入り口線形方程式とその解。 ガウス法を使用したシステムの解決。 システムを解決するための視覚的手法
など、他のタイプの方程式に慣れることは論理的です。 次に並んでいるのは、 一次方程式、その対象を絞った学習は7年生の代数の授業から始まります。
最初に線形方程式とは何かを説明し、線形方程式の定義とその係数を示し、それを示す必要があることは明らかです。 一般的な形式。 次に、係数の値と根の求め方に応じて、一次方程式の解がいくつあるかを知ることができます。 これにより、例題の解決に進み、学んだ理論を定着させることができます。 この記事では、これを行います。線形方程式とその解に関するすべての理論的および実践的な点について詳しく説明します。
ここでは 1 つの変数を持つ線形方程式のみを検討し、別の記事で解の原理を検討します。 2 つの変数をもつ線形方程式.
ページナビゲーション。
一次方程式とは何ですか?
線形方程式の定義は、その書き方によって決まります。 さらに、さまざまな数学や代数学の教科書では、線形方程式の定義の定式化に、問題の本質に影響を及ぼさないいくつかの違いがあります。
たとえば、Yu. N. Makarychev らによる 7 年生用の代数教科書では、一次方程式は次のように定義されています。
意味。
次の形式の方程式 ax=b、x は変数、a と b は数値です。 1 変数の線形方程式.
述べられた定義を満たす線形方程式の例を示しましょう。 たとえば、5 x = 10 は変数 x が 1 つある一次方程式です。ここでの係数 a は 5、数値 b は 10 です。 別の例: −2.3・y=0 も一次方程式ですが、変数 y があり、a=−2.3 および b=0 です。 そして、線形方程式 x=-2 と -x=3.33 では、a は明示的に存在せず、それぞれ 1 と -1 に等しくなりますが、最初の方程式では b=-2、2 番目の方程式では b=3.33 となります。
そしてその1年前、N. Ya. Vilenkinの数学の教科書では、未知数が1つある線形方程式は、a x = bの形式の方程式に加えて、ある部分から項を移すことによってこの形式にできる方程式も考慮されていました。方程式を反対の符号を持つ別のものに変換したり、同様の項を削減したりすることもできます。 この定義によれば、5 x = 2 x + 6 などの形式の方程式が作成されます。 それも直線的。
次に、A. G. Mordkovich による 7 年生用の代数教科書では、次の定義が与えられています。
意味。
1 つの変数 x を持つ一次方程式は、a・x+b=0 の形式の方程式です。ここで、a と b は、一次方程式の係数と呼ばれる数値です。
たとえば、このタイプの線形方程式は 2 x−12=0、ここで係数 a は 2、b は -12 に等しく、係数 a=0.2 および b =4.6 で 0.2 y+4.6=0 となります。 しかし同時に、a・x+b=0ではなく、a・x=b、たとえば3・x=12の形式を持つ一次方程式の例もあります。
将来的に矛盾が生じないように、1 つの変数 x と係数 a と b をもつ一次方程式は、a x + b = 0 の形式の方程式を意味するとします。 線形方程式は次のとおりであるため、このタイプの線形方程式は最も正当であると思われます。 代数方程式第一級。 そして、上で示した他のすべての方程式、および同等の変換を使用して a x + b = 0 の形式に変換される方程式は、次のように呼びます。 一次方程式に帰着する方程式。 このアプローチでは、方程式 2 x+6=0 は一次方程式となり、2 x=−6、4+25 y=6+24 y、4 (x+5)=12 などとなります。 - これらは線形方程式に帰着する方程式です。
一次方程式を解くにはどうすればよいですか?
ここで、線形方程式 a・x+b=0 がどのように解かれるかを考えてみましょう。 言い換えれば、一次方程式に根があるかどうか、根がある場合にはその数とその求め方を調べるときです。
線形方程式の根の存在は、係数 a と b の値に依存します。 この場合、一次方程式 a x+b=0 は次のようになります。
- a≠0 の唯一の根、
- a=0 および b≠0 の根はありません。
- a=0 および b=0 の根は無限にあり、この場合、任意の数値が一次方程式の根となります。
この結果がどのようにして得られたのかを説明しましょう。
方程式を解くには、元の方程式から同等の方程式、つまり同じ根を持つ方程式、または元の方程式のように根のない方程式に移動できることがわかっています。 これを行うには、次の同等の変換を使用できます。
- 項を方程式の一方の辺から反対の符号を持つもう一方の辺に移す、
- 同様に、方程式の両辺に同じ非ゼロの数値を乗算または除算することもできます。
したがって、1 を含む一次方程式では、 フォームの変数 a・x+b=0 の場合、項 b を反対の符号を使って左側から右側に移動できます。 この場合、方程式は a・x=−b の形式になります。
そして、方程式の両辺を数値 a で割るという問題が生じます。 ただし、1 つだけ問題があります。数値 a がゼロに等しくなる可能性があり、その場合、そのような割り算は不可能です。 この問題に対処するために、まず数値 a がゼロではないと仮定し、少し後で a がゼロに等しい場合を個別に検討します。
したがって、a がゼロに等しくない場合、方程式 a・x=−b の両辺を a で割ることができ、その後、x=(−b):a の形式に変換され、この結果は次のようになります。として小数点スラッシュを使用して記述されます。
したがって、a≠0 の場合、線形方程式 a・x+b=0 は、その根が見える方程式と等価です。
この根が一意であること、つまり線形方程式には他の根がないことを示すのは簡単です。 これにより、逆の方法が可能になります。
根を x 1 と表します。 線形方程式の別の根があり、それを x 2 および x 2 ≠x 1 として表すと仮定します。 差から等しい数を判断するは条件 x 1 −x 2 ≠0 と同等です。 x 1 および x 2 は線形方程式 a・x+b=0 の根であるため、数値的等式 a・x 1 +b=0 および a・x 2 +b=0 が成り立ちます。 これらの等式の対応する部分を減算することができます。これは数値等式の性質によって可能です。a・x 1 +b−(a・x 2 +b)=0−0 が得られ、そこから a・(x 1 −x 2)+( b−b)=0、そして a・(x 1 −x 2)=0 となります。 しかし、a≠0 かつ x 1 − x 2 ≠ 0 であるため、この等価性は不可能です。 そこで、a≠0 の場合の一次方程式 a・x+b=0 の根が一意であることを証明する矛盾に行き着きました。
そこで、a≠0の場合の一次方程式a・x+b=0を解きました。 この段落の冒頭で示した最初の結果は正当です。 条件 a=0 を満たすものがあと 2 つ残っています。
a=0 のとき、一次方程式 a・x+b=0 は 0・x+b=0 の形になります。 この方程式と数値にゼロを掛ける性質から、どのような数値を x としても、それを方程式 0 x + b=0 に代入すると、数値的等価性 b=0 が得られることがわかります。 この等式は、b=0 の場合に真となり、その他の場合、b≠0 の場合、この等式は偽となります。
したがって、a=0 および b=0 では、任意の数値が線形方程式 a・x+b=0 の根になります。これらの条件下では、x に任意の数値を代入すると正しい数値的等価性 0=0 が得られるためです。 また、a=0 かつ b≠0 の場合、線形方程式 a・x+b=0 には根がありません。これは、このような条件下で x の代わりに任意の数値を代入すると、誤った数値的等価 b=0 が生じるためです。
与えられた正当化により、任意の線形方程式を解くことを可能にする一連のアクションを定式化することができます。 それで、 一次方程式を解くアルゴリズムは：
- まず、一次方程式を書いて係数 a と b の値を求めます。
- a=0 および b=0 の場合、この方程式には無限の根があります。つまり、任意の数値がこの線形方程式の根となります。
- a がゼロ以外の場合、
- 係数 b は反対の符号で右側に転送され、一次方程式は a・x=−b の形式に変換されます。
- その後、結果の方程式の両辺がゼロ以外の数値 a で除算され、元の線形方程式の目的の根が得られます。
書かれたアルゴリズムは、線形方程式を解く方法という問題に対する包括的な答えです。
この点の結論として、a・x=b の形式の方程式を解くために同様のアルゴリズムが使用されると言う価値があります。 違いは、a≠0 の場合、方程式の両辺がこの数値で即座に除算されることです。ここで、b はすでに方程式の必要な部分に入っており、それを転送する必要はありません。
a x = b の形式の方程式を解くには、次のアルゴリズムが使用されます。
- a=0 および b=0 の場合、方程式には無限の数の根 (任意の数値) が存在します。
- a=0 かつ b≠0 の場合、元の方程式には根がありません。
- a がゼロ以外の場合、方程式の両辺はゼロ以外の数値 a で除算され、そこから方程式の唯一の根 (b/a に等しい) が求められます。
一次方程式を解く例
練習に移りましょう。 線形方程式を解くアルゴリズムがどのように使用されるかを見てみましょう。 に対応する典型的な例に対する解決策を示しましょう。 さまざまな意味線形方程式の係数。
例。
一次方程式 0・x−0=0 を解きます。
解決。
この一次方程式では、 a=0 および b=−0 であり、これは b=0 と同じです。 したがって、この方程式には無限の根があり、任意の数がこの方程式の根となります。
答え：
x – 任意の数値。
例。
一次方程式 0 x + 2.7 = 0 には解がありますか?
解決。
この場合、係数aは ゼロに等しい、この一次方程式の係数 b は 2.7 に等しく、ゼロとは異なります。 したがって、一次方程式には根がありません。
方程式の解き方を学ぶことは、代数学が学生に課す主な課題の 1 つです。 未知のもので構成される最も単純なものから始めて、どんどん複雑なものに進みます。 最初のグループの方程式を使用して実行する必要があるアクションを習得していないと、他のグループを理解するのは困難になります。
会話を続けるには、表記法に同意する必要があります。
未知数が 1 つある一次方程式の一般形式とその解法原理
式は次のように記述できます。
a * x = b,
呼ばれた 線形。 これ 一般式。 しかし、多くの場合、代入では線形方程式が陰的な形式で記述されます。 次に、次のことを行う必要があります アイデンティティ変換一般に受け入れられたエントリーを取得するには。 これらのアクションには次のものが含まれます。
- 開き括弧。
- 変数値を持つすべての項を等式の左側に移動し、残りの項を右側に移動します。
- 類似した用語の削減。
未知の量が分数の分母にある場合、式が意味を成さないその値を決定する必要があります。 言い換えれば、方程式の定義域を知る必要があります。
すべての線形方程式を解く原理は、方程式の右側の値を変数の前の係数で割ることに帰着します。 つまり、「x」は b/a に等しくなります。
線形方程式の特殊な場合とその解
推論中に、線形方程式が特殊な形をとる瞬間が生じることがあります。 それぞれに具体的な解決策があります。
最初の状況では:
a * x = 0、および a ≠ 0。
このような方程式の解は常に x = 0 になります。
2 番目のケースでは、「a」はゼロに等しい値を取ります。
0 * x = 0.
このような方程式の答えは任意の数値になります。 つまり、根が無限にあるということです。
3 番目の状況は次のようになります。
0 * x = インチ、ここで≠ 0。
この方程式は意味がありません。 それを満たす根がないからです。
2 つの変数を含む線形方程式の全体像
その名前から、そこにはすでに 2 つの未知の量が含まれていることが明らかです。 2 変数の一次方程式このように見える：
a * x + b * y = c.
レコードには不明な点が 2 つあるため、答えは 2 つの数字のようになります。 つまり、値を 1 つだけ指定するだけでは十分ではありません。 これは不完全な回答になります。 方程式が恒等となる量のペアは方程式の解です。 また、解答では、アルファベットで最初に来る変数が常に最初に書かれます。 時々彼らはこれらの数字が彼を満足させると言います。 さらに、そのようなペアは無限に存在する可能性があります。
未知数が 2 つある一次方程式を解くにはどうすればよいでしょうか?
これを行うには、正しいことが判明した数値のペアを選択するだけです。 簡単にするために、素数に等しい未知数の 1 つを取得し、2 番目を見つけることができます。
解くとき、多くの場合、方程式を単純化する手順を実行する必要があります。 それらは恒等変換と呼ばれます。 さらに、次の特性は方程式に常に当てはまります。
- 各項は、その符号を反対の符号に置き換えることによって、等式の反対の部分に移動できます。
- 方程式の左辺と右辺は、ゼロに等しくない限り、同じ数で割ることができます。
一次方程式を使用したタスクの例
最初のタスク。線形方程式を解く: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4。
このリストの最初の方程式では、単純に 20 を 4 で割ります。結果は 5 になります。これが答えです: x = 5。
3 番目の方程式では、恒等変換を実行する必要があります。 それは括弧を開き、同様の用語を持ち込むことで構成されます。 最初のステップの後、方程式は 8x - 8 + 2x = 8 - 4x の形式になります。 次に、すべての未知数を方程式の左側に移動し、残りを右側に移動する必要があります。 方程式は次のようになります: 8x + 2x + 4x = 8 + 8。同様の項を追加すると、14x = 16。これで最初のものと同じになり、その解は簡単に見つかります。 答えはx=8/7となります。 しかし、数学では、仮分数から全体を分離する必要があります。 次に、結果が変換され、「x」は整数の 1 と 7 分の 1 に等しくなります。
残りの例では、変数は分母にあります。 これは、最初に方程式がどのような値で定義されているかを調べる必要があることを意味します。 これを行うには、分母がゼロになる数値を除外する必要があります。 最初の例では「-4」、2 番目の例では「-3」です。 つまり、これらの値は答えから除外する必要があります。 この後、等式の両辺に分母の式を掛ける必要があります。
括弧を開いて同様の項を導き出すと、最初の方程式では 5x + 15 = 4x + 16 が得られ、2 番目の方程式では 5x + 15 = 4x + 12 が得られます。変換後、最初の方程式の解は x = となります。 -1。 2 番目の値は「-3」に等しいことがわかり、後者には解がないことを意味します。
2番目のタスク。方程式を解きます: -7x + 2y = 5。
最初の未知の x = 1 であると仮定すると、方程式は -7 * 1 + 2y = 5 の形式になります。係数「-7」を等式の右側に移動し、その符号をプラスに変更すると、次のことがわかります。 2y = 12。これは y =6 を意味します。 答え: 方程式 x = 1、y = 6 の解の 1 つ。
変数が 1 つある不等式の一般形式
不平等の考えられるすべての状況をここに示します。
- a * x > b;
- a*x< в;
- a * x ≧ b;
- a * x ≤в。
一般に、これは単純な一次方程式のように見えますが、等号が不等号に置き換えられているだけです。
不等式の恒等変換のルール
線形方程式と同様に、不等式は特定の法則に従って修正できます。 要約すると次のとおりです。
- 不等式の左辺と右辺に任意の文字を追加できます。 数値式、不等号は変わりません。
- 同じものを乗算または除算することもできます 正数、これも符号を変更しません。
- 同じ負の数を乗算または除算する場合、不等号が反転していれば等価は真のままです。
二重不等式の一般的な見方
問題では次の不等式が現れる可能性があります。
- V< а * х < с;
- c ≤ a * x< с;
- V< а * х ≤ с;
- c ≤ a * x ≤ c。
両側の不等号によって制限されるため、double と呼ばれます。 これは通常の不等式と同じルールを使用して解決されます。 そして、答えを見つけるには、一連の同一の変換が必要になります。 最も単純なものが得られるまで。
二重不等式を解く特徴
それらの 1 つ目は、座標軸上のイメージです。 この方法を使用して、 単純な不等式必要はありません。 しかし、困難な場合には、それが単に必要になる場合もあります。
不等式を表すには、推論中に得られたすべての点を軸上にマークする必要があります。 これらは、穴あきドットで示される無効な値、および変換後に得られた不等式からの値です。 ここでも、点を正確に描くことが重要です。 不等式が厳密であれば、< или >、その後、これらの値が打ち出されます。 非厳密な不等式では、点を網掛けする必要があります。
次に、不等式の意味を示す必要があります。 これは、シェーディングまたは円弧を使用して実行できます。 それらの交差点が答えを示します。
2つ目の特徴はその録音に関するものです。 ここでは 2 つのオプションが提供されています。 1つ目は究極の不平等です。 2 つ目はインターバルの形式です。 彼に困難が起こることが起こります。 スペース内の答えは常に、メンバーシップ記号と括弧に数字が付いた変数のように見えます。 複数のスペースがある場合は、括弧の間に「and」記号を記述する必要があります。 これらの記号は次のようになります: ∈ と ∩。 間隔括弧も役割を果たします。 丸いものはその点が答えから除外された場合に配置され、長方形のものはこの値を含みます。 無限大記号は常に括弧内にあります。
不平等を解決する例
1. 不等式 7 - 5x ≥ 37 を解きます。
単純な変換後、-5x ≥ 30 が得られます。「-5」で割ると、次の式が得られます: x ≤ -6。 これはすでに答えですが、別の方法で書くこともできます: x ∈ (-∞; -6]。
2. 二重不等式 -4 を解く< 2x + 6 ≤ 8.
まず、あらゆる場所で 6 を引く必要があります。結果は -10 になります。< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].
最初のレベル
一次方程式。 完全ガイド (2019)
「一次方程式」とは何ですか
またはで 口頭で- Vasya が持っていたリンゴをすべて持っていたという理由で、3 人の友人にそれぞれリンゴが与えられました。
そして今、あなたはすでに決めています 一次方程式
ここで、この用語に数学的な定義を与えてみましょう。
一次方程式 - これ 代数方程式、その構成多項式の次数の合計は次と等しい。。 次のようになります。
と は任意の数字であり、
Vasya とリンゴの場合、次のように書きます。
- 「もしヴァシャが3人の友達全員に同じ数のリンゴをあげたら、彼にはリンゴが残らないでしょう。」
「隠された」一次方程式、または恒等変換の重要性
一見するとすべてが非常に単純ですが、方程式を解くときは注意が必要です。線形方程式は、このタイプの方程式だけでなく、変換や単純化によってこのタイプに帰着できるあらゆる方程式とも呼ばれるからです。 例えば：
右側にあるものは、理論的には方程式が線形ではないことをすでに示しています。 さらに、括弧を開けると、さらに 2 つの項が得られます。 しかし、結論を急がないでください！ 方程式が線形であるかどうかを判断する前に、すべての変換を行って元の例を単純化する必要があります。 この場合、変換は変更される可能性があります 外観、しかし方程式の本質ではありません。
つまり、変換データは次のようにする必要があります。 同一または 同等。 このような変換は 2 つだけですが、非常に非常にうまく機能します。 重要な役割問題を解決するとき。 具体的な例を使用して両方の変換を見てみましょう。
左から右に移動します。
次の方程式を解く必要があるとします。
また、 小学校「X がある場合は左、X がない場合は右」と言われました。 右側に×が付いた式は何ですか? それはその通りですが、そうではありません。 そして、これは重要です。なぜなら、これが誤解されると、 素朴な疑問、間違った答えが出てしまいます。 左側に×が付いた式は何ですか? 右、 。
これを理解したので、未知の項をすべて左側に移動し、既知の項をすべて右側に移動します。たとえば、数値の前に符号がない場合、その数値は正であることを思い出してください。つまり、その前に標識があります「」
転送されましたか？ 何を手に入れましたか？
あとは同様の条件を提示するだけだ。 我々が提示します：
したがって、最初の同一の変換を分析することに成功しました。ただし、あなたはそれを知っていて、私なしでも積極的に使用していたと思います。 重要なことは、等号を介して転送するときに、数字の符号を忘れずに反対のものに変更することです。
乗除算。
早速例から始めましょう
この例のどこが気に入らないのかを見て考えてみましょう。 未知のものはすべてある部分にあり、既知のものは別の部分にありますが、何かが私たちを止めています...そして、この何かは 4 です。なぜなら、それが存在しなければ、すべてが完璧になるからです - x は数字に等しいです - 正確に必要に応じて！
どうすればそれを取り除くことができますか？ 右に移動することはできません。その場合、乗数全体を移動する必要があるため (それを取り出して引き離すことはできません)、乗数全体を移動することも意味がありません...
割り算を覚える時間なので、すべてを で割りましょう。 すべて - これは左側と右側の両方を意味します。 この道と、この道だけ！ 私たちは何をしているのでしょうか？
これが答えです。
次に、別の例を見てみましょう。
この場合、何をする必要があるかわかりますか? そう、左辺と右辺を掛けてみましょう！ どのような答えが得られましたか? 右。 。
確かに、あなたはすでにアイデンティティ変換についてすべてを知っていました。 この知識を皆さんの記憶に更新しただけであると考えてください。次は、さらに何かを行う時期です。たとえば、次の大きな例を解決します。
前に述べたように、これを見ると、この方程式は線形であるとは言えませんが、括弧を開いて同一の変換を実行する必要があります。 それでは始めましょう!
まず、省略された乗算、特に和の二乗と差の二乗の公式を思い出してください。 それが何であるか、かっこの開き方を覚えていない場合は、このトピックを読むことを強くお勧めします。これらのスキルは、試験で出題されるほぼすべての例題を解くときに役立ちます。
明らかにした？ 比較してみましょう:
今度は同様の用語を持ち込む時が来ました。 同じ小学校の頃、「ハエとカツレツを一緒にしないでください」と言われたのを覚えていますか? ここでこのことを思い出してもらいます。 すべてを個別に追加します。未知の要素がある要素、未知の要素がある要素、未知の要素がない残りの要素です。 同様の用語を持ってきた場合は、未知の用語をすべて左側に移動し、既知の用語をすべて右側に移動します。 何を手に入れましたか？
ご覧のとおり、四角形の X が消え、完全に正常なものが表示されます。 一次方程式。 あとはそれを見つけるだけです！
そして最後に、恒等変換についてもう 1 つ非常に重要なことを言います。恒等変換は一次方程式だけでなく、二次方程式や分数有理関数などにも適用できます。 因数を等号で転送する場合は、符号を反対のものに変更します。また、ある数値で除算または乗算する場合は、方程式の両辺を同じ数値で乗算/除算することを覚えておく必要があります。
この例から他に何が分かりましたか? 方程式を見て、それが線形であるかどうかを直接的かつ正確に判断できるとは限らないこと。 まず式を完全に単純化してから、それが何であるかを判断する必要があります。
一次方程式。 例。
ここでは、自分で練習できるように、さらにいくつかの例を示します。方程式が線形であるかどうかを判断し、線形である場合はその根を見つけます。
答え:
1. は。
2. ではありません。
括弧を開いて同様の用語を示してみましょう。
同じ変換を実行してみましょう。左側と右側を次のように分割します。
方程式は線形ではないことがわかり、その根を探す必要はありません。
3. は。
同じ変換を実行してみましょう。左辺と右辺に を乗算して分母を取り除きます。
それがなぜそれほど重要なのか考えてみましょう。 この質問に対する答えがわかっている場合は、さらに方程式を解く作業に進みます。そうでない場合は、さらに多くの点で間違いを犯さないように、必ずトピックを調べてください。 複雑な例。 ちなみに、ご覧のとおり、状況は不可能です。 なぜ？
それでは、方程式を並べ替えてみましょう。
すべてを問題なく管理できたら、2 つの変数を含む線形方程式について話しましょう。
2 変数の一次方程式
ここで、もう少し複雑な 2 つの変数を含む線形方程式に移りましょう。
一次方程式 2 つの変数を使用する場合、次の形式になります。
どこに、そして - 任意の数字と。
ご覧のとおり、唯一の違いは、別の変数が方程式に追加されることです。 したがって、すべてが同じです - x の 2 乗や変数による除算などはありません。 等々。
どのような人生の例を挙げることができますか...同じヴァシャを例に挙げてみましょう。 彼が 3 人の友人にそれぞれ同じ数のリンゴを与え、そのリンゴを自分用に取っておくと決めたとします。 Vasya が各友達にリンゴを渡す場合、リンゴを何個買う必要がありますか? どうですか？ までにどうしますか？
各人が受け取るリンゴの数と購入する必要があるリンゴの総数の関係は、次の式で表されます。
- - 人が受け取るリンゴの数 (、または、または);
- - Vasyaが自分のために取るリンゴの数;
- - 一人当たりのリンゴの数を考慮して、Vasyaは何個のリンゴを買う必要がありますか？
この問題を解決すると、Vasya が友人の 1 人にリンゴを与えた場合、リンゴを与えた場合は部分を購入する必要があることがわかります。
そして一般的に言えば。 2 つの変数があります。 この関係をグラフにプロットしてみませんか? 私たちの値、つまりポイントを座標で構築してマークします。
ご覧のとおり、それらは互いに依存しています 線形したがって、方程式の名前は「 線形».
リンゴから抽象化して、さまざまな方程式をグラフで見てみましょう。 作成された 2 つのグラフ (任意の関数で指定された直線と放物線) を注意深く見てください。
両方の写真で対応する点を見つけてマークします。
何を手に入れましたか？
最初の関数のグラフを見るとわかります。 一人で対応する 1つつまり、これらは互いに線形に依存しますが、2 番目の関数については言えません。 もちろん、2 番目のグラフでは x - も対応していると主張することもできますが、複数の点に対応する点が依然として見つかる可能性があるため、これは 1 つの点にすぎません。つまり、特殊な場合です。 そして、構築されたグラフは決して直線には似ておらず、放物線です。
もう一度繰り返します。 一次方程式のグラフは直線でなければなりません.
方程式はある程度まで直線的ではないという事実を考慮すると、これは放物線の例を使用すると明らかですが、自分用にさらにいくつかの単純なグラフを作成することもできます。 しかし、私はあなたに保証します - それらはどれも直線ではありません。
信じないで？ ビルドして、入手したものと比較します。
たとえば何かをある数値で割るとどうなるでしょうか? そうなりますか 線形依存性そして？ 議論するのではなく、構築しましょう! たとえば、関数のグラフを作成してみましょう。
どう見ても直線で構成されていないように見えます...したがって、方程式は直線ではありません。
要約しましょう:
- 一次方程式 -は、その構成多項式の次数の合計が等しい代数方程式です。
- 一次方程式変数が 1 つある場合の形式は次のとおりです。
, ここで、 と は任意の数字です。
一次方程式 2 つの変数を使用します。
, ここで、 および は任意の数値です。 - 方程式が線形であるかどうかをすぐに判断できるとは限りません。 場合によっては、これを理解するために、同一の変換を実行したり、符号を変更することを忘れずに同様の項を左/右に移動したり、方程式の両辺を同じ数で乗算/除算したりする必要があります。
一次方程式。 主なものについて簡単に説明
1. 一次方程式
これは、構成する多項式の次数の合計が等しい代数方程式です。
2. 1 変数の一次方程式の形式は次のとおりです。
ここで、 と は任意の数字です。
3. 2 変数の一次方程式の形式は次のとおりです。
どこに、そして - 任意の数字。
4. アイデンティティの変換
方程式が線形かどうかを判断するには、同じ変換を実行する必要があります。
- 記号を変更することを忘れずに、類似した用語を左/右に移動します。
- 方程式の両辺を同じ数で乗算/除算します。
このビデオでは、同じアルゴリズムを使用して解かれる一連の線形方程式を分析します。これが最も単純と呼ばれる理由です。
まず、線形方程式とは何か、そしてどれが最も単純と呼ばれるものかを定義しましょう。
線形方程式とは、変数が 1 つだけ、かつ 1 次までしか存在しない方程式です。
最も単純な方程式は次のような構造を意味します。
他のすべての線形方程式は、次のアルゴリズムを使用して最も単純なものになります。
- 括弧がある場合は展開します。
- 変数を含む項を等号の一方の側に移動し、変数を含まない項をもう一方の側に移動します。
- 等号の左側と右側に同様の用語を入力します。
- 結果の方程式を変数 $x$ の係数で割ります。
もちろん、このアルゴリズムが常に役立つわけではありません。 実際のところ、これらすべての策略の後で、変数 $x$ の係数がゼロに等しいことが判明することがあります。 この場合、次の 2 つのオプションが考えられます。
- この方程式にはまったく解がありません。 たとえば、 $0\cdot x=8$ のようなことが判明した場合、つまり 左側はゼロ、右側はゼロ以外の数値です。 以下のビデオでは、この状況が起こり得るいくつかの理由を見ていきます。
- 解決策はすべて数字です。 これが可能な唯一のケースは、方程式が $0\cdot x=0$ という構造に簡略化されている場合です。 $x$ を何に置き換えても、「ゼロはゼロに等しい」ことが判明するのは非常に論理的です。 正しい数値的等価性。
では、実際の例を使用して、これがどのように機能するかを見てみましょう。
方程式を解く例
今日は線形方程式を扱いますが、最も単純なものだけを扱います。 一般に、線形方程式とは、変数が 1 つだけ含まれる等式を意味し、1 次までのみ進行します。
このような構造は、ほぼ同じ方法で解決されます。
- まず最初に、括弧がある場合はそれを展開する必要があります (最後の例のように)。
- 次に、似たものを組み合わせます
- 最後に、変数を分離します。 変数に関連するすべてのもの、つまり変数が含まれる用語を一方の側に移動し、変数なしで残っているすべてのものを反対側に移動します。
次に、原則として、結果の等価性の各辺に同様のものを取得する必要があります。その後は、「x」の係数で割るだけで、最終的な答えが得られます。
理論的には、これはシンプルで素晴らしく見えますが、実際には、経験豊富な高校生でも、かなり単純な一次方程式で不快な間違いを犯す可能性があります。 通常、エラーは、括弧を開くとき、または「プラス」と「マイナス」を計算するときに発生します。
さらに、一次方程式に解がまったく存在しないことや、解が数直線全体であることも起こります。 いずれかの番号。 今日のレッスンでは、これらの微妙な点を見ていきます。 しかし、すでにご理解いただいたように、私たちはまさにそのことから始めます。 単純な作業.
単純な一次方程式を解くスキーム
まず、最も単純な線形方程式を解くスキーム全体をもう一度書きます。
- 括弧がある場合は展開します。
- 変数を分離します。つまり、 「X」を含むすべてのものを一方の側に移動し、「X」を含まないすべてのものをもう一方の側に移動します。
- 類似の用語を紹介します。
- すべてを「x」の係数で割ります。
もちろん、この計画は常に機能するとは限りません。そこには特定の微妙な点やコツがあり、これからそれらを理解していきます。
単純な一次方程式の実際の例を解く
タスクNo.1
最初のステップでは、ブラケットを開く必要があります。 ただし、これらはこの例には含まれていないため、この手順は省略します。 2 番目のステップでは、変数を分離する必要があります。 注記： 私たちが話しているのは個別の条件についてのみ。 それを書き留めてみましょう:
同様の用語を左側と右側に示しますが、これはここですでに行われています。 したがって、次に進みましょう 第四段階: 係数で割った値:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
それで答えが得られました。
タスクその2
この問題では括弧が見えるので、括弧を展開してみましょう。
左側と右側の両方にほぼ同じデザインが表示されますが、アルゴリズムに従って動作しましょう。 変数を区切る:
類似したものをいくつか示します。
これはどのような根元で機能するのでしょうか？ 答え: どれでも。 したがって、$x$ は任意の数値であると書くことができます。
タスクその3
3 番目の線形方程式はさらに興味深いものです。
\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]
いくつかの括弧がありますが、何も乗算されておらず、単に括弧の前にあるだけです。 さまざまな兆候。 それらを分類してみましょう:
すでにわかっている 2 番目のステップを実行します。
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
計算してみましょう:
最後のステップを実行します。すべてを「x」の係数で割ります。
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
一次方程式を解くときに覚えておくべきこと
あまりにも単純な作業を無視するなら、私は次のように言いたいです。
- 上で述べたように、すべての線形方程式に解があるわけではありません。単純に根がない場合もあります。
- たとえ根があったとしても、その中にはゼロがあるかもしれません。それは何の問題もありません。
ゼロは他の数字と同じです。決して差別したり、ゼロになったら何か間違ったことをしたと考えたりしてはなりません。
もう 1 つの機能は、括弧の開き方に関連しています。 注: 先頭に「マイナス」がある場合、それは削除されますが、括弧内の記号は次のように変更されます。 反対。 そして、標準アルゴリズムを使用してそれを開くことができます。上記の計算で見たものが得られます。
この単純な事実を理解することで、高校で愚かで有害な間違いをしないようにすることができます。高校では、そのようなことが当然のことと考えられています。
複雑な一次方程式を解く
さらに進みましょう 複雑な方程式。 今度は構造がより複雑になり、さまざまな変換を実行すると二次関数が表示されます。 ただし、これを恐れる必要はありません。著者の計画に従って一次方程式を解いている場合、変換プロセス中に二次関数を含むすべての単項式が確実にキャンセルされるからです。
例その1
明らかに、最初のステップはブラケットを開くことです。 これは非常に慎重に行いましょう。
次に、プライバシーについて見てみましょう。
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
類似したものをいくつか示します。
明らかに、この方程式には解がないので、これを答えに書きます。
\[\varnothing\]
もしくは根が無い。
例その2
私たちも同じアクションを実行します。 最初の一歩：
変数を含むすべてのものを左に移動し、変数を持たないものを右に移動しましょう。
類似したものをいくつか示します。
明らかに、この一次方程式には解がないので、次のように書きます。
\[\varnothing\]、
もしくは根が無い。
ソリューションのニュアンス
両方の方程式は完全に解けます。 これら 2 つの式を例として使用すると、最も単純な線形方程式であっても、すべてがそれほど単純ではない可能性があることを再度確信しました。根が 1 つ存在することも、存在しないことも、または無限に多く存在することもあるということです。 私たちの場合、2 つの方程式を検討しましたが、どちらも単純に根がありません。
ただし、もう 1 つの事実に注目していただきたいのです。それは、括弧の扱い方と、括弧の前にマイナス記号がある場合に括弧を開く方法です。 次の式を考えてみましょう。
開く前に、すべてに「X」を掛ける必要があります。 注意してください: 倍増します それぞれの用語。 内部には 2 つの項があり、それぞれ 2 つの項と乗算です。
そして、これらの一見初歩的ですが、非常に重要で危険な変換が完了した後でのみ、その後にマイナス記号があるという事実の観点から括弧を開くことができます。 はい、はい。変換が完了したときだけ、括弧の前にマイナス記号があることを思い出します。これは、以下のすべてが単に符号を変えるだけであることを意味します。 同時に、括弧自体が消え、最も重要なことに、前の「マイナス」も消えます。
2 番目の方程式でも同じことを行います。
私がこれらの小さな、一見取るに足らない事実に注意を払うのは偶然ではありません。 なぜなら、方程式を解くことは常に初歩的な変換の連続であり、単純な動作を明確かつ有能に実行できないため、高校生が私のところに来て、そのような単純な方程式を解くことを再び学ぶという事実につながるからです。
もちろん、これらのスキルを自動化できるまで磨く日が来ます。 毎回多くの変換を実行する必要はなくなり、すべてを 1 行で記述するだけになります。 ただし、学習している間は、各アクションを個別に記述する必要があります。
さらに複雑な一次方程式を解く
私たちがこれから解決しようとしていることは、最も単純なタスクとは言えませんが、意味は変わりません。
タスクNo.1
\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
最初の部分のすべての要素を乗算してみましょう。
プライバシーを守りましょう:
類似したものをいくつか示します。
最後のステップを完了しましょう。
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
これが最終的な答えです。 そして、解く過程で二次関数の係数があったにもかかわらず、それらは互いに打ち消し合い、方程式は二次ではなく線形になってしまいます。
タスクその2
\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]
最初のステップを慎重に実行しましょう。最初の括弧の各要素と 2 番目の括弧の各要素を乗算します。 変換後は合計 4 つの新しい用語が存在するはずです。
次に、各項で乗算を注意深く実行してみましょう。
「X」の付いた用語を左に、「-」の付いていない用語を右に移動しましょう。
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
類似の用語は次のとおりです。
改めて最終的な回答をいただきました。
ソリューションのニュアンス
これら 2 つの方程式に関する最も重要な注意点は次のとおりです。複数の項を含む括弧の乗算を開始するとすぐに、これは次のルールに従って行われます。最初の項から最初の項を取り出し、次の各要素と乗算します。二番目; 次に、最初の要素から 2 番目の要素を取得し、同様に 2 番目の要素の各要素を乗算します。 これにより、４期制となります。
代数和について
この最後の例で、代数和とは何かを生徒たちに思い出してもらいたいと思います。 古典数学では、$1-7$ とは、1 から 7 を引くという単純な構造を意味します。 代数学では、これは次のことを意味します。数値「1」に別の数値、つまり「マイナス 7」を追加します。 これが、代数和が通常の算術和と異なる点です。
すべての変換、各加算と乗算を実行すると、上で説明したものと同様の構造が表示され始めるとすぐに、多項式や方程式を扱うときに代数で問題が発生することはなくなります。
最後に、今見てきたものよりさらに複雑な例をさらにいくつか見てみましょう。それらを解決するには、標準アルゴリズムをわずかに拡張する必要があります。
分数を使って方程式を解く
このようなタスクを解決するには、アルゴリズムにもう 1 つのステップを追加する必要があります。 しかしその前に、私たちのアルゴリズムについて思い出させてください。
- 角かっこを開く。
- 変数を分離します。
- 似たものを持ってきてください。
- 比率で割ります。
悲しいことに、この素晴らしいアルゴリズムは、その有効性にもかかわらず、分数が目の前にある場合には完全に適切ではないことが判明しました。 そして、以下で見るように、両方の方程式の左と右の両方に分数があります。
この場合はどうすればいいでしょうか？ はい、とても簡単です! これを行うには、アルゴリズムにもう 1 つのステップを追加する必要があります。このステップは、最初のアクション (端数の除去) の前後の両方で実行できます。 したがって、アルゴリズムは次のようになります。
- 端数を取り除きます。
- 角かっこを開く。
- 変数を分離します。
- 似たものを持ってきてください。
- 比率で割ります。
「端数を取り除く」とはどういう意味ですか? そして、なぜこれが最初の標準ステップの後と前の両方で実行できるのでしょうか? 実際、私たちの場合、すべての分数は分母が数値です。 どこでも、分母は単なる数字です。 したがって、方程式の両辺にこの数値を乗算すると、端数が削除されます。
例その1
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
この方程式の分数を取り除きましょう。
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
注意してください: すべては一度「4」で乗算されます。 括弧が 2 つあるからといって、それぞれの括弧に「4」を掛ける必要があるわけではありません。 書き留めてみましょう:
\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
それでは展開してみましょう:
変数を隔離します。
類似した用語の削減を実行します。
\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
最終的な解を受け取りました。2 番目の方程式に進みましょう。
例その2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
ここでは、すべて同じアクションを実行します。
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
問題は解決された。
実は、今日私が皆さんに伝えたかったのはこれだけです。
キーポイント
主な調査結果は次のとおりです。
- 線形方程式を解くアルゴリズムを理解する。
- ブラケットを開く能力。
- 見えても心配しないでください 二次関数、おそらく、さらなる変換の過程で、それらは減少します。
- 線形方程式には、最も単純なものでも 3 種類の根があります。1 つの根、数直線全体が根、そして根がまったくありません。
このレッスンが、すべての数学をさらに理解するために、シンプルだが非常に重要なトピックを習得するのに役立つことを願っています。 不明な点がある場合は、サイトにアクセスして、そこに示されている例を解決してください。 まだまだたくさんの興味深いことがあなたを待っていますので、ご期待ください!
この数学プログラムを使用すると、2 つの線形方程式系を次の 2 つの式で解くことができます。 変数メソッド置換と追加の方法。
プログラムは問題の答えを与えるだけでなく、 詳細な解決策代入法と加算法の2通りの解法手順を解説しています。
このプログラムは高校生にも役立つかもしれません 中学校に備えて テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、できるだけ早く終わらせたいだけですか？ 宿題数学か代数学でしょうか？ この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。
このようにして、独自のトレーニングや自分のトレーニングを実施できます。 弟たち解決されている問題の分野での教育レベルが向上します。
方程式を入力するときのルール
任意のラテン文字が変数として機能します。
例: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) など。
数式を入力するとき 括弧を使用できます。 この場合、まず方程式が簡略化されます。 単純化後の方程式は線形でなければなりません。 要素の順序の精度を備えた ax+by+c=0 の形式。
例: 6x+1 = 5(x+y)+2
方程式では整数だけでなく、 小数小数と普通の分数の形式で。
小数部を入力するときのルール。
整数部と小数部 小数ドットまたはカンマで区切ることができます。
例: 2.1n + 3.5m = 55
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数のみです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &
例。
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)
連立方程式を解く
この問題を解決するために必要な一部のスクリプトが読み込まれていないため、プログラムが動作しない可能性があることが判明しました。
AdBlock が有効になっている可能性があります。
この場合は、無効にしてページを更新してください。
解決策を表示するには、JavaScript を有効にする必要があります。
ここでは、ブラウザで JavaScript を有効にする方法について説明します。
なぜなら 問題を解決したい人はたくさんいます。あなたのリクエストはキューに入れられています。
数秒以内に解決策が下に表示されます。
お待ちください 秒...
もし、あんたが ソリューションの間違いに気づきました、これについてフィードバック フォームに記入できます。
忘れてはいけない どのタスクを指定するかあなたが何を決めるか フィールドに入力します.
当社のゲーム、パズル、エミュレーター:
ちょっとした理論。
線形方程式系の解法。 置換方法
代入法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムのある方程式からの 1 つの変数を別の変数に関して表現します。
2) 結果の式をこの変数の代わりにシステムの別の方程式に代入します。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(配列) \right. $$
最初の方程式から y を x で表してみましょう: y = 7-3x。 式 7-3x を 2 番目の方程式に y の代わりに代入すると、次のシステムが得られます。
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$
最初のシステムと 2 番目のシステムが同じ解決策を持つことを示すのは簡単です。 2 番目のシステムでは、2 番目の方程式には変数が 1 つだけ含まれています。 この方程式を解いてみましょう:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$
x の代わりに数値 1 を等式 y=7-3x に代入すると、対応する y の値が求められます。
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$
ペア (1;4) - システムの解
同じ解を持つ 2 つの変数の連立方程式はと呼ばれます。 同等。 ソリューションを持たないシステムも同等とみなされます。
連立一次方程式を加算によって解く
連立一次方程式を解く別の方法である加算法を考えてみましょう。 この方法でシステムを解くとき、および代入によって解くときは、このシステムから、方程式の 1 つに変数が 1 つだけ含まれる別の同等のシステムに移動します。
加算法を使用して連立一次方程式を解くときの一連のアクション:
1) システムの方程式を項ごとに乗算し、変数の 1 つの係数が反対の数になるように係数を選択します。
2) システム方程式の左辺と右辺を項ごとに加算します。
3) 結果として得られた方程式を 1 つの変数で解きます。
4) 2 番目の変数の対応する値を見つけます。
例。 連立方程式を解いてみましょう。
$$ \left\( \begin(配列)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$
このシステムの方程式では、y の係数は反対の数です。 方程式の左辺と右辺を項ごとに加算すると、1 つの変数 3x=33 を持つ方程式が得られます。 システムの方程式の 1 つ、たとえば最初のものを方程式 3x=33 に置き換えてみましょう。 システムを手に入れましょう
$$ \left\( \begin(配列)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(配列) \right. $$
方程式 3x=33 から、x=11 であることがわかります。 この x の値を方程式 \(x-3y=38\) に代入すると、変数 y を含む方程式 \(11-3y=38\) が得られます。 この方程式を解いてみましょう:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)
したがって、加算によって連立方程式の解を見つけました: \(x=11; y=-9\) または \((11;-9)\)
システムの方程式では y の係数が反対の数であるという事実を利用して、その解を等価なシステムの解に縮小しました (元のシステムの各方程式の両辺を合計することによって)。方程式には変数が 1 つだけ含まれています。
書籍（教科書） 統一国家試験および統一国家試験のオンラインテストの要約 ゲーム、パズル 関数のグラフのプロット ロシア語のスペル辞書 若者の俗語辞典 ロシアの学校のカタログ ロシアの中等教育機関のカタログ ロシアの大学のカタログタスクの