heim / Maulwürfe/ Finden des Maximums und Minimums einer Funktion auf einem Segment. So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion

Ermitteln des Maximums und Minimums einer Funktion auf einem Segment. So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion

Der größte (kleinste) Wert einer Funktion ist der größte (kleinste) akzeptierte Wert der Ordinate im betrachteten Intervall.

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:

Überprüfen Sie, welche stationären Punkte in einem bestimmten Segment enthalten sind.
Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3
Wählen Sie aus den erhaltenen Ergebnissen den größten oder kleinsten Wert aus.

Um die maximale oder minimale Punktzahl zu ermitteln, müssen Sie:

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f"(x)$
Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Gleichung $f"(x)=0$ lösen
Faktorisieren Sie die Ableitung einer Funktion.
Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie, platzieren Sie stationäre Punkte darauf und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen, indem Sie die Notation in Schritt 3 verwenden.
Finden Sie die maximalen oder minimalen Punkte gemäß der Regel: Wenn die Ableitung an einem Punkt das Vorzeichen von Plus nach Minus ändert, ist dies der maximale Punkt (wenn von Minus nach Plus, dann ist dies der minimale Punkt). In der Praxis ist es praktisch, das Bild von Pfeilen auf Intervallen zu verwenden: Auf dem Intervall, in dem die Ableitung positiv ist, wird der Pfeil nach oben gezeichnet und umgekehrt.

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Funktion	Derivat
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Grundregeln der Differenzierung

1. Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Finden Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

Die Ableitung der Summe und Differenz ist gleich der Ableitung jedes Termes

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))“=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Derivat des Produkts.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Ableitung des Quotienten

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Finden Sie die Ableitung $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Ableitung komplexe Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion und der Ableitung der internen Funktion

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Lasst uns finden ODZ-Funktionen: $x+11>0; x>-11$

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Finden Sie stationäre Punkte, indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen

$(2x+21)/(x+11)=0$

Ein Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null, und der Nenner ist nicht Null

$2x+21=0; x≠-11$

4. Zeichnen wir eine Koordinatenlinie, platzieren stationäre Punkte darauf und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in den resultierenden Intervallen. Ersetzen Sie dazu eine beliebige Zahl aus dem Bereich ganz rechts in die Ableitung, beispielsweise Null.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Am Minimalpunkt ändert die Ableitung das Vorzeichen von Minus nach Plus, daher ist der Punkt $-10,5$ der Minimalpunkt.

Antwort: $-10,5$

Finden Höchster Wert Funktionen $y=6x^5-90x^3-5$ auf dem Intervall $[-5;1]$

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion $y′=30x^4-270x^2$

2. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich und finden Sie stationäre Punkte

$30x^4-270x^2=0$

Nehmen wir den Gesamtfaktor $30x^2$ aus der Klammer

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Setzen wir jeden Faktor mit Null gleich

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Wählen Sie stationäre Punkte aus, die zum angegebenen Segment $[-5;1]$ gehören

Die stationären Punkte $x=0$ und $x=-3$ passen zu uns

4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Segments und an stationären Punkten aus Schritt 3

Der Prozess der Suche nach den kleinsten und größten Werten einer Funktion auf einem Segment erinnert an einen faszinierenden Flug um ein Objekt (Graph einer Funktion) in einem Hubschrauber, bei dem man mit einer Langstreckenkanone auf bestimmte Punkte feuert und sehr viel auswählt Spezielle Punkte von diesen Punkten für Kontrollschüsse. Punkte werden auf eine bestimmte Art und Weise und nach bestimmten Regeln ausgewählt. Nach welchen Regeln? Wir werden weiter darüber sprechen.

Wenn die Funktion j = F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] , dann erreicht es dieses Segment am wenigsten Und höchste Werte . Dies kann entweder in passieren Extrempunkte oder an den Enden des Segments. Daher zu finden am wenigsten Und die größten Werte der Funktion , kontinuierlich im Intervall [ A, B] , müssen Sie seine Werte insgesamt berechnen kritische Punkte und an den Enden des Segments, und wählen Sie dann das kleinste und größte davon aus.

Angenommen, Sie möchten den größten Wert der Funktion ermitteln F(X) auf dem Segment [ A, B] . Dazu müssen Sie alle kritischen Punkte finden, die auf [ A, B] .

Kritischer Punkt nennt man den Punkt, an dem Funktion definiert, und sie Derivat entweder gleich Null oder nicht vorhanden. Dann sollten Sie die Werte der Funktion an den kritischen Punkten berechnen. Und schließlich sollte man die Werte der Funktion an kritischen Punkten und an den Enden des Segments vergleichen ( F(A) Und F(B)). Die größte dieser Zahlen wird sein der größte Wert der Funktion im Segment [A, B] .

Probleme beim Finden kleinste Funktionswerte .

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Beispiel 1. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 2] .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion. Setzen wir die Ableitung mit Null () gleich und erhalten zwei kritische Punkte: und . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, reicht es aus, ihre Werte an den Enden des Segments und am Punkt zu berechnen, da der Punkt nicht zum Segment gehört [-1, 2]. Diese Funktionswerte sind: , , . Es folgt dem kleinster Funktionswert(im Diagramm unten rot angezeigt), gleich -7, wird am rechten Ende des Segments erreicht - am Punkt , und größte(in der Grafik ebenfalls rot), beträgt am kritischen Punkt 9,-.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist und dieses Intervall kein Segment ist (sondern z. B. ein Intervall ist); der Unterschied zwischen einem Intervall und einem Segment: Die Randpunkte des Intervalls sind nicht im Intervall enthalten, sondern die Randpunkte des Segments sind im Segment enthalten), dann darf es unter den Werten der Funktion nicht den kleinsten und den größten geben. So ist beispielsweise die in der Abbildung unten gezeigte Funktion stetig auf ]-∞, +∞[ und hat nicht den größten Wert.

Für jedes Intervall (geschlossen, offen oder unendlich) gilt jedoch die folgende Eigenschaft stetiger Funktionen.

Beispiel 4. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment [-1, 3] .

Lösung. Die Ableitung dieser Funktion finden wir als Ableitung des Quotienten:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was uns einen kritischen Punkt gibt: . Es gehört zum Segment [-1, 3] . Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Vergleichen wir diese Werte. Fazit: gleich -5/13, an Punkt und Höchster Wert gleich 1 am Punkt .

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

Es gibt Lehrer, die den Schülern beim Thema Finden der kleinsten und größten Werte einer Funktion keine Lösungsbeispiele geben, die komplexer sind als die gerade besprochenen, also solche, bei denen die Funktion ein Polynom oder a ist Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind. Aber wir werden uns nicht auf solche Beispiele beschränken, denn unter den Lehrern gibt es solche, die die Schüler gerne zum vollständigen Denken zwingen (die Ableitungstabelle). Daher werden der Logarithmus und die trigonometrische Funktion verwendet.

Beispiel 6. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Wir finden die Ableitung dieser Funktion als Derivat des Produkts :

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich, was einen kritischen Punkt ergibt: . Es gehört zum Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Ergebnis aller Aktionen: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich 0, am Punkt und am Punkt und Höchster Wert, gleich e², an der Stelle.

Beispiel 7. Finden Sie den kleinsten und größten Wert einer Funktion auf dem Segment .

Lösung. Finden Sie die Ableitung dieser Funktion:

Wir setzen die Ableitung mit Null gleich:

Der einzige kritische Punkt betrifft das Segment. Um die kleinsten und größten Werte einer Funktion auf einem bestimmten Segment zu finden, ermitteln wir ihre Werte an den Enden des Segments und am gefundenen kritischen Punkt:

Abschluss: Die Funktion erreicht ihren Minimalwert, gleich , am Punkt und Höchster Wert, gleich , an der Stelle .

Bei angewandten Extremalproblemen kommt es beim Finden der kleinsten (maximalen) Werte einer Funktion in der Regel darauf an, das Minimum (Maximum) zu finden. Aber nicht die Minima oder Maxima selbst sind von größerem praktischen Interesse, sondern die Werte des Arguments, bei denen sie erreicht werden. Bei der Lösung angewandter Probleme entsteht eine zusätzliche Schwierigkeit: das Zusammenstellen von Funktionen, die das betrachtete Phänomen oder den betrachteten Prozess beschreiben.

Beispiel 8. Ein Tank mit einem Fassungsvermögen von 4 Litern, der die Form eines Parallelepipeds mit quadratischer Grundfläche hat und oben offen ist, muss verzinnt sein. Welche Größe sollte der Tank haben, damit möglichst wenig Material zur Abdeckung verbraucht wird?

Lösung. Lassen X- Basisseite, H- Tankhöhe, S- seine unbedeckte Oberfläche, V- seine Lautstärke. Die Oberfläche des Tanks wird durch die Formel ausgedrückt, d.h. ist eine Funktion zweier Variablen. Ausdrücken S Als Funktion einer Variablen nutzen wir die Tatsache, dass , von wo . Ersetzen des gefundenen Ausdrucks H in die Formel für S:

Lassen Sie uns diese Funktion bis zum Äußersten untersuchen. Es ist überall in ]0, +∞[ , und definiert und differenzierbar

Wir setzen die Ableitung mit Null () gleich und finden den kritischen Punkt. Wenn die Ableitung nicht existiert, ist dieser Wert außerdem nicht im Definitionsbereich enthalten und kann daher kein Extrempunkt sein. Das ist also der einzige kritische Punkt. Überprüfen wir es anhand des zweiten auf das Vorhandensein eines Extremums hinreichende Beweise. Finden wir die zweite Ableitung. Wenn die zweite Ableitung größer als Null ist (). Dies bedeutet, dass die Funktion ein Minimum erreicht . Seit dem Minimum ist das einzige Extremum dieser Funktion, es ist ihr kleinster Wert. Die Seitenlänge des Tankbodens sollte also 2 m und seine Höhe 2 m betragen.

Beispiel 9. Von Punkt A Liegt direkt an der Bahnstrecke, bis zum Punkt MIT, in einiger Entfernung davon gelegen l Es muss Fracht transportiert werden. Die Kosten für den Transport einer Gewichtseinheit pro Entfernungseinheit auf der Schiene betragen , auf der Autobahn betragen sie . Bis zu welchem Punkt M Linien Eisenbahn Für den Gütertransport sollte eine Autobahn gebaut werden A V MIT war am wirtschaftlichsten (Abschnitt AB wird davon ausgegangen, dass die Eisenbahnlinie gerade ist)?

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Voraussetzung Das Maximum und das Minimum (Extremum) einer Funktion sind wie folgt: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder existiert nicht.

Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht ausreichend. Die Ableitung am Punkt x = a kann gegen Null oder Unendlich gehen oder nicht existieren, ohne dass die Funktion an diesem Punkt ein Extremum aufweist.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a negativ und rechts von a positiv ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). Minimum vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) hier stetig ist.

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion verwenden:

An der Stelle x = a sei die erste Ableitung f?(x) verschwunden; ist die zweite Ableitung f??(a) negativ, dann hat die Funktion f(x) im Punkt x = a ein Maximum, ist sie positiv, dann hat sie ein Minimum.

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Dies ist der Wert des Funktionsarguments, bei dem die Funktion ein Extremum (d. h. Maximum oder Minimum) hat. Um es zu finden, brauchen Sie Finden Sie die Ableitung Funktion f?(x) und, indem man sie mit Null gleichsetzt, löse die Gleichung f?(x) = 0. Die Wurzeln dieser Gleichung sowie die Punkte, an denen die Ableitung dieser Funktion nicht existiert, sind kritische Punkte, also Werte des Arguments, bei denen es ein Extremum geben kann. Sie können leicht durch Hinsehen identifiziert werden Ableitungsgraph: Uns interessieren die Werte des Arguments, bei denen der Graph der Funktion die Abszissenachse (Ox-Achse) schneidet, und diejenigen, bei denen der Graph Diskontinuitäten aufweist.

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

In diesem Fall liegt der kritische Punkt bei x0=-1/3. Mit diesem Argument hat die Funktion den Wert Extremum. Zu ihm finden Ersetzen Sie anstelle von „x“ die gefundene Zahl im Ausdruck für die Funktion:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes x0 von „Plus“ nach „Minus“ ändert, dann ist x0 Maximalpunkt; Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus ändert, dann ist x0 Mindestpunktzahl; Wenn sich das Vorzeichen nicht ändert, gibt es am Punkt x0 weder ein Maximum noch ein Minimum.

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Größter und kleinster Wert einer Funktion auf dem Intervall(auf einem Segment) werden mit dem gleichen Verfahren gefunden, nur unter Berücksichtigung der Tatsache, dass möglicherweise nicht alle kritischen Punkte innerhalb des angegebenen Intervalls liegen. Die kritischen Punkte, die außerhalb des Intervalls liegen, müssen von der Betrachtung ausgeschlossen werden. Wenn es innerhalb des Intervalls nur einen kritischen Punkt gibt, weist dieser entweder ein Maximum oder ein Minimum auf. In diesem Fall berücksichtigen wir zur Bestimmung der größten und kleinsten Werte der Funktion auch die Werte der Funktion an den Enden des Intervalls.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Funktionswerte bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Die Funktion hat den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Um alle Wendepunkte der Geraden y = f(x) zu finden, müssen Sie die zweite Ableitung finden, sie mit Null gleichsetzen (die Gleichung lösen) und alle Werte von x testen, für die die zweite Ableitung Null ist. unendlich oder existiert nicht. Wenn beim Durchlaufen eines dieser Werte die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert, dann weist der Graph der Funktion an dieser Stelle eine Wende auf. Wenn es sich nicht ändert, gibt es keine Biegung.

Die Wurzeln der Gleichung f? (x) = 0 sowie mögliche Unstetigkeitspunkte der Funktion und der zweiten Ableitung unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in eine Reihe von Intervallen. Die Konvexität in jedem ihrer Intervalle wird durch das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt. Wenn die zweite Ableitung an einem Punkt des untersuchten Intervalls positiv ist, dann ist die Linie y = f(x) nach oben konkav, und wenn sie negativ ist, dann nach unten.

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x;y) ausreichend nahe an P0. Wenn der Unterschied bestehen bleibt positives Vorzeichen, dann haben wir am Punkt P0 ein Minimum, wenn negativ, dann haben wir ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es im Punkt P0 kein Extremum.

Die Extrema der Funktion werden auf ähnliche Weise bestimmt mehr Argumente.

In diesem Artikel werde ich darüber sprechen, wie man die Fähigkeit des Findens auf das Studium einer Funktion anwenden kann: um ihren größten oder kleinsten Wert zu finden. Und dann werden wir mehrere Probleme aus Aufgabe B15 aus der offenen Aufgabenbank lösen.

Erinnern wir uns wie üblich zunächst an die Theorie.

Zu Beginn jeder Untersuchung einer Funktion finden wir sie

Um den größten oder kleinsten Wert einer Funktion zu ermitteln, müssen Sie untersuchen, in welchen Intervallen die Funktion zunimmt und in welchen sie abnimmt.

Dazu müssen wir die Ableitung der Funktion finden und ihre Intervalle mit konstantem Vorzeichen untersuchen, also die Intervalle, über die die Ableitung ihr Vorzeichen behält.

Intervalle, über die die Ableitung einer Funktion positiv ist, sind Intervalle mit zunehmender Funktion.

Intervalle, in denen die Ableitung einer Funktion negativ ist, sind Intervalle mit abnehmender Funktion.

1 . Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245184)

Um es zu lösen, folgen wir dem folgenden Algorithmus:

a) Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion

b) Finden wir die Ableitung der Funktion.

c) Setzen wir es mit Null gleich.

d) Finden wir die Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

e) Finden Sie den Punkt, an dem die Funktion den größten Wert annimmt.

f) Finden Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle.

Die detaillierte Lösung dieser Aufgabe erkläre ich im VIDEO-TUTORIAL:

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Feuerfuchs

2. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 282862)

Finden Sie den größten Wert der Funktion auf dem Segment

Es ist offensichtlich, dass die Funktion am Maximalpunkt, bei x=2, den größten Wert auf dem Segment annimmt. Lassen Sie uns an dieser Stelle den Wert der Funktion ermitteln:

Antwort: 5

3. Lösen wir Aufgabe B15 (Nr. 245180):

Finden Sie den größten Wert der Funktion

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Weil gemäß dem Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Der Zähler ist bei gleich Null. Lassen Sie uns prüfen, ob die ODZ zur Funktion gehört. Dazu prüfen wir, ob die Bedingung title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Titel="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

das bedeutet, dass der Punkt zur ODZ-Funktion gehört

Untersuchen wir das Vorzeichen der Ableitung rechts und links vom Punkt:

Wir sehen, dass die Funktion am Punkt ihren größten Wert annimmt. Lassen Sie uns nun den Wert der Funktion ermitteln:

Bemerkung 1. Beachten Sie, dass wir in diesem Problem den Definitionsbereich der Funktion nicht gefunden haben: Wir haben nur die Einschränkungen festgelegt und geprüft, ob der Punkt, an dem die Ableitung gleich Null ist, zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Dies erwies sich für diese Aufgabe als ausreichend. Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Es kommt auf die Aufgabe an.

Anmerkung 2. Wenn Sie das Verhalten einer komplexen Funktion untersuchen, können Sie die folgende Regel verwenden:

Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion zunimmt, nimmt die Funktion an derselben Stelle ihren größten Wert an interne Funktion nimmt den größten Wert ein. Dies folgt aus der Definition einer ansteigenden Funktion: Eine Funktion nimmt im Intervall I zu, wenn höherer Wert das Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren Wert der Funktion.
Wenn die äußere Funktion einer komplexen Funktion abnimmt, nimmt die Funktion ihren größten Wert an der gleichen Stelle an, an der die innere Funktion ihren kleinsten Wert annimmt . Dies folgt aus der Definition einer abnehmenden Funktion: Eine Funktion nimmt im Intervall I ab, wenn ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht

In unserem Beispiel nimmt die externe Funktion im gesamten Definitionsbereich zu. Unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht ein Ausdruck - quadratisches Trinom, der bei negativem Leitkoeffizienten an diesem Punkt den größten Wert annimmt . Als nächstes setzen wir diesen x-Wert in die Funktionsgleichung ein und seinen größten Wert finden.

Was ist ein Extremum einer Funktion und was ist die notwendige Bedingung für ein Extremum?

Das Extremum einer Funktion ist das Maximum und Minimum der Funktion.

Die notwendige Bedingung für das Maximum und Minimum (Extremum) einer Funktion ist die folgende: Wenn die Funktion f(x) am Punkt x = a ein Extremum hat, dann ist die Ableitung an diesem Punkt entweder Null oder unendlich oder nicht nicht existieren.

Was ist die hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion (Maximum oder Minimum)?

Erste Bedingung:

Wenn in ausreichender Nähe zum Punkt x = a die Ableitung f?(x) links von a positiv und rechts von a negativ ist, dann gilt am Punkt x = a die Funktion f(x). maximal

Stattdessen können Sie die zweite hinreichende Bedingung für das Extremum einer Funktion verwenden:

Was ist der kritische Punkt einer Funktion und wie findet man ihn?

Lassen Sie uns zum Beispiel finden Extremum einer Parabel.

Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Ableitung der Funktion: y?(x) = 6x + 2

Lösen Sie die Gleichung: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

So bestimmen Sie das Maximum und das Minimum einer Funktion, d. h. seine größten und kleinsten Werte?

Für das betrachtete Beispiel:

Wir nehmen einen beliebigen Wert des Arguments links vom kritischen Punkt: x = -1

Bei x = -1 beträgt der Wert der Ableitung y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (d. h. das Vorzeichen ist „Minus“).

Nun nehmen wir einen beliebigen Wert des Arguments rechts vom kritischen Punkt: x = 1

Bei x = 1 beträgt der Wert der Ableitung y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (d. h. das Vorzeichen ist „Plus“).

Wie Sie sehen können, änderte die Ableitung beim Durchlaufen des kritischen Punktes das Vorzeichen von Minus zu Plus. Das bedeutet, dass wir beim kritischen Wert x0 einen Minimalpunkt haben.

Lassen Sie uns zum Beispiel den größten und kleinsten Wert der Funktion ermitteln

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

in Intervallen:

Die Ableitung der Funktion ist also

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Wir lösen die Gleichung 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Wir finden kritische Punkte im Intervall [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nicht im Intervall enthalten)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nicht im Intervall enthalten)

Wir finden die Funktionswerte bei kritischen Werten des Arguments:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Es ist ersichtlich, dass im Intervall [-9; 9] Die Funktion hat den größten Wert bei x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

und das kleinste - bei x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Im Intervall [-6; -3] wir haben nur einen kritischen Punkt: x = -4,88. Der Wert der Funktion bei x = -4,88 ist gleich y = 5,398.

Finden Sie den Wert der Funktion am Ende des Intervalls:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Im Intervall [-6; -3] haben wir den größten Wert der Funktion

y = 5,398 bei x = -4,88

kleinster Wert -

y = 1,077 bei x = -3

Wie finde ich die Wendepunkte eines Funktionsgraphen und bestimme die konvexen und konkaven Seiten?

Wie finde ich die Extrema einer Funktion zweier Variablen?

Um die Extrema der Funktion f(x,y) zu finden, die im Definitionsbereich differenzierbar ist, benötigen Sie:

1) Finden Sie die kritischen Punkte und lösen Sie dafür das Gleichungssystem

fx? (x,y) = 0, fó? (x,y) = 0

2) Untersuchen Sie für jeden kritischen Punkt P0(a;b), ob das Vorzeichen der Differenz unverändert bleibt

für alle Punkte (x;y) ausreichend nahe an P0. Bleibt die Differenz positiv, dann haben wir am Punkt P0 ein Minimum, ist sie negativ, dann haben wir ein Maximum. Wenn die Differenz ihr Vorzeichen nicht behält, gibt es im Punkt P0 kein Extremum.

Die Extrema einer Funktion werden für eine größere Anzahl von Argumenten auf ähnliche Weise bestimmt.

Ermitteln des Maximums und Minimums einer Funktion auf einem Segment. So finden Sie den kleinsten Wert einer Funktion

Ableitungstabelle einiger Elementarfunktionen:

Grundregeln der Differenzierung

Wir suchen gemeinsam nach dem kleinsten und größten Wert der Funktion

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach den kleinsten und größten Werten der Funktion

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