家 / 疥癬/ 数学者ヤコフ・ペレルマン: 科学への貢献。ロシアの有名な数学者グリゴリー・ペレルマン。ポアンカレ予想を証明したロシアの数学者グリゴリー・ヤコブレヴィチ・ペレルマン：伝記、私生活、興味深い事実

数学者ヤコフ・ペレルマン：科学への貢献。ロシアの有名な数学者グリゴリー・ペレルマン。ポアンカレ予想を証明したロシアの数学者グリゴリー・ヤコブレヴィチ・ペレルマン：伝記、私生活、興味深い事実

ポアンカレの定理 – 数式"大宇宙"。グリゴリー・ペレルマン。パート 1 (シリーズ「Real Man in Science」より)

アンリ・ポアンカレ（1854-1912）、偉大な数学者、1904年に、変形した三次元の球体という有名なアイデアを定式化し、まったく別の問題に捧げられた65ページの記事の最後に置かれた余白に小さなメモの形で、いくつかのことを走り書きしました「そうですね、この質問は行き過ぎかもしれません」という言葉を含むかなり奇妙な仮説の行。

オックスフォード大学のマーカス・デュ・ソートイ氏は、ポアンカレの定理は「 数学と物理学の中心的な問題、理解しようとする試み なんの形多分宇宙、彼女に近づくのは非常に難しいです。」

グリゴリー・ペレルマンは週に一度、高等研究所のセミナーに参加するためにプリンストンを訪れました。セミナーでは、ハーバード大学の数学者の一人がペレルマンの質問に次のように答えています。これは、ポアンカレ予想に比べて一歩進んだものです。ウィリアム・サーストンの仮説を証明すれば、ポアンカレ予想がすべての扉を開くことになります。 その解決策は現代科学のトポロジカルな状況全体を変えるでしょう».

2003 年 3 月、アメリカの 6 つの主要大学がペレルマンを招待し、彼の研究を説明する一連の講義を行いました。 2003 年 4 月、ペレルマンは科学ツアーを行いました。彼の講義は傑出した科学イベントとなる。ジョン・ボール（国際数学連合の会長）とアンドリュー・ワイルズ（数学者、楕円曲線算術の分野で研究し、1994年にフェルマーの定理を証明した）が彼の話を聞くためにプリンストンにやって来た。ジョン・ナッシュ(ゲーム理論と微分幾何学の分野で働く数学者)。

グリゴリー・ペレルマンは7千年問題のうちの1つを解決できたそして 数学的に説明するいわゆる 宇宙の公式、ポアンカレ予想を証明します。最も聡明な人々は 100 年以上にわたってこの仮説と格闘しており、その証明のために世界の数学コミュニティ (クレイ数学研究所) は 100 万ドルを約束しました。その発表は 2010 年 6 月 8 日に行われました。グリゴリーペレルマンは出演しませんでしたそれと世界の数学コミュニティで「ジョーズは落ちた」。

2006 年、この数学者はポアンカレ予想の解決により、数学最高の賞であるフィールズ賞を受賞しました。ジョン・ボールは、受賞を受け入れるよう説得するためにサンクトペテルブルクを個人的に訪れた。彼は「社会が私の仕事を真剣に評価してくれる可能性は低い」と言って受け入れを拒否した。

「フィールズ賞（およびメダル）は、4 年に 1 回、数学の発展に多大な貢献をした若い科学者（40 歳未満）に国際数学会議で授与されます。メダルに加えて、受賞者には15,000カナダドル（13,000ドル）が授与されます。」

ポアンカレ予想は、元の定式化では次のようになります。「境界のない単純に接続されたコンパクトな 3 次元多様体はすべて、3 次元球体と同相である。」これは、一般的な言語に翻訳すると、ガラスなどの 3 次元の物体は、変形するだけでボールに変形できる、つまり、切ったり接着したりする必要がないことを意味します。言い換えれば、ポアンカレは次のように仮定しました。 空間は三次元ではありませんが、重要な要素を含んでいます。より大きな数測定値、そして100年後のペレルマン それを数学的に証明した.

物質の別の状態、形態への変換に関するポアンカレの定理のグリゴリーペレルマンの表現は、アナスタシアノヴィクの著書『先生 IV』で提示された知識に似ています。「実際、私たちにとって無限であるこの宇宙全体は、何十億倍もの空間を占めています。最も細い医療用針の先端よりも小さい。」また、6 次元以上 (7 から 72 まで) の制御次元からオブザーバーによって導入された変換を通じて、物質宇宙を制御する能力もあります (レポート「PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS」のトピック「エズーズミック格子」)。

グリゴリー・ペレルマンは、彼の人生の禁欲主義と、自分自身と他人の両方に課せられた倫理的要求の厳しさによって際立っていました。彼を見ていると、彼はただの人間だという気がする。 肉体的に生きている一般的に他のすべての同時代人に対して空間、A 別の方法で精神的に、どこでも 100万ドルでは彼らは行きません最も「無実」の 良心との妥協。そして、これはどのような空間でしょうか、そしてそれを目の端から見ることは可能ですか？

約 1 世紀前に数学者ポアンカレによって提唱された仮説の並外れた重要性は、三次元構造に関するものであり、重要な要素現代の研究 宇宙の基礎。クレイ研究所の専門家によれば、この謎は、将来の数学の発展にとって基本的に重要な7つの謎のうちの1つであるという。

ペレルマンはメダルや賞品を拒否し、次のように尋ねます。それらは私にとってまったく役に立ちません。証拠が正しければ、他の認識は必要ないことは誰もが理解しています。疑念が生じるまで、私には、倫理レベルの低さによる数学コミュニティ全体の崩壊について大声で言うか、何も言わず自分を家畜のように扱うかのどちらかを選択するしかありませんでした。疑いが深まった以上、家畜のまま黙って続けるわけにはいかないので、立ち去るしかないのです。」

現代数学に取り組むためには、心を崩壊させたり、方向感覚を失わせたり、価値観を置き換えたりするようなものが少しも入っていない、完全に純粋な心を持っている必要があり、この賞を受け入れることは弱さを示すことを意味します。理想的な科学者は科学だけに従事し、他のこと（権力と資本）には関心がなく、純粋な心を持っていなければなりません。ペレルマンにとって、この理想に従って生きることほど重要なことはありません。この何百万ものアイデア全体が数学に役立つのでしょうか、そして本物の科学者にはそのような動機が必要なのでしょうか？そして、この世界のあらゆるものを買収して征服したいという資本の欲望は攻撃的ではないでしょうか? または販売することもできます あなたの純粋さ 100万で？お金はいくらあっても平等です 魂の真実? 結局のところ、私たちはお金がまったく関係すべきではない問題をアプリオリに評価しているのです。これらすべてから宝くじや賭けのようなものを作ることは、科学の崩壊を満喫することを意味します。 人間のコミュニティ全体（報告書「PRIMODIUM PHYSICS OF ALLATRA」と、著書「AllatRa」の最後の50ページにある創造的な社会の構築への道を参照）。そして現金（エネルギー）、ビジネスマンは、それを使用する必要がある場合、屈辱を与えることなく、正しく、または何かを科学に提供する準備ができています 真の奉仕の精神どう見ても金銭的には計り知れない価値があります。 それに比べて100万とは何でしょうか？、純粋さ、または偉大さをもって それらの球体（地球規模の宇宙の寸法と約精神世界本を参照「アラトラ」 そして報告する「PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS」)、 浸透できない人間でも 想像力（心）?! 100万の星空って時間って何ですか!?」

仮説の定式化に現れる残りの用語の解釈を与えてみましょう。

トポロジー - (ギリシャ語のトポス - 場所とロゴス - 教育に由来) - 図形のトポロジー的性質を研究する数学の一分野。破断や接着を行わずに (より正確には、1 対 1 の連続マッピングで) 生成されたいかなる変形の下でも変化しないプロパティ。図形のトポロジ特性の例としては、寸法、特定の領域を境界付ける曲線の数などが挙げられます。したがって、円、楕円、正方形の輪郭は同じ位相特性を持ちます。これらの線は、上で説明した方法で相互に変形できます。同時に、リングと円は異なる位相特性を持っています。円は 1 つの輪郭によって制限され、リングは 2 つの輪郭によって制限されます。

同相写像 (ギリシャ語 ομοιο - 類似、μορφη - 形) は 2 つの位相空間間の 1 対 1 対応であり、この対応によって定義される相互逆写像は両方とも連続です。これらのマッピングは、同相写像、またはトポロジカルマッピング、および同相写像と呼ばれ、空間は同じトポロジカルタイプに属すると言われ、同相写像、またはトポロジカルに等価と呼ばれます。

エッジのない三次元多様体。これは、各点が 3 次元のボールの形で近傍を持つ幾何学オブジェクトです。 3 多様体の例には、まず、R3 で示される 3 次元空間全体と、R3 内の任意の開いた点のセット (たとえば、固体トーラス (ドーナツ) の内部) が含まれます。閉じた固体トーラスを考えると、つまりその境界点 (トーラスの表面) を追加すると、エッジを持つ多様体が得られます。エッジ点にはボールの形の近傍がありませんが、半分のボールの形だけが含まれます。

ソリッドトーラス (ソリッドトーラス) は、2 次元の円板と円 D2 * S1 の積に同相な幾何学体です。非公式には、固体トーラスはドーナツですが、トーラスはその表面 (ホイールの中空室) にすぎません。

シンプルに接続。これは、特定の多様体内に完全に位置する連続閉曲線は、この多様体を離れることなく、ある点までスムーズに縮小できることを意味します。たとえば、R3 の通常の 2 次元球は単純に接続されています (リンゴの表面に任意の方法で置かれた輪ゴムは、リンゴから輪ゴムを引き剥がすことなくスムーズに 1 点に引き寄せられます)。一方、円とトーラスは単純につながっているわけではありません。

コンパクト。多様体は、その同型画像のいずれかが有限の次元を持つ場合、コンパクトです。たとえば、直線上の開いた区間 (端を除くセグメントのすべての点) は、無限の直線まで連続的に拡張できるため、コンパクトではありません。しかし、閉じたセグメント (端を持つ) は、エッジを持つコンパクトな多様体です。連続的な変形では、端はいくつかの特定の点に到達し、セグメント全体がこれらの点を接続する境界曲線に入らなければなりません。

つづく...

イルナズ・バシャロフ

文学：

– 国際科学者の国際グループによるレポート「アラトラの原始物理学」社会運動アラトラ編アナスタシアノビク、2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- 新しいもの。 A. 「AllatRa」、K.: AllatRa、2013 年。 http://schambala.com.ua/book/a... 。

- 新しいもの。 A.、「Sensei-IV」、K.: LOTOS、2013、632 p. http://schambala.com.ua/book/s...

– セルゲイ・ドゥジン、物理学および数学博士。科学、ロシア科学アカデミー数学研究所サンクトペテルブルク支部上級研究員

マインドゲーム

最近まで、数学はその「聖職者」に名声も富も約束しませんでした。彼らにはノーベル賞すら与えられなかった。そのような指名はありません。結局のところ、非常に人気のある伝説によると、ノーベルの妻はかつて数学者と浮気したそうです。そして報復として、その金持ちは邪悪な同胞全員から敬意と賞金を剥奪した。

状況は 2000 年に変わりました。私立数学研究所クレイ数学研究所が、最も難しい問題を7つ厳選しました。そして彼は、その決定に対して各人に100万ドルを支払うと約束した。彼らは数学者たちを敬意の目で見ました。 2001年には数学者を主人公とした映画『ビューティフル・マインド』も公開された。

今、文明から遠く離れた人々だけが気づいていません：約束された何百万もののうちの1つ、つまり最初のものはすでに授与されています。この賞は、彼の努力によって定理となったポアンカレ予想を解決したロシア国民でサンクトペテルブルク在住のグリゴリー・ペレルマンに授与された。 44歳のひげを生やしたこの男は、全世界の鼻を拭いた。そして今もそれは、世界を不安な状態に保ち続けています。数学者が正直に値する100万ドルを受け取るのか、それとも拒否するのかは不明だからです。多くの国の進歩的な国民が懸念しているのは当然です。少なくともすべての大陸の新聞は、経済的および数学的陰謀を記録しています。

そして、占いや他人のお金の分配など、これらの魅力的な活動の背景に対して、ペレルマンの功績の意味はどういうわけか失われていました。もちろん、クレイ研究所の会長であるジム・カールソンは、賞金基金の目的は答えを探すことではなく、数理科学の名声を高め、若い人たちに数学への興味を持ってもらう試みであると述べたことがあります。しかし、それでも、いったい何の意味があるのでしょうか？

ポアンカレ仮説 - それは何ですか?

ロシアの天才が解いたこの謎は、トポロジーと呼ばれる数学の一分野の基礎に触れています。そのトポロジーは、「ラバーシートジオメトリ」と呼ばれることがよくあります。これは、形状が引き伸ばされたり、ねじれたり、曲がったりした場合に保持される幾何学的形状のプロパティを扱います。言い換えれば、破れたり、切れたり、接着されたりすることなく変形します。

トポロジーは空間の性質を理解できるため、数理物理学にとって重要です。あるいは、この空間の形状を外から見ることができずに評価する。たとえば、私たちの宇宙へ。

ポアンカレ予想を説明するとき、彼らは次のように始めます。二次元の球体を想像してください。ゴム製の円盤を用意して、それをボールの上に引っ張ります。円盤の円周が一点に集まるように。同様の方法で、たとえば、スポーツバックパックをコードで結ぶことができます。結果は球です。私たちにとっては 3 次元ですが、数学の観点からは 2 次元にすぎません。

次に、同じディスクをドーナツの上に引っ張り出すことを提案します。なんとかなりそうです。しかし、ディスクの端は円に収束し、点まで引っ張ることはできなくなり、ドーナツが切れてしまいます。

もう一人のロシアの数学者、ウラジーミル・ウスペンスキーは人気のある著書の中で次のように書いている。有名なジョークの二乗三項式です。」

したがって、ポアンカレ仮説によれば、3 次元の球体は、その表面が何らかの仮想的な「ハイパーコード」によって 1 点に引き寄せられる唯一の 3 次元の物体です。

ジュール・アンリ・ポアンカレは 1904 年にこれを提案しました。今、ペレルマンは、フランスのトポロジストが正しかったことを理解しているすべての人に納得させました。そして彼の仮説を定理に変えました。

この証明は、私たちの宇宙がどのような形をしているかを理解するのに役立ちます。そして、それは同じ 3 次元の球体であると非常に合理的に仮定することを可能にします。しかし、宇宙が点まで縮めることができる唯一の「図形」であるならば、おそらく、点から引き伸ばすことができるでしょう。理論の間接的な裏付けとなるものビッグバン、それは次のように述べています：宇宙が始まったのはこの時点からでした。

ペレルマンはポアンカレとともに、宇宙の神聖な始まりの支持者である、いわゆる創造論者たちを動揺させたことが判明した。そして彼らは唯物論者の物理学者たちの工場に苦悩を投げかけた。

そしてこの時

天才はまだ100万ドルを諦めていない

この数学者はジャーナリストとのコミュニケーションを頑なに拒否している。私たちにとっては、間違いなく、彼は声を上げさえしません。西洋人 - 閉ざされたドアから発言を投げかけます。放っておいてください。天才はクレイ研究所の所長であるジム・カールソンとのみコミュニケーションをとっているようです。

グリゴリー・ペレルマンの100万ドルのことが知られるようになった直後、カールソンは「天才は何を決断したのか?」という質問に答えた。「彼はやがて私に知らせてくれるでしょう。」つまり、彼はグリゴリーと連絡を取っていることをほのめかした。

先日、社長から新たなメッセージを受け取りました。イギリスの新聞『テレグラフ』は彼を次のように報じた。しかし、少なくともそれがいつになるかについては言及しなかった。明日はうまくいかないと思うよ。」

社長によれば、天才はドライだが丁寧に話したという。短いものでした。カールソン氏はペレルマン氏を擁護して、「冗談めかして100万ドルを放棄する可能性について考える人さえ、毎日いるわけではない」と述べた。

ところで

他になぜ彼らは100万ドルも与えるのでしょうか？

1. クックの問題

問題に対する解決策が正しいかどうかを確認する方が、解決策自体を取得するよりも時間がかかるかどうかを判断する必要があります。この論理的なタスクは、暗号化、つまりデータ暗号化の専門家にとって重要です。

2. リーマン予想

2、3、5、7 など、それ自体でしか割り切れない、いわゆる素数があります。全部で何匹いるかは不明。リーマンは、これを決定でき、その分布のパターンを見つけることができると信じていました。それを見つけた人は、暗号化サービスも提供することになります。

3. バーチ予想とスウィナートン・ダイアー予想

この問題には、3 つの未知数を累乗した方程式を解くことが含まれます。複雑さに関係なく、問題を解決する方法を見つけ出す必要があります。

4. ホッジ予想

20 世紀に、数学者は複雑な物体の形状を研究する方法を発見しました。このアイデアは、オブジェクト自体の代わりに単純な「レンガ」を使用し、接着してその類似物を形成するというものです。これが常に許容されることを証明する必要があります。

5. ナビエ - ストークス方程式

飛行機の中で覚えておく価値はあります。方程式は、空気中にそれを維持する気流を記述します。ここで、近似公式を使用して方程式が近似的に解かれます。私たちは正確な方程式を見つけて、3 次元空間において常に真である方程式の解が存在することを証明する必要があります。

6. ヤン - ミルズ方程式

物理学の世界には、「素粒子に質量がある場合、その質量には下限がある」という仮説があります。しかし、どれなのかは不明です。私たちは彼のところへ行かなければなりません。おそらくこれが最も難しい作業です。これを解決するには、自然界のすべての力と相互作用を統合する方程式である「万物の理論」を作成する必要があります。それができる人はおそらくノーベル賞を受賞するでしょう。

写真提供：N. Chetverikova 純粋数学の最後の偉大な成果は、2002 年から 2003 年にかけてサンクトペテルブルク在住のグリゴリーペレルマンが 1904 年に述べたポアンカレ予想の証明と呼ばれるもので、次のように述べています。境界のないものは球 S 3 と同相です。」

このフレーズにはいくつかの用語がありますが、それらの一般的な意味が非数学者にも明確になるように説明してみます (読者はすでに理解していると思います) 高校学校の数学で習ったことを今でも覚えています)。

トポロジーの中心となる同相同型性の概念から始めましょう。一般に、トポロジーは「ゴム幾何学」、つまり、破損や接着のない滑らかな変形中に変化しない幾何学的イメージの特性の科学として定義されることが多く、より正確には、一対一の関係を確立することができる場合に定義されます。 -2 つのオブジェクト間の相互に連続した 1 つの対応関係。

主なアイデアは、マグカップとドーナツの古典的な例を使用して説明するのが最も簡単です。 1 つ目は、連続変形によって 2 つ目に変換できます。これらの図は、マグカップがドーナツと同相であることを明確に示しています。この事実は、マグカップの表面 (トーラスと呼ばれる 2 次元多様体) と充填体 (3 次元の多様体) の両方に当てはまります。エッジを備えた -次元多様体)。

仮説の定式化に現れる残りの用語の解釈を与えてみましょう。

1. エッジのない三次元多様体。これは、各点が 3 次元のボールの形で近傍を持つ幾何学オブジェクトです。 3 多様体の例には、まず、R 3 で示される 3 次元空間全体、および R 3 内の任意の開いた点のセット (たとえば、固体トーラス (ドーナツ) の内部) が含まれます。閉じた完全なトーラスを考慮する場合、つまり、その境界点 (トーラスの表面) を追加すると、エッジを持つ多様体が得られます。エッジ点にはボールの形の近傍はありませんが、ボールの形でのみ存在します。ハーフボールの。

2.接続されました。ここでの接続の概念は最も単純です。多様体が 1 つの部分で構成されている場合、または同じもので、その任意の 2 つの点を境界を越えない連続線で接続できる場合、多様体は接続されています。

3. 接続するだけ。単純な接続性の概念はより複雑です。これは、特定の多様体内に完全に位置する連続閉曲線は、この多様体を離れることなく、ある点までスムーズに縮小できることを意味します。たとえば、R 3 の通常の 2 次元球は単純に接続されています (リンゴの表面に任意の方法で配置された輪ゴムは、リンゴから輪ゴムを引き剥がすことなく、滑らかな変形によって 1 点にスムーズに引っ張ることができます)。。一方、円とトーラスは単純につながっているわけではありません。

4. コンパクト。多様体は、その同型画像のいずれかが有限の次元を持っている場合、コンパクトです。たとえば、直線上の開いた区間 (端を除くセグメントのすべての点) は、無限の直線まで連続的に拡張できるため、コンパクトではありません。しかし、閉じたセグメント (端を持つ) は、境界を持つコンパクトな多様体です。連続的な変形では、端はいくつかの特定の点に到達し、セグメント全体はこれらの点を結ぶ境界付き曲線に入らなければなりません。

寸法多様体の値は、その上に「存在する」点の自由度の数です。各点には、対応する次元の円盤の形の近傍があります。つまり、1 次元の場合は線の間隔、2 次元の場合は平面上の円、3 次元の場合は球などです。トポロジーの観点から見ると、エッジのない 2 つの 1 次元接続多様体 (直線と円) だけが存在します。このうち円だけコンパクトです。

多様体ではない空間の例としては、たとえば、交差する線のペアがあります。結局のところ、2 本の線の交点では、どの近傍も十字の形をしており、そのような近傍はありません。それ自体は単なる間隔です (そして、他のすべての点にはそのような近傍があります)。このような場合、数学者は、私たちは 1 つの特別な点を持つ特別な種類を扱っていると言います。

二次元のコンパクト多様体はよく知られています。だけを考えれば 方向付け可能 1境界のない多様体は、トポロジカルな観点から、無限ではあるものの単純なリストを形成します。このような多様体はそれぞれ、いくつかのハンドルを接着することによって球から得られ、その数は表面の種と呼ばれます。

1 紙面の都合上、方向付け不可能多様体については触れません。その例として有名なクラインの壷、つまり自己交差がなければ空間に埋め込むことができない曲面があります。

この図には属数 0、1、2、および 3 の表面が示されています。このリストのすべての表面の中で球体が際立っているのはなぜでしょうか? それは単純に接続されていることがわかります。球面上では、どの閉曲線も点に収縮できますが、他の面上では、常に、面に沿った点に収縮できない曲線を示すことができます。

境界のない三次元のコンパクト多様体は、二次元の場合ほど単純ではないものの、かなり複雑な構造を持っているにもかかわらず、ある意味で分類できる、つまり特定のリストに配置できることは興味深いことです。ただし、上のリストの 2D 球体と同様に、このリストでは 3D 球体 S 3 が際立っています。 S 3 上の任意の曲線が点に収縮するという事実は、2 次元の場合と同様に簡単に証明されます。しかし、反対の主張、つまり、この性質は特に球面に固有である、つまり、他の 3 次元多様体には非収縮曲線が存在するという主張は非常に難しく、まさに私たちが話しているポアンカレ予想の内容を構成します。。

多様性はそれ自体で存続することができ、どこにもネストされず、独立したオブジェクトとして考えることができることを理解することが重要です。 (3 次元の存在に気づかず、普通の球の表面で 2 次元の生き物として生きていると想像してください。) 幸いなことに、上記のリストにある 2 次元の表面はすべて、通常の R3 空間にネストできるため、より簡単になります。視覚化すること。三次元球体 S 3 (および一般に境界のないコンパクトな三次元多様体) では、これは当てはまらないため、その構造を理解するにはある程度の努力が必要です。

どうやら最も簡単な方法三次元球 S 3 の位相構造を説明するには、一点コンパクト化を使用します。すなわち、三次元球体Ｓ３は、通常の三次元（無限）空間Ｒ３を一点コンパクト化したものである。

まずは簡単な例を用いてこの構造を説明しましょう。普通の無限の直線 (空間の 1 次元の類似物) を取り上げ、それに「無限に遠い」点を 1 つ加えてみましょう。直線に沿って右または左に移動すると、最終的にはこの点に到達すると仮定します。トポロジーの観点からは、無限の線分と境界のある開いた線分 (端点のない) の間に違いはありません。このようなセグメントは、円弧の形で連続的に曲げることができ、端を近づけて、接合部の欠けている点を接着します。明らかに、球の一次元の類似物である円が得られます。

同様に、無限平面を取り、任意の方向に通る元の平面のすべての直線が向かう無限遠に 1 つの点を追加すると、2 次元 (通常の) 球 S 2 が得られます。この手順は、平面 P 上の特定の点である北極 N を除く各点 P に球を割り当てる立体投影を使用して観察できます。

したがって、点が 1 つもない球はトポロジー的には平面と同じであり、点を追加すると平面は球に変わります。

原理的には、まったく同じ構造が 3 次元球体と 3 次元空間に適用できますが、その実装のためにのみ 4 次元に入る必要があり、これを図面で表現するのはそれほど簡単ではありません。したがって、空間 R 3 の一点圧縮についての口頭での説明に限定します。

私たちの物理空間 (ニュートンに従って、3 つの座標 x、y、z を持つ無限のユークリッド空間であると考えます) に、「無限遠にある」 1 つの点が追加されると想像してください。そこに到達する方向（つまり、各空間線が円に近づきます）。次に、コンパクトな 3 次元多様体が得られます。定義によれば、これは球 S 3 です。

球Ｓ３が単純につながっていることが分かりやすい。実際、この球上の閉曲線は、追加された点を通過しないようにわずかに移動させることができます。次に、通常の空間 R 3 に曲線が得られます。この曲線は、相似性、つまり 3 方向すべての連続圧縮によって容易に点に収縮します。

多様体 S 3 がどのように構造化されているかを理解するには、その 2 つの固体トーラスへの分割を考慮することが非常に有益です。空間 R 3 から固体トーラスを削除すると、あまり明確ではないものが残ります。そして、空間が球体に圧縮されると、この補体も固体のトーラスになります。つまり、球 S 3 は、次のような 2 つの固体トーラスに分割されます。共通の境界線- トーラス

それを理解する方法は次のとおりです。いつものように、丸いドーナツの形でトーラスを R 3 に埋め込み、このドーナツの回転軸である垂直線を描きましょう。軸を通る任意の平面を描きましょう。この平面は、図に示す 2 つの円に沿ってソリッドトーラスと交差します。緑、平面の追加部分は、連続する赤い円のファミリーに分割されます。これらには中心軸が含まれますが、球 S 3 では直線が円に近づくため、より大胆に強調表示されています。この二次元画像を軸を中心に回転させることにより三次元画像が得られる。回転した円の完全なセットは、固体トーラスと同型の 3 次元の物体を満たしますが、見た目は異常なだけです。

実際、中心軸はその中の軸円になり、残りは平行線、つまり通常の固体トーラスを構成する円の役割を果たします。

3 次元球体を比較するため、コンパクトな 3 次元多様体、つまり 3 次元トーラスの別の例を示します。 3 次元トーラスは次のように構築できます。普通の 3 次元立方体を出発材料として考えてみましょう。

左と右、上と下、前と後ろの 3 対のエッジがあります。平行面の各ペアで、立方体のエッジに沿った転送によって相互に取得された点をペアで識別します。つまり、（物理的な変形を使用せずに純粋に抽象的に）たとえば、A と A" は同じ点であり、B と B" も 1 つの点ですが、点 A とは異なります。すべての内部点立方体の通常通り考えていきます。立方体自体はエッジのある多様体ですが、接着が完了するとエッジは閉じて消えます。実際、立方体の点 A と A" の近傍 (影付きの左右の面上にあります) はボールの半分であり、面を接着した後、ボール全体にマージされ、近傍として機能します。 3 次元トーラスの対応する点。

物理空間についての日常的な考えに基づいて 3 つのトーラスの構造を感じるには、前方、左方、上方の 3 つの相互に直交する方向を選択する必要があります。そして、SF の物語のように、これらの方向のいずれかに移動するときのことを頭の中で考慮する必要があります。かなり長いですが有限な時間、開始点に戻りますが、反対方向からこれも「空間の圧縮」ですが、球体を構築するために以前に使用した一点のものではなく、より複雑です。

3 次元トーラス上には非収縮のパスがあります。たとえば、これは図の線分 AA" です (トーラス上では閉じたパスを表します)。これは収縮できません。連続的な変形では、点 A と A" が面に沿って移動し、互いに厳密に反対側を維持する必要があるためです (そうしないとカーブが開いてしまいます)。

したがって、単純結合されたコンパクト 3 多様体と単純結合されていないコンパクト 3 多様体が存在することがわかります。ペレルマンは、単純接続多様体がまさに 1 であることを証明しました。

証明の最初のアイデアは、いわゆる「リッチフロー」を使用することです。単純に接続されたコンパクトな 3 多様体を使用し、それに任意の幾何学形状を与え (つまり、距離と角度を含む何らかの計量を導入します)、次に次のことを検討します。リッチの流れに沿った進化。 1981 年にこのアイデアを提案したリチャード・ハミルトンは、この進化によって私たちの多様性が球体に変わることを期待しました。これは真実ではないことが判明しました。3 次元の場合、リッチ流は多様体を損なう可能性があります。つまり、非多様体 (上記の交差する線の例のように、特異点を持つもの) にしてしまう可能性があります。。ペレルマンは、偏微分方程式という重い装置を使用して信じられないほどの技術的困難を克服し、進化中に多様体のトポロジーが変化せず、特異点が発生しないような方法で、特異点近くのリッチ流に修正を導入することに成功しました。最終的には丸い球体になります。しかし、このリッチの流れが何であるかを最終的に説明する必要があります。ハミルトンとペレルマンが使用する流れは、抽象多様体上の固有計量の変化を指しますが、これを説明するのは非常に難しいため、平面に埋め込まれた 1 次元多様体上の「外部」リッチ流れの説明に限定します。

ユークリッド平面上に滑らかな閉曲線を想像し、その方向を選択し、各点における単位長さの接線ベクトルを考えてみましょう。次に、選択した方向に曲線を周回すると、このベクトルは曲率と呼ばれる角速度で回転します。曲線が急な場所では曲率 (絶対値) が大きくなり、曲線が滑らかな場所では曲率が小さくなります。

速度ベクトルが曲線によって 2 つの部分に分割された平面の内側に向かう場合、曲率は正、外側に向かう場合は負であると考えます。この一致は、曲線が通過する方向には依存しません。回転の方向が変わる変曲点では、曲率は 0 になります。たとえば、半径 1 の円は、一定の正の曲率 1 を持ちます (ラジアンで測定した場合)。

さて、接線ベクトルのことは忘れて、逆に、曲線の各点に、その点に垂直で、長さが特定の点の曲率に等しく、曲率が正の場合は内側に向き、曲率が負の場合は外側に向かうベクトルを付けます。、そして、各点を対応するベクトルの方向に、その長さに比例した速度で移動させます。以下に例を示します。

平面上の閉曲線は、そのような進化の過程で同様に動作する、つまり、最終的には円に変化することがわかります。これは、リッチフローを使用したポアンカレ予想の 1 次元類似物の証明です (ただし、この場合のステートメント自体はすでに明らかです。証明方法が 3 次元で何が起こるかを示しているだけです)。

結論として、ペレルマンの推論はポアンカレ予想だけでなく、より一般的なサーストン幾何化予想も証明していることに注意してください。サーストン幾何化予想は、ある意味、一般にコンパクトな三次元多様体の構造をすべて記述します。しかし、この主題はこの初歩的な記事の範囲を超えています。

セルゲイ・ドゥジン
物理学および数学の博士科学、
主任研究員
サンクトペテルブルク支店
ロシア科学アカデミー数学研究所

1904 年、アンリポアンカレは、3 次元球体の特定の特性を持つ 3 次元オブジェクトは 3 次元球体に変換できることを提案しました。この仮説を証明するのに99年かかりました。 (警告! 3 次元の球体は、あなたが思っているようなものではありません。) このロシアの数学者は、1 世紀前に述べられたポアンカレ予想を証明し、3 次元空間の形状のカタログの作成を完了しました。おそらく彼は100万ドルのボーナスを受け取るでしょう。

周りを見回してください。あなた自身と同じように、あなたの周りの物体は、何十億光年にもわたって全方向に広がる 3 次元空間 (3 多様体) を運動する粒子の集合体です。

多様体は数学的な構造です。ガリレオやケプラーの時代以来、科学者は数学のさまざまな分野の観点から現実を記述することに成功してきました。物理学者は、世界のすべては 3 次元空間で起こり、あらゆる粒子の位置は、緯度、経度、高度などの 3 つの数値で指定できると信じています (超弦理論で行われた仮定は今のところ脇に置いておきましょう)私たちが観察する 3 つの次元には、いくつかの追加要素があります)。

古典的および伝統的な量子物理学によれば、空間は固定されており、変化しません。同時に、一般相対性理論は、それを出来事の積極的な参加者とみなします。2 点間の距離は、通過する重力波と、近くに存在する物質とエネルギーの量に依存します。しかし、ニュートン物理学でもアインシュタイン物理学でも、空間は、無限であろうと有限であろうと、いずれにしても 3 多様体です。したがって、ほとんどすべての基礎となる基本を完全に理解する必要があります。現代科学、3 多様体の性質を理解する必要があります (空間と時間が一緒になってその 1 つを形成するため、4 多様体も同様に興味深いものになります)。

多様体を研究する数学の分野はトポロジーと呼ばれます。トポロジストは最初に基本的な質問をしました。3 多様体の最も単純な (つまり、最も複雑でない) タイプは何ですか? 同じように単純な兄弟がいますか、それともユニークですか? 3多様体にはどのような種類があるのでしょうか?

最初の質問に対する答えは長い間知られていました。最も単純なコンパクト 3 多様体は 3 球と呼ばれる空間です (非コンパクト多様体は無限であるか、エッジを持ちます。以下ではコンパクト多様体のみを考慮します)。他の 2 つの疑問は 1 世紀にわたって未解決のままでした。 2002 年になって初めて、ロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによってこの答えが得られ、彼は明らかにポアンカレ予想を証明することができました。

ちょうど 100 年前、フランスの数学者アンリポアンカレは、3 球面はユニークであり、これほど単純にする性質を備えたコンパクトな 3 多様体は他に存在しないと提案しました。より複雑な 3 多様体には、レンガの壁のようにそびえ立つ境界があったり、分岐して再び合流する森の小道のように、特定のエリア間に複数の接続が存在したりします。 3 球体の特性を持つ 3 次元オブジェクトはそれ自体に変換できるため、トポロジストにとってはそれは単なるコピーに見えます。ペレルマンの証明により、3 番目の質問に答えて、既存の 3 多様体をすべて分類することもできます。

3 つの球体を想像するには、かなりの想像力が必要になります (球体の多次元音楽を参照)。幸いなことに、この球体は 2 球体と多くの共通点を持っています。典型的な例は丸い風船のゴムです。球体上のどの点も緯度と経度の 2 つの座標だけで定義されるため、2 次元です。強力な虫眼鏡でそのかなり狭い領域を調べると、それは平らなシートのように見えます。風船の上を這う小さな昆虫にとって、風船は平らな面に見えます。しかし、鼻くそが十分に長く直線的に移動すると、最終的には出発点に戻ります。同様に、私たちは宇宙と同じ大きさの 3 つの球体を「通常の」 3 次元空間として認識します。どの方向にでも十分遠くまで飛んだので、最終的にはその方向を「一周」し、出発点に戻ってくることになります。

ご想像のとおり、n 次元の球は n 球と呼ばれます。たとえば、1-sphere は誰もがよく知っている、単なる円です。

グリゴリー・ペレルマンは、2003 年 4 月にプリンストン大学のセミナーでポアンカレ予想の証明とサーストンの幾何化プログラムの完了を発表しました。

仮説の検証

ポアンカレ予想の問題が本格化するまでに半世紀が経過した。 60年代 XX世紀数学者は、5 次元以上の球体についても彼女と同様のステートメントを証明しました。いずれの場合も、n 球面は実際に唯一かつ最も単純な n 多様体です。奇妙なことに、3 次元球や 4 次元球よりも多次元球の方が結果を得るのが簡単であることが判明しました。 4 次元の証明は 1982 年に現れました。そして、3 球体に関する元のポアンカレ予想だけが未確認のままでした。

2002 年 11 月に、数学研究所サンクトペテルブルク支部の数学者グリゴリーペレルマンが決定的な一歩を踏み出しました。 Steklov 氏は、この記事を Web サイト www.arxiv.org に送信しました。そこでは、世界中の物理学者と数学者が研究結果について議論しています。科学活動。著者は直接言及しなかったが、トポロジストたちはロシアの科学者の研究とポアンカレ予想との関連性をすぐに理解した。 2003 年 3 月、ペレルマンは 2 番目の論文を発表し、その年の春に米国を訪問し、マサチューセッツ工科大学とニューヨーク州立大学ストーニーブルック校でいくつかのセミナーを行いました。主要な研究機関の数学者のいくつかのグループは、提出された研究の詳細な研究を直ちに開始し、間違いを探しました。

レビュー: ポアンカレ仮説の証明

丸一世紀にわたって、数学者たちは、すべての 3 次元オブジェクトの中で 3 球体の例外的な単純さと独自性についてのアンリポアンカレの仮定を証明しようと試みました。
ポアンカレ予想の理論的根拠は、ロシアの若い数学者グリゴリー・ペレルマンの研究の中についに現れました。彼はまた、三次元多様体の分類に関する広範なプログラムを完了しました。
おそらく私たちの宇宙は 3 つの球体の形をしているのでしょう。数学と素粒子物理学および一般相対性理論の間には、他にも興味深いつながりがあります。

ストーニーブルックでは、ペレルマンは 2 週間にわたって数回の講演を行い、1 日あたり 3 ～ 6 時間講演しました。彼は資料を非常にわかりやすく提示し、生じたすべての質問に答えました。最終結果が得られるまでにはまだ小さなステップが残っていますが、それがもうすぐ完了することは間違いありません。最初の記事は読者に根底にあるアイデアを紹介し、完全に検証されたものとみなされます。 2 番目の記事では、応用問題と技術的なニュアンスについて説明します。前作ほどの完全な自信はまだ得られていません。

2000 年に数学研究所にちなんで名付けられました。マサチューセッツ州ケンブリッジのクレイは、7 つのミレニアム問題 (そのうちの 1 つはポアンカレ予想と考えられている) をそれぞれ証明した場合に 100 万ドルの賞金を設定しました。科学者が賞を申請するには、その証明が公開され、2 年間注意深く審査されなければなりません。

ペレルマンの研究は、90 年代に実施された研究プログラムを拡張し、完成させました。前世紀、コロンビア大学のリチャード・S・ハミルトンによる。 2003年末に稼働アメリカの数学者クレイ協会賞を受賞しました。ペレルマンはハミルトンが対処できなかった数々の障害を見事に克服した。

実際、ペレルマンの証明は、その正しさについてまだ誰も疑うことができず、ポアンカレ予想そのものよりもはるかに広範囲の問題を解決します。コーネル大学のウィリアム P. サーストンによって提案された幾何化手順では、その崇高な単純さにおいて独特な、3 球体に基づいた 3 多様体の完全な分類が可能になります。ポアンカレ予想が偽だった場合、つまり球のように単純な空間が多数ある場合、3 多様体の分類は無限に複雑なものになります。ペレルマンとサーストンのおかげで、私たちは宇宙が取り得る三次元空間の数学的に可能なすべての形式の完全なカタログを手に入れました（時間のない空間のみを考慮した場合）。

ゴム製ベーグル

ポアンカレ予想とペレルマンの証明をより深く理解するには、トポロジーを詳しく見る必要があります。この数学分野では、物体の形状は問題ではありません。あたかもそれが、どのようにでも伸ばしたり、圧縮したり、曲げたりできる生地でできているかのように考えられます。なぜ想像上の生地から作られた物や空間について考える必要があるのでしょうか? 実際のところ、オブジェクトの正確な形状、つまりオブジェクトのすべての点の間の距離は、ジオメトリと呼ばれる構造レベルを指します。トポロジーは、テストでオブジェクトを検査することにより、幾何学的構造に依存しないその基本的な特性を特定します。トポロジーを研究することは、特定の個人に変身できる「粘土人間」を見て、人々が持つ最も一般的な特徴を探すことに似ています。

一般的な文献では、トポロジカルな観点から見ると、カップはドーナツと何ら変わらないという陳腐な記述がよくあります。実際、カップ生地は材料を砕くだけでドーナツに変えることができます。何も遮ったり穴を開けたりすることはありません (「表面トポロジー」を参照)。一方、ボールからドーナツを作るには、ボールに穴を開けるか、円筒形に丸めて端を成形する必要があるため、ボールはドーナツではありません。

トポロジストは球面とドーナツ面に最も興味を持っています。したがって、固体の代わりに風船を想像する必要があります。球形の気球はトーラスと呼ばれるリング状の気球に変換できないため、トポロジーは依然として異なります。まず科学者たちは、異なるトポロジーを持つ物体がいくつ存在するのか、そしてそれらをどのように特徴付けることができるのかを解明することにしました。私たちが曲面と呼ぶことに慣れている 2 多様体の場合、答えはエレガントかつシンプルです: すべては「穴」の数、つまりハンドルの数によって決まります (曲面のトポロジーを参照)。 19世紀末。数学者は表面を分類する方法を発見し、それらの中で最も単純なものは球であると判断しました。当然のことながら、トポロジストは 3 多様体について考え始めました。3 球体はその単純さにおいて独特なのでしょうか? 1世紀にわたる答えの探求の歴史には、間違いや欠陥のある証拠がたくさんあります。

アンリ・ポアンカレはこの問題を詳しく取り上げました。彼は、20 世紀初頭の 2 人の最も強力な数学者の 1 人でした。（もう一人はデビッド・ギルバートでした）。彼は最後の普遍主義者と呼ばれ、純粋数学と応用数学の両方のあらゆる分野で成功を収めました。さらに、ポアンカレは、天力学、電磁気理論、科学哲学の発展に多大な貢献をし、それについていくつかの有名な本を書きました。

ポアンカレは代数トポロジーの創始者となり、その手法を使用して 1900 年にホモトピーと呼ばれる物体のトポロジー特性を定式化しました。多様体のホモトピーを決定するには、その中に閉ループを精神的に埋め込む必要があります (曲面のトポロジーを参照)。次に、多様体内でループを移動することによって、ループをある点に縮小することが常に可能かどうかを確認する必要があります。トーラスの場合、答えは否定的になります。トーラスの円周にループを配置した場合、ある点まで締めることはできません。ドーナツの「穴」が邪魔になります。ホモトピーは、ループの縮小を妨げる可能性があるさまざまなパスの数です。

球体の多次元音楽

3 つの球体を想像するのはそれほど簡単ではありません。高次元空間に関する定理を証明する数学者は、研究対象を想像する必要はありません。彼らは、より少ない次元での類推に基づく直観に導かれて、抽象的な性質を扱います (そのような類推は、文字通りに解釈するのではなく、注意して扱う必要があります)。また、より少ない次元のオブジェクトの特性に基づいて、3 球体についても検討します。

1. まずは円とそれを囲む円から見てみましょう。数学者にとって、円は 2 次元の球であり、円は 1 次元の球です。さらに、任意のサイズのボールはスイカを思わせる満たされたオブジェクトであり、球はその表面であり、風船に似ています。円上の点の位置は 1 つの数値で指定できるため、円は 1 次元です。

2. 2 つの円から 2 次元の球を構築し、一方を北半球に、もう一方を南半球に変えることができます。あとはそれらを接着するだけで、2 つの球体の準備が整います。

3. 北極から本初子午線と 180 度子午線で形成される大きな円に沿って這うアリを想像してみましょう (左)。元の 2 つの円 (右側) にその経路をマッピングすると、昆虫が北側の円の端 (a) まで直線 (1) で移動し、境界線を越えて終点に到達することがわかります。対応する点南円そして直線をたどり続けます (2 と 3)。それからアリは再び端に到達し（b）、それを横切り、再び北の円上にいることを発見し、出発点である北極に向かって急いでいます（4）。ご了承ください。世界一周旅行 2 つの球に沿って、ある円から別の円に移動すると、移動の方向が反対に変わります。

4. 次に、2 つの球とそれに含まれるボリューム (3 次元のボール) を考えて、円と円の場合と同じことを行います。ボールのコピーを 2 つ取り、それらの境界を接着します。ボールが 4 次元でどのように歪められ、半球の類似物に変化するかを明確に示すことは不可能であり、その必要もありません。表面上の対応する点、つまり 2 つの球は、円の場合と同じ方法で互いに接続されます。 2 つのボールを接続すると、3 球体、つまり 4 次元のボールの表面が作成されます。 (3 球と 4 球が存在する 4 次元では、物体の表面は 3 次元です。) 一方の球を北半球、もう一方の球を南半球と呼びましょう。円と同様に、極はボールの中心に位置します。

5. 問題のボールが空間の大きな空き領域であると想像してください。宇宙飛行士がロケットで北極から出発したとします。時間が経つと、赤道 (1) に到達し、現在は北のボールを囲む球体になります。それを横切ると、ロケットは南半球に入り、その中心である南極点を通って赤道の反対側まで直線で移動します（2と3）。そこで再び北半球への移行が起こり、旅行者は北極に戻ります。スタート地点(4)へ。これは四次元球面で世界を旅するシナリオだ！考慮される 3 次元の球体は、ポアンカレ予想で言及される空間です。おそらく私たちの宇宙はまさに 3 つの球体です。
この推論を 5 次元に拡張して 4 つの球体を構築することもできますが、これを想像するのは非常に困難です。 2 つの n 球を、それらを囲む (n–1) 球に沿って接着すると、(n+1) 球の境界を接する n 球が得られます。

n 球上では、複雑にねじれたループであっても、いつでもほどいて一点にまとめることができます。 (ループはそれ自体を通過することができます。) ポアンカレは、3 球面が、任意のループを点に縮小できる唯一の 3 次元多様体であると仮定しました。残念ながら、彼は自分の予想を証明することはできませんでしたが、この予想は後にポアンカレ予想として知られるようになりました。過去 100 年にわたって、多くの人が独自のバージョンの証明を提供してきましたが、結局その誤りを確信するだけでした。 (説明を簡単にするため、私は 2 つの特殊なケースを無視しています。いわゆる方向付け不可能な多様体とエッジのある多様体です。たとえば、セグメントが切り取られた球にはエッジがありますが、メビウスのループにはエッジがあるだけではありません。、ただし向きを変えることもできません。)

幾何学化

ペレルマンの 3 多様体解析は幾何化手順と密接に関連しています。幾何学は、生地ではなくセラミックで作られた物体や多様体の実際の形状を扱います。たとえば、カップとドーナツは、表面の湾曲の仕方が異なるため、幾何学的に異なります。カップとドーナツは、異なる幾何学的形状が与えられたトポロジカルトーラスの 2 つの例であると言われています。

ペレルマンが幾何化を使用した理由を理解するには、2 多様体の分類を考えてみましょう。各位相面には、その曲率が多様体全体に均一に分布する固有の幾何学形状が割り当てられます。たとえば、球の場合、これは完全な球面です。トポロジカル球体として考えられるもう 1 つの幾何学形状は卵ですが、その曲率はどこにでも均等に分布しているわけではありません。鋭利な端は鈍い端よりも湾曲しています。

2 多様体は 3 つの幾何学的タイプを形成します (GEOMETRIZATION を参照)。球体は正の曲率を特徴とします。幾何化されたトーラスは平坦で曲率がありません。 2 つ以上の「穴」を持つ他のすべての 2 多様体は負の曲率を持ちます。前後が上向き、左右が下向きに湾曲した鞍に似た面に相当します。ポアンカレは、ポールコーベおよびフェリックスクラインとともに 2 多様体のこの幾何学的分類 (幾何学化) を開発し、クラインの瓶の名前の由来となっています。

同様の方法を 3 多様体にも適用したいという当然の願望があります。それらのそれぞれについて、曲率が品種全体に均等に分布する独自の構成を見つけることは可能でしょうか?

3 次元多様体は 2 次元の多様体よりもはるかに複雑であり、そのほとんどに均一な幾何学形状を割り当てることができないことが判明しました。これらは、8 つの標準ジオメトリの 1 つに対応する部分に分割する必要があります。この手順は、数値を素因数に分解することを思い出させます。

表面トポロジー

トポロジーでは、正確な形式、すなわちジオメトリは関係ありません。オブジェクトは生地で作られているかのように扱われ、伸ばしたり、圧縮したり、ねじったりすることができます。ただし、カットしたり接着したりすることはできません。したがって、コーヒーカップ (左) など、穴が 1 つあるオブジェクトは、ドーナツまたはトーラス (右) と同等です。

球 (a) にハンドルを追加することで、任意の 2 次元多様体または曲面 (コンパクトな方向付け可能なオブジェクトに限定) を作成できます。これを貼り付けて、第 1 種の表面を作成しましょう。トーラスまたはドーナツ (右上)、2 番目のものを追加します。2 番目の種類の表面 (b) が得られます。

2 球面のユニークな点は、その中に埋め込まれた閉ループを点 (a) に縮小できることです。トーラスでは、これは中央の穴 (b) によって防ぐことができます。 2 球体を除くすべての表面には、ループが締め付けられるのを防ぐハンドルがあります。ポアンカレは、3 球体は 3 次元多様体の中で唯一のものであり、その上でのみ、任意のループを点に縮小できると示唆しました。

この分類手順は、70 年代後半にサーストンによって初めて提案されました。前世紀。彼は同僚たちと協力してそのほとんどを実証したが、いくつかの証拠は得られなかった。キーポイント（ポアンカレ予想を含む）彼らの力を超えていることが判明しました。 3球体は独特ですか？この質問に対する信頼できる答えは、ペレルマンの記事で初めて明らかになりました。

多様体を幾何化し、どこでも均一な曲率を与えるにはどうすればよいでしょうか? さまざまな凹凸のある任意の形状を取得し、すべての不規則性を滑らかにする必要があります。 90年代初頭。 XX世紀ハミルトンは、数学者グレゴリオ・リッチ＝クルバストロにちなんで名付けられたリッチ流れ方程式を使用して 3 多様体の解析を開始しました。これは、不均一に加熱された物体内を、その温度がどこでも同じになるまで流れる熱流を記述する熱伝導方程式に似ています。同様に、リッチの流れ方程式は、すべての凸部と凹部の位置合わせにつながるマニホールドの曲率の変化を指定します。たとえば、卵から始めると、徐々に球形になっていきます。

幾何学化

2 多様体を分類するには、均一化または幾何化を使用できます。特定の幾何学形状、つまり剛体を割り当てます。特に、すべての多様体は、その曲率が均一に分布するように変形できます。球 (a) は、一定の正の曲率を持つ独特の形状です。丘の頂上のようにどこでも曲がっています。トーラス (b) は平らにすることができます。あらゆる場所で曲率がゼロになります。これを行うには、カットしてまっすぐにする必要があります。得られた円柱を縦方向に切断し、展開して長方形の平面を形成する必要があります。言い換えれば、トーラスを平面上にマッピングすることができます。タイプ 2 以上 (c) のサーフェスには、一定の負の曲率を与えることができ、そのジオメトリはハンドルの数に依存します。以下は、一定の負の曲率を持つ鞍型のサーフェスです。

3 品種を分類するのははるかに困難です。 3 多様体は複数の部分に分割する必要があり、各部分は 8 つの標準 3 次元幾何形状の 1 つに変換できます。以下の例 (簡単にするために 2 多様体として示しています) 青い色の) は、一定の正の曲率 (a)、ゼロ (b)、および一定の負の曲率 (c) を持つ 3 つのジオメトリ、および 2 つの球と円 (d) および負の曲率を持つ表面の「積」で構成されます。円（e）。

しかし、ハミルトンは特定の困難に直面しました。場合によっては、リッチ流によりマニホールドが圧縮され、無限に薄いネックが形成されることがあります。 (これは熱流とは異なります。ピンチポイントでは温度が無限に高くなります。) 1 つの例は、ダンベル型の多様体です。球体は橋から材料を引き出すことによって成長し、橋は中央の点に向かって先細になっています (「戦闘機能」を参照)。別のケースでは、細いロッドが多様体から突き出ると、リッチ流によっていわゆる葉巻型の特異点が現れます。通常の 3 多様体では、任意の点の近傍は通常の 3 次元空間の一部ですが、これは特異なピンチ点については言えません。ロシアの数学者の研究がこの困難を克服するのに役立ちました。

1992 年に博士論文の弁論を行った後、ペレルマンは米国に到着し、ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校で数学期を過ごし、その後カリフォルニア大学バークレー校で 2 年間過ごしました。彼はすぐに新星としての評判を獲得し、幾何学の分野の 1 つで重要かつ深遠な成果をいくつか得ました。ペレルマンはヨーロッパ数学協会から賞を受賞し（彼は辞退しましたが）、国際数学者会議で講演するという栄誉ある招待を受けました（彼はこれを受け入れました）。

1995 年の春、彼はいくつかの著名な数学機関での職をオファーされましたが、故郷のサンクトペテルブルクに戻ることを選択し、実質的に姿を消しました。長年にわたり、彼の活動を示す唯一の証拠は、元同僚に宛てた、彼らが発表した記事の誤りを指摘する手紙だけだった。彼自身の作品の状況に関する問い合わせには返答がなかった。そして 2002 年末、ペレルマンが数学サーバーに送信した論文について知らせる電子メールを数人が受け取りました。こうして彼のポアンカレ予想への攻撃が始まった。

特徴との戦い

使用しようとしていますリッチ流方程式を使ってポアンカレ予想と 3 多様体の幾何化を証明する際、科学者たちは困難に直面しましたが、グリゴリーペレルマンはそれをなんとか克服しました。リッチフローを使用して 3 多様体の形状を徐々に変化させると、特異点が発生することがあります。たとえば、オブジェクトの一部がダンベルの形状をしている場合 (a)、球間のチューブが点セクションに挟まれ、多様体の特性に違反する可能性があります (b)。いわゆる葉巻型の特徴が現れる可能性もあります。

ペレルマンが見せた、特徴に対して「手術」を実行できること。マニホールドが締め付けられ始めたら、くびれ点の両側の小さなセクションを切り取り (c)、小さな球で切り取った点を覆い、再度 Ricci フローを使用します (d)。再びピンチが発生した場合は、手順を繰り返す必要があります。ペレルマンはまた、葉巻の形の特徴が決して現れないことも証明した。

ペレルマンは、リッチの流れ方程式に新しい項を追加しました。この変更により特殊性の問題は解消されませんでしたが、より詳細な分析が可能になりました。ロシアの科学者は、ダンベル型の多様体に対して「外科的」手術が実行できることを示した。つまり、出現した狭窄部の両側で細い管を切り取り、ボールから突き出ている開いた管を球形のキャップで密閉するというものだ。次に、リッチの流れ方程式に従って「操作された」多様体を変更し続け、出現するすべての狭窄に上記の手順を適用する必要があります。ペレルマン氏はまた、葉巻のような形の特徴は現れないことを示した。したがって、任意の 3 多様体を、均質な形状を持つ部品のセットに縮小することができます。

リッチが流れると「手術」は、考えられるすべての 3 次元多様体に当てはまりますが、それらのいずれかが 3 球面と同じくらい単純である (つまり、同じホモトピーによって特徴付けられる) 場合、必然的に 3 球面と同じ均質幾何学に還元されます。これは、位相幾何学的な観点から、問題の多様体は 3 球体であることを意味します。したがって、3 球体はユニークです。

ペレルマンの論文の価値は、ポアンカレ予想の証明だけでなく、新しい分析方法にもあります。世界中の科学者はすでに、このロシアの数学者によって得られた結果を研究に利用し、彼が開発した手法を他の分野に応用しています。リッチ流は、粒子の衝突エネルギーに応じて相互作用の強さがどのように変化するかを決定する、いわゆる繰り込み群に関連していることが判明しました。たとえば、低エネルギーでは、電磁相互作用の強度は 0.0073 (約 1/137) という数値によって特徴付けられます。しかし、2 つの電子が光速に近い速度で正面衝突すると、その力は 0.0078 に近づきます。物理的な力の変化を記述する数学は、多様体の幾何学化を記述する数学に非常に似ています。

衝突エネルギーを増加させることは、より短い距離での力を研究することと同じです。したがって、繰り込みグループは倍率が可変の顕微鏡に似ており、プロセスを観察することができます。さまざまなレベル詳細を説明します。同様に、Ricci flow は多様体を観察するための顕微鏡です。ある倍率では見える突起や凹みが、別の倍率では見えなくなります。おそらく、プランクの長さスケール (約 $10^(–35)$ m) では、私たちが住んでいる空間は、複雑な位相構造を持つ泡のように見えるでしょう (記事「空間と時間の原子」、「世界の中で」を参照)科学』、第 4 号、2004 年）。さらに、重力の特性と宇宙の大規模構造を記述する一般相対性理論の方程式は、リッチの流れ方程式と密接に関連しています。逆説的ですが、ハミルトンが使用した表現にペレルマンが追加した用語は、重力の量子理論であると主張する弦理論に由来しています。ロシアの数学者の論文の中で、科学者は抽象的な3次元多様体だけでなく、私たちが住んでいる空間についてもさらに多くの有益な情報を見つける可能性があります。

グラハム P. コリンズ博士は、Scientific American の編集者です。ポアンカレの定理の詳細については、www.sciam.com/ontheweb をご覧ください。

追加の文献:

ポアンカレ予想 99 年後: 進捗報告書。ジョン・W・ミルナー。 2003 年 2 月。www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf で入手可能
ジュール・アンリ・ポアンカレ」（伝記）。 2003 年 10 月。www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html で入手可能
ミレニアム問題。クレイ数学研究所: www.claymath.org/millennium/
ペレルマンのリッチフローペーパーに関するメモと解説。ブルース・クライナーとジョン・ロットによって編集されました。 www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html で入手可能
トポロジー。 Mathworld-A Wolfram Web ResourceのEric W. Weisstein。で入手可能

ポアンカレの仮説とロシア人の精神性の特徴。

簡単に言うと、わずか 40 歳の失業中の教授が、人類の最も困難な 7 つの問題の 1 つを解決し、母親とともに市郊外のパネルハウスに住んでおり、すべての数学者が授与する賞を受け取る代わりに、夢の世界で、おまけに100万ドルを手に入れた彼は、邪魔しないでとお願いしてキノコを集めて立ち去った。

さらに詳しく:

http://lenta.ru/news/2006/08/16/perelman/

ポアンカレ予想を証明したグリゴリー・ペレルマン氏は、この功績に対して与えられた数々の賞や賞金を拒否したとガーディアン紙が報じた。ほぼ4年に及ぶ証拠の広範な検討の後、科学界はペレルマンの解決策が正しいと結論付けた。

ポアンカレ予想は、7 つの最も重要な数学的「千年紀の問題」の 1 つであり、そのそれぞれの解法に対して、クレイ数学研究所は 100 万ドルの賞金を授与しました。したがって、ペレルマン氏は賞金を受け取るべきです。ペレルマン氏がこの金を受け取ることを望んでいないことは知られているが、数学者によると、この賞を授与した委員会は彼の研究を評価するのに十分な資格がないとのことだ。

「サンクトペテルブルクで100万ドルを所有するのは安全ではない」と専門家コミュニティは冗談めかして、ペレルマンの異常な行動の別の理由を示唆している。オックスフォード大学の数学教授、ナイジェル・ヒッチン氏はこのことについて新聞に語った。

噂によると、来週、ペレルマンがこの分野で最も栄誉ある国際フィールズ賞を受賞したことが発表される予定だ。金銭的報酬。フィールズ賞は数学的にはノーベル賞に相当すると考えられています。この賞は 4 年ごとに国際数学会議で授与され、受賞者は 40 歳以上である必要があります。 2006年に40歳になるペレルマン氏は、この賞を受け取る機会を失うが、この賞も受け取りたくない。

ペレルマンについて、フォーマルなイベントを避け、称賛されることを好まないことは以前から知られていた。しかし現在の状況では、この科学者の行動は安楽椅子理論家の奇行を超えている。ペレルマン氏はすでに学術活動を辞めており、教授職の職務を遂行することを拒否している。今、彼は生涯をかけて取り組んできた数学への貢献を認められないようにしたいと考えている。

グリゴリー・ペレルマンは、ポアンカレの定理の証明に 8 年間取り組みました。 2002 年に、彼はこの問題の解決策をロスアラモス科学研究所のプレプリント Web サイトに投稿しました。これまで彼は、ほとんどの賞の必須条件である査読付きジャーナルに自分の作品を発表したことがありません。

ペレルマンはソビエト教育の成果の標準的な例と考えることができる。彼は 1966 年にレニングラードで生まれました。彼は今もこの街に住んでいます。ペレルマンは第239専門学校で数学を徹底的に学びました。彼は数え切れないほどのオリンピックで優勝しました。私は試験なしでレニングラード州立大学に数学と力学を専攻しました。レーニン奨学金を受ける。大学卒業後、V.A.ステクロフ数学研究所のレニングラード支部の大学院に入学し、そこで働き続けました。 80年代後半、ペレルマンは米国に移住し、いくつかの大学で教鞭をとり、その後古巣に戻った。

数学研究所があるフォンタンカ沿いのサンクトペテルブルクのムラヴィヨフ伯爵邸宅の状態は、ペレルマンの銀の不足を特に不十分なものにしている。イズベスチヤ新聞の報道によれば、この建物はいつ崩壊して川に落ちる可能性がある、コンピュータ機器（数学者が必要とする唯一の機器）の購入は、さまざまな助成金の助けを借りて賄えるが、慈善団体の準備はまだ整っていない歴史的建造物の修復費用を支払うためです。

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http://www.newsinfo.ru/news/2006/08/news1325575.php

最も困難な科学仮説の 1 つであるポアンカレの定理を証明した隠者の数学者は、問題自体と同様に謎に満ちています。

彼についてはほとんど知られていない。私は学校オリンピックの成績をもとに入学し、レーニン奨学金を受け取りました。サンクトペテルブルクの特別学校第239号では、彼は有名な教科書「面白い物理学」の著者ヤコフ・ペレルマンの息子として記憶されています。グリシャ・ペレルマンの写真 - ロバチェフスキーやライプニッツとともに偉人の一員。

「彼は体育だけはとても優秀な生徒でした…そうでなければメダルがあったでしょう」と彼の教師であり物理数学ライセウム239の所長であるタマラ・エフィモワ氏はチャンネル・ワンのインタビューで回想している。

彼は常に純粋な科学を支持し、形式的なものには反対していた。これはペレルマンの元学校教師の言葉である。ペレルマンは、8年間の探索を通じて連絡を取り続けた数少ない人物の一人である。彼が言うように、その数学者は論文やレポートを書かなければならなかったために仕事を辞めなければならず、ポアンカレはすべての時間を費やしました。数学が最初です。

ペレルマンは人生の 8 年間を費やして、7 つの解けない数学的問題のうちの 1 つを解決しました。彼は屋根裏部屋のどこかで一人で密かに働いていました。彼は家で自活するためにアメリカで講演した。彼は仕事を辞めたため、本来の目的から気が散り、電話にも出ず、報道陣ともコミュニケーションをとらなかった。

7 つの数学的不可能な問題のうち 1 つを解決すると 100 万ドルが授与され、これは数学者に対するノーベル賞であるフィールズ賞です。グリゴリー・ペレルマンが受賞の主な候補者となった。

科学者はそれを知っていますが、どうやら彼は明らかに通貨認識に興味がありません。同僚によると、彼は賞の書類さえ提出しなかったという。

「私が理解しているように、グリゴリー・ヤコブレヴィチ自身は100万人についてまったく気にしていません。実際、これらの問題を解決できる人々は、ほとんどが働かない人々です」とロシア科学アカデミーの学者イルダール・イブラギモフは言う。このお金のせいで、私はまったく別のことを心配することになるでしょう。」

ペレルマンは、3 年前に初めてポアンカレ予想に関する研究をインターネット上で公開しました。おそらく作品ではなく、39ページのスケッチだろう。彼は詳細な証拠を伴うより詳細な報告書を書くことに同意していない。ペレルマンを探すために特別にサンクトペテルブルクに来た世界数学協会の副会長でさえ、これを行うことができなかった。

過去 3 年間、フィールズ賞の規定で要求されているペレルマンの計算の誤りを発見できた人は一人もいませんでした。 Q.E.D.

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http://elementy.ru/news/430288

ポアンカレ予想の証明プロセスは現在、最終段階に入っているようだ。 3 つの数学者グループがついにグリゴリーペレルマンのアイデアを解明し、過去数か月にわたって、この仮説の完全な証明のバージョンを発表しました。

1904 年にポアンカレによって定式化された予想では、球と等価的に等価な 4 次元空間内のすべての 3 次元表面は球と同相であると述べられています。話し中簡単な言葉で言うと, 三次元の表面が球にある程度似ている場合、それをまっすぐにすると、それは球にしかならず、それ以外の何ものにもなりません。この予想とその証明の歴史の詳細については、Computra 誌の人気記事「2000 年の問題: ポアンカレの予想」を参照してください。

ポアンカレ予想の証明については、数学研究所。クレイは賞金 100 万ドルを獲得しましたが、これは驚くべきことかもしれません。結局のところ、私たちは非常に個人的な、興味のない事実について話しているのです。実際、数学者にとって重要なことは、3 次元表面の性質というよりも、証明自体が難しいという事実です。この問題は、幾何学とトポロジーに関する以前の既存のアイデアと方法を使用して証明できなかったことを集中形式で定式化します。これにより、「新世代」のアイデアの助けを借りてのみ解決できる問題の層を、より深いレベルで見ることができます。

フェルマーの定理の場合と同様に、ポアンカレ予想は、任意の 3 次元表面の幾何学的性質に関するより一般的な記述、サーストンの幾何化予想の特殊なケースであることが判明しました。この特定のケースを解決するだけでなく、そのような問題に対処できる新しい数学的アプローチを構築する必要があります。

この画期的な発見は、2002 年から 2003 年にかけてロシアの数学者グリゴリーペレルマンによって達成されました。彼の 3 つの記事 math.DG/0211159、 math.DG/0303109、 math.DG/0307245 では、多くの新しいアイデアを提案し、1980 年代に Richard Hamilton によって提案された手法を開発し、完成させました。ペレルマンは著書の中で、自分が構築した理論によってポアンカレ予想だけでなく幾何化仮説も証明できると主張しています。

この方法の本質は、幾何学的オブジェクトに対して、理論物理学における繰り込み群の方程式と同様の「滑らかな進化」の方程式を定義できることです。最初の表面はこの進化中に変形し、ペレルマンが示したように、最終的には滑らかに球体に変化します。このアプローチの強みは、すべての中間瞬間を回避して、進化のまさに終わりにある「無限」を即座に見つめ、そこに球体を発見できることです。

ペレルマンの作品は陰謀の始まりとなった。彼が開発した記事の中で、一般理論そして、ポアンカレ予想だけでなく幾何化仮説の証明の重要なポイントを概説しました。ペレルマンは、両方の仮説を証明したと主張したが、すべての詳細について完全な証拠を提供したわけではない。また、2003 年には、ペレルマンは一連の講演で米国をツアーし、その中で聴衆からの技術的な質問に明確かつ詳細に答えました。

ペレルマンのプレプリントが出版された直後、専門家は彼の理論の要点をチェックし始めたが、まだ一つの誤りも見つかっていない。さらに、過去数年にわたって、いくつかの数学者チームがペレルマンによって提案されたアイデアを吸収することができ、完全な証明を「明確な形で」書き留め始めました。

2006 年 5 月に、B. Kleiner、J. Lott による論文、math.DG/0605667 が発表され、ペレルマンの証明で省略された点の詳細な導出が示されました。 (ちなみに、これらの著者は、ペレルマンの記事と関連著作を専門に扱う Web ページを維持しています。)

その後、2006 年 6 月に、アジア数学ジャーナルは、中国の数学者 Huai-Dong Cao と Xi-Ping Zhu による「ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明 - リッチのハミルトン・ペレルマン理論の応用」と題する 327 ページの論文を発表しました。流れ。" 著者自身は完全に新しい証明を持っているとは主張しておらず、ペレルマンのアプローチが実際に機能すると主張しているだけです。

最後に、先日、J. W. モーガン、G. ティアン、math.DG/0607607 による 473 ページの記事 (あるいはすでに本になっているのでしょうか?) が掲載されました。その中で著者たちは、ペレルマンの足跡をたどって、次のように述べています。ポアンカレ予想の証明 (より一般的な幾何化仮説ではありません)。ジョン・モーガンはこの問題の主要な専門家の一人とみなされており、彼の著作の出版後、ポアンカレ予想が最終的に証明されたと考えられるようです。

ところで、興味深いことに、中国人の数学者による論文は当初、価格69ドルの紙版でのみ配布されていたため、誰もがそれを見る機会があったわけではありませんでした。しかし、モーガン・ティアンの論文がプレプリントアーカイブに掲載された翌日、アジア数学ジャーナルのウェブサイトも掲載されました。電子版記事。

時間が経てば、ペレルマンの証拠のどちらがより正確で透明性を高められるかがわかるだろう。フェルマーの定理のように、今後数年のうちにそれがより単純になる可能性があります。これまでのところ、ペレルマンの 30 ページの記事からモーガンとティアンの分厚い本まで、出版物の量が増加しているだけですが、これは証明の複雑さによるものではなく、より詳細な導出によるものです。すべての中間ステップの。

それまでの間、予想の最終的な証明と、おそらく誰がクレイ研究所賞を授与するかは、今年8月にマドリードで開催される国際数学者会議で「正式に」発表される予定だ。さらに、グリゴリー・ペレルマンがフィールズ賞メダリスト4人のうちの1人になるという噂もある。最高位の記号若い数学者にとっての違い。

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