خانه / گال/ «تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

صفحه اصلی > گزارش

مدرسه متوسطه موسسه آموزشی شهرداری به نام قهرمانان اتحاد جماهیر شوروی
سوتنیکوا A.T. و Shepeleva N. G. روستای Uritskoe

گزارش در مورد موضوع:

"تاریخ پیدایش

معادلات درجه دوم»

آماده شده توسط:ایزوتووا یولیا،
آمپلوا النا،
شپلف نیکولای،

دیاچنکو یوری.

اوه ریاضیات قرن هاست که با شکوه پوشیده شده ای،

مظهر همه مفاخر زمینی.

تو ملکه باشکوهی

جای تعجب نیست که گاوس آن را تعمید داده است.

دقیق، منطقی، باشکوه،

باریک در پرواز، مثل یک تیر،

شکوه محو نشدنی تو

در طول قرن ها، او جاودانگی به دست آورده است.

ما ذهن انسان را می ستاییم،

امور او دست های جادویی,

امید این قرن،

ملکه تمام علوم زمینی.

امروز می خواهیم به شما بگوییم

تاریخچه پیدایش

آنچه هر دانش آموز باید بداند -

تاریخچه معادلات درجه دوم.

اقلیدس، در قرن 3 قبل از میلاد ه. کل کتاب دوم را در عناصر خود به جبر هندسی اختصاص داد، جایی که همه مواد مورد نیازبرای حل معادلات درجه دوم

اقلیدس (Eνκλειδηζ)، ریاضیدان یونان باستان، نویسنده اولین رساله نظری در ریاضیات که به ما رسیده است.

دانش در مورد اقلیدس بسیار کمیاب است. تنها چیزی که می توان قابل اعتماد دانست این است که او فعالیت علمیدر قرن سوم قبل از میلاد در اسکندریه اتفاق افتاد. ه. اقلیدس اولین ریاضیدان مکتب اسکندریه است. کار اصلی او "Principia" (به شکل لاتین شده - "Elements") شامل ارائه ای از planimetry، stereometry و تعدادی از مسائل در نظریه اعداد است. او در آن پیشرفت قبلی ریاضیات یونان را خلاصه کرد و پایه و اساس را ایجاد کرد پیشرفتهای بعدیریاضیات حواصیل - ریاضیدان و مهندس یونانی اولین بار در یونان در قرن اول پس از میلاد. تمیز می دهد روش جبریحل یک معادله درجه دوم

حواصیل اسکندریه؛ هرون، قرن 1 n ه.، مکانیک و ریاضیدان یونانی. زمان زندگی او نامشخص است، فقط می‌دانیم که او از ارشمیدس (متوفی در ۲۱۲ قبل از میلاد) و خود پاپوس (حدود ۳۰۰ پس از میلاد) نقل قول کرده است. در حال حاضر، نظر غالب این است که او در قرن اول زندگی می کرد. n ه. او هندسه، مکانیک، هیدرواستاتیک، اپتیک را مطالعه کرد. نمونه اولیه را اختراع کرد موتور بخارو ابزار تسطیح دقیق محبوب‌ترین آنها ماشین‌های خودکاری مانند تئاتر خودکار، فواره‌ها و غیره بودند. G. تئودولیت را با تکیه بر قوانین استاتیک و سینتیک توصیف کرد و توصیفی از اهرم، بلوک، پیچ و وسایل نقلیه نظامی ارائه کرد. در اپتیک قوانین بازتاب نور را فرموله کرد، در ریاضیات - روش هایی برای اندازه گیری مهمترین شکل های هندسی. آثار اصلی G. Ietrics، Pneumatics، Automatopoetics، Mechanics (فرانسوی؛ اثر کاملاً به زبان عربی محفوظ است)، Catoptics (علم آینه‌ها، تنها در ترجمه لاتین حفظ شده است) و موارد دیگر است. G. از دستاوردهای خود استفاده کرد. پیشینیان: اقلیدس، ارشمیدس، استراتو لمپساکوس. سبک او ساده و واضح است، اگرچه گاهی اوقات بیش از حد لاکونیک یا بدون ساختار است. علاقه به آثار G. در قرن سوم به وجود آمد. n ه. دانشجویان یونانی و سپس بیزانسی و عرب در مورد آثار او اظهار نظر کردند و ترجمه کردند.

دیوفانتوس- یک دانشمند یونانی در قرن سوم پس از میلاد، بدون توسل به هندسه، برخی از معادلات درجه دوم را صرفاً جبری حل کرد و خود معادله و حل آن را به صورت نمادین نوشت.

من به شما خواهم گفت که چگونه دیوفانتوس ریاضیدان یونانی معادلات درجه دوم را ساخته و حل کرده است. به عنوان مثال یکی از وظایف او این است:"دو عدد را با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصلضرب آنها 96 است پیدا کنید."

1. از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز برابر نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصل ضرب آنها 96 نمی شد، بلکه 100 می شد.

2. بنابراین یکی از آنها بیش از نیمی از مبلغ آنها خواهد بود، یعنی. 10 + x، دیگری کمتر است، یعنی. 10 - x.

3. تفاوت بین آنها 2 برابر است.

4. از این رو معادله (10 + x) * (10 – x) = 96

100 - x 2 = 96 x 2 - 4 = 0

5. x = 2 را پاسخ دهید. یکی از اعداد مورد نظر ما 12 است،
دیگر - 8. راه حل x = - 2 برای دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونان فقط اعداد مثبت می دانست. دیوفانتوس می دانست که چگونه تصمیم بگیرد معادلات پیچیده، از نامگذاری حروف برای مجهولات استفاده می کرد، نماد خاصی برای محاسبات معرفی می کرد و از اختصارات کلمات استفاده می کرد. باسکاره – آکاریا- ریاضیدان هندی در قرن 12 میلادی. یک روش کلی برای حل معادلات درجه دوم کشف کرد.

بیایید به یکی از مسائل ریاضیدانان هندی، به عنوان مثال، مسئله بهاسکارا نگاه کنیم:

گله ای از میمون ها در حال خوش گذرانی هستند: یک هشتم از تعداد کل آنها در یک مربع در جنگل می چرخند، دوازده میمون باقی مانده در بالای تپه فریاد می زنند. به من بگو، چند میمون وجود دارد؟

در مورد مسئله، می خواهم بگویم که مسئله با معادله (x/8) 2 + 12 = x مطابقت دارد. بهاسکارا به صورت x 2 – 64x = - 768 می نویسد. با افزودن مربع 32 به هر دو طرف، معادله تبدیل می شود:

x 2 – 64 x + 32 2 = - 768 + 1024

(x – 32) 2 = 256

پس از استخراج ریشه دومدریافت می کنیم: x - 32 = 16.

بهاسکارا می گوید: «در این صورت واحدهای منفی قسمت اول به گونه ای هستند که واحدهای قسمت دوم کوچکتر از آنها هستند و بنابراین دومی را می توان هم مثبت و هم منفی در نظر گرفت و مقدار دو برابری را به دست می آوریم. مجهول: 48 و 16.

نتیجه گیری لازم است: حل باسکارا نشان می دهد که او می دانسته است که ریشه معادلات درجه دوم دو ارزشی است.

برای حل مشکل باسکارای هند باستان پیشنهاد شده است:

«مربع یک پنجم از میمون‌ها که سه میمون کم شده بود، در غار پنهان شدند، یک میمون از درختی بالا رفت و قابل مشاهده بود. چند تا میمون وجود داشت؟ لازم به ذکر است که این مشکل را می توان به صورت ابتدایی حل کرد و به یک معادله درجه دوم تقلیل داد.

الخوارزمی - عالمی عرب که در سال 825 کتاب «کتاب احیاء و مخالفت» را نوشت. این اولین کتاب درسی جبر در جهان بود. او همچنین شش نوع معادله درجه دوم را بیان کرد و برای هر یک از شش معادله، قاعده خاصی را برای حل آن در قالب کلمات تنظیم کرد. در رساله خوارزمی 6 نوع معادله وجود دارد که آنها را به شرح زیر بیان می کند:

1. «مربع برابر با ریشه است» یعنی. آه 2 = اینچ

2. «مربع مساوی اعداد هستند» یعنی. تبر 2 = ج.

3. «ریشه ها مساوی عدد هستند» یعنی. ah = s.

4. «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. تبر 2 + c = در.

5. «مربع و ریشه مساوی اعداد هستند» یعنی. ax 2 + inx = s.

6. «ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند» یعنی. در + c = تبر 2.

اجازه دهید مسئله خوارزمی را تحلیل کنیم که به حل معادله درجه دوم ختم می شود. "مربع و عدد برابر با ریشه است." به عنوان مثال، یک مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه همان مربع است، یعنی. سوال این است که از مربعی که پس از جمع 21 به آن برابر با 10 ریشه همان مربع می شود چه چیزی به وجود می آید؟

و با استفاده از فرمول چهارم خوارزمی، دانش آموزان باید بنویسند: x 2 + 21 = 10x

فرانسوا ویت - ریاضیدان فرانسوی، قضیه ای را درباره مجموع و حاصل ضرب ریشه های یک معادله درجه دوم فرموله و اثبات کرد.

هنری که من توضیح می‌دهم جدید است، یا حداقل در اثر زمان چنان فاسد شده و تحت تأثیر وحشی‌ها تحریف شده است، که لازم دانستم ظاهری کاملاً جدید به آن ببخشم.

فرانسوا ویت

Iet Francois (1540-13.12. 1603) در شهر Fontenay-le-Comte در استان Poitou، نه چندان دور از قلعه معروف La Rochelle متولد شد. او با دریافت مدرک حقوق از نوزده سالگی با موفقیت در زادگاهش به وکالت پرداخت. ویت به عنوان یک وکیل از اقتدار و احترام در میان مردم برخوردار بود. او مردی با تحصیلات گسترده بود. نجوم و ریاضیات و همه چیز را می دانست وقت آزادبه این علوم داد.

علاقه اصلی ویث ریاضیات بود. او عمیقاً آثار کلاسیک های ارشمیدس و دیوفانتوس، نزدیکترین پیشینیان کاردانو، بومبلی، استوین و دیگران را مورد مطالعه قرار داد. ویت نه تنها آنها را تحسین کرد، بلکه نقص بزرگی را در آنها دید، که آن دشواری درک به دلیل نمادگرایی کلامی بود: تقریباً همه اعمال و نشانه ها در کلمات نوشته شده بودند، هیچ اشاره ای به آن قوانین راحت و تقریباً خودکاری که اکنون می کنیم وجود نداشت. استفاده کنید. ضبط و در نتیجه شروع به کار غیرممکن بود نمای کلیمقایسه های جبری یا برخی از عبارات جبری دیگر. هر نوع معادله با ضرایب عددی طبق قانون خاصی حل شد. بنابراین، لازم بود ثابت شود که چنین اعمال کلی بر روی همه اعداد وجود دارد که به خود این اعداد بستگی ندارد. ویت و پیروانش ثابت کردند که فرقی نمی‌کند عدد مورد نظر تعداد اشیاء باشد یا طول بخش. نکته اصلی این است که شما می توانید عملیات جبری را با این اعداد انجام دهید و در نتیجه دوباره اعدادی از همان نوع بدست آورید. این بدان معنی است که آنها را می توان با برخی از علائم انتزاعی تعیین کرد. ویت همین کار را کرد. او نه تنها حساب تحت اللفظی خود را معرفی کرد، بلکه به یک کشف اساسی جدید دست یافت و هدف خود را مطالعه نه اعداد، بلکه عملیات روی آنها قرار داد. این روش علامت گذاری به ویت اجازه داد تا در هنگام مطالعه خصوصیات کلی معادلات جبری به اکتشافات مهمی دست یابد. تصادفی نیست که برای این ویتا "پدر" جبر، بنیانگذار نمادهای حروف نامیده می شود.

منابع اطلاعاتی:

http :// برخی. فیو. ru/ منابع/ کارپوهینا/2003/12/ تعریف کرد%20 کار کردن/ کنسرت/ فهرست مطالب1. htm

http :// صفحات. مارسو. ru/ iac/ مدرسه/ س4/ صفحه74. html

1.1. از تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم

جبر در ارتباط با حل مسائل مختلف با استفاده از معادلات به وجود آمد. به طور معمول، مشکلات نیاز به یافتن یک یا چند مجهول دارند، در حالی که دانستن نتایج برخی از اقدامات انجام شده بر روی مقادیر مورد نظر و داده شده است. چنین مسائلی به حل یک یا سیستمی متشکل از چندین معادله و یافتن معادلات مورد نیاز با استفاده از عملیات جبری بر روی مقادیر معین منتهی می شود. جبر مطالعه می شود خواص عمومیاقدامات بر روی مقادیر

برخی از تکنیک های جبری برای حل معادلات خطی و درجه دوم 4000 سال پیش در بابل باستان.

معادلات درجه دوم در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در دوران باستان، ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت زمین ها و انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی بوده است. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات. بابلی ها توانستند معادلات درجه دوم را در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کنند. با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها علاوه بر متن های ناقص، معادلات درجه دوم کامل وجود دارد:

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها. با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های عمومیحل معادلات درجه دوم

حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل یک سری مسائل سیستماتیک است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 2. "دو عدد را بیابید، با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است."

دیوفانتوس چنین استدلال می کند: از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز مساوی نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصلضرب آنها برابر با 96 نمی شد، بلکه برابر 100 بود. بنابراین، یکی از آنها بیشتر از نیمی از مجموع آنها، یعنی 0.10 + x. دیگری کمتر است، یعنی 10 - x. تفاوت بین آنها 2 برابر است. از این رو معادله:

(10+x)(10-x) =96،

از این رو x = 2. یکی از اعداد مورد نیاز 12 است، دیگری 8 است. راه حل x = - 2 برای دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونان فقط اعداد مثبت را می دانست.

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنید، می توانید به جواب معادله برسید:

واضح است که دیوفانتوس با انتخاب نیم تفاضل اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول، راه حل را ساده می کند. او موفق می شود مسئله را به حل یک معادله درجه دوم ناقص تقلیل دهد.

معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم را قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم) به طور خلاصه بیان کرد قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

تبر 2 + bx = c، a> 0. (1)

در رابطه (1)، ضرایب نیز ممکن است منفی باشند. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار در هند رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هند در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همان‌طور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها جلوتر می‌آید، انسان دانش‌آموز نیز با طرح و حل مسائل جبری، در مجامع عمومی از شکوه خود پیشی می‌گیرد.» وظایف اغلب با لباس پوشیده می شد فرم شاعرانه.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که نویسنده می دانسته است که ریشه های معادلات درجه دوم دو ارزشی هستند.

معادله مربوط به مسئله 3 این است:

باسکارا در پوشش می نویسد:

x 2 - 64x = - 768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به یک مربع، 32 2 را به هر دو طرف اضافه می کنیم، سپس به دست می آید:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x 1 = 16، x 2 = 48.

معادلات درجه دوم خوارزمی

رساله جبری خوارزمی طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم را ارائه می دهد. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی تبر 2 = bx.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی تبر 2 = c.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی تبر = c.

4) "مربع و اعداد برابر با ریشه هستند" یعنی تبر 2 + c = bx.

5) "مربع و ریشه برابر با عدد هستند" یعنی تبر 2 + bx = c.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c == تبر 2.

برای خوارزمی که از مصرف اجتناب می کرد اعداد منفی، عبارات هر یک از این معادلات مضاف هستند نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المکبل ارائه می کند. البته تصمیم او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً در حل یک معادله درجه دوم ناقص از نوع اول، الخوارزمی مانند همه ریاضیدانان تا قرن هفدهم، جواب صفر را در نظر نمی گیرد. احتمالاً به این دلیل که در عملی خاص در کارها اهمیتی ندارد. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قواعد حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی آنها را تعیین می کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مسئله 4. «مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کنید» (منظور از ریشه معادله x 2 + 21 = 10x است).

راه حل: تعداد ریشه ها را به نصف تقسیم کنید، 5 به دست می آید، 5 را در خودش ضرب کنید، 21 را از حاصلضرب کم کنید، چیزی که باقی می ماند 4 است. ریشه را از 4 بگیرید، 2 به دست می آورید. ریشه ای خواهد بود که به دنبال آن هستید. یا 2 به 5 اضافه کنید که 7 می شود، این هم ریشه است.

رساله خوارزمی اولین کتابی است که به دست ما رسیده است که به طور سیستماتیک طبقه بندی معادلات درجه دوم را بیان می کند و برای حل آنها فرمول هایی ارائه می دهد.

معادلات درجه دوم در اروپا در قرون 12-17.

اشکال برای حل معادلات درجه دوم به پیروی از مدل خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 نوشته شده است، ارائه شد. لئونارد فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد.

این کتاب به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از این کتاب تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپای قرن 14-17 مورد استفاده قرار گرفت. قاعده کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x 2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 توسط M. Stiefel تنظیم شد.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلی از جمله اولین ریاضیدانان در قرن شانزدهم بودند. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. به لطف کارهای ژیرار، دکارت، نیوتن و دیگر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم به کار گرفته شده است. ظاهر مدرن..

خاستگاه روش های جبری برای حل مسائل عملی با علم مرتبط است دنیای باستان. همانطور که از تاریخ ریاضیات مشخص است، بخش قابل توجهی از مسائل ریاضی حل شده توسط کاتبان و ماشین حساب های مصری، سومری و بابلی (قرن XX-VI قبل از میلاد) ماهیتی محاسبه گر داشتند. با این حال، حتی در آن زمان، هر از گاهی، مشکلاتی پیش می‌آمد که در آن مقدار مورد نظر یک کمیت با شرایط غیرمستقیم خاصی مشخص می‌شد که، از دیدگاه مدرن ما، به ترکیب یک معادله یا سیستم معادلات نیاز داشت. در ابتدا برای حل چنین مسائلی از روش های حسابی استفاده می شد. متعاقباً شروع مفاهیم جبری شکل گرفت. برای مثال، ماشین‌حساب‌های بابلی توانستند مسائلی را حل کنند که می‌توان آن‌ها را از نظر کاهش داد طبقه بندی مدرنبه معادلات درجه دوم روشی برای حل مسائل کلمه ایجاد شد که بعداً به عنوان پایه ای برای جداسازی جزء جبری و مطالعه مستقل آن عمل کرد.

این مطالعه در دوره ای دیگر، ابتدا توسط ریاضیدانان عرب (قرن VI-X پس از میلاد) انجام شد، که اقدامات مشخصه ای را که توسط آنها معادلات کاهش می یابد، شناسایی کردند. نمای استانداردآوردن عبارت های مشابه، انتقال عبارت از یک قسمت معادله به قسمت دیگر با تغییر علامت. و سپس توسط ریاضیدانان اروپایی دوره رنسانس، که در نتیجه جستجوی طولانی، زبان جبر مدرن، استفاده از حروف، معرفی نمادهایی برای عملیات حسابی، پرانتز و غیره را ایجاد کردند. در نوبت 16 قرن هفدهم. جبر به عنوان بخشی خاص از ریاضیات، با موضوع، روش و حوزه های کاربردی خاص خود، قبلاً شکل گرفته بود. توسعه بیشتر آن، درست تا زمان ما، شامل بهبود روش ها، گسترش دامنه کاربردها، روشن کردن مفاهیم و ارتباط آنها با مفاهیم سایر شاخه های ریاضیات بود.

بنابراین، با توجه به اهمیت و گستردگی مطالب مرتبط با مفهوم معادله، مطالعه آن در روش‌های نوین ریاضیات با سه حوزه اصلی منشأ و عملکرد آن مرتبط است.

از تاریخچه معادلات درجه دوم نویسنده: دانش آموز کلاس نهم "الف" سوتلانا رادچنکو راهنما: آلابوگینا I.A. معلم ریاضیات MBOU "دبیرستان شماره 5 گوریفسک" منطقه کمروو حوزه موضوعی ارائه: ریاضیات ساخته شده برای کمک به معلم مجموع 20 اسلاید محتویات مقدمه………………………………………………… ……………………………3 از تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم معادلات درجه دوم در بابل باستان………………………………….۴ معادلات درجه دوم در هند……………… …………………………………۵ معادلات درجه دوم در خوارزمی………………………………………………………………………………………………………………۶ چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل داد و حل کرد………………………… ..... 7 معادله درجه دوم در اروپا قرن Xll – XVll……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………11 10 روش برای حل معادلات درجه دوم………………………………… .12 الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص…………………………13 الگوریتم حل معادله درجه دوم کامل……………………………..۱۴ حل معادلات درجه دوم……………… ……………………15 4. کاربردهای عملی معادلات درجه دوم برای حل مسائل کاربردی…………………………………………………………………………………… .16 5. نتیجه گیری. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. فهرست منابع استفاده شده…………………… …………………………………………….19 2 مقدمه آن روز یا ساعتی را که در آن چیز جدیدی یاد نگرفتید، چیزی به تحصیلات خود اضافه نکردید، ناخشنود بدانید. Jan Amos Comenius 3 معادلات درجه دوم پایه ای هستند که بنای باشکوه جبر بر آن استوار است. آنها به طور گسترده ای در حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، غیر منطقی و ماورایی استفاده می شوند. معادلات درجه دوم جایگاه اول را در درس جبر مدرسه به خود اختصاص می دهند. زمان زیادی در درس ریاضیات مدرسه به مطالعه آنها اختصاص می یابد. اساساً معادلات درجه دوم اهداف عملی خاصی را دنبال می کنند. بیشتر مشکلات مربوط به اشکال فضایی و روابط کمی در دنیای واقعی به حل منتهی می شود انواع مختلف معادلات، از جمله معادلات درجه دوم. افراد با تسلط بر روش های حل آنها، پاسخ سوالات مختلف علم و فناوری را پیدا می کنند. از تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم بابل باستان: در حدود 2000 سال قبل از میلاد، بابلی ها می دانستند چگونه معادلات درجه دوم را حل کنند. روش ها برای حل معادلات درجه دوم کامل و ناقص شناخته شده بودند. به عنوان مثال، در بابل باستان، معادلات درجه دوم زیر حل شد: 4 هندوستان مسائل حل شده با استفاده از معادلات درجه دوم در رساله نجوم "Aryabhattiam" که توسط ستاره شناس و ریاضیدان هندی Aryabhatta در سال 499 پس از میلاد نوشته شده است، یافت می شود. یک دانشمند هندی دیگر، براهماگوپتا، یک قانون جهانی برای حل یک معادله درجه دوم که به شکل متعارف آن کاهش یافته است، ترسیم کرد: ax2+bx=c. علاوه بر این، فرض بر این بود که تمام ضرایب موجود در آن به جز "a" می تواند منفی باشد. قانون تدوین شده توسط دانشمند اساساً با قانون مدرن مطابقت دارد. 5 معادلات درجه دوم در الخوارزمی: در رساله جبری الخوارزمی، طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم آورده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را می شمارد و آنها را اینگونه بیان می کند: "مربع ها مساوی ریشه هستند" یعنی. ax2 = bx.; "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی ax2 = c. "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی ax = c; «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. ax2 + c = bx; "مربع و ریشه برابر با عدد هستند" یعنی ax2 + bx = c. "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c = ax2. 6 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل داد و حل کرد: یکی از منحصر به فردترین ریاضیدانان یونان باستان، دیوفانتوس اسکندریه بود. نه سال تولد و نه تاریخ مرگ دیوفانتوس روشن نشده است. اعتقاد بر این است که او در قرن سوم زندگی می کرد. آگهی از میان آثار دیوفانت، مهمترین آنها حساب است که 13 کتاب از آن تنها 6 کتاب تا به امروز باقی مانده است. حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل تعدادی مسائل است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود. هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند. 7 معادلات درجه دوم در اروپا در قرون 12 تا 17: لئونارد فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا اعداد منفی را معرفی کرد. قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 توسط مایکل استیفل تنظیم شد. 8 فرانسوا ویت، ریاضیدان فرانسوی F. ویت (1540-1603)، سیستمی از نمادهای جبری را معرفی کرد، پایه های جبر ابتدایی را توسعه داد. او یکی از اولین کسانی بود که اعداد را با حروف نشان داد، که به طور قابل توجهی نظریه معادلات را توسعه داد. اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. 9 معادلات درجه دوم امروزه توانایی حل معادلات درجه دوم به عنوان پایه ای برای حل معادلات دیگر و سیستم های آنها عمل می کند. یادگیری حل معادلات با ساده ترین انواع آنها شروع می شود و برنامه انباشت تدریجی انواع آنها و "صندوق" تبدیل های یکسان و معادل را تعیین می کند که با کمک آن می توانید یک معادله دلخواه را به ساده ترین آن کاهش دهید. روند توسعه تکنیک های تعمیم یافته برای حل معادلات در درس جبر مدرسه نیز باید در این راستا ساخته شود. در درس ریاضی دبیرستان دانش آموزان با کلاس های جدیدی از معادلات، سیستم ها و یا با مطالعه عمیق معادلات از قبل شناخته شده مواجه می شوند 10 روش برای مطالعه معادلات درجه دوم با شروع مطالعه درس جبر سیستماتیک توجه اصلی این است به روش‌های حل معادلات درجه دوم پرداخته می‌شود که به موضوعی خاص برای مطالعه تبدیل می‌شوند. این موضوع مشخص می شود عمق زیادارائه و غنای ارتباطات ایجاد شده با کمک آن در تدریس، اعتبار منطقی ارائه است. بنابراین در خط معادلات و نابرابری ها جایگاه استثنایی را به خود اختصاص می دهد. نکته مهم در بررسی معادلات درجه دوم، در نظر گرفتن قضیه ویتا است که بیانگر وجود رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم کاهش یافته است. دشواری تسلط بر قضیه ویتا به چند دلیل است. اول از همه، لازم است تفاوت بین قضایای مستقیم و معکوس را در نظر گرفت. 11 10 روش برای حل معادلات درجه دوم: فاکتورگیری سمت چپ معادله. روش انتخاب مربع کامل حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا. حل معادلات با استفاده از روش پرتاب خواص ضرایب یک معادله درجه دوم. حل گرافیکی معادله درجه دوم. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قطب نما و خط کش. 12 حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام. روش هندسی برای حل معادلات درجه دوم. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص 1) اگر معادله به شکل ax2 = 0 باشد، یک ریشه x = 0 دارد. 2) اگر معادله به شکل ax2 + bx = 0 باشد، از روش فاکتورسازی استفاده می شود: x (ax + b) = 0. این به معنای x = 0 یا ax + b = 0 است. در نتیجه، دو ریشه دریافت می کنیم: x1 = 0. x2 = 3) اگر معادله به شکل ax2 + c = 0 باشد، به شکل ax2 = - c و سپس x2. = در حالتی که -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0، یعنی - = m، که در آن m>0، معادله x2 = m دو ریشه دارد، بنابراین، یک معادله درجه دوم ناقص می تواند دو ریشه، یک ریشه یا بدون ریشه داشته باشد. 13 الگوریتم برای حل یک معادله درجه دوم کامل. اینها معادلاتی به شکل ax2 + bx + c = 0 هستند که a، b، c اعداد داده می‌شوند و ≠ 0، x یک مجهول است. برای تعیین تعداد ریشه های معادله درجه دوم و یافتن این ریشه ها، می توان هر معادله درجه دوم کامل را به شکل تبدیل کرد. موارد زیر برای حل معادلات درجه دوم کامل در نظر گرفته می شود: د< 0, D = 0, D >0. 1. اگر D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0، سپس معادله درجه دوم ax2 + bx + c = 0 دارای دو ریشه است که با فرمول های زیر به دست می آیند: ; 14 حل معادلات درجه دوم کاهش یافته قضیه F. Vieta: مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته شده است و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. به عبارت دیگر، اگر x1 و x2 ریشه های معادله x2 + px + q = 0 باشند، x1 + x2 = - p، x1 x2 = q. (*) قضیه معکوس قضیه ویتا: اگر فرمول (*) برای اعداد x1، x2، p، q معتبر باشد، x1 و x2 ریشه های معادله x2 + px + q = 0 هستند. 15 کاربرد عملی معادلات درجه دوم برای حل مسائل کاربردی باسکار (1114-1185) - بزرگترین ریاضیدان و ستاره شناس هندی قرن دوازدهم. او رئیس رصدخانه نجومی در اوجین بود. باسکارا رساله "Siddhanta-shiromani" ("تاج تعلیم") را نوشت که از چهار بخش تشکیل شده است: "Lilavati" به حساب اختصاص دارد ، "Bizhaganita" - به جبر ، "Goladhaya" - به کروی ، "Granhaganita" - به ... نظریه حرکات سیاره ای باسکارا ریشه های منفی معادلات را به دست آورد، اگرچه در اهمیت آنها تردید داشت. او صاحب یکی از اولین طرح های یک ماشین حرکت دائمی است. 16 یکی از مسائل ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم. بهاسکارا: حل باسکارا نشان می دهد که نویسنده می دانسته است که ریشه معادلات درجه دوم دو ارزشی است. 17 نتیجه گیری توسعه علم حل معادلات درجه دوم مسیر طولانی و پرخارداری را طی کرده است. تنها پس از آثار استیفل، ویتا، تارتالیا، کاردانو، بومبلی، ژیرارد، دکارت و نیوتن، علم حل معادلات درجه دوم شکل مدرن خود را به خود گرفت. اهمیت معادلات درجه دوم فقط در ظرافت و کوتاهی حل مسائل نیست، اگرچه این نیز بسیار مهم است. به همان اندازه مهم است که در نتیجه استفاده از معادلات درجه دوم در حل مسائل، اغلب جزئیات جدیدی کشف می‌شود، تعمیم‌های جالبی می‌توان ارائه داد و شفاف‌سازی‌هایی که با تجزیه و تحلیل فرمول‌ها و روابط حاصل پیشنهاد می‌شوند، به همان اندازه مهم است. با مطالعه ادبیات و منابع اینترنتی مرتبط با تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم، از خود پرسیدم: "علمی که در چنین دوران سختی زندگی می کردند چه انگیزه ای داشت که حتی در خطر مرگ به علم مشغول شوند؟" احتمالاً اول از همه، کنجکاوی ذهن انسان است که کلید توسعه علم است. سؤالاتی در مورد جوهر جهان، در مورد جایگاه انسان در این جهان، تفکر، افراد کنجکاو و باهوش را همیشه درگیر خود می کند. مردم همیشه تلاش کرده اند تا خود و جایگاه خود را در جهان درک کنند. به درون خود نگاه کنید، شاید کنجکاوی طبیعی شما رنج است زیرا تسلیم زندگی روزمره و تنبلی شده اید؟ سرنوشت بسیاری از دانشمندان 18 نمونه است. همه نام ها شناخته شده و محبوب نیستند. در مورد آن فکر کنید: من برای افراد نزدیکم چگونه هستم؟ اما مهمترین چیز این است که من نسبت به خودم چه احساسی دارم، آیا شایسته احترام هستم؟ فکرش را بکنید... مراجع 1. Zvavich L.I. “جبر کلاس هشتم”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. " فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Algebra 8th class”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 با تشکر شما برای توجه 20

از تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم

جبر در ارتباط با حل مسائل مختلف با استفاده از معادلات به وجود آمد. به طور معمول، مشکلات نیاز به یافتن یک یا چند مجهول دارند، در حالی که دانستن نتایج برخی از اقدامات انجام شده بر روی مقادیر مورد نظر و داده شده است. چنین مسائلی به حل یک یا سیستمی متشکل از چندین معادله و یافتن معادلات مورد نیاز با استفاده از عملیات جبری بر روی مقادیر معین منتهی می شود. جبر خصوصیات کلی عملیات روی کمیت ها را مطالعه می کند.

برخی از تکنیک های جبری برای حل معادلات خطی و درجه دوم 4000 سال پیش در بابل باستان شناخته شده بود.

معادلات درجه دوم در بابل باستان

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها. علیرغم پیشرفت بالای جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 2. "دو عدد را بیابید، با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است."

(10+x)(10-x) =96،

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنید، می توانید به جواب معادله برسید:

معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم را قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم)، یک قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است، بیان کرد:

ax2 + bx = c, a>

در رابطه (1)، ضرایب نیز ممکن است منفی باشند. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار در هند رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هند در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همان‌طور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها جلوتر می‌آید، انسان دانش‌آموز نیز با طرح و حل مسائل جبری، در مجامع عمومی از شکوه خود پیشی می‌گیرد.» مسائل غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که نویسنده می دانسته است که ریشه های معادلات درجه دوم دو ارزشی هستند.

معادله مربوط به مسئله 3 این است:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به مربع، 322 را به هر دو طرف اضافه می کنیم، سپس به دست می آید:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x1 = 16، x2 = 48.

معادلات درجه دوم خوارزمی

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی ax2 = bx.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی ax2 = c.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی تبر = c.

4) "مربع و اعداد برابر با ریشه هستند" یعنی ax2 + c = bx.

5) "مربع و ریشه برابر با عدد هستند" یعنی ax2 + bx = c.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c == ax2.

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المکبل ارائه می کند. البته تصمیم او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً در حل یک معادله درجه دوم ناقص از نوع اول، الخوارزمی مانند همه ریاضیدانان تا قرن هفدهم، جواب صفر را در نظر نمی گیرد. احتمالاً به این دلیل که در عملی خاص در کارها اهمیتی ندارد. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قواعد حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی آنها را تعیین می کند.

بیایید یک مثال بزنیم.

مسئله 4. «مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کنید» (منظور از ریشه معادله x2 + 21 = 10x است).

معادلات درجه دوم در اروپاXII- XVIIV.

این کتاب به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از این کتاب تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپای قرن 14-17 مورد استفاده قرار گرفت. قاعده کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 توسط M. Stiefel تنظیم شد.

خاستگاه روش های جبری برای حل مسائل عملی با علم دنیای باستان مرتبط است. همانطور که از تاریخ ریاضیات مشخص است، بخش قابل توجهی از مسائل ریاضی حل شده توسط کاتبان و ماشین حساب های مصری، سومری و بابلی (قرن XX-VI قبل از میلاد) ماهیتی محاسبه گر داشتند. با این حال، حتی در آن زمان، هر از گاهی، مشکلاتی پیش می‌آمد که در آن مقدار مورد نظر یک کمیت با شرایط غیرمستقیم خاصی مشخص می‌شد که، از دیدگاه مدرن ما، به ترکیب یک معادله یا سیستم معادلات نیاز داشت. در ابتدا برای حل چنین مسائلی از روش های حسابی استفاده می شد. متعاقباً شروع مفاهیم جبری شکل گرفت. برای مثال، ماشین‌حساب‌های بابلی توانستند مسائلی را حل کنند که از دیدگاه طبقه‌بندی مدرن، می‌توان آن‌ها را به معادلات درجه دوم تقلیل داد. روشی برای حل مسائل کلمه ایجاد شد که بعداً به عنوان پایه ای برای جداسازی جزء جبری و مطالعه مستقل آن عمل کرد.

این مطالعه در دوره ای دیگر، ابتدا توسط ریاضیدانان عرب (قرن VI-X پس از میلاد) انجام شد، که اقدامات مشخصه ای را شناسایی کردند که توسط آنها معادلات به شکل استاندارد در آمدند: آوردن اصطلاحات مشابه، انتقال اصطلاحات از یک قسمت معادله به قسمت دیگر. تغییر علامت و سپس توسط ریاضیدانان اروپایی دوره رنسانس، که در نتیجه جستجوی طولانی، زبان جبر مدرن، استفاده از حروف، معرفی نمادهایی برای عملیات حسابی، پرانتز و غیره را ایجاد کردند. در نوبت 16 قرن هفدهم. جبر به عنوان بخشی خاص از ریاضیات، با موضوع، روش و حوزه های کاربردی خاص خود، قبلاً شکل گرفته بود. توسعه بیشتر آن، درست تا زمان ما، شامل بهبود روش ها، گسترش دامنه کاربردها، روشن کردن مفاهیم و ارتباط آنها با مفاهیم سایر شاخه های ریاضیات بود.

برای حل هر معادله درجه دوم باید بدانید:

فرمول برای یافتن ممیز؛

· فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم.

· الگوریتم هایی برای حل معادلات از این نوع.

· حل معادلات درجه دوم ناقص.

· حل معادلات درجه دوم کامل.

· حل معادلات درجه دوم داده شده.

· پیدا کردن خطاها در معادلات حل شده و تصحیح آنها.

· بررسی کنید.

جواب هر معادله از دو بخش اصلی تشکیل شده است:

· تبدیل این معادله به ساده ترین.

· حل معادلات با استفاده از قوانین، فرمول ها یا الگوریتم های شناخته شده.

تعمیم روش های فعالیت دانش آموزان هنگام حل معادلات درجه دوم به تدریج اتفاق می افتد. هنگام مطالعه مبحث "معادلات درجه دوم" مراحل زیر قابل تشخیص است:

مرحله اول - حل معادلات درجه دوم ناقص.

مرحله دوم - حل معادلات درجه دوم.

مرحله III - "حل معادلات درجه دوم کاهش یافته."

در مرحله اول معادلات درجه دوم ناقص در نظر گرفته می شوند. از آنجایی که در ابتدا ریاضیدانان حل معادلات درجه دوم ناقص را آموختند، زیرا برای این کار مجبور نبودند، همانطور که می گویند، چیزی اختراع کنند. این معادلات به این شکل هستند: ax2 = 0، ax2 + c = 0، که در آن c≠ 0، ax2 + bx = 0، که در آن b ≠ 0. حل چند تا از این معادلات را در نظر بگیرید:

1. اگر ax2 = 0. معادلات از این نوع با استفاده از الگوریتم حل می شوند:

1) x2 را پیدا کنید.

2) x را پیدا کنید.

به عنوان مثال، 5x2 = 0. با تقسیم دو طرف معادله بر 5 به دست می آید: x2 = 0، از آنجا x = 0.

2. اگر ax2 + c = 0، c≠ 0 معادلات از این نوع با استفاده از الگوریتم حل می شوند:

1) اصطلاحات را به سمت راست منتقل کنید.

2) تمام اعدادی که مربع آنها با عدد c برابر است را پیدا کنید.

به عنوان مثال x2 - 5 = 0، این معادله معادل معادله x2 = 5 است. بنابراین، باید تمام اعدادی را که مربع آنها با عدد 5 برابر است پیدا کنیم..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> و هیچ ریشه دیگری ندارد.

3. اگر ax2 + bx = 0، b ≠ 0. معادلات از این نوع با استفاده از الگوریتم حل می شوند:

1) عامل مشترک را از براکت خارج کنید.

2) x1، x2 را پیدا کنید.

به عنوان مثال، x2 - 3x = 0. بیایید معادله x2 - 3x = 0 را به شکل x (x - 3) = 0 بازنویسی کنیم. این معادله بدیهی است که ریشه های x1 = 0، x2 = 3 دارد. هیچ ریشه دیگری ندارد، زیرا اگر در اگر هر عددی غیر از صفر و 3 را به جای x جایگزین کنید، در سمت چپ معادله x (x – 3) = 0 عددی به دست می‌آید که برابر با صفر نیست.

بنابراین، این مثال ها نشان می دهد که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند:

1) اگر معادله به شکل ax2 = 0 باشد، یک ریشه x = 0 دارد.

2) اگر معادله به شکل ax2 + bx = 0 باشد، از روش فاکتورسازی استفاده می شود: x (ax + b) = 0. این یعنی x = 0 یا ax + b = 0..gif" width="16" height="41"> در صورتی که -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0، یعنی - = m، که در آن m> 0، معادله x2 = m دو ریشه دارد.

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (در این مورد نماد کوتاهتر = مجاز است.

بنابراین، یک معادله درجه دوم ناقص می تواند دو ریشه، یک ریشه یا بدون ریشه داشته باشد.

در مرحله دوم، انتقال به حل معادله درجه دوم کامل انجام می شود. اینها معادلاتی به شکل ax2 + bx + c = 0 هستند که a، b، c اعداد داده می‌شوند و ≠ 0، x یک مجهول است.

هر معادله درجه دوم کامل را می توان به فرم تبدیل کرد ، به منظور تعیین تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم و یافتن این ریشه ها. موارد زیر برای حل معادلات درجه دوم کامل در نظر گرفته می شود: د< 0, D = 0, D > 0.

1. اگر D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

به عنوان مثال، 2x2 + 4x + 7 = 0. راه حل: در اینجا a = 2، b = 4، c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

از آنجایی که D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. اگر D = 0 باشد، معادله درجه دوم ax2 + bx + c = 0 یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود.

به عنوان مثال، 4x – 20x + 25 = 0. راه حل: a = 4، b = - 20، c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

از آنجایی که D = 0 است، این معادله یک ریشه دارد. این ریشه با استفاده از فرمول ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src="> پیدا می شود.

الگوریتمی برای حل معادله ای به شکل ax2 + bx + c = 0 تدوین شده است.

1. ممیز D را با استفاده از فرمول D = b2 – 4ac محاسبه کنید.

2. اگر D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. اگر D = 0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود.

4..gif" width="101" height="45">.

این الگوریتم جهانی است و برای معادلات درجه دوم ناقص و کامل قابل استفاده است. با این حال، معادلات درجه دوم ناقص معمولاً با استفاده از این الگوریتم حل نمی شوند.

ریاضیدانان افرادی عملی و اقتصادی هستند، بنابراین از فرمول استفاده می کنند: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">، دارای علامتی مشابه با D..gif" width="89" height="49"> سپس معادله (3) دارای دو ریشه است.

2) اگر آن معادله دو ریشه منطبق داشته باشد.

3) اگر آن معادله ریشه نداشته باشد.

نکته مهم در بررسی معادلات درجه دوم، در نظر گرفتن قضیه ویتا است که بیانگر وجود رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم کاهش یافته است.

قضیه ویتا مجموع ریشه های معادله درجه دوم فوق برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

به عبارت دیگر، اگر x1 و x2 ریشه های معادله x2 + px + q = 0 باشند، آنگاه

این فرمول ها به افتخار ریاضیدان فرانسوی F. Vieta () که سیستمی از نمادهای جبری را معرفی کرد و پایه های جبر ابتدایی را توسعه داد، فرمول های ویتا نامیده می شوند. او یکی از اولین کسانی بود که اعداد را با حروف نشان داد، که به طور قابل توجهی نظریه معادلات را توسعه داد.

به عنوان مثال، معادله داده شده x2 - 7x +10 = 0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب 10 است. می توان دید که مجموع ریشه ها برابر ضریب دوم است. با علامت مخالف، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است.

عکس قضیه ویتا نیز صادق است.

قضیه معکوس قضیه ویتا. اگر فرمول (5) برای اعداد x1، x2، p، q معتبر باشد، x1 و x2 ریشه های معادله x2 + px + q = 0 هستند.

قضیه Vieta و عکس آن اغلب برای حل مسائل مختلف استفاده می شود.

مثلا. اجازه دهید معادله درجه دوم زیر را بنویسیم که ریشه آن اعداد 1 و -3 است.

طبق فرمول های ویتا

– p = x1 + x2 = - 2،

بنابراین، معادله مورد نیاز به شکل x2 + 2x – 3 = 0 است.

دشواری تسلط بر قضیه ویتا به چند دلیل است. اول از همه، لازم است تفاوت بین قضایای مستقیم و معکوس را در نظر گرفت. قضیه مستقیم Vieta یک معادله درجه دوم و ریشه های آن را به دست می دهد. در معکوس فقط دو عدد وجود دارد و معادله درجه دوم در نتیجه قضیه ظاهر می شود. دانش آموزان اغلب در توجیه استدلال خود با ارجاع نادرست به قضیه مستقیم یا معکوس ویتا اشتباه می کنند.

به عنوان مثال، هنگام یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم با انتخاب، باید به قضیه معکوس Vieta مراجعه کنید، نه به قضیه مستقیم، همانطور که اغلب دانش آموزان انجام می دهند. برای بسط قضایای ویتا به حالت ممیز صفر، باید توافق کنیم که در این مورد معادله درجه دوم دارای دو است. ریشه های مساوی. راحتی چنین توافقی زمانی آشکار می شود که ما آن را گسترش دهیم سه جمله ای درجه دومتوسط ضرب کننده ها

کووالچوک کریل

پروژه "معادلات درجه دوم در طول قرن ها و کشورها" دانش آموزان را با دانشمندان ریاضی که اکتشافات آنها اساس است آشنا می کند. پیشرفت علمی و فناوری، علاقه به ریاضیات را به عنوان موضوعی مبتنی بر آشنایی با مطالب تاریخی ایجاد می کند ، افق دانش آموزان را گسترده می کند ، فعالیت های شناختی و خلاقیت آنها را تحریک می کند.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه، یک حساب کاربری برای خود ایجاد کنید ( حساب) گوگل و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلاید:

کار پروژه دانش آموز کلاس هشتم مدرسه متوسطه شماره 17 موسسه آموزشی شهری در روستای بوریسوفکا کریل کووالچوک ناظر G.V. Mulyukova

معادلات درجه دوم در طول قرن ها و کشورها

هدف پروژه: آشنایی دانش آموزان با دانشمندان ریاضیاتی که اکتشافات آنها اساس پیشرفت علمی و فناوری است. اهمیت کارهای دانشمندان را برای توسعه هندسه و فیزیک نشان دهید؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟ کاربرد را به وضوح نشان دهید اکتشافات علمیدر زندگی. بر اساس آشنایی با مطالب تاریخی، علاقه به ریاضیات را به عنوان موضوعی توسعه دهید. افق دید دانش آموزان را گسترش دهید، فعالیت های شناختی و خلاقیت آنها را تحریک کنید

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه اول، بلکه درجه دوم در زمان های قدیم به دلیل نیاز به حل مسائل مربوط به یافتن مساحت زمین ها با توسعه خود نجوم و ریاضیات ایجاد شده است. معادلات درجه دوم را می توان در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کرد. ه. بابلی ها قواعد حل این معادلات که در متون بابلی بیان شده است، اساساً مشابه موارد مدرن است، اما این متون فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

. (حدود 365 - 300 قبل از میلاد) - ریاضیدان یونان باستان، نویسنده اولین رساله های نظری در ریاضیات که به ما رسیده است. اقلیدس یا اقلیدس

آغاز اقلیدس جایی که نیل با دریا یکی می شود، در سرزمین داغ باستانی اهرام ریاضیدان یونانی زندگی می کرد - اقلیدس دانا و دانا. هندسه خواند، هندسه تدریس کرد. او کار بزرگی نوشت. نام این کتاب «آغازها» است.

اقلیدس قرن سوم قبل از میلاد اقلیدس معادلات درجه دوم را با استفاده از روش هندسی حل کرد. یکی از اشکالات رساله یونان باستان در اینجا آمده است: «شهری است با حاشیه ای به شکل مربع با ضلع به اندازه نامعلوم، در مرکز هر ضلع آن دروازه ای است. ستونی در فاصله 20bu (1bu=1.6m) از دروازه شمالی وجود دارد. اگر از دروازه جنوبی 14b مستقیم به جلو، سپس به غرب بپیچید و 1775b دیگر بروید، می توانید یک ستون را ببینید. سوال این است: کدام سمت مرز شهر؟ »

برای تعیین ضلع مجهول مربع، معادله درجه دوم x ² +(k+l)x-2kd =0 را به دست می آوریم. در این مورد، معادله به نظر می رسد x² +34x-71000=0، از آنجا x=250bu l x d k

معادلات درجه دوم در هند مسائل مربوط به معادلات درجه دوم نیز در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است، یافت می شود. دانشمند هندی دیگر، براهماگوپتا، قانون کلی را برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد تقلیل یافته است، بیان کرد: ax ² +bx=c، a>0 V. هند باستانمسابقات عمومی در حل مسائل دشوار رایج بود. یکی از کتاب‌های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می‌گوید: «همانطور که خورشید با درخشش خود از ستاره‌ها می‌درخشد، یک مرد دانش‌آموز نیز در مجامع عمومی و طرح و حل مسائل جبری، از شکوه دیگری پیشی می‌گیرد.»

یکی از مشکلات ریاضیدان معروف هندی قرن دوازدهم بهاسکارا گله ای از میمون های دمدمی مزاج که تا حد دلشان خورده بودند، سرگرم شدند. قسمت هشتم آنها در میدان من در پاکسازی مشغول تفریح بودم. و دوازده روی انگورها... در حالی که آویزان بودند شروع به پریدن کردند... به من بگو در این گله چند میمون بود؟

راه حل. () 2 +12 = x، x 2 - 64x +768 = 0، a = 1، b = -64، c = 768، سپس D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1، 2 = , x 1 = 48 , x 2 = 16 پاسخ: 16 یا 48 میمون بودند بیایید آن را حل کنیم.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم چندین بار "بازکشف" شده است. یکی از اولین مشتقات این فرمول که تا به امروز باقی مانده است متعلق به برهماگوپتا ریاضیدان هندی است. دانشمند آسیای مرکزی خوارزمی در رساله کتاب الجرب والمکبالا این فرمول را با روش جداسازی مربع کامل به دست آورده است.

خوارزمی چگونه این معادله را حل کرد؟ او نوشت: «قاعده این است: دو برابر تعداد ریشه ها، x = 2x · 5 در این مسئله پنج به دست می آورید، 5 را در این برابر ضرب کنید، می شود بیست و پنج، 5 · 5 = 25 این را به سی اضافه کنید. -نه، 25 + 39 می شود شصت و چهار، 64 ریشه را از این بگیرید، هشت می شود، 8 و از این نصف تعداد ریشه ها را کم کنید، یعنی پنج، 8-5 سه باقی می ماند - این است و 3 می شود. ریشه مربعی که به دنبالش بودی.» در مورد ریشه دوم چطور؟ ریشه دوم پیدا نشد، زیرا اعداد منفی شناخته نشده بودند. x 2 + 10 x = 39

معادلات درجه دوم در اروپا قرن 13-17. فرمول‌های حل معادلات درجه دوم که پس از خوارزمی در اروپا مدل‌سازی شده‌اند، برای اولین بار در کتاب چرتکه، که در سال 1202 توسط ریاضی‌دان ایتالیایی، لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، ارائه شد. این اثر حجیم که بازتاب نفوذ ریاضیات از هر دو کشور اسلامی و یونان باستان، هم از نظر کامل بودن و هم وضوح ارائه متمایز می شود. نویسنده به طور مستقل راه حل های جبری جدیدی برای مسائل ایجاد کرد و اولین کسی بود که در اروپا اعداد منفی را معرفی کرد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از کتاب چرتکه تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپایی قرن 16 و 17 به کار رفته است. و تا حدی 18.

فرانسوا ویته - بزرگترین ریاضیدان قرن شانزدهم

قبل از F. Vieta، حل یک معادله درجه دوم طبق قوانین خاص خود در قالب استدلال ها و توصیفات کلامی بسیار طولانی، اقدامات نسبتاً دست و پا گیر انجام می شد. آنها حتی نمی‌توانستند خود معادله را بنویسند؛ این نیاز به یک توصیف کلامی نسبتاً طولانی و پیچیده داشت. او اصطلاح «ضریب» را ابداع کرد. او پیشنهاد کرد که کمیت های مورد نیاز با حروف صدادار و داده ها با صامت ها مشخص شوند. به لطف نمادگرایی ویتا، می توانیم معادله درجه دوم را به شکل زیر بنویسیم: ax 2 + bx + c = 0. قضیه: مجموع ریشه های معادله درجه دوم برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است. علیرغم اینکه این قضیه "قضیه ویتا" نامیده می شود، قبل از او شناخته شده بود و او فقط آن را به شکل مدرن خود تبدیل کرد. ویتا را "پدر جبر" می نامند

بشریت از جهل به دانش راه درازی را پیموده است و پیوسته دانش ناقص و ناقص را با دانش کاملتر و کاملتر در این مسیر جایگزین کرده است. کلام پایانی

ما که در آغاز بیست و یکمقرن، دوران باستان را به خود جلب می کند. در اجدادمان، ما قبل از هر چیز متوجه کمبود آنها از دیدگاه مدرن می شویم و معمولاً متوجه آنچه که خودمان در مقایسه با آنها کم داریم، نمی شویم.

آنها را فراموش نکنیم...

با تشکر از توجه شما!

تاریخچه پیدایش معادلات درجه دوم. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

دانلود:

پیش نمایش:

شرح اسلاید:

بازیابی رمز عبور