مفهوم مشتق. مشتق چیست؟ تعریف مشتق. معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل. معنای هندسی و فیزیکی مشتق

مسئله B9 نموداری از یک تابع یا مشتق می دهد که باید یکی از کمیت های زیر را از آن تعیین کنید:

1. مقدار مشتق در نقطه ای x 0،
2. حداکثر یا حداقل امتیاز (امتیازهای افراطی)،
3. فواصل توابع افزایش و کاهش (فاصله های یکنواختی).

توابع و مشتقات ارائه شده در این مسئله همیشه پیوسته هستند و راه حل را بسیار آسان تر می کند. با وجود این واقعیت که وظیفه متعلق به بخش است تجزیه و تحلیل ریاضی، کاملاً در حد توانایی های ضعیف ترین دانش آموزان است ، زیرا هیچ عمیقی وجود ندارد دانش نظریاینجا لازم نیست

برای یافتن مقدار مشتق، نقاط افراطی و فواصل یکنواختی، الگوریتم های ساده و جهانی وجود دارد - همه آنها در زیر مورد بحث قرار خواهند گرفت.

شرایط مسئله B9 را با دقت بخوانید تا از اشتباهات احمقانه جلوگیری کنید: گاهی اوقات با متن های بسیار طولانی مواجه می شوید، اما شرایط مهم، که بر روند تصمیم گیری تأثیر می گذارد، تعداد کمی وجود دارد.

محاسبه مقدار مشتق. روش دو نقطه ای

اگر به مسئله نموداری از تابع f(x)، مماس بر این نمودار در نقطه ای x 0 داده شود، و لازم است مقدار مشتق را در این نقطه پیدا کنیم، الگوریتم زیر اعمال می شود:

1. دو نقطه "مناسب" را در نمودار مماس پیدا کنید: مختصات آنها باید عدد صحیح باشد. بیایید این نقاط را به صورت A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2) نشان دهیم. مختصات را به درستی بنویسید - این است لحظه کلیدیراه حل ها، و هر اشتباهی در اینجا منجر به پاسخ نادرست می شود.
2. با دانستن مختصات، محاسبه افزایش آرگومان Δx = x 2 − x 1 و افزایش تابع Δy = y 2 − y 1 آسان است.
3. در نهایت، مقدار مشتق D = Δy/Δx را پیدا می کنیم. به عبارت دیگر، شما باید افزایش تابع را بر افزایش آرگومان تقسیم کنید - و این پاسخ خواهد بود.

اجازه دهید یک بار دیگر توجه کنیم: نقاط A و B را باید دقیقاً بر روی مماس جستجو کرد، نه در نمودار تابع f(x)، همانطور که اغلب اتفاق می افتد. خط مماس لزوماً شامل حداقل دو نقطه از این قبیل خواهد بود - در غیر این صورت مشکل به درستی فرموله نخواهد شد.

نقاط A (-3; 2) و B (-1; 6) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

بیایید مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 3) و B (3; 0) را در نظر بگیرید، افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

اکنون مقدار مشتق را پیدا می کنیم: D = Δy/Δx = -3/3 = -1.

وظیفه. شکل نموداری از تابع y = f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x 0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x 0 بیابید.

نقاط A (0; 2) و B (5; 2) را در نظر بگیرید و افزایش ها را پیدا کنید:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

باقی مانده است که مقدار مشتق را پیدا کنیم: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

از آخرین مثال، می‌توانیم یک قانون را فرموله کنیم: اگر مماس موازی با محور OX باشد، مشتق تابع در نقطه مماس صفر است. در این مورد، شما حتی نیازی به شمارش چیزی ندارید - فقط به نمودار نگاه کنید.

محاسبه حداکثر و حداقل امتیاز

گاهی اوقات به جای نمودار یک تابع، مسئله B9 نموداری از مشتق را ارائه می دهد و نیاز به یافتن حداکثر یا حداقل نقطه تابع دارد. در این شرایط، روش دو نقطه ای بی فایده است، اما الگوریتم دیگری حتی ساده تر وجود دارد. ابتدا بیایید اصطلاحات را تعریف کنیم:

1. نقطه x 0 حداکثر نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در برخی از همسایگی های این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≥ f(x).
2. نقطه x 0 حداقل نقطه تابع f(x) نامیده می شود اگر در همسایگی این نقطه نابرابری زیر برقرار باشد: f(x 0) ≤ f(x).

برای یافتن حداکثر و حداقل امتیاز از نمودار مشتق، کافی است مراحل زیر را دنبال کنید:

1. نمودار مشتق را دوباره ترسیم کنید، تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. همانطور که تمرین نشان می دهد، داده های غیر ضروری فقط در تصمیم گیری دخالت می کنند. بنابراین، ما صفرهای مشتق را روی محور مختصات علامت گذاری می کنیم - و تمام.
2. نشانه های مشتق را در فواصل بین صفرها پیدا کنید. اگر برای نقطه ای x 0 معلوم شود که f'(x 0) ≠ 0، آنگاه فقط دو گزینه ممکن است: f'(x 0) ≥ 0 یا f'(x 0) ≤ 0. علامت مشتق است به راحتی می توان از ترسیم اصلی تعیین کرد: اگر نمودار مشتق بالای محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≥ 0. و بالعکس، اگر نمودار مشتق زیر محور OX باشد، آنگاه f'(x) ≤ 0 است.
3. دوباره صفرها و نشانه های مشتق را بررسی می کنیم. جایی که علامت از منفی به مثبت تغییر می کند، حداقل نقطه است. برعکس، اگر علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر کند، این حداکثر نقطه است. شمارش همیشه از چپ به راست انجام می شود.

این طرح فقط برای توابع پیوسته کار می کند - در مشکل B9 هیچ مورد دیگری وجود ندارد.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-5; 5]. حداقل نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم و فقط مرزها را رها کنیم [-5; 5] و صفرهای مشتق x = -3 و x = 2.5. ما همچنین به علائم توجه می کنیم:

بدیهی است که در نقطه x = -3 علامت مشتق از منفی به مثبت تغییر می کند. این حداقل امتیاز است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7]. حداکثر نقطه تابع f(x) را در این قطعه پیدا کنید.

بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و فقط مرزها را باقی بگذاریم [-3; 7] و صفرهای مشتق x = −1.7 و x = 5. اجازه دهید علائم مشتق را در نمودار حاصل یادداشت کنیم. ما داریم:

بدیهی است که در نقطه x = 5 علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند - این حداکثر نقطه است.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-6; 4]. تعداد حداکثر نقاط تابع f(x) متعلق به بخش [-4; 3].

از شرایط مسئله چنین استنباط می شود که کافی است تنها بخشی از نمودار را که توسط بخش محدود شده است در نظر بگیریم [-4; 3]. بنابراین، ما یک نمودار جدید می سازیم که روی آن فقط مرزها را علامت گذاری می کنیم [-4; 3] و صفرهای مشتق داخل آن. یعنی، نقاط x = -3.5 و x = 2. دریافت می کنیم:

در این نمودار فقط یک نقطه حداکثر x = 2 وجود دارد. در این نقطه است که علامت مشتق از مثبت به منفی تغییر می کند.

یک نکته کوچک در مورد نقاط با مختصات غیر صحیح. به عنوان مثال، در مسئله آخر نقطه x = -3.5 در نظر گرفته شد، اما با همان موفقیت می توانیم x = -3.4 را بگیریم. اگر مشکل به درستی جمع آوری شده باشد، چنین تغییراتی نباید بر پاسخ تأثیر بگذارد، زیرا نکات "بدون محل اقامت ثابت" به طور مستقیم در حل مشکل شرکت نمی کنند. البته، این ترفند با امتیازهای صحیح کار نمی کند.

یافتن فواصل توابع افزایش و کاهش

در چنین مسئله ای، مانند نقاط حداکثر و حداقل، پیشنهاد می شود از نمودار مشتق برای یافتن مناطقی که خود تابع در آنها افزایش یا کاهش می یابد، استفاده شود. ابتدا بیایید تعریف کنیم که افزایش و کاهش چیست:

1. اگر برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره، یک تابع f(x) در یک قطعه افزایش می‌یابد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) . به عبارت دیگر، هر چه مقدار آرگومان بزرگتر باشد، مقدار تابع بزرگتر است.
2. تابع f(x) در یک پاره کاهشی نامیده می شود که برای هر دو نقطه x 1 و x 2 از این پاره جمله زیر درست باشد: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). آن ها ارزش بالاترآرگومان مربوط به مقدار کوچکتر تابع است.

فرمول بندی کنیم شرایط کافیصعودی و نزولی:

1. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه افزایش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه مثبت باشد، یعنی. f'(x) ≥ 0.
2. برای اینکه یک تابع پیوسته f(x) روی قطعه کاهش یابد، کافی است مشتق آن در داخل قطعه منفی باشد، یعنی. f’(x) ≤ 0.

بیایید این اظهارات را بدون مدرک بپذیریم. بنابراین، ما طرحی را برای یافتن فواصل افزایش و کاهش به دست می آوریم که از بسیاری جهات شبیه الگوریتم محاسبه نقاط اکسترموم است:

1. تمام اطلاعات غیر ضروری را حذف کنید. در نمودار اصلی مشتق، ما در درجه اول به صفرهای تابع علاقه داریم، بنابراین فقط آنها را ترک می کنیم.
2. علائم مشتق را در فواصل بین صفرها مشخص کنید. در جایی که f’(x) ≥ 0 باشد، تابع افزایش می یابد و در جایی که f’(x) ≤ 0 باشد، کاهش می یابد. اگر مشکل محدودیت‌هایی را روی متغیر x ایجاد کند، آن‌ها را در نمودار جدید علامت‌گذاری می‌کنیم.
3. اکنون که رفتار تابع و محدودیت ها را می دانیم، باقی مانده است که کمیت مورد نیاز در مسئله را محاسبه کنیم.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-3; 7.5]. فواصل کاهش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود مجموع اعداد صحیح موجود در این فواصل را مشخص کنید.

طبق معمول، بیایید نمودار را دوباره ترسیم کنیم و مرزها را علامت گذاری کنیم [-3; 7.5]، و همچنین صفرهای مشتق x = -1.5 و x = 5.3. سپس نشانه های مشتق را یادداشت می کنیم. ما داریم:

از آنجایی که مشتق در بازه (1.5-) منفی است، این بازه تابع کاهشی است. باقی مانده است که تمام اعداد صحیحی که در این بازه هستند جمع شوند:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

وظیفه. شکل نموداری از مشتق تابع f(x) را نشان می دهد که در بازه [-10; 4]. بازه های افزایش تابع f(x) را بیابید. در پاسخ خود طول بزرگترین آنها را مشخص کنید.

بیایید از شر اطلاعات غیر ضروری خلاص شویم. بگذارید فقط مرزها را رها کنیم [-10; 4] و صفرهای مشتق، که این بار چهار عدد از آنها وجود داشت: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. بیایید نشانه‌های مشتق را علامت‌گذاری کنیم و تصویر زیر را دریافت کنیم:

ما به فواصل افزایش تابع علاقه داریم، یعنی. مانند جایی که f'(x) ≥ 0. دو بازه از این قبیل در نمودار وجود دارد: (-8؛ -6) و (-3؛ 2). بیایید طول آنها را محاسبه کنیم:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

از آنجایی که باید طول بزرگترین بازه ها را پیدا کنیم، مقدار l 2 = 5 را به عنوان پاسخ یادداشت می کنیم.

وقتی فردی اولین قدم های مستقل خود را در مطالعه تحلیل ریاضی برداشته و شروع به پرسیدن می کند سوالات ناخوشایند، پس دیگر نمی توان از این جمله که "حساب دیفرانسیل در کلم پیدا شد" راحت گذشت. بنابراین زمان تعیین و آشکار شدن راز تولد فرا رسیده است جداول مشتقات و قوانین تمایز. در مقاله شروع شد در مورد معنای مشتق، که من به شدت توصیه می کنم مطالعه کنید، زیرا در آنجا فقط به مفهوم مشتق نگاه کردیم و شروع به کلیک کردن روی مسائل مربوط به موضوع کردیم. همین درس دارای جهت گیری عملی برجسته است، علاوه بر این،

مثال‌های مورد بحث در زیر اصولاً می‌توانند کاملاً رسمی باشند (مثلاً وقتی زمان/میل برای کندوکاو در ذات مشتق وجود ندارد). همچنین بسیار مطلوب است (اما باز هم لازم نیست) بتوان مشتقات را با استفاده از روش "معمولی" پیدا کرد - حداقل در سطح دو درس اساسی:چگونه مشتق و مشتق تابع مختلط را پیدا کنیم؟

اما یک چیز وجود دارد که ما بدون شک نمی توانیم اکنون انجام دهیم، آن است محدودیت های عملکرد. شما باید درک کنید که محدودیت چیست و بتوانید حداقل در سطح متوسط ​​آنها را حل کنید. و همه به دلیل مشتق

تابع در یک نقطه با فرمول تعیین می شود:

بگذارید نام ها و اصطلاحات را به شما یادآوری کنم: آنها تماس می گیرند افزایش آرگومان;

- افزایش عملکرد؛

- اینها نمادهای واحد هستند ("دلتا" را نمی توان از "X" یا "Y" "برداشت" کرد).

بدیهی است که متغیر «دینامیک» ثابت و حاصل محاسبه حد است - عدد (گاهی - بی نهایت "بعلاوه" یا "منهای").

به عنوان یک نقطه، شما می توانید هر مقدار متعلق به در نظر بگیرید حوزه تعریفتابعی که در آن مشتق وجود دارد.

نکته: بند «که مشتق در آن وجود دارد» است به طور کلی قابل توجه است! بنابراین، برای مثال، اگرچه یک نقطه در حوزه تعریف یک تابع قرار می گیرد، اما مشتق آن است

آنجا وجود ندارد بنابراین فرمول

در نقطه قابل اجرا نیست

و فرمول کوتاه شده بدون رزرو نادرست خواهد بود. حقایق مشابه برای سایر توابع با "شکست" در نمودار، به ویژه، برای آرکسین و آرکوزین صادق است.

بنابراین، پس از جایگزینی، فرمول کاری دوم را دریافت می کنیم:

به یک شرایط موذی توجه کنید که می تواند قوری را گیج کند: در این حد، "x" که خود یک متغیر مستقل است، نقش یک آمار را بازی می کند و "دینامیک" دوباره با افزایش تنظیم می شود. نتیجه محاسبه حد

تابع مشتق است.

بر اساس موارد فوق، شرایط دو مسئله معمولی را فرموله می کنیم:

- پیدا کردن مشتق در یک نقطه، با استفاده از تعریف مشتق.

- پیدا کردن تابع مشتق، با استفاده از تعریف مشتق. این نسخه، طبق مشاهدات من، بسیار رایج تر است و مورد توجه اصلی قرار خواهد گرفت.

تفاوت اساسی بین وظایف این است که در مورد اول باید شماره را پیدا کنید (اختیاری، بی نهایت)و در دومی –

تابع علاوه بر این، مشتق ممکن است اصلا وجود نداشته باشد.

چگونه؟

یک نسبت ایجاد کنید و حد را محاسبه کنید.

از کجا آمده؟جدول مشتقات و قوانین تمایز ? با تشکر از تنها محدودیت

به نظر جادویی است، اما

در واقع - حیله گری و بدون تقلب. در درس مشتق چیست؟من شروع به بررسی نمونه های خاصی کردم که در آن با استفاده از تعریف، مشتقات یک تابع خطی و درجه دوم را پیدا کردم. به منظور گرم کردن شناختی، ما به مزاحمت ادامه خواهیم داد جدول مشتقات، اصلاح الگوریتم و راه حل های فنی:

اساساً باید یک مورد خاص از مشتق تابع توان را که معمولاً در جدول نشان داده می شود اثبات کنید: .

راه حل از نظر فنی به دو صورت رسمی شده است. بیایید با اولین رویکرد آشنا شروع کنیم: نردبان با یک پلانک شروع می شود و تابع مشتق با مشتق در یک نقطه شروع می شود.

برخی از نقاط (خاص) متعلق به را در نظر بگیرید حوزه تعریفتابعی که در آن یک مشتق وجود دارد. اجازه دهید افزایش را در این نقطه تنظیم کنیم (البته در محدوده o/o -ya) و افزایش مربوط به تابع را بنویسید:

بیایید حد را محاسبه کنیم:

عدم قطعیت 0:0 با یک تکنیک استاندارد که در قرن اول قبل از میلاد در نظر گرفته شده است، حذف می شود. بیایید ضرب کنیم

صورت و مخرج برای عبارت مزدوج :

تکنیک حل چنین محدودیتی در درس مقدماتی به تفصیل مورد بحث قرار گرفته است. در مورد محدودیت توابع.

از آنجایی که می توانید هر نقطه از بازه را به عنوان انتخاب کنید

سپس با انجام جایگزینی، دریافت می کنیم:

یک بار دیگر به لگاریتم ها شادی کنیم:

مشتق تابع را با استفاده از تعریف مشتق بیابید

راه حل: بیایید یک رویکرد متفاوت برای ترویج یک کار در نظر بگیریم. دقیقاً مشابه است، اما از نظر طراحی منطقی تر است. ایده این است که از شر آن خلاص شوید

زیرنویس کنید و به جای حرف از یک حرف استفاده کنید.

یک نقطه دلخواه متعلق به را در نظر بگیرید حوزه تعریفتابع (فاصله)، و افزایش را در آن تنظیم کنید. اما در اینجا، اتفاقا، مانند اکثر موارد، می توانید بدون هیچ گونه رزروی انجام دهید، زیرا تابع لگاریتمی در هر نقطه از دامنه تعریف قابل تمایز است.

سپس افزایش متناظر تابع برابر است با:

بیایید مشتق را پیدا کنیم:

سادگی طراحی با سردرگمی که می تواند متعادل شود

در میان مبتدیان (و نه تنها) رخ می دهد. از این گذشته ، ما به این واقعیت عادت کرده ایم که حرف "X" در حد تغییر می کند! اما اینجا همه چیز متفاوت است: - یک مجسمه عتیقه و - یک بازدید کننده زنده که با سرعت در راهروی موزه قدم می زند. یعنی "x" "مثل یک ثابت" است.

من در مورد حذف عدم قطعیت گام به گام نظر خواهم داد:

(1) با استفاده از خاصیت لگاریتم.

(2) در داخل پرانتز، صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم کنید.

(3) در مخرج به طور مصنوعی ضرب و تقسیم بر "x" می کنیم تا

از محدودیت فوق العاده استفاده کنید ، در حالی که به عنوان بی نهایت کوچکعمل می کند.

پاسخ: با تعریف مشتق:

یا به طور خلاصه:

من پیشنهاد می کنم دو فرمول جدول دیگر را خودتان بسازید:

مشتق را با تعریف پیدا کنید

در این مورد، راحت است که بلافاصله افزایش کامپایل شده را به یک مخرج مشترک کاهش دهید. نمونه تقریبی تکلیف پایان درس (روش اول).

مشتق را با تعریف پیدا کنید

و در اینجا همه چیز باید به حد قابل توجهی کاهش یابد. راه حل به روش دوم رسمیت می یابد.

تعدادی دیگر مشتقات جدولی. لیست کاملرا می توان در کتاب درسی مدرسه، یا مثلاً جلد اول فیشتنهولتز یافت. من در کپی کردن شواهد قواعد تمایز از کتاب ها فایده زیادی نمی بینم - آنها نیز تولید می شوند

فرمول

بیایید به کارهایی که واقعاً با آنها روبرو شده‌ایم برویم: مثال 5

مشتق یک تابع را پیدا کنید ، با استفاده از تعریف مشتق

راه حل: از اولین سبک طراحی استفاده کنید. بیایید یک نقطه متعلق به آن را در نظر بگیریم و افزایش استدلال را در آن قرار دهیم. سپس افزایش متناظر تابع برابر است با:

شاید برخی از خوانندگان هنوز به طور کامل اصل را درک نکرده باشند که بر اساس آن باید افزایش ها انجام شود. یک نقطه (عدد) بگیرید و مقدار تابع را در آن پیدا کنید: ، یعنی به تابع

به جای "X" باید جایگزین کنید. حالا بیایید آن را بگیریم

افزایش تابع کامپایل شده ساده سازی فوری می تواند سودمند باشد. برای چی؟ محلول را تسهیل کرده و تا حدی کوتاه تر کنید.

ما از فرمول ها استفاده می کنیم، براکت ها را باز می کنیم و هر چیزی را که می توان کاهش داد کاهش می دهیم:

بوقلمون روده دارد، مشکلی با کباب نیست:

در نهایت:

از آنجایی که می توانیم هر عدد واقعی را به عنوان مقدار انتخاب کنیم، جایگزینی را انجام می دهیم و می گیریم .

پاسخ : اولی.

برای اهداف تأیید، بیایید مشتق را با استفاده از قوانین پیدا کنیم

تمایز و جداول:

دانستن پاسخ صحیح از قبل همیشه مفید و خوشایند است، بنابراین بهتر است در همان ابتدای راه حل، تابع پیشنهادی را به صورت "سریع"، به صورت ذهنی یا پیش نویس، متمایز کنید.

مشتق تابع را با تعریف مشتق بیابید

این یک مثال برای تصمیم مستقل. نتیجه واضح است:

بیایید به سبک شماره 2 برگردیم: مثال 7

بیایید بلافاصله دریابیم که چه اتفاقی باید بیفتد. توسط قانون تمایز توابع پیچیده:

راه حل: یک نقطه دلخواه متعلق به آن را در نظر بگیرید، افزایش استدلال را در آن تنظیم کنید و افزایش را بسازید.

بیایید مشتق را پیدا کنیم:

(1) از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم

(2) در زیر سینوس، براکت ها را باز می کنیم، در زیر کسینوس اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم.

(3) در زیر سینوس، عبارت ها را لغو می کنیم، در زیر کسینوس، صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم می کنیم.

(4) به دلیل عجیب بودن سینوس، "منهای" را خارج می کنیم. زیر کسینوس

نشان می دهیم که اصطلاح .

(5) برای استفاده، ضرب مصنوعی را در مخرج انجام می دهیم اولین حد فوق العاده. بنابراین، عدم قطعیت از بین می رود، بیایید نتیجه را مرتب کنیم.

پاسخ: طبق تعریف همانطور که می بینید، مشکل اصلی مسئله مورد بررسی بر آن استوار است

پیچیدگی بسیار محدود + اصالت جزئی بسته بندی. در عمل، هر دو روش طراحی اتفاق می افتد، بنابراین من هر دو رویکرد را تا حد امکان با جزئیات شرح می دهم. آنها معادل هستند، اما با این حال، به نظر ذهنی من، بهتر است آدمک ها به گزینه 1 با "X-zero" پایبند باشند.

با استفاده از تعریف، مشتق تابع را پیدا کنید

این وظیفه ای است که شما باید خودتان آن را حل کنید. نمونه با همان روحیه مثال قبلی طراحی شده است.

بیایید به یک نسخه نادر از مشکل نگاه کنیم:

با استفاده از تعریف مشتق، مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

اولاً، نتیجه نهایی چیست؟ عدد بیایید جواب را به روش استاندارد محاسبه کنیم:

راه حل: از نقطه نظر وضوح، این کار بسیار ساده تر است، زیرا در فرمول، به جای

مقدار خاصی در نظر گرفته می شود.

اجازه دهید افزایش را در نقطه تنظیم کنیم و افزایش مربوط به تابع را بسازیم:

بیایید مشتق را در یک نقطه محاسبه کنیم:

ما از یک فرمول اختلاف مماس بسیار نادر استفاده می کنیم و یک بار دیگر محلول را به اولی کاهش می دهیم

حد قابل توجه:

پاسخ: با تعریف مشتق در یک نقطه.

حل مشکل چندان دشوار نیست و «در نمای کلی"- کافی است ناخن را جایگزین کنید یا به سادگی بسته به روش طراحی. در این صورت مشخص است که نتیجه یک عدد نخواهد بود، بلکه یک تابع مشتق شده خواهد بود.

مثال 10 با استفاده از تعریف، مشتق تابع را پیدا کنید در نقطه

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

وظیفه پاداش نهایی در درجه اول برای دانش آموزان با مطالعه عمیق تجزیه و تحلیل ریاضی در نظر گرفته شده است، اما به دیگران نیز آسیب نمی رساند:

آیا تابع قابل تمایز خواهد بود؟ در نقطه؟

راه حل: واضح است که یک تابع به صورت تکه ای در یک نقطه پیوسته است، اما آیا در آنجا قابل تمایز است؟

الگوریتم حل، و نه تنها برای توابع تکه ای، به شرح زیر است:

1) مشتق سمت چپ را در یک نقطه مشخص پیدا کنید: .

2) مشتق سمت راست را در یک نقطه مشخص پیدا کنید: .

3) اگر مشتقات یک طرفه متناهی و منطبق باشند:

، سپس تابع در نقطه قابل تمایز است

از نظر هندسی، یک مماس مشترک در اینجا وجود دارد (به بخش نظری درس مراجعه کنید تعریف و معنای مشتق).

اگر دو تا دریافت شود معانی مختلف: (که ممکن است یکی از آنها نامحدود باشد)، پس تابع در نقطه قابل تمایز نیست.

اگر هر دو مشتق یک طرفه برابر بی نهایت باشند

(حتی اگر آنها علائم متفاوتی داشته باشند)، پس عملکرد اینگونه نیست

در نقطه قابل تمایز است، اما یک مشتق نامتناهی و یک مماس عمودی مشترک به نمودار وجود دارد. (نمونه درس 5 را ببینیدمعادله نرمال) .

سطح اول

مشتق یک تابع راهنمای جامع (2019)

بیایید یک جاده مستقیم را تصور کنیم که از یک منطقه تپه ای عبور می کند. یعنی بالا و پایین می رود اما به راست و چپ نمی پیچد. اگر محور به صورت افقی در امتداد جاده و به صورت عمودی هدایت شود، خط جاده بسیار شبیه به نمودار یک تابع پیوسته خواهد بود:

محور سطح معینی از ارتفاع صفر است؛ در زندگی ما از سطح دریا به عنوان آن استفاده می کنیم.

همانطور که در طول چنین جاده ای به جلو حرکت می کنیم، به سمت بالا یا پایین نیز حرکت می کنیم. همچنین می‌توان گفت: وقتی آرگومان تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور آبسیسا)، مقدار تابع تغییر می‌کند (حرکت در امتداد محور مختصات). حالا بیایید در مورد چگونگی تعیین "شیب" جاده خود فکر کنیم؟ این چه نوع ارزشی می تواند باشد؟ خیلی ساده است: با حرکت به سمت جلو در یک مسافت مشخص، ارتفاع چقدر تغییر می کند. در واقع، در بخش‌های مختلف جاده، با حرکت به سمت جلو (در امتداد محور x) به اندازه یک کیلومتر، صعود یا سقوط خواهیم کرد. مقادیر مختلفمتر نسبت به سطح دریا (در امتداد محور اردینات).

بیایید پیشرفت را نشان دهیم («دلتا x» را بخوانید).

حرف یونانی (دلتا) معمولاً در ریاضیات به عنوان پیشوند به معنای "تغییر" استفاده می شود. یعنی - این یک تغییر در کمیت است - یک تغییر. پس آن چیست؟ درست است، یک تغییر در بزرگی.

مهم: یک عبارت یک کل واحد، یک متغیر است. هرگز "دلتا" را از "x" یا هر حرف دیگری جدا نکنید! یعنی مثلا .

بنابراین، ما به صورت افقی به جلو حرکت کرده ایم. اگر خط جاده را با نمودار تابع مقایسه کنیم، چگونه خیز را نشان می دهیم؟ قطعا، . یعنی هرچه جلو می رویم بالاتر می رویم.

محاسبه مقدار آسان است: اگر در ابتدا در یک ارتفاع بودیم و پس از حرکت خود را در ارتفاع یافتیم، پس. اگر نقطه پایان پایین تر از نقطه شروع باشد، منفی خواهد بود - این بدان معنی است که ما صعودی نیستیم، بلکه در حال نزول هستیم.

بیایید به "شیب" برگردیم: این مقداری است که نشان می دهد هنگام حرکت یک واحد فاصله به جلو، ارتفاع چقدر (تند) افزایش می یابد:

فرض کنید در بخشی از جاده، وقتی یک کیلومتر به جلو می روید، جاده یک کیلومتر بالا می رود. سپس شیب در این مکان برابر است. و اگر جاده در حالی که با متر جلو می رود، کیلومتر کاهش یافته است؟ سپس شیب برابر است.

حالا بیایید به بالای یک تپه نگاه کنیم. اگر ابتدای قطعه را نیم کیلومتر قبل از قله و انتهای آن را نیم کیلومتر بعد از آن طی کنید، می بینید که ارتفاع تقریباً یکسان است.

یعنی طبق منطق ما معلوم می شود که شیب اینجا تقریباً برابر با صفر است که به وضوح درست نیست. فقط در فاصله کیلومتری خیلی چیزها می توانند تغییر کنند. برای ارزیابی مناسب تر و دقیق تر از شیب، لازم است مناطق کوچکتری در نظر گرفته شود. به عنوان مثال، اگر تغییر ارتفاع را با یک متر حرکت اندازه گیری کنید، نتیجه بسیار دقیق تر خواهد بود. اما حتی این دقت ممکن است برای ما کافی نباشد - بالاخره اگر یک تیر در وسط جاده وجود داشته باشد، می توانیم به سادگی از آن عبور کنیم. آن وقت چه فاصله ای را انتخاب کنیم؟ سانتی متر؟ میلی متر؟ کمتر بهتر است!

که در زندگی واقعیاندازه گیری فاصله تا نزدیکترین میلی متر بیش از حد کافی است. اما ریاضیدانان همیشه برای کمال تلاش می کنند. بنابراین، این مفهوم ابداع شد بی نهایت کوچکیعنی قدر مطلق از هر عددی که بتوانیم نام ببریم کمتر است. مثلا می گویید: یک تریلیونم! چقدر کمتر؟ و این عدد را تقسیم بر - و حتی کمتر خواهد شد. و غیره. اگر بخواهیم بنویسیم که یک کمیت بی نهایت کوچک است، به این صورت می نویسیم: (می خوانیم x تمایل به صفر دارد). درک آن بسیار مهم است که این عدد صفر نیست!ولی خیلی بهش نزدیکه این به این معنی است که شما می توانید بر آن تقسیم کنید.

مفهوم مخالف بینهایت کوچک بی نهایت بزرگ است (). احتمالاً زمانی که روی نابرابری‌ها کار می‌کردید با آن برخورد کرده‌اید: این عدد مدول‌هایی بزرگ‌تر از هر عددی است که فکرش را بکنید. اگر به بزرگترین عدد ممکن رسیدید، کافی است آن را در دو ضرب کنید و یک عدد حتی بزرگتر به دست خواهید آورد. و بی نهایت هنوز علاوه بر اینچه اتفاقی خواهد افتاد. در واقع بی نهایت بزرگ و بی نهایت کوچک معکوس یکدیگر هستند یعنی at و بالعکس: در.

حالا بیایید به جاده خود برگردیم. شیب محاسبه‌شده ایده‌آل، شیبی است که برای یک بخش بی‌نهایت کوچک از مسیر محاسبه می‌شود، یعنی:

توجه می کنم که با جابجایی بینهایت کوچک، تغییر ارتفاع نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. اما اجازه دهید یادآوری کنم که بی نهایت به این معنا نیست برابر با صفر. اگر اعداد بینهایت کوچک را بر یکدیگر تقسیم کنید، می توانید یک عدد کاملا معمولی به دست آورید، به عنوان مثال، . یعنی یک مقدار کوچک می تواند دقیقاً چند برابر بزرگتر از مقدار دیگر باشد.

این همه برای چیست؟ جاده، شیب زیاد... ما در رالی اتومبیلرانی نمی رویم، اما در حال آموزش ریاضیات هستیم. و در ریاضیات همه چیز دقیقاً یکسان است، فقط متفاوت نامیده می شود.

مفهوم مشتق

مشتق تابع نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان است.

به صورت فزایندهدر ریاضیات به آن تغییر می گویند. میزان تغییر آرگومان () در حین حرکت در امتداد محور نامیده می شود افزایش آرگومانچقدر تابع (ارتفاع) هنگام حرکت به سمت جلو در امتداد محور با فاصله تغییر کرده است. افزایش تابعو تعیین شده است.

بنابراین، مشتق یک تابع نسبت به زمانی است. مشتق را با همان حرف تابع، فقط با علامت اول در بالا سمت راست نشان می دهیم: یا به سادگی. بنابراین، بیایید فرمول مشتق را با استفاده از این نمادها بنویسیم:

همانطور که در قیاس با جاده، در اینجا وقتی تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است.

آیا مشتق برابر با صفر است؟ قطعا. به عنوان مثال، اگر در یک جاده افقی صاف رانندگی کنیم، شیب صفر است. و درست است، ارتفاع به هیچ وجه تغییر نمی کند. در مورد مشتق نیز همینطور است: مشتق تابع ثابت (ثابت) برابر با صفر است:

زیرا افزایش چنین تابعی برابر با صفر برای هر کدام است.

بیایید مثال بالای تپه را به یاد بیاوریم. معلوم شد که می توان انتهای بخش را در طرفین مخالف راس به گونه ای مرتب کرد که ارتفاع در انتها یکسان شود، یعنی قطعه موازی با محور باشد:

اما بخش های بزرگ نشانه ای از اندازه گیری نادرست است. قطعه خود را به موازات خودش بالا می بریم، سپس طول آن کاهش می یابد.

در نهایت، زمانی که ما بی نهایت به بالا نزدیک می شویم، طول قطعه بی نهایت کوچک می شود. اما در عین حال موازی با محور باقی مانده است، یعنی اختلاف ارتفاع در انتهای آن برابر با صفر است (به سمت آن تمایل ندارد، بلکه برابر است). پس مشتق

این را می‌توان به این صورت درک کرد: وقتی در بالاترین نقطه ایستاده‌ایم، یک جابجایی کوچک به چپ یا راست قد ما را به طرز چشمگیری تغییر می‌دهد.

یک توضیح کاملاً جبری نیز وجود دارد: در سمت چپ راس تابع افزایش می یابد و در سمت راست کاهش می یابد. همانطور که قبلا متوجه شدیم، هنگامی که یک تابع افزایش می یابد، مشتق مثبت است و زمانی که کاهش می یابد، منفی است. اما به آرامی و بدون پرش تغییر می کند (زیرا جاده در هیچ کجا شیب خود را به شدت تغییر نمی دهد). بنابراین بین منفی و ارزش های مثبتقطعا باید وجود داشته باشد جایی خواهد بود که تابع نه افزایش می یابد و نه کاهش می یابد - در نقطه راس.

همین امر در مورد فرود نیز صادق است (ناحیه ای که تابع سمت چپ کاهش می یابد و در سمت راست افزایش می یابد):

کمی بیشتر در مورد افزایش.

بنابراین استدلال را به قدر تغییر می دهیم. از چه مقداری تغییر می کنیم؟ اکنون (برهان) چه شده است؟ ما می‌توانیم هر نقطه‌ای را انتخاب کنیم، و حالا از آن می‌رقصیم.

نقطه ای را با مختصات در نظر بگیرید. مقدار تابع در آن برابر است. سپس همان افزایش را انجام می دهیم: مختصات را افزایش می دهیم. حالا بحث چیست؟ بسیار آسان: . حالا ارزش تابع چقدر است؟ جایی که آرگومان می رود، تابع: . در مورد افزایش تابع چطور؟ چیز جدیدی نیست: این مقداری است که تابع تغییر کرده است:

تمرین یافتن افزایش ها:

1. افزایش تابع را در نقطه ای پیدا کنید که افزایش آرگومان برابر است.
2. همین امر در مورد تابع در یک نقطه نیز صدق می کند.

راه حل ها:

در نقاط مختلف با افزایش آرگومان یکسان، افزایش تابع متفاوت خواهد بود. این بدان معنی است که مشتق در هر نقطه متفاوت است (ما در همان ابتدا در مورد آن بحث کردیم - شیب جاده در نقاط مختلف متفاوت است). بنابراین، وقتی مشتق می نویسیم، باید مشخص کنیم که در چه نقطه ای:

تابع توان.

تابع قدرت تابعی است که در آن آرگومان تا حدی است (منطقی، درست است؟).

علاوه بر این - به هر میزان: .

ساده ترین حالت زمانی است که توان به صورت زیر باشد:

بیایید مشتق آن را در یک نقطه پیدا کنیم. بیایید تعریف مشتق را به یاد بیاوریم:

بنابراین استدلال از به تغییر می کند. افزایش تابع چقدر است؟

افزایش این است. اما یک تابع در هر نقطه با آرگومان آن برابر است. از همین رو:

مشتق برابر است با:

مشتق برابر است با:

ب) اکنون در نظر بگیرید تابع درجه دوم (): .

حالا بیایید آن را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ارزش افزایش را می توان نادیده گرفت، زیرا بی نهایت کوچک است، و بنابراین در پس زمینه اصطلاح دیگر ناچیز است:

بنابراین، ما به یک قانون دیگر رسیدیم:

ج) سری منطقی را ادامه می دهیم: .

این عبارت را می توان به روش های مختلفی ساده کرد: اولین براکت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری مکعب حاصل از مجموع باز کنید یا کل عبارت را با استفاده از فرمول تفاوت مکعب ها فاکتور کنید. سعی کنید خودتان این کار را با استفاده از هر یک از روش های پیشنهادی انجام دهید.

بنابراین، من موارد زیر را دریافت کردم:

و دوباره این را به خاطر بسپاریم. این بدان معنی است که ما می توانیم از تمام اصطلاحات حاوی:

ما گرفتیم: .

د) قوانین مشابهی را می توان برای قدرت های بزرگ به دست آورد:

ه) معلوم می شود که این قانون را می توان برای یک تابع توان با یک توان دلخواه تعمیم داد، نه حتی یک عدد صحیح:

(2)

این قاعده را می توان اینگونه فرموله کرد: "درجه به عنوان یک ضریب به جلو آورده می شود و سپس کاهش می یابد."

این قاعده را بعداً (تقریباً در پایان) اثبات خواهیم کرد. حال بیایید به چند نمونه نگاه کنیم. مشتق توابع را پیدا کنید:

1. (به دو صورت: با فرمول و با استفاده از تعریف مشتق - با محاسبه افزایش تابع).

1. . باور کنید یا نه، این یک تابع قدرت است. اگر سوالی دارید مانند "این چطور است؟ مدرک کجاست؟»، موضوع «» را به خاطر بسپارید!
   بله، بله، ریشه هم درجه است، فقط کسری: .
   پس مال ما ریشه دوم- این فقط یک درجه با یک نشانگر است:
   .
   با استفاده از فرمول اخیراً آموخته شده به دنبال مشتق می گردیم:

   اگر در این مرحله دوباره نامشخص شد، موضوع "" را تکرار کنید!!! (در مورد یک درجه با توان منفی)

2. . حال توان:

   و اکنون از طریق تعریف (آیا هنوز فراموش کرده اید؟):
   ;
   .
   اکنون، طبق معمول، از اصطلاحی که شامل:
   .

3. . ترکیب موارد قبلی: .

توابع مثلثاتی

در اینجا ما از یک واقعیت از ریاضیات عالی استفاده خواهیم کرد:

با بیان.

شما مدرک را در سال اول موسسه یاد خواهید گرفت (و برای رسیدن به آنجا، باید آزمون یکپارچه دولتی را به خوبی پشت سر بگذارید). حالا من فقط آن را به صورت گرافیکی نشان می دهم:

می بینیم که وقتی تابع وجود ندارد - نقطه روی نمودار قطع می شود. اما هرچه به مقدار نزدیکتر باشد، تابع به آن نزدیکتر است. این همان چیزی است که "هدف" دارد.

علاوه بر این، می توانید این قانون را با استفاده از یک ماشین حساب بررسی کنید. بله، بله، خجالتی نباشید، یک ماشین حساب بگیرید، ما هنوز در آزمون یکپارچه دولتی نیستیم.

بنابراین، بیایید سعی کنیم: ;

فراموش نکنید که ماشین حساب خود را به حالت Radians تغییر دهید!

و غیره. می بینیم که هر چه کوچکتر باشد، مقدار نسبت به آن نزدیکتر است.

الف) تابع را در نظر بگیرید. طبق معمول، بیایید افزایش آن را پیدا کنیم:

بیایید اختلاف سینوس ها را به محصول تبدیل کنیم. برای این کار از فرمول استفاده می کنیم (موضوع “” را به خاطر بسپارید): .

حال مشتق:

بیایید جایگزین کنیم: . سپس برای بینهایت کوچک نیز بی نهایت کوچک است: . عبارت for به شکل زیر است:

و اکنون ما آن را با بیان به یاد می آوریم. و همچنین، اگر بتوان یک کمیت بی نهایت کوچک را در مجموع (یعنی در) نادیده گرفت چه می شود.

بنابراین، قانون زیر را دریافت می کنیم: مشتق سینوس برابر با کسینوس است:

اینها مشتقات اساسی ("جدولی") هستند. در اینجا آنها در یک لیست قرار دارند:

بعداً چند مورد دیگر را به آنها اضافه خواهیم کرد، اما اینها مهمترین آنها هستند، زیرا بیشتر مورد استفاده قرار می گیرند.

تمرین:

1. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.
2. مشتق تابع را بیابید.

راه حل ها:

1. ابتدا بیایید مشتق را به شکل کلی پیدا کنیم و سپس مقدار آن را جایگزین کنیم:
   ;
   .
2. در اینجا ما چیزی شبیه به تابع توان. بیایید سعی کنیم او را به خود بیاوریم
   نمای عادی:
   .
   عالی، حالا می توانید از فرمول استفاده کنید:
   .
   .
3. . اییییییی….. این چیه؟؟؟؟

خوب، حق با شماست، ما هنوز نمی دانیم چگونه چنین مشتقاتی را پیدا کنیم. در اینجا ما ترکیبی از چندین نوع توابع را داریم. برای کار با آنها، باید چند قانون دیگر را یاد بگیرید:

توان و لگاریتم طبیعی.

تابعی در ریاضیات وجود دارد که مشتق آن برای هر مقدار با مقدار خود تابع در همان زمان برابر است. به آن "نما" می گویند و یک تابع نمایی است

اساس این تابع یک ثابت است - بی نهایت است اعشاری، یعنی عدد غیر منطقی (مانند). به آن "عدد اویلر" می گویند، به همین دلیل است که با یک حرف نشان داده می شود.

بنابراین، قانون:

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، بیایید دور نرویم، بیایید فوراً به آن نگاه کنیم تابع معکوس. معکوس کدام تابع است تابع نمایی? لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: غرفه دار و لگاریتم طبیعی- توابع از نظر مشتقات به طور منحصر به فردی ساده هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید آن را ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا این تابع خطی، یاد آوردن؟)؛

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، برخی از شماره ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این ما استفاده خواهیم کرد قانون ساده: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی دیگر نمی توان آن را یادداشت کرد. به شکل ساده. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست، و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم برای شما دشوار است، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات، باید مراحل معکوس را انجام دهید به صورت برعکس.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال اول، .

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص است که این یک تابع پیچیده سه سطحی است: از این گذشته، این به خودی خود یک تابع پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

تصميم گرفتن وظایف فیزیکییا مثال در ریاضیات بدون آگاهی از مشتقات و روش های محاسبه آن کاملاً غیرممکن است. مشتق یکی از مهمترین مفاهیمتجزیه و تحلیل ریاضی ما تصمیم گرفتیم مقاله امروز را به این موضوع اساسی اختصاص دهیم. مشتق چیست، فیزیکی آن چیست و معنی هندسیچگونه مشتق یک تابع را محاسبه کنیم؟ همه این سؤالات را می توان در یکی ترکیب کرد: چگونه مشتق را درک کنیم؟

معنای هندسی و فیزیکی مشتق

اجازه دهید یک تابع وجود داشته باشد f(x) ، در یک بازه زمانی مشخص مشخص شده است (الف، ب) . نقاط x و x0 متعلق به این بازه هستند. وقتی x تغییر می کند، خود تابع تغییر می کند. تغییر استدلال - تفاوت در مقادیر آن x-x0 . این تفاوت به صورت نوشته شده است دلتا x و افزایش آرگومان نامیده می شود. تغییر یا افزایش یک تابع، تفاوت بین مقادیر یک تابع در دو نقطه است. تعریف مشتق:

مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع در یک نقطه معین به افزایش آرگومان زمانی است که دومی به سمت صفر میل می کند.

در غیر این صورت می توان اینگونه نوشت:

یافتن چنین محدودیتی چه فایده ای دارد؟ و در اینجا چیست:

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه بین محور OX و مماس بر نمودار تابع در یک نقطه معین.

معنای فیزیکی مشتق: مشتق مسیر نسبت به زمان برابر است با سرعت حرکت مستقیم.

در واقع، از دوران مدرسه همه می دانند که سرعت یک مسیر خاص است x=f(t) و زمان تی . سرعت متوسطبرای مدت معین:

برای پی بردن به سرعت حرکت در یک لحظه از زمان t0 شما باید حد را محاسبه کنید:

قانون اول: یک ثابت تنظیم کنید

ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد. علاوه بر این، این باید انجام شود. هنگام حل مثال هایی در ریاضیات، آن را به عنوان یک قاعده در نظر بگیرید - اگر می توانید یک عبارت را ساده کنید، حتما آن را ساده کنید .

مثال. بیایید مشتق را محاسبه کنیم:

قانون دوم: مشتق از مجموع توابع

مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقات این توابع. همین امر در مورد مشتق تفاوت توابع نیز صادق است.

ما برای این قضیه اثبات نمی کنیم، بلکه یک مثال عملی را در نظر می گیریم.

مشتق تابع را پیدا کنید:

قانون سوم: مشتق حاصلضرب توابع

مشتق حاصل ضرب دو تابع متمایز با فرمول محاسبه می شود:

مثال: مشتق یک تابع را پیدا کنید:

راه حل:

در اینجا مهم است که در مورد محاسبه مشتقات توابع پیچیده صحبت کنیم. مشتق تابع مختلط با حاصلضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و مشتق آرگومان میانی نسبت به متغیر مستقل برابر است.

در مثال بالا به این عبارت برخورد می کنیم:

در این حالت، آرگومان میانی 8 برابر به توان پنجم است. برای محاسبه مشتق چنین عبارتی، ابتدا مشتق تابع خارجی را با توجه به آرگومان میانی محاسبه می کنیم و سپس با توجه به متغیر مستقل در مشتق خود آرگومان میانی ضرب می کنیم.

قانون چهارم: مشتق ضریب دو تابع

فرمول تعیین مشتق ضریب دو تابع:

ما سعی کردیم در مورد مشتقات برای آدمک ها از ابتدا صحبت کنیم. این موضوع آنقدرها هم که به نظر می رسد ساده نیست، پس اخطار داشته باشید: در مثال ها اغلب مشکلاتی وجود دارد، بنابراین هنگام محاسبه مشتقات مراقب باشید.

در صورت داشتن هرگونه سوال در این زمینه و موضوعات دیگر، می توانید با خدمات دانشجویی تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی، ما به شما کمک می کنیم تا سخت ترین آزمون را حل کنید و وظایف را درک کنید، حتی اگر قبلاً محاسبات مشتق را انجام نداده باشید.

اگر از تعریف پیروی کنید، مشتق یک تابع در یک نقطه حد نسبت افزایش تابع Δ است. yبه آرگومان افزایش Δ ایکس:

به نظر می رسد همه چیز روشن است. اما سعی کنید از این فرمول برای محاسبه مشتق تابع استفاده کنید f(ایکس) = ایکس 2 + (2ایکس+ 3) · ه ایکسگناه ایکس. اگر همه کارها را طبق تعریف انجام دهید، پس از چند صفحه محاسبات به سادگی می خوابید. بنابراین، راه های ساده تر و موثرتری وجود دارد.

برای شروع، ما توجه می کنیم که از کل توابع مختلف می توانیم به اصطلاح توابع ابتدایی را تشخیص دهیم. نسبی است عبارات ساده، که مشتقات آن مدت هاست محاسبه و در جدول آمده است. یادآوری چنین توابعی بسیار آسان است - همراه با مشتقات آنها.

مشتقات توابع ابتدایی

توابع ابتدایی همه آنهایی هستند که در زیر لیست شده اند. مشتقات این توابع را باید از روی قلب دانست. علاوه بر این ، به خاطر سپردن آنها اصلاً دشوار نیست - به همین دلیل آنها ابتدایی هستند.

بنابراین، مشتقات توابع ابتدایی:

نام	تابع	مشتق
ثابت	f(ایکس) = سی, سی ∈ آر	0 (بله، صفر!)
قدرت با توان منطقی	f(ایکس) = ایکس n	n · ایکس n − 1
سینوسی	f(ایکس) = گناه ایکس	cos ایکس
کسینوس	f(ایکس) = cos ایکس	-گناه ایکس(منهای سینوس)
مماس	f(ایکس) = tg ایکس	1/cos 2 ایکس
کوتانژانت	f(ایکس) = ctg ایکس	− 1/گناه 2 ایکس
لگاریتم طبیعی	f(ایکس) = ورود ایکس	1/ایکس
لگاریتم دلخواه	f(ایکس) = ورود آ ایکس	1/(ایکسلوگاریتم آ)
تابع نمایی	f(ایکس) = ه ایکس	ه ایکس(هیچ چیز تغییر نکرد)

اگر یک تابع ابتدایی در یک ثابت دلخواه ضرب شود، مشتق تابع جدید نیز به راحتی محاسبه می شود:

(سی · f)’ = سی · f ’.

به طور کلی، ثابت ها را می توان از علامت مشتق خارج کرد. مثلا:

(2ایکس 3)' = 2 · ( ایکس 3) = 2 3 ایکس 2 = 6ایکس 2 .

بدیهی است که توابع ابتدایی را می توان به یکدیگر اضافه کرد، ضرب کرد، تقسیم کرد - و موارد دیگر. به این ترتیب توابع جدید ظاهر می شوند، نه به ویژه ابتدایی، بلکه طبق قوانین خاصی متمایز می شوند. این قوانین در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

مشتق جمع و تفاوت

اجازه دهید توابع داده شوند f(ایکس) و g(ایکس) که مشتقات آن برای ما معلوم است. به عنوان مثال، می توانید توابع ابتدایی مورد بحث در بالا را انتخاب کنید. سپس می توانید مشتق حاصل از مجموع و تفاضل این توابع را پیدا کنید:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

پس مشتق مجموع (تفاوت) دو تابع برابر با مجموع (تفاوت) مشتقات است. ممکن است شرایط بیشتری وجود داشته باشد. مثلا، ( f + g + ساعت)’ = f ’ + g ’ + ساعت ’.

به بیان دقیق، هیچ مفهومی از "تفریق" در جبر وجود ندارد. مفهوم "عنصر منفی" وجود دارد. بنابراین تفاوت f − gرا می توان به صورت جمع بازنویسی کرد f+ (-1) g، و سپس فقط یک فرمول باقی می ماند - مشتق جمع.

f(ایکس) = ایکس 2 + گناه x; g(ایکس) = ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3.

تابع f(ایکس) مجموع دو تابع ابتدایی است، بنابراین:

f ’(ایکس) = (ایکس 2 + گناه ایکس)’ = (ایکس 2)’ + (گناه ایکس)’ = 2ایکس+ cos x;

ما به طور مشابه برای تابع استدلال می کنیم g(ایکس). فقط سه اصطلاح وجود دارد (از نظر جبر):

g ’(ایکس) = (ایکس 4 + 2ایکس 2 − 3)’ = (ایکس 4 + 2ایکس 2 + (−3))’ = (ایکس 4)’ + (2ایکس 2)’ + (−3)’ = 4ایکس 3 + 4ایکس + 0 = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2ایکس+ cos x;
g ’(ایکس) = 4ایکس · ( ایکس 2 + 1).

مشتق محصول

ریاضیات یک علم منطقی است، بنابراین بسیاری از مردم معتقدند که اگر مشتق یک مجموع برابر با مجموع مشتقات باشد، پس مشتق حاصلضرب ضربه">برابر حاصلضرب مشتقات است. اما شما را خراب کنید! مشتق یک محصول با استفاده از یک فرمول کاملاً متفاوت محاسبه می شود. یعنی:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

فرمول ساده است، اما اغلب فراموش می شود. و نه تنها دانش آموزان، بلکه دانش آموزان نیز. نتیجه مشکلات حل نادرست است.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ایکس 3 cos x; g(ایکس) = (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس .

تابع f(ایکس) حاصل دو تابع ابتدایی است، بنابراین همه چیز ساده است:

f ’(ایکس) = (ایکس 3 cos ایکس)’ = (ایکس 3)” cos ایکس + ایکس 3 (Cos ایکس)’ = 3ایکس 2 cos ایکس + ایکس 3 (- گناه ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس)

تابع g(ایکس) عامل اول کمی پیچیده تر است، اما طرح کلیاین تغییر نمی کند بدیهی است که اولین عامل تابع g(ایکس) چند جمله ای است و مشتق آن مشتق جمع است. ما داریم:

g ’(ایکس) = ((ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس)’ = (ایکس 2 + 7ایکس− 7)» · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ( ه ایکس)’ = (2ایکس+ 7) · ه ایکس + (ایکس 2 + 7ایکس− 7) · ه ایکس = ه ایکس· (2 ایکس + 7 + ایکس 2 + 7ایکس −7) = (ایکس 2 + 9ایکس) · ه ایکس = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

پاسخ:
f ’(ایکس) = ایکس 2 (3cos ایکس − ایکسگناه ایکس);
g ’(ایکس) = ایکس(ایکس+ 9) · ه ایکس .

لطفا توجه داشته باشید که در مرحله آخر مشتق فاکتور می شود. به طور رسمی، این کار نیازی به انجام ندارد، اما بیشتر مشتقات به تنهایی محاسبه نمی شوند، بلکه برای بررسی تابع محاسبه می شوند. این بدان معنی است که در ادامه مشتق برابر با صفر می شود، علائم آن مشخص می شود و غیره. برای چنین موردی بهتر است یک عبارت فاکتوریزه شود.

اگر دو عملکرد وجود دارد f(ایکس) و g(ایکس) و g(ایکس) ≠ 0 در مجموعه ای که به آن علاقه داریم، می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم ساعت(ایکس) = f(ایکس)/g(ایکس). برای چنین تابعی می توانید مشتق را نیز پیدا کنید:

ضعیف نیست، نه؟ منفی از کجا آمد؟ چرا g 2 و مثل این! این یکی از بیشترین است فرمول های پیچیده- بدون بطری نمی توانید آن را بفهمید. بنابراین، بهتر است آن را در نمونه های خاص.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید:

صورت و مخرج هر کسر حاوی توابع ابتدایی است، بنابراین تنها چیزی که ما نیاز داریم فرمول مشتق ضریب است:

طبق سنت، بیایید شمارنده را فاکتورسازی کنیم - این پاسخ را بسیار ساده می کند:

یک تابع پیچیده لزوماً یک فرمول به طول نیم کیلومتر نیست. برای مثال کافی است تابع را بگیرید f(ایکس) = گناه ایکسو متغیر را جایگزین کنید ایکس، بگو ، در ایکس 2 + ln ایکس. نتیجه خواهد داد f(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس) - این یک تابع پیچیده است. یک مشتق نیز دارد، اما یافتن آن با استفاده از قوانینی که در بالا توضیح داده شد ممکن نخواهد بود.

باید چکار کنم؟ در چنین مواردی، جایگزینی یک متغیر و فرمول برای مشتق یک تابع مختلط کمک می کند:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی'، اگر ایکسجایگزین می شود تی(ایکس).

به عنوان یک قاعده، وضعیت درک این فرمول حتی غم انگیزتر از مشتق ضریب است. بنابراین بهتر است آن را نیز با مثال های مشخص، با توصیف همراه با جزئیاتهر قدم.

وظیفه. مشتقات توابع را پیدا کنید: f(ایکس) = ه 2ایکس + 3 ; g(ایکس) = گناه ( ایکس 2 + ln ایکس)

توجه داشته باشید که اگر در تابع f(ایکس) به جای عبارت 2 ایکس+ 3 آسان خواهد بود ایکس، سپس یک تابع ابتدایی دریافت می کنیم f(ایکس) = ه ایکس. بنابراین، ما یک جایگزین می کنیم: اجازه دهید 2 ایکس + 3 = تی, f(ایکس) = f(تی) = ه تی. ما مشتق یک تابع مختلط را با استفاده از فرمول جستجو می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (ه تی)’ · تی ’ = ه تی · تی ’

و اکنون - توجه! ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم: تی = 2ایکس+ 3. دریافت می کنیم:

f ’(ایکس) = ه تی · تی ’ = ه 2ایکس+ 3 (2 ایکس + 3)’ = ه 2ایکس+ 3 2 = 2 ه 2ایکس + 3

حالا بیایید به تابع نگاه کنیم g(ایکس). بدیهی است که باید تعویض شود ایکس 2 + ln ایکس = تی. ما داریم:

g ’(ایکس) = g ’(تی) · تی= (گناه تی)’ · تی= cos تی · تی ’

تعویض معکوس: تی = ایکس 2 + ln ایکس. سپس:

g ’(ایکس) = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · ( ایکس 2 + ln ایکس)’ = cos ( ایکس 2 + ln ایکس) · (2 ایکس + 1/ایکس).

همین! همانطور که از عبارت آخر مشاهده می شود، کل مسئله به محاسبه مجموع مشتق تقلیل یافته است.

پاسخ:
f ’(ایکس) = 2 · ه 2ایکس + 3 ;
g ’(ایکس) = (2ایکس + 1/ایکس) cos ( ایکس 2 + ln ایکس).

اغلب در درس‌هایم، به جای اصطلاح «مشتق»، از کلمه «اول» استفاده می‌کنم. به عنوان مثال، یک اول از مقدار برابر با مجموعسکته های مغزی این واضح تر است؟ خوب، این خوب است.

بنابراین، محاسبه مشتق به خلاص شدن از شر همین سکته ها طبق قوانینی که در بالا توضیح داده شد، ختم می شود. به عنوان مثال آخر، اجازه دهید به توان مشتق با توان گویا برگردیم:

(ایکس n)’ = n · ایکس n − 1

تعداد کمی از مردم آن را در نقش می دانند nممکن است به خوبی عمل کند یک عدد کسری. به عنوان مثال، ریشه است ایکس 0.5. اگر چیزی فانتزی زیر ریشه باشد چه؟ باز هم، نتیجه یک عملکرد پیچیده خواهد بود - آنها دوست دارند چنین ساختارهایی را به آنها بدهند تست هاو امتحانات

وظیفه. مشتق تابع را پیدا کنید:

ابتدا، بیایید ریشه را به عنوان یک توان با توان گویا بازنویسی کنیم:

f(ایکس) = (ایکس 2 + 8ایکس − 7) 0,5 .

حالا ما جایگزین می کنیم: اجازه دهید ایکس 2 + 8ایکس − 7 = تی. ما مشتق را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

f ’(ایکس) = f ’(تی) · تی ’ = (تی 0.5) · تی' = 0.5 · تی−0.5 · تی ’.

بیایید جایگزینی معکوس را انجام دهیم: تی = ایکس 2 + 8ایکس− 7. داریم:

f ’(ایکس) = 0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) −0.5 · ( ایکس 2 + 8ایکس− 7) = 0.5 · (2 ایکس+ 8) ( ایکس 2 + 8ایکس − 7) −0,5 .

در نهایت، به ریشه ها بازگردیم: