Lösen von Gleichungen für die Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für die Verwendung der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion

Da Sie hierher gekommen sind, haben Sie diese Formel wahrscheinlich bereits im Lehrbuch gesehen

und mache ein Gesicht wie dieses:

Freund, mach dir keine Sorgen! Tatsächlich ist alles einfach unverschämt. Du wirst bestimmt alles verstehen. Nur eine Bitte: Lesen Sie den Artikel langsam Versuchen Sie, jeden Schritt zu verstehen. Ich habe so einfach und klar wie möglich geschrieben, aber Sie müssen die Idee trotzdem verstehen. Und lösen Sie unbedingt die Aufgaben aus dem Artikel.

Was ist eine komplexe Funktion?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine andere Wohnung und packen deshalb Dinge in große Kartons. Angenommen, Sie müssen einige kleine Gegenstände sammeln, beispielsweise Schreibmaterialien für die Schule. Wenn man sie einfach in eine riesige Kiste wirft, gehen sie unter anderem verloren. Um dies zu vermeiden, packt man sie beispielsweise zunächst in eine Tüte, die man dann in einen großen Karton steckt und diesen anschließend verschließt. Dieser „komplexe“ Prozess wird im folgenden Diagramm dargestellt:

Es scheint, was hat Mathematik damit zu tun? Ja, obwohl eine komplexe Funktion auf GENAU DIE GLEICHE Weise gebildet wird! Nur „packen“ wir nicht Notizbücher und Stifte, sondern \(x\), während die „Pakete“ und „Boxen“ unterschiedlich sind.

Nehmen wir zum Beispiel x und „packen“ es in eine Funktion:

Als Ergebnis erhalten wir natürlich \(\cos⁡x\). Das ist unsere „Tasche voller Sachen“. Nun packen wir es in eine „Box“ – packen wir es zum Beispiel in eine kubische Funktion.

Was wird am Ende passieren? Ja, das ist richtig, es wird eine „Tüte mit Dingen in einer Kiste“ geben, das heißt „Kosinus von X kubisch“.

Das resultierende Design ist eine komplexe Funktion. Darin unterscheidet es sich vom einfachen MEHRERE „Einflüsse“ (Pakete) werden nacheinander auf ein X angewendet und es stellt sich heraus, als ob „Funktion aus Funktion“ – „Verpackung in der Verpackung“ wäre.

Im Schulunterricht gibt es nur sehr wenige Arten dieser „Pakete“, nur vier:

„Packen“ wir nun X zunächst in eine Exponentialfunktion zur Basis 7 und dann in eine trigonometrische Funktion. Wir bekommen:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Jetzt „packen“ wir X zweimal hinein trigonometrische Funktionen, zuerst in , und dann in:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Ganz einfach, oder?

Schreiben Sie nun selbst die Funktionen, wobei x:
- Zuerst wird es in einen Kosinus und dann in eine Exponentialfunktion mit der Basis \(3\) „gepackt“;
- zuerst zur fünften Potenz und dann zur Tangente;
- zuerst den Logarithmus zur Basis \(4\) , dann hoch \(-2\).

Die Antworten auf diese Aufgabe finden Sie am Ende des Artikels.

Können wir X nicht zwei-, sondern dreimal „packen“? Kein Problem! Und viermal und fünfmal und fünfundzwanzigmal. Hier ist zum Beispiel eine Funktion, in der x \(4\) mal „gepackt“ wird:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Aber solche Formeln werden in der Schulpraxis nicht zu finden sein (die Schüler haben mehr Glück – ihre Formeln sind möglicherweise komplizierter☺).

„Auspacken“ einer komplexen Funktion

Schauen Sie sich die vorherige Funktion noch einmal an. Können Sie die Reihenfolge beim „Verpacken“ herausfinden? In was X zuerst gestopft wurde, was dann und so weiter bis zum Schluss. Das heißt, welche Funktion ist in welcher verschachtelt? Nehmen Sie ein Blatt Papier und schreiben Sie auf, was Sie denken. Sie können dies mit einer Kette mit Pfeilen tun, wie wir oben geschrieben haben, oder auf andere Weise.

Nun lautet die richtige Antwort: Zuerst wurde x in die \(4\)-te Potenz „gepackt“, dann wurde das Ergebnis in einen Sinus gepackt, dieser wiederum wurde in den Logarithmus zur Basis \(2\) gestellt. , und am Ende wurde diese ganze Konstruktion in einen Power Fives gestopft.

Das heißt, Sie müssen die Sequenz IN UMGEKEHRTER REIHENFOLGE abwickeln. Und hier ist ein Tipp, wie es einfacher geht: Schauen Sie sich sofort das X an – Sie sollten davon tanzen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Hier ist zum Beispiel die folgende Funktion: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Wir schauen uns X an – was passiert zuerst damit? Von ihm übernommen. Und dann? Der Tangens des Ergebnisses wird genommen. Die Reihenfolge wird dieselbe sein:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Ein weiteres Beispiel: \(y=\cos⁡((x^3))\). Lassen Sie uns analysieren – zuerst haben wir X gewürfelt und dann den Kosinus des Ergebnisses genommen. Das bedeutet, dass die Folge wie folgt lautet: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Achtung, die Funktion scheint der allerersten zu ähneln (wo es Bilder gibt). Aber das ist eine ganz andere Funktion: Hier im Würfel ist x (also \(\cos⁡((x·x·x)))\), und dort im Würfel ist der Kosinus \(x\) ( das heißt, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Dieser Unterschied ergibt sich aus unterschiedlichen „Packungs“-Sequenzen.

Das letzte Beispiel (mit wichtige Informationen darin): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Es ist klar, was sie hier zuerst gemacht haben Rechenoperationen mit x, dann nahm den Sinus des Ergebnisses: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Und das wichtiger Punkt: Obwohl arithmetische Operationen an sich keine Funktionen sind, fungieren sie hier auch als eine Möglichkeit zum „Packen“. Lassen Sie uns etwas tiefer in diese Feinheit eintauchen.

Wie ich oben sagte, wird x in einfachen Funktionen einmal und in komplexen Funktionen zwei oder mehr „gepackt“. Darüber hinaus ist jede Kombination einfacher Funktionen (d. h. deren Summe, Differenz, Multiplikation oder Division) ebenfalls eine einfache Funktion. Beispielsweise ist \(x^7\) eine einfache Funktion, ebenso wie \(ctg x\). Das bedeutet, dass alle ihre Kombinationen einfache Funktionen sind:

\(x^7+ ctg x\) - einfach,
\(x^7· cot x\) – einfach,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – einfach usw.

Wenn jedoch eine weitere Funktion auf eine solche Kombination angewendet wird, wird sie zu einer komplexen Funktion, da es zwei „Pakete“ gibt. Siehe Zeichnung:

Okay, machen Sie jetzt weiter. Schreiben Sie die Reihenfolge der „Wrapping“-Funktionen:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Die Antworten finden Sie noch einmal am Ende des Artikels.

Interne und externe Funktionen

Warum müssen wir die Funktionsverschachtelung verstehen? Was bringt uns das? Tatsache ist, dass wir ohne eine solche Analyse nicht zuverlässig Ableitungen der oben diskutierten Funktionen finden können.

Und um weiterzumachen, brauchen wir zwei weitere Konzepte: interne und externe Funktionen. Das ist eine sehr einfache Sache, außerdem haben wir sie oben bereits besprochen: Wenn wir uns an unsere Analogie ganz am Anfang erinnern, dann interne Funktion- Das ist das „Paket“, und das Äußere ist die „Box“. Diese. Was X zuerst „einschließt“, ist eine interne Funktion, und was die interne Funktion „einschließt“, ist bereits extern. Nun, es ist klar, warum – sie ist draußen, das heißt äußerlich.

In diesem Beispiel: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), die Funktion \(\log_2⁡x\) ist intern und
- extern.

Und dabei gilt: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) ist intern und
- extern.

Schließen Sie die letzte Übung zur Analyse komplexer Funktionen ab und kommen wir endlich zu dem, wofür wir alle angefangen haben – wir werden Ableitungen komplexer Funktionen finden:

Füllen Sie die Lücken in der Tabelle aus:

Ableitung einer komplexen Funktion

Bravo für uns, wir sind endlich beim „Chef“ dieses Themas angelangt – eigentlich einer Ableitung komplexe Funktion, und insbesondere auf diese sehr schreckliche Formel vom Anfang des Artikels.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Diese Formel liest sich so:

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der externen Funktion nach einer konstanten internen Funktion und der Ableitung der internen Funktion.

Und schauen Sie sich sofort das Parsing-Diagramm entsprechend den Wörtern an, damit Sie verstehen, was mit was zu tun ist:

Ich hoffe, dass die Begriffe „Derivat“ und „Produkt“ keine Schwierigkeiten bereiten. „Komplexe Funktion“ – wir haben es bereits geklärt. Der Haken liegt in der „Ableitung einer externen Funktion nach einer konstanten internen Funktion“. Was ist das?

Antwort: Dies ist die übliche Ableitung einer externen Funktion, bei der sich nur die externe Funktion ändert und die interne gleich bleibt. Immer noch nicht klar? Okay, verwenden wir ein Beispiel.

Lassen Sie uns eine Funktion \(y=\sin⁡(x^3)\) haben. Es ist klar, dass die interne Funktion hier \(x^3\) und die externe ist
. Finden wir nun die Ableitung des Äußeren nach dem konstanten Inneren.

Folgt man der Definition, dann ist die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion Δ j zum Argumentinkrement Δ X:

Alles scheint klar zu sein. Aber versuchen Sie, diese Formel zu verwenden, um beispielsweise die Ableitung der Funktion zu berechnen F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X Sünde X. Wenn Sie alles per Definition machen, werden Sie nach ein paar Seiten Berechnungen einfach einschlafen. Daher gibt es einfachere und effektivere Möglichkeiten.

Zunächst stellen wir fest, dass wir aus der gesamten Funktionsvielfalt die sogenannten Elementarfunktionen unterscheiden können. Es ist relativ einfache Ausdrücke, deren Ableitungen längst berechnet und in der Tabelle aufgeführt sind. Solche Funktionen sind – zusammen mit ihren Ableitungen – recht einfach zu merken.

Ableitungen elementarer Funktionen

Zu den Elementarfunktionen zählen alle nachfolgend aufgeführten. Die Ableitungen dieser Funktionen müssen auswendig bekannt sein. Darüber hinaus ist es überhaupt nicht schwer, sie auswendig zu lernen – deshalb sind sie elementar.

Also Ableitungen elementarer Funktionen:

Name	Funktion	Derivat
Konstante	F(X) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Potenz mit rationalem Exponenten	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = Sünde X	cos X
Kosinus	F(X) = cos X	−Sünde X(minus Sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Natürlicher Logarithmus	F(X) = log X	1/X
Beliebiger Logarithmus	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Exponentialfunktion	F(X) = e X	e X(nichts hat sich geändert)

Wird eine Elementarfunktion mit einer beliebigen Konstante multipliziert, so lässt sich auch die Ableitung der neuen Funktion leicht berechnen:

(C · F)’ = C · F ’.

Im Allgemeinen können Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden. Zum Beispiel:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Selbstverständlich lassen sich Elementarfunktionen addieren, multiplizieren, dividieren – und vieles mehr. So entstehen neue Funktionen, nicht mehr besonders elementar, sondern nach bestimmten Regeln differenziert. Diese Regeln werden im Folgenden besprochen.

Ableitung von Summe und Differenz

Die Funktionen seien gegeben F(X) Und G(X), deren Ableitungen uns bekannt sind. Beispielsweise können Sie die oben besprochenen Elementarfunktionen übernehmen. Dann können Sie die Ableitung der Summe und Differenz dieser Funktionen ermitteln:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Die Ableitung der Summe (Differenz) zweier Funktionen ist also gleich der Summe (Differenz) der Ableitungen. Möglicherweise gibt es noch weitere Begriffe. Zum Beispiel, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Streng genommen gibt es in der Algebra kein Konzept der „Subtraktion“. Es gibt ein Konzept des „negativen Elements“. Daher der Unterschied F − G kann als Summe umgeschrieben werden F+ (−1) G, und dann bleibt nur noch eine Formel übrig – die Ableitung der Summe.

F(X) = X 2 + Sünde x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funktion F(X) ist die Summe zweier Elementarfunktionen, also:

F ’(X) = (X 2 + Sünde X)’ = (X 2)’ + (Sünde X)’ = 2X+ cos x;

Wir argumentieren ähnlich für die Funktion G(X). Nur gibt es bereits drei Begriffe (aus algebraischer Sicht):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Antwort:
F ’(X) = 2X+ cos x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat des Produkts

Mathematik ist eine logische Wissenschaft, daher glauben viele Menschen, dass, wenn die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Ableitungen ist, die Ableitung des Produkts gleich ist schlagen">entspricht dem Produkt von Ableitungen. Aber scheiß drauf! Die Ableitung eines Produkts wird nach einer völlig anderen Formel berechnet. Nämlich:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Die Formel ist einfach, wird aber oft vergessen. Und nicht nur Schüler, sondern auch Studenten. Die Folge sind falsch gelöste Probleme.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = X 3 cos x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funktion F(X) ist das Produkt zweier Elementarfunktionen, also ist alles einfach:

F ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)‘ weil X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− Sünde X) = X 2 (3cos X − X Sünde X)

Funktion G(X) Der erste Faktor ist etwas komplizierter, aber allgemeines Schema das ändert sich nicht. Offensichtlich der erste Faktor der Funktion G(X) ist ein Polynom und seine Ableitung ist die Ableitung der Summe. Wir haben:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)‘ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Antwort:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X Sünde X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Bitte beachten Sie, dass im letzten Schritt die Ableitung faktorisiert wird. Formal ist dies nicht erforderlich, die meisten Ableitungen werden jedoch nicht allein berechnet, sondern zur Untersuchung der Funktion. Das bedeutet, dass die Ableitung weiter mit Null gleichgesetzt wird, ihre Vorzeichen bestimmt werden und so weiter. In einem solchen Fall ist es besser, einen Ausdruck faktorisieren zu lassen.

Wenn es zwei Funktionen gibt F(X) Und G(X), Und G(X) ≠ 0 auf der Menge, die uns interessiert, können wir eine neue Funktion definieren H(X) = F(X)/G(X). Für eine solche Funktion kann man auch die Ableitung finden:

Nicht schwach, oder? Woher kommt das Minus? Warum G 2? Und so! Dies ist eine der komplexesten Formeln – ohne eine Flasche kommt man nicht dahinter. Daher ist es besser, es weiter zu studieren konkrete Beispiele.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen:

Zähler und Nenner jedes Bruchs enthalten Elementarfunktionen, wir brauchen also nur die Formel für die Ableitung des Quotienten:

Der Tradition zufolge faktorisieren wir den Zähler – das wird die Antwort erheblich vereinfachen:

Eine komplexe Funktion ist nicht unbedingt eine Formel von einem halben Kilometer Länge. Es reicht beispielsweise aus, die Funktion zu übernehmen F(X) = Sünde X und ersetzen Sie die Variable X, sagen wir, auf X 2 + ln X. Es klappt F(X) = Sünde ( X 2 + ln X) – das ist eine komplexe Funktion. Es gibt auch eine Ableitung, die jedoch mit den oben besprochenen Regeln nicht gefunden werden kann.

Was soll ich machen? In solchen Fällen hilft das Ersetzen einer Variablen und einer Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

F ’(X) = F ’(T) · T', Wenn X wird ersetzt durch T(X).

In der Regel ist die Situation beim Verständnis dieser Formel noch trauriger als bei der Ableitung des Quotienten. Daher ist es auch besser, es anhand konkreter Beispiele zu erklären detaillierte Beschreibung jeder Schritt.

Aufgabe. Finden Sie Ableitungen von Funktionen: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = Sünde ( X 2 + ln X)

Beachten Sie, dass if in der Funktion F(X) anstelle von Ausdruck 2 X+ 3 wird einfach sein X, dann erhalten wir eine Elementarfunktion F(X) = e X. Deshalb machen wir einen Ersatz: sei 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Wir suchen nach der Ableitung einer komplexen Funktion mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Und jetzt – Achtung! Wir führen den umgekehrten Ersatz durch: T = 2X+ 3. Wir erhalten:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Schauen wir uns nun die Funktion an G(X). Offensichtlich muss es ersetzt werden X 2 + ln X = T. Wir haben:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (Sünde T)’ · T’ = cos T · T ’

Umgekehrter Ersatz: T = X 2 + ln X. Dann:

G ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Das ist alles! Wie aus dem letzten Ausdruck ersichtlich ist, wurde das gesamte Problem auf die Berechnung der Ableitungssumme reduziert.

Antwort:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) weil ( X 2 + ln X).

Sehr oft verwende ich in meinem Unterricht anstelle des Begriffs „Ableitung“ das Wort „Primzahl“. Zum Beispiel eine Primzahl aus dem Betrag gleich der Summe Schlaganfälle. Ist das klarer? Das ist gut.

Bei der Berechnung der Ableitung kommt es also darauf an, dieselben Striche gemäß den oben besprochenen Regeln zu entfernen. Als letztes Beispiel kehren wir zur Ableitungspotenz mit einem rationalen Exponenten zurück:

(X N)’ = N · X N − 1

Das wissen nur wenige Menschen in der Rolle N kann durchaus handeln eine Bruchzahl. Zum Beispiel ist die Wurzel X 0,5. Was ist, wenn sich unter der Wurzel etwas Ausgefallenes befindet? Auch hier wird das Ergebnis eine komplexe Funktion sein – solche Konstruktionen gibt man gerne an Tests und Prüfungen.

Aufgabe. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Schreiben wir zunächst die Wurzel als Potenz mit einem rationalen Exponenten um:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Jetzt machen wir einen Ersatz: let X 2 + 8X − 7 = T. Wir finden die Ableitung mit der Formel:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)‘ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Machen wir die umgekehrte Ersetzung: T = X 2 + 8X− 7. Wir haben:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Zum Schluss zurück zu den Wurzeln:

Ableitung einer komplexen Funktion. Beispiele für Lösungen

In dieser Lektion lernen wir, wie man findet Ableitung einer komplexen Funktion. Die Lektion ist eine logische Fortsetzung der Lektion Wie findet man die Ableitung?, in dem wir die einfachsten Ableitungen untersuchten und uns außerdem mit den Differenzierungsregeln und einigen technischen Techniken zum Auffinden von Ableitungen vertraut machten. Wenn Sie also nicht sehr gut mit Ableitungen von Funktionen umgehen können oder einige Punkte in diesem Artikel nicht ganz klar sind, lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte kommen Sie in eine ernste Stimmung – der Stoff ist nicht einfach, aber ich werde trotzdem versuchen, ihn einfach und klar darzustellen.

In der Praxis muss man sich sehr oft, ich würde sogar sagen, fast immer mit der Ableitung einer komplexen Funktion befassen, wenn man Aufgaben bekommt, Ableitungen zu finden.

Wir schauen uns die Tabelle zur Regel (Nr. 5) zur Differenzierung einer komplexen Funktion an:

Lass es uns herausfinden. Achten wir zunächst auf den Eintrag. Hier haben wir zwei Funktionen – und, und die Funktion ist, bildlich gesprochen, in der Funktion verschachtelt. Eine Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einer anderen verschachtelt ist) wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion aufrufen externe Funktion, und die Funktion – interne (oder verschachtelte) Funktion.

! Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht in der endgültigen Gestaltung der Aufgaben enthalten sein. Ich verwende die informellen Ausdrücke „externe Funktion“, „interne“ Funktion nur, um Ihnen das Verständnis des Materials zu erleichtern.

Um die Situation zu klären, bedenken Sie Folgendes:

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Unter dem Sinus haben wir nicht nur den Buchstaben „X“, sondern einen ganzen Ausdruck, daher wird es nicht funktionieren, die Ableitung direkt aus der Tabelle zu finden. Wir stellen auch fest, dass es hier unmöglich ist, die ersten vier Regeln anzuwenden, es scheint einen Unterschied zu geben, aber Tatsache ist, dass der Sinus nicht „in Stücke gerissen“ werden kann:

In diesem Beispiel wird aus meinen Erläuterungen bereits intuitiv klar, dass eine Funktion eine komplexe Funktion ist und das Polynom eine interne Funktion (Einbettung) und eine externe Funktion ist.

Erster Schritt Was Sie tun müssen, um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, ist: verstehen, welche Funktion intern und welche extern ist.

Im Fall von einfache Beispiele Es scheint klar, dass unter dem Sinus ein Polynom eingebettet ist. Was aber, wenn nicht alles offensichtlich ist? Wie lässt sich genau bestimmen, welche Funktion extern und welche intern ist? Um dies zu erreichen, schlage ich die Verwendung der folgenden Technik vor, die im Kopf oder im Entwurf durchgeführt werden kann.

Stellen wir uns vor, wir müssen den Wert des Ausdrucks at auf einem Taschenrechner berechnen (anstelle von eins kann es eine beliebige Zahl geben).

Was berechnen wir zuerst? Erstens Sie müssen die folgende Aktion ausführen: Daher ist das Polynom eine interne Funktion:

Zweitens muss gefunden werden, also wird Sinus eine externe Funktion sein:

Nachdem wir AUSVERKAUFT Bei internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Regel der Differenzierung komplexer Funktionen anzuwenden.

Beginnen wir mit der Entscheidung. Aus dem Unterricht Wie findet man die Ableitung? Wir erinnern uns, dass der Entwurf einer Lösung für jede Ableitung immer so beginnt: Wir schließen den Ausdruck in Klammern und setzen oben rechts einen Strich:

Anfangs Wir finden die Ableitung der externen Funktion (Sinus), schauen uns die Tabelle der Ableitungen der Elementarfunktionen an und stellen fest, dass . Alle Tabellenformeln sind auch anwendbar, wenn „x“ durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Bitte beachten Sie die innere Funktion hat sich nicht verändert, wir rühren es nicht an.

Nun, das ist ganz offensichtlich

Das Endergebnis der Anwendung der Formel sieht folgendermaßen aus:

Der konstante Faktor steht üblicherweise am Anfang des Ausdrucks:

Sollte es zu Missverständnissen kommen, schreiben Sie die Lösung auf Papier und lesen Sie die Erläuterungen noch einmal.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Wie immer schreiben wir auf:

Lassen Sie uns herausfinden, wo wir eine externe und wo eine interne Funktion haben. Dazu versuchen wir (gedanklich oder im Entwurf), den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was sollten Sie zuerst tun? Zunächst müssen Sie berechnen, was die Basis ist: Daher ist das Polynom die interne Funktion:

Und erst dann wird die Potenzierung durchgeführt, also Power-Funktion ist eine externe Funktion:

Gemäß der Formel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion ermitteln, in diesem Fall den Grad. Wir suchen die benötigte Formel in der Tabelle: . Wir wiederholen noch einmal: Jede Tabellenformel gilt nicht nur für „X“, sondern auch für einen komplexen Ausdruck. Somit ist das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion wie folgt:

Ich betone noch einmal, dass sich unsere interne Funktion nicht ändert, wenn wir die Ableitung der externen Funktion bilden:

Jetzt müssen Sie nur noch eine sehr einfache Ableitung der internen Funktion finden und das Ergebnis ein wenig optimieren:

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel dafür unabhängige Entscheidung(Antwort am Ende der Lektion).

Um Ihr Verständnis der Ableitung einer komplexen Funktion zu festigen, gebe ich ein Beispiel ohne Kommentare, versuche es selbst herauszufinden, begründe, wo die externe und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion

b) Finden Sie die Ableitung der Funktion

Beispiel 6

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu differenzieren, muss sie als Kraft dargestellt werden. Daher bringen wir die Funktion zunächst in die für die Differenzierung geeignete Form:

Bei der Analyse der Funktion kommen wir zu dem Schluss, dass die Summe der drei Terme eine interne Funktion und die Potenzierung eine externe Funktion ist. Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an:

Wir stellen den Grad wieder als Wurzel (Wurzel) dar und wenden für die Ableitung der inneren Funktion eine einfache Regel zur Differenzierung der Summe an:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch in Klammern auf einen gemeinsamen Nenner bringen und alles als einen Bruch aufschreiben. Es ist natürlich schön, aber wenn Sie umständliche lange Ableitungen erhalten, ist es besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, einen unnötigen Fehler zu machen, und es wird für den Lehrer unpraktisch sein, dies zu überprüfen).

Beispiel 7

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant festzustellen, dass man manchmal anstelle der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion die Regel zum Differenzieren eines Quotienten verwenden kann , aber eine solche Lösung wird wie eine lustige Perversion aussehen. Hier ist ein typisches Beispiel:

Beispiel 8

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Hier können Sie die Regel der Differenzierung des Quotienten verwenden , aber es ist viel profitabler, die Ableitung durch die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion für die Differentiation vor – wir verschieben das Minus aus dem Ableitungszeichen und erhöhen den Kosinus in den Zähler:

Der Kosinus ist eine interne Funktion, die Potenzierung eine externe Funktion.
Nutzen wir unsere Regel:

Wir ermitteln die Ableitung der internen Funktion und setzen den Kosinus wieder nach unten zurück:

Bereit. Im betrachteten Beispiel ist es wichtig, sich nicht in den Zeichen zu verwirren. Versuchen Sie es übrigens mit der Regel zu lösen , die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir uns Fälle angesehen, in denen wir nur eine Verschachtelung in einer komplexen Funktion hatten. Bei praktischen Aufgaben findet man oft Derivate, bei denen wie bei Nistpuppen 3 oder sogar 4-5 Funktionen gleichzeitig ineinander verschachtelt sind.

Beispiel 10

Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns die Anhänge dieser Funktion verstehen. Versuchen wir, den Ausdruck anhand des experimentellen Werts zu berechnen. Wie würden wir mit einem Taschenrechner rechnen?

Zuerst müssen Sie finden, was bedeutet, dass der Arkussinus die tiefste Einbettung ist:

Dieser Arkussinus von Eins sollte dann quadriert werden:

Und schließlich potenzieren wir sieben:

Das heißt, in diesem Beispiel haben wir drei verschiedene Funktionen und zwei Einbettungen, wobei die innerste Funktion der Arkussinus und die äußerste Funktion die Exponentialfunktion ist.

Beginnen wir mit der Entscheidung

Gemäß der Regel müssen Sie zunächst die Ableitung der externen Funktion bilden. Wir schauen uns die Ableitungstabelle an und finden die Ableitung Exponentialfunktion: Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von „x“ einen komplexen Ausdruck haben, was die Gültigkeit dieser Formel nicht negiert. Das Ergebnis der Anwendung der Regel zur Differenzierung einer komplexen Funktion ist also wie folgt:

Unter dem Strich haben wir wieder eine komplexe Funktion! Aber es ist schon einfacher. Es ist leicht zu überprüfen, dass die innere Funktion der Arkussinus und die äußere Funktion der Grad ist. Gemäß der Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion müssen Sie zunächst die Ableitung der Potenz bilden.

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem bestimmten Intervall definiert, das den Punkt \(x_0\) in sich enthält. Geben wir dem Argument ein Inkrement \(\Delta x \), sodass es dieses Intervall nicht verlässt. Finden wir das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und stellen wir die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Updelta x) \). Gibt es eine Grenze für dieses Verhältnis bei \(\Delta x \rightarrow 0\), dann wird die angegebene Grenze aufgerufen Ableitung einer Funktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) zusammenhängt, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y = f(x).

Geometrische Bedeutung der Ableitung ist wie folgt. Wenn es möglich ist, an dem Punkt mit der Abszisse x=a, der nicht parallel zur y-Achse ist, eine Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) zu zeichnen, dann drückt f(a) die Steigung der Tangente aus :
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), dann ist die Gleichheit \(f"(a) = tan(a) \) wahr.

Lassen Sie uns nun die Definition der Ableitung unter dem Gesichtspunkt ungefährer Gleichheiten interpretieren. Die Funktion \(y = f(x)\) habe an einem bestimmten Punkt \(x\) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Dies bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta Delta x\). Die sinnvolle Bedeutung der resultierenden ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „nahezu proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung in angegebenen Punkt X. Beispielsweise gilt für die Funktion \(y = x^2\) die Näherungsgleichung \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \). Wenn wir die Definition eines Derivats sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass es einen Algorithmus zum Finden dieses Derivats enthält.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y = f(x)?

1. Fixieren Sie den Wert von \(x\), finden Sie \(f(x)\)
2. Geben Sie dem Argument \(x\) ein Inkrement \(\Delta x\), gehen Sie zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finden Sie \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Inkrement der Funktion: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Erstellen Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechnen Sie $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Dieser Grenzwert ist die Ableitung der Funktion am Punkt x.

Wenn eine Funktion y = f(x) eine Ableitung in einem Punkt x hat, dann heißt sie in einem Punkt x differenzierbar. Das Verfahren zum Finden der Ableitung der Funktion y = f(x) wird aufgerufen Differenzierung Funktionen y = f(x).

Lassen Sie uns die folgende Frage diskutieren: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt miteinander zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei im Punkt x differenzierbar. Dann kann am Punkt M(x; f(x)) eine Tangente an den Graphen der Funktion gezogen werden, und, erinnern Sie sich, der Winkelkoeffizient der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht „brechen“ am Punkt M, d. h. die Funktion muss am Punkt x stetig sein.

Es handelte sich um „praktische“ Argumente. Lassen Sie uns eine strengere Begründung liefern. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die Näherungsgleichung \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x \). Wenn in dieser Gleichheit \(\Delta x \) gegen Null tendiert, dann tendiert \(\Delta y \) gegen Null, und dies ist die Bedingung für die Kontinuität der Funktion an einem Punkt.

Also, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie an diesem Punkt stetig.

Die umgekehrte Aussage ist nicht wahr. Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion am „Verbindungspunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn an einem Punkt keine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen werden kann, existiert die Ableitung an diesem Punkt nicht.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x)\) ist auf der gesamten Zahlengeraden stetig, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, steht also senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x = 0. Steigungskoeffizient eine solche Zeile gibt es nicht, was bedeutet, dass \(f"(0) \) auch nicht existiert

So haben wir eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt – die Differenzierbarkeit. Wie kann man aus dem Graphen einer Funktion schließen, dass diese differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Wenn es irgendwann möglich ist, eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu zeichnen, die nicht senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Funktion an diesem Punkt differenzierbar. Wenn irgendwann die Tangente an den Graphen einer Funktion nicht existiert oder senkrecht zur Abszissenachse steht, dann ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar.

Differenzierungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Differenzierung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Basierend auf der Definition der Ableitung können wir Differenzierungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Differenzierungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung einer komplexen Funktion:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

In diesem Artikel werden wir über ein so wichtiges mathematisches Konzept wie eine komplexe Funktion sprechen und lernen, wie man die Ableitung einer komplexen Funktion findet.

Bevor wir lernen, die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, wollen wir das Konzept einer komplexen Funktion verstehen, was sie ist, „womit sie gegessen wird“ und „wie man sie richtig kocht“.

Betrachten Sie eine beliebige Funktion, zum Beispiel diese:

Beachten Sie, dass das Argument auf der rechten und linken Seite der Funktionsgleichung dieselbe Zahl oder denselben Ausdruck ist.

Anstelle einer Variablen können wir beispielsweise den folgenden Ausdruck eingeben: . Und dann bekommen wir die Funktion

Nennen wir den Ausdruck ein Zwischenargument und die Funktion eine äußere Funktion. Dies sind keine strengen mathematischen Konzepte, aber sie helfen, die Bedeutung des Konzepts einer komplexen Funktion zu verstehen.

Eine strenge Definition des Konzepts einer komplexen Funktion klingt wie folgt:

Eine Funktion sei auf einer Menge definiert und sei die Wertemenge dieser Funktion. Die Menge (oder ihre Teilmenge) sei der Definitionsbereich der Funktion. Weisen wir jedem von ihnen eine Nummer zu. Somit wird die Funktion auf der Menge definiert. Man nennt sie Funktionskomposition oder komplexe Funktion.

Wenn wir in dieser Definition unsere Terminologie verwenden, ist eine externe Funktion ein Zwischenargument.

Die Ableitung einer komplexen Funktion wird nach folgender Regel ermittelt:

Um es klarer zu machen, schreibe ich diese Regel gerne wie folgt:

In diesem Ausdruck bezeichnet using eine Zwischenfunktion.

Also. Um die Ableitung einer komplexen Funktion zu finden, benötigen Sie

1. Bestimmen Sie, welche Funktion extern ist, und finden Sie die entsprechende Ableitung aus der Ableitungstabelle.

2. Definieren Sie ein Zwischenargument.

Bei diesem Verfahren besteht die größte Schwierigkeit darin, die äußere Funktion zu finden. Hierzu wird ein einfacher Algorithmus verwendet:

A. Schreiben Sie die Gleichung der Funktion auf.

B. Stellen Sie sich vor, Sie müssen den Wert einer Funktion für einen Wert von x berechnen. Dazu setzen Sie diesen x-Wert in die Funktionsgleichung ein und führen eine Arithmetik durch. Die letzte Aktion, die Sie ausführen, ist die externe Funktion.

Zum Beispiel in der Funktion

Die letzte Aktion ist die Potenzierung.

Finden wir die Ableitung dieser Funktion. Dazu schreiben wir ein Zwischenargument