Denklemlerde odz nasıl yazılır? Kesir tanımlama alanı. İşlev Etki Alanı

Şemşurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 Belediye bütçesi Eğitim kurumu"Ortalama Kapsamlı okul 31 numara"

Eserin metni görseller ve formüller olmadan yayınlanmaktadır.
Tam versiyonÇalışmaya PDF formatında "Çalışma Dosyaları" sekmesinden ulaşılabilir

giriiş

İnternetteki birçok matematik konusuna bakarak başladım ve bu konuyu seçtim çünkü DL bulmanın denklem ve problem çözmede büyük rol oynadığına inanıyorum. onun içinde Araştırma çalışması Sadece ODZ'yi, tehlikeyi, isteğe bağlılığı, sınırlı ODZ'yi, matematikteki bazı yasakları bulmanın yeterli olduğu denklemlere baktım. Benim için en önemli şey matematikte Birleşik Devlet Sınavını iyi geçmek ve bunun için şunu bilmem gerekiyor: DL'yi ne zaman, neden ve nasıl bulacağım. Bu beni konuyu araştırmaya sevk etti; amacı bu konuda uzmanlaşmanın öğrencilerin Birleşik Devlet Sınavındaki görevleri doğru bir şekilde tamamlamalarına yardımcı olacağını göstermekti. Bu hedefe ulaşmak için ek literatür ve diğer kaynakları araştırdım. Okulumuzun öğrencilerinin ODZ'yi ne zaman, neden ve nasıl bulacağını bilip bilmediğini merak ediyordum. Bu nedenle “ODZ ne zaman, neden ve nasıl bulunur?” Konusunda bir test yaptım. (10 denklem verilmiştir). Öğrenci sayısı 28. Bununla başa çıktılar - %14, DD tehlikesi (dikkate alındı) - %68, isteğe bağlılık (dikkate alındı) - %36.

Hedef: tanımlama: ODZ'nin ne zaman, neden ve nasıl bulunacağı.

Sorun: ODZ'yi bulmanın gerekli olduğu denklemler ve eşitsizlikler cebir dersinde sistematik sunum için yer bulamadı, bu yüzden muhtemelen akranlarım ve ben bu tür örnekleri çözerken sık sık hata yapıyoruz, bunları çözmek için çok zaman harcıyoruz ve unutuyoruz ODZ hakkında.

Görevler:

1. Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken ODZ'nin önemini gösterin.
2. Bu konuyla ilgili pratik çalışmalar yapın ve sonuçlarını özetleyin.

Edindiğim bilgi ve becerilerin şu soruyu çözmeme yardımcı olacağını düşünüyorum: DZ'yi aramak gerekli mi değil mi? ODZ'nin doğru şekilde nasıl yapıldığını öğrenerek hata yapmayı bırakacağım. Bunu yapıp yapamayacağımı zaman, daha doğrusu Birleşik Devlet Sınavı gösterecek.

Bölüm 1

ODZ nedir?

ODZ: bölge kabul edilebilir değerler yani bunların hepsi ifadenin anlamlı olduğu değişkenin değerleridir.

Önemli. ODZ'yi bulmak için bir örnek çözmüyoruz! Yasak yerleri bulmak için örneğin parçalarını çözüyoruz.

Matematikte bazı yasaklar. Matematikte bu tür yasak eylemler çok azdır. Ama herkes onları hatırlamıyor...

• Çift çokluk işaretinden oluşan veya >0 veya sıfıra eşit olması gereken ifadeler, ODZ:f(x)
• Kesrin paydasındaki ifade sıfıra eşit olamaz, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

ODZ nasıl kaydedilir?Çok basit. Her zaman örneğin yanına ODZ yazın. Bilinen bu harflerin altına orijinal denkleme bakarak orijinal örnekte izin verilen x değerlerini yazıyoruz. Örneğin dönüştürülmesi OD'yi ve buna bağlı olarak cevabı değiştirebilir.

ODZ bulma algoritması:

1. Yasağın türünü belirleyin.
2. İfadenin anlamlı olmadığı değerleri bulun.
3. Bu değerleri R gerçek sayılar kümesinden çıkarın.

Denklemi çözün: =

DZ olmadan	ODZ'li
Cevap: x=5	ODZ: => => Cevap: Kök yok

Kabul edilebilir değerler aralığı bizi bu tür ciddi hatalardan korur. Dürüst olmak gerekirse, pek çok "şok öğrencisinin" "C" öğrencisine dönüşmesinin nedeni tam olarak ODZ'dir. DL'yi aramanın ve dikkate almanın karar vermede önemsiz bir adım olduğunu düşünerek bunu atlıyorlar ve sonra "öğretmen neden 2 verdi?" diye merak ediyorlar. Evet, bu yüzden cevap yanlış olduğu için koydum! Bu bir öğretmenin "niteliklerini toplaması" değil, tıpkı yanlış bir hesaplama veya kayıp bir işaret gibi çok özel bir hatadır.

Ek denklemler:

a) = ; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

Bölüm 2

ODZ. Ne için? Ne zaman? Nasıl?

Kabul edilebilir değer aralığı - bir çözüm var

1. ODZ boş bir kümedir, yani orijinal örneğin hiçbir çözümü yoktur

• = ODZ:

Cevap: Kök yok.

• = ODZ:

Cevap: Kök yok.

0, denklemin kökleri yok

Cevap: Kök yok.

Ek örnekler:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.

1. ODZ bir veya daha fazla sayı içerir ve basit bir değişiklik, kökleri hızlı bir şekilde belirler.

ODZ: x=2, x=3

Kontrol edin: x=2, + , 0<1, верно

Kontrol edin: x=3, + , 0<1, верно.

Cevap: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Kontrol edin: x=0, > , 0>0, yanlış

Kontrol edin: x=1, > , 1>0, doğru

Cevap: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Kontrol edin: + =3, 0=3, yanlış.

Cevap: Kök yok.

Ek örnekler:

a) = ; b) + =0; c) + =x -1

DD tehlikesi

Dikkat kimlik dönüşümleri olabilmek:

• DL'yi etkilemez;
• genişletilmiş DL'ye yol açar;
• ODZ'nin daralmasına yol açar.

Orijinal ODZ'yi değiştiren bazı dönüşümler sonucunda yanlış kararlara yol açabileceği de bilinmektedir.

Her durumu bir örnekle açıklayalım.

1) x + 4x + 7x ifadesini düşünün, x değişkeninin ODZ'si bunun için R kümesidir. Benzer terimleri sunalım. Sonuç olarak x 2 +11x formunu alacaktır. Açıkçası, bu ifadenin x değişkeninin ODZ'si de bir R kümesidir. Dolayısıyla gerçekleştirilen dönüşüm ODZ'yi değiştirmedi.

2) x+ - =0 denklemini alın. Bu durumda ODZ: x≠0. Bu ifade aynı zamanda benzer terimleri de içerir, indirgedikten sonra ODZ'nin R olduğu x ifadesine ulaşırız. Gördüğümüz şey: dönüşümün bir sonucu olarak ODZ genişletildi (sıfır sayısı ODZ'ye eklendi) orijinal ifade için x değişkeni).

3) İfadeyi alalım. x değişkeninin VA'sı (x−5)·(x−2)≥0, VA eşitsizliği ile belirlenir: (−∞, 2]∪∪/Erişim modu: www.fipi.ru, www.eg sitelerinden materyaller

Kabul edilebilir değer aralığı - bir çözüm var [Elektronik kaynak]/Erişim modu: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - kabul edilebilir değerlerin alanı, ODZ'nin nasıl bulunacağı [Elektronik kaynak]/Erişim modu: akıllıstudents.ru›expressions/odz.html

Kabul edilebilir değer aralığı: teori ve pratik [Elektronik kaynak]/Erişim modu: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ nedir [Elektronik kaynak]/ Erişim modu: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ nedir ve nasıl aranır - açıklama ve örnek. Elektronik kaynak]/ Erişim modu: cos-cos.ru›math/82/

Ek 1

Pratik çalışma “ODZ: ne zaman, neden ve nasıl?”

seçenek 1	seçenek 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

Ek 2

Ödevlere verilen cevaplar pratik iş"ODZ: ne zaman, neden ve nasıl?"

seçenek 1	seçenek 2
Cevap: Kök yok	Cevap: x-x=5 dışında herhangi bir sayı
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Cevap: Kök yok	ODZ: x=-3, x=5. Cevap: -3;5.
y= -azalır, y= -artırır Bu, denklemin en fazla bir kökü olduğu anlamına gelir. Cevap: x=6.	ODZ: → →х≥5 Cevap: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ODZ'ye ait değil	Azalır, artar Denklemin en fazla bir kökü vardır. Cevap: Kök yok.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Cevap: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Cevap: Kök yok.
x=7, x=1. Cevap: çözüm yok	Artan - azalan Cevap: x=2.
0 ODZ: x≠15 Cevap: x, x=15 dışında herhangi bir sayıdır.	│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 ODZ'ye ait değil. Cevap: x=-1.

\(\frac(x)(x-1)\) değişkenin değeri 1'e eşit olacaktır, kural ihlal edilir: Sıfıra bölemezsin. Dolayısıyla burada \(x\) bir birim olamaz ve ODZ şu şekilde yazılır: \(x\neq1\);

\(\sqrt(x-2)\) ifadesinde değişkenin değeri \(0\) ise kural ihlal edilir: radikal ifade negatif olmamalıdır. Bu, burada \(x\)'in \(0\), aynı zamanda \(1, -3, -52.7\) vb. olamayacağı anlamına gelir. Yani x, 2'den büyük veya ona eşit olmalıdır ve ODZ şöyle olacaktır: \(x\geq2\);

Ancak \(4x+1\) ifadesinde X yerine herhangi bir sayıyı koyabiliriz ve hiçbir kural ihlal edilmeyecektir. Dolayısıyla burada kabul edilebilir değer aralığı sayısal eksenin tamamıdır. Bu gibi durumlarda DZ kaydedilmezçünkü faydalı bilgiler içermiyor.

Uyulması gereken tüm kuralları burada bulabilirsiniz.

Denklemlerde ODZ

Karar verirken kabul edilebilir değerlerin aralığını hatırlamak önemlidir ve çünkü Orada sadece değişkenlerin değerlerini arıyoruz ve tesadüfen matematik kurallarını ihlal edenleri bulabiliriz.

ODZ'nin önemini anlamak için denklemin iki çözümünü karşılaştıralım: ODZ'li ve ODZ'siz.

Örnek: Denklemi çözün
Çözüm :

ODZ'siz:		ODZ ile:
\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)		\(\frac(x^2-x)(x+3)=\frac(12)(x+3)\)
		ODZ: \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\)		\(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\)		\(x^2-x-12=0\)
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)		\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(=4\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) + \sqrt(49))(2·1)\) \(=4\)
\(x_1=\)\(=-3\)		\(x_2=\) \(\frac(-(-1) - \sqrt(49))(2·1)\)\(=-3\) - ODZ'ye uygun değil
Cevap : \(4; -3\)		Cevap : \(4\)

Farkı görüyor musun? İlk çözümde cevabımızda yanlış, fazladan bir ! Neden yanlış? Bunu orijinal denklemde yerine koymaya çalışalım.

\(\frac((-3)^2-(-3))((-3)+3)\)\(=\)\(\frac(12)((-3)+3)\)
\(\frac(12)(0)\) \(=\)\(\frac(12)(0)\)

Görüyorsunuz, hem solda hem de sağda hesaplanamaz, anlamsız ifadeler elde ettik (sonuçta sıfıra bölemezsiniz). Ve bu değerler mevcut olmadığı için aynı olmaları artık bir rol oynamıyor. Dolayısıyla “\(-3\)” uygunsuz, yabancı bir köktür ve kabul edilebilir değerler aralığı bizi bu tür ciddi hatalardan korur.

Bu nedenle ilk çözüm için D, ikinci çözüm için A alacaksınız. Ve bunlar öğretmenin sıkıcı kelime oyunları değil, çünkü ODS'yi hesaba katmamak önemsiz bir şey değil, çok özel bir hatadır, kayıp bir işaret veya yanlış formülün uygulanmasıyla aynıdır. Sonuçta son cevap yanlış!

Kabul edilebilir değer aralığını bulmak çoğu zaman çözme veya denklem kurma ihtiyacına yol açar, bu nedenle bunu iyi yapabilmeniz gerekir.

Örnek : \(\sqrt(5-2x)+\) ifadesinin tanım kümesini bulun \(\frac(1)(\sqrt(14+5x-x^(2))))\)

Çözüm : İfadede biri paydada olmak üzere iki kök vardır. Bu davada uygulanan kısıtlamaları hatırlamayan herkes... Hatırlayanlar birinci kökün altındaki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğunu, ikinci kökün altındaki ifadenin ise sıfırdan büyük olduğunu yazar. Kısıtlamaların neden bu şekilde olduğunu anlıyor musunuz?

Cevap : \((-2;2,5]\)

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir talep gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, adresiniz dahil çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde - yasaya, adli prosedüre, yasal işlemlere uygun olarak ve/veya kamunun talep veya taleplerine dayanarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Ortaokul öğrencileri sıklıkla bu görevle uğraşmak zorunda kalıyorlar.

Ebeveynler çocuklarının bu konuyu anlamalarına yardımcı olmalıdır.

Bir işlevin belirtilmesi.

Cebirin temel terimlerini hatırlayalım. Matematikte fonksiyon, bir değişkenin diğerine bağımlılığıdır. Bunun iki sayıyı belirli bir şekilde birbirine bağlayan katı bir matematik yasası olduğunu söyleyebiliriz.

Matematikte formüller analiz edilirken sayısal değişkenlerin yerini alfabetik semboller alır. En yaygın kullanılanlar x (“x”) ve y (“y”)'dir. X değişkenine argüman, y değişkenine ise bağımlı değişken veya x'in fonksiyonu adı verilir.

Var olmak çeşitli yollar değişken bağımlılıklarını ayarlama.

Bunları listeleyelim:

1. Analitik tip.
2. Tablo görünümü.
3. Grafik ekranı.

Analitik yöntem formülle temsil edilir. Örneklere bakalım: y=2x+3, y=log(x), y=sin(x). y=2x+3 formülü aşağıdakiler için tipiktir: doğrusal fonksiyon. Argümanın sayısal değerini verilen formülde yerine koyarak y değerini elde ederiz.

Tablo yöntemi iki sütundan oluşan bir tablodur. İlk sütun X değerlerine ayrılmıştır ve sonraki sütuna oynatıcının verileri kaydedilir.

Grafiksel yöntem en görsel olarak kabul edilir. Grafik, bir düzlemdeki tüm noktaların kümesinin gösterimidir.

Bir grafik oluşturmak için Kartezyen koordinat sistemi kullanılır. Sistem birbirine dik iki çizgiden oluşmaktadır. Eksenler üzerinde aynı birim segmentler yerleştirilmiştir. Sayım, düz çizgilerin kesiştiği merkez noktadan yapılır.

Bağımsız değişken yatay bir çizgide gösterilir. Apsis ekseni denir. Dikey çizgi (y ekseni) bağımlı değişkenin sayısal değerini gösterir. Bu eksenlere dik olanların kesişim noktalarında noktalar işaretlenir. Noktaları birbirine bağlayarak düz bir çizgi elde ederiz. Bu, programın temelidir.

Değişken bağımlılık türleri

Tanım.

İÇİNDE Genel görünüm bağımlılık bir denklem olarak sunulur: y=f(x). Formülden, x sayısının her değeri için belirli bir y sayısının olduğu sonucu çıkar. Oyunun x sayısına karşılık gelen değerine fonksiyonun değeri denir.

Bağımsız değişkenin elde ettiği tüm olası değerler, fonksiyonun tanım alanını oluşturur. Buna göre bağımlı değişkenin tüm sayı kümesi, fonksiyonun değer aralığını belirler. Tanım alanı, f(x)'in anlamlı olduğu argümanın tüm değerleridir.

Matematik yasalarını incelemede ilk görev tanım alanını bulmaktır. Bu terimin doğru tanımlanması gerekir. Aksi takdirde, sonraki tüm hesaplamalar işe yaramaz olacaktır. Sonuçta değerlerin hacmi ilk setin unsurlarına göre oluşuyor.

Bir fonksiyonun kapsamı doğrudan kısıtlamalara bağlıdır. Sınırlamalar, belirli işlemlerin gerçekleştirilememesinden kaynaklanır. Sayısal değerlerin kullanımının da sınırları vardır.

Kısıtlamaların olmadığı durumda tanım alanı sayı uzayının tamamıdır. Sonsuzluk işaretinin yatay sekiz rakamı sembolü vardır. Tüm sayı kümesi şu şekilde yazılır: (-∞; ∞).

Bazı durumlarda veri seti birkaç alt kümeden oluşur. Sayısal aralıkların veya boşlukların kapsamı, parametre değişim yasasının türüne bağlıdır.

Kısıtlamaları etkileyen faktörlerin bir listesi:

• ters orantılılık;
• aritmetik kök;
• üs alma;
• logaritmik bağımlılık;
• trigonometrik formlar.

Bu tür birkaç öğe varsa, kısıtlama arayışı bunların her biri için bölünür. En büyük problem kritik noktaların ve boşlukların tanımlanmasını temsil eder. Sorunun çözümü tüm sayısal alt kümeleri birleştirmek olacaktır.

Sayı kümesi ve alt kümesi

Setler hakkında.

Tanım alanı D(f) olarak ifade edilir ve birleşim işareti ∪ sembolüyle temsil edilir. Tüm sayısal aralıklar parantez içine alınmıştır. Sitenin sınırı sete dahil değilse yarım daire şeklinde bir braket yerleştirilir. Aksi takdirde, bir sayı bir alt kümeye dahil edildiğinde köşeli parantezler kullanılır.

Ters orantı y=k/x formülüyle ifade edilir. Fonksiyon grafiği iki daldan oluşan eğri bir çizgidir. Buna genellikle abartı denir.

Fonksiyon kesir olarak ifade edildiğinden tanım tanım kümesini bulmak paydayı analiz etmekten geçer. Matematikte sıfıra bölmenin yasak olduğu iyi bilinmektedir. Sorunu çözmek, paydayı sıfıra eşitlemek ve kökleri bulmaktan geçer.

İşte bir örnek:

Verilen: y=1/(x+4). Tanımın alanını bulun.

1. Paydayı sıfıra eşitliyoruz.
   x+4=0
2. Denklemin kökünü bulma.
   x=-4
3. Argümanın olası tüm değerlerinin kümesini tanımlarız.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Cevap: Fonksiyonun tanım kümesi -4 dışındaki tüm reel sayılardır.

Bir sayının karekök işareti altındaki değeri negatif olamaz. Bu durumda bir fonksiyonun kök ile tanımlanması bir eşitsizliğin çözümüne indirgenir. Radikal ifade sıfırdan büyük olmalıdır.

Kökün belirlenme alanı kök göstergesinin paritesi ile ilgilidir. Gösterge 2'ye bölünebiliyorsa ifade ancak pozitif değer. Tek sayı gösterge, radikal ifadenin herhangi bir anlamının kabul edilebilirliğini gösterir: hem olumlu hem de olumsuz.

Eşitsizlikler denklemlerle aynı şekilde çözülür. Tek bir fark var. Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldıktan sonra işaret ters çevrilmelidir.

Karekök paydada ise ek bir koşul getirilmelidir. Sayı değeri sıfır olmamalıdır. Eşitsizlik katı eşitsizlikler kategorisine giriyor.

Logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar

Logaritmik form şu durumlarda anlamlıdır: pozitif sayılar. Dolayısıyla tanım alanı logaritmik fonksiyon sıfır dışında karekök fonksiyonuna benzer.

Logaritmik bağımlılığın bir örneğini ele alalım: y=log(2x-6). Tanımın alanını bulun.

• 2x-6>0
• 2x>6
• x>6/2

Cevap: (3; +∞).

Y=sin x ve y=cos x tanım kümesi tüm gerçek sayılar kümesidir. Teğet ve kotanjant için kısıtlamalar vardır. Bir açının kosinüsü veya sinüsü ile bölünmeyle ilişkilidirler.

Bir açının tanjantı sinüsün kosinüse oranıyla belirlenir. Teğet değerinin bulunmadığı açı değerlerini belirtelim. y=tg x fonksiyonu, argümanın x=π/2+πn, n∈Z dışındaki tüm değerleri için anlamlıdır.

y=ctg x fonksiyonunun tanım alanı, x=πn, n∈Z hariç gerçek sayılar kümesinin tamamıdır. Argüman π sayısına veya π'nin katlarına eşitse, açının sinüsü sıfıra eşit. Bu noktalarda (asimptotlar) kotanjant mevcut olamaz.

Tanım alanını belirlemeye yönelik ilk görevler 7. sınıftaki derslerde başlar. Cebirin bu bölümüyle ilk kez tanıştırıldığında öğrencinin konuyu net bir şekilde anlaması gerekir.

Bu terimin tüm çalışma süresi boyunca okul çocuğuna ve ardından öğrenciye eşlik edeceği unutulmamalıdır.

Nasıl ?
Çözüm örnekleri

Bir yerde bir şeyler eksikse bir yerlerde bir şeyler var demektir

“Fonksiyonlar ve Grafikler” bölümünü incelemeye devam ediyoruz ve yolculuğumuzun bir sonraki istasyonu. Aktif tartışma bu kavram Kümelerle ilgili makalede başladı ve ilk derste devam etti. fonksiyon grafikleri, temel işlevlere ve özellikle bunların tanım alanlarına baktım. Bu nedenle bazı temel noktalar üzerinde tekrar durmayacağım için kuklaların konunun temelleriyle başlamasını tavsiye ederim.

Okuyucunun aşağıdaki fonksiyonların tanım alanlarını bildiği varsayılmaktadır: doğrusal, ikinci dereceden, kübik fonksiyonlar, polinomlar, üstel, sinüs, kosinüs. Bunlar üzerinde tanımlanır (tüm gerçek sayılar kümesi). Teğetler, yaylar için öyle olsun, sizi affediyorum =) - daha nadir grafikler hemen hatırlanmaz.

Tanımın kapsamı basit gibi görünüyor ve mantıklı bir soru ortaya çıkıyor: Makale ne hakkında olacak? Bu derste bir fonksiyonun tanım kümesini bulmayla ilgili yaygın sorunlara bakacağım. Üstelik tekrar edeceğiz tek değişkenli eşitsizlikler diğer görevlerde çözüm becerileri gerekli olacak yüksek Matematik. Bu arada materyalin tamamı okul materyali olduğundan sadece öğrenciler için değil öğrenciler için de faydalı olacaktır. Bilgiler elbette ansiklopedik gibi görünmüyor, ancak burada abartılı "ölü" örnekler değil, gerçek pratik çalışmalardan alınan kavrulmuş kestaneler var.

Konuya hızlı bir giriş yaparak başlayalım. Kısaca asıl konuya değinelim: Tek değişkenli bir fonksiyondan bahsediyoruz. Onun tanım alanı "x"in birçok anlamı, hangisi için var olmak"Oyuncular"ın anlamları. Varsayımsal bir örneğe bakalım:

Bu fonksiyonun tanım alanı aralıkların birleşimidir:
(unutanlar için: - birleştirme simgesi). Başka bir deyişle, aralıktan veya aralığından veya aralığından herhangi bir "x" değeri alırsanız, bu tür her "x" için bir "y" değeri olacaktır.

Kabaca söylemek gerekirse, tanımın tanım kümesinin olduğu yerde, fonksiyonun bir grafiği vardır. Ancak tanım alanında yarım aralık ve “tse” noktası yer almamaktadır ve orada grafik bulunmamaktadır.

Bir fonksiyonun etki alanı nasıl bulunur? Pek çok kişi çocuk tekerlemesini hatırlıyor: "Taş, makas, kağıt" ve bu durumda güvenli bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: "kök, kesir ve logaritma." Böylece, eğer hayat yolu Bir kesir, kök veya logaritmayla karşılaştığınızda hemen çok ama çok dikkatli olmalısınız! Teğet, kotanjant, ark sinüs, ark kosinüs çok daha az yaygındır ve bunlardan da bahsedeceğiz. Ama önce karıncaların hayatından kesitler:

Kesir içeren bir fonksiyonun tanım kümesi

Diyelim ki bize bir miktar kesir içeren bir fonksiyon verildi. Bildiğiniz gibi sıfıra bölünemezsiniz: Paydayı sıfıra çeviren “X” değerleri bu fonksiyonun kapsamına dahil değildir..

gibi en basit işlevler üzerinde durmayacağım. vb., çünkü herkes kendi tanım alanına dahil olmayan noktaları mükemmel bir şekilde görür. Daha anlamlı kesirlere bakalım:

örnek 1

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Payda özel bir şey yoktur ancak paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bunu sıfıra eşitleyelim ve “kötü” noktaları bulmaya çalışalım:

Ortaya çıkan denklemin iki kökü vardır: . Veri değerleri fonksiyonun kapsamında değil. Gerçekten de fonksiyonun içine veya yerine koyarsanız paydanın sıfıra gittiğini göreceksiniz.

Cevap: ihtisas:

Giriş şu şekildedir: “Tanım alanı, değerlerden oluşan küme dışındaki tüm gerçek sayılardır. " Matematikte ters eğik çizgi sembolünün mantıksal çıkarmayı, süslü parantezlerin ise kümeyi ifade ettiğini hatırlatayım. Cevap eşdeğer olarak üç aralığın birleşimi olarak yazılabilir:

Kimin hoşuna giderse.

noktalarda fonksiyon tolere eder sonsuz molalar ve düz çizgiler, denklemlerle verilir öyle dikey asimtotlar Bu fonksiyonun grafiği için. Ancak bu biraz farklı bir konudur ve ayrıca buna fazla dikkat etmeyeceğim.

Örnek 2

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Görev esasen sözlüdür ve çoğunuz neredeyse anında tanım alanını bulacaksınız. Cevap dersin sonundadır.

Bir kesir her zaman “kötü” mü olacak? HAYIR. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. “x”in hangi değerini alırsak alalım, payda sıfıra gitmeyecek, üstelik her zaman pozitif olacaktır: . Dolayısıyla bu fonksiyonun kapsamı: .

Gibi tüm işlevler tanımlanmış ve sürekli Açık .

Payda dolu olduğunda durum biraz daha karmaşıktır. ikinci dereceden üç terimli:

Örnek 3

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Paydanın sıfıra gittiği noktaları bulmaya çalışalım. Bunun için karar vereceğiz ikinci dereceden denklem:

Diskriminantın negatif olduğu ortaya çıktı, bu da gerçek köklerin olmadığı ve fonksiyonumuzun tüm sayı ekseninde tanımlandığı anlamına gelir.

Cevap: ihtisas:

Örnek 4

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Basit problemlerde tembellik etmemenizi tavsiye ederim, çünkü daha sonraki örneklerle yanlış anlaşılmalar birikecektir.

Köklü bir fonksiyonun etki alanı

Şununla işlev: kare kök yalnızca “x” değerleri için tanımlanır radikal ifade negatif değildir: . Kök paydada bulunuyorsa, koşul açıkça sıkılaştırılır: . Benzer hesaplamalar pozitif çift dereceli herhangi bir kök için geçerlidir: ancak kök zaten 4. dereceden fonksiyon çalışmaları Hatırlamıyorum.

Örnek 5

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: radikal ifade negatif olmamalıdır:

Çözüme devam etmeden önce, eşitsizliklerle çalışmanın okuldan bilinen temel kurallarını size hatırlatmama izin verin.

itiraz ediyorum Özel dikkat! Şimdi eşitsizlikleri ele alıyoruz tek değişkenli- yani bizim için sadece eksen boyunca bir boyut. Lütfen karıştırmayın iki değişkenin eşitsizlikleri, koordinat düzleminin tamamının geometrik olarak dahil olduğu yer. Ancak hoş tesadüfler de var! Dolayısıyla eşitsizlik için aşağıdaki dönüşümler eşdeğerdir:

1) Şartlar, (şartlar) değiştirilerek bir kısımdan diğerine aktarılabilir. işaretler.

2) Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif bir sayı ile çarpılabilir.

3) Eşitsizliğin her iki tarafı ile çarpılırsa olumsuz numara, o zaman değiştirmeniz gerekir bizzat eşitsizliğin işareti. Örneğin “fazla” varsa o zaman “daha ​​az” olur; "küçük veya eşit" ise, o zaman "büyük veya eşit" olur.

Eşitsizlikte “üç”ü işaret değişikliği ile sağa kaydırıyoruz (kural 1):

Eşitsizliğin her iki tarafını –1 ile çarpalım (kural 3):

Eşitsizliğin her iki tarafını (kural 2) ile çarpalım:

Cevap: ihtisas:

Cevap aynı zamanda eşdeğer bir ifadeyle de yazılabilir: "işlev şurada tanımlıdır."
Geometrik olarak tanım alanı apsis ekseninde karşılık gelen aralıkların gölgelenmesiyle gösterilir. Bu durumda:

Bir kez daha hatırlatıyorum geometrik anlamı tanım alanı - bir fonksiyonun grafiği yalnızca gölgeli alanda bulunur ve 'de yoktur.

Çoğu durumda, tanım alanının tamamen analitik olarak belirlenmesi uygundur, ancak fonksiyon çok karmaşık olduğunda bir eksen çizmeli ve notlar almalısınız.

Örnek 6

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Karekökün altında kare binom veya trinomial olduğunda durum biraz daha karmaşık hale geliyor, şimdi çözüm tekniğini detaylı olarak inceleyeceğiz:

Örnek 7

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Köklü ifade kesinlikle pozitif olmalı, yani eşitsizliği çözmemiz gerekiyor. İlk adımda, ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırmaya çalışıyoruz:

Diskriminant pozitif, kökleri arıyoruz:

Yani parabol apsis eksenini iki noktada keser; bu, parabolün bir kısmının eksenin altında (eşitsizlik) ve parabolün bir kısmının eksenin üzerinde (ihtiyacımız olan eşitsizlik) bulunduğu anlamına gelir.

Katsayı olduğu için parabolün dalları yukarı doğru bakar. Yukarıdakilerden, eşitsizliğin aralıklarda karşılandığı (parabolün dalları sonsuza kadar yukarı doğru uzanır) ve parabolün tepe noktasının, eşitsizliğe karşılık gelen x ekseninin altındaki aralıkta yer aldığı sonucu çıkar:

! Not: Açıklamaları tam olarak anlamadıysanız lütfen ikinci ekseni ve parabolün tamamını çiziniz! Makaleye ve kılavuza geri dönmeniz tavsiye edilir Okul matematik dersi için sıcak formüller.

Eşitsizliğimiz katı olduğundan, noktaların kaldırıldığını (çözüme dahil edilmediğini) lütfen unutmayın.

Cevap: ihtisas:

Genel olarak, pek çok eşitsizlik (dikkate alınanlar dahil) evrensel çözümle çözülür. aralık yöntemi, yine okul müfredatından biliniyor. Ancak kare binom ve üç terimli durumlarda, bence parabolün eksene göre konumunu analiz etmek çok daha uygun ve daha hızlıdır. Ve makalede ana yöntemi - aralık yöntemini - ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Fonksiyon sıfırları. Sabitlik aralıkları.

Örnek 8

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek, akıl yürütmenin mantığı + ikinci çözüm yöntemi ve eşitsizliğin bir başka önemli dönüşümü hakkında ayrıntılı olarak yorum yapıyor, öğrencinin haberi olmadan tek ayak üzerinde topallayacağı..., ...hmm... belki de heyecanlandım bacak hakkında, daha çok tek ayak parmağında. Baş parmak.

Sayı doğrusunda karekök fonksiyonu tanımlanabilir mi? Kesinlikle. Tüm tanıdık yüzler: . Veya üslü benzer bir toplam: . Aslında, herhangi bir "x" ve "ka" değeri için: , dolayısıyla da ve .

İşte daha az belirgin bir örnek: . Burada diskriminant negatiftir (parabol x eksenini kesmez), parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir, dolayısıyla tanım alanı: .

Tersi soru: Bir fonksiyonun tanım alanı olabilir mi? boş? Evet ve ilkel bir örnek hemen kendini gösteriyor , burada radikal ifade herhangi bir "x" değeri için negatiftir ve tanım alanı: (boş küme simgesi). Böyle bir fonksiyon hiç tanımlanmamıştır (elbette grafik de yanıltıcıdır).

Garip köklerle vesaire. her şey çok daha iyi - burada radikal ifade negatif olabilir. Örneğin sayı doğrusunda bir fonksiyon tanımlıdır. Bununla birlikte, payda sıfıra ayarlandığından fonksiyonun hala tanım alanına dahil olmayan tek bir noktası vardır. İşlev için aynı nedenden dolayı puanlar hariçtir.

Logaritmalı bir fonksiyonun tanım kümesi

Üçüncü ortak fonksiyon logaritmadır. Örnek olarak çizeceğim doğal logaritma 100 örnekten yaklaşık 99'unda görülür. Belirli bir fonksiyon bir logaritma içeriyorsa, tanım alanı yalnızca eşitsizliği karşılayan "x" değerlerini içermelidir. Logaritma paydada ise: , o zaman bunlara ek olarak bir koşul empoze edilmiştir ('den beri).

Örnek 9

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Yukarıdakilere uygun olarak sistemi oluşturup çözeceğiz:

Grafik çözümü Aptallar için:

Cevap: ihtisas:

Bir teknik nokta daha üzerinde duracağım - ölçeği belirtmiyorum ve eksen boyunca bölümler işaretlenmemiş. Şu soru ortaya çıkıyor: Kareli kağıt üzerine bir defterde bu tür çizimler nasıl yapılır? Noktalar arasındaki mesafe hücreler tarafından kesinlikle ölçeğe göre ölçülmeli mi? Elbette ölçeklendirmek daha kanonik ve daha katıdır, ancak durumu temel olarak yansıtan şematik bir çizim de oldukça kabul edilebilir.

Örnek 10

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Sorunu çözmek için önceki paragrafın yöntemini kullanabilirsiniz - parabolün x eksenine göre nasıl yerleştirildiğini analiz edin. Cevap dersin sonundadır.

Gördüğünüz gibi logaritma alanında her şey kareköklerle ilgili duruma çok benzer: fonksiyon (Örnek No. 7'deki kare trinomial) aralıklarda tanımlanır ve fonksiyon (Örnek No. 6'dan kare binom) aralıkta . Tip fonksiyonlarının sayı doğrusunda tanımlandığını söylemek bile gariptir.

Yardımcı bilgi : tipik fonksiyon ilginçtir, nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlanır. Logaritmanın özelliğine göre “iki” logaritmanın dışında çarpılabilir ancak fonksiyonun değişmemesi için “x”in modül işaretinin altına alınması gerekir: . İşte sana bir tane daha" pratik kullanım» modül =). Yıkarken çoğu durumda yapmanız gereken şey budur. eşit derece, örneğin: . Örneğin derecenin tabanı açıkça pozitifse, modül işaretine gerek yoktur ve parantezlerin kullanılması yeterlidir: .

Tekrarı önlemek için görevi karmaşıklaştıralım:

Örnek 11

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu fonksiyonda hem kök hem de logaritmaya sahibiz.

Radikal ifade negatif olmamalıdır: ve logaritma işaretinin altındaki ifade kesinlikle pozitif olmalıdır: . Bu nedenle sistemi çözmek gerekir:

Birçoğunuz sistem çözümünün tatmin edici olması gerektiğini çok iyi biliyor veya sezgisel olarak tahmin ediyorsunuz. her birine durum.

Parabolün eksene göre konumunu inceleyerek eşitsizliğin aralık (mavi gölgelendirme) tarafından karşılandığı sonucuna varıyoruz:

Eşitsizlik açıkça “kırmızı” yarı aralığa karşılık gelir.

Her iki koşulun da sağlanması gerektiğinden eşzamanlı ise sistemin çözümü bu aralıkların kesişimidir. Devre arasında "ortak çıkarlar" karşılanır.

Cevap: ihtisas:

Örnek 8'de gösterildiği gibi tipik eşitsizliğin analitik olarak çözülmesi zor değildir.

Bulunan etki alanı "benzer işlevler" için değişmeyecektir, ör. veya . Ayrıca bazı sürekli işlevler de ekleyebilirsiniz, örneğin: veya bunun gibi: , hatta şöyle: . Dedikleri gibi kök ve logaritma inatçı şeylerdir. Tek şey, eğer işlevlerden biri paydaya "sıfırlanırsa", o zaman tanım alanı değişecektir (her ne kadar genel durumda bu her zaman doğru olmasa da). Matan teorisinde bu sözel konu hakkında... ah... teoremler var.

Örnek 12

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İşlev en basit olmadığından çizim kullanmak oldukça uygundur.

Malzemeyi güçlendirmek için birkaç örnek daha:

Örnek 13

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Sistemi oluşturup çözelim:

Tüm eylemler makale boyunca zaten tartışılmıştır. Eşitsizliğe karşılık gelen aralığı sayı doğrusu üzerinde gösterelim ve ikinci koşula göre iki noktayı ortadan kaldıralım:

Anlamın tamamen alakasız olduğu ortaya çıktı.

Cevap: ihtisas

13. örneğin bir varyasyonu üzerine küçük bir matematik oyunu:

Örnek 14

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kaçıranlar şanssız ;-)

Dersin son bölümü daha nadir fakat aynı zamanda “çalışan” işlevlere ayrılmıştır:

Fonksiyon Tanım Alanları
teğetler, kotanjantlar, arksinüsler, arkkosinüsler ile

Eğer bir işlev içeriyorsa, o zaman onun tanım alanından hariç tutuldu nerede noktalar Z– bir dizi tamsayı. Özellikle makalede belirtildiği gibi Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri, fonksiyon delinmiş aşağıdaki değerler:

Yani teğetin tanım alanı: .

Çok fazla öldürmeyelim:

Örnek 15

Bir fonksiyonun tanım kümesini bulun

Çözüm: Bu durumda aşağıdaki hususlar tanım alanına dahil edilmeyecektir:

Sol tarafın "ikisini" sağ tarafın paydasına atalım:

Sonuç olarak :

Cevap: ihtisas: .

Prensipte cevap sonsuz sayıda aralığın birleşimi olarak yazılabilir, ancak yapımı çok zahmetli olacaktır:

Analitik çözüm tamamen tutarlıdır. grafiğin geometrik dönüşümü: Bir fonksiyonun argümanı 2 ile çarpılırsa grafiği eksene iki kez küçülür. Fonksiyonun periyodunun nasıl yarıya indirildiğine dikkat edin ve kırılma noktaları sıklığı iki katına çıktı. Taşikardi.

Benzer hikaye kotanjant ile. Eğer bir fonksiyon şunu içeriyorsa, o zaman noktalar onun tanım alanının dışında bırakılır. Özellikle otomatik seri çekim işlevi için aşağıdaki değerleri çekiyoruz:

Başka bir deyişle: