینی دستمزد واقعی کارگران فردیشرکت های متوسط دستمزدصندوق دستمزد نباید تغییر کند. در نتیجه، در هر مورد خاص، بسته به ماهیت داده‌های موجود، تنها یک مقدار متوسط ​​واقعی از شاخص وجود دارد که برای ویژگی‌ها و ماهیت پدیده اجتماعی-اقتصادی مورد مطالعه مناسب باشد.
بیشترین مورد استفاده عبارتند از میانگین حسابی، میانگین هارمونیک، میانگین هندسی، میانگین درجه دوم و میانگین مکعب.
میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند آرام بخشمیانگین ها و با فرمول کلی ترکیب می شوند:
,
میانگین مقدار مشخصه مورد مطالعه کجاست.
m - شاخص درجه متوسط؛
- مقدار فعلی (نوع) مشخصه در حال میانگین.
n - تعداد ویژگی ها.
بسته به مقدار توان m، انواع میانگین توان زیر متمایز می شود:
وقتی m = -1 - میانگین هارمونیک؛
در m = 0 - میانگین هندسی.
برای m = 1 - میانگین حسابی.
برای m = 2 - ریشه میانگین مربع؛
در m = 3 - مکعب متوسط.
هنگام استفاده از همان داده های اولیه، هر چه توان m در فرمول بالا بزرگتر باشد، ارزش بیشتر اندازه متوسط:
.
این ویژگی میانگین توان برای افزایش با افزایش توان تابع تعریف نامیده می شود قانون اکثریت میانگین ها.
هر یک از میانگین های مشخص شده می تواند به دو شکل باشد: سادهو وزن دار.
فرم متوسط ​​سادهزمانی استفاده می شود که میانگین از داده های اولیه (گروه بندی نشده) محاسبه شود. فرم وزنی- هنگام محاسبه میانگین بر اساس داده های ثانویه (گروهی).

میانگین حسابی

میانگین حسابی زمانی استفاده می شود که حجم جامعه مجموع تمام مقادیر فردی یک مشخصه متفاوت باشد. لازم به ذکر است که اگر نوع میانگین مشخص نشده باشد، میانگین حسابی فرض می شود. فرمول منطقی آن به این صورت است:

میانگین حسابی سادهمحاسبه شد بر اساس داده های گروه بندی نشده طبق فرمول:
یا ،
ارزش های فردی مشخصه کجاست.
j – شماره سریالواحد مشاهده که با مقدار مشخص می شود.
N – تعداد واحدهای مشاهده (حجم جمعیت).
مثال.سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" نتایج مشاهده تجربه کاری یک تیم 10 نفره را مورد بررسی قرار داد. بیایید میانگین تجربه کاری کارگران تیم را محاسبه کنیم. 5، 3، 5، 4، 3، 4، 5، 4، 2، 4.

با استفاده از فرمول میانگین حسابی ساده نیز می توانیم محاسبه کنیم میانگین ها در سری های زمانی، اگر فواصل زمانی که مقادیر مشخصه برای آنها ارائه می شود برابر باشد.
مثال.جلد محصولات فروخته شدهبرای سه ماهه اول به مبلغ 47 den. واحد، برای دوم 54، برای سوم 65 و برای چهارم 58 den. واحدها متوسط ​​گردش مالی سه ماهه (47+54+65+58)/4 = 56 den است. واحدها
اگر شاخص های لحظه ای در یک سری زمانی ارائه شوند، در هنگام محاسبه میانگین آنها با نصف مجموع مقادیر در ابتدا و انتهای دوره جایگزین می شوند.
اگر بیش از دو لحظه وجود داشته باشد و فواصل بین آنها برابر باشد، میانگین با استفاده از فرمول میانگین زمانی محاسبه می شود.

,
که در آن n تعداد نقاط زمانی است
در موردی که داده ها با مقادیر مشخصه گروه بندی می شوند (یعنی یک سری توزیع متغیر گسسته ساخته شده است) با میانگین وزنی حسابیمحاسبه شده با استفاده از فرکانس یا فرکانس مشاهده مقادیر خاص مشخصه، که تعداد آنها (k) قابل توجه است. تعداد کمترمشاهدات (N) .
,
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است،
i – شماره گروه سری تغییرات.
از آنجا که، a، فرمول های مورد استفاده برای محاسبات عملی را به دست می آوریم:
و
مثال.بیایید میانگین طول خدمت تیم های کاری را در یک ردیف گروهی محاسبه کنیم.
الف) با استفاده از فرکانس ها:

ب) استفاده از فرکانس ها:

در موردی که داده ها بر اساس فواصل گروه بندی می شوند ، یعنی در قالب سری های توزیع بازه ای ارائه می شوند؛ هنگام محاسبه میانگین حسابی، بر اساس فرض توزیع یکنواخت واحدهای جمعیت در یک بازه معین، وسط بازه به عنوان مقدار مشخصه در نظر گرفته می شود. محاسبه با استفاده از فرمول انجام می شود:
و
وسط فاصله کجاست:
مرزهای پایین و بالایی فواصل کجا و هستند (به شرطی که مرز بالایی یک بازه معین با مرز پایینی بازه بعدی منطبق باشد).

مثال.بیایید میانگین حسابی سری تغییرات بازه ای ساخته شده بر اساس نتایج مطالعه دستمزد سالانه 30 کارگر را محاسبه کنیم (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید).
جدول 1 - توزیع سری تغییرات فاصله.

فواصل، UAH	فرکانس، مردم	فرکانس،	وسط فاصله
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH یا UAH
به دلیل توزیع نابرابر مقادیر مشخصه ها در فواصل، میانگین های حسابی محاسبه شده بر اساس داده های منبع و سری های تغییرات بازه ای ممکن است مطابقت نداشته باشند. در این صورت، برای محاسبه دقیق تر میانگین حسابی وزنی، نه از وسط فواصل، بلکه باید از میانگین حسابی ساده محاسبه شده برای هر گروه استفاده کرد. میانگین های گروهی). میانگین محاسبه شده از میانگین های گروه با استفاده از فرمول محاسبه وزنی نامیده می شود میانگین عمومی.
میانگین حسابی دارای تعدادی ویژگی است.
1. مجموع انحرافات از گزینه میانگین صفر است:
.
2. اگر همه مقادیر گزینه به مقدار A افزایش یا کاهش یابد، مقدار متوسط ​​به همان مقدار A افزایش یا کاهش می یابد:

3. اگر هر گزینه به اندازه B بار کم یا زیاد شود، مقدار متوسط ​​نیز به همان تعداد بار افزایش یا کاهش می یابد:
یا
4. مجموع حاصلضرب های اختیار بر اساس فرکانس ها برابر است با حاصلضرب مقدار متوسط ​​در مجموع فرکانس ها:

5. اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، میانگین حسابی تغییر نمی کند:

6) اگر در همه فواصل بسامدها با هم برابر باشند، میانگین حسابی وزن دار برابر با میانگین حسابی ساده است:
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است.

استفاده از خواص میانگین به شما امکان می دهد محاسبه آن را ساده کنید.
فرض کنید همه گزینه های (x) ابتدا با یک عدد A کاهش یافته و سپس با ضریب B کاهش می یابد. بیشترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که مقدار وسط بازه با بیشترین فرکانس به عنوان A و مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل یکسان) به عنوان B انتخاب شود. کمیت A را مبدأ می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین نامیده می شود مسیرب مرجع اهم از صفر شرطییا راه لحظات.
پس از چنین تبدیلی، یک سری توزیع متغیر جدید بدست می آوریم که انواع آن برابر است. میانگین حسابی آنها نامیده می شود لحظه اولین سفارش،با فرمول بیان می شود و با توجه به ویژگی های دوم و سوم، میانگین حسابی برابر با میانگین نسخه اصلی است که ابتدا A و سپس B برابر می شود، یعنی.
برای گرفتن میانگین واقعی(میانگین سری اصلی) باید لحظه مرتبه اول را در B ضرب کنید و A را اضافه کنید:

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 2.
جدول 2 - توزیع کارگران مغازه های کارخانه بر اساس سابقه خدمت

مدت خدمت کارکنان، سالها	تعداد کارگران	وسط فاصله
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

پیدا کردن اولین لحظه سفارش . سپس با دانستن اینکه A = 17.5 و B = 5 است، میانگین طول خدمت کارگران کارگاه را محاسبه می کنیم:
سال ها

میانگین هارمونیک
همانطور که در بالا نشان داده شد، میانگین حسابی برای محاسبه مقدار میانگین یک مشخصه در مواردی که انواع x و فرکانس آنها f مشخص است استفاده می شود.
اگر اطلاعات آماری حاوی فرکانس f برای گزینه های تکی x از جامعه نباشد، اما به عنوان محصول آنها ارائه شود، فرمول اعمال می شود. میانگین هارمونیک وزنی. برای محاسبه میانگین، بیایید مشخص کنیم که کجا . با جایگزینی این عبارات به فرمول میانگین وزنی حسابی، فرمول میانگین موزون هارمونیک را به دست می آوریم:
,
حجم (وزن) مقادیر ویژگی شاخص در بازه شماره i (i=1,2, …, k) کجاست.

بنابراین، میانگین هارمونیک در مواردی استفاده می شود که خود گزینه ها نیستند که مشمول جمع می شوند، بلکه متقابل آنها هستند: .
در مواردی که وزن هر گزینه برابر با یک، یعنی مقادیر فردی مشخصه معکوس یک بار، اعمال می شود به معنای هارمونیک ساده:
,
در کجا انواع مختلف مشخصه معکوس وجود دارد که یک بار اتفاق می افتد.
N - گزینه شماره.
اگر میانگین های هارمونیک برای دو بخش از جمعیت وجود داشته باشد، میانگین کلی برای کل جمعیت با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

و نامیده می شود میانگین هارمونیک وزنی میانگین های گروهی.

مثال.در جریان معاملات در صرافی، سه معامله در ساعت اول فعالیت منعقد شد. داده های مربوط به میزان فروش و نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا در جدول آورده شده است. 3 (ستون های 2 و 3). میانگین نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا را برای ساعت اول معاملات تعیین کنید.
جدول 3 - داده های پیشرفت معاملات در ارز

میانگین نرخ مبادله دلار بر اساس نسبت مقدار hryvnia فروخته شده در تمام معاملات به مقدار دلار به دست آمده در نتیجه همان معاملات تعیین می شود. مبلغ نهایی فروش گریونیا از ستون 2 جدول مشخص می شود و تعداد دلار خریداری شده در هر تراکنش با تقسیم مبلغ فروش گریونیا بر نرخ مبادله آن تعیین می شود (ستون 4). در مجموع 22 میلیون دلار طی سه تراکنش خریداری شد. این بدان معنی است که میانگین نرخ مبادله hryvnia برای یک دلار بود
.
مقدار حاصل واقعی است، زیرا جایگزینی آن با نرخ واقعی مبادله گریونا در معاملات، مقدار نهایی فروش هریونیا را تغییر نخواهد داد، که به عنوان شاخص تعریف: میلیون UAH
اگر از میانگین حسابی برای محاسبه استفاده شود، یعنی. hryvnia ، سپس در نرخ ارز برای خرید 22 میلیون دلار. لازم است 110.66 میلیون UAH خرج شود که این درست نیست.

میانگین هندسی
میانگین هندسی برای تجزیه و تحلیل دینامیک پدیده ها استفاده می شود و به ما امکان می دهد تا تعیین کنیم ضریب متوسطرشد هنگام محاسبه میانگین هندسی، مقادیر فردی مشخصه است شاخص های نسبیدینامیک ساخته شده در قالب کمیت های زنجیره ای، به عنوان نسبت هر سطح به سطح قبلی.
میانگین هندسی ساده با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
,
علامت محصول کجاست
N - تعداد مقادیر متوسط.
مثال.تعداد جرایم ثبت شده طی 4 سال 1.57 برابر افزایش یافته است، از جمله برای اول - 1.08 برابر، برای 2 - 1.1 برابر، برای سوم - 1.18 و برای چهارم - 1.12 برابر. سپس متوسط ​​نرخ رشد سالانه تعداد جرایم عبارت است از: تعداد جرایم ثبت شده سالانه به طور متوسط ​​12 درصد رشد داشته است.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

برای محاسبه میانگین وزنی مربع، جدول را تعیین و وارد می کنیم و . سپس میانگین انحراف طول محصولات از هنجار داده شده برابر است با:

میانگین حسابی در این مورد نامناسب خواهد بود، زیرا در نتیجه ما انحراف صفر خواهیم داشت.
استفاده از مربع میانگین بیشتر از نظر تغییرات مورد بحث قرار خواهد گرفت.

روش میانگین ها

3.1 ماهیت و معنای میانگین ها در آمار. انواع میانگین ها

اندازه متوسطدر آمار یک مشخصه تعمیم یافته از پدیده ها و فرآیندهای کیفی همگن با توجه به برخی ویژگی های متفاوت است که سطح ویژگی مربوط به یک واحد از جمعیت را نشان می دهد. مقدار متوسط انتزاعی، زیرا ارزش یک ویژگی را در برخی از واحدهای غیرشخصی جمعیت مشخص می کند.ذاتمقدار متوسط ​​آن است که از طریق فردی و تصادفی کلیات و ضروریات، یعنی گرایش و الگوی توسعه پدیده های توده ای آشکار شود. علائمی که در مقادیر متوسط ​​تعمیم داده می شوند در همه واحدهای جمعیت ذاتی هستند. به همین دلیل، مقدار متوسط ​​برای شناسایی الگوهای ذاتی پدیده های توده ای و غیر قابل توجه در واحدهای فردی جمعیت از اهمیت بالایی برخوردار است.

اصول کلی برای استفاده از میانگین ها:

انتخاب معقول واحد جمعیتی که مقدار متوسط ​​برای آن محاسبه می شود ضروری است.

هنگام تعیین مقدار متوسط، باید از محتوای کیفی مشخصه میانگین گیری شده، رابطه ویژگی های مورد مطالعه و همچنین داده های موجود برای محاسبه را در نظر گرفت.

مقادیر متوسط ​​باید بر اساس جمعیت های کیفی همگن محاسبه شود که با روش گروه بندی به دست می آید که شامل محاسبه یک سیستم شاخص های تعمیم می شود.

میانگین های کلی باید توسط میانگین های گروهی پشتیبانی شوند.

بسته به ماهیت داده های اولیه، دامنه کاربرد و روش محاسبه در آمار، موارد زیر متمایز می شوند: انواع اصلی رسانه:

1) میانگین های توان(میانگین حسابی، هارمونیک، هندسی، میانگین مربع و مکعب)؛

2) ابزارهای ساختاری (ناپارامتریک).(حالت و میانه).

در آمار، توصیف صحیح جمعیت مورد مطالعه با توجه به یک ویژگی متفاوت در هر مورد جداگانه تنها با یک نوع میانگین بسیار خاص ارائه می شود. این سؤال که چه نوع میانگینی باید در یک مورد خاص اعمال شود، از طریق تجزیه و تحلیل خاصی از جمعیت مورد مطالعه و همچنین بر اساس اصل معنی دار بودن نتایج هنگام جمع کردن یا وزن کردن حل می شود. این و اصول دیگر در آمار بیان شده است نظریه میانگین ها.

به عنوان مثال، میانگین حسابی و میانگین هارمونیک برای مشخص کردن مقدار میانگین یک مشخصه متغیر در جامعه مورد مطالعه استفاده می شود. میانگین هندسی فقط هنگام محاسبه میانگین نرخ دینامیک استفاده می شود و میانگین درجه دوم فقط برای محاسبه شاخص های تغییرات استفاده می شود.

فرمول های محاسبه مقادیر میانگین در جدول 3.1 ارائه شده است.

جدول 3.1 - فرمول های محاسبه مقادیر میانگین

انواع میانگین ها	فرمول های محاسباتی
	ساده	وزن دار
1. میانگین حسابی
2. میانگین هارمونیک
3. میانگین هندسی
4. مربع متوسط

نامگذاری ها:- مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود. - میانگین، جایی که نوار بالا نشان می دهد که میانگین مقادیر فردی انجام می شود. - فرکانس (تکرارپذیری مقادیر فردی یک مشخصه).

بدیهی است که میانگین های مختلف از آن استخراج می شوند فرمول کلی میانگین توان (3.1) :

, (3.1)

وقتی k = + 1 - میانگین حسابی. k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = +2 - ریشه میانگین مربع.

مقادیر متوسط ​​می توانند ساده یا وزن دار باشند. میانگین های موزون مقادیری نامیده می شوند که در نظر بگیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است اعداد مختلفی داشته باشند. در این رابطه هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. "مقیاس" در این مورد تعداد واحدهای کل در گروه های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط.

در نهایت انتخاب صحیح میانگینترتیب زیر را در نظر می گیرد:

الف) ایجاد یک شاخص کلی از جمعیت؛

ب) تعیین رابطه ریاضی مقادیر برای یک شاخص کلی معین.

ج) جایگزینی مقادیر فردی با مقادیر متوسط؛

د) محاسبه میانگین با استفاده از معادله مناسب.

3.2 میانگین حسابی و خواص آن و تکنیک های حساب. میانگین هارمونیک

میانگین حسابی– رایج ترین نوع سایز متوسط؛ در مواردی محاسبه می شود که حجم مشخصه میانگین به عنوان مجموع مقادیر آن برای واحدهای فردی از جامعه آماری مورد مطالعه تشکیل می شود.

مهمترین ویژگی های میانگین حسابی:

1. حاصلضرب میانگین با مجموع فرکانس ها همیشه برابر است با مجموع حاصلضرب انواع (مقادیر منفرد) بر اساس فرکانس ها.

2. اگر هر عدد دلخواه را از هر گزینه کم کنید (اضافه کنید)، آنگاه میانگین جدید به همان عدد کاهش می یابد (افزایش می یابد).

3. اگر هر گزینه در یک عدد دلخواه ضرب (تقسیم) شود، میانگین جدید به همان مقدار افزایش (کاهش) خواهد داشت.

4. اگر همه فرکانس ها (وزن ها) در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، میانگین حسابی تغییر نمی کند.

5. مجموع انحراف گزینه های فردی از میانگین حسابی همیشه صفر است.

می توانید یک مقدار ثابت دلخواه را از تمام مقادیر مشخصه کم کنید (ترجیحاً مقدار گزینه میانی یا گزینه هایی با بالاترین فرکانس)، تفاوت های حاصل را با یک عامل مشترک (ترجیحاً با مقدار بازه) کاهش دهید. و فرکانس ها را به صورت جزئی بیان کنید (در درصد) و میانگین محاسبه شده را در ضریب مشترک ضرب کنید و مقدار ثابت دلخواه را اضافه کنید. این روش محاسبه میانگین حسابی نامیده می شود روش محاسبه از صفر شرطی .

میانگین هندسیهنگامی که مقادیر فردی یک مشخصه در قالب مقادیر نسبی ارائه می شود، کاربرد خود را در تعیین میانگین نرخ رشد (متوسط ​​ضرایب رشد) پیدا می کند. همچنین در صورت لزوم یافتن میانگین بین حداقل و استفاده می شود حداکثر مقادیرمشخصه (مثلاً بین 100 تا 1000000).

مربع متوسطبرای اندازه گیری تغییرات یک مشخصه در کل (محاسبه انحراف معیار) استفاده می شود.

در آمار معتبر است قانون اکثریت میانگین ها:

X آسیب.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 میانگین های ساختاری (حالت و میانه)

برای تعیین ساختار یک جمعیت از شاخص های میانگین ویژه ای استفاده می شود که شامل میانه و مد یا به اصطلاح میانگین های ساختاری است. اگر میانگین حسابی بر اساس استفاده از همه انواع مقادیر مشخصه محاسبه شود، آنگاه میانه و حالت مقدار متغیری را مشخص می کند که موقعیت متوسط ​​خاصی را در سری تغییرات رتبه بندی شده اشغال می کند.

روش- معمولی ترین، بیشترین مقداری که اغلب با آن مواجه می شود. برای سری گسستهمد گزینه ای با بالاترین فرکانس خواهد بود. برای تعیین مد سری بازه ایابتدا فاصله مودال (فاصله دارای بیشترین فرکانس) تعیین می شود. سپس در این بازه مقدار ویژگی پیدا می شود که می تواند یک حالت باشد.

برای یافتن مقدار خاصی از حالت یک سری بازه ای، باید از فرمول (3.2) استفاده کنید.

(3.2)

که در آن XMo حد پایین بازه مودال است. i Mo - مقدار فاصله مودال؛ f Mo - فرکانس بازه مودال. f Mo-1 - فرکانس فاصله قبل از مودال. f Mo+1 بسامد بازه بعد از مودال است.

مد در هنگام مطالعه تقاضای مصرف کننده، به ویژه هنگام تعیین محبوب ترین اندازه های لباس و کفش، و هنگام تنظیم سیاست های قیمت گذاری، در فعالیت های بازاریابی گسترده است.

میانه - ارزش یک مشخصه متفاوت که در وسط جمعیت رتبه بندی شده قرار می گیرد. برای سری های رتبه بندی شده با عدد فردمقادیر فردی (به عنوان مثال، 1، 2، 3، 6، 7، 9، 10) میانه مقداری خواهد بود که در مرکز سری قرار دارد، یعنی. مقدار چهارم 6 است. برای سری های رتبه بندی شده با عدد زوجمقادیر فردی (به عنوان مثال، 1، 5، 7، 10، 11، 14) میانه مقدار میانگین حسابی خواهد بود که از دو مقدار مجاور محاسبه می شود. برای مورد ما، میانه (7+10)/2=8.5 است.

بنابراین، برای پیدا کردن میانه، ابتدا باید شماره سریال آن (موقعیت آن در سری رتبه بندی شده) را با استفاده از فرمول (3.3) تعیین کنید:

(در صورت عدم وجود فرکانس)

نمن =
(در صورت وجود فرکانس) (3.3)

که در آن n تعداد واحدهای کل است.

مقدار عددی میانه سری بازه ایتوسط فرکانس های انباشته شده در یک سری تغییرات گسسته تعیین می شود. برای انجام این کار، ابتدا باید بازه‌ای را که میانه در سری بازه‌ای توزیع یافت می‌شود مشخص کنید. میانه اولین بازه ای است که مجموع فرکانس های انباشته شده از نصف مشاهدات از تعداد کل مشاهدات بیشتر می شود.

مقدار عددی میانه معمولاً با فرمول (3.4) تعیین می شود.

(3.4)

که در آن x Ме حد پایین بازه میانه است. iMe - مقدار فاصله؛ SМе -1 فرکانس انباشته فاصله قبل از میانه است. fMe - فرکانس بازه میانه.

در بازه یافت شده، میانه نیز با استفاده از فرمول Me = محاسبه می شود xl e، که در آن فاکتور دوم در سمت راست تساوی، مکان میانه را در بازه میانه نشان می دهد و x طول این بازه است. میانه سری تغییرات را بر اساس فرکانس به نصف تقسیم می کند. هنوز مشخص می شود یک چهارم ، که سری تغییرات را به 4 قسمت با اندازه یکسان در احتمال تقسیم می کنند و دهک ها ، ردیف را به 10 قسمت مساوی تقسیم کنید.

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به معنی متوسط ​​مراجعه کنید.

میانگین(در ریاضیات و آمار) مجموعه اعداد - مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد آنها. یکی از رایج ترین معیارهای گرایش مرکزی است.

فیثاغورثی ها (همراه با میانگین هندسی و میانگین هارمونیک) پیشنهاد کردند.

موارد خاص میانگین حسابی عبارتند از میانگین (جمعیت عمومی) و میانگین نمونه (نمونه).

معرفی

اجازه دهید مجموعه ای از داده ها را نشان دهیم ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n، سپس میانگین نمونه معمولاً با یک نوار افقی روی متغیر (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) نشان داده می شود. ایکسبا یک خط").

حرف یونانی μ برای نشان دادن میانگین حسابی کل جمعیت استفاده می شود. برای یک متغیر تصادفی که مقدار میانگین برای آن تعیین شده است، μ است میانگین احتمالییا انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی. اگر مجموعه ایکسمجموعه ای از اعداد تصادفی با میانگین احتمالی μ، سپس برای هر نمونه است ایکس مناز این مجموعه μ = E( ایکس من) انتظار ریاضی این نمونه است.

در عمل، تفاوت بین μ و x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) این است که μ یک متغیر معمولی است زیرا شما می توانید یک نمونه را به جای کل ببینید. جمعیت عمومی. بنابراین، اگر نمونه به صورت تصادفی (از نظر تئوری احتمال) نشان داده شود، آنگاه x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (اما نه μ) را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع احتمال در نمونه در نظر گرفت ( توزیع احتمال میانگین).

هر دوی این مقادیر به یک شکل محاسبه می شوند:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

اگر ایکسیک متغیر تصادفی است، سپس انتظارات ریاضی ایکسرا می توان به عنوان میانگین حسابی مقادیر در اندازه گیری های مکرر یک کمیت در نظر گرفت ایکس. این جلوه ای از قانون اعداد بزرگ است. بنابراین از میانگین نمونه برای تخمین مقدار مورد انتظار ناشناخته استفاده می شود.

در جبر ابتدایی ثابت شده است که میانگین n+ 1 عدد بالاتر از حد متوسط nاعداد اگر و فقط اگر عدد جدید بزرگتر از میانگین قدیم باشد، اگر و فقط اگر عدد جدید کمتر از میانگین باشد کمتر، و اگر و فقط اگر عدد جدید با میانگین برابر باشد، تغییر نمی‌کند. بیشتر n، تفاوت بین میانگین جدید و قدیمی کمتر است.

توجه داشته باشید که چندین «متوسط» دیگر در دسترس است، از جمله توان میانگین، میانگین کلموگروف، میانگین هارمونیک، میانگین حسابی-هندسی، و میانگین های وزنی مختلف (به عنوان مثال، میانگین وزنی حسابی، میانگین وزنی هندسی، میانگین هارمونیک وزنی).

مثال ها

• برای سه عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 3 تقسیم کنید:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• برای چهار عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 4 تقسیم کنید:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

یا ساده تر 5+5=10، 10:2. چون 2 عدد را جمع می‌کردیم، یعنی چند عدد را جمع می‌کنیم، بر آن تعداد تقسیم می‌کنیم.

متغیر تصادفی پیوسته

برای کمیت توزیع شده پیوسته f (x) (\displaystyle f(x))، میانگین حسابی در بازه [a; b ] (\displaystyle ) از طریق یک انتگرال معین تعیین می شود:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

برخی از مشکلات استفاده از میانگین

عدم استحکام

مقاله اصلی: استحکام در آمار

اگرچه میانگین های حسابی اغلب به عنوان میانگین ها یا گرایش های مرکزی استفاده می شوند، این مفهوم یک آمار قوی نیست، به این معنی که میانگین حسابی به شدت تحت تأثیر "انحرافات بزرگ" است. قابل توجه است که برای توزیع هایی با ضریب چولگی زیاد، میانگین حسابی ممکن است با مفهوم "میانگین" مطابقت نداشته باشد و مقادیر میانگین از آمارهای قوی (به عنوان مثال، میانه) بهتر می تواند مرکز را توصیف کند. گرایش

یک مثال کلاسیک محاسبه درآمد متوسط ​​است. میانگین حسابی را می توان به اشتباه به عنوان یک میانه تفسیر کرد، که ممکن است به این نتیجه برسد که افراد با درآمد بالاتر از میزان واقعی بیشتر هستند. درآمد «متوسط» به این معنا تفسیر می‌شود که بیشتر افراد درآمدی در حدود این عدد دارند. این درآمد «متوسط» (به معنای میانگین حسابی) بالاتر از درآمد بیشتر افراد است، زیرا درآمد بالا با انحراف زیاد از میانگین، میانگین حسابی را بسیار منحرف می‌کند (در مقابل، میانگین درآمد در میانه "مقاومت می کند" در برابر چنین کجی). با این حال، این درآمد «متوسط» چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد متوسط ​​نمی گوید (و چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد معین نمی گوید). با این حال، اگر مفاهیم «متوسط» و «اکثر مردم» را ساده نگیرید، می‌توانید به این نتیجه نادرست برسید که بیشتر مردم درآمدی بالاتر از آنچه که هستند، دارند. به عنوان مثال، گزارشی از درآمد خالص «متوسط» در مدینه، واشنگتن، که به عنوان میانگین حسابی کل درآمد خالص سالانه ساکنان محاسبه می‌شود، به‌طور شگفت‌انگیزی نتیجه خواهد داد. عدد بزرگبه خاطر بیل گیتس نمونه (1، 2، 2، 2، 3، 9) را در نظر بگیرید. میانگین حسابی 3.17 است، اما پنج مقدار از شش مقدار زیر این میانگین است.

بهره مرکب

مقاله اصلی: بازگشت سرمایه گذاری

اگر اعداد تکثیر کردن، اما نه تا کردن، باید از میانگین هندسی استفاده کنید نه از میانگین حسابی. اغلب این حادثه هنگام محاسبه بازده سرمایه گذاری در امور مالی اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، اگر سهمی در سال اول 10% سقوط کرد و در سال دوم 30% افزایش یافت، در این صورت محاسبه میانگین افزایش "متوسط" طی آن دو سال به عنوان میانگین حسابی (-10٪ + 30%) نادرست است / 2 = 10٪؛ میانگین صحیح در این مورد توسط نرخ رشد سالانه مرکب ارائه می شود که نرخ رشد سالانه را تنها در حدود 8.16653826392٪ ≈ 8.2٪ نشان می دهد.

دلیل این امر این است که درصدها هر بار نقطه شروع جدیدی دارند: 30٪ 30٪ است. از عددی کمتر از قیمت ابتدای سال اول:اگر سهامی از 30 دلار شروع شد و 10 درصد سقوط کرد، در آغاز سال دوم 27 دلار ارزش دارد. اگر سهام 30 درصد افزایش یابد، در پایان سال دوم 35.1 دلار ارزش خواهد داشت. میانگین حسابی این رشد 10 درصد است، اما از آنجایی که سهام طی 2 سال تنها 5.1 دلار افزایش یافته است، میانگین رشد 8.2 درصدی نتیجه نهایی 35.1 دلار را به دست می دهد:

[30 دلار (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دلار (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دلار]. اگر از میانگین حسابی 10% به همین ترتیب استفاده کنیم، مقدار واقعی را بدست نمی آوریم: [30 دلار (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دلار].

سود مرکب در پایان 2 سال: 90٪ * 130٪ = 117٪، یعنی کل افزایش 17٪ است و میانگین بهره مرکب سالانه 117٪ ≈ 108.2٪ (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\تقریباً 108.2% ، یعنی افزایش متوسط ​​سالانه 8.2٪.

جهت ها

مقاله اصلی: آمار مقصد

هنگام محاسبه میانگین حسابی برخی از متغیرهایی که به صورت چرخه ای تغییر می کنند (مانند فاز یا زاویه)، باید دقت ویژه ای داشت. برای مثال، میانگین 1° و 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 درجه خواهد بود. این عدد به دو دلیل نادرست است.

• ابتدا، اندازه‌های زاویه‌ای فقط برای محدوده 0 تا 360 درجه (یا از 0 تا 2π وقتی بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شوند) تعریف می‌شوند. بنابراین همان جفت اعداد را می توان به صورت (1° و -1°) یا به صورت (1° و 719°) نوشت. مقادیر متوسط ​​هر جفت متفاوت خواهد بود: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ دور )) .
• دوم، در این مورد، مقدار 0 درجه (معادل 360 درجه) از نظر هندسی یک مقدار متوسط ​​بهتر خواهد بود، زیرا اعداد کمتر از 0 درجه نسبت به هر مقدار دیگر انحراف دارند (مقدار 0 درجه کمترین واریانس را دارد). مقایسه کنید:
  • عدد 1 درجه از 0 درجه فقط 1 درجه منحرف می شود.
  • عدد 1 درجه از میانگین محاسبه شده 180 درجه در 179 درجه منحرف می شود.

مقدار متوسط ​​برای یک متغیر چرخه ای محاسبه شده با استفاده از فرمول بالا به طور مصنوعی نسبت به میانگین واقعی به سمت وسط محدوده عددی جابه جا می شود. به همین دلیل، میانگین به روش دیگری محاسبه می شود، یعنی عددی با کمترین واریانس (نقطه مرکزی) به عنوان مقدار میانگین انتخاب می شود. همچنین به جای تفریق از فاصله مدولار (یعنی فاصله محیطی) استفاده می شود. برای مثال، فاصله مدولار بین 1 درجه و 359 درجه 2 درجه است، نه 358 درجه (روی دایره بین 359 درجه و 360 درجه ==0 درجه - یک درجه، بین 0 درجه و 1 درجه - همچنین در مجموع 1 درجه - 2 درجه).

4.3. مقادیر متوسط ماهیت و معنای مقادیر متوسط

اندازه متوسطدر آمار یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک پدیده را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می کند، که منعکس کننده ارزش یک مشخصه متغیر در هر واحد از یک جمعیت از نظر کیفی همگن است. در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.

به عنوان مثال، یک شاخص کلی از درآمد کارگران شرکت سهامی(JSC) میانگین درآمد یک کارگر است که با نسبت صندوق دستمزد و پرداخت های اجتماعی برای دوره مورد بررسی (سال، سه ماهه، ماه) به تعداد کارگران در JSC تعیین می شود.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. شاخص میانگین آنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه رایج است (معمولی) منعکس می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی وجود دارد تصادفاتو لازم است.هنگام محاسبه میانگین ها، به دلیل عمل قانون اعداد بزرگ، تصادفی بودن از بین می رود و متعادل می شود، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی مشخصه در هر مورد خاص انتزاع کرد. . توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر فردی، نوسانات در ارزش علمی میانگین ها نهفته است. تعمیم دادنویژگی های جمعیت ها

در جایی که نیاز به تعمیم ایجاد می شود، محاسبه چنین ویژگی هایی منجر به جایگزینی بسیاری از مقادیر مختلف فردی از ویژگی می شود. میانگینشاخصی که کل مجموعه پدیده ها را مشخص می کند، که امکان شناسایی الگوهای ذاتی پدیده های اجتماعی انبوه را که در پدیده های فردی نامرئی هستند، می دهد.

میانگین نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است، این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان را مشخص می کند.

میانگین مشخصه خلاصه ای از قوانین فرآیند در شرایطی است که در آن رخ می دهد.

4.4. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. در هر مورد خاص، یکی از مقادیر میانگین استفاده می شود: حساب، گارمونیک، هندسی، درجه دوم، مکعبیو غیره. میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند آرام بخشمیانگین.

علاوه بر میانگین های توان، از میانگین های ساختاری در عمل آماری استفاده می شود که حالت و میانه در نظر گرفته می شود.

اجازه دهید با جزئیات بیشتری در مورد میانگین توان صحبت کنیم.

میانگین حسابی

رایج ترین نوع میانگین است میانگین حسابیدر مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای فردی آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (خلاصه) حجم یک مشخصه متفاوت مشخص می شوند؛ این دامنه کاربرد میانگین حسابی را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد، به عنوان مثال: صندوق دستمزد کل مجموع دستمزدها است. همه کارگران، برداشت ناخالص مجموع محصولات تولید شده از کل فصل کاشت است.

برای محاسبه میانگین حسابی، باید مجموع تمام مقادیر ویژگی ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

از میانگین حسابی در فرم استفاده می شود میانگین ساده و میانگین وزنیشکل اولیه و تعیین کننده میانگین ساده است.

میانگین حسابی سادهبرابر با مجموع ساده مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تقسیم می شود، تقسیم بر تعداد کل این مقادیر (در مواردی که مقادیر فردی مشخصه گروه بندی نشده وجود دارد استفاده می شود):

جایی که
- مقادیر فردی متغیر (انواع)؛ متر - تعداد واحدهای جمعیت.

علاوه بر این، محدودیت های جمع در فرمول ها نشان داده نخواهد شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین خروجی یک کارگر (مکانیک) را بیابید اگر بدانید هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، یعنی. تعدادی از مقادیر فردی مشخصه داده شده است، قطعات:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

میانگین حسابی ساده با استفاده از فرمول (4.1)، 1 عدد محاسبه می شود:

میانگین گزینه هایی که چند بار تکرار می شوند یا به قول خودشان وزن های متفاوتی دارند نامیده می شود وزن داروزن ها تعداد واحدها در گروه های مختلف جمعیت است (گزینه های یکسان در یک گروه ترکیب می شوند).

میانگین وزنی حسابی- میانگین مقادیر گروه بندی شده، - با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

, (4.2)

جایی که
- وزن (تکرار تکرار علائم یکسان)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها و فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

ما تکنیک محاسبه میانگین وزنی حسابی را با استفاده از مثالی که در بالا توضیح داده شد، نشان می‌دهیم. برای انجام این کار، داده های منبع را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم. 4.1.

جدول 4.1

توزیع نیروی کار برای تولید قطعات

با توجه به فرمول (4.2)، میانگین حسابی وزنی برابر است با عدد:

در برخی موارد، وزن ها ممکن است نه به عنوان مقادیر مطلق، بلکه به صورت نسبی (در درصد یا کسری از یک واحد) ارائه شوند. سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که
- خاص بودن، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل همه

اگر فرکانس ها به صورت کسری (ضرایب) شمارش شوند، پس
= 1، و فرمول میانگین موزون حسابی به شکل زیر است:

محاسبه میانگین حسابی وزنی از میانگین گروهی طبق فرمول انجام می شود:

,

جایی که f-تعداد واحدها در هر گروه

نتایج حاصل از محاسبه میانگین حسابی از میانگین گروه در جدول ارائه شده است. 4.2.

جدول 4.2

توزیع کارگران بر اساس میانگین طول خدمت

در این مثال، گزینه ها داده های فردی در مورد طول خدمت تک تک کارگران نیستند، بلکه میانگین برای هر کارگاه است. ترازو fتعداد کارگران در مغازه ها هستند. بنابراین، میانگین تجربه کاری کارگران در سراسر شرکت، سال‌ها خواهد بود:

.

محاسبه میانگین حسابی در سری های توزیع

اگر مقادیر مشخصه در حال میانگین به صورت فواصل ("از - تا") مشخص شود، به عنوان مثال. سری توزیع بازه ای، سپس هنگام محاسبه میانگین مقدار حسابینقاط میانی این فواصل به عنوان مقادیر مشخصه ها در گروه ها در نظر گرفته می شود و در نتیجه یک سری گسسته ایجاد می شود. مثال زیر را در نظر بگیرید (جدول 4.3).

بیایید از یک سری بازه ای به یک سری گسسته با جایگزین کردن مقادیر بازه ای با مقادیر میانگین آنها حرکت کنیم/(میانگین ساده

جدول 4.3

توزیع کارگران JSC بر اساس سطح دستمزد ماهانه

گروه های کارگری	تعداد کارگران	وسط فاصله
دستمزد، مالش.	مردم، f	مالش.، ایکس
900 یا بیشتر

مقادیر بازه های باز (اول و آخرین) به طور مشروط با فواصل مجاور آنها (دوم و ماقبل آخر) برابر است.

با این محاسبه میانگین، مقداری عدم دقت مجاز است، زیرا فرضی در مورد توزیع یکنواخت واحدهای مشخصه در گروه وجود دارد. با این حال، هرچه بازه باریکتر و واحدهای بازه بیشتر باشد، خطا کمتر است.

پس از یافتن نقاط میانی فواصل، محاسبات به همان روشی که در یک سری گسسته انجام می شود انجام می شود - گزینه ها در فرکانس ها (وزن ها) ضرب می شوند و مجموع محصولات بر مجموع فرکانس ها (وزن ها) تقسیم می شود. ، هزار روبل:

.

بنابراین، سطح متوسطدستمزد کارگران JSC 729 روبل است. هر ماه.

محاسبه میانگین حسابی اغلب مستلزم زمان و کار زیادی است. با این حال، در تعدادی از موارد، روش محاسبه میانگین را می توان در صورت استفاده از ویژگی های آن ساده و تسهیل کرد. اجازه دهید (بدون اثبات) برخی از خصوصیات اساسی میانگین حسابی را ارائه کنیم.

ملک 1. اگر تمام مقادیر فردی یک مشخصه (به عنوان مثال. همه گزینه ها) کاهش یا افزایش در منبار، سپس مقدار متوسط مشخصه جدید به ترتیب کاهش یا افزایش خواهد یافت منیک بار.

ملک 2. اگر همه گونه های مشخصه ای که به طور میانگین می شود کاهش یابدبا عدد A بدوزید یا افزایش دهید، سپس میانگین حسابی مطابقت دارددر واقع به همان عدد A کاهش یا افزایش خواهد یافت.

ملک 3. اگر وزن تمام گزینه های میانگین کاهش یابد یا افزایش یابد به بار، آنگاه میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

به‌عنوان وزن‌های متوسط، به‌جای شاخص‌های مطلق، می‌توانید از وزن‌های خاص در کل کل (سهم یا درصد) استفاده کنید. این محاسبات میانگین را ساده می کند.

برای ساده کردن محاسبات میانگین، مسیر کاهش مقادیر گزینه ها و فرکانس ها را دنبال می کنند. بزرگترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که، به عنوان آمقدار یکی از گزینه های مرکزی که بالاترین فرکانس را دارد، به عنوان / - مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل مساوی) انتخاب می شود. کمیت A را نقطه مرجع می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین را "روش شمارش از صفر شرطی" یا "در راه لحظه ها."

بیایید همه گزینه ها را فرض کنیم ایکسابتدا با همان عدد A کاهش یافت و سپس کاهش یافت منیک بار. ما یک سری متغیر جدید از توزیع گزینه های جدید به دست می آوریم .

سپس گزینه های جدیدبیان خواهد شد:

,

و میانگین حسابی جدید آنها , -لحظه اول سفارش-فرمول:

.

برابر است با میانگین گزینه های اصلی که ابتدا کاهش می یابد آ،و سپس در منیک بار.

برای به دست آوردن میانگین واقعی، یک لحظه مرتبه اول مورد نیاز است متر 1 ، ضربدر منو اضافه کنید آ:

.

این روش محاسبه میانگین حسابی از یک سری تغییرات نامیده می شود "در راه لحظه ها."این روش در ردیف ها با فواصل مساوی استفاده می شود.

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 4.4.

جدول 4.4

توزیع شرکت های کوچک در منطقه بر اساس ارزش دارایی های تولید ثابت (FPF) در سال 2000.

گروه های شرکت بر اساس ارزش OPF، هزار روبل.	تعداد شرکت ها f	نقاط میانی فواصل ایکس
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

پیدا کردن اولین لحظه سفارش

.

سپس، A = 19 را بگیرید و آن را بدانید من= 2، محاسبه کنید ایکس،هزار روبل.:

انواع مقادیر متوسط ​​و روش های محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری می توان انواع مسائل تحقیقی را تنظیم کرد که برای حل آنها باید میانگین مناسب انتخاب شود. در این مورد، لازم است با قانون زیر هدایت شود: کمیت هایی که صورت و مخرج میانگین را نشان می دهند باید از نظر منطقی با یکدیگر مرتبط باشند.

• میانگین های توان;
• میانگین های ساختاری.

اجازه دهید کنوانسیون های زیر را معرفی کنیم:

مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود.

میانگین، جایی که نوار بالا نشان می دهد که میانگین گیری مقادیر فردی انجام می شود.

فرکانس (تکرارپذیری مقادیر مشخصه فردی).

میانگین های مختلف از فرمول کلیمیانگین توان:

(5.1)

وقتی k = 1 - میانگین حسابی؛ k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = -2 - ریشه میانگین مربع.

مقادیر متوسط ​​می توانند ساده یا وزن دار باشند. میانگین های موزوناینها مقادیری هستند که در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است اعداد مختلفی داشته باشند و بنابراین هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر، «مقیاس» تعداد واحدهای کل در گروه‌های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط.

میانگین حسابی- رایج ترین نوع میانگین. زمانی استفاده می‌شود که محاسبه بر روی داده‌های آماری گروه‌بندی‌نشده انجام می‌شود، جایی که باید میانگین ترم را بدست آورید. میانگین حسابی مقدار متوسط ​​یک مشخصه است که با به دست آوردن آن حجم کل مشخصه در مجموع بدون تغییر باقی می ماند.

فرمول میانگین حسابی ( ساده) دارای فرم است

که در آن n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال، متوسط ​​حقوق کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حسابی محاسبه می شود:

شاخص های تعیین کننده در اینجا حقوق هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین، مقدار کل دستمزد ثابت باقی ماند، اما به طور مساوی بین همه کارکنان توزیع شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین حقوق کارگران یک شرکت کوچک با استخدام 8 نفر را محاسبه کنید:

هنگام محاسبه مقادیر میانگین، مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تکرار می شود، می تواند تکرار شود، بنابراین مقدار متوسط ​​با استفاده از داده های گروه بندی شده محاسبه می شود. در این مورد ما در مورددر مورد استفاده میانگین وزنی حسابی، که دارای فرم است

(5.3)

بنابراین، باید میانگین قیمت سهام یک شرکت سهامی را در معاملات بورس محاسبه کنیم. مشخص است که معاملات طی 5 روز (5 نوبت معاملاتی) انجام شده است، تعداد سهام فروخته شده به نرخ فروش به شرح زیر توزیع شده است:

1 - 800 ak. - 1010 روبل.

2 - 650 ak. - 990 روبل.

3 - 700 ak. - 1015 روبل.

4 - 550 ak. - 900 روبل.

5 - 850 ak. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهام، نسبت کل مبلغ معاملات (TVA) به تعداد سهام فروخته شده (KPA) است.