Direkt und umgekehrt proportionale Beziehung. Was ist direkte Proportionalität?

Grundlegende Ziele:

• das Konzept der direkten und umgekehrt proportionalen Abhängigkeit von Mengen einführen;
• lehren, wie man Probleme mithilfe dieser Abhängigkeiten löst;
• die Entwicklung von Fähigkeiten zur Problemlösung fördern;
• die Fähigkeit festigen, Gleichungen mithilfe von Proportionen zu lösen;
• Wiederholen Sie die Schritte mit gewöhnlichen und dezimalen Brüchen.
• entwickeln logisches Denken Studenten.

WÄHREND DES UNTERRICHTS

ICH. Selbstbestimmung zur Aktivität(Zeit organisieren)

- Jungs! Heute lernen wir in der Lektion Probleme kennen, die mithilfe von Proportionen gelöst werden.

II. Wissen aktualisieren und Schwierigkeiten bei Aktivitäten aufzeichnen

2.1. Mündliche Arbeit (3 Minuten)

– Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke heraus und finden Sie das in den Antworten verschlüsselte Wort heraus.

14 – s; 0,1 – und; 7 – l; 0,2 – a; 17 – c; 25 – bis

– Das resultierende Wort ist Stärke. Gut gemacht!
– Das Motto unserer heutigen Lektion: Macht liegt im Wissen! Ich suche – das heißt ich lerne!
– Bilden Sie aus den resultierenden Zahlen einen Anteil. (14:7 = 0,2:0,1 usw.)

2.2. Betrachten wir die Beziehung zwischen den uns bekannten Größen (7 Minuten)

– die vom Auto bei konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Strecke und die Zeit seiner Bewegung: S = v t ( mit zunehmender Geschwindigkeit (Zeit) nimmt die Distanz zu);
– Fahrzeuggeschwindigkeit und Fahrtzeit: v=S:t(je länger die Zeit zum Durchqueren des Pfades dauert, desto geringer ist die Geschwindigkeit);
– die Kosten der zu einem Preis gekauften Waren und ihre Menge: C = a · n (mit steigendem (sinkendem) Preis steigen (sinken) die Anschaffungskosten);
– Preis des Produkts und seiner Menge: a = C: n (mit zunehmender Menge sinkt der Preis)
– Fläche des Rechtecks ​​und seine Länge (Breite): S = a · b (mit zunehmender Länge (Breite) nimmt die Fläche zu;
– Länge und Breite des Rechtecks: a = S: b (mit zunehmender Länge nimmt die Breite ab;
– die Anzahl der Arbeiter, die eine Arbeit mit gleicher Arbeitsproduktivität ausführen, und die Zeit, die für die Erledigung dieser Arbeit benötigt wird: t = A: n (mit zunehmender Anzahl der Arbeiter nimmt die für die Ausführung der Arbeit aufgewendete Zeit ab) usw .

Wir haben Abhängigkeiten erhalten, bei denen bei mehrmaliger Erhöhung einer Größe eine andere sofort um denselben Betrag zunimmt (Beispiele sind mit Pfeilen dargestellt) und Abhängigkeiten, bei denen bei mehrmaliger Erhöhung einer Größe die zweite Größe um den gleichen Betrag abnimmt gleich oft.
Solche Abhängigkeiten werden direkte und umgekehrte Proportionalität genannt.
Direkt proportionale Abhängigkeit– eine Beziehung, bei der ein Wert mehrmals steigt (sinkt), der zweite Wert um denselben Betrag steigt (sinkt).
Umgekehrt proportionale Beziehung– eine Beziehung, bei der der zweite Wert um den gleichen Betrag abnimmt (zunimmt), wenn ein Wert mehrmals steigt (sinkt).

III. Eine Lernaufgabe stellen

– Vor welchem ​​Problem stehen wir? (Lernen Sie, zwischen direkten und inversen Abhängigkeiten zu unterscheiden)
- Das - Ziel unsere Lektion. Jetzt formulieren Thema Lektion. (Direkte und umgekehrt proportionale Beziehung).
- Gut gemacht! Notieren Sie das Thema der Lektion in Ihren Notizbüchern. (Der Lehrer schreibt das Thema an die Tafel.)

IV. „Entdeckung“ neuen Wissens(10 Minuten)

Schauen wir uns Problem Nr. 199 an.

1. Der Drucker druckt 27 Seiten in 4,5 Minuten. Wie lange dauert es, 300 Seiten zu drucken?

27 Seiten – 4,5 Min.
300 Seiten - x?

2. Die Box enthält 48 Packungen Tee à 250 g. Wie viele 150-g-Packungen dieses Tees erhalten Sie?

48 Packungen – 250 g.
X? – 150 g.

3. Das Auto fuhr 310 km und verbrauchte 25 Liter Benzin. Wie weit kann ein Auto mit einem vollen 40-Liter-Tank fahren?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Eines der Kupplungsräder hat 32 Zähne, das andere 40. Wie viele Umdrehungen macht das zweite Zahnrad, während das erste 215 Umdrehungen macht?

32 Zähne – 315 Umdrehungen
40 Zähne – x?

Um ein Verhältnis zu bilden, ist eine Richtung der Pfeile notwendig; dazu wird bei der umgekehrten Proportionalität ein Verhältnis durch das Gegenteil ersetzt.

An der Tafel finden die Schüler die Bedeutung von Mengen, vor Ort lösen die Schüler ein Problem ihrer Wahl.

– Formulieren Sie eine Regel zur Lösung von Problemen mit direkter und umgekehrt proportionaler Abhängigkeit.

An der Tafel erscheint eine Tabelle:

V. Primäre Konsolidierung in der externen Sprache(10 Minuten)

Arbeitsblattaufgaben:

1. Aus 21 kg Baumwollsamen wurden 5,1 kg Öl gewonnen. Wie viel Öl wird aus 7 kg Baumwollsamen gewonnen?
2. Um das Stadion zu bauen, räumten fünf Bulldozer das Gelände in 210 Minuten. Wie lange würden 7 Bulldozer brauchen, um dieses Gelände zu räumen?

VI. Selbstständige Arbeit mit Selbsttest gegen Norm(5 Minuten)

Zwei Schüler lösen Aufgabe Nr. 225 selbstständig auf versteckten Tafeln, der Rest – in Notizbüchern. Anschließend überprüfen sie die Funktion des Algorithmus und vergleichen ihn mit der Lösung an der Tafel. Fehler werden behoben und deren Ursachen ermittelt. Wenn die Aufgabe richtig gelöst wurde, legen die Schüler ein „+“-Zeichen daneben.
Studierende, die bei der selbstständigen Arbeit Fehler machen, können auf Berater zurückgreifen.

VII. Einbindung in das Wissenssystem und Wiederholung№ 271, № 270.

Im Vorstand arbeiten sechs Personen. Nach 3-4 Minuten stellen die an der Tafel arbeitenden Studierenden ihre Lösungen vor, der Rest prüft die Aufgaben und beteiligt sich an der Diskussion.

VIII. Reflexion über die Aktivität (Lektionszusammenfassung)

– Was haben Sie in der Lektion Neues gelernt?
-Was haben sie wiederholt?
– Was ist der Algorithmus zur Lösung von Proportionsproblemen?
– Haben wir unser Ziel erreicht?
– Wie bewerten Sie Ihre Arbeit?

Die beiden Größen werden aufgerufen direkt proportional, wenn einer von ihnen mehrmals zunimmt, erhöht sich der andere um den gleichen Betrag. Wenn also einer von ihnen mehrmals abnimmt, verringert sich der andere um den gleichen Betrag.

Die Beziehung zwischen solchen Größen ist eine direkt proportionale Beziehung. Beispiele für direkte proportionale Abhängigkeit:

1) Bei konstanter Geschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke direkt proportional zur Zeit;

2) der Umfang eines Quadrats und seine Seite sind direkt proportionale Größen;

3) Die Kosten eines zu einem Preis gekauften Produkts sind direkt proportional zu seiner Menge.

Um einen direkt proportionalen Zusammenhang von einem umgekehrten zu unterscheiden, können Sie das Sprichwort verwenden: „Je weiter in den Wald hinein, desto mehr Brennholz.“

Es ist praktisch, Probleme mit direkt proportionalen Größen mithilfe von Proportionen zu lösen.

1) Für die Herstellung von 10 Teilen benötigt man 3,5 kg Metall. Wie viel Metall wird für die Herstellung von 12 dieser Teile benötigt?

(Wir argumentieren so:

1. Platzieren Sie in der gefüllten Spalte einen Pfeil in Richtung von mehr zu weniger.

2. Je mehr Teile, desto mehr Metall wird für ihre Herstellung benötigt. Dies bedeutet, dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt.

Für die Herstellung von 12 Teilen werden x kg Metall benötigt. Wir bilden den Anteil (in der Richtung vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

12:10=x:3,5

Um zu finden, müssen Sie das Produkt der Extremterme durch den bekannten Mittelterm dividieren:

Das bedeutet, dass 4,2 kg Metall benötigt werden.

Antwort: 4,2 kg.

2) Für 15 Meter Stoff zahlten sie 1680 Rubel. Wie viel kosten 12 Meter eines solchen Stoffes?

(1. Platzieren Sie in der ausgefüllten Spalte einen Pfeil in der Richtung von der größten zur kleinsten Zahl.

2. Je weniger Stoff Sie kaufen, desto weniger müssen Sie dafür bezahlen. Dies bedeutet, dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt.

3. Daher zeigt der zweite Pfeil in die gleiche Richtung wie der erste.

Angenommen, x Rubel kosten 12 Meter Stoff. Wir machen einen Anteil (vom Anfang des Pfeils bis zu seinem Ende):

15:12=1680:x

Um den unbekannten Extremwert der Proportion zu ermitteln, dividieren Sie das Produkt der Mittelwerte durch den bekannten Extremwert der Proportion:

Das bedeutet, dass 12 Meter 1344 Rubel kosten.

Antwort: 1344 Rubel.

Beispiel

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 usw.

Proportionalitätsfaktor

Ein konstanter Zusammenhang proportionaler Größen wird genannt Proportionalitätsfaktor. Der Proportionalitätskoeffizient gibt an, wie viele Einheiten einer Größe pro Einheit einer anderen Menge vorhanden sind.

Direkte Verhältnismäßigkeit

Direkte Verhältnismäßigkeit- funktionale Abhängigkeit, bei der eine bestimmte Größe von einer anderen Größe so abhängt, dass ihr Verhältnis konstant bleibt. Mit anderen Worten: Diese Variablen ändern sich anteilig, zu gleichen Teilen, das heißt, wenn sich das Argument zweimal in eine beliebige Richtung ändert, ändert sich auch die Funktion zweimal in dieselbe Richtung.

Mathematisch wird die direkte Proportionalität als Formel geschrieben:

F(X) = AX,A = CÖNST

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität- Dies ist eine funktionale Abhängigkeit, bei der eine Erhöhung des unabhängigen Werts (Arguments) eine proportionale Verringerung des abhängigen Werts (Funktion) bewirkt.

Mathematisch umgekehrte Proportionalität wird als Formel geschrieben:

Funktionseigenschaften:

Quellen

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „direkte Proportionalität“ ist:

direkte Proportionalität- - [A. S. Goldberg. Englisch-Russisches Energiewörterbuch. 2006] Energiethemen im Allgemeinen EN direktes Verhältnis ... Leitfaden für technische Übersetzer

direkte Proportionalität- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. direkte Proportionalität vok. direkte Proportionalität, f rus. direkte Proportionalität, f pranc. proportionalität direkt, f … Fizikos terminų žodynas

- (von lateinisch proportionalis proportional, proportional). Verhältnismäßigkeit. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Chudinov A.N., 1910. PROPORTIONALITÄT lat. proportionalis, proportional. Verhältnismäßigkeit. Erläuterung 25000... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

PROPORTIONALITÄT, Verhältnismäßigkeit, Plural. nein, weiblich (Buch). 1. abstrakt Substantiv zu proportional. Verhältnismäßigkeit der Teile. Körperproportionalität. 2. Eine solche Beziehung zwischen Größen, wenn sie proportional sind (siehe proportional ... Wörterbuch Uschakowa

Zwei voneinander abhängige Größen heißen proportional, wenn das Verhältnis ihrer Werte unverändert bleibt. Inhalt 1 Beispiel 2 Proportionalitätskoeffizient ... Wikipedia

PROPORTIONALITÄT und weiblich. 1. siehe proportional. 2. In der Mathematik: eine solche Beziehung zwischen Größen, bei der eine Zunahme einer von ihnen eine Änderung der anderen um denselben Betrag mit sich bringt. Gerade Linie (mit einem Schnitt mit einer Erhöhung um einen Wert... ... Ozhegovs erklärendes Wörterbuch

UND; Und. 1. bis Proportional (1 Wert); Verhältnismäßigkeit. P. Teile. P. Körperbau. P. Vertretung im Parlament. 2. Mathematik. Abhängigkeit zwischen sich proportional ändernden Größen. Proportionalitätsfaktor. Direkte Linie (in der mit... ... Enzyklopädisches Wörterbuch

Abgeschlossen von: Chepkasov Rodion

Schüler der 6. Klasse

MBOU „Sekundarschule Nr. 53“

Barnaul

Leiter: Bulykina O.G.

Mathematiklehrer

MBOU „Sekundarschule Nr. 53“

Barnaul

Einführung. 1

Beziehungen und Proportionen. 3

Direkte und umgekehrt proportionale Beziehungen. 4

Anwendung von direktem und umgekehrt proportionalem 6

Abhängigkeiten bei der Lösung verschiedener Probleme.

Abschluss. elf

Literatur. 12

Einführung.

Das Wort Proportion kommt vom lateinischen Wort proportion, was im Allgemeinen Proportionalität, Ausrichtung von Teilen (ein bestimmtes Verhältnis von Teilen zueinander) bedeutet. In der Antike schätzten die Pythagoräer die Proportionslehre sehr. Mit Proportionen verknüpften sie Gedanken über Ordnung und Schönheit in der Natur, über Konsonantenakkorde in der Musik und Harmonie im Universum. Sie nannten einige Arten von Proportionen musikalisch oder harmonisch.

Schon in der Antike entdeckte der Mensch, dass alle Phänomene in der Natur miteinander verbunden sind, dass sich alles in ständiger Bewegung und Veränderung befindet und, wenn man es in Zahlen ausdrückt, erstaunliche Muster offenbart.

Die Pythagoräer und ihre Anhänger suchten alles auf der Welt numerischer Ausdruck. Sie entdeckten; dass der Musik mathematische Proportionen zugrunde liegen (das Verhältnis der Länge der Saite zur Tonhöhe, das Verhältnis zwischen Intervallen, das Verhältnis der Klänge in Akkorden, die einen harmonischen Klang ergeben). Die Pythagoräer versuchten, die Idee der Einheit der Welt mathematisch zu untermauern und argumentierten, dass die Grundlage des Universums symmetrische geometrische Formen seien. Die Pythagoräer suchten nach einer mathematischen Grundlage für Schönheit.

In Anlehnung an die Pythagoräer nannte der mittelalterliche Wissenschaftler Augustinus Schönheit „numerische Gleichheit“. Der scholastische Philosoph Bonaventura schrieb: „Es gibt keine Schönheit und kein Vergnügen ohne Verhältnismäßigkeit, und Verhältnismäßigkeit besteht hauptsächlich in Zahlen. Es ist notwendig, dass alles zählbar ist.“ Leonardo da Vinci schrieb in seiner Abhandlung über die Malerei über die Verwendung von Proportionen in der Kunst: „Der Maler verkörpert in der Form der Proportionen dieselben in der Natur verborgenen Muster, die der Wissenschaftler in Form des Zahlengesetzes kennt.“

Zur Lösung wurden Proportionen verwendet verschiedene Aufgaben sowohl in der Antike als auch im Mittelalter. Bestimmte Arten von Problemen lassen sich jetzt mithilfe von Proportionen einfach und schnell lösen. Proportionen und Proportionalität wurden und werden nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Architektur und Kunst verwendet. Proportionen bedeuten in Architektur und Kunst die Wahrung bestimmter Größenverhältnisse verschiedene Teile Gebäude, Figur, Skulptur oder anderes Kunstwerk. Verhältnismäßigkeit ist in solchen Fällen Voraussetzung für eine korrekte und schöne Konstruktion und Darstellung

In meiner Arbeit habe ich versucht, die Verwendung direkter und umgekehrt proportionaler Beziehungen in verschiedenen Bereichen zu berücksichtigen umgebendes Leben, Kontakt mit verfolgen Akademische Fächer durch Aufgaben.

Beziehungen und Proportionen.

Man nennt den Quotienten zweier Zahlen Attitüde diese Zahlen.

Haltung zeigt, wie oft die erste Zahl mehr als die Sekunde oder welcher Teil der ersten Zahl von der zweiten ist.

Aufgabe.

2,4 Tonnen Birnen und 3,6 Tonnen Äpfel wurden in den Laden gebracht. Welcher Anteil der mitgebrachten Früchte sind Birnen?

Lösung . Finden wir heraus, wie viel Frucht sie gebracht haben: 2,4+3,6=6(t). Um herauszufinden, welcher Teil der mitgebrachten Früchte Birnen sind, machen wir das Verhältnis 2,4:6=. Die Antwort kann auch in das Formular geschrieben werden Dezimal oder in Prozent: = 0,4 = 40 %.

Gegenseitig umgekehrt angerufen Zahlen, deren Produkte gleich 1 sind. Daher Die Beziehung wird als Umkehrung der Beziehung bezeichnet.

Betrachten Sie zwei gleiche Verhältnisse: 4,5:3 und 6:4. Setzen wir ein Gleichheitszeichen zwischen sie und erhalten das Verhältnis: 4,5:3=6:4.

Anteil ist die Gleichheit zweier Beziehungen: a : b =c :d oder = , wobei a und d sind extreme Verhältnisse, c und b – durchschnittliche Mitglieder(Alle Terme des Anteils sind von Null verschieden).

Grundeigenschaft der Proportionen:

Im richtigen Verhältnis ist das Produkt der Extremterme gleich dem Produkt der Mittelterme.

Wenn wir die kommutative Eigenschaft der Multiplikation anwenden, finden wir, dass im richtigen Verhältnis die Extrem- oder Mittelterme vertauscht werden können. Die resultierenden Proportionen werden ebenfalls korrekt sein.

Mithilfe der Grundeigenschaft der Proportionen können Sie den unbekannten Begriff ermitteln, wenn alle anderen Begriffe bekannt sind.

Um den unbekannten Extremwert des Verhältnisses zu ermitteln, müssen Sie die Durchschnittswerte multiplizieren und durch den bekannten Extremwert dividieren. x : b = c : d , x =

Um den unbekannten Mittelwert einer Proportion zu ermitteln, müssen Sie die Extremwerte multiplizieren und durch den bekannten Mittelwert dividieren. a : b =x : d , x = .

Direkte und umgekehrt proportionale Beziehungen.

Die Werte zweier verschiedener Größen können voneinander abhängig sein. Die Fläche eines Quadrats hängt also von der Länge seiner Seite ab und umgekehrt – die Länge der Seite eines Quadrats hängt von seiner Fläche ab.

Zwei Größen heißen proportional wenn, mit zunehmender Größe

(verringern) einen von ihnen mehrmals, der andere erhöht (verringert) die gleiche Anzahl von Malen.

Sind zwei Größen direkt proportional, dann sind die Verhältnisse der entsprechenden Werte dieser Größen gleich.

Beispiel direkte proportionale Abhängigkeit .

An einer Tankstelle 2 Liter Benzin wiegen 1,6 kg. Wie viel werden sie wiegen? 5 Liter Benzin?

Lösung:

Das Gewicht von Kerosin ist proportional zu seinem Volumen.

2l - 1,6 kg

5l - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6 x=4

Antwort: 4 kg.

Dabei bleibt das Gewicht-Volumen-Verhältnis unverändert.

Zwei Größen heißen umgekehrt proportional, wenn eine von ihnen mehrmals zunimmt (abnimmt), die andere um den gleichen Betrag abnimmt (zunimmt).

Wenn Mengen umgekehrt proportional sind, dann ist das Verhältnis der Werte einer Größe gleich dem umgekehrten Verhältnis der entsprechenden Werte einer anderen Größe.

P Beispielumgekehrt proportionale Beziehung.

Zwei Rechtecke haben die gleiche Fläche. Die Länge des ersten Rechtecks ​​beträgt 3,6 m und die Breite 2,4 m. Die Länge des zweiten Rechtecks ​​beträgt 4,8 m. Ermitteln Sie die Breite des zweiten Rechtecks.

Lösung:

1 Rechteck 3,6 m 2,4 m

2 Rechteck 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 m 2,4 m

x = 3,6*2,4 = 1,8 m

Antwort: 1,8 m.

Wie Sie sehen, können Probleme mit proportionalen Größen mithilfe von Proportionen gelöst werden.

Nicht alle zwei Größen sind direkt proportional oder umgekehrt proportional. Beispielsweise nimmt die Körpergröße eines Kindes mit zunehmendem Alter zu, diese Werte sind jedoch nicht proportional, da sich die Körpergröße des Kindes nicht verdoppelt, wenn sich das Alter verdoppelt.

Praktischer Nutzen direkte und umgekehrt proportionale Abhängigkeit.

Aufgabe Nr. 1

Die Schulbibliothek verfügt über 210 Mathematiklehrbücher, das sind 15 % des gesamten Bibliotheksbestands. Wie viele Bücher gibt es in der Bibliothekssammlung?

Lösung:

Lehrbücher insgesamt - ? - 100%

Mathematiker - 210 -15 %

15 % 210 akademisch.

X = 100* 210 = 1400 Lehrbücher

100 % x Konto. 15

Antwort: 1400 Lehrbücher.

Problem Nr. 2

Ein Radfahrer legt in 3 Stunden 75 km zurück. Wie lange braucht ein Radfahrer, um 125 km mit der gleichen Geschwindigkeit zurückzulegen?

Lösung:

3 Stunden – 75 km

H – 125 km

Zeit und Entfernung sind daher direkt proportionale Größen

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Antwort: in 5 Stunden.

Problem Nr. 3

8 identische Rohre füllen einen Pool in 25 Minuten. Wie viele Minuten dauert es, einen Pool mit 10 solcher Rohre zu füllen?

Lösung:

8 Pfeifen – 25 Minuten

10 Pfeifen - ? Protokoll

Die Anzahl der Rohre ist also umgekehrt proportional zur Zeit

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Antwort: in 20 Minuten.

Problem Nr. 4

Ein Team von 8 Arbeitern erledigt die Aufgabe in 15 Tagen. Wie viele Arbeiter können die Aufgabe in 10 Tagen bei gleicher Produktivität erledigen?

Lösung:

8 Werktage – 15 Tage

Arbeiter - 10 Tage

Die Anzahl der Arbeiter ist also umgekehrt proportional zur Anzahl der Tage

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Antwort: 12 Arbeiter.

Problem Nr. 5

Aus 5,6 kg Tomaten werden 2 Liter Soße gewonnen. Wie viel Liter Soße kann man aus 54 kg Tomaten gewinnen?

Lösung:

5,6 kg – 2 l

54 kg - ? l

Die Anzahl der Kilogramm Tomaten ist daher direkt proportional zur Menge der erhaltenen Soße

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Antwort: 19 l.

Problem Nr. 6

Zur Beheizung des Schulgebäudes wurde Kohle 180 Tage lang nach Verbrauch gelagert

0,6 Tonnen Kohle pro Tag. Wie viele Tage reicht dieser Vorrat, wenn täglich 0,5 Tonnen verbraucht werden?

Lösung:

Anzahl der Tage

Verbrauchsrate

Die Anzahl der Tage ist daher umgekehrt proportional zum Kohleverbrauch

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Antwort: 216 Tage.

Problem Nr. 7

IN Eisenerz Auf 7 Teile Eisen kommen 3 Teile Verunreinigungen. Wie viele Tonnen Verunreinigungen enthält das Erz, das 73,5 Tonnen Eisen enthält?

Lösung:

Anzahl der Teile

Gewicht

Eisen

73,5

Verunreinigungen

Die Anzahl der Teile ist daher direkt proportional zur Masse

7: 73,5 = 3: x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Antwort: 31,5 t

Problem Nr. 8

Das Auto legte 500 km zurück und verbrauchte 35 Liter Benzin. Wie viele Liter Benzin werden für eine Fahrt von 420 km benötigt?

Lösung:

Entfernung, km

Benzin, l

Die Entfernung ist also direkt proportional zum Benzinverbrauch

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Antwort: 29,4 l

Problem Nr. 9

In 2 Stunden haben wir 12 Karausche gefangen. Wie viele Karausche werden in 3 Stunden gefangen?

Lösung:

Die Anzahl der Karausche hängt nicht von der Zeit ab. Diese Größen sind weder direkt proportional noch umgekehrt proportional.

Antwort: Es gibt keine Antwort.

Problem Nr. 10

Ein Bergbauunternehmen muss für einen bestimmten Geldbetrag 5 neue Maschinen zum Preis von 12.000 Rubel pro Stück kaufen. Wie viele dieser Maschinen kann ein Unternehmen kaufen, wenn der Preis für eine Maschine 15.000 Rubel beträgt?

Lösung:

Anzahl der Autos, Stk.

Preis, tausend Rubel

Die Anzahl der Autos ist also umgekehrt proportional zu den Kosten

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Antwort: 4 Autos.

Problem Nr. 11

In der Stadt N auf Feld P gibt es einen Laden, dessen Besitzer so streng ist, dass er für 1 Verspätung pro Tag 70 Rubel vom Gehalt abzieht. Zwei Mädchen, Yulia und Natasha, arbeiten in derselben Abteilung. Ihre Lohn hängt von der Anzahl der Arbeitstage ab. Julia erhielt 4.100 Rubel in 20 Tagen und Natascha hätte in 21 Tagen mehr bekommen sollen, aber sie kam drei Tage hintereinander zu spät. Wie viele Rubel erhält Natascha?

Lösung:

Arbeitstage

Gehalt, reiben.

Julia

4100

Natascha

Das Gehalt ist daher direkt proportional zur Anzahl der Arbeitstage

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 Rubel. Natasha hätte es erhalten sollen.

4305 – 3 * 70 = 4095 (Rubel)

Antwort: Natasha erhält 4095 Rubel.

Problem Nr. 12

Der Abstand zwischen zwei Städten auf der Karte beträgt 6 cm. Finden Sie den Abstand zwischen diesen Städten auf dem Boden, wenn der Kartenmaßstab 1:250000 beträgt.

Lösung:

Bezeichnen wir den Abstand zwischen Städten auf dem Boden mit x (in Zentimetern) und ermitteln wir das Verhältnis der Länge des Segments auf der Karte zur Entfernung auf dem Boden, das dem Kartenmaßstab entspricht: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 km

Antwort: 15 km.

Problem Nr. 13

4000 g Lösung enthalten 80 g Salz. Wie hoch ist die Salzkonzentration in dieser Lösung?

Lösung:

Gewicht, g

Konzentration, %

Lösung

4000

Salz

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Antwort: Die Salzkonzentration beträgt 2 %.

Problem Nr. 14

Die Bank vergibt einen Kredit zu 10 % pro Jahr. Sie haben ein Darlehen von 50.000 Rubel erhalten. Wie viel sollten Sie in einem Jahr zur Bank zurückzahlen?

Lösung:

50.000 Rubel.

100%

x reiben.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 Rubel. beträgt 10 %.

50.000 + 5000=55.000 (Rubel)

Antwort: In einem Jahr erhält die Bank 55.000 Rubel zurück.

Abschluss.

Wie wir anhand der angegebenen Beispiele sehen können, sind direkte und umgekehrt proportionale Beziehungen in verschiedenen Lebensbereichen anwendbar:

Wirtschaft,

Handel,

In Produktion und Industrie,

Schulleben,

Kochen,

Bau und Architektur.

Sport,

Tierhaltung,

Topographien,

Physiker,

Chemie usw.

In der russischen Sprache gibt es auch Sprichwörter und Redewendungen, die direkte und direkte Aussagen begründen umgekehrte Beziehung:

Wenn es zurückkommt, wird es auch reagieren.

Je höher der Baumstumpf, desto höher der Schatten.

Je mehr Menschen, desto weniger Sauerstoff.

Und es ist fertig, aber dumm.

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften; sie entstand auf der Grundlage der Bedürfnisse und Wünsche der Menschheit. Seitdem habe ich die Geschichte der Ausbildung durchlaufen Antikes Griechenland, es bleibt immer noch relevant und notwendig in Alltagsleben irgendjemand. Das Konzept der direkten und umgekehrten Proportionalität ist seit der Antike bekannt, da es die Proportionsgesetze waren, die Architekten bei jedem Bau oder jeder Skulptur motivierten.

Das Wissen über Proportionen ist in allen Bereichen des menschlichen Lebens und Handelns weit verbreitet – beim Malen (Landschaften, Stillleben, Porträts etc.) ist es nicht mehr wegzudenken, auch bei Architekten und Ingenieuren ist es weit verbreitet – im Allgemeinen ist es schwierig Stellen Sie sich vor, etwas zu erschaffen, ohne Kenntnisse über Proportionen und deren Zusammenhänge zu nutzen.

Literatur.

Mathematik-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Algebra -7, G.V. Dorofeev und andere.

Mathematik-9, GIA-9, herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabuchowa

Mathematik-6, didaktische Materialien, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Probleme in Mathematik für die Klassen 4-5, I.V. Baranova et al., M. „Prosveshchenie“ 1988

Sammlung von Problemen und Beispielen in Mathematik Klassen 5-6, N.A. Tereschin,

T.N. Tereshina, M. „Aquarium“ 1997