Die lineare Funktion ist gerade. Grundlegende Eigenschaften von Funktionen

Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt auf dem Graphen dieser Funktion. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Erinnern Allgemeine Regeln, nach denen Ableitungen vorgenommen werden, und erst dann mit dem nächsten Schritt fortfahren.

• Lesen Sie den Artikel.
• So nehmen Sie die einfachsten Ableitungen, zum Beispiel Derivat Exponentialgleichung, beschrieben. Die in den folgenden Schritten dargestellten Berechnungen basieren auf den darin beschriebenen Methoden.

Lernen Sie, Probleme zu unterscheiden, bei denen der Steigungskoeffizient durch die Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Problemen müssen Sie nicht immer die Steigung oder Ableitung einer Funktion ermitteln. Beispielsweise werden Sie möglicherweise gebeten, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A(x,y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, die Steigung der Tangente am Punkt A(x,y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist es notwendig, die Ableitung der Funktion zu bilden.

Definition einer linearen Funktion

Lassen Sie uns die Definition einer linearen Funktion einführen

Definition

Eine Funktion der Form $y=kx+b$, wobei $k$ ungleich Null ist, wird als lineare Funktion bezeichnet.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Zahl $k$ wird aufgerufen Neigung gerade.

Wenn $b=0$ ist, heißt die lineare Funktion eine Funktion der direkten Proportionalität $y=kx$.

Betrachten Sie Abbildung 1.

Reis. 1. Geometrische Bedeutung der Steigung einer Geraden

Betrachten Sie das Dreieck ABC. Wir sehen, dass $ВС=kx_0+b$. Finden wir den Schnittpunkt der Geraden $y=kx+b$ mit der Achse $Ox$:

\ \

Also $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Lassen Sie uns das Verhältnis dieser Seiten ermitteln:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Andererseits ist $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Somit können wir folgende Schlussfolgerung ziehen:

Abschluss

Geometrische Bedeutung Koeffizient $k$. Der Winkelkoeffizient der Geraden $k$ ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Geraden zur $Ox$-Achse.

Untersuchung der linearen Funktion $f\left(x\right)=kx+b$ und ihres Graphen

Betrachten Sie zunächst die Funktion $f\left(x\right)=kx+b$, wobei $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Somit, diese Funktion nimmt im gesamten Definitionsbereich zu. Es gibt keine Extrempunkte.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Diagramm (Abb. 2).

Reis. 2. Graphen der Funktion $y=kx+b$, für $k > 0$.

Betrachten Sie nun die Funktion $f\left(x\right)=kx$, wobei $k

1. Der Definitionsbereich sind alle Zahlen.
2. Der Wertebereich umfasst alle Zahlen.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
4. Für $x=0,f\left(0\right)=b$. Wenn $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ und $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Daher hat die Funktion keine Wendepunkte.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Diagramm (Abb. 3).

Anweisungen

Wenn der Graph eine gerade Linie ist, die durch den Koordinatenursprung verläuft und mit der OX-Achse einen Winkel α bildet (der Neigungswinkel der geraden Linie zur positiven Halbachse OX). Die Funktion, die diese Linie beschreibt, hat die Form y = kx. Der Proportionalitätskoeffizient k ist gleich tan α. Wenn eine Gerade durch das 2. und 4. Koordinatenviertel geht, dann ist k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 und die Funktion nimmt zu. Es sei eine gerade Linie, die relativ zu den Koordinatenachsen auf unterschiedliche Weise angeordnet ist. Dies ist eine lineare Funktion und hat die Form y = kx + b, wobei die Variablen x und y hoch sind und k und b entweder positiv oder negativ sein können. negative Werte oder gleich Null. Die Gerade verläuft parallel zur Geraden y = kx und schneidet an der Achse |b| ab Einheiten. Wenn die Gerade parallel zur Abszissenachse ist, dann ist k = 0, wenn die Ordinatenachse ist, dann hat die Gleichung die Form x = const.

Eine Kurve, die aus zwei Ästen besteht, die in verschiedenen Vierteln liegen und symmetrisch zum Koordinatenursprung sind, ist eine Hyperbel. Dieses Diagramm umgekehrte Beziehung Variable y aus x und wird durch die Gleichung y = k/x beschrieben. Dabei ist k ≠ 0 der Proportionalitätskoeffizient. Darüber hinaus nimmt die Funktion ab, wenn k > 0 ist; wenn k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Die quadratische Funktion hat die Form y = ax2 + bx + c, wobei a, b und c konstante Größen sind und a  0. Wenn die Bedingung b = c = 0 erfüllt ist, sieht die Gleichung der Funktion wie folgt aus: y = ax2 ( der einfachste Fall) und der Graph ist eine Parabel, die durch den Ursprung verläuft. Der Graph der Funktion y = ax2 + bx + c hat die gleiche Form wie der einfachste Fall der Funktion, aber sein Scheitelpunkt (der Schnittpunkt mit der OY-Achse) liegt nicht im Ursprung.

Der Graph ist ebenfalls eine Parabel Power-Funktion, ausgedrückt durch die Gleichung y = xⁿ, wenn n beliebig ist gerade Zahl. Wenn n irgendein ist ungerade Zahl, der Graph einer solchen Potenzfunktion wird wie eine kubische Parabel aussehen.
Wenn n beliebig ist, nimmt die Funktionsgleichung die Form an. Der Graph der Funktion für ungerade n ist eine Hyperbel, und für gerade n sind ihre Zweige symmetrisch in Bezug auf die op-Achse.

Auch in Schuljahre Die Funktionen werden im Detail untersucht und ihre Graphen erstellt. Aber leider lehren sie praktisch nicht, wie man den Graphen einer Funktion liest und ihren Typ anhand der dargestellten Zeichnung findet. Eigentlich ist es ganz einfach, wenn man sich die Grundtypen von Funktionen merken kann.

Anweisungen

Wenn der dargestellte Graph ist, der durch den Koordinatenursprung und mit der OX-Achse den Winkel α (der der Neigungswinkel der geraden Linie zur positiven Halbachse ist) verläuft, dann lautet die Funktion, die eine solche gerade Linie beschreibt dargestellt als y = kx. In diesem Fall ist der Proportionalitätskoeffizient k gleich dem Tangens des Winkels α.

Wenn eine bestimmte Gerade durch das zweite und vierte Koordinatenviertel verläuft, ist k gleich 0 und die Funktion nimmt zu. Der dargestellte Graph sei eine gerade Linie, die in irgendeiner Weise relativ zu den Koordinatenachsen liegt. Dann ist die Funktion solcher Grafik wird linear sein, was durch die Form y = kx + b dargestellt wird, wobei die Variablen y und x im ersten sind und b und k sowohl negativ als auch annehmen können positive Werte oder .

Wenn die Linie parallel zur Linie mit dem Graphen y = kx ist und b Einheiten auf der Ordinatenachse abschneidet, dann hat die Gleichung die Form x = const, wenn der Graph parallel zur Abszissenachse ist, dann ist k = 0.

Eine gekrümmte Linie, die aus zwei Zweigen besteht, die symmetrisch zum Ursprung sind und in verschiedenen Vierteln liegen, ist eine Hyperbel. Ein solcher Graph zeigt die umgekehrte Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x und wird durch eine Gleichung der Form y = k/x beschrieben, wobei k nicht sein sollte gleich Null, da es sich um einen Koeffizienten handelt umgekehrte Proportionalität. Wenn außerdem der Wert von k größer als Null ist, nimmt die Funktion ab; wenn k kleiner als Null ist, nimmt es zu.

Wenn der vorgeschlagene Graph eine durch den Ursprung verlaufende Parabel ist, hat seine Funktion unter der Bedingung, dass b = c = 0, die Form y = ax2. Dies ist der einfachste Fall quadratische Funktion. Der Graph einer Funktion der Form y = ax2 + bx + c hat die gleiche Form wie im einfachsten Fall, jedoch liegt der Scheitelpunkt (der Punkt, an dem der Graph die Ordinatenachse schneidet) nicht im Ursprung. In einer quadratischen Funktion, dargestellt durch die Form y = ax2 + bx + c, sind die Werte von a, b und c konstant, während a ungleich Null ist.

Eine Parabel kann auch der Graph einer Potenzfunktion sein, die durch eine Gleichung der Form y = xⁿ ausgedrückt wird, nur wenn n eine gerade Zahl ist. Wenn der Wert von n eine ungerade Zahl ist, wird ein solcher Graph einer Potenzfunktion durch eine kubische Parabel dargestellt. Falls die Variable n eine beliebige ist negative Zahl, die Gleichung der Funktion nimmt die Form an.

Video zum Thema

Die Koordinate eines absolut beliebigen Punktes auf der Ebene wird durch seine beiden Größen bestimmt: entlang der Abszissenachse und der Ordinatenachse. Die Ansammlung vieler solcher Punkte stellt den Graphen der Funktion dar. Daraus können Sie erkennen, wie sich der Y-Wert abhängig von der Änderung des X-Werts ändert. Außerdem können Sie bestimmen, in welchem ​​Abschnitt (Intervall) die Funktion zunimmt und in welchem ​​sie abnimmt.

Anweisungen

Was können Sie über eine Funktion sagen, wenn ihr Graph eine Gerade ist? Überprüfen Sie, ob diese Linie durch den Koordinatenursprungspunkt verläuft (d. h. den Punkt, an dem die X- und Y-Werte gleich 0 sind). Wenn dies der Fall ist, wird eine solche Funktion durch die Gleichung y = kx beschrieben. Es ist leicht zu verstehen, dass diese Gerade umso näher an der Ordinatenachse liegt, je größer der Wert von k ist. Und die Y-Achse selbst entspricht tatsächlich unendlich von großer Wichtigkeit k.

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Bei Bedarf – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, dem Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden auf dem Territorium der Russischen Föderation - Ihre persönlichen Daten offenlegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

1) Funktionsbereich und Funktionsumfang.

Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge aller gültigen Argumentwerte X(Variable X), für die die Funktion y = f(x) bestimmt. Der Bereich einer Funktion ist die Menge aller reellen Werte j, was die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.

2) Funktionsnullstellen.

Funktionsnull ist der Wert des Arguments, bei dem der Wert der Funktion gleich Null ist.

3) Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion.

Intervalle mit konstantem Vorzeichen einer Funktion sind Mengen von Argumentwerten, bei denen die Funktionswerte nur positiv oder nur negativ sind.

4) Monotonie der Funktion.

Eine steigende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion für die höherer Wert das Argument aus diesem Intervall entspricht einem größeren Wert der Funktion.

Eine abnehmende Funktion (in einem bestimmten Intervall) ist eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.

5) Gerade (ungerade) Funktion.

Eine gerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = f(x). Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, deren Definitionsbereich bezüglich des Ursprungs und für jeden symmetrisch ist X Aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit wahr f(-x) = - f(x). Zeitplan komische Funktion symmetrisch zum Ursprung.

6) Begrenzte und unbegrenzte Funktionen.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine positive Zahl M mit |f(x)| gibt ≤ M für alle Werte von x. Existiert eine solche Zahl nicht, ist die Funktion unbegrenzt.

7) Periodizität der Funktion.

Eine Funktion f(x) ist periodisch, wenn es eine Zahl T ungleich Null gibt, so dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f(x+T) = f(x). Diese kleinste Zahl wird als Periode der Funktion bezeichnet. Alle trigonometrische Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

19. Grundlegende Elementarfunktionen, ihre Eigenschaften und Graphen. Anwendung von Funktionen in der Wirtschaftswissenschaft.

Grundlegende Elementarfunktionen. Ihre Eigenschaften und Diagramme

1. Lineare Funktion.

Lineare Funktion heißt eine Funktion der Form , wobei x eine Variable ist, a und b reelle Zahlen sind.

Nummer A Sie wird als Steigung der Linie bezeichnet und ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Linie an die positive Richtung der x-Achse. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Es wird durch zwei Punkte definiert.

Eigenschaften einer linearen Funktion

1. Definitionsbereich – die Menge aller reellen Zahlen: D(y)=R

2. Die Wertemenge ist die Menge aller reellen Zahlen: E(y)=R

3. Die Funktion nimmt einen Nullwert an, wenn oder.

4. Die Funktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu (ab).

5. Lineare Funktion stetig über den gesamten Definitionsbereich, differenzierbar und .

2. Quadratische Funktion.

Eine Funktion der Form, wobei x eine Variable ist, Koeffizienten a, b, c reelle Zahlen sind, heißt quadratisch