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方程式での odz の書き方。分数定義領域。機能ドメイン

シャムシュリン A.V. 1

ガガリーナ NA 1

画像や数式を使わずに作品のテキストを掲載します。
完全版作品は「作品ファイル」タブで PDF 形式で入手できます。

導入

私はインターネットで多くの数学トピックを調べることから始め、DL を見つけることの重要性が方程式や問題を解く上で大きな役割を果たすと信じているため、このトピックを選択しました。彼の中で研究活動私は、ODZ、危険性、オプション性、制限された ODZ、数学におけるいくつかの禁止事項を見つけるだけで十分である方程式を調べました。私にとって最も重要なことは、数学で統一州試験に合格することです。そのためには、DL をいつ、なぜ、どのように見つけるかを知る必要があります。これが私にこのトピックを調査するきっかけとなりました。その目的は、このトピックをマスターすることで、学生が統一州試験の課題を正しく完了できるようになるということを示すことでした。この目標を達成するために、追加の文献やその他の情報源を調査しました。私たちの学校の生徒たちは、ODZ をいつ、なぜ、どのように見つけるのかを知っているのだろうかと疑問に思いました。そこで、「いつ、なぜ、どのようにODZを見つけるのか？」というテーマでテストを実施しました。 (10 個の方程式が与えられました)。生徒の数 - 28 人。それに対処した - 14%、DD の危険性 (考慮に入れて) - 68%、任意性 (考慮に入れて) - 36%。

目標: 識別: ODZ をいつ、なぜ、どのように見つけるか。

問題： ODZ を見つける必要がある方程式や不等式は、代数コースで体系的に提示する場所を見つけていません。おそらくそれが、私の同僚や私がそのような例を解くときによく間違いを犯し、解くのに多くの時間を費やし、忘れている理由です。 ODZについて。

タスク:

方程式と不等式を解くときの ODZ の重要性を示します。
このトピックに関して実践的な作業を実施し、その結果をまとめます。

私が習得した知識とスキルは、DZ を探す必要があるかどうかという疑問を解決するのに役立つと思います。 ODZ の正しい実行方法を学ぶことで、間違いを犯さなくなります。これができるかどうかは、時間、あるいは統一国家試験が教えてくれるだろう。

第1章

ODZとは何ですか？

ODZは 地域許容可能な値 つまり、これらはすべて、式が意味をなす変数の値です。

重要。 ODZ を見つけるには、例を解決しません。例の一部を解いて、禁止されている場所を見つけます。

数学におけるいくつかの禁止事項。数学ではそのような禁止行為はほとんどありません。しかし、誰もがそれらを覚えているわけではありません...

偶数の多重度符号で構成される式、または 0 より大きいかゼロに等しい必要があります (ODZ:f(x))
分数の分母の式をゼロにすることはできません (ODZ:f(x))
|f(x)|=g(x)、ODZ: g(x) 0

ODZを記録するにはどうすればよいですか?とてもシンプルです。例の横に必ず ODZ と書きます。これらの既知の文字の下に、元の方程式を見て、元の例で許可されている x の値を書き留めます。例を変形すると、OD が変わり、それに応じて答えも変わる可能性があります。

ODZ を見つけるためのアルゴリズム:

禁止の種類を決定します。
式が意味をなさない値を見つけます。
これらの値を実数 R のセットから削除します。

方程式を解きます: =

DZなし

ODZあり

答え: x=5

ODZ: => =>

答え: 根がありません

許容値の範囲は、そのような重大なエラーから私たちを保護します。正直に言うと、ODZ のおかげで多くの「ショック学生」が「C」学生に変わってしまいます。 DL を検索して考慮することは、決定において重要なステップではないと考えると、DL をスキップし、「なぜ教師はそれに 2 を付けたのだろうか?」と疑問に思います。はい、答えが間違っているのでそれを入れました！これは教師の「指摘」ではなく、計算間違いや標識の紛失など、非常に具体的な間違いです。

追加の方程式:

a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

第2章

ODZ。何のために？いつ？どうやって？

許容可能な値の範囲 - 解決策はあります

ODZ は空のセットです。つまり、元の例には解がありません。

=ODZ:

答え: 根がありません。

=ODZ:

答え: 根がありません。

0、方程式には根がありません

答え: 根がありません。

追加の例:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0。

ODZ には 1 つ以上の数値が含まれており、単純な置換によってルートがすぐに決定されます。

ODZ: x=2、x=3

チェック: x=2、+、0<1, верно

チェック: x=3、+、0<1, верно.

答え: x=2、x=3。

> ODZ: x=1、x=0

チェック: x=0、>、0>0、間違っています

チェック: x=1、>、1>0、true

答え: x=1。

+ =x ODZ: x=3

チェック: + =3、0=3、間違っています。

答え: 根がありません。

追加の例:

a) = ; b) + =0; c) + =x -1

DDの危険性

ご了承くださいアイデンティティ変換できる：

DL には影響しません。
DLの拡大につながる。
ODZ の狭小化につながります。

元の ODZ を変更するいくつかの変換の結果、誤った決定が生じる可能性があることも知られています。

それぞれのケースを例を挙げて説明しましょう。

1) 式 x + 4x + 7x を考えます。これに対する変数 x の ODZ が集合 R です。同様の項を提示しましょう。結果として×2＋11×という形になります。明らかに、この式の変数 x の ODZ も集合 R です。したがって、実行された変換は ODZ を変更しませんでした。

2) 方程式 x+ - =0 を計算します。この場合、ＯＤＺ：ｘ≠０となる。この式にも同様の項が含まれており、これを削減した後、ODZ が R である式 x に到達します。表示される内容: 変換の結果、ODZ は拡張されました (数値ゼロが、ODZ の ODZ に追加されました)。元の式の変数 x)。

3) 式を考えてみましょう。変数 x の VA は、不等式 (x−5) · (x−2)≥0 によって決定されます。VA: (−∞, 2]∪∪/アクセスモード: サイト www.fipi.ru、www.eg からの資料

許容値の範囲 - 解決策があります [電子リソース]/アクセスモード: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - 許容値の領域、ODZ の検索方法 [電子リソース]/アクセスモード:賢い学生.ru›expressions/odz.html

許容値の範囲: 理論と実践 [電子リソース]/アクセスモード: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ [電子リソース] とは/アクセスモード: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ とは何か、その検索方法 - 説明と例。電子リソース]/ アクセスモード: cos-cos.ru›math/82/

付録 1

実践編「ODZ：いつ、なぜ、どのように？」

オプション1	オプション 2



│x+14│= 2 - 2x


	│3x│=1 - 3x

付録 2

課題への答え実務「ODZ: いつ、なぜ、どのようにして?」

オプション1

オプション 2

答え: 根がありません

答え: x-x=5 を除く任意の数

9x+ = +27 ODZ: x≠3

答え: 根がありません

ODZ: x=-3、x=5。答え: -3;5。

y= -減少、

y= -増加します

これは、方程式の根が最大 1 つであることを意味します。答え: x=6。

ODZ: → →х≥5

答え: x≧5、x≦-6。

│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0、x≤1

x=-4、x=16、16 は ODZ に属しません

減少、増加

方程式の根は最大 1 つです。答え: 根がありません。

0、ODZ: x≧3、x≦2

答え: x≧3、x≦2

8x+ = -32、ODZ: x≠-4。

答え: 根がありません。

x=7、x=1。答え: 解決策はありません

増加 - 減少

答え: x=2。

0 ODZ: x≠15

答え: x は、x=15 を除く任意の数値です。

│3-х│=1-3х、ODZ: 1-3х≥0、x≤

x=-1、x=1 は ODZ に属しません。

答え: x=-1。

\(\frac(x)(x-1)\) 変数の値は 1 に等しくなります。ルールに違反します。 ゼロで割ることはできません。したがって、ここでは \(x\) を単位にすることはできず、ODZ は次のように記述されます。

式 \(\sqrt(x-2)\) の変数の値が \(0\) の場合、ルールに違反します。 根元式は負であってはなりません。これは、ここで \(x\) が \(0\) になることはなく、\(1, -3, -52.7\) などになることもできないことを意味します。つまり、x は 2 以上である必要があり、ODZ は \(x\geq2\); になります。

ただし、式 \(4x+1\) では、X の代わりに任意の数値を代入でき、ルールに違反することはありません。したがって、ここでの許容値の範囲は数値軸全体となります。 この場合、DZは記録されません。、有益な情報が含まれていないためです。

従うべきすべてのルールを見つけることができます。

方程式におけるODZ

決定する際には、許容可能な値の範囲について覚えておくことが重要です。そこでは変数の値を探しているだけですが、数学の規則に違反する変数を偶然見つけてしまう可能性があります。

ODZ の重要性を理解するために、方程式に対する 2 つの解 (ODZ を使用した場合と使用しない) を比較してみましょう。

例: 方程式を解く
解決 :

ODZ なし:		ODZ を使用する場合:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4・1・(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4・1・(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2 1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - ODZ の対象にはなりません
答え : \(4; -3\)		答え : \(4\)

違いがわかりますか? 最初の解決策では、答えに間違った余分な ! が含まれていました。なぜ間違っているのでしょうか？これを元の式に代入してみましょう。

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

ご覧のとおり、左側と右側の両方で、計算不可能で意味のない式が得られました (結局のところ、ゼロで割ることはできません)。そして、これらの値は存在しないため、それらが同じであるという事実はもはや役割を果たしません。したがって、「\(-3\)」は不適切で無関係なルートであり、許容可能な値の範囲により、このような重大なエラーから保護されます。

そのため、最初の解決策では D が得られ、2 番目の解決策では A が得られます。そして、これらは教師の退屈な屁理屈ではありません。なぜなら、ODS を考慮しないことは些細なことではなく、非常に具体的な間違いであり、記号を失ったり、間違った公式を適用したりするのと同じだからです。結局のところ、最終的な答えは間違っています！

許容可能な値の範囲を見つけるには、方程式を解く必要があることが多いため、それをうまく行うことができなければなりません。

例 : 式 \(\sqrt(5-2x)+\) の定義域を見つけます \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2)))\)

解決 : 式には根が 2 つあり、そのうちの 1 つは分母にあります。この場合に課された制限を覚えていない人は... 覚えている人は誰でも、最初の根の下の式はゼロ以上であり、第 2 根の下の式はゼロより大きいことを書き留めています。なぜ制限がこのようになっているのか理解していますか?

答え : \((-2;2,5]\)

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関数のドメインを見つけるにはどうすればよいでしょうか? 中学生はこの課題に取り組まなければならないことがよくあります。

親は子供たちがこの問題を理解できるように手助けする必要があります。

関数の指定。

代数学の基本用語を思い出してみましょう。数学では、関数とは、ある変数の別の変数への依存関係です。これは、2 つの数値を特定の方法で結び付ける厳密な数学法則であると言えます。

数学では、数式を分析するときに、数値変数がアルファベット記号に置き換えられます。最も一般的に使用されるのは、x (「x」) と y (「y」) です。 変数 x は引数と呼ばれ、変数 y は x の従属変数または関数と呼ばれます。

存在するさまざまな方法変数の依存関係を設定します。

それらを列挙してみましょう:

分析タイプ。
表形式のビュー。
グラフィック表示。

分析方法は式で表されます。例を見てみましょう: y=2x+3、y=log(x)、y=sin(x)。式 y=2x+3 は典型的なものです。一次関数。引数の数値を指定された式に代入すると、y の値が得られます。

表形式の方法は、2 つの列で構成される表です。最初の列は X 値に割り当てられ、次の列にはプレーヤーのデータが記録されます。

グラフィカルな方法が最も視覚的であると考えられています。グラフは、平面上のすべての点のセットを表示したものです。

グラフを構築するには、デカルト座標系が使用されます。システムは 2 本の垂直線で構成されます。同一の単位セグメントが軸上に配置されます。直線の交点の中心点から数えます。

独立変数は水平線で示されます。それを横軸と呼びます。縦線 (y 軸) は従属変数の数値を表示します。点は、これらの軸に対する垂線の交点にマークされます。点と点を結ぶと実線が得られます。スケジュールの基本となります。

変数の依存関係の種類

意味。

で一般的な見解依存関係は方程式 y=f(x) として表されます。この式から、数値 x の各値に対して特定の数値 y が存在することがわかります。数値 x に対応するゲームの値は、関数の値と呼ばれます。

独立変数が取得するすべての可能な値は、関数の定義領域を形成します。したがって、従属変数の数値のセット全体が関数の値の範囲を決定します。定義域は、f(x) が意味をなす引数のすべての値です。

数学的法則を研究する際の最初のタスクは、定義領域を見つけることです。この用語は正しく定義されなければなりません。そうしないと、それ以降の計算はすべて無駄になります。結局のところ、値の量は最初のセットの要素に基づいて形成されます。

関数のスコープは制約に直接依存します。制限は、特定の操作を実行できないことによって引き起こされます。数値の使用にも制限があります。

制限がない場合、定義領域は数値空間全体です。無限大の記号には、水平方向の 8 の字の記号が付いています。数値のセット全体は、(-∞; ∞) のように記述されます。

場合によっては、データセットは複数のサブセットで構成されます。数値の間隔またはスペースの範囲は、パラメーター変化の法則の種類によって異なります。

制限に影響を与える要因のリストは次のとおりです。

反比例。
算術ルート。
べき乗;
対数依存性。
三角関数の形式。

このような要素が複数ある場合、制限の検索は要素ごとに分割されます。最大の問題は、重要なポイントとギャップを特定することです。この問題の解決策は、すべての数値サブセットを統合することです。

数値のセットとサブセット

セットについて。

定義域はD(f)で表され、和集合の符号は記号∪で表されます。すべての数値間隔は括弧で囲まれています。敷地の境界線がセットに含まれていない場合は、半円形のブラケットが配置されます。それ以外の場合、数値がサブセットに含まれる場合は角括弧が使用されます。

反比例はy=k/xという式で表されます。関数グラフは 2 つの枝からなる曲線です。一般に誇張と呼ばれるものです。

関数は分数で表現されるため、定義領域を見つけるには分母を分析する必要があります。数学ではゼロ除算が禁止されていることはよく知られています。この問題を解決するには、分母をゼロに等しくして根を求める必要があります。

以下に例を示します。

与えられた場合: y=1/(x+4)。定義域を見つけます。

分母をゼロとみなします。
x+4=0
方程式の根を見つける。
x=-4
引数のすべての可能な値のセットを定義します。
D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

回答: 関数の定義域は、-4 を除くすべての実数です。

平方根記号の下の数値の値を負にすることはできません。この場合、ルートを使用した関数の定義は、不等式を解くことに帰着します。根号式はゼロより大きくなければなりません。

ルートの決定領域は、ルートインジケーターのパリティに関連します。インジケーターが 2 で割り切れる場合、式は次の場合にのみ意味を持ちます。正の値. 奇数インジケーターは、ラジカル表現のあらゆる意味 (肯定的と否定的の両方) の許容可能性を示します。

不等式は方程式と同じ方法で解決されます。違いは 1 つだけです。不等式の両辺を乗算した後、負の数符号を逆にする必要があります。

平方根が分母にある場合は、追加の条件を課す必要があります。数値はゼロであってはなりません。不平等は、厳密な不平等のカテゴリーに移ります。

対数関数と三角関数

対数形式は正の数に適しています。したがって、定義領域は対数関数ゼロを除いて平方根関数に似ています。

対数依存性の例、y=log(2x-6) を考えてみましょう。定義域を見つけます。

2x-6>0
2x>6
x>6/2

答え: (3; +∞)。

y=sin x および y=cos x の定義域は、すべての実数の集合です。タンジェントとコタンジェントには制限があります。これらは、角度のコサインまたはサインによる除算に関連付けられています。

角度の正接は、サインとコサインの比によって決まります。接線値が存在しない角度値を示しましょう。関数 y=tg x は、x=π/2+πn、n∈Z を除く引数のすべての値に対して意味を持ちます。

関数 y=ctg x の定義域は、x=πn、n∈Z を除く実数のセット全体です。引数が数値 π または π の倍数に等しい場合、角度の正弦ゼロに等しい。これらの点 (漸近線) では、コタンジェントは存在できません。

定義の領域を特定する最初の作業は、7 年生の授業で始まります。代数のこのセクションに初めて触れたとき、学生はトピックを明確に理解する必要があります。

この用語は、学習期間全体を通して学童、そして学生に付随することに注意する必要があります。

どうやって？
解決策の例

どこかに何かが欠けているということは、どこかに何かがあるということです

「関数とグラフ」セクションの学習を続けて、次のステーションに進みます。活発な議論このコンセプトセットに関する記事で始まり、最初のレッスンで続きました。 関数グラフここでは初等関数、特にその定義領域について考察しました。したがって、いくつかの基本的な点については再度説明しないため、ダミーの場合はトピックの基本から始めることをお勧めします。

読者は、一次関数、二次関数、三次関数、多項式、指数関数、サイン、コサインなどの関数の定義領域を知っていることを前提としています。それらは次のように定義されています (すべての実数の集合)。タンジェント、アークサインについては、それはそれで構いませんが、ご容赦ください =) - 珍しいグラフはすぐには記憶されません。

定義の範囲は単純なことのように見えますが、論理的な疑問が生じます。「その記事は何を扱うのか?」このレッスンでは、関数の定義域を見つける際の一般的な問題を見ていきます。さらに、繰り返しますが、 1 つの変数による不等式、他のタスクでも解決スキルが必要になります高等数学。ちなみに、教材はすべて学校教材なので、学生だけでなく学生にも役立ちます。もちろん、この情報は百科事典のようなものではありませんが、ここで紹介するのは、ありえない「死んだ」例ではなく、実際の実用的な作品から抜粋した焼き栗です。

まずはこのトピックについて簡単に説明しましょう。重要なことを簡単に説明すると、ここでは 1 つの変数の関数について話しています。その定義領域は次のとおりです。 「x」にはたくさんの意味がある、そのために 存在する「プレイヤー」の意味。仮説的な例を見てみましょう。

この関数の定義領域は、間隔の和集合です。
(忘れた方のために: - 関連付けアイコン)。言い換えれば、間隔、、、、またはから「x」の値を取得すると、そのような「x」ごとに値「y」が存在します。

大まかに言えば、定義領域がどこにあるのかというと、関数のグラフが存在します。ただし、半値区間と「ツェ」点は定義領域に含まれておらず、そこにはグラフもありません。

関数のドメインを見つけるにはどうすればよいでしょうか? 多くの人は童謡「じゃんけん」を覚えていますが、この場合は「根、分数、対数」と言い換えても問題ありません。したがって、あなたが人生の道分数、ルート、または対数に遭遇した場合は、直ちに非常に注意する必要があります。タンジェント、コタンジェント、アークサイン、アークコサインはあまり一般的ではありませんが、それらについても説明します。まずはアリの生活のスケッチから。

分数を含む関数の定義域

何らかの分数を含む関数が与えられたとします。ご存知のとおり、ゼロで割ることはできません: 分母をゼロにする「X」値はこの関数の範囲には含まれません.

次のような最も単純な関数については説明しません。などなど、誰もが自分の定義領域に含まれていない点を完全に認識しているからです。より意味のある分数を見てみましょう。

例1

関数のドメインを見つける

解決: 分子には特別なことはありませんが、分母はゼロ以外でなければなりません。これをゼロに設定して、「悪い」点を見つけてみましょう。

結果として得られる方程式には 2 つの根があります。。データ値 関数のスコープ内にありません。実際、関数にまたはを代入すると、分母がゼロになることがわかります。

答え: ドメイン:

このエントリは次のようになります。「定義域は、値で構成されるセットを除くすべての実数です」」数学におけるバックスラッシュ記号は論理的な減算を表し、中括弧は集合を表すことを思い出してください。答えは、以下の 3 つの区間の和集合として等価的に書くことができます。

好きな人は誰でも。

ポイントで機能が許容する 終わりのない休憩、直線、方程式で与えられるは 垂直漸近線この関数のグラフについては。ただし、これは少し異なるトピックなので、これについてはあまり焦点を当てません。

例 2

関数のドメインを見つける

このタスクは基本的に口頭で行われ、多くの人は定義の領域をほぼすぐに見つけるでしょう。答えはレッスンの最後にあります。

分数は常に「悪い」のでしょうか? いいえ。たとえば、関数は数直線全体で定義されます。「x」の値がどのようなものであっても、分母はゼロにはならず、常に正になります。したがって、この関数のスコープは次のとおりです。

すべての関数は次のようなものです定義されており、 継続的なの上。

分母が占有されている場合、状況は少し複雑になります。二次三項式:

例 3

関数のドメインを見つける

解決: 分母がゼロになる点を探してみましょう。これについては私たちが決定します 二次方程式:

判別式は負であることが判明しました。これは、実際の根が存在せず、関数が数値軸全体で定義されていることを意味します。

答え: ドメイン:

例 4

関数のドメインを見つける

これは例です独立した決定。解答と答えはレッスンの最後にあります。例を増やすと誤解が蓄積されるため、単純な問題に怠けないことをお勧めします。

ルートを持つ関数のドメイン

機能付き平方根の場合、それらの「x」の値に対してのみ定義されます。 過激な表現は否定的ではありません: 。根が分母にある場合、条件は明らかに厳しくなります。同様の計算は、正の偶数次の根に対しても有効です。ただし、根はすでに 4 度になっています。 機能研究覚えていない。

例5

関数のドメインを見つける

解決: 根元式は非負でなければなりません:

解決策を続ける前に、学校で習った、不等式を扱うための基本的なルールを思い出してください。

ご注意ください特別な注意! 今、不平等について考えています 1 つの変数で- つまり、私たちにとってはそれしかありません 軸に沿った 1 次元。混同しないでください 2 つの変数の不等式、座標平面全体が幾何学的に関与します。しかし、嬉しい偶然もあります！したがって、不等式の場合、次の変換は等価です。

1) 条件は、(条件を) 変更することにより、部分から部分に転送できます。兆候。

2) 不等式の両辺には正の数を掛けることができます。

3) 不等式の両辺を掛けると ネガティブ番号がある場合は、変更する必要があります 不平等そのものの兆候。たとえば、「より多く」があった場合は「より少なく」なります。「以下」の場合は「以上」になります。

不等式では、符号を変えて「3」を右側に移動します (ルール No. 1)。

不等式の両辺に -1 を掛けてみましょう (ルール 3):

不等式の両辺に (ルール 2) を掛けてみましょう。

答え: ドメイン:

答えは、「関数はで定義されています」という同等のフレーズで書くこともできます。
幾何学的には、定義領域は、横軸上の対応する間隔を陰影付けすることによって描写されます。この場合：

もう一度思い出させてください幾何学的な意味定義領域 - 関数のグラフは影付きの領域にのみ存在し、には存在しません。

ほとんどの場合、定義領域を純粋に分析的に決定することが適切ですが、関数が非常に複雑な場合は、軸を引いてメモを作成する必要があります。

例6

関数のドメインを見つける

これは自分で解決できる例です。

平方根の下に平方二項または三項がある場合、状況はもう少し複雑になります。ここで、解決手法を詳細に分析します。

例 7

関数のドメインを見つける

解決: 根次式は厳密に正でなければなりません。つまり、不等式を解く必要があります。最初のステップでは、二次三項式を因数分解してみます。

判別式は正なので、根を探します。

それで放物線はは横軸と 2 点で交差します。これは、放物線の一部が軸の下に位置し (不等式)、放物線の一部が軸の上に位置する (必要な不等式) ことを意味します。

係数がであるため、放物線の枝は上を向いています。上記のことから、不等式は区間上で満たされ (放物線の枝は無限大まで上に伸びます)、放物線の頂点は x 軸の下の区間に位置し、これは不等式に対応します。

！注記： 説明がよくわからない人は、第二軸と放物線全体を描いてください！記事とマニュアルに戻ることをお勧めします 学校の数学コースで人気の公式.

不等式が厳密であるため、点自体が削除される (解には含まれない) ことに注意してください。

答え: ドメイン:

一般に、多くの不平等 (考慮されている不平等を含む) は普遍的な方法によって解決されます。 インターバル法、学校のカリキュラムから再び知られています。しかし、正方形の二項式と三項式の場合、私の意見では、軸に対する放物線の位置を分析する方がはるかに便利で高速です。そして、この記事では主な方法である間隔方法を詳細に分析します。 関数ゼロ。一定間隔.

例8

関数のドメインを見つける

これは自分で解決できる例です。サンプルは、推論の論理 + 2 番目の解決方法、および不等式のもう 1 つの重要な変換について詳細にコメントしていますが、知識がなければ、生徒は片足を引きずることになります...、 ...うーん... たぶん私は興奮しました脚について、おそらく片方のつま先についてです。親指。

平方根関数は数直線全体で定義できますか? 確かに。おなじみの顔全員: 。または、指数を付けた同様の合計: 。実際、「x」と「ka」の値については次のようになります。したがって、およびもなります。

以下はあまり分かりにくい例です。。ここで、判別式は負 (放物線は x 軸と交差しません) ですが、放物線の枝は上向きであるため、定義域は次のようになります。

逆の質問: 関数の定義域は次のようになりますか? 空の? はい、そして原始的な例がすぐにそれを示唆していますここで、根数式は「x」の任意の値に対して負であり、定義域: (空のセットのアイコン)。このような関数は全く定義されていません（もちろんグラフも架空です）。

奇妙な根を持つ等すべてがはるかに良くなりました - ここ 過激な表現は否定的な場合もあります。たとえば、関数は数直線全体で定義されます。ただし、分母がゼロに設定されているため、この関数にはまだ定義領域に含まれていない点が 1 つあります。機能的にも同様の理由でポイントは対象外となります。

対数をもつ関数の定義域

3 番目の共通関数は対数です。サンプルとして描きます自然対数これは、100 件中約 99 件の例で発生します。特定の関数に対数が含まれる場合、その定義域には、不等式を満たす「x」の値のみが含まれる必要があります。対数が分母にある場合: さらに条件が課せられます (以来)。

例9

関数のドメインを見つける

解決: 上記に従って、システムを構成して解決します。

グラフィックソリューションダミー向け:

答え: ドメイン:

もう 1 つ技術的な点についてお話します。スケールが示されておらず、軸に沿った分割もマークされていません。疑問が生じます：市松模様の紙のノートにそのような図面を作成するにはどうすればよいですか？点間の距離は、スケールに従って厳密にセルによって測定される必要がありますか? もちろん、縮尺はより標準的で厳密ですが、状況を根本的に反映する概略図も十分に許容されます。

例 10

関数のドメインを見つける

この問題を解決するには、前の段落の方法を使用して、放物線が x 軸に対してどのように配置されているかを分析します。答えはレッスンの最後にあります。

ご覧のとおり、対数の領域ではすべてが平方根の状況と非常によく似ています。 (例 7 の 2 乗三項式) は区間で定義され、関数は (例 6 からの平方二項) 区間について。型関数は数直線全体で定義される、と言うのも厄介です。

役立つ情報 : 典型的な関数は興味深いもので、点を除いた数直線全体で定義されています。対数の性質に従って、「2」は対数の外側で乗算できますが、関数が変化しないようにするには、「x」を係数記号の下で囲む必要があります。。君にもう一つあるよ」実用» モジュール =)。解体する場合、ほとんどの場合これを行う必要があります。平学位、例: 。たとえば、次数の底が明らかに正の場合、係数符号は必要なく、かっこを使用するだけで十分です。

繰り返しを避けるために、タスクを複雑にしてみましょう。

例 11

関数のドメインを見つける

解決: この関数にはルートと対数の両方があります。

根数式は非負でなければなりません: 、対数記号の下の式は厳密に正でなければなりません: 。したがって、次のシステムを解決する必要があります。

皆さんの多くは、システムソリューションが次の条件を満たす必要があることをよく知っているか、直感的に推測しています。 それぞれに状態。

軸に対する放物線の位置を調べると、不等式は間隔 (青い網掛け) によって満たされるという結論に達します。

この不等式は明らかに「赤」の半分の間隔に対応します。

両方の条件を満たさなければならないので、 同時にの場合、システムの解はこれらの区間の交点になります。「共通の利益」はハーフタイムで満たされます。

答え: ドメイン:

例 8 で示されているように、典型的な不等式は、分析的に解決するのは難しくありません。

見つかったドメインは、「同様の機能」に対しても変更されません。または。また、次のような連続関数を追加することもできます。、または次のようにすることもできます。よく言われるように、ルートと対数は頑固なものです。唯一のことは、関数の 1 つが分母に「リセット」されると、定義領域が変更されるということです (ただし、一般的な場合、これは常に当てはまるわけではありません)。さて、この言葉についてのマタン理論には...ああ...定理があります。