入り口三角形は不等辺二等辺三角形または正三角形です。 三角形。 レッスンを完了する – ナレッジ ハイパーマーケット
三角形 3 つの辺 (または 3 つの角) を持つ多角形です。 三角形の辺は、多くの場合、逆の頂点を示す大きな文字に対応する小さな文字で示されます。
鋭角三角形 3 つの角がすべて鋭角である三角形を三角形といいます。
鈍角三角形角の 1 つが鈍角である三角形を三角形といいます。
直角三角形は、角の 1 つが直角、つまり 90° である三角形と呼ばれます。 直角をなす辺a、bをといいます。 足; 直角の反対側の辺 c は次のように呼ばれます。 斜辺.
二等辺三角形は 2 つの辺が等しい (a = c) 三角形と呼ばれます。 これらの等しい辺はと呼ばれます 横方向、サードパーティはと呼ばれます 三角形の底辺.
正三角形は、すべての辺が等しい (a = b = c) 三角形と呼ばれます。 その場合、三角形ではどの辺 (abc) も等しくないので、次のようになります。 正三角形.
三角形の主な特徴
どの三角形でも:
三角形の等価性の兆候
三角形は合同であり、この場合、それらはそれぞれ等しいです。
直角三角形の等価性の兆候
2 つの直角三角形が等しい場合、次の基準のいずれかが実行されます。
身長三角形任意の頂点から垂線を下ろした垂線です 裏（またはその続き）。 こちら側はと呼ばれます 三角形の底辺。 三角形の 3 つの高度は常に 1 点と呼ばれる点で交差します。 三角形の垂心.
鋭角三角形の垂心は三角形の内側にあり、鈍角三角形の垂心は外側にあります。 直角三角形の垂心は頂点と一致します 直角.
中央値- 三角形の各頂点と裏面の中央を結ぶ線分です。 三角形の 3 つの中線は 1 点で交差します。この点は常に三角形の内側にあり、重心となります。 この点は、頂点から数えて各中央値を 2:1 の比率で分割します。
二等分線- これは、頂点から次の交点までの角度の二等分線分です。 裏。 三角形の 3 つの二等分線は 1 点で交差します。この点は常に三角形の内側にあり、内接円の中心になります。 二等分線は、裏側を隣接する辺に比例した部分に分割します。
中央垂直線から引かれた垂線です 中間点セグメント（側面）。 三角形の 3 つの中央垂線は、外接円の中心である 1 点で交差します。
で 鋭角三角形この点は三角形の内側、鈍角三角形の外側、直角三角形の斜辺の中央にあります。 正三角形では、垂心、重心、外接円の中心、内接円の中心がのみ一致します。
ピタゴラスの公理
で 直角三角形斜辺の長さの二乗は、脚の長さの二乗の和に等しい。
ピタゴラスの公理の確認
斜辺 AB を辺として使用して正方形 AKMB を作成しましょう。 次に、直角三角形 ABC の辺を続けて、辺が a + b に等しい正方形 CDEF を取得します。 これで、正方形 CDEF の面積が (a + b) 2 に等しいことがわかります。一方、この面積は 4 つの直角三角形と正方形 AKMB の面積の合計に等しくなります。言葉、
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab、
c 2 + 2 ab = (a + b) 2、
そして私たちは次のものを持っています：
c 2 = a 2 + b 2 。
ランダムな三角形のアスペクト比
一般的な場合 (ランダムな三角形の場合) は次のようになります。
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C、
ここで、C は辺 a と辺 b の間の角度です。
さらにサイトでは次のようになります。
幾何学の科学は、三角形、正方形、立方体が何であるかを教えてくれます。 で 現代世界学校では例外なく誰もが勉強します。 また、三角形とは何か、それがどのような性質を持っているかを直接研究する科学が三角法です。 彼女はデータに関連するあらゆる現象を詳細に調査しており、今日の三角形とは何かについては記事で説明します。 それらのタイプと、それらに関連するいくつかの定理については以下で説明します。
三角形とは何ですか? 意味
これは平面多角形です。 その名前から明らかなように、3つの角があります。 また、3 つの辺と 3 つの頂点があり、1 つ目はセグメント、2 つ目は点です。 2 つの角度が何に等しいかがわかれば、数値 180 から最初の 2 つの合計を引くことで 3 番目の角度を見つけることができます。
三角形にはどんな種類があるのでしょうか？
それらはさまざまな基準に従って分類できます。
まず、鋭角、鈍角、長方形に分けられます。 前者は鋭角、つまり 90 度未満の角度を持っています。 鈍角では、角度の 1 つが鈍角、つまり 1 つは 90 度以上で、他の 2 つは鋭角です。 鋭角三角形には正三角形も含まれる。 このような三角形は、すべての辺と角度が等しいです。 それらはすべて 60 度に等しく、これはすべての角度の合計 (180) を 3 で割ることによって簡単に計算できます。
直角三角形
直角三角形とは何かについて話さないわけにはいきません。
このような図形には 90 度 (直線) に等しい 1 つの角度があります。つまり、その辺のうちの 2 つは垂直です。 残りの 2 つの角度は鋭角です。 等しい場合は二等辺になります。 ピタゴラスの定理は直角三角形に関係しています。 これを使用すると、最初の 2 つの側面がわかっていれば、3 番目の側面を見つけることができます。 この定理によれば、一方の脚の二乗をもう一方の脚の二乗に加算すると、斜辺の二乗が得られます。 脚の二乗は、斜辺の二乗から既知の脚の二乗を引くことによって計算できます。 三角形とは何かというと、二等辺三角形を思い出すこともできます。 これは、2 つの辺が等しく、2 つの角度も等しいものです。
脚と斜辺とは何ですか?
脚は、90 度の角度を形成する三角形の辺の 1 つです。 斜辺は、直角の反対側の残りの辺です。 そこから脚に垂線を下げることができます。 態度 隣接する脚斜辺までの値はコサインと呼ばれ、その逆はサインと呼ばれます。
-その特徴は何ですか？
長方形ですよ。 脚は 3 つと 4 つで、斜辺は 5 つです。 特定の三角形の脚が 3 と 4 に等しいことがわかれば、斜辺は 5 に等しいと確信できます。 また、この原則を使用すると、2 番目の脚が 4 に等しく、斜辺が 5 に等しい場合、脚は 3 に等しくなることが簡単に決定できます。 このステートメントを証明するには、ピタゴラスの定理を適用できます。 2 本の脚が 3 と 4 に等しい場合、9 + 16 = 25、25 の根は 5、つまり斜辺は 5 に等しい。エジプトの三角形も辺が 6、8 に等しい直角三角形である。そして10。 9、12、15、およびその他の比率が 3:4:5 の数字。
他に三角形は何でしょうか?
三角形は内接または外接することもできます。 円が描かれるその周りの図形は内接と呼ばれ、そのすべての頂点は円上にある点です。 外接三角形とは、円が内接する三角形のことです。 そのすべての側面が特定の点で接触します。
どのように配置されていますか?
あらゆる図形の面積は平方単位 (平方メートル、平方ミリメートル、平方センチメートル、平方デシメートルなど) で測定されます。この値は、三角形の種類に応じてさまざまな方法で計算できます。 角度のある図形の面積は、その辺に反対側の角から下ろした垂線を掛け、この図形を 2 で割ることで求められます。 この値は、両辺を乗算して求めることもできます。 次に、この数値にこれらの辺の間にある角度のサインを掛け、この結果を 2 で割ります。 三角形のすべての辺はわかっていても、角度がわからない場合は、別の方法で面積を求めることができます。 これを行うには、周囲の半分を見つける必要があります。 次に、この数値からさまざまな辺を交互に減算し、結果として得られる 4 つの値を乗算します。 次に出た数字から求めます。 内接三角形の面積は、すべての辺を掛けて、その結果の数値をその外接三角形で割って 4 倍することで求められます。
外接三角形の面積は、このようにして求められます。周囲の半分に、それに内接する円の半径を掛けます。 その場合、その面積は次のように求めることができます。辺を 2 乗し、得られた数値に 3 の根を乗算し、この数値を 4 で割ります。 同様の方法で、すべての辺が等しい三角形の高さを計算できます。これを行うには、そのうちの 1 つに 3 の根を掛けて、この数値を 2 で割る必要があります。
三角形に関する定理
この図に関連する主な定理は、上記のピタゴラスの定理と余弦です。 2 つ目 (正弦) は、任意の辺をその反対側の角度の正弦で割ると、その辺を囲む円の半径を 2 倍して求めることができます。 3 番目 (コサイン) は、2 つの辺の 2 乗の合計から、2 を掛けた積と、2 つの辺の間にある角度のコサインを引くと、3 番目の辺の 2 乗が得られます。
ダリ・トライアングル - それは何ですか？
この概念に直面したとき、多くの人は最初、これが幾何学におけるある種の定義であると考えますが、まったくそうではありません。 ダリの三角形は 一般名有名な芸術家の生涯と密接に関係する 3 つの場所。 その「頂点」は、サルバドール・ダリが住んでいた家、彼が妻に贈った城、そしてシュルレアリスム絵画の美術館です。 これらの場所を巡るツアーでは多くのことを学ぶことができます。 興味深い事実世界中で知られるこのユニークな創造的なアーティストについて。
三角形は 3 つの辺 (または 3 つの角) を持つ多角形です。 三角形の辺は、多くの場合、小さな文字 (a、b、c) で指定されます。これらは、以下に対応します。 大文字、反対側の頂点 (A、B、C) を示します。
三角形の 3 つの角がすべて鋭角であれば、 鋭角三角形.
三角形の角の 1 つが直角であれば、それは 直角三角形。 直角を形成する辺を次のように呼びます。 足。 直角の反対側をといいます。 斜辺.
三角形の角の 1 つが鈍角であれば、それは鈍角です。 鈍角な三角形。
二等辺三角形 2 つの辺が等しい場合。 これらの等しい辺は側面と呼ばれ、3 番目の辺は三角形の底辺と呼ばれます。
正三角形、すべての辺が等しい場合。
三角形の基本的な性質
どの三角形でも:
1. 大きい側の反対側には大きい角度があり、その逆も同様です。
2. 等しい角度は等しい側面の向かい側にあり、その逆も同様です。
特に、正三角形の角度はすべて等しいです。
3. 三角形の角度の合計は 180 度です。
最後の 2 つの特性から、正三角形のすべての角度は次のようになります。
三角形は60度です。
4. 三角形の辺の 1 つを続けると、外側の辺が得られます。
コーナー。 三角形の外角は内角の和に等しいので、
隣接していない。
5. 三角形のいずれかの辺が、他の 2 つの辺の合計より小さく、かつ大きい
彼らの違い。
三角形の等価性の兆候。
三角形はそれぞれ等しい場合に合同です。
A) 2 つの辺とそれらの間の角度。
b) 2 つの角とそれらに隣接する側面。
c) 3 つの側面。
直角三角形の等価性の兆候。
次の条件のいずれかが当てはまる場合、2 つの直角三角形は合同です。
1) 彼らの足は等しい。
2) 一方の三角形の脚と斜辺は、もう一方の三角形の脚と斜辺に等しい。
3) 一方の三角形の斜辺と鋭角は、もう一方の三角形の斜辺と鋭角に等しい。
4) 一方の三角形の脚と隣接する鋭角は、もう一方の三角形の脚と隣接する鋭角に等しい。
5) 1 つの三角形の脚と反対側の鋭角は、もう一方の三角形の脚と反対側の鋭角に等しい。
三角形の高さ任意の頂点から反対側 (またはその延長) に下ろした垂線です。 この辺を三角形の底辺と呼びます。 三角形の 3 つの高度は常に 1 点と呼ばれる点で交差します。 三角形の垂心。 鋭角三角形の垂心は三角形の内側にあり、鈍角三角形の垂心は外側にあります。 直角三角形の垂心は直角の頂点と一致します。
中央値三角形の任意の頂点と反対側の辺の中点を結ぶ線分です。 三角形の 3 つの中央線は 1 点で交差します。その点は常に三角形の内側にあり、その点は 重心。 この点は、頂点から数えて各中央値を 2:1 の比率で分割します。
二等辺三角形の中央値のプロパティ。二等辺三角形では、底辺に引かれた中央線が二等分線と高度になります。
二等分線- これは、頂点から反対側との交点までの角度の二等分線分です。 三角形の 3 つの二等分線は 1 点で交差し、その点は常に三角形の内側にあり、 内接円の中心。 二等分線は、反対側を隣接する辺に比例した部分に分割します。
中央垂直線線分（辺）の中点から引いた垂線です。 三角形の 3 つの垂直中線は 1 点で交差します。 外接円の中心。鋭角三角形の場合、この点は三角形の内側にあります。 鈍角で - 外側。 長方形のもの - 斜辺の真ん中にあります。 正三角形においてのみ、垂心、重心、外心、内接円が一致します。
三角形の中心線は、その 2 つの辺の中点を接続する線分です。
三角形の中線の性質。 指定された 2 つの辺の中点を結ぶ三角形の中心線は、3 番目の辺と平行で、その半分に等しくなります。
ピタゴラスの定理。直角三角形では、斜辺の長さの二乗は脚の長さの二乗の和に等しい。 c 2 = a 2 + b 2 。
ピタゴラスの定理の証明見ることができます ここ。
正弦定理。 三角形の辺は反対の角の正弦に比例します .
コサイン定理。三角形の任意の辺の 2 乗は、これらの辺の間の角度の余弦による積の 2 倍を除く、他の 2 つの辺の 2 乗の合計に等しい。 .
サイン定理とコサイン定理の証明見ることができます ここ.
三角形の角度の和に関する定理。三角形の内角の和は180°です。
三角形の外角定理。 三角形の外角は、隣接しない 2 つの内角の和に等しくなります。
おそらく、幾何学の中で最も基本的で単純かつ興味深い図形は三角形でしょう。 知っている 高校その基本的な特性は研究されていますが、このトピックに関する知識が不完全な場合があります。 三角形のタイプによって、最初にそのプロパティが決まります。 しかし、この見方には依然として賛否両論がある。 したがって、このトピックをもう少し詳しく見てみましょう。
三角形の種類は、角度の度数によって異なります。 これらの図形は鋭角、長方形、鈍形です。 すべての角度が90度を超えない場合、その数字は安全に鋭角と呼ぶことができます。 三角形の少なくとも 1 つの角度が 90 度であれば、長方形の亜種を扱っていることになります。 したがって、他のすべてのケースでは、検討中のケースは鈍角と呼ばれます。
鋭角のサブタイプには多くの問題があります。 特徴的な機能二等分線、中央値、標高の交点の内部位置です。 他の場合には、この条件が満たされない可能性があります。 三角形の図形の種類を判断するのは難しくありません。 たとえば、各角度の余弦がわかれば十分です。 いずれかの値がゼロ未満の場合、三角形はいずれにしても鈍角になります。 ゼロインジケータの場合、図形は直角になります。 全て 正の値角度ビューを見ていることが確実にわかります。
正三角形について触れずにはいられません。 これは最も理想的なビューであり、中央線、二等分線、高さのすべての交点が一致します。 内接円と外接円の中心も同じ場所にあります。 角度は最初に与えられており、他の 2 つの側面はわかっているため、問題を解決するには 1 つの側面だけを知る必要があります。 つまり、数値は 1 つのパラメータだけで指定されます。 それらは存在します 主な特徴- 2 つの辺と底面の角度が等しい。
与えられた辺を持つ三角形が存在するかどうかという疑問が生じることがあります。 実際、適切かどうか尋ねられます この説明主要なタイプの下にあります。 たとえば、2 つの辺の合計が 3 番目の辺よりも小さい場合、実際にはそのような数字はまったく存在しません。 辺が 3、5、9 の三角形の角度の余弦を求めるタスクの場合、複雑な数学的テクニックを使用せずに明白なことを説明できます。 A 点から B 点に行きたいとします。直線距離は 9 キロメートルです。 ただし、店内のポイント C に行く必要があることを思い出しました。 A から C までの距離は 3 キロメートル、C から B までの距離は 5 キロメートルです。したがって、店内を移動するときに歩く距離が 1 キロメートル少なくなることがわかります。 ただし、点 C は直線 AB 上にないため、余分な距離を歩かなければなりません。 ここに矛盾があります。 もちろん、 条件の説明。 数学は、あらゆる種類の三角形が基本恒等式に従うことを証明する方法を複数知っています。 2つの辺の和が より長いです三番目。
どの型にも次の特性があります。
1) すべての角度の合計は 180 度です。
2) 垂心、つまり 3 つの高さすべての交点が常に存在します。
3) 内角の頂点から引かれた 3 つの中央線はすべて 1 か所で交差します。
4) 任意の三角形の周りに円を描くことができます。 また、接触点が 3 つだけで外側を超えないように円を内接することもできます。
これで、それらが持つ主な特性について理解できました。 異なる種類三角形。 今後、問題を解決する際には、何を扱っているのかを理解することが重要です。