Größtes gemeinsames Vielfaches 6. Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen: Methoden, Beispiele zum Finden von LCM. I. Organisatorischer Moment

Setzen wir das Gespräch über das kleinste gemeinsame Vielfache fort, das wir im Abschnitt „LCM – kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele“ begonnen haben. In diesem Thema werden wir nach Möglichkeiten suchen, den LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden, und wir werden uns mit der Frage befassen, wie man den LCM einer negativen Zahl findet.

Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) über GCD

Den Zusammenhang zwischen dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen und dem größten gemeinsamen Teiler haben wir bereits festgestellt. Lassen Sie uns nun lernen, wie man das LCM durch GCD bestimmt. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie das für positive Zahlen geht.

Definition 1

Sie können das kleinste gemeinsame Vielfache durch den größten gemeinsamen Teiler mithilfe der Formel LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) ermitteln.

Beispiel 1

Sie müssen den LCM der Zahlen 126 und 70 finden.

Lösung

Nehmen wir a = 126, b = 70. Ersetzen wir die Werte in die Formel zur Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen durch den größten gemeinsamen Teiler LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Ermittelt den gcd der Zahlen 70 und 126. Dazu benötigen wir den euklidischen Algorithmus: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, also GCD (126 , 70) = 14 .

Berechnen wir den LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Antwort: LCM(126, 70) = 630.

Beispiel 2

Finden Sie die Nummern 68 und 34.

Lösung

GCD ist in diesem Fall nicht schwer zu finden, da 68 durch 34 teilbar ist. Berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache mit der Formel: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Antwort: LCM(68, 34) = 68.

In diesem Beispiel haben wir die Regel zum Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der positiven ganzen Zahlen a und b verwendet: Wenn die erste Zahl durch die zweite teilbar ist, ist der kgV dieser Zahlen gleich dem der ersten Zahl.

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Schauen wir uns nun die Methode zur Ermittlung des LCM an, die auf der Faktorisierung von Zahlen in Primfaktoren basiert.

Definition 2

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen wir eine Reihe einfacher Schritte ausführen:

• Wir bilden das Produkt aller Primfaktoren der Zahlen, für die wir das kgV ermitteln müssen.
• wir schließen alle Primfaktoren aus ihren resultierenden Produkten aus;
• Das nach Eliminierung der gemeinsamen Primfaktoren erhaltene Produkt entspricht dem kgV der angegebenen Zahlen.

Diese Methode zur Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen basiert auf der Gleichung LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Schaut man sich die Formel an, wird klar: Das Produkt der Zahlen a und b ist gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Zerlegung dieser beiden Zahlen beteiligt sind. In diesem Fall ist der ggT zweier Zahlen gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Faktorisierungen dieser beiden Zahlen vorkommen.

Beispiel 3

Wir haben zwei Nummern 75 und 210. Wir können sie wie folgt faktorisieren: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Wenn Sie das Produkt aller Faktoren der beiden ursprünglichen Zahlen zusammensetzen, erhalten Sie: 2 3 3 5 5 5 7.

Wenn wir die Faktoren ausschließen, die den Zahlen 3 und 5 gemeinsam sind, erhalten wir ein Produkt der folgenden Form: 2 3 5 5 7 = 1050. Dieses Produkt wird unser LCM für die Nummern 75 und 210 sein.

Beispiel 4

Finden Sie das LCM von Zahlen 441 Und 700 , wobei beide Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Lösung

Finden wir alle Primfaktoren der in der Bedingung angegebenen Zahlen:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Wir erhalten zwei Zahlenketten: 441 = 3 3 7 7 und 700 = 2 2 5 5 7.

Das Produkt aller Faktoren, die an der Zerlegung dieser Zahlen beteiligt waren, hat die Form: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Lassen Sie uns gemeinsame Faktoren finden. Das ist die Nummer 7. Schließen wir es vom Gesamtprodukt aus: 2 2 3 3 5 5 7 7. Es stellt sich heraus, dass NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Antwort: LOC(441, 700) = 44.100.

Lassen Sie uns die Methode zum Ermitteln des LCM durch Zerlegen von Zahlen in Primfaktoren noch einmal formulieren.

Definition 3

Zuvor haben wir die Faktoren, die beiden Zahlen gemeinsam sind, aus der Gesamtzahl ausgeschlossen. Jetzt machen wir es anders:

• Zerlegen wir beide Zahlen in Primfaktoren:
• Addiere zum Produkt der Primfaktoren der ersten Zahl die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl;
• Wir erhalten das Produkt, das das gewünschte LCM zweier Zahlen ist.

Beispiel 5

Kehren wir zu den Zahlen 75 und 210 zurück, für die wir bereits in einem der vorherigen Beispiele nach dem LCM gesucht haben. Teilen wir sie in einfache Faktoren auf: 75 = 3 5 5 Und 210 = 2 3 5 7. Zum Produkt der Faktoren 3, 5 und 5 Zahlen 75 ergänzen die fehlenden Faktoren 2 Und 7 Nummern 210. Wir bekommen: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Dies ist das LCM der Zahlen 75 und 210.

Beispiel 6

Es ist notwendig, den LCM der Zahlen 84 und 648 zu berechnen.

Lösung

Zerlegen wir die Zahlen aus der Bedingung in einfache Faktoren: 84 = 2 2 3 7 Und 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Fügen wir dem Produkt die Faktoren 2, 2, 3 und hinzu 7 Zahlen 84 fehlende Faktoren 2, 3, 3 und
3 Nummern 648. Wir bekommen das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Antwort: LCM(84, 648) = 4.536.

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Unabhängig davon, mit wie vielen Zahlen wir es zu tun haben, wird der Algorithmus unserer Aktionen immer derselbe sein: Wir werden nacheinander das LCM zweier Zahlen ermitteln. Für diesen Fall gibt es einen Satz.

Satz 1

Nehmen wir an, wir haben ganze Zahlen a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k Diese Zahlen werden durch sequentielle Berechnung von m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k) ermittelt.

Schauen wir uns nun an, wie der Satz zur Lösung spezifischer Probleme angewendet werden kann.

Beispiel 7

Sie müssen das kleinste gemeinsame Vielfache der vier Zahlen 140, 9, 54 und berechnen 250 .

Lösung

Führen wir die Notation ein: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Beginnen wir mit der Berechnung von m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Wenden wir den euklidischen Algorithmus an, um die GCD der Zahlen 140 und 9 zu berechnen: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Wir erhalten: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1.260. Daher ist m 2 = 1.260.

Berechnen wir nun mit demselben Algorithmus m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Bei den Berechnungen erhalten wir m 3 = 3 780.

Wir müssen nur m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) berechnen. Wir folgen dem gleichen Algorithmus. Wir erhalten m 4 = 94 500.

Der LCM der vier Zahlen aus der Beispielbedingung beträgt 94500.

Antwort: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Wie Sie sehen, sind die Berechnungen einfach, aber recht arbeitsintensiv. Um Zeit zu sparen, können Sie einen anderen Weg gehen.

Definition 4

Wir bieten Ihnen folgenden Aktionsalgorithmus an:

• wir zerlegen alle Zahlen in Primfaktoren;
• zum Produkt der Faktoren der ersten Zahl addieren wir die fehlenden Faktoren aus dem Produkt der zweiten Zahl;
• zu dem im vorherigen Schritt erhaltenen Produkt fügen wir die fehlenden Faktoren der dritten Zahl usw. hinzu;
• Das resultierende Produkt ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen aus der Bedingung.

Beispiel 8

Sie müssen den LCM von fünf Zahlen ermitteln: 84, 6, 48, 7, 143.

Lösung

Zerlegen wir alle fünf Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Primzahlen, also die Zahl 7, können nicht in Primfaktoren zerlegt werden. Solche Zahlen fallen mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen.

Nehmen wir nun das Produkt der Primfaktoren 2, 2, 3 und 7 der Zahl 84 und addieren dazu die fehlenden Faktoren der zweiten Zahl. Wir haben die Zahl 6 in 2 und 3 zerlegt. Diese Faktoren sind bereits im Produkt der ersten Zahl enthalten. Deshalb lassen wir sie weg.

Wir ergänzen weiterhin die fehlenden Multiplikatoren. Kommen wir zur Zahl 48, aus deren Primfaktorenprodukt wir 2 und 2 bilden. Dann addieren wir den Primfaktor 7 der vierten Zahl und die Faktoren 11 und 13 der fünften. Wir erhalten: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Dies ist das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen fünf Zahlen.

Antwort: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Ermitteln des kleinsten gemeinsamen Vielfachen negativer Zahlen

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden negative Zahlen, müssen diese Zahlen zunächst durch Zahlen mit umgekehrtem Vorzeichen ersetzt werden und dann müssen die Berechnungen mit den oben genannten Algorithmen durchgeführt werden.

Beispiel 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) und LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Solche Handlungen sind zulässig, da wir dies akzeptieren A Und − a– entgegengesetzte Zahlen,
dann die Menge der Vielfachen einer Zahl A entspricht der Menge der Vielfachen einer Zahl − a.

Beispiel 10

Es ist notwendig, den kgV von negativen Zahlen zu berechnen − 145 Und − 45 .

Lösung

Ersetzen wir die Zahlen − 145 Und − 45 zu ihren Gegenzahlen 145 Und 45 . Nun berechnen wir mithilfe des Algorithmus die LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, nachdem wir zuvor die GCD mithilfe des euklidischen Algorithmus bestimmt haben.

Wir erhalten, dass das LCM der Zahlen − 145 ist und − 45 gleicht 1 305 .

Antwort: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

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Thema: „Kleinstes gemeinsames Vielfaches“, 6. Klasse, UMK Vilenkin N.Ya.

Unterrichtsart: „Entdeckung“ neuen Wissens.

Grundlegende Ziele.

Konstruieren Sie eine Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und einen Algorithmus zum Ermitteln des LCM. Entwickeln Sie die Fähigkeit, LOC zu finden.

Fähigkeit trainieren

Zur Verwendung der Konzepte der Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen;

Zeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 9, 10:

Verschiedene Wege NOC finden:

Algorithmen zum Finden des Schnittpunktes und der Vereinigung von Mengen;

3) Trainieren Sie die Fähigkeit, in Primfaktoren zu faktorisieren.

I Selbstbestimmung zur Aktivität.

Machen wir ein Aufwärmtraining. Die Kinder werden je nach Möglichkeiten in Gruppen eingeteilt. Die Ersten nehmen die Aufgabenkarte und verkünden ihrer Gruppe:

1. - ein Zeichen der Teilbarkeit durch 2;

2. – Zeichen der Teilbarkeit durch 3;

3. – Zeichen der Teilbarkeit durch 5;

4. – Zeichen der Teilbarkeit durch 9;

5. – Zeichen der Teilbarkeit durch 10;

Die 6. ist ein Zeichen der Teilbarkeit durch 2.

Auf dem Präsentationsbildschirm erscheinen die folgenden Zahlen: 51, 22, 37, 191, 163, 88, 47, 133, 152, 202, 403, 75, 507, 609, 708, und die Kinder müssen diese Zahlen in ihr Notizbuch schreiben werden durch die Zuordnung bestimmt (oder steigen von ihrem Platz ab, wenn das ihnen gegebene Zeichen auf die Nummer angewendet werden kann)

Leute, warum müsst ihr die Zeichen der Teilbarkeit kennen? (zum Faktorisieren von Zahlen)

II. Wissen aktualisieren

In welche Klassen lassen sich alle natürlichen Zahlen entsprechend der Anzahl der Teiler einteilen? (für einfach und zusammengesetzt und 1)

Welche Zahlen heißen Primzahlen? (Zahlen mit nur zwei Teilern)

Listen Sie einige Primzahlen auf) (2,3,5,7,9,11,13,17,…)

Sagen Sie mir, um welche Probleme zu lösen, wird Faktorisierung verwendet? (Den größten gemeinsamen Teiler finden (in früheren Lektionen gelernt))

Was ist der Algorithmus zum Finden von GCD? (ein Algorithmus zum Finden von GCD mithilfe der Faktorisierung wird formuliert)

Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von 18 und 24?

Wie hast du das gefunden? Kinder werden mit angerufen verschiedene Wege Finden von gcd (durch Aufzeichnen aller Teiler von Zahlen, durch Zerlegung in Primfaktoren).

Vergleichen Sie den gcd mit jeder der Zahlen.

III. Stellen Sie eine Lernaufgabe und notieren Sie den Schwierigkeitsgrad der Aktivität

Schreiben Sie 8 Zahlen auf, die ein Vielfaches von 18 sind (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144).

Schreiben Sie 6 Zahlen auf, die ein Vielfaches von 24 sind (24, 48, 72, 96, 120, 144).

Gemeinsame Vielfache dieser Zahlen sind: 72. 144

Geben Sie der Zahl 72 einen Namen (Kleinstes gemeinsames Vielfaches dieser Zahlen: 72)

Formulieren Sie also das Thema der heutigen Lektion (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Was ist der Zweck des Unterrichts? (Lernen Sie, LOC zu finden)

Wir haben den LOC mit der Auswahlmethode gefunden, aber mit welcher anderen Methode können wir den LOC finden? (Mit der Methode der Faktorisierung in Primfaktoren)

Was ist die Essenz dieser Methode?

IV. Ein Projekt aufbauen, um aus einem Problem herauszukommen

Gemeinsam mit den Kindern wird ein Algorithmus zum Finden des LOC erstellt.

Dazu benötigen Sie:

LCM(18, 24) = 24 * 3 = 72

V. Primäre Konsolidierung in der externen Sprache.

Arbeitsbuch, Seite 28 Nr. 3 abc

Die Aufgabe wird mit Kommentaren gemäß dem abgeleiteten Algorithmus gemäß dem oben vorgeschlagenen Schema ausgeführt.

VI. Selbstständige Arbeit mit Selbsttest gegen Norm

Die Studierenden absolvieren Nr. 181 (abvg) selbstständig

Richtig gelöst

Fehler werden behoben, ihre Ursachen identifiziert und erläutert.

Zu diesem Zeitpunkt können Studierende, die die Aufgabe richtig gelöst haben, zusätzlich Nr. 183 bearbeiten

VII. Einbindung in das Wissenssystem und Wiederholung.

Studierende, die zu diesem Zeitpunkt Fehler in der selbstständigen Arbeit gemacht haben, absolvieren Nr. 4 RT ( Arbeitsheft, Seite 29), um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Der Rest der Studierenden entscheidet in den Gruppen Nr. 193, 161, 192

Kapitäne präsentieren Lösungen.

VIII. Reflexion der Aktivität. (Zusammenfassung der Lektion).

- Welche Zahl nennt man das gemeinsame Vielfache dieser Zahlen?

Welche Zahl nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen?

Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache?

Die Schüler platzieren eine Zahl auf der Linie von 0 bis 1, um ihren Kenntnisstand darzustellen. neues Thema, Zum Beispiel

IX. Hausaufgaben.

S.7 S. 29-30, Nr. 202, 204, 206(ab) zusätzlich (optional) Nr. 209 mit Präsentation in der nächsten Lektion.

Um zu verstehen, wie der LCM berechnet wird, müssen Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs „Mehrfach“ ermitteln.

Ein Vielfaches von A heißt natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist. Somit können Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, als 15, 20, 25 usw. betrachtet werden.

Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, es gibt jedoch unendlich viele Vielfache.

Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Um den LOC zu finden, können Sie verschiedene Methoden verwenden.

Bei kleinen Zahlen ist es praktisch, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis Sie eine Gemeinsamkeit zwischen ihnen finden. Vielfache werden in der Notation angegeben Großbuchstabe ZU.

Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Sie können also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Notation erfolgt wie folgt:

LCM(4, 6) = 24

Wenn die Zahlen groß sind, ermitteln Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen. Dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.

Um die Aufgabe abzuschließen, müssen Sie die angegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegen.

Zuerst müssen Sie die Zerlegung der größten Zahl in einer Zeile aufschreiben und darunter den Rest.

Die Zerlegung jeder Zahl kann eine unterschiedliche Anzahl von Faktoren enthalten.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.

Bei der Entwicklung der kleineren Zahl sollten Sie die Faktoren hervorheben, die bei der Entwicklung der ersten größten Zahl fehlen, und diese dann hinzufügen. Im dargestellten Beispiel fehlt eine Zwei.

Jetzt können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Somit ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl und der Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Entwicklung der größeren Zahl einbezogen wurden, das kleinste gemeinsame Vielfache.

Um das kgV von drei oder mehr Zahlen zu ermitteln, sollten Sie sie wie im vorherigen Fall alle in Primfaktoren zerlegen.

Als Beispiel können Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Somit wurden nur zwei Zweien aus der Entwicklung von sechzehn nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl einbezogen (eins ist in der Entwicklung von vierundzwanzig).

Daher müssen sie zur Erweiterung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere geteilt werden kann, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.

Beispielsweise beträgt der LCM von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.

Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die keine identischen Teiler haben, dann ist ihr kgV gleich ihrem Produkt.

Beispiel: LCM (10, 11) = 110.

Lektion 16. Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Ziele: das Konzept des kleinsten gemeinsamen Vielfachen einführen; die Fähigkeit entwickeln, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden; üben Sie Fähigkeiten zur Problemlösung algebraisch; Wiederholen Sie das arithmetische Mittel.

Informationen für Lehrer

Machen Sie die Schüler auf die unterschiedliche Bedeutung der Ausdrücke aufmerksam: „gemeinsames Vielfaches von Zahlen“, „kleinstes gemeinsames Vielfaches von Zahlen“.

Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ermitteln:

1. Prüfen Sie, ob die größere der angegebenen Zahlen durch die übrigen Zahlen teilbar ist.

2. Wenn diese Zahl teilbar ist, ist sie das kleinste gemeinsame Vielfache aller gegebenen Zahlen.

3. Wenn die Zahl nicht teilbar ist, prüfen Sie, ob die doppelte Zahl nicht durch die übrigen Zahlen teilbar ist größere Zahl, verdreifacht usw.

4. Überprüfen Sie also, bis Sie etwas finden kleinste Zahl, die durch jede der anderen Zahlen teilbar ist.

II-Methode

2. Schreiben Sie die Zerlegung einer der Zahlen auf (es ist besser, die größte Zahl sofort aufzuschreiben).

Wenn die Zahlen teilerfremd sind, ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ihr Produkt.

Während des Unterrichts

ICH. Zeit organisieren

II. Verbales Zählen

1. Spiel „Ich bin der Aufmerksamste.“

15, 67, 38, 560, 435, 226, 1000, 539, 3255.

Klatschen Sie in die Hände, wenn die Zahl ein Vielfaches von 2 ist.

Notieren Sie, ob die Zahl ein Vielfaches von 5 ist.

Stampfen Sie mit den Füßen, wenn die Zahl ein Vielfaches von 10 ist.

Warum klatschten, quietschten und stampften Sie gleichzeitig?

2. Nennen Sie alle Primzahlen, die die Ungleichung 20 erfüllen< х < 50.

3. Was ist größer, das Produkt oder die Summe dieser Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? (Summe. Das Produkt ist 0 und die Summe ist 45.)

4. Benennen Sie eine vierstellige Zahl, die aus den Zahlen 1, 7, 5, 8 und einem Vielfachen von 2, 5, 3 besteht. (1578, 1875, 1515.)

5. Marina hatte einen ganzen Apfel, zwei Hälften und vier Viertel. Wie viele Äpfel hatte sie? (3.)

III. Individuelle Arbeit

(Geben Sie Schülern, die bei der selbstständigen Arbeit Fehler gemacht haben, eine Aufgabe, damit sie die Notizen im Klassenheft verwenden können.)

1 Karte

a) 20 und 30; b) 8 und 9; c) 24 und 36.

2. Schreiben Sie zwei Zahlen auf, deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl ist: a) 5; b) 8.

a) 22 und 33; b) 24 und 30; c) 45 und 9; d) 15 und 35.

2 Karte

1. Finden Sie alle gemeinsamen Teiler von Zahlen und unterstreichen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler:

a) 30 und 40; b) 6 und 15; c) 28 und 42.

Nennen Sie, falls vorhanden, ein Paar relativer Primzahlen.

2. Schreiben Sie zwei Zahlen auf, deren größter gemeinsamer Teiler die Zahl ist: a) 3; b) 9.

3. Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen:

a) 33 und 44; b) 18 und 24; c) 36 und 9; d) 20 und 25.

IV. Nachricht zum Unterrichtsthema

Heute werden wir in der Lektion herausfinden, was das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen ist und wie man es findet.

V. Neues Material lernen

(Das Problem steht an der Tafel.)

Lesen Sie das Problem.

Zwei Boote fahren von einem Pier zum anderen. Sie beginnen zur gleichen Zeit um 8 Uhr mit der Arbeit. Die Hin- und Rückfahrt dauert mit dem ersten Boot 2 Stunden, mit dem zweiten 3 Stunden.

In welcher kürzesten Zeit erreichen beide Boote wieder die erste Anlegestelle und wie viele Fahrten wird jedes Boot in dieser Zeit zurücklegen?

Wie oft am Tag treffen sich diese Boote am ersten Pier und zu welcher Zeit wird dies geschehen?

Die erforderliche Zeit muss sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sein, d. h. sie muss ein Vielfaches von 2 und 3 sein.

Schreiben wir Zahlen, die ein Vielfaches von 2 und 3 sind:

Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind: 2, 4, 6 , 8, 10, 12 , 14, 16, 18 , 20, 22, 24 .

Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind: 3, 6 , 9, 12 , 15, 18 , 21, 24 .

Unterstreiche die gemeinsamen Vielfachen von 2 und 3.

Nennen Sie das kleinste Vielfache von 2 und 3. (Das kleinste Vielfache ist die Zahl 6.)

Das bedeutet, dass 6 Stunden nach Arbeitsbeginn zwei Boote gleichzeitig am ersten Pier eintreffen.

Wie viele Fahrten wird jedes Boot in dieser Zeit unternehmen? (1 – 3 Flüge, 2 – 2 Flüge.)

Wie oft am Tag treffen sich diese Boote am ersten Pier? (4 Mal.)

Um wie viel Uhr wird das passieren? (Um 14:00, 20:00, 2:00, 8:00 Uhr.)

Definition. Die kleinste natürliche Zahl, die durch jede gegebene natürliche Zahl teilbar ist, wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet.

Bezeichnung: LCM (2; 3) = 6.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen kann ermittelt werden, ohne Vielfache von Zahlen hintereinander aufzuschreiben.

Dazu benötigen Sie:

1. Teilen Sie alle Zahlen in Primfaktoren.

2. Schreiben Sie die Entwicklung einer der Zahlen (vorzugsweise der größten).

3. Ergänzen Sie diese Erweiterung mit den Faktoren aus der Erweiterung anderer Zahlen, die in der schriftlichen Erweiterung nicht enthalten waren.

4. Berechnen Sie das resultierende Produkt.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen:

a) 75 und 60; b) 180, 45 und 60; c) 12 und 35.

Zunächst müssen Sie prüfen, ob die größere Zahl durch andere Zahlen teilbar ist.

Wenn ja, dann ist die größere Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Bestimmen Sie dann, ob die angegebenen Zahlen teilerfremd sind.

Wenn ja, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache das Produkt dieser Zahlen.

a) 75 ist nicht durch 60 teilbar und die Zahlen 75 und 60 sind also keine teilerfremden Zahlen

Es ist besser, nicht die Zerlegung der Zahl 75, sondern die Zahl selbst sofort aufzuschreiben.

b) Die Zahl 180 ist sowohl durch 45 als auch durch 60 teilbar, daher gilt:

NOC (180; 45; 60) = 180.

c) Diese Zahlen sind relativ teilerfremd, was bedeutet, dass LCM (12; 35) = 420 ist.

VI. Minute des Sportunterrichts

VII. An einer Aufgabe arbeiten

1. - Formulieren Sie ein Problem mithilfe einer kurzen Notiz.

(Im Lager befanden sich 160 kg Äpfel in drei Kisten. In der ersten Kiste waren es 15 kg weniger, in der zweiten, in der zweiten waren es doppelt so viele wie in der dritten. Wie viele kg Äpfel waren in jeder Kiste ?)

Lösen Sie das Problem mit der algebraischen Methode.

(An der Tafel und in Notizbüchern.)

Was nehmen wir als x? Warum? (Wie viele kg Äpfel sind in Box III? Nehmen Sie lieber die kleinere Zahl als x.)

Was ist dann mit Box II? (2x (kg) Äpfel in Kiste II.)

Wie viele werden in Box I enthalten sein? (2x - 15 (kg) Äpfel in der ersten Kiste.)

Womit kann man eine Gleichung erstellen? (3 Kartons enthalten insgesamt 160 kg Äpfel.)

1) Seien x (kg) Äpfel in Box III,

2x (kg) - Äpfel in Kiste II,

2x - 15 (kg) - Äpfel in der ersten Kiste.

Da wir wissen, dass sich in drei Kisten nur 160 kg Äpfel befinden, erstellen wir eine Gleichung:

x + 2x + 2x - 15 = 160

x = 35; 35 kg Äpfel in Kiste III.

2) 35 · 2 = 70 (kg) – Äpfel in Kiste II.

3) 70 - 15 = 55 (kg) - Äpfel in Box I.

Was sollten Sie tun, bevor Sie die Antwort auf das Problem niederschreiben? (Um die Antwort aufzuschreiben, müssen Sie die Frage in der Aufgabe lesen.)

Benennen Sie die Frage der Aufgabe. (Wie viele kg Äpfel waren in jeder Kiste?)

Da wir eine detaillierte Erklärung der Aktionen verfasst haben, werden wir die Antwort kurz schreiben.

(Antwort: 55 kg, 70 kg, 35 kg.)

2. Nr. 184 S. 30 (an der Tafel und in Heften).

Lesen Sie das Problem.

Was muss getan werden, um die Problemfrage zu beantworten? (Finden Sie das LCM der Nummern 45 und 60.)

45 = 3 · 3 · 5

60 = 2 · 5 · 2 · 3

NOC (45; 60) = 60 · 3 = 180, also 180 m.

(Antwort: 180 m.)

VIII. Vertiefung des Gelernten

1. Nr. 179 S. 30 (an der Tafel und in Heften).

Finden Sie die Primfaktorzerlegung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers der Zahlen a und b.

a) LCM (a; c) = 3 5 7

GCD(a;c) = 5.

b) LCM (a; c) = 2 2 3 3 5 7

GCD (a; c) = 2 2 3.

2. Nr. 180 (a, b) S. 30 (mit ausführlichem Kommentar).

a) LCM (a; b) = 2 3 3 3 5 2 5 = 2700.

b) Da b durch a teilbar ist, ist LCM die Zahl b selbst.

LCM (a; b) = 2 3 3 5 7 7 = 4410.

IX. Wiederholung des Gelernten

1. - Wie ermittelt man das arithmetische Mittel mehrerer Zahlen? (Ermitteln Sie die Summe dieser Zahlen; dividieren Sie das Ergebnis durch die Anzahl der Zahlen.)

Nr. 198 S. 32 (an der Tafel und in Heften).

(3,8 + 4,2 + 3,5 + 4,1) : 4 = 3,9

2. Nr. 195 S. 32 (unabhängig).

Wie kann man den Quotienten zweier Zahlen unterschiedlich schreiben? (Als Bruch.)

X. Selbstständiges Arbeiten

Notieren Sie Zwischenantworten.

Option I. Nr. 125 (1-2 Zeilen) S. 22, Nr. 222 (a-c) S. 36, Nr. 186 (a, b) S. 31.

Option II. Nr. 125 (3-4 Zeilen) S. 22, Nr. 186 (c, d) S. 31, Nr. 222 (v-d) S. 36.

XI. Zusammenfassung der Lektion

Welche Zahl nennt man das gemeinsame Vielfache dieser Zahlen?

Welche Zahl nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen?

Wie findet man das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen?

Hausaufgaben

Nr. 202 (a, b, finden Sie GCD und NOC), Nr. 204 S. 32, Nr. 206 (a) S. 33, Nr. 145 (a) S. 24.

Einzelaufgabe: Nr. 201 S. 32.

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Folienunterschriften:

Mathematikunterricht in der 6. Klasse. Mathematiklehrer der GBOU-Sekundarschule Nr. 539 Dmitry Vadimovich Labzin. Kleinstes gemeinsames Vielfaches.

Mündliche Arbeit. 1. Berechnen Sie: a) ? ? 2. Es ist bekannt, mit den Begriffen „ist ein Teiler“, „ist geteilt“, „ist ein Vielfaches“ korrekte Aussagen zu finden. Welche davon sind Synonyme? 3. Kann man sagen, dass die Zahlen a, b und c Vielfache der Zahl 14 sind, wenn: - Finden Sie den Quotienten aus der Division der Zahl a durch 14 und der Zahl b durch 14.

Schriftlich. 2. Finden Sie einige gemeinsame Vielfache von 15 und 30. Lösung. Vielfache von 15: 15; dreißig; 45; 60; 75; 90... Vielfaches von 30: 30; 60; 90… Gemeinsames Vielfaches: 30; 60; 90. - Nennen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 15 und 30. - Die Zahl 30. - Versuchen Sie zu formulieren, welche Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen a und b genannt wird? Das kleinste gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist. - Bitte sagen Sie mir, ist die in Betracht gezogene Methode, das NOC zu finden, praktisch? - Warum? NOC(15;30) = 30. Sie schreiben:

2. Gegebene Zahlen: - Überlegen Sie, wie Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a und b finden können? Algorithmus. 1. Zerlegen Sie diese Zahlen in Primfaktoren. 2. Schreiben Sie die Erweiterung einer davon auf; 3. Addiere die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung einer anderen Zahl; 4. Finden Sie das resultierende Produkt.

Beispiel 1. Finden Sie LCM (32;25). Lösung. Zerlegen wir die Zahlen 32 und 25 in Primfaktoren. ; - Was können Sie zu den Zahlen 32 und 25 sagen? Das kleinste gemeinsame Vielfache gegenseitiger Primzahlen ist gleich ihrem Produkt. Beispiel 2. Finden Sie das LCM der Zahlen 12; 15; 20; 60. Lösung. Wenn es unter den Zahlen eine gibt, die durch alle anderen teilbar ist, dann ist dies das kgV dieser Zahlen. - Was haben Sie bemerkt?

Gegebene Zahlen: 15 und 30. Vielfache von 15: 15; dreißig; 45; 60; 75; 90... Vielfaches von 30: 30; 60; 90... Kleinstes gemeinsames Vielfaches: 30. Das ist interessant! Vielfache von 30: 30; 60; 90... Jedes Vielfache der LCM-Zahl (a; b) ist ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen a und b und umgekehrt ist jedes ihrer gemeinsamen Vielfachen ein Vielfaches der LCM-Zahl (a; b).