入り口BCから飛行機までの距離。 点から平面までの距離。 例を含む詳細な理論
バックフォワード
注意！ スライド プレビューは情報提供のみを目的としており、プレゼンテーションのすべての機能を表しているわけではありません。 この作品に興味があれば、ぜひ完全版をダウンロードしてください。
目標:
- 学生の知識とスキルの一般化と体系化。
- 分析し、比較し、結論を引き出すスキルの開発。
装置：
- マルチメディアプロジェクター。
- コンピューター;
- 問題文が書かれたシート
クラスの進歩
I. 組織化の瞬間
II. 知識の更新段階(スライド 2)
点から平面までの距離がどのように決定されるかを繰り返します
Ⅲ． 講義(スライド 3 ～ 15)
授業で見ていきます さまざまな方法点から平面までの距離を求めること。
最初の方法: 段階的な計算
点 M から平面 α までの距離:
– 点 M を通り、平面 α に平行な直線 a 上にある任意の点 P から平面 α までの距離に等しい。
– は、点 M を通り、平面 α に平行な平面 β 上の任意の点 P から平面 α までの距離に等しい。
次の問題を解決します。
№1. 立方体 A...D 1 で、点 C 1 から平面 AB 1 C までの距離を求めます。
セグメント O 1 N の長さの値を計算することが残っています。
№2. すべての辺が 1 に等しい正六角柱 A...F 1 において、点 A から平面 DEA 1 までの距離を求めます。
次の方法: ボリューム法.
ピラミッド ABCM の体積が V に等しい場合、点 M から ΔABC を含む平面 α までの距離は、式 ρ(M; α) = ρ(M; ABC) = によって計算されます。
問題を解くとき、私たちは 2 つの数字で表される 1 つの図形の体積の等しいことを使用します。 違う方法.
次の問題を解いてみましょう。
№3. ピラミッド DABC のエッジ AD は、ベース平面 ABC に対して垂直です。 A からエッジ AB、AC、AD の中点を通る平面までの距離を求めます。
問題を解決するとき 座標法点 M から平面 α までの距離は、式 ρ(M; α) = を使用して計算できます。 
ここで、M(x 0; y 0; z 0)、平面は方程式 ax + by + cz + d = 0 で与えられます。
次の問題を解いてみましょう。
№4. 単位立方体 A...D 1 で、点 A 1 から平面 BDC 1 までの距離を求めます。
点 A を原点とし、y 軸はエッジ AB に沿って、x 軸はエッジ AD に沿って、z 軸はエッジ AA 1 に沿った座標系を導入しましょう。 次に、点の座標 B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
点 B、D、C 1 を通過する平面の方程式を作成しましょう。
したがって、 – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0 となります。したがって、ρ = 
次の方法を使用して問題を解決できます このタイプの – 問題のサポート方法。
この方法の応用は、定理として定式化された既知の参照問題を使用することにあります。
次の問題を解いてみましょう。
№5. 単位立方体 A...D 1 において、点 D 1 から平面 AB 1 C までの距離を求めます。
応用を考えてみましょう ベクトル法。
№6. 単位立方体 A...D 1 で、点 A 1 から平面 BDC 1 までの距離を求めます。
そこで、この種の問題を解決するために使用できるさまざまな方法を検討しました。 どちらの方法を選択するかは、特定のタスクと好みによって異なります。
IV. グループワーク
さまざまな方法で問題を解決してみてください。
№1. 立方体のエッジ A...D 1 は に等しい。 頂点 C から平面 BDC 1 までの距離を求めます。
№2. 辺のある正四面体ABCDにおいて、点Aから平面BDCまでの距離を求めます。
№3. すべての辺が 1 に等しい正三角柱 ABCA 1 B 1 C 1 において、A から平面 BCA 1 までの距離を求めます。
№4. すべての辺が 1 に等しい正四角錐 SABCD において、A から平面 SCD までの距離を求めます。
V. レッスンの概要、 宿題、 反射
説明書
からの距離を求めるには ポイント前に 飛行機記述メソッドの使用: オンを選択 飛行機任意の点; それを通る2本の直線を引きます（この中にあります） 飛行機); ～に垂直に復元する 飛行機この点を通過します（両方の交差線に垂直な線を同時に作成します）。 与えられた点を通る構築された垂線に平行な直線を描きます。 この線と平面の交点と指定された点の間の距離を求めます。
位置が ポイント 3次元座標と位置によって与えられます。 飛行機 – 一次方程式、からの距離を求めます 飛行機前に ポイント、解析幾何学の方法を使用します。座標を示します。 ポイントそれぞれ x、y、z まで (x – 横座標、y – 縦座標、z – 適用)。 方程式を A、B、C、D で表す 飛行機(A – 横軸のパラメータ、B – のパラメータ、C – アプリケーションのパラメータ、D – 自由項); ～からの距離を計算する ポイント前に 飛行機式によると、s = | (Ax+By+Cz+D)/√(A²+B²+C²) |、s は点と平面の間の距離です。|| - 絶対値(またはモジュール)。
例: 座標 (2, 3, -1) の点 A と平面の間の距離を求めます。 方程式で与えられる: 7x-6y-6z+20=0. 解. 条件から次のようになります: x=2,y=3,z=-1,A=7,B=-6,C=-6,D=20これらの値を上記に代入すると、次のようになります。 (7*2+(-6)*3+(-6)*(-1)+20)/√(7²+(-6)²+(-6)²) | = | (14-18+6+20)/11 | = 2.答え: 距離から ポイント前に 飛行機 2 (任意の単位) に相当します。
ヒント 2: 点から平面までの距離を決定する方法
からの距離の決定 ポイント前に 飛行機- 学校の面積測定の一般的なタスクの 1 つ。 知られているように、最小のものは 距離から ポイント前に 飛行機ここから垂線が引かれます ポイントこれに 飛行機。 したがって、この垂線の長さは、からの距離と見なされます。 ポイント前に 飛行機.
必要になるだろう
- 平面方程式
説明書
平行線 f1 の最初のものが方程式 y=kx+b1 で与えられるとします。 式を一般形式に変換すると、kx-y+b1=0、つまり A=k、B=-1 が得られます。 その法線は n=(k, -1) になります。
ここで、f1 上の点 x1 の任意の横座標に従います。 すると縦軸は y1=kx1+b1 となります。
2 番目の平行線 f2 の方程式を次の形式とします。
y=kx+b2 (1)、
ここで、k は両方のラインで平行であるため、同じです。
次に、点 M (x1, y1) を含む、f2 と f1 の両方に垂直な直線の正準方程式を作成する必要があります。 この場合、x0=x1、y0=y1、S=(k,-1)とする。 結果として、次の等価性が得られるはずです。
(x-x1)/k =(y-kx1-b1)/(-1) (2)。
式 (1) と (2) からなる連立方程式を解くと、平行な点間の必要な距離 N(x2, y2) を決定する 2 番目の点が見つかります。 必要な距離自体は d=|MN|=((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)^1/2 と等しくなります。
例。 平面上の与えられた平行線の方程式を f1 – y=2x +1 (1) とします。
f2 – y=2x+5 (2)。 f1 上の任意の点 x1=1 を取ります。 すると、y1=3となります。 したがって、最初の点の座標は M (1,3) になります。 一般垂直方程式 (3):
(x-1)/2 = -y+3 または y=-(1/2)x+5/2。
この y 値を (1) に代入すると、次のようになります。
-(1/2)x+5/2=2x+5、(5/2)x=-5/2、x2=-1、y2=-(1/2)(-1) +5/2= 3.
垂線の 2 番目の底辺は、座標 N (-1, 3) の点にあります。 平行線間の距離は次のようになります。
d=|MN|=((3-1)^2+(3+1)^2)^1/2=(4+16)^1/2=4.47。
出典:
- 肺の発達ロシアの陸上競技
平面または立体的なものの上面 幾何学模様空間内の座標によって一意に決定されます。 同様に、同一座標系上の任意の点も一意に決まるので、この任意の点と図形の頂点との距離を計算することができる。
必要になるだろう
- - 紙;
- - ペンまたは鉛筆。
- - 電卓。
説明書
問題で指定された点の座標と幾何学的図形の頂点がわかっている場合は、問題を 2 点間の線分の長さを求める問題に縮小します。 この長さは、座標軸上のセグメントの投影に関するピタゴラスの定理を使用して計算できます。これは次と等しくなります。 平方根すべての投影の長さの二乗の合計から。 たとえば、座標 (X2;Y2;Z2) を持つ任意の幾何学的図形の点 A(X1;Y1;Z1) と頂点 C が 3 次元座標系で与えられるとします。 この場合、それらの間の線分の座標軸への投影の長さは X1-X2、Y1-Y2、Z1-Z2 となり、線分の長さは √((X1-X₂)²+(Y1-Y₂) となります。 )²+(Z₁-Z₂)² )。 たとえば、点の座標が A(5;9;1) で、頂点が C(7;8;10) の場合、頂点間の距離は √((5-7)²+ に等しくなります。 (9-8)²+(1- 10)²) = √(-2²+1²+(-9)²) = √(4+1+81) = √86 ≈ 9.274。
頂点の座標が問題条件に明示的に示されていない場合は、最初に頂点の座標を計算します。 具体的な方法は、Figure の種類と既知の追加パラメータによって異なります。 たとえば、3 つの頂点 A(X₁;Y₁;Z₁)、B(X₂;Y₂;Z₂)、および C(X₃;Y₃;Z₃) の 3 次元座標が既知の場合、その 4 番目の頂点 (反対側) の座標は次のようになります。頂点 B まで) は (X3+X2-X1; Y3+Y2-Y1; Z3+Z2-Z1) となります。 失われた頂点の座標を決定した後、その頂点と任意の点の間の距離の計算は、与えられた座標系におけるこれら 2 つの点間のセグメントの長さを決定することになります。これは、「」で説明したのと同じ方法で行います。一つ前の手順。 たとえば、このステップで説明した平行四辺形の頂点と座標 (X4;Y4;Z4) の点 E の場合、前のステップからの距離を計算する式は次のようになります。 √((X3+X2-X1- X₄)²+(Y₃+Y₂-Y₁-Y₄)²+(Z₃+Z₂-Z₁-Z₄)²)。
実際の計算には、たとえば組み込みの 検索エンジングーグル。 したがって、前のステップで取得した式を使用して、座標 A(7;5;2)、B(4;11;3)、C(15;2;0)、E(7; 9; 2)、検索クエリ「sqrt((15+4-7-7)^2+(2+11-5-9)^2+(0+3-2-2)^2)」を入力します。 検索エンジンが計算し、計算結果 (5.19615242) を表示します。
トピックに関するビデオ
回復 垂直に 飛行機- の一つ 重要なタスク幾何学では、多くの定理や証明の基礎となります。 垂直な線を作成するには 飛行機、いくつかの手順を順番に実行する必要があります。
必要になるだろう
- - 与えられた平面;
- - 垂線を引く点。
- - 方位磁針;
- - 定規。
- - 鉛筆。
デカルト座標系の平面は、方程式 `Ax + By + Cz + D = 0` によって指定できます。ここで、数値 `A`、`B`、`C` の少なくとも 1 つは非ゼロです。 点 `M (x_0;y_0;z_0)` を与えて、そこから平面 `Ax + By + Cz + D = 0` までの距離を求めてみましょう。
点「M」を通る直線とします。 平面「alpha」に垂直で、点「K」で交差します。 座標 `(x; y; z)` を使用します。 ベクトル「vec(MK)」 ベクトル `vecn` `(A;B;C)` と同様に、 `alpha` 平面に垂直です。 つまり、ベクトル `vec(MK)` と `vecn` 同一直線上にある、 `vec(MK)= λvecn`。
`(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` 以来 そして `vecn(A,B,C)`、次に `x-x_0=lambdaA`、`y-y_0=lambdaB`、`z-z_0=lambdaC` となります。
点「K」 「アルファ」平面にあります (図6)、その座標は平面の方程式を満たします。 `x=x_0+lambdaA`、`y=y_0+lambdaB`、`z=z_0+lambdaC` を方程式 `Ax+By+Cz+D=0` に代入すると、次のようになります。
`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,
ここで、「lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)」となります。
ベクトル `vec(MK)` の長さを求めます。 これは点 `M(x_0;y_0;z_0)` からの距離に等しい 平面 `Ax + By + Cz + D` `|vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)` へ。
したがって、点「M(x_0;y_0;z_0)」から平面「Ax + By + Cz + D = 0」までの距離「h」は次のようになります。
`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`。
点 `A` から平面 `alpha` までの距離を求める幾何学的な方法を使用して、点 `A` から平面 `alpha` まで下ろした垂線 `A A^"` の底辺を見つけます。 "` は問題で指定された平面 `alpha` の断面の外側にあり、点 `A` を通って直線 `c` を描きます。 平面に平行`alpha` を選択し、その上のより便利な点 `C` を選択します。その正射影は `C^"` です。 は「アルファ」平面のこのセクションに属します。 セグメント `C C^"` の長さ点「A」からの必要な距離に等しくなります「アルファ」平面へ.
すべての辺が「1」に等しい正六角柱「A...F_1」において、点「B」から平面「AF F_1」までの距離を求めます。
「O」をプリズムの下底の中心とします（図7）。 直線「BO」は直線「AF」と平行であるため、点「B」から平面「AF F_1」までの距離は、点「O」から平面「AF F_1」までの距離「OH」に等しくなります。飛行機「AF F_1」。 三角形 `AOF` には `AO=OF=AF=1` があります。 この三角形の高さ `OH` は `(sqrt3)/2` です。 したがって、必要な距離は「(sqrt3)/2」となります。
別の方法を示しましょう （補助ボリューム方式）点から平面までの距離を求めること。 ピラミッドの体積は「V」であることが知られています。 、そのベース「S」の面積高さの長さ `h`は、式「h=(3V)/S」によって関係付けられます。 しかし、ピラミッドの高さの長さは、その頂点から底辺の平面までの距離に他なりません。 したがって、点から平面までの距離を計算するには、この点に頂点があり、底面がこの平面内にあるピラミッドの底面の体積と面積を見つけるだけで十分です。
正角柱「A...D_1」が与えられ、その中で「AB=a」、「A A_1=2a」となります。 ベース「A_1B_1C_1D_1」の対角線の交点から平面「BDC_1」までの距離を求めます。
四面体「O_1DBC_1」を考えてみましょう (図 8)。 必要な距離「h」は、点「O_1」から面「BDC_1」の平面まで降ろした、この四面体の高さの長さです。 。 それを見つけるには、ボリューム「V」を知るだけで十分です四面体 `O_1DBC_1` とエリア 三角形 `DBC_1`. それらを計算してみましょう。 直線 `O_1C_1` に注意してください 平面「O_1DB」に垂直, `BD`に垂直だからそして「B B_1」 。 これは、四面体の体積が「O_1DBC_1」であることを意味します。 等しい
この記事では、点から平面までの距離の決定について説明します。 からの距離を見つけることができる座標メソッドを分析しましょう。 与えられたポイント三次元空間。 これを強化するために、いくつかのタスクの例を見てみましょう。
Yandex.RTB R-A-339285-1
点から平面までの距離は、点から点までの既知の距離によって求められます。一方は与えられ、もう一方は与えられた平面への投影です。
空間内に平面 χ を持つ点 M 1 を指定すると、その点を通るように描画できます。 平面に垂直な直接。 H 1 はそれらの共通の交点です。 これから、線分 M 1 H 1 は点 M 1 から平面 χ に引いた垂線であり、点 H 1 が垂線の底辺であることがわかります。
定義 1
与えられた点から、与えられた点から引いた垂線の底辺までの距離を次のように呼びます。 与えられた平面.
定義はさまざまな形式で記述することができます。
定義 2
点から面までの距離指定された点から指定された平面に引かれた垂線の長さです。
点 M 1 から χ 平面までの距離は次のように決定されます。点 M 1 から χ 平面までの距離は、任意の点から平面上の任意の点までの距離が最小になります。 点 H 2 が χ 平面内にあり、点 H 2 と等しくない場合、次のようになります。 直角三角形タイプ M 2 H 1 H 2 、長方形で、脚 M 2 H 1、M 2 H 2 があります。 – 斜辺。 これは、M 1 H 1 が成り立つことを意味します。< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 点 M 1 から平面 χ に描かれた は傾斜していると見なされます。 与えられた点から平面に引かれた垂線が、その点から与えられた平面に引かれた垂線よりも小さいことがわかります。 このケースを下の図で見てみましょう。
点から面までの距離 - 理論、例、解決策
いくつかあります 幾何学的な問題、その解には点から平面までの距離が含まれている必要があります。 これを識別するにはさまざまな方法があるかもしれません。 解決するには、ピタゴラスの定理または三角形の相似を使用します。 条件に応じて、三次元空間の直交座標系で与えられた点から平面までの距離を計算する必要がある場合、座標法で解きます。 この段落ではこの方法について説明します。
問題の条件によれば、平面 χ を持つ座標 M 1 (x 1, y 1, z 1) の 3 次元空間上の点が与えられ、M 1 から M 1 までの距離を求める必要があります。平面χ。 この問題を解決するには、いくつかの解決方法が使用されます。
最初の方法
この方法は、点 M 1 から平面 χ への垂線の底辺である点 H 1 の座標を使用して、点から平面までの距離を求めることに基づいています。 次に、M 1 と H 1 の間の距離を計算する必要があります。
2 番目の方法で問題を解決するには、特定の平面の正規方程式を使用します。
第二の方法
条件により、H 1 は点 M 1 から平面 χ まで下げた垂線の底辺であることがわかります。 次に、点 H 1 の座標 (x 2, y 2, z 2) を決定します。 M 1 から χ 平面までの必要な距離は、式 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 で求められます。ここで、M 1 (x 1、y 1、z 1) および H 1 (x 2、y 2、z 2)。 これを解くには、点 H 1 の座標を知る必要があります。
H 1 は、χ 平面に垂直に位置する点 M 1 を通る直線 a と χ 平面の交点であることがわかります。 したがって、与えられた平面に垂直な与えられた点を通過する直線の方程式を作成する必要があります。 このとき、点 H 1 の座標を決定できるようになります。 直線と平面の交点の座標を計算する必要があります。
座標 M 1 (x 1, y 1, z 1) の点から χ 平面までの距離を求めるアルゴリズム:
定義 3
- 点M 1 を通り、同時に直線aの方程式を立てます。
- χ 平面に垂直。
- 点 H 1 の座標 (x 2 、y 2 、z 2) を見つけて計算します。
- 線aと平面χの交点。
- 式 M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 を使用して、M 1 から χ までの距離を計算します。
第三の道
与えられた直交座標系 O x y z に平面 χ があり、cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 の形式の平面の正規方程式が得られます。 ここから、平面 χ に描かれた点 M 1 (x 1 , y 1 , z 1) との距離 M 1 H 1 が次の式で計算されます。 M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γz-p. この公式は定理のおかげで確立されたものであるため、有効です。
定理
点 M 1 (x 1, y 1, z 1) が 3 次元空間で与えられ、cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 の形式の平面 χ の正規方程式を持つ場合、次に、点から平面までの距離 M 1 H 1 を計算します。x = x 1、y = y 1 であるため、式 M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p から得られます。 、z = z 1。
証拠
定理の証明は、点から線までの距離を求めることに帰着します。 これから、M 1 から χ 平面までの距離は、動径ベクトル M 1 の数値投影と原点から χ 平面までの距離との差の係数であることがわかります。 次に、式 M 1 H 1 = n p n → O M → - p が得られます。 平面 χ の法線ベクトルの形式は n → = cos α、cos β、cos γ で、その長さは 1 に等しく、n p n → O M → はベクトル O M → = (x 1, y 1) の数値投影です。 、z 1) ベクトル n → によって決定される方向に。
スカラー ベクトルを計算するための公式を適用してみましょう。 次に、 n → = cos α 、 cos β 、 cos γ であるため、 n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → という形式のベクトルを求める式が得られます。 · z および O M → = (x 1 , y 1 , z 1) 。 座標形式で書くと、 n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 となり、M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x となります。 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p 。 定理は証明されました。
ここから、点 M 1 (x 1, y 1, z 1) から平面 χ までの距離は、cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 を代入することで計算されることがわかります。 x、y、z 座標の代わりに平面の正規方程式の左辺 x 1、y 1、および z1、点Ｍ １ に関して、得られた値の絶対値を取る。
座標のある点から指定された平面までの距離を求める例を見てみましょう。
例1
座標 M 1 (5, - 3, 10) の点から平面 2 x - y + 5 z - 3 = 0 までの距離を計算します。
解決
2 つの方法で問題を解決しましょう。
最初の方法は、直線 a の方向ベクトルを計算することから始まります。 条件により、与えられた方程式 2 x - y + 5 z - 3 = 0 は平面の方程式であることがわかります。 一般的な見解、n → = (2, - 1, 5) は、指定された平面の法線ベクトルです。 与えられた平面に垂直な直線aの方向ベクトルとして使用されます。 座標 2, - 1, 5 の方向ベクトルで M 1 (5, - 3, 10) を通過する空間内の線の正準方程式を書き留める必要があります。
x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 となります。
交点を決定する必要があります。 これを行うには、方程式を 1 つのシステムに穏やかに組み合わせて、正規方程式から 2 つの交差する直線の方程式に移行します。 この点を H 1 とします。 それはわかります
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
その後、システムを有効にする必要があります
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
ガウス システムの解法則に目を向けましょう。
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ～ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ～ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0、y = - 1 10 10 + 2 z = - 1、x = - 1 - 2 y = 1
H 1 (1, - 1, 0) が得られます。
与えられた点から平面までの距離を計算します。 点 M 1 (5, - 3, 10) と H 1 (1, - 1, 0) を取得して、次の結果を取得します。
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
2 番目の解決策は、まず指定された方程式 2 x - y + 5 z - 3 = 0 を正規形にすることです。 正規化係数を決定し、1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 を取得します。 ここから、平面の方程式 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 を導き出します。 方程式の左辺は、x = 5、y = - 3、z = 10 を代入して計算されます。M 1 (5, - 3, 10) から 2 x - y + 5 z - までの距離を求める必要があります。 3 = 0 モジュロ。 次の式が得られます。
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
答え: 2 30。
平面の指定方法の項のいずれかの方法で χ 平面を指定する場合は、まず χ 平面の方程式を求め、任意の方法で必要な距離を計算する必要があります。
例 2
3次元空間において、座標M 1 (5, - 3, 10)、A (0, 2, 1)、B (2, 6, 1)、C (4, 0, - 1)の点を指定します。 M 1 から平面 A B C までの距離を計算します。
解決
まず、指定された 3 点を通る平面の方程式を書き留める必要があります。座標は M 1 (5, - 3, 10)、A (0, 2, 1)、B (2, 6, 1)、C ( 4、0、-1) 。
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
したがって、この問題には前の問題と同様の解決策があることがわかります。 これは、点 M 1 から平面 A B C までの距離の値が 2 30 であることを意味します。
答え: 2 30。
平面上の特定の点、またはそれらが平行な平面までの距離を求めるには、式 M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p を適用すると便利です。 。 これから、平面の正規方程式がいくつかのステップで得られることがわかります。
例 3
座標 M 1 (- 3, 2, - 7) の指定された点から、座標平面 O x y z および方程式 2 y - 5 = 0 で与えられる平面までの距離を求めます。
解決
座標平面 O y z は、x = 0 の形式の方程式に対応します。 O y z 平面の場合は正常です。 したがって、式の左辺に値 x = - 3 を代入し、座標 M 1 (- 3, 2, - 7) の点から平面までの距離の絶対値を取得する必要があります。 - 3 = 3 に等しい値が得られます。
変換後、平面 2 y - 5 = 0 の正規方程式は y - 5 2 = 0 の形式になります。 次に、座標 M 1 (- 3, 2, - 7) の点から平面 2 y - 5 = 0 までの必要な距離を見つけることができます。 代入して計算すると、2 - 5 2 = 5 2 - 2 となります。
答え： M 1 (- 3, 2, - 7) から O y z までの必要な距離は 3 の値を持ち、2 y - 5 = 0 までの必要な距離は 5 2 - 2 の値を持ちます。
テキスト内のエラーに気付いた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。
オンライン計算機。
点から平面までの距離を計算する
このオンライン計算機は、次の形式で指定された点から平面までの距離を計算します。 一般方程式飛行機：
$$ アクス+バイ+Cz+D=0 $$
点から平面までの距離を計算するオンライン計算機は、問題に対する答えを与えるだけでなく、 詳細な解決策説明付き、つまり 数学や代数学の知識をテストするための解決プロセスを表示します。
このオンライン計算機は高校生に役立つかもしれません 中学校に備えて テスト統一州試験の前に知識をテストする試験では、保護者が数学や代数学の多くの問題の解決策を管理することができます。 それとも、家庭教師を雇ったり、新しい教科書を購入したりするには高すぎるのでしょうか? それとも、数学や代数の宿題をできるだけ早く終わらせたいだけですか? この場合、詳細な解決策を備えた当社のプログラムを使用することもできます。
このようにして、独自のトレーニングや自分のトレーニングを実施できます。 弟たち解決されている問題の分野での教育レベルが向上します。
私たちの オンライン計算機問題への答えを与えるだけでなく、解決プロセスを段階的に表示します。 その結果、点から面までの距離を求める問題を解く過程が理解できるようになります。
数値入力のルールに慣れていない場合は、よく理解しておくことをお勧めします。
数字の入力ルール
数値は整数または小数として入力できます。
さらに、 小数小数だけでなく普通の分数でも入力できます。
小数部を入力するときのルール。
小数部では、小数部と整数部をピリオドまたはカンマで区切ることができます。
たとえば、次のように入力できます。 小数このように: 2.5 またはこのように 1.3
普通の分数を入力するときのルール。
分数の分子、分母、および整数部分として機能できるのは整数だけです。
分母を負にすることはできません。
分数を入力する場合、分子は除算記号によって分母から区切られます。 /
入力: -2/3
結果: \(-\frac(2)(3)\)
全体部分はアンパサンド記号によって分数から区切られます。 &
入力: -1&5/7
結果: \(-1\frac(5)(7)\)
この問題を解決するために必要な一部のスクリプトが読み込まれていないため、プログラムが動作しない可能性があることが判明しました。
AdBlock が有効になっている可能性があります。
この場合は、無効にしてページを更新してください。
解決策を表示するには、JavaScript を有効にする必要があります。
ここでは、ブラウザで JavaScript を有効にする方法について説明します。
なぜなら 問題を解決したい人はたくさんいます。あなたのリクエストはキューに入れられています。
数秒以内に解決策が下に表示されます。
お待ちください 秒...
もし、あんたが ソリューションの間違いに気づきました、これについてフィードバック フォームに記入できます。
忘れてはいけない どのタスクを指定するかあなたが何を決めるか フィールドに入力します.
当社のゲーム、パズル、エミュレーター:
ちょっとした理論。
法線平面方程式。 点から平面までの距離。
直交座標系 Oxyz と任意の平面 \(\pi \) が与えられるとします (図を参照)。 
原点を通り、平面 \(\pi\) に垂直な直線を引きましょう。 それを正常と呼びましょう。 法線が平面 \(\pi\) と交差する点を P で表すことにします。 法線上で、点 O から点 P への方向を導入します。点 O と点 P が一致する場合、法線上の 2 つの方向のいずれかを選択します。 \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) を、有向法線が座標軸となす角度とする。 pはセグメントOPの長さです。
数値 \(\cos\alpha, \; \cos\beta, \; \cos\gamma \) と p が既知であると仮定して、この平面の方程式 \(\pi \) を導いてみましょう。 これを行うために、法線上に単位ベクトル n を導入します。その方向は法線の正の方向と一致します。 n は単位ベクトルなので、
\(\begin(array)(lr) \vec(n) = (\cos\alpha; \;\; \cos\beta; \;\; \cos\gamma) & \qquad\qquad (5) \end （配列）\）
M (x; y; z) を任意の点とする。 ベクトル OM の法線への投影が p に等しい場合にのみ、平面 \(\pi \) 上に位置します。
$$ \begin(配列)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = p & (6) \end(配列) $$
\(Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) \) および \(\vec(OM) = (x;\; y; \ ; z) \) 次に、等式 (5) を考慮します。
$$ \begin(array)(lr) Pr_(\vec(n)) \overrightarrow(OM) = \vec(n) \cdot \overrightarrow(OM) = x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma & (7) \end(配列) $$
式 (6) と (7) から、点 M(x; y; z) が、その座標が式を満たす場合にのみ、平面 \(\pi \) 上にあることがわかります。
定理
点 M* の座標が x*、y*、z* であり、平面が正規方程式で与えられる場合
\(d = |x^* \cos \alpha + y^* \cos\beta + z^* \cos\gamma - p | \)
ここで、一般平面方程式を正規形に還元する方法を示しましょう。 させて
\(\begin(配列)(lr) Ax+By+Cz+D=0 & \qquad\qquad (11) \end(配列) \)
は特定の平面の一般方程式であり、
\(\begin(array)(lr) x \cos \alpha + y \cos\beta + z \cos\gamma - p = 0 & \qquad\qquad (12) \end(array) \)
はその正規方程式です。 式 (11) と (12) は同じ平面を定義するため、定理によれば、これらの式の係数は比例します。 これは、すべての項 (11) に何らかの係数 \(\mu\) を乗算すると、次の方程式が得られることを意味します。
\(\mu Ax + \mu By + \mu Cz + \mu D=0 \)
式 (12) と一致します。つまり、 我々は持っています
\(\begin(array)(lr) \mu A = \cos \alpha, \;\; \mu B = \cos\beta, \;\; \mu C = \cos\gamma, \;\; \ mu D = -p & \qquad\qquad (13) \end(array) \)
因数 \(\mu \) を求めるには、等式 (13) の最初の 3 つを 2 乗して加算します。 それから私たちは得ます
\(\mu^2(A^2+B^2+C^2) = \cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos ^2\gamma \)
しかし、最後の等式の右辺は 1 に等しくなります。 したがって、
$$ \mu = \pm \frac(1)( \sqrt(A^2+B^2+C^2)) $$
数値 \(\mu\) は、平面の一般方程式を正規方程式に変換するのに使用され、この方程式の正規化係数と呼ばれます。 \(\mu \) の符号は、等式 \(\mu D = -p \) によって決まります。 \(\mu \) は、一般式 (11) の自由項の符号と反対の符号を持ちます。
式 (11) で D=0 の場合、正規化係数の符号は任意に選択されます。
書籍（教科書） 抄録 統一国家試験および OGE テストのオンライン試験