Produkt aus drei Vektoren Online-Rechner. Kreuzprodukt von Vektoren. Gemischtes Produkt von Vektoren

Gemischtes (oder vektorskalares) Produkt drei Vektoren a, b, c (in der angegebenen Reihenfolge genommen) nennt man das Skalarprodukt des Vektors a und das Vektorprodukt b x c, also die Zahl a(b x c) oder, was dasselbe ist, (b x c)a.
Bezeichnung: abc.

Zweck. Der Online-Rechner dient zur Berechnung des Mischprodukts von Vektoren. Die resultierende Lösung wird in einer Word-Datei gespeichert. Zusätzlich wird eine Lösungsvorlage in Excel erstellt.

A ( ; ; )
B( ; ; )
C ( ; ; )
Verwenden Sie zur Berechnung der Determinante die Dreiecksregel

Anzeichen der Koplanarität von Vektoren

Drei Vektoren (bzw größere Zahl) heißen koplanar, wenn sie, auf einen gemeinsamen Ursprung reduziert, in derselben Ebene liegen.
Wenn mindestens einer der drei Vektoren Null ist, gelten die drei Vektoren auch als koplanar.

Zeichen der Koplanarität. Wenn das System a, b, c rechtshändig ist, dann abc>0 ; wenn übrig, dann abc Geometrische Bedeutung des Mischprodukts. Gemischtes Stück abc von drei nicht koplanaren Vektoren a, b, c ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das auf den Vektoren a, b, c aufgebaut ist, mit einem Pluszeichen, wenn das System a, b, c rechtshändig ist, und mit ein Minuszeichen, wenn dieses System linkshändig ist.

Eigenschaften eines Mischprodukts

1. Wenn die Faktoren zirkulär neu angeordnet werden, ändert sich das gemischte Produkt nicht; wenn zwei Faktoren neu angeordnet werden, wird das Vorzeichen umgekehrt: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Es ergibt sich aus der geometrischen Bedeutung.
2. (a+b)cd=acd+bcd (Verteilungseigenschaft). Erweitert sich auf beliebig viele Begriffe.
   Folgt aus der Definition eines gemischten Produkts.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinative Eigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor).
   Folgt aus der Definition eines gemischten Produkts. Diese Eigenschaften ermöglichen die Anwendung von Transformationen auf gemischte Produkte, die sich von gewöhnlichen algebraischen nur dadurch unterscheiden, dass die Reihenfolge der Faktoren nur unter Berücksichtigung des Vorzeichens des Produkts geändert werden kann.
4. Ein gemischtes Produkt, das mindestens zwei gleiche Faktoren hat, ist gleich Null: aab=0.

Beispiel Nr. 1. Finden Sie ein gemischtes Produkt. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Beispiel Nr. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca. Alle Terme außer den beiden extremen sind gleich Null. Auch bca=abc . Daher ist (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Beispiel Nr. 3. Berechnen Sie das gemischte Produkt der drei Vektoren a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Lösung. Um das gemischte Produkt von Vektoren zu berechnen, muss die Determinante eines Systems aus Vektorkoordinaten ermittelt werden. Schreiben wir das System in das Formular.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich gezielt mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die häufig in zu finden sind praktische Arbeit

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In unterschiedlicher pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren; ich verwende den Buchstaben.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition Stück für Stück aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Es werden Vektoren genommen in einer streng definierten Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren mit multipliziert werden umgekehrte Reihenfolge, dann erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eines davon geometrische Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Erhalten wir die zweite wichtige Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Nicht weniger wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand . Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen – Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen Es wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut ist es, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe ergibt sich aus der Formel – der Sinus von Null oder 180 Grad gleich Null, und daher ist die Fläche Null

Also, wenn, dann . Streng genommen ist das Vektorprodukt selbst gleich dem Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und es wird geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Für Lösungen praktische Beispiele wird vielleicht benötigt trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Wenn Sie nach der Länge gefragt wurden, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht; wir wurden danach gefragt Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es viele Literalisten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Punkt sollte bei der Lösung eines Problems stets unter Kontrolle gehalten werden höhere Mathematik, und auch in anderen Fächern.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für unabhängige Entscheidung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht hervorgehoben, ist aber aus praktischer Sicht sehr wichtig. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollen sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung oder verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir verschieben die Konstante aus dem Modul heraus und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren. Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der netten Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem ist recht häufig Tests, hier ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Schnelle Lösung und die Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und wir setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles von der Definition abhängen, geometrische Bedeutung und ein paar Arbeitsformeln.

Ein gemischtes Vektorprodukt ist das Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit zu bezeichnen und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. In einfachen Worten, das Mischprodukt kann negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.

Um ein solches Thema im Detail zu betrachten, ist es notwendig, mehrere weitere Abschnitte abzudecken. Das Thema steht in direktem Zusammenhang mit Begriffen wie Skalarprodukt und Vektorprodukt. In diesem Artikel haben wir versucht, eine genaue Definition zu geben und eine Formel anzugeben, die dabei hilft, das Produkt anhand der Koordinaten der Vektoren zu bestimmen. Darüber hinaus enthält der Artikel Abschnitte, in denen die Eigenschaften des Werkes und der Geschenke aufgeführt sind Detaillierte Analyse typische Gleichheiten und Probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Begriff

Um diesen Begriff zu bestimmen, müssen Sie drei Vektoren nehmen.

Definition 1

Gemischte Arbeit a → , b → und d → ist der Wert, der dem Skalarprodukt von a → × b → und d → entspricht, wobei a → × b → die Multiplikation von a → und b → ist. Die Multiplikationsoperation a →, b → und d → wird oft mit a → · b → · d → bezeichnet. Sie können die Formel wie folgt umwandeln: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Multiplikation in einem Koordinatensystem

Wir können Vektoren multiplizieren, wenn sie auf der Koordinatenebene angegeben sind.

Nehmen wir i → , j → , k →

Das Produkt der Vektoren hat in diesem speziellen Fall die folgende Form: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) k → = a y a z by y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x by y k →

Definition 2

Um das Skalarprodukt zu berechnen Im Koordinatensystem müssen die bei der Koordinatenmultiplikation erhaltenen Ergebnisse addiert werden.

Daher:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Wir können auch ein gemischtes Produkt von Vektoren definieren, wenn ein gegebenes Koordinatensystem die Koordinaten der Vektoren angibt, die multipliziert werden.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Daraus können wir schließen, dass:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definition 3

Es kann ein Mischprodukt gleichgesetzt werden zur Determinante einer Matrix, deren Zeilen Vektorkoordinaten sind. Visuell sieht es so aus: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Eigenschaften von Operationen an Vektoren Aus den Merkmalen, die in einem Skalar- oder Vektorprodukt hervorstechen, können wir die Merkmale ableiten, die das gemischte Produkt charakterisieren. Nachfolgend stellen wir die wichtigsten Eigenschaften vor.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften sollte klargestellt werden, dass, wenn der Multiplikator Null ist, auch das Ergebnis der Multiplikation Null ist.

Das Ergebnis der Multiplikation ist ebenfalls Null, wenn zwei oder mehr Faktoren gleich sind.

In der Tat, wenn a → = b →, dann ist nach der Definition des Vektorprodukts [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 das gemischte Produkt gleich Null, da ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Wenn a → = b → oder b → = d →, dann ist der Winkel zwischen den Vektoren [a → × b →] und d → gleich π 2. Nach Definition des Skalarprodukts von Vektoren ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Die Eigenschaften der Multiplikationsoperation werden am häufigsten bei der Lösung von Problemen benötigt.
Um es im Detail zu untersuchen dieses Thema Nehmen wir ein paar Beispiele und beschreiben sie im Detail.

Beispiel 1

Beweisen Sie die Gleichheit ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), wobei λ eine reelle Zahl ist.

Um eine Lösung für diese Gleichheit zu finden, muss ihre linke Seite transformiert werden. Dazu müssen Sie die dritte Eigenschaft eines Mischprodukts nutzen, die besagt:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Wir haben gesehen, dass (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Daraus folgt das
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Gemäß der ersten Eigenschaft ist ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) und ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Somit ist ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Deshalb,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Gleichberechtigung ist erwiesen.

Beispiel 2

Es muss nachgewiesen werden, dass der Modul des gemischten Produkts dreier Vektoren nicht größer ist als das Produkt ihrer Längen.

Lösung

Basierend auf der Bedingung können wir das Beispiel in Form einer Ungleichung a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → darstellen.

Per Definition transformieren wir die Ungleichung a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Unter Verwendung elementarer Funktionen können wir schließen, dass 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

Daraus können wir schließen
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Die Ungleichheit ist bewiesen.

Analyse typischer Aufgaben

Um das Produkt von Vektoren zu bestimmen, müssen Sie die Koordinaten der multiplizierten Vektoren kennen. Für die Operation können Sie die folgende Formel verwenden: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Beispiel 3

In einem rechteckigen Koordinatensystem gibt es 3 Vektoren mit den folgenden Koordinaten: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Es muss ermittelt werden, wie groß das Produkt der angegebenen Vektoren a → · b → · d → ist.

Basierend auf der oben dargestellten Theorie können wir die Regel verwenden, dass das gemischte Produkt durch die Determinante der Matrix berechnet werden kann. Es wird so aussehen: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Beispiel 4

Es ist notwendig, das Produkt der Vektoren i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → zu finden, wobei i → , j → , k → die Einheitsvektoren von sind rechteckiges kartesisches Koordinatensystem.

Basierend auf der Bedingung, dass sich die Vektoren in einem bestimmten Koordinatensystem befinden, können ihre Koordinaten abgeleitet werden: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Wir verwenden die oben verwendete Formel
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Es ist auch möglich, das Mischprodukt anhand der bereits bekannten Länge des Vektors und des Winkels zwischen ihnen zu bestimmen. Schauen wir uns diese These anhand eines Beispiels an.

Beispiel 5

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem gibt es drei Vektoren a →, b → und d →, die senkrecht zueinander stehen. Sie sind rechtshändige Tripel und haben die Längen 4, 2 und 3. Es ist notwendig, die Vektoren zu multiplizieren.

Bezeichnen wir c → = a → × b → .

Gemäß der Regel ist das Ergebnis der Multiplikation von Skalarvektoren eine Zahl, die gleich dem Ergebnis der Multiplikation der Längen der verwendeten Vektoren mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist. Wir schließen daraus, dass a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Wir verwenden die in der Beispielbedingung angegebene Länge des Vektors d →: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Es ist notwendig, c → und c → , d → ^ zu bestimmen. Nach Bedingung a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Der Vektor c → wird mithilfe der Formel ermittelt: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Wir können daraus schließen, dass c → senkrecht zu a → und b → steht. Die Vektoren a → , b → , c → sind ein rechtes Tripel, daher wird das kartesische Koordinatensystem verwendet. Die Vektoren c → und d → sind unidirektional, d. h. c → , d → ^ = 0 . Mit den abgeleiteten Ergebnissen lösen wir das Beispiel a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Wir verwenden die Faktoren a → , b → und d → .

Die Vektoren a → , b → und d → stammen vom selben Punkt. Wir verwenden sie als Seiten, um eine Figur zu bauen.

Bezeichnen wir, dass c → = [ a → × b → ] . Für diesen Fall können wir das Produkt von Vektoren definieren als a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , wobei n p c → d → ist die numerische Projektion des Vektors d → auf die Richtung des Vektors c → = [ a → × b → ] .

Der Absolutwert n p c → d → ist gleich der Zahl, die auch gleich der Höhe der Figur ist, für die die Vektoren a → , b → und d → als Seiten verwendet werden. Auf dieser Grundlage sollte klargestellt werden, dass c → = [ a → × b → ] senkrecht zu a → sowohl Vektor als auch Vektor gemäß der Definition der Vektormultiplikation ist. Der Wert c → = a → x b → ist gleich der Fläche des Parallelepipeds, das auf den Vektoren a → und b → aufgebaut ist.

Wir schließen daraus, dass der Modul des Produkts a → · b → · d → = c → · n p c → d → gleich dem Ergebnis der Multiplikation der Grundfläche mit der Höhe der Figur ist, auf der sie aufgebaut ist Vektoren a → , b → und d → .

Definition 4

Der Absolutwert des Kreuzprodukts ist das Volumen des Parallelepipeds: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Diese Formel ist die geometrische Bedeutung.

Definition 5

Volumen eines Tetraeders, das auf a →, b → und d → aufgebaut ist, entspricht 1/6 des Volumens des Parallelepipeds. Wir erhalten, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Um das Wissen zu festigen, schauen wir uns einige typische Beispiele an.

Beispiel 6

Es ist notwendig, das Volumen eines Parallelepipeds zu ermitteln, dessen Seiten A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) sind. , angegeben in einem rechtwinkligen Koordinatensystem . Das Volumen eines Parallelepipeds kann mit der Absolutwertformel ermittelt werden. Daraus folgt: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Dann ist V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V par l l e l e p i p i d a = 18

Beispiel 7

Das Koordinatensystem enthält die Punkte A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Es ist notwendig, das Volumen des Tetraeders zu bestimmen, das sich an diesen Punkten befindet.

Verwenden wir die Formel V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Wir können die Koordinaten von Vektoren aus den Koordinaten von Punkten bestimmen: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

Als nächstes bestimmen wir das gemischte Produkt A B → A C → A D → durch Vektorkoordinaten: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volumen V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

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Gemischtes Produkt von Vektoren (Theorie)

Gemischtes Stück drei Vektoren ist die Zahl, die erhalten wird, wenn Skalarprodukt Ergebnis Vektorprodukt die ersten beiden Vektoren zum dritten Vektor. Mit anderen Worten, wenn drei Vektoren gegeben sind a, b Und C, um dann das gemischte Produkt dieser Vektoren zu erhalten, zuerst die ersten beiden Vektoren und den resultierenden Vektor [ ab] wird mit dem Vektor skalar multipliziert C.

Gemischtes Produkt aus drei Vektoren a, b Und C wie folgt bezeichnet: ABC oder so ( ABC). Dann können wir schreiben:

ABC=([ab],C)

Bevor Sie einen Satz formulieren, der die geometrische Bedeutung eines gemischten Produkts darstellt, machen Sie sich mit den Konzepten rechtes Tripel, linkes Tripel, rechtes Koordinatensystem und linkes Koordinatensystem vertraut (Definitionen 2, 2" und 3 auf Seite). Vektorprodukt von Vektoren online).

Der Bestimmtheit halber betrachten wir im Folgenden nur rechtshändige Koordinatensysteme.

Satz 1. Gemischtes Produkt von Vektoren ([ab],C) ist gleich dem Volumen eines Parallelipeds, das aus auf einen gemeinsamen Ursprung reduzierten Vektoren konstruiert wurde a, b, c, mit einem Pluszeichen versehen, wenn drei a, b, c rechts, und mit einem Minuszeichen, wenn drei a, b, c links Wenn die Vektoren a, b, c sind koplanar, dann ([ ab],C) ist gleich Null.

Folgerung 1. Es gilt folgende Gleichheit:

Deshalb reicht es uns, das zu beweisen

([ab],C)=([v. Chr],A)

(3)

Aus Ausdruck (3) geht hervor, dass der linke und der rechte Teil gleich dem Volumen des Parallelipeds sind. Aber die Vorzeichen der rechten und linken Seite stimmen überein, da es sich um Vektortripel handelt ABC Und bca haben die gleiche Ausrichtung.

Die bewiesene Gleichheit (1) ermöglicht es uns, das gemischte Produkt dreier Vektoren zu schreiben a, b, c nur in der Form ABC, ohne anzugeben, welche zwei Vektoren vektoriell mit den ersten beiden oder den letzten beiden multipliziert werden.

Folgerung 2. Notwendig und ausreichender Zustand Die Koplanarität dreier Vektoren ist die Gleichheit ihres gemischten Produkts mit Null.

Der Beweis folgt aus Satz 1. Wenn die Vektoren tatsächlich koplanar sind, ist das gemischte Produkt dieser Vektoren gleich Null. Wenn umgekehrt das gemischte Produkt gleich Null ist, folgt die Koplanarität dieser Vektoren aus Satz 1 (da das Volumen eines Parallelipeds, das aus auf einen gemeinsamen Ursprung reduzierten Vektoren aufgebaut ist, gleich Null ist).

Folgerung 3. Das gemischte Produkt von drei Vektoren, von denen zwei zusammenfallen, ist gleich Null.

Wirklich. Wenn zwei der drei Vektoren zusammenfallen, sind sie koplanar. Daher ist das gemischte Produkt dieser Vektoren gleich Null.

Gemischtes Produkt von Vektoren in kartesischen Koordinaten

Satz 2. Seien drei Vektoren a, b Und C definiert durch ihre kartesischen rechtwinkligen Koordinaten

Nachweisen. Gemischtes Stück ABC gleich dem Skalarprodukt von Vektoren [ ab] Und C. Vektorgrafiken Vektoren [ ab] in kartesischen Koordinaten wird nach der Formel () berechnet:

Der letzte Ausdruck kann mit Determinanten zweiter Ordnung geschrieben werden:

Es ist notwendig und ausreichend, dass die Determinante gleich Null ist, deren Zeilen mit den Koordinaten dieser Vektoren gefüllt sind, d. h.:

.

(7)

Um die Folgerung zu beweisen, genügt es, Formel (4) und Folgerung 2 zu betrachten.

Gemischtes Vektorprodukt mit Beispielen

Beispiel 1. Finden Sie ein gemischtes Produkt von Vektoren abс, Wo

Gemischtes Produkt von Vektoren a, b, c gleich der Determinante der Matrix L. Berechnen wir die Determinante der Matrix L, Erweitern der Determinante entlang Linie 1:

Vektorendpunkt A.