Logarithmen mit unterschiedlichen Basen und gleichen Exponenten. Logarithmusformeln. Beispiellösungen für Logarithmen. Dezimale und natürliche Logarithmen

Definition von Logarithmus

Der Logarithmus von b zur Basis a ist der Exponent, auf den a erhöht werden muss, um b zu erhalten.

Nummer e In der Mathematik ist es üblich, die Grenze zu bezeichnen, bis zu der ein Ausdruck strebt

Nummer e Ist irrationale Zahl- eine mit eins inkommensurable Zahl, die weder als ganze Zahl noch als Bruch genau ausgedrückt werden kann rational Nummer.

Buchstabe e- erster Buchstabe eines lateinischen Wortes exponieren- angeben, daher der Name in der Mathematik exponentiell- Exponentialfunktion.

Nummer e weit verbreitet in der Mathematik und in allen Wissenschaften, die auf die eine oder andere Weise mathematische Berechnungen für ihre Zwecke nutzen.

Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen

Definition: Logarithmus positive Zahl Die Basis b ist der Exponent von c, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Grundlegende logarithmische Identität:

7) Formel für den Umzug in eine neue Basis:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Aufgaben und Tests zum Thema „Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen"

• Logarithmen – Wichtige Themen zur Prüfung des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik

Um Aufgaben zu diesem Thema erfolgreich abzuschließen, müssen Sie die Definition eines Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen, die grundlegende logarithmische Identität sowie die Definitionen von Dezimal- und natürlichen Logarithmen kennen. Die Hauptaufgabentypen zu diesem Thema sind Probleme bei der Berechnung und Transformation logarithmischer Ausdrücke. Betrachten wir ihre Lösung anhand der folgenden Beispiele.

Lösung: Mit den Eigenschaften von Logarithmen erhalten wir

Lösung: Mit den Eigenschaften von Graden erhalten wir

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Eigenschaften von Logarithmen, Formulierungen und Beweisen.

Logarithmen haben eine Reihe von charakteristische Eigenschaften. In diesem Artikel werden wir uns mit den wichtigsten befassen Eigenschaften von Logarithmen. Hier geben wir ihre Formulierungen an, schreiben die Eigenschaften von Logarithmen in Form von Formeln nieder, zeigen Beispiele für ihre Anwendung und führen auch Beweise für die Eigenschaften von Logarithmen.

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Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen, Formeln

Um es leichter zu merken und zu verwenden, stellen wir es uns einmal vor Grundeigenschaften von Logarithmen in Form einer Liste von Formeln. Im nächsten Absatz geben wir deren Formulierungen, Belege, Anwendungsbeispiele und notwendige Erläuterungen.

Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten: , wobei a>0, a≠1, x>0, y>0.

Folge: , wobei a>0, a≠1, n – natürliche Zahl, größer als eins, b>0.

Folgerung 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Folgerung 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p und q sind reelle Zahlen, q≠0 , insbesondere für b=a gilt .

Formulierungen und Eigenschaftsnachweise

Wir fahren mit der Formulierung und dem Beweis der schriftlichen Eigenschaften von Logarithmen fort. Alle Eigenschaften von Logarithmen werden anhand der Definition des Logarithmus und der daraus folgenden logarithmischen Grundidentität sowie der Eigenschaften des Grades bewiesen.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus von Eins. Seine Formulierung lautet wie folgt: Logarithmus der Einheit gleich Null, also, log a 1=0 für jedes a>0, a≠1. Der Beweis ist nicht schwierig: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt der zu beweisende Gleichheitslog a 1=0 unmittelbar aus der Definition des Logarithmus.

Geben wir Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft: log 3 1=0, log1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Logarithmus einer Zahl gleich der Basis gleich eins , also, log a a=1 für a>0, a≠1. Da a 1 =a für jedes a gilt, ist nach Definition des Logarithmus log a a=1.

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind die Gleichungen log 5 5=1, log 5,6 5,6 und lne=1.

Der Logarithmus einer Potenz einer Zahl gleich der Basis des Logarithmus ist gleich dem Exponenten. Diese Eigenschaft des Logarithmus entspricht einer Formel der Form log a a p =p, wobei a>0, a≠1 und p – eine beliebige reelle Zahl. Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des Logarithmus. Beachten Sie, dass Sie damit sofort den Wert des Logarithmus angeben können, wenn es möglich ist, die Zahl unter dem Logarithmuszeichen als Potenz der Basis darzustellen; wir werden im Artikel Logarithmen berechnen mehr darüber sprechen.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Grades a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, und da durch die logarithmische Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y, dann a log a x ·a log a y =x·y. Somit ist ein log a x+log a y =x·y, woraus nach der Definition eines Logarithmus die zu beweisende Gleichheit folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Logarithmus eines Produkts lässt sich auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as verallgemeinern log a (x 1 · x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n. Mit der Methode der mathematischen Induktion lässt sich diese Gleichheit problemlos beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus des Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4, e und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Logarithmus eines Quotienten entspricht einer Formel der Form , wobei a>0, a≠1, x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel ist ebenso bewiesen wie die Formel für den Logarithmus eines Produkts: seit , dann per Definition des Logarithmus .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Logarithmus der Potenz. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Schreiben wir diese Eigenschaft des Logarithmus einer Potenz als Formel: log a b p =p·log a |b|, wobei a>0, a≠1, b und p Zahlen sind, so dass der Grad b p sinnvoll ist und b p > 0.

Zuerst beweisen wir, dass diese Eigenschaft positiv b ist. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p·log a b . Wir kommen also zu der Gleichung b p =a p·log a b, woraus wir durch die Definition eines Logarithmus schließen, dass log a b p =p·log a b.

Es bleibt noch, diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier stellen wir fest, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grades b p größer als Null sein muss, sonst ergibt der Logarithmus keinen Sinn) und in diesem Fall b p =|b| P. Dann ist b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , woraus log a b p =p·log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: Der Logarithmus der n-ten Wurzel ist gleich dem Produkt des Bruchs 1/n mit dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. wenn a>0, a≠1, n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0 .

Der Beweis basiert auf der Gleichheit (siehe Definition des Exponenten mit einem gebrochenen Exponenten), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Logarithmus des Exponenten: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt lasst uns beweisen Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis Art . Dazu reicht es aus, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b·log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität ermöglicht es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt noch die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b =log a b·log c a . Damit ist die Gleichheit log c b=log a b·log c a bewiesen, was bedeutet, dass auch die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus bewiesen ist .

Lassen Sie uns einige Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Beispielsweise kann damit auf natürliche oder dezimale Logarithmen umgestellt werden, sodass Sie den Wert eines Logarithmus aus einer Logarithmentabelle berechnen können. Die Formel zum Wechseln zu einer neuen Logarithmusbasis ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu ermitteln, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Ein Sonderfall der Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis für c=b der Form wird häufig verwendet. Dies zeigt, dass log a b und log b a zueinander inverse Zahlen sind. Z.B, .

Die Formel wird auch häufig verwendet, was zum Ermitteln der Werte von Logarithmen praktisch ist. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie man damit den Wert eines Logarithmus der Form berechnen kann. Wir haben . Um die Formel zu beweisen, reicht es aus, die Formel zum Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Eigenschaften des Vergleichs von Logarithmen zu beweisen.

Verwenden wir die umgekehrte Methode. Angenommen, für a 1 >1, a 2 >1 und a 1 2 und für 0 1 gilt log a 1 b≤log a 2 b. Basierend auf den Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als Und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤log b a 2 bzw. log b a 1 ≥log b a 2. Dann durch die Eigenschaften von Kräften mit aus den gleichen Gründen Die Gleichungen b log b a 1 ≥b log b a 2 und b log b a 1 ≥b log b a 2 müssen erfüllt sein, also a 1 ≥a 2 . Wir kamen also zu einem Widerspruch zur Bedingung a 1 2. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

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Logarithmen können wie alle Zahlen auf jede Art addiert, subtrahiert und transformiert werden. Da es sich bei Logarithmen aber nicht gerade um gewöhnliche Zahlen handelt, gibt es hier Regeln, die man nennt Haupteigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie unbedingt kennen – ohne sie lässt sich kein einziges ernstes Problem lösen. logarithmisches Problem. Darüber hinaus gibt es nur sehr wenige davon – Sie können alles an einem Tag lernen. Also lasst uns anfangen.

Logarithmen addieren und subtrahieren

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit denselben Basen: log a x und log a y. Dann können sie addiert und subtrahiert werden und:

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts und die Differenz ist gleich dem Logarithmus des Quotienten. Beachten Sie: Schlüsselmoment Hier - identische Gründe. Wenn die Gründe unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen bei der Berechnung logarithmischer Ausdruck auch wenn seine einzelnen Teile nicht gezählt werden (siehe Lektion „Was ist ein Logarithmus“). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 6 4 + log 6 9.

Da Logarithmen die gleichen Basen haben, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Grundlagen sind die gleichen, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus „schlechten“ Logarithmen, die nicht separat berechnet werden. Aber nach den Transformationen erhält man ganz normale Zahlen. Viele bauen auf dieser Tatsache auf Testpapiere. Ja, im Einheitlichen Staatsexamen werden prüfungsähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal praktisch ohne Änderungen) angeboten.

Extrahieren des Exponenten aus dem Logarithmus

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Was ist, wenn die Basis oder das Argument eines Logarithmus eine Potenz ist? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden:

• log a x n = n · log a x ;
• 
• 

Das merkt man leicht letzte Regel folgt den ersten beiden. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern – in manchen Fällen wird es den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

Alle diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn die ODZ des Logarithmus beachtet wird: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt , d.h. Sie können die Zahlen vor dem Logarithmuszeichen in den Logarithmus selbst eingeben. Dies wird am häufigsten benötigt.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument loswerden, indem wir die erste Formel verwenden:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

[Bildunterschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner einen Logarithmus enthält, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Wir haben:

[Bildunterschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel bedarf einer Klarstellung. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Wir stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Potenzen dar und entfernten die Exponenten – wir erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Schauen wir uns nun den Hauptbruch an. Zähler und Nenner enthalten die gleiche Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch reduzieren – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik lässt sich die Vier auf den Zähler übertragen, was auch geschehen ist. Das Ergebnis war die Antwort: 2.

Übergang zu einer neuen Stiftung

Als ich über die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen sprach, habe ich ausdrücklich betont, dass diese nur mit den gleichen Basen funktionieren. Was ist, wenn die Gründe unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Hier helfen Formeln für den Übergang zu einer neuen Stiftung. Formulieren wir sie in Form eines Theorems:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

[Bildunterschrift]

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

[Bildunterschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass Basis und Argument des Logarithmus vertauscht werden können, allerdings wird in diesem Fall der gesamte Ausdruck „umgedreht“, also der Logarithmus erscheint im Nenner.

Diese Formeln sind in konventionellen Formen selten zu finden numerische Ausdrücke. Wie praktisch sie sind, lässt sich nur durch eine Entscheidung beurteilen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten.

Es gibt jedoch Probleme, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung gelöst werden können. Schauen wir uns einige davon an:

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Potenzen enthalten. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Lassen Sie uns nun den zweiten Logarithmus „umkehren“:

[Bildunterschrift]

Da sich das Produkt beim Umordnen der Faktoren nicht ändert, haben wir in aller Ruhe vier und zwei multipliziert und uns dann mit Logarithmen befasst.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir das auf und entfernen wir die Indikatoren:

[Bildunterschrift]

Lassen Sie uns nun den dezimalen Logarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bildunterschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Im Lösungsprozess ist es oft notwendig, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns folgende Formeln:

1. n = log a a n

2. Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, da es sich nur um einen Logarithmuswert handelt.

   Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. So nennt man es: die grundlegende logarithmische Identität.

   Was passiert eigentlich, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Potenz von b die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Das Ergebnis ist die gleiche Zahl a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal sorgfältig durch – viele Menschen bleiben dabei hängen.

   Wie Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

   [Bildunterschrift]

   Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 – wir haben einfach das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus gebildet. Unter Berücksichtigung der Regeln zur Potenzmultiplikation mit gleicher Basis erhalten wir:

   [Bildunterschrift]

   Falls es jemand nicht weiß, das war eine echte Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen :)

   Logarithmische Einheit und logarithmischer Nullpunkt

   Abschließend möchte ich zwei Identitäten nennen, die kaum als Eigenschaften bezeichnet werden können – vielmehr sind sie Konsequenzen der Definition des Logarithmus. Sie tauchen ständig in Problemen auf und bereiten überraschenderweise auch „fortgeschrittenen“ Studierenden Probleme.

   1. log a a = 1 ist eine logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a dieser Basis selbst ist gleich eins.
   2. log a 1 = 0 ist die logarithmische Null. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins enthält, ist der Logarithmus gleich Null! Denn a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

   Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt die Umsetzung! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

   Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Addition und Subtraktion).

   Eigenschaften des Logarithmus folgt aus seiner Definition. Und so der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A ist definiert als der Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss A um die Nummer zu bekommen B(Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

   Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, entspricht der Lösung der Gleichung a x =b. Zum Beispiel, log 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das Wenn zu begründen b=a c, dann der Logarithmus der Zahl B bezogen auf A gleicht Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmen eng mit dem Thema Potenzen verbunden ist.

   Mit Logarithmen können Sie wie mit allen Zahlen umgehen Operationen der Addition, Subtraktion und auf jede erdenkliche Weise verwandeln. Da es sich bei Logarithmen jedoch nicht um ganz gewöhnliche Zahlen handelt, gelten hier eigene Sonderregeln, die man nennt Haupteigenschaften.

   Logarithmen addieren und subtrahieren.

   Nehmen wir zwei Logarithmen mit den gleichen Basen: Log ein x Und log ein y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

   Wie wir sehen, Summe der Logarithmen entspricht dem Logarithmus des Produkts und Unterschied Logarithmen- Logarithmus des Quotienten. Darüber hinaus gilt dies, wenn die Zahlen A, X Und bei positiv und a ≠ 1.

   Es ist wichtig zu beachten, dass der Hauptaspekt in diesen Formeln die gleichen Grundlagen sind. Bei abweichenden Gründen gelten diese Regeln nicht!

   Die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit gleicher Basis werden nicht nur von links nach rechts gelesen, sondern auch umgekehrt. Als Ergebnis haben wir die Sätze für den Logarithmus des Produkts und den Logarithmus des Quotienten.

   Logarithmus des Produkts zwei positive Zahlen gleich der Summe ihre Logarithmen ; Wenn wir diesen Satz umformulieren, erhalten wir Folgendes, wenn die Zahlen A, X Und bei positiv und a ≠ 1, Das:

   Logarithmus des Quotienten zwei positive Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors. Anders ausgedrückt, wenn die Zahlen A, X Und bei positiv und a ≠ 1, Das:

   Wenden wir zur Lösung die obigen Theoreme an Beispiele:

   Wenn die Zahlen X Und bei sind also negativ Produktlogarithmusformel wird bedeutungslos. Daher ist es verboten zu schreiben:

   da die Ausdrücke log 2 (-8) und log 2 (-4) überhaupt nicht definiert sind (logarithmische Funktion). bei= Protokoll 2 X nur für positive Argumentwerte definiert X).

   Produktsatz nicht nur für zwei, sondern für eine unbegrenzte Anzahl von Faktoren anwendbar. Das bedeutet für jeden natürlichen k und alle positiven Zahlen X 1 , X 2 , . . . ,x n Es gibt eine Identität:

   Aus Logarithmus-Quotientensatz Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann ermittelt werden. Es ist allgemein bekannt, dass log A 1= 0 also

   Das heißt, es besteht eine Gleichheit:

   Logarithmen zweier reziproker Zahlen aus dem gleichen Grund werden sich nur durch das Vorzeichen voneinander unterscheiden. Also:

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Betrachten wir Gleichheit. Teilen Sie uns die Werte von und mit und wir möchten den Wert von ermitteln.

   Das heißt, wir suchen nach dem Exponenten, um den wir ihn spannen müssen, um zu erhalten.

   Lassen kann eine Variable jeden realen Wert annehmen, dann gelten für die Variablen folgende Einschränkungen: o" title="a>o"/> , 1″ title="a1″/>, 0″ title="b>0" />

   Wenn wir die Werte von und kennen und vor der Aufgabe stehen, das Unbekannte zu finden, dann wird zu diesem Zweck eine mathematische Operation eingeführt, die aufgerufen wird Logarithmus.

   Um den Wert zu finden, den wir nehmen Logarithmus einer Zahl Von Basis :

   Der Logarithmus einer Zahl zur Basis ist der Exponent, auf den sie erhöht werden muss, um zu erhalten.

   Also grundlegende logarithmische Identität:

   o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>

   ist im Wesentlichen eine mathematische Notation Definitionen von Logarithmus.

   Die mathematische Operation des Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierungsoperation, also Eigenschaften von Logarithmen hängen eng mit den Eigenschaften des Grades zusammen.

   Lassen Sie uns die wichtigsten auflisten Eigenschaften von Logarithmen:

   (o" title="a>o"/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=“d1″/>

   4.

   5.

   Mit der folgenden Gruppe von Eigenschaften können Sie den Exponenten eines Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Logarithmus oder an der Basis des Logarithmus in Form eines Koeffizienten vor dem Vorzeichen des Logarithmus darstellen:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Die nächste Gruppe von Formeln ermöglicht den Übergang von einem Logarithmus mit einer bestimmten Basis zu einem Logarithmus mit einer beliebigen Basis und heißt Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis:

   10.

   12. (Folge aus Eigenschaft 11)

   

   Die folgenden drei Eigenschaften sind nicht allgemein bekannt, werden jedoch häufig beim Lösen logarithmischer Gleichungen oder beim Vereinfachen von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, verwendet:

   13.

   14.

   15.

   Sonderfälle:

   — dezimaler Logarithmus

   — natürlicher Logarithmus

   Bei der Vereinfachung von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, wird ein allgemeiner Ansatz verwendet:

   1. Vorstellung Dezimalstellen in Form von gewöhnlichen.

   2. Gemischte Zahlen als unechte Brüche dargestellt.

   3. Wir zerlegen die Zahlen zur Basis des Logarithmus und unter dem Vorzeichen des Logarithmus in einfache Faktoren.

   4. Wir versuchen, alle Logarithmen auf die gleiche Basis zu reduzieren.

   5. Wenden Sie die Eigenschaften von Logarithmen an.

   Schauen wir uns Beispiele für die Vereinfachung von Ausdrücken an, die Logarithmen enthalten.

   Beispiel 1.

   Berechnung:

   Vereinfachen wir alle Exponenten: Unsere Aufgabe besteht darin, sie auf Logarithmen zu reduzieren, deren Basis dieselbe Zahl ist wie die Basis des Exponenten.

   ==(nach Eigenschaft 7)=(nach Eigenschaft 6) =

   Ersetzen wir die Indikatoren, die wir erhalten haben, in den ursprünglichen Ausdruck. Wir bekommen:

   Antwort: 5.25

   Beispiel 2. Berechnen Sie:

   

   Reduzieren wir alle Logarithmen auf die Basis 6 (in diesem Fall „wandern“ die Logarithmen vom Nenner des Bruchs zum Zähler):

   Zerlegen wir die Zahlen unter dem Logarithmuszeichen in einfache Faktoren:

   Wenden wir die Eigenschaften 4 und 6 an:

   Lassen Sie uns den Ersatz vorstellen

   Wir bekommen:

   Antwort 1

   Logarithmus . Grundlegende logarithmische Identität.

   Eigenschaften von Logarithmen. Dezimaler Logarithmus. Natürlicher Logarithmus.

   Logarithmus positive Zahl N zur Basis (B > 0, B 1) ist der Exponent x, auf den b erhöht werden muss, um N zu erhalten .

   Dieser Eintrag entspricht dem Folgenden: b x = N .

   Beispiele: log 3 81 = 4, da 3 4 = 81;

   log 1/3 27 = – 3, da (1/3) - 3 = 3 3 = 27.

   Die obige Definition des Logarithmus kann als Identität geschrieben werden:

   

   Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

   2) log 1 = 0, da B 0 = 1 .

   3) Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:

   4) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors:

   5) Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis:

   Die Konsequenz dieser Eigenschaft ist folgende: Logarithmus der Wurzel gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch die Potenz der Wurzel:

   

   6) Wenn die Basis des Logarithmus ein Grad ist, dann der Wert die Umkehrung des Indikators Grad, kann aus dem Log-Reimzeichen entnommen werden:

   

   Die letzten beiden Eigenschaften können zu einer kombiniert werden:

   

   7) Übergangsmodulformel (d. h. Übergang von einer Logarithmusbasis zu einer anderen Basis):

   

   Im Sonderfall wann N=a wir haben:

   

   Dezimaler Logarithmus angerufen Basislogarithmus 10. Es wird mit lg bezeichnet, d.h. Protokoll 10 N= Protokoll N. Logarithmen der Zahlen 10, 100, 1000, . p sind jeweils 1, 2, 3, …, d. h. habe so viel positives

   Einheiten, wie viele Nullen gibt es in einer logarithmischen Zahl nach einer? Logarithmen der Zahlen 0,1, 0,01, 0,001, . p sind jeweils –1, –2, –3, …, d.h. haben so viele negative Einsen, wie es Nullen in der logarithmischen Zahl vor der Eins gibt (einschließlich ganzer Nullen). Die Logarithmen anderer Zahlen haben einen sogenannten Bruchteil Mantisse. Der ganzzahlige Teil eines Logarithmus wird aufgerufen charakteristisch. Für den praktischen Gebrauch sind dezimale Logarithmen am praktischsten.

   Natürlicher Logarithmus angerufen Basislogarithmus e. Es wird mit ln bezeichnet, d.h. Protokoll e N= Protokoll N. Nummer e ist irrational, sein ungefährer Wert ist 2,718281828. Es ist die Grenze, zu der die Zahl tendiert (1 + 1 / N) N mit unbegrenzter Steigerung N(cm. erste wunderbare Grenze auf der Seite „Grenzen der Zahlenfolge“).
   So seltsam es auch scheinen mag, natürliche Logarithmen erwies sich als sehr praktisch bei der Durchführung verschiedener Arten von Operationen im Zusammenhang mit der Funktionsanalyse. Logarithmen zur Basis berechnen e viel schneller durchgeführt werden als aus irgendeinem anderen Grund.

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Es werden die grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, des Graphen, des Definitionsbereichs, der Wertemenge, der Grundformeln, der Ableitung, des Integrals, der Potenzreihenentwicklung und der Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Definition

Natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = ln x, umgekehrt zu exponentiell, x = e y , und ist Logarithmus basierend auf der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) wird erhalten aus exponentielle Grafiken Spiegelreflexion relativ zur Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus ist definiert bei positive Werte Variable x. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei x → 0 Der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Beliebig Power-Funktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton wachsende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt vorgestellt "Logarithmus".

Umkehrfunktion

Die Umkehrung des natürlichen Logarithmus ist Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Formeln ableiten > > >

Integral

Das Integral wird berechnet Integration in Teilstücken :
.
Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z:
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul R und Argumentation φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
es wird die gleiche Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Logarithmus einer Zahl N bezogen auf A Exponent genannt X , auf die Sie bauen müssen A um die Nummer zu bekommen N

Unter der Vorraussetzung, dass
,
,

Aus der Definition des Logarithmus folgt Folgendes
, d.h.
- Diese Gleichheit ist die grundlegende logarithmische Identität.

Logarithmen zur Basis 10 werden dezimale Logarithmen genannt. Anstatt
schreiben
.

Logarithmen zur Basis e werden als natürlich bezeichnet und bezeichnet
.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

Der Logarithmus von Eins ist für jede Basis gleich Null.

Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren.

3) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz der Logarithmen

Faktor
wird als Übergangsmodul vom Logarithmus zur Basis bezeichnet A zu Logarithmen an der Basis B .

Mithilfe der Eigenschaften 2–5 ist es häufig möglich, den Logarithmus eines komplexen Ausdrucks auf das Ergebnis einfacher arithmetischer Operationen an Logarithmen zu reduzieren.

Zum Beispiel,

Solche Transformationen eines Logarithmus werden Logarithmen genannt. Zum Logarithmus inverse Transformationen nennt man Potenzierung.

Kapitel 2. Elemente der höheren Mathematik.

1. Grenzen

Grenze der Funktion
ist eine endliche Zahl A if, as xx 0 für jeden vorgegeben
, es gibt so eine Nummer
das sobald
, Das
.

Eine Funktion, die einen Grenzwert hat, unterscheidet sich von ihr um einen verschwindend kleinen Betrag:
, wo- b.m.v., d.h.
.

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion
.

Beim Streben
, Funktion j tendiert gegen Null:

1.1. Grundlegende Sätze über Grenzen.

Der Grenzwert eines konstanten Wertes ist gleich diesem konstanten Wert

.

Der Grenzwert der Summe (Differenz) einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Produkts einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen.

Der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen, wenn der Grenzwert des Nenners nicht Null ist.

Wunderbare Grenzen

,
, Wo

1.2. Beispiele für Grenzwertberechnungen

Allerdings lassen sich nicht alle Grenzwerte so einfach berechnen. In den meisten Fällen kommt es bei der Berechnung des Grenzwerts darauf an, eine Unsicherheit der folgenden Art aufzudecken: oder .

.

2. Ableitung einer Funktion

Lassen Sie uns eine Funktion haben
, kontinuierlich auf dem Segment
.

Streit habe etwas Zuwachs bekommen
. Dann erhält die Funktion ein Inkrement
.

Argumentwert entspricht dem Funktionswert
.

Argumentwert
entspricht dem Funktionswert.

Somit, .

Finden wir die Grenze dieses Verhältnisses bei
. Wenn dieser Grenzwert existiert, wird er als Ableitung der gegebenen Funktion bezeichnet.

Definition 3 Ableitung einer gegebenen Funktion
durch Argumentation heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments willkürlich gegen Null tendiert.

Ableitung einer Funktion
kann wie folgt bezeichnet werden:

; ; ; .

Definition 4Die Operation zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion wird aufgerufen Differenzierung.

2.1. Mechanische Bedeutung von Derivat.

Betrachten wir die geradlinige Bewegung eines starren Körpers oder materiellen Punktes.

Irgendwann mal lassen beweglicher Punkt
war in einiger Entfernung von der Ausgangsposition aus
.

Nach einiger Zeit
sie bewegte sich ein Stück
. Attitüde =- Durchschnittsgeschwindigkeit materieller Punkt
. Lassen Sie uns unter Berücksichtigung dessen die Grenze dieses Verhältnisses ermitteln
.

Folglich reduziert sich die Bestimmung der momentanen Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes auf die Ermittlung der Ableitung des Weges nach der Zeit.

2.2. Geometrische Bedeutung Derivat

Lassen Sie uns eine grafisch definierte Funktion haben
.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Ableitung

Wenn
, dann zeigen
, bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt
.

Somit
, d.h. der Wert der Ableitung für einen gegebenen Wert des Arguments numerisch gleich dem Tangens des Winkels, den die Tangente an einem bestimmten Punkt mit der positiven Richtung der Achse bildet
.

2.3. Tabelle der grundlegenden Differenzierungsformeln.

Power-Funktion

Exponentialfunktion

Logarithmische Funktion

Trigonometrische Funktion

Inverse trigonometrische Funktion

2.4. Differenzierungsregeln.

Ableitung von

Ableitung der Summe (Differenz) von Funktionen

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

2.5. Ableitung von komplexe Funktion.

Die Funktion sei gegeben
so dass es in der Form dargestellt werden kann

Und
, wo die Variable ist also ein Zwischenargument

Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung der gegebenen Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach x.

Beispiel 1.

Beispiel 2.

3. Differentialfunktion.

Lass es sein
, in einem bestimmten Intervall differenzierbar
lassen Sie es gehen bei Diese Funktion hat eine Ableitung

,

dann können wir schreiben

(1),

Wo - eine unendlich kleine Größe,

seit wann

Multiplikation aller Gleichheitsterme (1) mit
wir haben:

Wo
- b.m.v. Auftrag von oben.

Größe
wird als Differential der Funktion bezeichnet
und ist bezeichnet

.

3.1. Geometrischer Wert des Differentials.

Die Funktion sei gegeben
.

Abb.2. Geometrische Bedeutung des Differentials.

.

Offensichtlich das Differential der Funktion
ist gleich dem Inkrement der Ordinate der Tangente an einem bestimmten Punkt.

3.2. Ableitungen und Differentiale verschiedener Ordnungen.

Wenn es gibt
, Dann
heißt die erste Ableitung.

Die Ableitung der ersten Ableitung heißt Ableitung zweiter Ordnung und wird geschrieben
.

Ableitung der n-ten Ordnung der Funktion
heißt die Ableitung (n-1)-ter Ordnung und wird geschrieben:

.

Das Differential des Differentials einer Funktion wird zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung genannt.

.

.

3.3 Lösung biologischer Probleme durch Differenzierung.

Aufgabe 1. Studien haben gezeigt, dass das Wachstum einer Kolonie von Mikroorganismen einem Gesetz unterliegt
, Wo N – Anzahl der Mikroorganismen (in Tausend), T – Zeit (Tage).

b) Wird die Population der Kolonie in diesem Zeitraum zunehmen oder abnehmen?

Antwort. Die Größe der Kolonie wird zunehmen.

Aufgabe 2. Das Wasser im See wird regelmäßig getestet, um den Gehalt an pathogenen Bakterien zu überwachen. Durch T Tage nach dem Test wird die Bakterienkonzentration anhand des Verhältnisses bestimmt

.

Wann wird der See eine minimale Bakterienkonzentration aufweisen und kann man darin schwimmen?

Lösung: Eine Funktion erreicht ihr Maximum oder Minimum, wenn ihre Ableitung Null ist.

,

Lassen Sie uns das Maximum oder Minimum in 6 Tagen bestimmen. Nehmen wir dazu die zweite Ableitung.

Antwort: Nach 6 Tagen ist eine minimale Bakterienkonzentration vorhanden.