Zwei Prüfungen sind unterschiedlicher arithmetischer Mittelwert. Algorithmus zur Lösung von Aufgaben zur Berechnung des Mittelwerts. Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Jede Person drin moderne Welt, die planen, einen Kredit aufzunehmen oder Gemüse für den Winter zu lagern, werden regelmäßig mit einem solchen Konzept als "Durchschnitt" konfrontiert. Lassen Sie uns herausfinden: was es ist, welche Arten und Klassen davon existieren und warum es in der Statistik und anderen Disziplinen verwendet wird.

Durchschnittswert – was ist das?

Ein ähnlicher Name (SV) ist ein verallgemeinertes Merkmal einer Reihe homogener Phänomene, die durch ein beliebiges quantitatives Variablenattribut bestimmt werden.

Menschen, die von solch abstrusen Definitionen weit entfernt sind, verstehen dieses Konzept jedoch als eine durchschnittliche Menge von etwas. Beispielsweise wird ein Bankangestellter einen potenziellen Kunden vor der Aufnahme eines Kredits auf jeden Fall bitten, Daten zum durchschnittlichen Jahreseinkommen anzugeben, dh zum Gesamtbetrag des Geldes, das eine Person verdient. Es wird berechnet, indem die Einnahmen für das gesamte Jahr summiert und durch die Anzahl der Monate geteilt werden. Auf diese Weise kann die Bank feststellen, ob ihr Kunde in der Lage sein wird, die Schulden rechtzeitig zurückzuzahlen.

Warum wird es verwendet?

In der Regel werden Durchschnittswerte häufig verwendet, um bestimmte soziale Phänomene, die Massencharakter haben, endgültig zu charakterisieren. Sie können auch für kleinere Berechnungen verwendet werden, wie im obigen Beispiel bei einem Kredit.

Meistens werden jedoch immer noch Durchschnittswerte für globale Zwecke verwendet. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung des Stromverbrauchs der Bürger in einem Kalendermonat. Basierend auf den erhaltenen Daten, weiter Höchstsätze für Bevölkerungsgruppen, die Leistungen des Staates genießen.

Außerdem wird mit Hilfe von Durchschnittswerten die Gewährleistungsfrist für den Service bestimmter Haushaltsgeräte, Autos, Gebäude usw. entwickelt.Auf der Grundlage der so gesammelten Daten wurden einst moderne Arbeits- und Ruhestandards entwickelt.

In der Tat, jedes Phänomen modernes Leben, die Massencharakter hat, auf die eine oder andere Weise zwangsläufig mit dem betrachteten Begriff verbunden ist.

Anwendungen

Dieses Phänomen ist in fast allen exakten Wissenschaften weit verbreitet, insbesondere in denen experimenteller Natur.

Das Finden des Durchschnitts ist in Medizin, Technik, Kochen, Wirtschaft, Politik usw. von großer Bedeutung.

Auf der Grundlage der aus solchen Verallgemeinerungen gewonnenen Daten entwickeln sie medizinische Präparate, Lehrpläne, legen existenzsichernde Mindestlöhne und -löhne fest und bauen Studienpläne, produzieren Möbel, Bekleidung und Schuhe, Hygieneartikel und vieles mehr.

In der Mathematik wird dieser Begriff als „Durchschnittswert“ bezeichnet und verwendet, um Lösungen für verschiedene Beispiele und Probleme umzusetzen. Die einfachsten davon sind Addition und Subtraktion mit gewöhnlichen Brüchen. Denn wie Sie wissen, ist es zur Lösung solcher Beispiele notwendig, beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Auch in der Königin der exakten Wissenschaften wird häufig der Begriff „Durchschnittswert einer Zufallsvariablen“ verwendet, der nahe an der Bedeutung liegt. Den meisten ist es eher als "Erwartung" bekannt, häufiger in der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachtet. Es ist erwähnenswert, dass ein ähnliches Phänomen auch bei der Durchführung statistischer Berechnungen zutrifft.

Durchschnittswert in der Statistik

Am häufigsten wird das untersuchte Konzept jedoch in der Statistik verwendet. Bekanntlich spezialisiert sich diese Wissenschaft an sich auf die Berechnung und Analyse der quantitativen Merkmale sozialer Massenphänomene. Daher wird der Durchschnittswert in der Statistik als spezialisierte Methode zur Erreichung seiner Hauptziele - der Sammlung und Analyse von Informationen - verwendet.

Die Essenz dieser statistischen Methode besteht darin, die einzelnen eindeutigen Werte des betrachteten Merkmals durch einen bestimmten ausgewogenen Durchschnittswert zu ersetzen.

Ein Beispiel ist der berühmte Essenswitz. In einer bestimmten Fabrik essen seine Chefs dienstags zum Mittagessen normalerweise Fleischauflauf, und gewöhnliche Arbeiter - gedünsteter Kohl. Aus diesen Daten lässt sich schließen, dass die Belegschaft des Werks im Durchschnitt dienstags Kohlrouladen isst.

Obwohl dieses Beispiel leicht übertrieben ist, veranschaulicht es den Hauptnachteil des Suchverfahrens. mittlere Größe- Nivellierung der individuellen Eigenschaften von Objekten oder Persönlichkeiten.

Die Durchschnittswerte werden nicht nur zur Analyse der gesammelten Informationen verwendet, sondern auch zur Planung und Vorhersage weiterer Aktionen.

Es wird auch verwendet, um die erzielten Ergebnisse zu bewerten (z. B. die Umsetzung des Plans für den Anbau und die Ernte von Weizen für die Frühjahr-Sommer-Saison).

Wie man rechnet

Obwohl es je nach CV-Typ unterschiedliche Formeln zu seiner Berechnung gibt, wird in der allgemeinen Statistiklehre in der Regel nur eine Methode zur Berechnung des Durchschnittswerts eines Merkmals verwendet. Dazu müssen Sie zunächst die Werte aller Phänomene zusammenzählen und dann die resultierende Summe durch ihre Anzahl teilen.

Bei solchen Berechnungen ist zu beachten, dass der Durchschnittswert immer dieselbe Dimension (oder Einheit) hat wie eine separate Einheit der Bevölkerung.

Bedingungen für eine korrekte Berechnung

Die oben diskutierte Formel ist sehr einfach und universell, daher ist es fast unmöglich, darin einen Fehler zu machen. Es lohnt sich jedoch immer, zwei Aspekte zu berücksichtigen, da die erhaltenen Daten sonst nicht die reale Situation widerspiegeln.

CB-Klassen

Nachdem Antworten auf die Hauptfragen gefunden wurden: "Der Durchschnittswert - was ist das?", "Wo wird es verwendet?" und "Wie kann ich es berechnen?", ist es wichtig zu wissen, welche Klassen und Arten von CB es gibt.

Zunächst wird dieses Phänomen in 2 Klassen eingeteilt. Dies sind Struktur- und Leistungsmittelwerte.

Arten von Macht SW

Jede der oben genannten Klassen ist wiederum in Typen unterteilt. Die Leistungsklasse hat vier davon.

• Das arithmetische Mittel ist die häufigste Art von SV. Es ist ein durchschnittlicher Begriff, bei dessen Bestimmung das Gesamtvolumen des betrachteten Attributs im Datensatz gleichmäßig auf alle Einheiten dieses Datensatzes verteilt wird.

  Dieser Typ ist in Unterarten unterteilt: einfache und gewichtete arithmetische SV.

• Der mittlere harmonische Wert ist ein Indikator, der der Kehrwert des einfachen arithmetischen Mittels ist, berechnet aus den Kehrwerten des betreffenden Merkmals.

  Es wird in Fällen verwendet, in denen die einzelnen Werte des Merkmals und des Produkts bekannt sind, die Häufigkeitsangaben jedoch nicht.

• Das geometrische Mittel wird am häufigsten bei der Analyse von Wachstumsraten verwendet wirtschaftliche Phänomene. Es ermöglicht, das Produkt der Einzelwerte einer gegebenen Menge unverändert zu lassen und nicht die Summe.

  Es ist auch einfach und ausgewogen.

• Mittel quadratischer Wert in der Berechnung verwendet einzelne Indikatoren Indikatoren wie der Variationskoeffizient, der den Outputrhythmus charakterisiert usw.

  Außerdem werden mit seiner Hilfe die durchschnittlichen Durchmesser von Rohren, Rädern, die durchschnittlichen Seiten eines Quadrats und ähnliche Zahlen berechnet.

  Wie alle anderen Arten von durchschnittlichen SW ist der quadratische Mittelwert einfach und gewichtet.

Arten von Strukturgrößen

Neben durchschnittlichen SWs werden in der Statistik häufig Strukturtypen verwendet. Sie eignen sich besser zur Berechnung der relativen Eigenschaften der Werte eines variablen Attributs und Interne Struktur Verteilungslinien.

Es gibt zwei solcher Typen.

Mittelwerte werden in der Statistik häufig verwendet. Durchschnittswerte charakterisieren die qualitativen Indikatoren der Handelstätigkeit: Vertriebskosten, Gewinn, Rentabilität usw.

Mittel Dies ist eine der häufigsten Verallgemeinerungen. Ein richtiges Verständnis des Wesens des Durchschnitts bestimmt seine besondere Bedeutung in einer Marktwirtschaft, wenn der Durchschnitt durch einen einzigen und zufälligen Durchschnitt es ermöglicht, das Allgemeine und Notwendige zu erkennen, die Tendenz von Mustern der wirtschaftlichen Entwicklung zu erkennen.

Durchschnittswert - dies sind verallgemeinernde Indikatoren, in denen sie den Ausdruck der Aktion finden Allgemeine Bedingungen, Gesetzmäßigkeiten des untersuchten Phänomens.

Statistische Mittelwerte werden auf der Grundlage von Massendaten statistisch korrekt organisierter Massenbeobachtung (kontinuierlich und punktuell) berechnet. Der statistische Mittelwert ist jedoch objektiv und typisch, wenn er aus Massendaten für eine qualitativ homogene Grundgesamtheit berechnet wird (Massenphänomene). Wenn wir zum Beispiel die Durchschnittslöhne in Genossenschaften und Staatsbetrieben berechnen und das Ergebnis auf die gesamte Bevölkerung ausdehnen, dann ist der Durchschnitt fiktiv, da er für eine heterogene Bevölkerung berechnet wird, und ein solcher Durchschnitt verliert jede Aussagekraft.

Mit Hilfe des Mittelwerts werden sozusagen Unterschiede in der Größe des Merkmals geglättet, die aus dem einen oder anderen Grund in einzelnen Beobachtungseinheiten auftreten.

Beispielsweise hängt die durchschnittliche Leistung eines Verkäufers von vielen Faktoren ab: Qualifikation, Betriebszugehörigkeit, Alter, Betriebsform, Gesundheit und so weiter.

Die durchschnittliche Leistung spiegelt das allgemeine Eigentum der gesamten Bevölkerung wider.

Der Durchschnittswert spiegelt die Werte des untersuchten Merkmals wider und wird daher in derselben Dimension wie dieses Merkmal gemessen.

Jeder Durchschnittswert charakterisiert die untersuchte Population nach einem beliebigen Merkmal. Um ein vollständiges und umfassendes Bild der untersuchten Population in Bezug auf eine Reihe wesentlicher Merkmale zu erhalten, ist im Allgemeinen ein System von Durchschnittswerten erforderlich, das das Phänomen aus verschiedenen Blickwinkeln beschreiben kann.

Es gibt verschiedene Durchschnittswerte:

arithmetisches Mittel;

geometrisches Mittel;

mittlere Harmonische;

quadratischer Mittelwert;

chronologischer Durchschnitt.

Betrachten Sie einige Arten von Durchschnittswerten, die am häufigsten in Statistiken verwendet werden.

Arithmetisches Mittel

Das einfache arithmetische Mittel (ungewichtet) ist gleich der Summe der Einzelwerte des Merkmals, dividiert durch die Anzahl dieser Werte.

Die einzelnen Werte des Attributs heißen Varianten und werden mit x () bezeichnet; die Anzahl der Bevölkerungseinheiten wird mit n bezeichnet, der Durchschnittswert des Merkmals - mit . Daher ist das einfache arithmetische Mittel:

Anhand der Daten der diskreten Verteilungsreihe ist ersichtlich, dass sich dieselben Werte des Attributs (Optionen) mehrfach wiederholen. Variante x kommt also insgesamt 2 mal vor und Variante x - 16 mal usw.

Die Anzahl identischer Werte eines Merkmals in der Verteilungsreihe wird als Häufigkeit oder Gewicht bezeichnet und mit dem Symbol n bezeichnet.

Berechnen Sie den Durchschnittslohn pro Arbeiter in Rubel:

Fonds Löhne für jede Gruppe von Arbeitern ist gleich dem Produkt aus Optionen und Häufigkeit, und die Summe dieser Produkte ergibt den gesamten Lohnfonds aller Arbeiter.

Dementsprechend können die Berechnungen in allgemeiner Form dargestellt werden:

Die resultierende Formel wird als gewichtetes arithmetisches Mittel bezeichnet.

Statistisches Material als Ergebnis der Verarbeitung kann nicht nur in Form diskreter Verteilungsreihen, sondern auch in Form von Intervallvariationsreihen mit geschlossenen oder offenen Intervallen dargestellt werden.

Die Berechnung des Durchschnitts für gruppierte Daten erfolgt nach der Formel des gewichteten arithmetischen Mittels:

In der Praxis der Wirtschaftsstatistik ist es manchmal erforderlich, den Durchschnitt durch Gruppendurchschnitte oder durch Durchschnitte einzelner Bevölkerungsteile (Teildurchschnitte) zu berechnen. In solchen Fällen werden Gruppen- oder Teildurchschnitte als Optionen (x) genommen, auf deren Grundlage der Gesamtdurchschnitt als der übliche arithmetische gewichtete Durchschnitt berechnet wird.

Grundlegende Eigenschaften des arithmetischen Mittels .

Das arithmetische Mittel hat eine Reihe von Eigenschaften:

1. Ab einer Abnahme oder Zunahme der Häufigkeiten jedes Wertes des Attributs x um das n-fache ändert sich der Wert des arithmetischen Mittels nicht.

Wenn alle Frequenzen geteilt oder mit einer Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Durchschnitts nicht.

2. Der Gesamtmultiplikator der Einzelwerte des Attributs kann aus dem Vorzeichen des Durchschnitts entnommen werden:

3. Die durchschnittliche Summe (Differenz) zweier oder mehrerer Größen ist gleich der Summe (Differenz) ihrer Mittelwerte:

4. Wenn x \u003d c, wobei c ein konstanter Wert ist, dann
.

5. Die Summe der Abweichungen der Werte des Merkmals X vom arithmetischen Mittel x ist gleich Null:

Durchschnittliche Oberschwingung.

Neben dem arithmetischen Mittel verwendet die Statistik das harmonische Mittel, den Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte des Attributs. Wie das arithmetische Mittel kann es einfach und gewichtet sein.

Merkmale der Variationsreihe sind neben den Durchschnitten der Modus und der Median.

Mode - Dies ist der Wert des Merkmals (Variante), das in der untersuchten Population am häufigsten wiederholt wird. Bei diskreten Verteilungsreihen ist der Modus der Wert der Variante mit der höchsten Häufigkeit.

Für Intervallverteilungsreihen mit gleichen Intervallen wird der Modus durch die Formel bestimmt:

wo
- Anfangswert des Intervalls, das den Modus enthält;

- der Wert des modalen Intervalls;

- modale Intervallfrequenz;

- Häufigkeit des Intervalls vor dem Modal;

- Häufigkeit des Intervalls nach dem Modal.

Median ist die Variante, die sich in der Mitte der Variantenreihe befindet. Wenn die Verteilungsreihe diskret ist und hat ungerade Zahl Mitglieder, dann ist der Median die Variante, die sich in der Mitte der geordneten Reihe befindet (eine geordnete Reihe ist die Anordnung der Einheiten der Bevölkerung in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge).

Jetzt reden wir darüber wie berechnet man den durchschnitt.
In klassischer Form Allgemeine Theorie Die Statistik bietet uns eine Version der Regeln für die Wahl des Durchschnitts.
Zuerst müssen Sie eine korrekte logische Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts (LFS) erstellen. Für jeden Durchschnittswert gibt es immer nur eine logische Formel für seine Berechnung, daher ist es schwierig, hier einen Fehler zu machen. Aber wir müssen immer daran denken, dass im Zähler (das ist das, was oben auf dem Bruch steht) die Summe aller Phänomene steht und im Nenner (was am Ende des Bruchs steht) die Gesamtzahl der Elemente.

Nachdem die logische Formel zusammengestellt wurde, können Sie die Regeln verwenden (zum besseren Verständnis werden wir sie vereinfachen und reduzieren):
1. Wenn der Nenner der logischen Formel in den Ausgangsdaten (durch die Häufigkeit bestimmt) dargestellt wird, wird die Berechnung nach der gewichteten arithmetischen Mittelformel durchgeführt.
2. Wenn der Zähler der logischen Formel in den Anfangsdaten angegeben ist, erfolgt die Berechnung nach der Formel des harmonisch gewichteten Mittelwerts.
3. Wenn sowohl Zähler als auch Nenner einer logischen Formel gleichzeitig in der Aufgabe vorkommen (was selten vorkommt), dann wird die Berechnung mit dieser Formel oder mit der einfachen arithmetischen Mittelformel durchgeführt.
Dies ist eine klassische Idee, um die richtige Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts zu wählen. Als nächstes stellen wir die Abfolge von Aktionen zur Lösung von Problemen zur Berechnung des Durchschnittswerts vor.

Algorithmus zur Lösung von Problemen zur Berechnung des Mittelwerts

A. Bestimmen Sie die Methode zur Berechnung des Durchschnittswerts - einfach oder gewichtet . Wenn die Daten in einer Tabelle dargestellt werden, verwenden wir eine gewichtete Methode, wenn die Daten durch eine einfache Aufzählung dargestellt werden, verwenden wir eine einfache Berechnungsmethode.

B. definieren oder anordnen Konventionen – x - Möglichkeit, f – Frequenz . Variante ist das Phänomen, für das Sie den Durchschnittswert finden möchten. Die restlichen Daten in der Tabelle sind die Häufigkeit.

B. Wir bestimmen das Formular zur Berechnung des Durchschnittswertes - arithmetisch oder harmonisch . Die Definition erfolgt in der Häufigkeitsspalte. Die arithmetische Form wird verwendet, wenn die Häufigkeiten durch eine explizite Zahl angegeben werden (bedingt können Sie das Wort Stücke, die Anzahl der Elemente "Stücke" ersetzen). Die harmonische Form wird verwendet, wenn die Frequenzen nicht durch eine explizite Zahl, sondern durch einen komplexen Indikator (das Produkt aus dem Mittelwert und der Frequenz) angegeben werden.

Am schwierigsten ist es zu erraten, wo und wie viel gegeben wird, besonders für einen in solchen Dingen unerfahrenen Studenten. In einer solchen Situation können Sie eine der folgenden Methoden verwenden. Für manche Aufgaben (wirtschaftlich) ist die in jahrelanger Praxis entwickelte Aussage (Abschnitt B.1) geeignet. In anderen Situationen müssen Sie Absatz B.2 verwenden.

C.1 Wenn die Häufigkeit in Geldeinheiten (in Rubel) angegeben wird, wird das harmonische Mittel zur Berechnung verwendet, eine solche Aussage ist immer wahr, wenn die erkannte Häufigkeit in Geld angegeben ist, in anderen Situationen gilt diese Regel nicht.

B.2 Verwenden Sie die oben in diesem Artikel angegebenen Regeln zur Auswahl des Durchschnittswerts. Wenn die Häufigkeit durch den Nenner der logischen Formel zur Berechnung des Mittelwerts gegeben ist, dann rechnen wir nach der arithmetischen Mittelform, ist die Häufigkeit durch den Zähler der logischen Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts gegeben, dann rechnen wir nach der harmonische Mittelform.

Betrachten Sie die Beispiele für die Verwendung dieses Algorithmus.

A. Da die Daten in einer Reihe dargestellt werden, verwenden wir eine einfache Berechnungsmethode.

B. V. Wir haben nur Daten über die Höhe der Renten, und sie werden unsere Version – x sein. Die Daten werden als einfache Zahl (12 Personen) dargestellt, für die Berechnung verwenden wir das einfache arithmetische Mittel.

Die durchschnittliche Rente eines Rentners beträgt 9208,3 Rubel.

B. Da es erforderlich ist, zu finden die durchschnittliche Größe Zahlungen pro Kind, dann stehen die Optionen in der ersten Spalte, wir setzen dort die Bezeichnung x, die zweite Spalte wird automatisch zur Häufigkeit f.

C. Die Häufigkeit (Anzahl der Kinder) wird durch eine explizite Zahl angegeben (Sie können die Wortstücke der Kinder ersetzen, aus Sicht der russischen Sprache ist der Ausdruck falsch, aber tatsächlich ist es sehr praktisch check), was bedeutet, dass für die Berechnung der arithmetisch gewichtete Durchschnitt verwendet wird.

Es ist in Mode, dasselbe Problem nicht formelhaft, sondern tabellarisch zu lösen, dh alle Daten von Zwischenrechnungen in eine Tabelle einzugeben.

Als Ergebnis müssen jetzt nur noch die beiden Summen in der richtigen Reihenfolge getrennt werden.

Die durchschnittliche Zahlung pro Kind und Monat betrug 1.910 Rubel.

A. Da die Daten in der Tabelle dargestellt werden, verwenden wir die gewichtete Form für die Berechnung.

B. Die Frequenz (Produktionskosten) wird durch eine implizite Größe festgelegt (Frequenz wird festgelegt Rubel Algorithmuspunkt B1), was bedeutet, dass der harmonisch gewichtete Mittelwert für die Berechnung verwendet wird. Im Allgemeinen sind die Produktionskosten ein komplexer Indikator, der durch Multiplizieren der Kosten einer Produkteinheit mit der Anzahl solcher Produkte erhalten wird. Dies ist die Essenz des durchschnittlichen Oberschwingungswerts.

Damit dieses Problem mit der Formel des arithmetischen Mittels gelöst werden kann, muss anstelle der Produktionskosten die Anzahl der Produkte mit den entsprechenden Kosten stehen.

Bitte beachten Sie, dass der Betrag im Nenner, der nach den Berechnungen 410 (120 + 80 + 210) erhalten wird, die Gesamtzahl der hergestellten Produkte ist.

Die durchschnittlichen Stückkosten eines Produkts betrugen 314,4 Rubel.

A. Da die Daten in der Tabelle dargestellt werden, verwenden wir die gewichtete Form für die Berechnung.

B. Da es erforderlich ist, die durchschnittlichen Stückkosten zu ermitteln, befinden sich die Optionen in der ersten Spalte, wir geben dort die Bezeichnung x ein, die zweite Spalte wird automatisch zur Häufigkeit f.

C. Die Häufigkeit (Gesamtzahl der Lücken) wird durch eine implizite Zahl angegeben (sie ist das Produkt zweier Indikatoren der Anzahl der Lücken und der Anzahl der Schüler mit einer solchen Anzahl von Lücken), was bedeutet, dass der harmonisch gewichtete Durchschnitt ist für die Berechnung verwendet. Wir verwenden den Punkt des Algorithmus B2.

Damit dieses Problem mit der arithmetischen Mittelformel gelöst werden kann, muss statt der Gesamtzahl der Lücken die Zahl der Studierenden stehen.

Wir stellen eine logische Formel zur Berechnung der durchschnittlichen Anzahl von Durchgängen pro Schüler auf.

Häufigkeit je nach Zustand des Problems Die Gesamtzahl der Durchgänge. In der logischen Formel befindet sich dieser Indikator im Zähler, was bedeutet, dass wir die harmonische Mittelformel verwenden.

Bitte beachten Sie, dass die Summe im Nenner nach der Berechnung von 31 (18+8+5) die Gesamtzahl der Schüler ist.

Die durchschnittliche Anzahl der Fehlzeiten pro Student beträgt 13,8 Tage.

Bei der Berechnung geht der Durchschnittswert verloren.

Der Durchschnitt Bedeutung Zahlenmenge ist gleich der Summe der Zahlen S dividiert durch die Anzahl dieser Zahlen. Das heißt, es stellt sich heraus der Durchschnitt Bedeutung entspricht: 19/4 = 4,75.

beachten Sie

Wenn Sie das geometrische Mittel für nur zwei Zahlen finden müssen, brauchen Sie keinen technischen Taschenrechner: Ziehen Sie die Wurzel des zweiten Grades ( Quadratwurzel) aus einer beliebigen Zahl kann mit dem gebräuchlichsten Taschenrechner durchgeführt werden.

Hilfreicher Rat

Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel wird das geometrische Mittel nicht so stark von großen Abweichungen und Schwankungen zwischen einzelnen Werten im untersuchten Indikatorenset beeinflusst.

Quellen:

• Online-Rechner, der das geometrische Mittel berechnet
• der Durchschnitt geometrische Formel

Der Durchschnitt Der Wert ist eines der Merkmale einer Menge von Zahlen. Stellt eine Zahl dar, die nicht außerhalb des durch das größte und definierten Bereichs liegen darf die kleinsten Werte in dieser Reihe von Zahlen. Der Durchschnitt arithmetischer Wert - die am häufigsten verwendete Variante von Durchschnittswerten.

Anweisung

Addiere alle Zahlen in der Menge und dividiere sie durch die Anzahl der Terme, um das arithmetische Mittel zu erhalten. Abhängig von den spezifischen Bedingungen der Berechnung ist es manchmal einfacher, jede der Zahlen durch die Anzahl der Werte in der Menge zu dividieren und das Ergebnis zu summieren.

Verwenden Sie beispielsweise das im Windows-Betriebssystem enthaltene, wenn es nicht möglich ist, das arithmetische Mittel im Kopf zu berechnen. Sie können es über den Programmstartdialog öffnen. Drücken Sie dazu die "Hotkeys" WIN + R oder klicken Sie auf die Schaltfläche "Start" und wählen Sie im Hauptmenü den Befehl "Ausführen". Geben Sie dann calc in das Eingabefeld ein und drücken Sie die Eingabetaste oder klicken Sie auf die Schaltfläche OK. Dasselbe kann über das Hauptmenü erfolgen - öffnen Sie es, gehen Sie zum Abschnitt "Alle Programme" und im Abschnitt "Standard" und wählen Sie die Zeile "Rechner".

Geben Sie nacheinander alle Zahlen im Satz ein, indem Sie nach jeder von ihnen die Plus-Taste drücken (mit Ausnahme der letzten) oder indem Sie auf die entsprechende Schaltfläche in der Rechneroberfläche klicken. Sie können auch Zahlen sowohl über die Tastatur als auch durch Klicken auf die entsprechenden Schaltflächen der Benutzeroberfläche eingeben.

Drücken Sie die Schrägstrichtaste oder klicken Sie in der Rechnerschnittstelle darauf, nachdem Sie den letzten Wert des Satzes eingegeben haben, und drucken Sie die Anzahl der Zahlen in der Folge. Drücken Sie dann das Gleichheitszeichen und der Rechner berechnet und zeigt das arithmetische Mittel an.

Sie können für denselben Zweck einen Tabellenkalkulationseditor verwenden. Microsoft Excel. Starten Sie in diesem Fall den Editor und geben Sie alle Werte der Zahlenfolge in benachbarte Zellen ein. Wenn Sie nach der Eingabe jeder Zahl die Eingabetaste oder die Pfeiltaste nach unten oder rechts drücken, verschiebt der Editor selbst den Eingabefokus auf die benachbarte Zelle.

Klicken Sie auf die Zelle neben der zuletzt eingegebenen Zahl, wenn Sie nicht nur das arithmetische Mittel sehen möchten. Erweitern Sie das Dropdown-Menü Griechisches Sigma (Σ) der Bearbeitungsbefehle auf der Registerkarte Start. Wählen Sie die Zeile " Der Durchschnitt“ und der Editor fügt die gewünschte Formel zur Berechnung des Durchschnitts ein arithmetischer Wert zur markierten Zelle. Drücken Sie die Eingabetaste und der Wert wird berechnet.

Das arithmetische Mittel ist eines der in Mathematik und statistischen Berechnungen weit verbreiteten Maße der zentralen Tendenz. Das Ermitteln des arithmetischen Mittels mehrerer Werte ist sehr einfach, aber jede Aufgabe hat ihre eigenen Nuancen, die man einfach kennen muss, um korrekte Berechnungen durchzuführen.

Was ist das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel bestimmt den Durchschnittswert für das gesamte ursprüngliche Zahlenfeld. Mit anderen Worten, aus einer bestimmten Menge von Zahlen wird ein allen Elementen gemeinsamer Wert ausgewählt, dessen mathematischer Vergleich mit allen Elementen ungefähr gleich ist. Das arithmetische Mittel wird hauptsächlich zur Erstellung von Finanz- und Statistikberichten oder zur Berechnung der Ergebnisse solcher Experimente verwendet.

So finden Sie das arithmetische Mittel

Durchschnitt finden arithmetische Zahl für ein Array von Zahlen sollten Sie damit beginnen, die algebraische Summe dieser Werte zu bestimmen. Wenn das Array beispielsweise die Zahlen 23, 43, 10, 74 und 34 enthält, beträgt ihre algebraische Summe 184. Beim Schreiben wird das arithmetische Mittel mit den Buchstaben μ (mu) oder x (x mit Balken) bezeichnet. . Als nächstes sollte die algebraische Summe durch die Anzahl der Zahlen im Array dividiert werden. In diesem Beispiel gab es fünf Zahlen, also ist das arithmetische Mittel 184/5 und 36,8.

Merkmale der Arbeit mit negativen Zahlen

Wenn das Array negative Zahlen enthält, wird das arithmetische Mittel mit einem ähnlichen Algorithmus ermittelt. Lediglich beim Rechnen in der Programmierumgebung oder bei zusätzlichen Bedingungen in der Aufgabe gibt es einen Unterschied. In diesen Fällen findet man das arithmetische Mittel von Zahlen mit verschiedene Vorzeichen läuft auf drei Schritte hinaus:

1. Ermittlung des gemeinsamen arithmetischen Mittels nach der Standardmethode;
2. Ermitteln des arithmetischen Mittels negativer Zahlen.
3. Berechnung des arithmetischen Mittels positiver Zahlen.

Die Antworten der einzelnen Aktionen werden durch Kommas getrennt geschrieben.

Natürliche Brüche und Dezimalbrüche

Wenn ein Array von Zahlen präsentiert wird Dezimalstellen, erfolgt die Lösung nach der Methode zur Berechnung des arithmetischen Mittels ganzer Zahlen, das Ergebnis wird jedoch entsprechend den Anforderungen des Problems für die Genauigkeit der Antwort reduziert.

Bei der Arbeit mit natürlichen Brüchen sollten diese auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, der mit der Anzahl der Zahlen im Array multipliziert wird. Der Zähler der Antwort ist die Summe der gegebenen Zähler der ursprünglichen Bruchelemente.

• Ingenieurrechner.

Anweisung

Denken Sie daran, dass im Allgemeinen das geometrische Mittel von Zahlen ermittelt wird, indem diese Zahlen multipliziert und daraus die Wurzel des Grads gezogen wird, der der Anzahl der Zahlen entspricht. Wenn Sie beispielsweise das geometrische Mittel von fünf Zahlen finden müssen, müssen Sie die Wurzel des Grades aus dem Produkt ziehen.

Verwenden Sie die Grundregel, um das geometrische Mittel zweier Zahlen zu finden. Finden Sie ihr Produkt und ziehen Sie dann die Quadratwurzel daraus, da die Zahlen zwei sind, was dem Grad der Wurzel entspricht. Um zum Beispiel den geometrischen Mittelwert der Zahlen 16 und 4 zu finden, finden Sie ihr Produkt 16 4=64. Ziehen Sie aus der resultierenden Zahl die Quadratwurzel √64=8. Dies ist der gewünschte Wert. Bitte beachten Sie, dass das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen größer und gleich 10 ist. Wenn die Wurzel nicht vollständig gezogen wird, runden Sie das Ergebnis auf die gewünschte Ordnung.

Um das geometrische Mittel von mehr als zwei Zahlen zu finden, verwenden Sie auch die Grundregel. Finde dazu das Produkt aller Zahlen, für die du das geometrische Mittel finden möchtest. Extrahieren Sie aus dem resultierenden Produkt die Wurzel des Grades gleich der Anzahl der Zahlen. Um zum Beispiel das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4 und 64 zu finden, musst du ihr Produkt finden. 2 4 64=512. Da Sie das Ergebnis des geometrischen Mittels von drei Zahlen finden müssen, ziehen Sie die Wurzel des dritten Grades aus dem Produkt. Es ist schwierig, dies mündlich zu tun, verwenden Sie daher einen technischen Taschenrechner. Dazu gibt es einen Button „x ^ y“. Wählen Sie die Nummer 512, drücken Sie die Taste „x^y“, wählen Sie dann die Nummer 3 und drücken Sie die Taste „1/x“, um den Wert 1/3 zu finden, drücken Sie die Taste „=". Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir 512 mit 1/3 potenzieren, was der Wurzel des dritten Grades entspricht. Erhalten Sie 512^1/3=8. Das ist das geometrische Mittel der Zahlen 2,4 und 64.

Mit einem technischen Taschenrechner können Sie das geometrische Mittel auf andere Weise finden. Finden Sie die Log-Taste auf Ihrer Tastatur. Nimm danach den Logarithmus für jede der Zahlen, finde ihre Summe und teile sie durch die Anzahl der Zahlen. Nimm von der resultierenden Zahl den Antilogarithmus. Dies ist das geometrische Mittel der Zahlen. Um zum Beispiel das geometrische Mittel der gleichen Zahlen 2, 4 und 64 zu finden, führen Sie eine Reihe von Operationen auf dem Taschenrechner durch. Geben Sie die Zahl 2 ein, drücken Sie dann die Log-Taste, drücken Sie die „+“-Taste, geben Sie die Zahl 4 ein und drücken Sie erneut log und „+“, geben Sie 64 ein, drücken Sie log und „=“. Das Ergebnis ist eine Zahl gleich der Summe Dezimallogarithmen Zahlen 2, 4 und 64. Teilen Sie die resultierende Zahl durch 3, da dies die Anzahl der Zahlen ist, für die das geometrische Mittel gesucht wird. Nehmen Sie aus dem Ergebnis den Antilogarithmus, indem Sie die Registertaste umschalten und dieselbe Protokolltaste verwenden. Das Ergebnis ist die Zahl 8, das ist das gewünschte geometrische Mittel.

Das Thema arithmetisches und geometrisches Mittel ist im Mathematikprogramm für die Klassen 6-7 enthalten. Da der Absatz recht einfach zu verstehen ist, ist er schnell vorbei, und das Fazit steht Schuljahr Schüler vergessen es. Dafür sind aber Kenntnisse in grundlegender Statistik erforderlich Bestehen der Prüfung, sowie für internationale SAT-Prüfungen. Ja und dafür Alltagsleben entwickelten Analytisches Denken nie weh.

Wie man das arithmetische und geometrische Mittel von Zahlen berechnet

Angenommen, es gibt eine Reihe von Zahlen: 11, 4 und 3. Das arithmetische Mittel ist die Summe aller Zahlen dividiert durch die Anzahl der gegebenen Zahlen. Das heißt, bei den Zahlen 11, 4, 3 lautet die Antwort 6. Wie erhält man 6?

Lösung: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Der Nenner muss eine Zahl enthalten, die gleich der Anzahl der Zahlen ist, deren Durchschnitt gefunden werden soll. Die Summe ist durch 3 teilbar, da es drei Terme gibt.

Jetzt müssen wir uns mit dem geometrischen Mittel befassen. Nehmen wir an, es gibt eine Reihe von Zahlen: 4, 2 und 8.

Das geometrische Mittel ist das Produkt aller gegebenen Zahlen, das unter einer Wurzel mit einem Grad gleich der Anzahl der gegebenen Zahlen steht, dh im Fall der Zahlen 4, 2 und 8 ist die Antwort 4. So ist es passiert :

Lösung: ∛(4 × 2 × 8) = 4

Bei beiden Varianten wurden ganze Antworten erhalten, da spezielle Zahlen als Beispiel genommen wurden. Dies ist nicht immer der Fall. In den meisten Fällen muss die Antwort gerundet oder an der Wurzel belassen werden. Beispielsweise ist für die Zahlen 11, 7 und 20 das arithmetische Mittel ≈ 12,67 und das geometrische Mittel ∛1540. Und für die Zahlen 6 und 5 lauten die Antworten jeweils 5,5 und √30.

Kann es passieren, dass das arithmetische Mittel gleich dem geometrischen Mittel wird?

Natürlich kann es. Aber nur in zwei Fällen. Wenn es eine Reihe von Zahlen gibt, die nur aus Einsen oder Nullen bestehen. Bemerkenswert ist auch, dass die Antwort nicht von ihrer Anzahl abhängt.

Beweis mit Einheiten: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (arithmetisches Mittel).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrischer Mittelwert).

Beweis mit Nullstellen: (0 + 0) / 2=0 (arithmetisches Mittel).

√(0 × 0) = 0 (geometrischer Mittelwert).

Es gibt keine andere Möglichkeit und es kann keine geben.