طرح کلی برای حل یک معادله گویا کسری. معادلات منطقی – هایپرمارکت دانش

اسمیرنوا آناستازیا یوریونا

نوع درس:درس یادگیری مطالب جدید

شکل سازمان فعالیت های آموزشی : پیشانی، فردی.

هدف از درس: معرفی نوع جدیدی از معادلات - معادلات گویا کسری، ارائه ایده ای از الگوریتم برای حل معادلات گویا کسری.

اهداف درس

آموزشی:

• تشکیل مفهوم یک معادله منطقی کسری؛
• الگوریتمی را برای حل معادلات گویا کسری در نظر بگیرید، از جمله شرطی که کسری برابر با صفر باشد.
• آموزش حل معادلات منطقی کسری با استفاده از یک الگوریتم

رشدی:

• ایجاد شرایط برای توسعه مهارت ها در به کارگیری دانش کسب شده؛
• توسعه را ترویج دهند علاقه شناختیدانش آموزان به موضوع؛
• توسعه توانایی دانش آموزان برای تجزیه و تحلیل، مقایسه و نتیجه گیری؛
• توسعه مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی، توجه، حافظه، گفتار شفاهی و نوشتاری، استقلال.

آموزش دادن:

• پرورش علاقه شناختی به موضوع؛
• تقویت استقلال در حل مشکلات آموزشی؛
• پرورش اراده و پشتکار برای دستیابی به نتایج نهایی.

تجهیزات:کتاب درسی، تخته سیاه، مداد رنگی.

کتاب درسی «جبر 8». Yu.N. Makarychev، N.G. Mindyuk، K.I. Neshkov، S.B. Suvorova، ویرایش شده توسط S.A. Telyakovsky. مسکو "روشنگری". 2010

بر این موضوعپنج ساعت در نظر گرفته شده است. این اولین درس است. نکته اصلی مطالعه الگوریتم حل معادلات منطقی کسری و تمرین این الگوریتم در تمرینات است.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

سلام بچه ها! امروز می خواهم درسمان را با یک رباعی شروع کنم:
برای آسان کردن زندگی برای همه،
چه تصمیمی گرفته می شود، چه چیزی ممکن است،
لبخند بزنید، برای همه موفق باشید،
تا مشکلی پیش نیاید،
به هم لبخند زدیم و خلق کردیم حال خوبو شروع به کار کرد

معادلات روی تخته نوشته شده است، با دقت به آنها نگاه کنید. آیا می توانید تمام این معادلات را حل کنید؟ کدام یک نیستند و چرا؟

معادلاتی که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا کسری هستند، معادلات گویا کسری نامیده می شوند. به نظر شما امروز در کلاس چه خواهیم خواند؟ موضوع درس را تدوین کنید. بنابراین، دفترهای خود را باز کنید و موضوع درس "حل معادلات گویا کسری" را یادداشت کنید.

2. به روز رسانی دانش. نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس.

و اکنون مطالب نظری اصلی را که باید مطالعه کنیم تکرار می کنیم موضوع جدید. لطفا به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. معادله چیست؟ ( برابری با متغیر یا متغیرها.)
2. نام معادله شماره 1 چیست؟ ( خطی.) راه حل معادلات خطی. (همه چیز را با مجهول به سمت چپ معادله، همه اعداد را به سمت راست منتقل کنید. اصطلاحات مشابه را بیان کنید. عامل ناشناخته را پیدا کنید).
3. نام معادله شماره 3 چیست؟ ( مربع.) راه حل ها معادلات درجه دوم. (پ در مورد فرمول ها)
4. نسبت چیست؟ ( برابری دو نسبت.) خاصیت اصلی تناسب. ( اگر نسبت صحیح باشد، حاصل ضرب جملات افراطی آن برابر است با حاصلضرب عبارات میانی.)
5. برای حل معادلات از چه ویژگی هایی استفاده می شود؟ ( 1. اگر یک عبارت را در یک معادله از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنید و علامت آن را تغییر دهید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست خواهید آورد. 2. اگر هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب یا تقسیم شوند، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید..)
6. چه زمانی یک کسری برابر با صفر می شود؟ ( کسری برابر با صفر است که صورت آن صفر باشد و مخرج آن صفر نباشد..)

3. توضیح مطالب جدید.

معادله شماره 2 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 10.

کدام معادله منطقی کسریآیا می توانید با استفاده از ویژگی اصلی نسبت حل کنید؟ (شماره 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

معادله شماره 4 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 1,5.

با ضرب دو طرف معادله در مخرج چه معادله کسری را می توانید حل کنید؟ (شماره 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0، x 1 =3، x 2 =4.

پاسخ: 3;4.

حل معادلات مانند معادله شماره 7 را در درس های بعدی بررسی خواهیم کرد.

توضیح دهید چرا این اتفاق افتاد؟ چرا در یک مورد سه ریشه و در مورد دیگر دو ریشه وجود دارد؟ ریشه های این معادله کسری گویا چه اعدادی هستند؟

تا به حال، دانش‌آموزان با مفهوم ریشه خارجی مواجه نشده‌اند؛ در واقع درک دلیل این اتفاق برای آنها بسیار دشوار است. اگر هیچ کس در کلاس نتواند توضیح واضحی از این وضعیت بدهد، معلم سوالات اصلی می پرسد.

• معادلات شماره 2 و 4 چه تفاوتی با معادلات 5 و 6 دارند؟ ( در معادلات شماره 2 و 4 اعداد در مخرج شماره 5-6 وجود دارد - عبارات با متغیر.)
• ریشه یک معادله چیست؟ ( مقدار متغیری که در آن معادله درست می شود.)
• چگونه بفهمیم که یک عدد ریشه یک معادله است؟ ( چک کنید.)

برخی از دانش آموزان هنگام تست زدن متوجه می شوند که باید بر صفر تقسیم کنند. آنها نتیجه می گیرند که اعداد 0 و 5 ریشه این معادله نیستند. این سوال مطرح می شود: آیا راهی برای حل معادلات منطقی کسری وجود دارد که به ما امکان می دهد این خطا را حذف کنیم؟ بله، این روش به شرطی است که کسر برابر با صفر باشد.

بیایید سعی کنیم الگوریتمی برای حل معادلات گویا کسری به این روش فرموله کنیم. بچه ها خودشان الگوریتم را فرموله می کنند.

الگوریتم حل معادلات گویا کسری:

1. همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید.
2. کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.
3. ایجاد یک سیستم: کسری برابر با صفر است زمانی که صورت برابر با صفر باشد و مخرج آن برابر با صفر نباشد.
4. معادله را حل کنید.
5. برای حذف ریشه های خارجی، نابرابری را بررسی کنید.
6. پاسخ را یادداشت کنید.

4. درک اولیه مطالب جدید.

دوتایی کار کنید. دانش آموزان بسته به نوع معادله خود نحوه حل معادله را انتخاب می کنند. تکالیف از کتاب درسی "جبر 8"، Yu.N. Makarychev، 2007: شماره 600 (b,c); شماره 601(a,e). معلم بر تکمیل کار نظارت می کند، به هر سوالی که پیش می آید پاسخ می دهد و به دانش آموزان کم کار کمک می کند. خودآزمایی: پاسخ ها روی تخته نوشته می شوند.

ب) 2 - ریشه خارجی. پاسخ: 3.

ج) 2 - ریشه خارجی. پاسخ: 1.5.

الف) پاسخ: -12.5.

5. تنظیم تکالیف.

1. بند 25 کتاب درسی را بخوانید، مثال های 1-3 را تحلیل کنید.
2. الگوریتم حل معادلات گویا کسری را یاد بگیرید.
3. حل در دفترهای شماره 600 (د، د); شماره 601 (g,h).

6. جمع بندی درس.

بنابراین، امروز در درس با معادلات گویا کسری آشنا شدیم، یاد گرفتیم که چگونه این معادلات را حل کنیم. راه های مختلف. صرف نظر از نحوه حل معادلات منطقی کسری، چه چیزی را باید در نظر داشته باشید؟ "حیله گری" معادلات عقلی کسری چیست؟

با تشکر از همه، درس تمام شد.

ما قبلاً یاد گرفتیم که چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم. حال بیایید روش های مورد مطالعه را به معادلات گویا تعمیم دهیم.

بیان عقلانی چیست؟ ما قبلاً با این مفهوم روبرو شده ایم. عبارات منطقیعباراتی هستند که از اعداد، متغیرها، قدرت آنها و نمادهای عملیات ریاضی تشکیل شده اند.

بر این اساس، معادلات گویا معادلاتی هستند به شکل: , Where - عبارات منطقی

پیش از این، ما فقط آن دسته از معادلات منطقی را در نظر گرفتیم که می توان آنها را به معادلات خطی تقلیل داد. حال بیایید به آن معادلات منطقی که می توان به معادلات درجه دوم تقلیل داد نگاه کنیم.

مثال 1

معادله را حل کنید: .

راه حل:

کسری برابر 0 است اگر و فقط اگر صورت آن برابر با 0 باشد و مخرج آن برابر با 0 نباشد.

ما سیستم زیر را دریافت می کنیم:

اولین معادله سیستم یک معادله درجه دوم است. قبل از حل آن، بیایید تمام ضرایب آن را بر 3 تقسیم کنیم.

ما دو ریشه می گیریم: ; .

از آنجایی که 2 هرگز برابر 0 نیست، دو شرط باید رعایت شود: . از آنجایی که هیچ یک از ریشه های معادله به دست آمده در بالا با مقادیر نامعتبر متغیری که هنگام حل نابرابری دوم به دست آمده است منطبق نیست، هر دو راه حل این معادله هستند.

پاسخ:.

بنابراین، بیایید یک الگوریتم برای حل معادلات گویا فرموله کنیم:

1. همه عبارت ها را به سمت چپ حرکت دهید تا سمت راست به 0 ختم شود.

2. سمت چپ را تبدیل و ساده کنید، همه کسرها را به یک مخرج مشترک بیاورید.

3. کسر حاصل را با استفاده از الگوریتم زیر برابر کنید: .

4. آن ریشه هایی را که در معادله اول به دست آمده اند بنویسید و نابرابری دوم را در پاسخ برآورده کنید.

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم.

مثال 2

معادله را حل کنید: .

راه حل

در همان ابتدا، همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم تا 0 در سمت راست باقی بماند.

حالا بیایید سمت چپ معادله را به یک مخرج مشترک بیاوریم:

این معادله معادل سیستم:

اولین معادله سیستم یک معادله درجه دوم است.

ضرایب این معادله: . تفکیک را محاسبه می کنیم:

ما دو ریشه می گیریم: ; .

حالا بیایید نابرابری دوم را حل کنیم: حاصل ضرب عوامل برابر با 0 نیست اگر و فقط اگر هیچ یک از عوامل برابر با 0 نباشد.

دو شرط باید رعایت شود: . دریافتیم که از دو ریشه معادله اول، تنها یکی مناسب است - 3.

پاسخ:.

در این درس به یاد آوردیم که یک عبارت منطقی چیست و همچنین یاد گرفتیم که چگونه معادلات گویا را حل کنیم که به معادلات درجه دوم کاهش می یابد.

در درس بعدی به معادلات منطقی به عنوان مدل‌هایی از موقعیت‌های واقعی نگاه می‌کنیم و همچنین مشکلات حرکت را بررسی خواهیم کرد.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. باشماکوف M.I. جبر، کلاس هشتم. - م.: آموزش و پرورش، 1383.
2. Dorofeev G.V.، Suvorova S.B.، Bunimovich E.A. و دیگران جبر، 8. 5th ed. - م.: آموزش و پرورش، 2010.
3. نیکولسکی اس.ام.، پوتاپوف ام.آ.، رشتنیکوف ن.ن.، شوکین آ.و. جبر، کلاس هشتم. کتاب درسی عمومی موسسات آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 1385.

1. جشنواره ایده های آموزشی "درس عمومی" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

مشق شب

بیایید با معادلات گویا و کسری آشنا شویم، تعریف آنها را بیان کنیم، مثال بزنیم و همچنین رایج ترین انواع مسائل را تحلیل کنیم.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادله منطقی: تعریف و مثال

آشنایی با عبارات عقلی از کلاس هشتم مدرسه شروع می شود. در این زمان، در درس های جبر، دانش آموزان به طور فزاینده ای شروع به مواجهه با تکالیف با معادلاتی می کنند که شامل عبارات منطقی در یادداشت های خود است. بیایید حافظه خود را از آنچه هست تازه کنیم.

تعریف 1

معادله منطقیمعادله ای است که در آن هر دو طرف دارای عبارات منطقی هستند.

در کتابچه های مختلف می توانید فرمول دیگری را پیدا کنید.

تعریف 2

معادله منطقی- این معادله ای است که سمت چپ آن حاوی یک عبارت منطقی و سمت راست آن صفر است.

تعاریفی که ما برای معادلات عقلی ارائه کردیم معادل هستند، زیرا آنها در مورد یک چیز صحبت می کنند. صحت سخنان ما با این واقعیت تأیید می شود که برای هر عبارات عقلانی پو سمعادلات P = Qو P - Q = 0عبارات معادل خواهد بود.

حالا بیایید به مثال ها نگاه کنیم.

مثال 1

معادلات منطقی:

x = 1، 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0، x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2)، 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

معادلات گویا، درست مانند معادلات انواع دیگر، می توانند شامل هر تعداد متغیر از 1 تا چند باشند. ابتدا نگاه می کنیم مثال های ساده، که در آن معادلات فقط شامل یک متغیر خواهد بود. و سپس ما به تدریج کار را پیچیده می کنیم.

معادلات گویا به دو گروه بزرگ تقسیم می شوند: عدد صحیح و کسری. بیایید ببینیم چه معادلاتی برای هر یک از گروه ها اعمال می شود.

تعریف 3

یک معادله گویا عدد صحیح خواهد بود اگر سمت چپ و راست آن شامل تمام عبارات گویا باشد.

تعریف 4

یک معادله گویا کسری خواهد بود اگر یک یا هر دو جزء آن دارای کسری باشد.

معادلات گویا کسری لزوماً شامل تقسیم بر یک متغیر هستند یا متغیر در مخرج وجود دارد. چنین تقسیم بندی در نوشتن معادلات کل وجود ندارد.

مثال 2

3 x + 2 = 0و (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0، 5- کل معادلات منطقی در اینجا هر دو طرف معادله با عبارات عدد صحیح نشان داده می شود.

1 x - 1 = x 3 و x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5معادلات کسری گویا هستند.

معادلات کل منطقی شامل معادلات خطی و درجه دوم است.

حل معادلات کل

حل چنین معادلاتی معمولاً به تبدیل آنها به معادلات جبری معادل ختم می شود. این را می توان با انجام تبدیل معادلات مطابق با الگوریتم زیر بدست آورد:

• ابتدا در سمت راست معادله صفر می گیریم؛ برای این کار باید عبارت سمت راست معادله را به سمت چپ آن منتقل کنیم و علامت را تغییر دهیم.
• سپس عبارت سمت چپ معادله را به چند جمله ای تبدیل می کنیم نمای استاندارد.

ما باید یک معادله جبری بدست آوریم. این معادله معادل معادله اصلی خواهد بود. موارد آسان به ما این امکان را می دهد که برای حل مسئله، کل معادله را به یک معادله خطی یا درجه دوم کاهش دهیم. به طور کلی معادله جبری درجه را حل می کنیم n.

مثال 3

باید ریشه کل معادله را پیدا کرد 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

راه حل

اجازه دهید عبارت اصلی را برای به دست آوردن یک معادله جبری معادل تبدیل کنیم. برای این کار عبارت موجود در سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل می کنیم و علامت مقابل را جایگزین می کنیم. در نتیجه دریافت می کنیم: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

حال بیایید عبارتی که در سمت چپ است را به چند جمله ای از فرم استاندارد تبدیل کنیم و تولید کنیم اقدامات لازمبا این چند جمله ای:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

ما موفق شدیم حل معادله اصلی را به حل معادله درجه دوم فرم تقلیل دهیم x 2 − 5 x − 6 = 0. تمایز این معادله مثبت است: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49.این بدان معناست که دو ریشه واقعی وجود خواهد داشت. بیایید آنها را با استفاده از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم پیدا کنیم:

x = - - 5 ± 49 2 1،

x 1 = 5 + 7 2 یا x 2 = 5 - 7 2،

x 1 = 6 یا x 2 = - 1

بیایید صحت ریشه های معادله ای را که در حین حل یافتیم بررسی کنیم. برای این کار، اعدادی که دریافت کرده‌ایم را در معادله اصلی جایگزین می‌کنیم: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3و 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. در مورد اول 63 = 63 ، در دوم 0 = 0 . ریشه ها x=6و x = - 1در واقع ریشه های معادله داده شده در شرط مثال هستند.

پاسخ: 6 , − 1 .

بیایید ببینیم "درجه یک معادله کامل" به چه معناست. ما اغلب در مواردی با این اصطلاح روبرو خواهیم شد که نیاز به نمایش کل معادله به شکل جبری داریم. بیایید مفهوم را تعریف کنیم.

تعریف 5

درجه کل معادله- این مدرک است معادله جبری، معادل معادله عدد صحیح اصلی است.

اگر به معادلات مثال بالا نگاه کنید، می توانید تعیین کنید: درجه کل این معادله دوم است.

اگر دوره ما محدود به حل معادلات درجه دوم بود، بحث در مورد موضوع می تواند به همین جا ختم شود. اما به این سادگی نیست. حل معادلات درجه سوم با مشکلاتی همراه است. و برای معادلات بالاتر از درجه چهارم وجود ندارد فرمول های کلیریشه ها در این راستا، حل کل معادلات درجات سوم، چهارم و غیره مستلزم استفاده از تعدادی تکنیک و روش دیگر است.

متداول ترین رویکرد برای حل کل معادلات منطقی مبتنی بر روش فاکتورسازی است. الگوریتم اقدامات در این مورد به شرح زیر است:

• عبارت را از سمت راست به چپ منتقل می کنیم تا صفر در سمت راست رکورد باقی بماند.
• عبارت سمت چپ را به عنوان حاصلضرب فاکتورها نشان می دهیم و سپس به مجموعه ای از چندین معادله ساده تر می رویم.

مثال 4

جواب معادله (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) را بیابید.

راه حل

عبارت را از سمت راست رکورد به سمت چپ با علامت مخالف حرکت می دهیم: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. تبدیل سمت چپ به یک چند جمله ای از فرم استاندارد نامناسب است زیرا این امر معادله جبری درجه چهارم را به ما می دهد: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. سهولت تبدیل همه مشکلات در حل چنین معادله ای را توجیه نمی کند.

رفتن به راه دیگر بسیار ساده تر است: بیایید عامل مشترک را از پرانتز خارج کنیم x 2 - 10 x + 13 .بنابراین به معادله ای از فرم می رسیم (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. اکنون معادله حاصل را با مجموعه ای از دو معادله درجه دوم جایگزین می کنیم x 2 − 10 x + 13 = 0و x 2 − 2 x − 1 = 0و ریشه های آنها را از طریق ممیز پیدا کنید: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.

پاسخ: 5 + 2 3، 5 - 2 3، 1 + 2، 1 - 2.

به همین ترتیب می توانیم از روش معرفی متغیر جدید استفاده کنیم. این روش به ما امکان می دهد به معادلات معادل با درجه کمتر از درجه معادله عدد صحیح اصلی حرکت کنیم.

مثال 5

آیا معادله ریشه دارد؟ (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

راه حل

اگر اکنون بخواهیم کل معادله عقلی را به یک معادله جبری تقلیل دهیم، معادله ای با درجه 4 به دست می آید که هیچ ریشه های عقلانی. بنابراین، راه دیگری برای ما آسان تر خواهد بود: یک متغیر جدید y را معرفی کنید، که جایگزین عبارت در معادله خواهد شد. x 2 + 3 x.

حالا با کل معادله کار می کنیم (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). بیایید سمت راست معادله را با علامت مخالف به سمت چپ حرکت دهیم و تبدیل های لازم را انجام دهیم. ما گرفتیم: y 2 + 4 y + 3 = 0. بیایید ریشه های معادله درجه دوم را پیدا کنیم: y = - 1و y = - 3.

حالا بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم. دو معادله بدست می آوریم x 2 + 3 x = - 1و x 2 + 3 · x = − 3 .بیایید آنها را به صورت x 2 + 3 x + 1 = 0 بازنویسی کنیم و x 2 + 3 x + 3 = 0. ما از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم استفاده می کنیم تا ریشه های معادله اول را از معادله های به دست آمده پیدا کنیم: - 3 ± 5 2. ممیز معادله دوم منفی است. یعنی معادله دوم ریشه واقعی ندارد.

پاسخ:- 3 ± 5 2

معادلات کل درجات بالااغلب در وظایف روبرو می شوند. نیازی به ترس از آنها نیست. شما باید آماده استفاده از یک روش غیر استاندارد برای حل آنها باشید، از جمله تعدادی تبدیل مصنوعی.

حل معادلات گویا کسری

ما بررسی این موضوع فرعی را با الگوریتمی برای حل معادلات منطقی کسری به شکل p (x) q (x) = 0 آغاز خواهیم کرد، که در آن p(x)و q(x)- کل عبارات عقلی حل سایر معادلات منطقی کسری را همیشه می توان به حل معادلات از نوع مشخص شده تقلیل داد.

متداول ترین روش برای حل معادلات p (x) q (x) = 0 بر اساس عبارت زیر است: کسر عددی u v، جایی که v- این عددی است که با صفر متفاوت است، فقط در مواردی که عدد کسری برابر با صفر است، برابر با صفر است. با پیروی از منطق عبارت فوق، می‌توان ادعا کرد که جواب معادله p (x) q (x) = 0 را می‌توان به دو شرط تقلیل داد: p(x)=0و q(x) ≠ 0. این اساس ساخت یک الگوریتم برای حل معادلات گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 است:

• راه حل کل معادله عقلی را پیدا کنید p(x)=0;
• ما بررسی می کنیم که آیا شرایط برای ریشه هایی که در طول محلول یافت می شوند برآورده می شود یا خیر q(x) ≠ 0.

اگر این شرط برآورده شود، ریشه پیدا شده است، اگر نه، ریشه راه حل مشکل نیست.

مثال 6

بیایید ریشه های معادله 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 را پیدا کنیم.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 سروکار داریم که در آن p (x) = 3 x − 2، q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. بیایید حل معادله خطی را شروع کنیم 3 x − 2 = 0. ریشه این معادله خواهد بود x = 2 3.

بیایید ریشه یافت شده را بررسی کنیم تا ببینیم آیا شرایط را برآورده می کند یا خیر 5 x 2 − 2 ≠ 0. برای انجام این کار، یک مقدار عددی را جایگزین عبارت کنید. دریافت می کنیم: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

شرط برقرار است. این به آن معنا است x = 2 3ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: 2 3 .

گزینه دیگری برای حل معادلات منطقی کسری p (x) q (x) = 0 وجود دارد. به یاد داشته باشید که این معادله معادل کل معادله است p(x)=0در منطقه ارزش های قابل قبولمتغیر x معادله اصلی این به ما امکان می دهد از الگوریتم زیر در حل معادلات p (x) q (x) = 0 استفاده کنیم:

• معادله را حل کنید p(x)=0;
• محدوده مقادیر مجاز متغیر x را پیدا کنید.
• ما ریشه هایی را که در محدوده مقادیر مجاز متغیر x قرار دارند به عنوان ریشه های مورد نظر معادله کسری منطقی اصلی می گیریم.

مثال 7

معادله x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 را حل کنید.

راه حل

ابتدا معادله درجه دوم را حل می کنیم x 2 − 2 x − 11 = 0. برای محاسبه ریشه های آن از فرمول ریشه برای ضریب زوج دوم استفاده می کنیم. ما گرفتیم D 1 = (- 1) 2 - 1 · (- 11) = 12و x = 1 ± 2 3 .

اکنون می توانیم ODZ متغیر x را برای معادله اصلی پیدا کنیم. اینها همه اعدادی هستند که برای آنها x 2 + 3 x ≠ 0. همان است که x (x + 3) ≠ 0، از جایی که x ≠ 0، x ≠ - 3.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه های x = 1 ± 2 3 به دست آمده در مرحله اول حل، در محدوده مقادیر مجاز متغیر x قرار دارند یا خیر. ما آنها را می بینیم که وارد می شوند. این بدان معنی است که معادله گویا کسری اصلی دارای دو ریشه x = 1 ± 2 3 است.

پاسخ: x = 1 ± 2 3

روش حل دوم شرح داده شده ساده تر از روش اول در مواردی است که محدوده مقادیر مجاز متغیر x به راحتی پیدا می شود و ریشه های معادله p(x)=0غیر منطقی به عنوان مثال، 7 ± 4 · 26 9. ریشه ها می توانند گویا باشند، اما با صورت یا مخرج بزرگ. مثلا، 127 1101 و − 31 59 . این باعث صرفه جویی در زمان در بررسی وضعیت می شود q(x) ≠ 0: حذف ریشه هایی که بر اساس ODZ مناسب نیستند بسیار ساده تر است.

در مواردی که ریشه های معادله p(x)=0اعداد صحیح هستند، بهتر است از اولین الگوریتم توصیف شده برای حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 استفاده شود. ریشه های یک معادله را سریعتر پیدا کنید p(x)=0و سپس بررسی کنید که آیا شرایط برای آنها برآورده شده است یا خیر q(x) ≠ 0به جای یافتن ODZ و سپس حل معادله p(x)=0در این ODZ. این به این دلیل است که در چنین مواردی معمولاً بررسی آسان تر از یافتن DZ است.

مثال 8

ریشه های معادله (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 را بیابید = 0.

راه حل

بیایید با نگاه کردن به کل معادله شروع کنیم (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0و ریشه یابی آن برای این کار از روش حل معادلات از طریق فاکتورگیری استفاده می کنیم. به نظر می رسد که معادله اصلی معادل مجموعه ای از چهار معادله 2 x − 1 = 0، x − 6 = 0، x 2 − 5 x + 14 = 0، x + 1 = 0 است، که سه مورد آن خطی هستند و یکی درجه دوم است. ریشه یابی: از معادله اول x = 1 2، از دوم - x=6، از سوم - x = 7، x = - 2، از چهارم - x = - 1.

بیایید ریشه های به دست آمده را بررسی کنیم. تعیین ODZ در این مورد برای ما دشوار است، زیرا برای این کار باید یک معادله جبری درجه پنجم را حل کنیم. بررسی شرطی که بر اساس آن مخرج کسری که در سمت چپ معادله قرار دارد، نباید به صفر برود آسان تر خواهد بود.

بیایید به نوبت ریشه ها را برای متغیر x در عبارت جایگزین کنیم x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112و مقدار آن را محاسبه کنید:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + ≥ 1

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

راستی‌آزمایی انجام‌شده به ما امکان می‌دهد ثابت کنیم که ریشه‌های معادله گویا کسری اولیه 1 2، 6 و − 2 .

پاسخ: 1 2 , 6 , - 2

مثال 9

ریشه های معادله گویا کسری 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 را بیابید.

راه حل

بیایید کار با معادله را شروع کنیم (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم. تصور این معادله به عنوان مجموعه ای از معادلات درجه دوم و خطی برای ما آسان تر است 5 x 2 − 7 x − 1 = 0و x − 2 = 0.

ما از فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم برای یافتن ریشه ها استفاده می کنیم. از رابطه اول دو ریشه x = 7 ± 69 10 و از رابطه دوم بدست می آوریم x = 2.

جایگزین کردن مقدار ریشه ها در معادله اصلی برای بررسی شرایط برای ما بسیار دشوار خواهد بود. تعیین ODZ متغیر x آسان تر خواهد بود. در این حالت، ODZ متغیر x همه اعداد است به جز آنهایی که شرط برای آنها برقرار است x 2 + 5 x − 14 = 0. دریافت می کنیم: x ∈ - ∞، - 7 ∪ - 7، 2 ∪ 2، + ∞.

حالا بیایید بررسی کنیم که آیا ریشه هایی که پیدا کردیم به محدوده مقادیر مجاز متغیر x تعلق دارند یا خیر.

ریشه های x = 7 ± 69 10 - متعلق هستند، بنابراین، آنها ریشه های معادله اصلی هستند، و x = 2- تعلق ندارد، بنابراین یک ریشه خارجی است.

پاسخ: x = 7 ± 69 10 .

اجازه دهید به طور جداگانه مواردی را بررسی کنیم که صورت‌گر یک معادله گویا کسری به شکل p (x) q (x) = 0 حاوی یک عدد باشد. در چنین مواردی، اگر عددی دارای عددی غیر از صفر باشد، معادله فاقد ریشه خواهد بود. اگر این عدد برابر با صفر باشد، ریشه معادله هر عددی از ODZ خواهد بود.

مثال 10

معادله گویا کسری را حل کنید - 3، 2 x 3 + 27 = 0.

راه حل

این معادله ریشه نخواهد داشت، زیرا شمارنده کسری در سمت چپ معادله حاوی یک عدد غیر صفر است. این به این معنی است که در هیچ مقدار x، مقدار کسری که در عبارت مشکل داده شده است برابر با صفر نخواهد بود.

پاسخ:بدون ریشه

مثال 11

معادله 0 x 4 + 5 x 3 = 0 را حل کنید.

راه حل

از آنجایی که عدد کسر حاوی صفر است، جواب معادله هر مقدار x از ODZ متغیر x خواهد بود.

حالا بیایید ODZ را تعریف کنیم. این شامل تمام مقادیر x برای آنها خواهد بود x 4 + 5 x 3 ≠ 0. راه حل های معادله x 4 + 5 x 3 = 0هستند 0 و − 5 ، از آنجایی که این معادله معادل معادله است x 3 (x + 5) = 0، و این به نوبه خود معادل ترکیب دو معادله x 3 = 0 و است x + 5 = 0، جایی که این ریشه ها قابل مشاهده است. ما به این نتیجه می رسیم که محدوده مورد نظر از مقادیر قابل قبول هر x به جز است x = 0و x = - 5.

معلوم می شود که معادله گویا کسری 0 x 4 + 5 x 3 = 0 دارای تعداد بی نهایت جواب است که هر عددی غیر از صفر و - 5 باشد.

پاسخ: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

حال بیایید در مورد معادلات گویا کسری شکل دلخواه و روش های حل آنها صحبت کنیم. می توان آنها را به صورت نوشتاری کرد r(x) = s(x)، جایی که r(x)و s(x)- عبارات منطقی و حداقل یکی از آنها کسری باشد. حل چنین معادلاتی به حل معادلات به شکل p (x) q (x) = 0 کاهش می یابد.

ما قبلاً می دانیم که با انتقال یک عبارت از سمت راست معادله به سمت چپ با علامت مخالف می توانیم یک معادله معادل به دست آوریم. این به این معنی است که معادله r(x) = s(x)معادل معادله است r (x) - s (x) = 0. همچنین قبلاً درباره روش‌های تبدیل یک عبارت منطقی به کسری گویا بحث کرده‌ایم. به لطف این، ما به راحتی می توانیم معادله را تبدیل کنیم r (x) - s (x) = 0به یک کسر گویا یکسان به شکل p (x) q (x) .

بنابراین از معادله گویا کسری اصلی حرکت می کنیم r(x) = s(x)به معادله ای به شکل p (x) q (x) = 0 که قبلاً حل آن را آموخته ایم.

باید در نظر گرفت که هنگام انتقال از r (x) - s (x) = 0به p(x)q(x) = 0 و سپس به p(x)=0ممکن است گسترش دامنه مقادیر مجاز متغیر x را در نظر نگیریم.

این کاملاً ممکن است که معادله اصلی باشد r(x) = s(x)و معادله p(x)=0در نتیجه دگرگونی ها دیگر معادل نیستند. سپس راه حل معادله p(x)=0می تواند به ما ریشه هایی بدهد که با آنها بیگانه خواهد بود r(x) = s(x). در این راستا، در هر مورد لازم است تا با استفاده از هر یک از روش های شرح داده شده در بالا، تأیید انجام شود.

برای سهولت در مطالعه موضوع، ما تمام اطلاعات را در یک الگوریتم برای حل یک معادله منطقی کسری خلاصه کرده ایم. r(x) = s(x):

• عبارت را از سمت راست با علامت مخالف منتقل می کنیم و در سمت راست صفر می گیریم.
• عبارت اصلی را به یک کسر گویا p (x) q (x) تبدیل می کند، که به طور متوالی عملیات با کسرها و چندجمله ای ها را انجام می دهد.
• معادله را حل کنید p(x)=0;
• ما ریشه های خارجی را با بررسی تعلق آنها به ODZ یا با جایگزینی در معادله اصلی شناسایی می کنیم.

از نظر بصری، زنجیره اقدامات به صورت زیر خواهد بود:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → حذف ریشه های خارجی

مثال 12

معادله گویا کسری را حل کنید x x + 1 = 1 x + 1 .

راه حل

بیایید به معادله x x + 1 - 1 x + 1 = 0 برویم. بیایید عبارت منطقی کسری در سمت چپ معادله را به شکل p (x) q (x) تبدیل کنیم.

برای انجام این کار، ما باید کسرهای گویا را به یک مخرج مشترک کاهش دهیم و عبارت را ساده کنیم:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

برای پیدا کردن ریشه های معادله - 2 x - 1 x (x + 1) = 0، باید معادله را حل کنیم. − 2 x − 1 = 0. ما یک ریشه می گیریم x = - 1 2.

تنها کاری که باید انجام دهیم این است که با استفاده از هر یک از روش ها بررسی کنیم. بیایید به هر دوی آنها نگاه کنیم.

بیایید مقدار حاصل را با معادله اصلی جایگزین کنیم. دریافت می کنیم - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. ما به برابری عددی صحیح رسیده ایم − 1 = − 1 . این به آن معنا است x = - 1 2ریشه معادله اصلی است.

حالا بیایید از طریق ODZ بررسی کنیم. اجازه دهید محدوده مقادیر مجاز متغیر x را تعیین کنیم. این کل مجموعه اعداد خواهد بود، به استثنای - 1 و 0 (در x = - 1 و x = 0، مخرج کسرها ناپدید می شوند). ریشه ای که به دست آوردیم x = - 1 2متعلق به ODZ است. یعنی ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: − 1 2 .

مثال 13

ریشه های معادله x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x را بیابید.

راه حل

ما با یک معادله گویا کسری روبرو هستیم. بنابراین طبق الگوریتم عمل خواهیم کرد.

بیایید عبارت را از سمت راست به سمت چپ با علامت مخالف حرکت دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

بیایید تبدیل های لازم را انجام دهیم: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

به معادله می رسیم x = 0. ریشه این معادله صفر است.

بیایید بررسی کنیم که آیا این ریشه خارج از معادله اصلی است یا خیر. بیایید مقدار را با معادله اصلی جایگزین کنیم: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. همانطور که می بینید، معادله به دست آمده معنی ندارد. این بدان معنی است که 0 یک ریشه خارجی است و معادله گویا کسری اصلی هیچ ریشه ای ندارد.

پاسخ:بدون ریشه

اگر دیگر تبدیل‌های معادل را در الگوریتم لحاظ نکرده باشیم، به این معنی نیست که نمی‌توان از آنها استفاده کرد. الگوریتم جهانی است، اما برای کمک طراحی شده است، نه محدود کردن.

مثال 14

معادله 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24 را حل کنید

راه حل

ساده ترین راه حل معادله منطقی کسری بر اساس الگوریتم است. اما راه دیگری وجود دارد. بیایید آن را در نظر بگیریم.

7 را از سمت راست و چپ کم کنید، به دست می آید: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

از اینجا می توان نتیجه گرفت که عبارت در مخرج سمت چپ باید برابر با متقابل عدد سمت راست باشد، یعنی 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

از هر دو طرف 3 کم کنید: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. بر اساس قیاس، 2 + 1 5 - x 2 = 7 3، از آنجا 1 5 - x 2 = 1 3، و سپس 5 - x 2 = 3، x 2 = 2، x = 2 ±

اجازه دهید بررسی کنیم تا مشخص کنیم آیا ریشه های یافت شده ریشه معادله اصلی هستند یا خیر.

پاسخ: x = ± 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

عبارت عدد صحیح یک عبارت ریاضی است که از اعداد و متغیرهای تحت اللفظی با استفاده از عملیات جمع، تفریق و ضرب تشکیل شده است. اعداد صحیح همچنین شامل عباراتی هستند که شامل تقسیم بر هر عددی غیر از صفر است.

مفهوم یک عبارت منطقی کسری

عبارت کسری یک عبارت ریاضی است که علاوه بر عملیات جمع، تفریق و ضرب که با اعداد و متغیرهای حروف انجام می شود و همچنین تقسیم بر عددی که برابر با صفر نیست، شامل تقسیم به عبارات دارای متغیرهای حرفی نیز می باشد.

عبارات گویا همه عبارت های کل و کسری هستند. معادلات گویا معادلاتی هستند که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا هستند. اگر در یک معادله گویا، سمت چپ و راست عبارات اعداد صحیح باشند، چنین معادله ای را یک عدد صحیح می نامند.

اگر در یک معادله گویا سمت چپ یا راست عبارات کسری باشند، چنین معادله گویا را کسری می نامند.

نمونه هایی از عبارات منطقی کسری

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

طرحی برای حل یک معادله گویا کسری

1. مخرج مشترک همه کسری که در معادله گنجانده شده است را بیابید.

2. دو طرف معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید.

3. معادله کامل حاصل را حل کنید.

4. ریشه ها را بررسی کنید و آنهایی را که مخرج مشترک را ناپدید می کنند حذف کنید.

از آنجایی که ما در حال حل معادلات گویا کسری هستیم، متغیرهایی در مخرج کسرها وجود خواهد داشت. این بدان معنی است که آنها یک مخرج مشترک خواهند بود. و در نقطه دوم الگوریتم در یک مخرج مشترک ضرب می کنیم، سپس ریشه های خارجی ممکن است ظاهر شوند. که در آن مخرج مشترک برابر با صفر خواهد بود، یعنی ضرب در آن بی معنی خواهد بود. بنابراین در پایان لازم است ریشه های به دست آمده را بررسی کنید.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

معادله گویا کسری را حل کنید: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

ما به آن پایبند خواهیم بود طرح کلی: ابتدا مخرج مشترک همه کسرها را پیدا می کنیم. x*(x-5) را بدست می آوریم.

هر کسر را در یک مخرج مشترک ضرب کنید و معادله کامل حاصل را بنویسید.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

اجازه دهید معادله حاصل را ساده کنیم. ما گرفتیم:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

یک معادله درجه دوم کاهش یافته ساده بدست می آوریم. ما آن را با هر یک از روش های شناخته شده حل می کنیم، ریشه های x=-2 و x=5 را می گیریم.

اکنون راه حل های به دست آمده را بررسی می کنیم:

اعداد -2 و 5 را با مخرج مشترک جایگزین کنید. در x=-2 مخرج مشترک x*(x-5) محو نمی شود، -2*(-2-5)=14. این بدان معنی است که عدد -2 ریشه معادله گویا کسری اصلی خواهد بود.

وقتی x=5 مخرج مشترک x*(x-5) می شود برابر با صفر. بنابراین، این عدد ریشه معادله گویا کسری اصلی نیست، زیرا تقسیم بر صفر وجود خواهد داشت.

اهداف درس:

آموزشی:

• شکل گیری مفهوم معادلات گویا کسری؛
• روش های مختلفی را برای حل معادلات گویا کسری در نظر بگیرید.
• الگوریتمی را برای حل معادلات گویا کسری در نظر بگیرید، از جمله شرطی که کسری برابر با صفر باشد.
• آموزش حل معادلات منطقی کسری با استفاده از یک الگوریتم.
• بررسی میزان تسلط بر مبحث با برگزاری آزمون.

رشدی:

• توسعه توانایی عملکرد صحیح با دانش کسب شده و تفکر منطقی؛
• توسعه مهارت های فکری و عملیات ذهنی- تجزیه و تحلیل، سنتز، مقایسه و سنتز؛
• توسعه ابتکار، توانایی تصمیم گیری و توقف نکردن در اینجا؛
• توسعه تفکر انتقادی؛
• توسعه مهارت های پژوهشی

آموزش دادن:

• پرورش علاقه شناختی به موضوع؛
• تقویت استقلال در حل مشکلات آموزشی؛
• پرورش اراده و پشتکار برای دستیابی به نتایج نهایی.

نوع درس: درس - توضیح مطالب جدید.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی.

سلام بچه ها! معادلات روی تخته نوشته شده است، با دقت به آنها نگاه کنید. آیا می توانید تمام این معادلات را حل کنید؟ کدام یک نیستند و چرا؟

معادلاتی که در آن سمت چپ و راست عبارات گویا کسری هستند، معادلات گویا کسری نامیده می شوند. به نظر شما امروز در کلاس چه خواهیم خواند؟ موضوع درس را تدوین کنید. بنابراین، دفترهای خود را باز کنید و موضوع درس "حل معادلات گویا کسری" را یادداشت کنید.

2. به روز رسانی دانش. نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس.

و اکنون ما مطالب نظری اصلی را که برای مطالعه یک موضوع جدید به آن نیاز داریم، تکرار می کنیم. لطفا به سوالات زیر پاسخ دهید:

1. معادله چیست؟ ( برابری با متغیر یا متغیرها.)
2. نام معادله شماره 1 چیست؟ ( خطی.) روشی برای حل معادلات خطی. ( همه چیز را با مجهول به سمت چپ معادله، همه اعداد را به سمت راست منتقل کنید. اصطلاحات مشابه را بیان کنید. عامل ناشناخته را پیدا کنید).
3. نام معادله شماره 3 چیست؟ ( مربع.) روش های حل معادلات درجه دوم. ( انتخاب مربع کاملبا فرمول ها با استفاده از قضیه ویتا و پیامدهای آن.)
4. نسبت چیست؟ ( برابری دو نسبت.) خاصیت اصلی تناسب. ( اگر نسبت صحیح باشد، حاصل ضرب جملات افراطی آن برابر است با حاصلضرب عبارات میانی.)
5. برای حل معادلات از چه ویژگی هایی استفاده می شود؟ ( 1. اگر یک عبارت را در یک معادله از قسمتی به قسمت دیگر منتقل کنید و علامت آن را تغییر دهید، معادله ای معادل معادله داده شده به دست خواهید آورد. 2. اگر هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر یکسان ضرب یا تقسیم شوند، معادله ای معادل معادله داده شده به دست می آید..)
6. چه زمانی یک کسری برابر با صفر می شود؟ ( کسری برابر با صفر است که صورت آن صفر باشد و مخرج آن صفر نباشد..)

3. توضیح مطالب جدید.

معادله شماره 2 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 10.

چه معادله گویا کسری را می توانید با استفاده از ویژگی اصلی نسبت حل کنید؟ (شماره 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

معادله شماره 4 را در دفترچه و روی تخته حل کنید.

پاسخ: 1,5.

با ضرب دو طرف معادله در مخرج چه معادله کسری را می توانید حل کنید؟ (شماره 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0، x 1 =3، x 2 =4.

پاسخ: 3;4.

حال سعی کنید با استفاده از یکی از روش های زیر معادله شماره 7 را حل کنید.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 =-2			x 3 = 5 x 4 =-2
پاسخ: 0;5;-2.			پاسخ: 5;-2.

توضیح دهید چرا این اتفاق افتاد؟ چرا در یک مورد سه ریشه و در مورد دیگر دو ریشه وجود دارد؟ ریشه های این معادله کسری گویا چه اعدادی هستند؟

تا به حال، دانش‌آموزان با مفهوم ریشه خارجی مواجه نشده‌اند؛ در واقع درک دلیل این اتفاق برای آنها بسیار دشوار است. اگر هیچ کس در کلاس نتواند توضیح واضحی از این وضعیت بدهد، معلم سوالات اصلی می پرسد.

• معادلات شماره 2 و 4 چه تفاوتی با معادلات شماره 5،6،7 دارند؟ ( در معادلات شماره 2 و 4 اعداد در مخرج وجود دارد، شماره 5-7 عباراتی با متغیر هستند..)
• ریشه یک معادله چیست؟ ( مقدار متغیری که در آن معادله درست می شود.)
• چگونه بفهمیم که یک عدد ریشه یک معادله است؟ ( چک کنید.)

برخی از دانش آموزان هنگام تست زدن متوجه می شوند که باید بر صفر تقسیم کنند. آنها نتیجه می گیرند که اعداد 0 و 5 ریشه این معادله نیستند. این سوال مطرح می شود: آیا راهی برای حل معادلات منطقی کسری وجود دارد که به ما امکان می دهد این خطا را حذف کنیم؟ بله، این روش به شرطی است که کسر برابر با صفر باشد.

x 2 -3x-10=0، D=49، x 1 =5، x 2 =-2.

اگر x=5 باشد، x(x-5)=0، یعنی 5 یک ریشه خارجی است.

اگر x=-2، آنگاه x(x-5)≠0.

پاسخ: -2.

بیایید سعی کنیم الگوریتمی برای حل معادلات گویا کسری به این روش فرموله کنیم. بچه ها خودشان الگوریتم را فرموله می کنند.

الگوریتم حل معادلات گویا کسری:

1. همه چیز را به سمت چپ حرکت دهید.
2. کسرها را به مخرج مشترک کاهش دهید.
3. ایجاد یک سیستم: کسری برابر با صفر است زمانی که صورت برابر با صفر باشد و مخرج آن برابر با صفر نباشد.
4. معادله را حل کنید.
5. برای حذف ریشه های خارجی، نابرابری را بررسی کنید.
6. پاسخ را یادداشت کنید.

بحث: اگر از ویژگی اصلی نسبت و ضرب هر دو طرف معادله در یک مخرج مشترک استفاده کنید، چگونه می توان راه حل را رسمی کرد. (به راه حل اضافه کنید: آنهایی را که مخرج مشترک را از بین می برند از ریشه حذف کنید).

4. درک اولیه مطالب جدید.

دوتایی کار کنید. دانش آموزان بسته به نوع معادله خود نحوه حل معادله را انتخاب می کنند. تکالیف از کتاب درسی "جبر 8"، Yu.N. Makarychev، 2007: شماره 600 (b,c,i); شماره 601 (a,e,g). معلم بر تکمیل کار نظارت می کند، به هر سوالی که پیش می آید پاسخ می دهد و به دانش آموزان کم کار کمک می کند. خودآزمایی: پاسخ ها روی تخته نوشته می شوند.

ب) 2 – ریشه خارجی. پاسخ: 3.

ج) 2- ریشه خارجی. پاسخ: 1.5.

الف) پاسخ: -12.5.

ز) جواب: 1؛ 1.5.

5. تنظیم تکالیف.

1. بند 25 کتاب درسی را بخوانید، مثال های 1-3 را تحلیل کنید.
2. الگوریتم حل معادلات گویا کسری را یاد بگیرید.
3. حل در دفترهای شماره 600 (الف، د، ه). شماره 601 (g,h).
4. سعی کنید شماره 696 (الف) را حل کنید (اختیاری).

6. تکمیل یک کار کنترلی در مورد موضوع مورد مطالعه.

کار روی تکه های کاغذ انجام می شود.

نمونه کار:

الف) کدام یک از معادلات کسری گویا هستند؟

ب) کسری برابر با صفر است که صورت آن _____________________ و مخرج آن _______________________ باشد.

س) آیا عدد -3 ریشه معادله شماره 6 است؟

د) معادله شماره 7 را حل کنید.

معیارهای ارزیابی تکلیف:

• اگر دانش آموز بیش از 90 درصد از تکلیف را به درستی انجام داده باشد، "5" داده می شود.
• "4" - 75٪ - 89٪
• "3" - 50٪ - 74٪
• "2" به دانش آموزی داده می شود که کمتر از 50٪ از کار را انجام داده باشد.
• رتبه 2 در مجله داده نشده است، 3 اختیاری است.

7. انعکاس.

روی برگه های کار مستقل بنویسید:

• 1 - اگر درس برای شما جالب و قابل درک بود.
• 2 - جالب، اما واضح نیست.
• 3 - جالب نیست، اما قابل درک است.
• 4- جالب نیست، واضح نیست.

8. جمع بندی درس.

بنابراین، امروز در درس با معادلات گویا کسری آشنا شدیم، حل این معادلات را به روش های مختلف یاد گرفتیم، دانش خود را با کمک یک آموزش آزمایش کردیم. کار مستقل. نتایج کار مستقل خود را در درس بعدی خواهید آموخت و در خانه این فرصت را خواهید داشت که دانش خود را تثبیت کنید.

به نظر شما کدام روش برای حل معادلات گویا کسری راحت تر، در دسترس تر و منطقی تر است؟ صرف نظر از روش حل معادلات گویا کسری، چه چیزی را باید به خاطر بسپارید؟ "حیله گری" معادلات عقلی کسری چیست؟

با تشکر از همه، درس تمام شد.