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セグメント上の関数の最大値と最小値を見つける。関数の最小値を見つける方法

関数の最大 (最小) 値は、考慮される区間上の縦座標の許容される最大 (最小) 値です。

関数の最大値または最小値を見つけるには、次のことを行う必要があります。

指定されたセグメントにどの静止点が含まれているかを確認します。
ステップ 3 のセグメントの端と静止点での関数の値を計算します。
得られた結果から最大値または最小値を選択します。

最大点または最小点を見つけるには、次のことを行う必要があります。

関数 $f"(x)$ の導関数を求めます
方程式 $f"(x)=0$ を解いて静止点を見つけます。
関数の導関数を因数分解します。
座標線を描画し、その上に静止点を配置し、ステップ 3 の表記を使用して、結果として得られる区間の導関数の符号を決定します。
ルールに従って最大点または最小点を見つけます。ある点で導関数の符号がプラスからマイナスに変化する場合、これが最大点になります (マイナスからプラスに変化する場合、これは最小点になります)。実際には、区間上の矢印のイメージを使用すると便利です。導関数が正の区間では、矢印は上向きに描かれ、その逆も同様です。

いくつかの初等関数の導関数の表:

関数	デリバティブ
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1))、n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$シンク$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

微分の基本ルール

1. 和と差の導関数は各項の導関数に等しい

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

関数 $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ の導関数を求めます。

和と差の微分値は各項の微分値に等しい

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. 製品の派生品。

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ の導関数を求めます

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. 商の導関数

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ の導関数を求めます。

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. デリバティブ複素関数外部関数の導関数と内部関数の導関数の積に等しい

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

関数 $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ の最小点を求めます

1. 探してみよう ODZ関数: $x+11>0; x>-11$

2. 関数 $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ の導関数を求めます。

3. 導関数をゼロに等しくして静止点を見つけます。

$(2x+21)/(x+11)=0$

分子が次の場合、分数はゼロに等しくなります。ゼロに等しい、分母はゼロではありません

$2x+21=0; x≠-11$

4. 座標線を描き、その上に静止点を配置し、結果として得られる区間の導関数の符号を決定してみましょう。これを行うには、右端の領域の任意の数値 (たとえば、ゼロ) を導関数に代入します。

$y"(0)=(2・0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. 最小点では、導関数の符号がマイナスからプラスに変わります。したがって、点 $-10.5$ が最小点になります。

答え: $-10.5$

探す最高値関数 $y=6x^5-90x^3-5$ を区間 $[-5;1]$ で実行する

1. 関数 $y'=30x^4-270x^2$ の導関数を求めます。

2. 導関数をゼロとみなして静止点を見つけます

$30x^4-270x^2=0$

括弧内の合計係数 $30x^2$ を取り出してみましょう

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

各要素をゼロにしましょう

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. 指定されたセグメント $[-5;1]$ に属する静止点を選択します

静止点 $x=0$ と $x=-3$ が最適です

4. ステップ 3 のセグメントの端と静止点での関数の値を計算します。

セグメント上の関数の最小値と最大値を検索するプロセスは、長距離砲から特定の点で発砲し、非常に特別な点を選択する、ヘリコプターで物体 (関数グラフ) の周りを魅力的に飛行することを思い出させます。コントロールショットの場合はこれらのポイントから。ポイントは、特定の方法および特定のルールに従って選択されます。どういうルールで？これについてはさらに詳しく説明します。

関数の場合 y = f(バツ) 区間 [ ある, b] を選択すると、このセグメントに到達します 少しでも そして 最高値 。これは次のいずれかで発生する可能性があります 極値点、またはセグメントの端にあります。したがって、見つけるには 少しでも そして 関数の最大値 、間隔で連続 [ ある, b] 、すべての値を計算する必要があります 重要なポイントそしてセグメントの端で、それらから最小のものと最大のものを選択します。

たとえば、関数の最大値を決定したいとします。 f(バツ) セグメント [ ある, b]。これを行うには、[ にある重要なポイントをすべて見つける必要があります。ある, b] .

クリティカルポイント その点と呼ばれる 関数が定義されていますと彼女 派生関数ゼロに等しいか存在しません。次に、重要な点で関数の値を計算する必要があります。そして最後に、重要な点とセグメントの終わりで関数の値を比較する必要があります( f(ある）そして f(b））。これらの数値のうち最大のものは、 セグメント上の関数の最大値 [ある, b] .

見つける際の問題 最小の関数値 .

関数の最小値と最大値を一緒に探します

例 1. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で [-1, 2] .

解決。この関数の導関数を求めます。導関数をゼロ () とみなして、との 2 つの臨界点を取得しましょう。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、点はセグメントに属していないため、セグメントの端と点での値を計算するだけで十分です [-1, 2]。これらの関数の値は次のとおりです: 、、。したがって、 最小の関数値(下のグラフで赤で示されている) -7 に等しい値は、セグメントの右端、つまり点で達成されます。 最高の(グラフ上でも赤)、臨界点では 9、- に等しくなります。

関数が特定の区間で連続し、この区間がセグメントではない場合 (ただし、たとえば区間である場合、区間とセグメントの違い: 区間の境界点は区間に含まれませんが、セグメントの境界点はセグメントに含まれます)、関数の値の中で最小値と最大値が存在しない可能性があります。したがって、たとえば、次の図に示されている関数は、]-∞、+∞[で連続しており、最大値を持ちません。

ただし、任意の区間 (閉、開、または無限) に対して、連続関数の次の特性が当てはまります。

例 4. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で [-1, 3] .

解決。この関数の導関数を商の導関数として求めます。

導関数をゼロとみなすと、次の 1 つの臨界点が得られます。これはセグメント [-1, 3] に属します。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

これらの値を比較してみましょう。結論: 時点で -5/13 に等しい 最高値点で 1 に等しい。

関数の最小値と最大値を一緒に探し続けます

関数の最小値と最大値を見つけるというテーマに関して、今説明したものよりも複雑な例、つまり関数が多項式や分子と分母が多項式である分数。しかし、教師の中には生徒に徹底的に考えること（導関数の表）を強制することを好む人もいるので、このような例に限定するつもりはありません。したがって、対数と三角関数が使用されます。

例 6. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で .

解決。この関数の導関数は次のようになります。 製品の派生製品 :

導関数をゼロとみなします。これにより、 1 つの臨界点が得られます。セグメントに属します。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

すべてのアクションの結果: 関数は最小値に達します、0 に等しい、その点およびその点および 最高値、等しい e²、その時点で。

例 7. 関数の最小値と最大値を見つける セグメント上で .

解決。この関数の導関数を求めます。

導関数をゼロとみなします。

唯一の臨界点はセグメントに属します。特定のセグメント上の関数の最小値と最大値を見つけるには、セグメントの終端と見つかった臨界点での値を見つけます。

結論： 関数は最小値に達します、点でに等しい、および 最高値、等しい、点で。

応用極値問題では、関数の最小 (最大) 値を見つけることは、原則として、最小 (最大) を見つけることになります。しかし、実際的により重要なのは、最小値や最大値そのものではなく、それらが達成される議論の値です。応用問題を解決する場合、検討中の現象やプロセスを記述する関数を構成するというさらなる困難が生じます。

例8.容量 4 のタンクは、底面が正方形で上部が開いた直方体の形状をしており、錫メッキする必要があります。タンクを覆うために使用する材料の量を最小限にするには、タンクのサイズはどれくらいにすべきですか?

解決。させてバツ- ベース側、 h- タンクの高さ、 S- カバーを除いた表面積、 V- そのボリューム。タンクの表面積は次の式で表されます。は 2 つの変数の関数です。表現するために S 1 つの変数の関数として、 , from where という事実を使用します。見つかった式を置換する hの式に S:

この関数を極限まで調べてみましょう。 ]0、+∞[、およびのどこでも定義され、微分可能です。

微分値をゼロ () とみなして臨界点を見つけます。さらに、導関数が存在しないが、この値は定義範囲に含まれないため、極値点にはなりえません。したがって、これが唯一の重要なポイントです。 2番目の値を使用して極値の存在を確認してみましょう十分な証拠。二次導関数を求めてみましょう。二次微分値がゼロより大きい場合 ()。これは、関数が最小値に達すると、。これから minimum はこの関数の唯一の極値であり、その最小値です。したがって、タンクの底面の一辺は 2 m、高さはとなるはずです。

例9。地点からあ線路沿いに位置し、ポイントまでと、そこから離れたところにあります私、貨物を輸送する必要があります。単位距離あたりの重量単位の輸送コストは、鉄道ではに等しく、高速道路ではに等しい。どの時点まで M行鉄道～から貨物を輸送するために高速道路を建設する必要があるあ V と最も経済的でした（セクション AB鉄道は直線であると仮定されています）？

関数の極値とは何ですか?また極値の必要条件は何ですか?

関数の極値は、関数の最大値と最小値です。

前提条件関数の最大値と最小値 (極値) は次のとおりです。関数 f(x) が点 x = a に極値を持つ場合、この点で導関数はゼロか無限大か、存在しません。

この条件は必要ですが、十分ではありません。点 x = a での導関数は、この点で極値を持たない関数が存在しない場合、ゼロ、無限大になるか、または存在しない可能性があります。

関数の極値 (最大値または最小値) の十分条件は何ですか?

最初の条件:

点 x = a に十分近く、導関数 f?(x) が a の左側で正で、a の右側で負である場合、点 x = a では関数 f(x) は次のようになります。最大

点 x = a に十分近く、導関数 f?(x) が a の左側で負で、a の右側で正である場合、点 x = a では関数 f(x) は次のようになります。最小ただし、ここでの関数 f(x) は連続です。

代わりに、関数の極値に対して 2 番目の十分条件を使用できます。

点 x = a で、一次導関数 f?(x) が消滅するとします。二次導関数 f??(a) が負の場合、関数 f(x) は点 x = a で最大値を持ち、正の場合は最小値を持ちます。

関数の重要な点は何ですか?またそれを見つける方法は何ですか?

これは、関数が極値 (つまり、最大値または最小値) を持つ関数の引数の値です。それを見つけるために必要なのは 導関数を見つける関数 f?(x) を計算し、それをゼロにすると、 方程式を解く f?(x) = 0。この方程式の根、およびこの関数の導関数が存在しない点は臨界点、つまり、極値が存在する可能性がある引数の値です。それらは、見ることで簡単に識別できます。 微分グラフ: 関数のグラフが横軸 (Ox 軸) と交差する引数の値と、グラフが不連続になる引数の値に興味があります。

たとえば、次を見つけてみましょう 放物線の極値.

関数 y(x) = 3x2 + 2x - 50。

関数の微分: y?(x) = 6x + 2

方程式を解きます: y?(x) = 0

6x + 2 = 0、6x = -2、x = -2/6 = -1/3

この場合、臨界点は x0=-1/3 になります。関数が持つのはこの引数値です。極値。彼に探す、関数の式で「x」の代わりに見つかった数値を置き換えます。

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333。

関数の最大値と最小値を決定する方法、つまりその最大値と最小値は?

臨界点 x0 を通過するときの微分の符号が「プラス」から「マイナス」に変化すると、x0 は次のようになります。 最高点; 導関数の符号がマイナスからプラスに変わる場合、x0 は次のようになります。 最小点; 符号が変わらない場合、点 x0 には最大値も最小値もありません。

考慮した例については、次のようになります。

臨界点の左側の引数の任意の値を取得します: x = -1

x = -1 の場合、導関数の値は y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 になります (つまり、符号は「マイナス」です)。

ここで、臨界点の右側の引数の任意の値を取得します: x = 1

x = 1 の場合、導関数の値は y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (つまり、符号は「プラス」) になります。

ご覧のとおり、臨界点を通過すると微分値の符号がマイナスからプラスに変化しました。これは、臨界値 x0 に最小点があることを意味します。

関数の最大値と最小値 間隔で（セグメント上で）同じ手順を使用して検出されますが、すべての重要な点が指定された間隔内にあるわけではないという事実のみを考慮しています。間隔の外側にある重要な点は考慮から除外する必要があります。間隔内に臨界点が 1 つだけある場合、その点には最大値または最小値のいずれかが存在します。この場合、関数の最大値と最小値を決定するために、間隔の終わりの関数の値も考慮されます。

たとえば、関数の最大値と最小値を見つけてみましょう

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

一定の間隔で:

したがって、関数の導関数は次のようになります。

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

方程式 3cos(x) - 0.5 = 0 を解きます。

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk。

区間 [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (区間には含まれません)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (区間には含まれません)

引数の臨界値での関数値を見つけます。

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

区間 [-9; 9] この関数は x = -4.88 で最大の値を持ちます。

x = -4.88、y = 5.398、

そして最小 - x = 4.88:

x = 4.88、y = -5.398。

間隔 [-6; -3] 臨界点は 1 つだけです: x = -4.88。 x = -4.88 における関数の値は y = 5.398 に等しくなります。

間隔の終わりの関数の値を見つけます。

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

間隔 [-6; -3] 関数の最大値が得られます

x = -4.88 で y = 5.398

最小値 -

x = -3 で y = 1.077

関数グラフの変曲点を見つけて凸面と凹面を判断するにはどうすればよいですか?

直線 y = f(x) のすべての変曲点を見つけるには、二次導関数を見つけて、それをゼロとみなして (方程式を解き)、二次導関数がゼロである x のすべての値をテストする必要があります。無限か存在しません。これらの値のいずれかを通過するときに 2 階導関数の符号が変わる場合、関数のグラフにはこの時点で変曲点が生じます。変化しない場合は、曲がりはありません。

方程式 f の根 (x) = 0、および関数と二次導関数の不連続点の可能性があるため、関数の定義領域がいくつかの区間に分割されます。それぞれの間隔の凸性は、二次導関数の符号によって決まります。調査対象の区間上の点における二次導関数が正の場合、直線 y = f(x) は上に凹状になり、負の場合は下に凹状になります。

2 変数関数の極値を見つけるにはどうすればよいですか?

仕様の領域で微分可能な関数 f(x,y) の極値を見つけるには、次のものが必要です。

1) 臨界点を見つけて、そのために連立方程式を解きます。

ふー？ (x,y) = 0、fу? (x,y) = 0

2) 各臨界点 P0(a;b) について、差の符号が変化していないかどうかを調査します。

P0 に十分近いすべての点 (x;y) に対して。差が残った場合正の符号、点 P0 で最小値が得られ、負の場合は最大値が得られます。差がその符号を保持していない場合、点 P0 には極値がありません。

関数の極値も同様に決定されます。もっと引数。

この記事では、関数の研究に関数の最大値または最小値を見つけるという検索スキルを適用する方法について説明します。次に、オープンバンクのタスクのタスク B15 からいくつかの問題を解決します。

いつものように、まずは理論を覚えましょう。

関数の研究の初めに、私たちはそれを見つけます。

関数の最大値または最小値を見つけるには、関数がどの間隔で増加し、どの間隔で減少するかを調べる必要があります。

これを行うには、関数の導関数を見つけて、その定数符号の区間、つまり導関数がその符号を保持する区間を調べる必要があります。

関数の導関数が正となる区間は、関数が増加する区間です。

関数の導関数が負になる区間は、減少関数の区間です。

1. 課題B15(No.245184)を解いてみよう

これを解決するには、次のアルゴリズムに従います。

a) 関数の定義域を見つける

b) 関数の導関数を求めてみましょう。

c) それをゼロにしましょう。

d) 関数の定数符号の間隔を求めてみましょう。

e) 関数が最大値をとる点を見つけます。

f) この時点での関数の値を求めます。

このタスクの詳細な解決策については、ビデオチュートリアルで説明しています。

お使いのブラウザはおそらくサポートされていません。「Unified State Exam Hour」シミュレーターを使用するには、ダウンロードしてみてください。
Firefox

2. 課題B15(No.282862)を解いてみよう

関数の最大値を見つけるセグメント上で

この関数がセグメントの最大値 (x=2) で最大値を取ることは明らかです。この時点での関数の値を見つけてみましょう。

答え: 5

3. タスク B15 (No. 245180) を解決しましょう。

関数の最大値を見つける

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. 元の関数の定義ドメインによると、 title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. で分子はゼロに等しくなります。 ODZ が関数に属しているかどうかを確認してみましょう。これを行うには、条件 title="4-2x-x^2>0"> при .!}

タイトル="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

これは、その点が ODZ 関数に属していることを意味します。

点の左右の導関数の符号を調べてみましょう。

関数が点で最大値をとることがわかります。次に、次の関数の値を見つけてみましょう。

注意 1. この問題では、関数の定義域が見つかっていないことに注意してください。制約を修正し、導関数が 0 に等しい点が関数の定義域に属するかどうかを確認しただけです。このタスクにはこれで十分であることがわかりました。ただし、常にそうとは限りません。それはタスクによって異なります。

注 2. 複雑な関数の動作を調べる場合は、次のルールを使用できます。

複素関数の外部関数が増加している場合、その関数は同じ点で最大値をとります。内部関数が最大の値をとります。これは増加関数の定義から次のとおりです。関数は次の場合に間隔 I で増加します。より高い値この区間の引数は、関数のより大きな値に対応します。
複素関数の外側の関数が減少している場合、内側の関数が最小値をとるのと同じ点で関数は最大値をとる。これは減少関数の定義から導き出されます。つまり、この区間からの引数のより大きな値が関数のより小さな値に対応する場合、関数は区間 I で減少します。

この例では、定義領域全体にわたって外部関数が増加します。対数の符号の下に次の式があります - 二次三項式、負の先行係数を使用すると、その点で最大の値が取られます。。次に、この x 値を関数方程式に代入します。そしてその最大の価値を見出します。