مقدار متوسط ​​بین دو عدد. میانگین حسابی و خواص آن توزیع فروشگاه های شرکت بازرگانی "وسنا" به تفکیک محدوده فروش، مربع م

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به معنی متوسط ​​مراجعه کنید.

میانگین(در ریاضیات و آمار) مجموعه اعداد - مجموع همه اعداد تقسیم بر تعداد آنها. یکی از رایج ترین معیارهای گرایش مرکزی است.

فیثاغورثی ها (همراه با میانگین هندسی و میانگین هارمونیک) پیشنهاد کردند.

موارد خاص میانگین حسابی عبارتند از میانگین (جمعیت عمومی) و میانگین نمونه (نمونه).

معرفی

اجازه دهید مجموعه ای از داده ها را نشان دهیم ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, ایکس n، سپس میانگین نمونه معمولاً با یک نوار افقی روی متغیر (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) نشان داده می شود. ایکسبا یک خط").

حرف یونانی μ برای نشان دادن میانگین حسابی کل جمعیت استفاده می شود. برای یک متغیر تصادفی که مقدار میانگین برای آن تعیین شده است، μ است میانگین احتمالییا انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی. اگر مجموعه ایکسمجموعه ای از اعداد تصادفی با میانگین احتمالی μ، سپس برای هر نمونه است ایکس مناز این مجموعه μ = E( ایکس من) انتظار ریاضی این نمونه است.

در عمل، تفاوت بین μ و x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) این است که μ یک متغیر معمولی است زیرا شما می توانید یک نمونه را به جای کل ببینید. جمعیت عمومی. بنابراین، اگر نمونه به صورت تصادفی (از نظر تئوری احتمال) نشان داده شود، آنگاه x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (اما نه μ) را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی با توزیع احتمال در نمونه در نظر گرفت ( توزیع احتمال میانگین).

هر دوی این مقادیر به یک شکل محاسبه می شوند:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

اگر ایکسیک متغیر تصادفی است، سپس انتظارات ریاضی ایکسرا می توان به عنوان میانگین حسابی مقادیر در اندازه گیری های مکرر یک کمیت در نظر گرفت ایکس. این جلوه ای از قانون است اعداد بزرگ. بنابراین از میانگین نمونه برای تخمین مقدار مورد انتظار ناشناخته استفاده می شود.

در جبر ابتدایی ثابت شده است که میانگین n+ 1 عدد بالاتر از حد متوسط nاعداد اگر و فقط اگر عدد جدید بزرگتر از میانگین قدیم باشد، اگر و فقط اگر عدد جدید کمتر از میانگین باشد کمتر، و اگر و فقط اگر عدد جدید با میانگین برابر باشد، تغییر نمی‌کند. بیشتر n، تفاوت بین میانگین جدید و قدیمی کمتر است.

توجه داشته باشید که چندین «متوسط» دیگر در دسترس است، از جمله توان میانگین، میانگین کلموگروف، میانگین هارمونیک، میانگین حسابی-هندسی، و میانگین های وزنی مختلف (به عنوان مثال، میانگین وزنی حسابی، میانگین وزنی هندسی، میانگین هارمونیک وزنی).

مثال ها

• برای سه عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 3 تقسیم کنید:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• برای چهار عدد، باید آنها را جمع کرده و بر 4 تقسیم کنید:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

یا ساده تر 5+5=10، 10:2. چون 2 عدد را جمع می‌کردیم، یعنی چند عدد را جمع می‌کنیم، بر آن تعداد تقسیم می‌کنیم.

متغیر تصادفی پیوسته

برای کمیت توزیع شده پیوسته f (x) (\displaystyle f(x))، میانگین حسابی در بازه [a; b ] (\displaystyle ) از طریق یک انتگرال معین تعیین می شود:

F (x) ¯ [a; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

برخی از مشکلات استفاده از میانگین

عدم استحکام

مقاله اصلی: استحکام در آمار

اگرچه میانگین های حسابی اغلب به عنوان میانگین ها یا گرایش های مرکزی استفاده می شوند، این مفهوم یک آمار قوی نیست، به این معنی که میانگین حسابی به شدت تحت تأثیر "انحرافات بزرگ" است. قابل توجه است که برای توزیع هایی با ضریب چولگی زیاد، میانگین حسابی ممکن است با مفهوم "میانگین" مطابقت نداشته باشد و مقادیر میانگین از آمارهای قوی (به عنوان مثال، میانه) بهتر می تواند مرکز را توصیف کند. گرایش

یک مثال کلاسیک محاسبه درآمد متوسط ​​است. میانگین حسابی را می توان به اشتباه به عنوان یک میانه تفسیر کرد، که ممکن است به این نتیجه برسد که افراد با درآمد بالاتر از میزان واقعی بیشتر هستند. درآمد «متوسط» به این معنا تفسیر می‌شود که بیشتر افراد درآمدی در حدود این عدد دارند. این درآمد «متوسط» (به معنای میانگین حسابی) بالاتر از درآمد بیشتر افراد است، زیرا درآمد بالا با انحراف زیاد از میانگین، میانگین حسابی را بسیار منحرف می‌کند (در مقابل، میانگین درآمد در میانه "مقاومت می کند" در برابر چنین کجی). با این حال، این درآمد «متوسط» چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد متوسط ​​نمی گوید (و چیزی در مورد تعداد افراد نزدیک به درآمد معین نمی گوید). با این حال، اگر مفاهیم «متوسط» و «اکثر مردم» را ساده نگیرید، می‌توانید به این نتیجه نادرست برسید که بیشتر مردم درآمدی بالاتر از آنچه که هستند، دارند. به عنوان مثال، گزارشی از درآمد خالص «متوسط» در مدینه، واشنگتن، که به عنوان میانگین حسابی کل درآمد خالص سالانه ساکنان محاسبه می‌شود، به‌طور شگفت‌انگیزی نتیجه خواهد داد. عدد بزرگبه خاطر بیل گیتس نمونه (1، 2، 2، 2، 3، 9) را در نظر بگیرید. میانگین حسابی 3.17 است، اما پنج مقدار از شش مقدار زیر این میانگین است.

بهره مرکب

مقاله اصلی: بازگشت سرمایه گذاری

اگر اعداد تکثیر کردن، اما نه تا کردن، باید از میانگین هندسی استفاده کنید نه از میانگین حسابی. اغلب این حادثه هنگام محاسبه بازده سرمایه گذاری در امور مالی اتفاق می افتد.

به عنوان مثال، اگر سهمی در سال اول 10% سقوط کرد و در سال دوم 30% افزایش یافت، در این صورت محاسبه میانگین افزایش "متوسط" طی آن دو سال به عنوان میانگین حسابی (-10٪ + 30%) نادرست است / 2 = 10٪؛ میانگین صحیح در این مورد توسط نرخ رشد سالانه مرکب ارائه می شود که نرخ رشد سالانه را تنها در حدود 8.16653826392٪ ≈ 8.2٪ نشان می دهد.

دلیل این امر این است که درصدها هر بار نقطه شروع جدیدی دارند: 30٪ 30٪ است. از عددی کمتر از قیمت ابتدای سال اول:اگر سهامی از 30 دلار شروع شد و 10 درصد سقوط کرد، در آغاز سال دوم 27 دلار ارزش دارد. اگر سهام 30 درصد افزایش یابد، در پایان سال دوم 35.1 دلار ارزش خواهد داشت. میانگین حسابی این رشد 10 درصد است، اما از آنجایی که سهام طی 2 سال تنها 5.1 دلار افزایش یافته است، میانگین رشد 8.2 درصدی نتیجه نهایی 35.1 دلار را به دست می دهد:

[30 دلار (1 - 0.1) (1 + 0.3) = 30 دلار (1 + 0.082) (1 + 0.082) = 35.1 دلار]. اگر از میانگین به همین صورت استفاده کنیم مقدار حسابی 10٪، ما مقدار واقعی را دریافت نمی کنیم: [30 دلار (1 + 0.1) (1 + 0.1) = 36.3 دلار].

سود مرکب در پایان 2 سال: 90٪ * 130٪ = 117٪، یعنی کل افزایش 17٪ است و میانگین بهره مرکب سالانه 117٪ ≈ 108.2٪ (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\تقریباً 108.2% ، یعنی افزایش متوسط ​​سالانه 8.2٪.

جهت ها

مقاله اصلی: آمار مقصد

هنگام محاسبه میانگین حسابی برخی از متغیرهایی که به صورت چرخه ای تغییر می کنند (مانند فاز یا زاویه)، باید دقت ویژه ای داشت. برای مثال، میانگین 1° و 359° 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 درجه خواهد بود. این عدد به دو دلیل نادرست است.

• ابتدا، اندازه‌های زاویه‌ای فقط برای محدوده 0 تا 360 درجه (یا از 0 تا 2π وقتی بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شوند) تعریف می‌شوند. بنابراین همان جفت اعداد را می توان به صورت (1° و -1°) یا به صورت (1° و 719°) نوشت. مقادیر متوسط ​​هر جفت متفاوت خواهد بود: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ دور )) .
• دوم، در این مورد، مقدار 0 درجه (معادل 360 درجه) از نظر هندسی یک مقدار متوسط ​​بهتر خواهد بود، زیرا اعداد کمتر از 0 درجه نسبت به هر مقدار دیگر انحراف دارند (مقدار 0 درجه کمترین واریانس را دارد). مقایسه کنید:
  • عدد 1 درجه از 0 درجه فقط 1 درجه منحرف می شود.
  • عدد 1 درجه از میانگین محاسبه شده 180 درجه در 179 درجه منحرف می شود.

مقدار متوسط ​​برای یک متغیر چرخه ای محاسبه شده با استفاده از فرمول بالا به طور مصنوعی نسبت به میانگین واقعی به سمت وسط محدوده عددی جابه جا می شود. به همین دلیل، میانگین به روش دیگری محاسبه می شود، یعنی عددی با کمترین واریانس (نقطه مرکزی) به عنوان مقدار میانگین انتخاب می شود. همچنین به جای تفریق از فاصله مدولار (یعنی فاصله محیطی) استفاده می شود. برای مثال، فاصله مدولار بین 1 درجه و 359 درجه 2 درجه است، نه 358 درجه (روی دایره بین 359 درجه و 360 درجه ==0 درجه - یک درجه، بین 0 درجه و 1 درجه - همچنین در مجموع 1 درجه - 2 درجه).

4.3. مقادیر متوسط ماهیت و معنای مقادیر متوسط

اندازه متوسطدر آمار یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک پدیده را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می کند، که منعکس کننده ارزش یک مشخصه متغیر در هر واحد از یک جمعیت از نظر کیفی همگن است. در عمل اقتصادی، طیف گسترده ای از شاخص ها استفاده می شود که به عنوان مقادیر متوسط ​​محاسبه می شود.

به عنوان مثال، یک شاخص کلی از درآمد کارگران شرکت سهامی(JSC) به عنوان میانگین درآمد یک کارگر، تعیین شده توسط نسبت صندوق عمل می کند دستمزدو پرداخت های اجتماعی برای دوره مورد بررسی (سال، سه ماهه، ماه) به تعداد کارگران JSC.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. شاخص میانگین آنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه رایج است (معمولی) منعکس می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی وجود دارد تصادفاتو لازم است.هنگام محاسبه میانگین ها، به دلیل عمل قانون اعداد بزرگ، تصادفی بودن از بین می رود و متعادل می شود، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی مشخصه در هر مورد خاص انتزاع کرد. . توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر فردی، نوسانات در ارزش علمی میانگین ها نهفته است. تعمیم دادنویژگی های جمعیت ها

در جایی که نیاز به تعمیم ایجاد می شود، محاسبه چنین ویژگی هایی منجر به جایگزینی بسیاری از مقادیر مختلف فردی از ویژگی می شود. میانگینشاخصی که کل مجموعه پدیده ها را مشخص می کند، که امکان شناسایی الگوهای ذاتی پدیده های اجتماعی انبوه را که در پدیده های فردی نامرئی هستند، می دهد.

میانگین نشان دهنده سطح مشخصه، معمولی و واقعی پدیده های مورد مطالعه است، این سطوح و تغییرات آنها در زمان و مکان را مشخص می کند.

میانگین مشخصه خلاصه ای از قوانین فرآیند در شرایطی است که در آن رخ می دهد.

4.4. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. در هر مورد خاص، یکی از مقادیر میانگین استفاده می شود: حساب، گارمونیک، هندسی، درجه دوم، مکعبیو غیره. میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند آرام بخشمیانگین.

علاوه بر میانگین های توان، از میانگین های ساختاری در عمل آماری استفاده می شود که حالت و میانه در نظر گرفته می شود.

اجازه دهید با جزئیات بیشتری در مورد میانگین توان صحبت کنیم.

میانگین حسابی

رایج ترین نوع میانگین است میانگین حسابیدر مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای فردی آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (خلاصه) حجم یک مشخصه متفاوت مشخص می شوند؛ این دامنه کاربرد میانگین حسابی را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد، به عنوان مثال: صندوق دستمزد کل مجموع دستمزدها است. همه کارگران، برداشت ناخالص مجموع محصولات تولید شده از کل فصل کاشت است.

برای محاسبه میانگین حسابی، باید مجموع تمام مقادیر ویژگی ها را بر تعداد آنها تقسیم کنید.

از میانگین حسابی در فرم استفاده می شود میانگین ساده و میانگین وزنیشکل اولیه و تعیین کننده میانگین ساده است.

میانگین حسابی سادهبرابر با مجموع ساده مقادیر فردی مشخصه که به طور متوسط ​​​​تقسیم می شود، تقسیم بر تعداد کل این مقادیر (در مواردی که مقادیر فردی مشخصه گروه بندی نشده وجود دارد استفاده می شود):

جایی که
- مقادیر فردی متغیر (انواع)؛ متر - تعداد واحدهای جمعیت.

علاوه بر این، محدودیت های جمع در فرمول ها نشان داده نخواهد شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین خروجی یک کارگر (مکانیک) را بیابید اگر بدانید هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، یعنی. تعدادی از مقادیر فردی مشخصه داده شده است، قطعات:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

میانگین حسابی ساده با استفاده از فرمول (4.1)، 1 عدد محاسبه می شود:

میانگین گزینه هایی که چند بار تکرار می شوند یا به قول خودشان وزن های متفاوتی دارند نامیده می شود وزن داروزن ها تعداد واحدها در گروه های مختلف جمعیت است (گزینه های یکسان در یک گروه ترکیب می شوند).

میانگین وزنی حسابی- میانگین مقادیر گروه بندی شده، - با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

, (4.2)

جایی که
- وزن (تکرار تکرار علائم یکسان)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها و فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

ما تکنیک محاسبه میانگین وزنی حسابی را با استفاده از مثالی که در بالا توضیح داده شد، نشان می‌دهیم. برای انجام این کار، داده های منبع را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم. 4.1.

جدول 4.1

توزیع نیروی کار برای تولید قطعات

با توجه به فرمول (4.2)، میانگین حسابی وزنی برابر است با عدد:

در برخی موارد، وزن ها ممکن است نه به عنوان مقادیر مطلق، بلکه به صورت نسبی (در درصد یا کسری از یک واحد) ارائه شوند. سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که
- خاص بودن، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل همه

اگر فرکانس ها به صورت کسری (ضرایب) شمارش شوند، پس
= 1، و فرمول میانگین موزون حسابی به شکل زیر است:

محاسبه میانگین حسابی وزنی از میانگین گروهی طبق فرمول انجام می شود:

,

جایی که f-تعداد واحدها در هر گروه

نتایج حاصل از محاسبه میانگین حسابی از میانگین گروه در جدول ارائه شده است. 4.2.

جدول 4.2

توزیع کارگران بر اساس میانگین طول خدمت

در این مثال، گزینه ها داده های فردی در مورد طول خدمت تک تک کارگران نیستند، بلکه میانگین برای هر کارگاه است. ترازو fتعداد کارگران در مغازه ها هستند. بنابراین، میانگین تجربه کاری کارگران در سراسر شرکت، سال‌ها خواهد بود:

.

محاسبه میانگین حسابی در سری های توزیع

اگر مقادیر مشخصه در حال میانگین به صورت فواصل ("از - تا") مشخص شود، به عنوان مثال. سری های فاصله ای توزیع ها، سپس هنگام محاسبه میانگین حسابی، نقاط میانی این بازه ها به عنوان مقادیر مشخصه ها در گروه ها در نظر گرفته می شود و در نتیجه یک سری گسسته تشکیل می شود. مثال زیر را در نظر بگیرید (جدول 4.3).

بیایید از یک سری بازه ای به یک سری گسسته با جایگزین کردن مقادیر بازه ای با مقادیر میانگین آنها حرکت کنیم/(میانگین ساده

جدول 4.3

توزیع کارگران JSC بر اساس سطح دستمزد ماهانه

گروه های کارگری	تعداد کارگران	وسط فاصله
دستمزد، مالش.	مردم، f	مالش.، ایکس
900 یا بیشتر

مقادیر بازه های باز (اول و آخرین) به طور مشروط با فواصل مجاور آنها (دوم و ماقبل آخر) برابر است.

با این محاسبه میانگین، مقداری عدم دقت مجاز است، زیرا فرضی در مورد توزیع یکنواخت واحدهای مشخصه در گروه وجود دارد. با این حال، هرچه بازه باریکتر و واحدهای بازه بیشتر باشد، خطا کمتر است.

پس از یافتن نقاط میانی فواصل، محاسبات به همان روشی که در یک سری گسسته انجام می شود انجام می شود - گزینه ها در فرکانس ها (وزن ها) ضرب می شوند و مجموع محصولات بر مجموع فرکانس ها (وزن ها) تقسیم می شود. ، هزار روبل:

.

بنابراین، سطح متوسطدستمزد کارگران JSC 729 روبل است. هر ماه.

محاسبه میانگین حسابی اغلب مستلزم زمان و کار زیادی است. با این حال، در تعدادی از موارد، روش محاسبه میانگین را می توان در صورت استفاده از ویژگی های آن ساده و تسهیل کرد. اجازه دهید (بدون اثبات) برخی از خصوصیات اساسی میانگین حسابی را ارائه کنیم.

ملک 1. اگر تمام مقادیر فردی یک مشخصه (به عنوان مثال. همه گزینه ها) کاهش یا افزایش در منبار، سپس مقدار متوسط مشخصه جدید به ترتیب کاهش یا افزایش خواهد یافت منیک بار.

ملک 2. اگر همه گونه های مشخصه ای که به طور میانگین می شود کاهش یابدبا عدد A بدوزید یا افزایش دهید، سپس میانگین حسابی مطابقت دارددر واقع به همان عدد A کاهش یا افزایش خواهد یافت.

ملک 3. اگر وزن تمام گزینه های میانگین کاهش یابد یا افزایش یابد به بار، آنگاه میانگین حسابی تغییر نخواهد کرد.

به‌عنوان وزن‌های متوسط، به‌جای شاخص‌های مطلق، می‌توانید از وزن‌های خاص در کل کل (سهم یا درصد) استفاده کنید. این محاسبات میانگین را ساده می کند.

برای ساده کردن محاسبات میانگین، مسیر کاهش مقادیر گزینه ها و فرکانس ها را دنبال می کنند. بزرگترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که، به عنوان آمقدار یکی از گزینه های مرکزی که بالاترین فرکانس را دارد، به عنوان / - مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل مساوی) انتخاب می شود. کمیت A را نقطه مرجع می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین را "روش شمارش از صفر شرطی" یا "در راه لحظه ها."

بیایید همه گزینه ها را فرض کنیم ایکسابتدا با همان عدد A کاهش یافت و سپس کاهش یافت منیک بار. ما یک سری متغیر جدید از توزیع گزینه های جدید به دست می آوریم .

سپس گزینه های جدیدبیان خواهد شد:

,

و میانگین حسابی جدید آنها , -لحظه اول سفارش-فرمول:

.

برابر است با میانگین گزینه های اصلی که ابتدا کاهش می یابد آ،و سپس در منیک بار.

برای به دست آوردن میانگین واقعی، یک لحظه مرتبه اول مورد نیاز است متر 1 ، ضربدر منو اضافه کنید آ:

.

این روش محاسبه میانگین حسابی از یک سری تغییرات نامیده می شود "در راه لحظه ها."این روش در ردیف ها با فواصل مساوی استفاده می شود.

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 4.4.

جدول 4.4

توزیع شرکت های کوچک در منطقه بر اساس ارزش دارایی های تولید ثابت (FPF) در سال 2000.

گروه های شرکت بر اساس ارزش OPF، هزار روبل.	تعداد شرکت ها f	نقاط میانی فواصل ایکس
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

پیدا کردن اولین لحظه سفارش

.

سپس، A = 19 را بگیرید و آن را بدانید من= 2، محاسبه کنید ایکس،هزار روبل.:

انواع مقادیر متوسط ​​و روش های محاسبه آنها

در مرحله پردازش آماری می توان انواع مسائل تحقیقی را تنظیم کرد که برای حل آنها باید میانگین مناسب انتخاب شود. در این مورد، لازم است با قانون زیر هدایت شود: کمیت هایی که صورت و مخرج میانگین را نشان می دهند باید از نظر منطقی با یکدیگر مرتبط باشند.

• میانگین های توان;
• میانگین های ساختاری.

بیایید موارد زیر را معرفی کنیم نمادها:

مقادیری که میانگین برای آنها محاسبه می شود.

میانگین، جایی که نوار بالا نشان می دهد که میانگین گیری مقادیر فردی انجام می شود.

فرکانس (تکرارپذیری مقادیر مشخصه فردی).

میانگین های مختلف از فرمول کلیمیانگین توان:

(5.1)

وقتی k = 1 - میانگین حسابی؛ k = -1 - میانگین هارمونیک. k = 0 - میانگین هندسی. k = -2 - ریشه میانگین مربع.

مقادیر متوسط ​​می توانند ساده یا وزن دار باشند. میانگین های موزوناینها مقادیری هستند که در نظر می گیرند که برخی از انواع مقادیر ویژگی ممکن است اعداد مختلفی داشته باشند و بنابراین هر گزینه باید در این عدد ضرب شود. به عبارت دیگر، «مقیاس» تعداد واحدهای کل در گروه‌های مختلف است، یعنی. هر گزینه با فرکانس خود "وزن" می شود. فرکانس f نامیده می شود وزن آمارییا وزن متوسط.

میانگین حسابی- رایج ترین نوع میانگین. زمانی استفاده می‌شود که محاسبه بر روی داده‌های آماری گروه‌بندی‌نشده انجام می‌شود، جایی که باید میانگین ترم را بدست آورید. میانگین حسابی مقدار متوسط ​​یک مشخصه است که با به دست آوردن آن حجم کل مشخصه در مجموع بدون تغییر باقی می ماند.

فرمول میانگین حسابی ( ساده) دارای فرم است

که در آن n اندازه جمعیت است.

به عنوان مثال، متوسط ​​حقوق کارکنان یک شرکت به عنوان میانگین حسابی محاسبه می شود:

شاخص های تعیین کننده در اینجا حقوق هر کارمند و تعداد کارکنان شرکت است. هنگام محاسبه میانگین، مقدار کل دستمزد ثابت باقی ماند، اما به طور مساوی بین همه کارکنان توزیع شد. به عنوان مثال، شما باید میانگین حقوق کارگران یک شرکت کوچک با استخدام 8 نفر را محاسبه کنید:

هنگام محاسبه مقادیر میانگین، مقادیر جداگانه مشخصه ای که به طور میانگین می شود را می توان تکرار کرد، بنابراین محاسبه اندازه متوسطبا استفاده از داده های گروه بندی شده تولید شده است. در این مورد ما در مورددر مورد استفاده میانگین وزنی حسابی، که دارای فرم است

(5.3)

بنابراین، باید میانگین قیمت سهام یک شرکت سهامی را در معاملات بورس محاسبه کنیم. مشخص است که معاملات طی 5 روز (5 نوبت معاملاتی) انجام شده است، تعداد سهام فروخته شده به نرخ فروش به شرح زیر توزیع شده است:

1 - 800 ak. - 1010 روبل.

2 - 650 ak. - 990 روبل.

3 - 700 ak. - 1015 روبل.

4 - 550 ak. - 900 روبل.

5 - 850 ak. - 1150 روبل.

نسبت اولیه برای تعیین میانگین قیمت سهام، نسبت کل مبلغ معاملات (TVA) به تعداد سهام فروخته شده (KPA) است.

حالا بیایید در مورد صحبت کنیم نحوه محاسبه میانگین.
ظاهر کلاسیک نظریه عمومیآمار یک نسخه از قوانین را برای انتخاب مقدار متوسط ​​به ما ارائه می دهد.
ابتدا باید فرمول منطقی درستی برای محاسبه مقدار متوسط ​​(AFV) ایجاد کنید. برای هر مقدار متوسط ​​همیشه فقط یک فرمول منطقی برای محاسبه آن وجود دارد، بنابراین اشتباه کردن در اینجا دشوار است. اما همیشه باید به یاد داشته باشیم که در صورت (این همان چیزی است که در بالای کسر است) مجموع همه پدیده ها و در مخرج (آنچه در پایین کسر است) تعداد کل عناصر.

پس از تدوین فرمول منطقی، می توانید از قوانین استفاده کنید (برای سهولت درک، آنها را ساده و کوتاه می کنیم):
1. اگر داده منبع (تعیین شده توسط فرکانس) حاوی مخرج یک فرمول منطقی باشد، محاسبه با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی انجام می شود.
2. اگر در داده های منبع، شمارش فرمول منطقی ارائه شود، محاسبه با استفاده از فرمول میانگین هارمونیک وزنی انجام می شود.
3. اگر مشکل هم صورت و هم مخرج یک فرمول منطقی را ارائه دهد (این به ندرت اتفاق می افتد)، محاسبه را با استفاده از این فرمول یا فرمول میانگین حسابی ساده انجام می دهیم.
این ایده کلاسیک انتخاب فرمول مناسب برای محاسبه میانگین است. در مرحله بعد، دنباله ای از اقدامات را هنگام حل مسائل برای محاسبه مقدار متوسط ​​ارائه می دهیم.

الگوریتم حل مسائل محاسبه مقدار متوسط

الف. روش محاسبه مقدار متوسط ​​را تعیین کنید - ساده یا وزن دار . اگر داده ها در یک جدول ارائه شوند، از روش وزنی استفاده می کنیم، اگر داده ها با یک شمارش ساده ارائه شوند، از روش محاسبه ساده استفاده می کنیم.

ب. ما نمادها را تعریف یا ترتیب می دهیم - ایکس - گزینه، f - فرکانس . گزینه این است که برای کدام پدیده می خواهید مقدار متوسط ​​را پیدا کنید. داده های باقی مانده در جدول فرکانس خواهد بود.

ب. فرمی را برای محاسبه مقدار متوسط ​​تعیین می کنیم - حسابی یا هارمونیک . تعیین با استفاده از ستون فرکانس انجام می شود. اگر فرکانس ها با یک کمیت صریح مشخص شده باشند، از شکل حسابی استفاده می شود (به طور مشروط، می توانید قطعات کلمه، تعداد عناصر "تکه ها" را جایگزین کنید). فرم هارمونیک در صورتی استفاده می شود که فرکانس ها نه با یک کمیت صریح، بلکه توسط یک نشانگر پیچیده (محصول مقدار و فرکانس متوسط) مشخص شوند.

سخت ترین چیز این است که حدس بزنیم که کجا و چه مقداری داده می شود، به خصوص برای دانش آموزی که در چنین مسائلی بی تجربه است. در چنین شرایطی می توانید از یکی از روش های زیر استفاده کنید. برای برخی از وظایف (اقتصادی)، بیانیه ای که طی سالها تمرین ایجاد شده است مناسب است (نقطه B.1). در شرایط دیگر، باید از نقطه B.2 استفاده کنید.

B.1 اگر فرکانس به واحد پولی (به روبل) داده شود، سپس از میانگین هارمونیک برای محاسبه استفاده می شود، این عبارت همیشه درست است، اگر فرکانس شناسایی شده به پول داده شود، در شرایط دیگر این قانون اعمال نمی شود.

ب.2 از قوانینی برای انتخاب مقدار متوسط ​​که در بالا در این مقاله نشان داده شده است استفاده کنید. اگر فرکانس با مخرج فرمول منطقی برای محاسبه مقدار میانگین داده شود، با استفاده از شکل میانگین حسابی محاسبه می شود، اگر فرکانس با صورت حساب فرمول منطقی برای محاسبه مقدار میانگین داده شود، با استفاده از محاسبه می کنیم. فرم متوسط ​​هارمونیک

بیایید نمونه هایی از استفاده از این الگوریتم را بررسی کنیم.

از آنجایی که داده ها در یک خط ارائه می شوند، از یک روش محاسبه ساده استفاده می کنیم.

B.V. ما فقط اطلاعاتی در مورد میزان حقوق بازنشستگی داریم و آنها گزینه ما خواهند بود - x. داده ها به صورت یک عدد ساده (12 نفر) ارائه شده است، برای محاسبه از میانگین حسابی ساده استفاده می کنیم.

میانگین مستمری بازنشستگان 9208.3 روبل است.

ب. از آنجایی که باید پیدا کنیم اندازه متوسطپرداخت به ازای هر فرزند، سپس گزینه ها در ستون اول هستند، نام x را در آنجا قرار دهید، ستون دوم به طور خودکار به فرکانس f تبدیل می شود.

ب. فراوانی (تعداد فرزندان) با کمیت صریح داده می شود (شما می توانید کلمه تکه های کودکان را جایگزین کنید، از نظر زبان روسی این یک عبارت نادرست است، اما در واقع، بسیار راحت است. چک)، به این معنی که از میانگین حسابی وزنی برای محاسبه استفاده می شود.

همین مشکل را نه با روش فرمولی، بلکه با روش جدولی می توان حل کرد، یعنی وارد کردن تمام داده های محاسبات میانی در یک جدول.

در نتیجه، تمام کاری که اکنون باید انجام شود این است که دو مجموع را به ترتیب صحیح جدا کنیم.

متوسط ​​پرداخت به ازای هر کودک در ماه 1910 روبل بود.

الف. از آنجایی که داده ها در جدول ارائه شده اند، از یک فرم وزنی برای محاسبه استفاده می کنیم.

ب- فرکانس (هزینه تولید) توسط یک کمیت ضمنی داده می شود (فرکانس در داده شده است روبل نقطه الگوریتم B1) یعنی میانگین وزنی هارمونیک برای محاسبه استفاده می شود. به طور کلی، در اصل، هزینه تولید یک شاخص پیچیده است که از ضرب بهای تمام شده یک واحد محصول در تعداد چنین محصولاتی به دست می آید، این جوهره مقدار میانگین هارمونیک است.

برای اینکه این مشکل با استفاده از فرمول میانگین حسابی حل شود، لازم است به جای هزینه تولید، تعداد محصولات با هزینه مربوطه وجود داشته باشد.

لطفا توجه داشته باشید که مجموع در مخرج به دست آمده پس از محاسبات 410 (120+80+210) است که این تعداد کل محصولات تولید شده است.

میانگین هزینه هر واحد محصول 314.4 روبل بود.

الف. از آنجایی که داده ها در جدول ارائه شده اند، از یک فرم وزنی برای محاسبه استفاده می کنیم.

ب. از آنجایی که باید میانگین هزینه هر واحد محصول را پیدا کنیم، گزینه ها در ستون اول هستند، علامت x را در آنجا قرار می دهیم، ستون دوم به طور خودکار به فرکانس f تبدیل می شود.

ب- فراوانی (تعداد کل غیبت ها) با یک کمیت ضمنی (این حاصل ضرب دو شاخص تعداد غیبت ها و تعداد دانش آموزان با آن تعداد غیبت است) به دست می آید که به این معنی است که از میانگین هارمونیک وزنی استفاده می شود. برای محاسبه از نقطه الگوریتم B2 استفاده خواهیم کرد.

برای اینکه این مشکل با استفاده از فرمول میانگین حسابی حل شود، لازم است به جای تعداد کل غیبت ها، تعداد دانش آموزان وجود داشته باشد.

ما یک فرمول منطقی برای محاسبه میانگین تعداد غیبت هر دانش آموز ایجاد می کنیم.

فرکانس بر اساس شرایط کار تعداد کل حذفیات. در فرمول منطقی این نشانگر در صورتگر است یعنی از فرمول میانگین هارمونیک استفاده می کنیم.

لطفاً توجه داشته باشید که مجموع مخرج حاصل از محاسبات 31 (18+8+5) تعداد کل دانش آموزان است.

میانگین تعداد غیبت هر دانش آموز 13.8 روز است.

فرض کنید باید میانگین تعداد روزهای تکمیل وظایف توسط کارمندان مختلف را پیدا کنید. یا می خواهید فاصله زمانی 10 سال را محاسبه کنید میانگین دمای یک روز خاص. محاسبه میانگین یک سری اعداد به چند روش.

میانگین تابعی از اندازه گیری گرایش مرکزی است که مرکز یک سری اعداد در یک توزیع آماری در آن قرار دارد. سه معیار رایج ترین گرایش مرکزی هستند.

میانگینمیانگین حسابی با جمع کردن یک سری اعداد و سپس تقسیم تعداد آن اعداد محاسبه می شود. به عنوان مثال، میانگین 2، 3، 3، 5، 7 و 10 برابر 30 تقسیم بر 6.5 است.

میانهمیانگین تعداد یک سری اعداد. نیمی از اعداد دارای مقادیری بزرگتر از میانه و نیمی از اعداد دارای مقادیر کمتر از میانه هستند. به عنوان مثال، میانه 2، 3، 3، 5، 7 و 10 4 است.

حالترایج ترین عدد در یک گروه اعداد. به عنوان مثال، حالت 2، 3، 3، 5، 7 و 10 - 3.

این سه معیار گرایش مرکزی، یعنی توزیع متقارن یک سری اعداد، یکسان هستند. در توزیع نامتقارن تعدادی از اعداد، آنها می توانند متفاوت باشند.

میانگین سلول هایی که در یک سطر یا ستون به هم پیوسته اند را محاسبه کنید

این مراحل را دنبال کنید:

محاسبه میانگین سلول های تصادفی

برای انجام این کار، از تابع استفاده کنید میانگین. جدول زیر را روی یک کاغذ خالی کپی کنید.

محاسبه میانگین موزون

SUMPRODUCTو مقادیر. v این مثال میانگین قیمت واحد پرداخت شده در سه خرید را محاسبه می‌کند، که در آن هر خرید برای تعداد واحدهای متفاوت با قیمت‌های واحد متفاوت است.

جدول زیر را روی یک کاغذ خالی کپی کنید.

محاسبه میانگین اعداد بدون احتساب مقادیر صفر

برای انجام این کار، از توابع استفاده کنید میانگینو اگر. جدول زیر را کپی کنید و به خاطر داشته باشید که در این مثال، برای سهولت درک آن، آن را روی یک صفحه کاغذ خالی کپی کنید.

میانگین حسابی یک شاخص آماری است که میانگین مقدار یک آرایه داده معین را نشان می دهد. این اندیکاتور به صورت کسری محاسبه می شود که صورت آن مجموع همه مقادیر موجود در آرایه است و مخرج تعداد آنهاست. میانگین حسابی ضریب مهمی است که در محاسبات روزمره استفاده می شود.

معنی ضریب

میانگین حسابی یک شاخص ابتدایی برای مقایسه داده ها و محاسبه مقدار قابل قبول است. به عنوان مثال، فروشگاه های مختلف یک قوطی آبجو از یک سازنده خاص را می فروشند. اما در یک فروشگاه 67 روبل، در فروشگاه دیگر - 70 روبل، در یک سوم - 65 روبل، و در آخرین - 62 روبل هزینه دارد. قیمت ها بسیار گسترده است، بنابراین خریدار به میانگین هزینه قوطی علاقه مند می شود تا در هنگام خرید یک محصول بتواند هزینه های خود را با هم مقایسه کند. میانگین قیمت یک قوطی آبجو در شهر عبارت است از:

قیمت متوسط ​​= (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 روبل.

با دانستن میانگین قیمت، به راحتی می توان تعیین کرد که کجا خرید یک محصول سودآور است و کجا باید اضافه پرداخت کنید.

میانگین حسابی به طور مداوم در محاسبات آماری در مواردی که مجموعه ای همگن از داده ها تجزیه و تحلیل می شود استفاده می شود. در مثال بالا، این قیمت یک قوطی آبجو با همان مارک است. با این حال، ما نمی توانیم قیمت آبجو از تولید کنندگان مختلف یا قیمت آبجو و لیموناد را مقایسه کنیم، زیرا در این صورت گسترش ارزش ها بیشتر خواهد شد، میانگین قیمت مبهم و غیر قابل اعتماد خواهد بود و معنای واقعی محاسبات تا حد کاریکاتور تحریف خواهد شد." دمای میانگیناطراف بیمارستان." برای محاسبه مجموعه داده های ناهمگن، زمانی که هر مقدار ضریب وزنی خود را دریافت می کند، از میانگین حسابی وزنی استفاده می شود.

محاسبه میانگین حسابی

فرمول محاسبات بسیار ساده است:

P = (a1 + a2 + … an) / n،

که در آن an مقدار کمیت است، n تعداد کل مقادیر است.

این شاخص برای چه مواردی می تواند استفاده شود؟ اولین و آشکار استفاده از آن در آمار است. تقریباً در هر مطالعه آماری از میانگین حسابی استفاده می شود. میتوانست باشد میانگین سنازدواج در روسیه، میانگین نمره در یک درس برای یک دانش آموز، یا متوسط ​​هزینه برای خرید مواد غذایی در روز. همانطور که در بالا ذکر شد، بدون در نظر گرفتن وزن ها، محاسبه میانگین ها می تواند مقادیر عجیب و غریب یا پوچ تولید کند.

مثلا رئیس جمهور فدراسیون روسیهاظهار داشت که طبق آمار، متوسط ​​حقوق یک روسی 27000 روبل است. برای اکثر ساکنان روسیه، این سطح از حقوق پوچ به نظر می رسید. تعجب آور نیست اگر هنگام محاسبه درآمد الیگارشی ها، روسای بنگاه های صنعتی، بانکداران بزرگ از یک سو و حقوق معلمان، نظافتچی ها و فروشندگان از سوی دیگر را در نظر بگیریم. حتی میانگین حقوق در یک تخصص، به عنوان مثال، حسابدار، تفاوت های جدی در مسکو، کوستروما و یکاترینبورگ خواهد داشت.

نحوه محاسبه میانگین برای داده های ناهمگن

در موقعیت های حقوق و دستمزد، در نظر گرفتن وزن هر ارزش مهم است. این بدان معناست که حقوق الیگارشی ها و بانکداران وزنی معادل 0.00001 و حقوق فروشندگان 0.12 دریافت می کند. اینها اعداد غیرمعمول هستند، اما تقریباً شیوع الیگارشی ها و فروشندگان در جامعه روسیه را نشان می دهند.

بنابراین، برای محاسبه میانگین میانگین ها یا مقادیر متوسط ​​در یک مجموعه داده ناهمگن، باید از میانگین موزون حسابی استفاده شود. در غیر این صورت، میانگین حقوق در روسیه 27000 روبل دریافت خواهید کرد. اگر می خواهید خودتان را بشناسید امتیاز متوسطدر ریاضیات یا میانگین تعداد گل های زده شده توسط بازیکن هاکی منتخب، ماشین حساب میانگین حسابی برای شما مناسب است.

برنامه ما یک ماشین حساب ساده و راحت برای محاسبه میانگین حسابی است. برای انجام محاسبات، فقط باید مقادیر پارامتر را وارد کنید.

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم

محاسبه میانگین امتیاز

بسیاری از معلمان از روش میانگین حسابی برای تعیین نمره سالانه یک موضوع استفاده می کنند. بیایید تصور کنیم که کودک نمرات یک چهارم زیر را در ریاضیات دریافت کرده است: 3، 3، 5، 4. معلم چه نمره سالانه ای به او می دهد؟ بیایید از ماشین حساب استفاده کنیم و میانگین حسابی را محاسبه کنیم. برای شروع، تعداد مناسب فیلدها را انتخاب کنید و مقادیر رتبه‌بندی را در سلول‌های ظاهر شده وارد کنید:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

معلم مقدار را به نفع دانش آموز گرد می کند و دانش آموز یک B ثابت برای سال دریافت می کند.

محاسبه آب نبات های خورده شده

بیایید برخی از پوچ بودن میانگین حسابی را نشان دهیم. بیایید تصور کنیم که ماشا و ووا 10 آب نبات داشتند. ماشا 8 آب نبات خورد و ووا فقط 2. هر کودک به طور متوسط ​​چند آبنبات خورد؟ با استفاده از ماشین حساب می توان به راحتی محاسبه کرد که کودکان به طور متوسط ​​5 آب نبات خورده اند که کاملاً نادرست است و حس مشترک. این مثال نشان می دهد که میانگین حسابی برای مجموعه داده های معنی دار مهم است.

نتیجه

محاسبه میانگین حسابی به طور گسترده در بسیاری از زمینه های علمی استفاده می شود. این شاخص نه تنها در محاسبات آماری، بلکه در فیزیک، مکانیک، اقتصاد، پزشکی یا امور مالی نیز محبوب است. از ماشین حساب ما به عنوان دستیار برای حل مسائل مربوط به محاسبه میانگین حسابی استفاده کنید.

بیشتر از همه در معادله در عمل باید از میانگین حسابی استفاده کنیم که به عنوان میانگین حسابی ساده و وزنی قابل محاسبه است.

میانگین حسابی (SA)-nرایج ترین نوع میانگین. در مواردی استفاده می شود که حجم یک مشخصه متغیر برای کل جمعیت، مجموع مقادیر ویژگی های واحدهای فردی آن باشد. پدیده های اجتماعی با افزایش (کلیت) حجم یک ویژگی متفاوت مشخص می شوند؛ این دامنه کاربرد SA را تعیین می کند و شیوع آن را به عنوان یک شاخص کلی توضیح می دهد. به عنوان مثال: صندوق حقوق عمومی مجموع حقوق همه کارکنان است.

برای محاسبه SA، باید مجموع همه مقادیر ویژگی را بر تعداد آنها تقسیم کنید. SA به 2 شکل استفاده می شود.

اجازه دهید ابتدا یک میانگین حسابی ساده را در نظر بگیریم.

1-CA ساده (شکل اولیه و تعریف کننده) برابر است با مجموع ساده مقادیر فردی مشخصه که به طور میانگین تقسیم می شود، تقسیم بر تعداد کل این مقادیر (در صورت وجود مقادیر شاخص گروه بندی نشده مشخصه استفاده می شود):

محاسبات انجام شده را می توان به فرمول زیر تعمیم داد:

(1)

جایی که - مقدار متوسط ​​مشخصه متغیر، یعنی میانگین حسابی ساده؛

به معنای جمع، یعنی افزودن ویژگی های فردی؛

ایکس- مقادیر فردی یک ویژگی متفاوت که به آنها انواع می گویند.

n - تعداد واحدهای جمعیت

مثال 1،باید میانگین خروجی یک کارگر (مکانیک) را پیدا کرد، اگر مشخص باشد که هر 15 کارگر چند قطعه تولید کرده است، یعنی. با توجه به یک سری از ind. مقادیر ویژگی، عدد: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

SA ساده با استفاده از فرمول (1)، عدد محاسبه می شود:

مثال 2. بیایید SA را بر اساس داده های مشروط برای 20 فروشگاه موجود در شرکت تجاری محاسبه کنیم (جدول 1). میز 1

توزیع فروشگاه های شرکت بازرگانی "وسنا" به تفکیک محدوده فروش، مربع م

فروشگاه شماره		فروشگاه شماره

برای محاسبه میانگین مساحت فروشگاه ( ) لازم است مساحت همه فروشگاه ها را جمع کنید و نتیجه حاصل را بر تعداد فروشگاه ها تقسیم کنید:

بنابراین، میانگین مساحت فروشگاه برای این گروه از شرکت های خرده فروشی 71 متر مربع است.

بنابراین، برای تعیین یک SA ساده، باید مجموع تمام مقادیر یک ویژگی معین را بر تعداد واحدهای دارای این ویژگی تقسیم کنید.

2

جایی که f 1 , f 2 , … ,f n – وزن (تکرار تکرار علائم یکسان)؛

- مجموع حاصل از بزرگی ویژگی ها و فراوانی آنها.

- تعداد کل واحدهای جمعیتی

- SA وزن شده است - باوسط گزینه هایی که چند بار تکرار می شوند یا به قول خودشان وزن های متفاوتی دارند. وزن ها تعداد واحدها در گروه های مختلف جمعیت است (گزینه های یکسان در یک گروه ترکیب می شوند). SA وزن شده است – میانگین مقادیر گروه بندی شده ایکس 1 , ایکس 2 , .., ایکس n – محاسبه شد: (2)

جایی که ایکس- گزینه ها؛

f- فرکانس (وزن).

SA وزن دار ضریب تقسیم مجموع محصولات گزینه ها و فرکانس های مربوط به آنها بر مجموع همه فرکانس ها است. فرکانس ها ( f) ظاهر شده در فرمول SA معمولا نامیده می شوند ترازو، در نتیجه SA محاسبه شده با در نظر گرفتن وزن ها وزن دار نامیده می شود.

روش محاسبه SA وزنی را با استفاده از مثال 1 که در بالا توضیح داده شد نشان خواهیم داد.برای این کار، داده های اولیه را گروه بندی کرده و در جدول قرار می دهیم.

میانگین داده های گروه بندی شده به صورت زیر تعیین می شود: ابتدا گزینه ها در فرکانس ها ضرب می شوند، سپس محصولات جمع می شوند و مجموع حاصل بر مجموع فرکانس ها تقسیم می شود.

طبق فرمول (2)، SA وزن دار برابر است، عدد:

توزیع نیروی کار برای تولید قطعات

پ

داده های ارائه شده در مثال قبلی 2 را می توان در گروه های همگن ترکیب کرد که در جدول ارائه شده است. جدول

توزیع فروشگاه های وسنا بر اساس منطقه فروش، مربع متر

بنابراین، نتیجه یکسان شد. با این حال، این در حال حاضر یک مقدار میانگین حسابی وزنی خواهد بود.

در مثال قبل میانگین حسابی را به شرط مشخص بودن فرکانس های مطلق (تعداد ذخیره ها) محاسبه کردیم. با این حال، در تعدادی از موارد، فرکانس های مطلق وجود ندارند، اما فرکانس های نسبی شناخته شده هستند، یا، به طور معمول، فرکانس هایی که نسبت یانسبت فرکانس ها در کل مجموعه

هنگام محاسبه استفاده وزنی SA فرکانس هاهنگامی که فرکانس در اعداد بزرگ و چند رقمی بیان می شود، به شما امکان می دهد محاسبات را ساده کنید. محاسبه به همین ترتیب انجام می شود ، اما از آنجایی که معلوم می شود مقدار متوسط ​​100 برابر افزایش می یابد ، نتیجه باید بر 100 تقسیم شود.

سپس فرمول میانگین وزنی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

جایی که د- فرکانس، یعنی سهم هر فرکانس در مجموع کل فرکانس ها.

(3)

در مثال 2 ما ابتدا سهم فروشگاه ها را به گروه از تعداد کل فروشگاه های شرکت وسنا تعیین می کنیم. بنابراین، برای گروه اول وزن مخصوص برابر با 10٪ است.
. ما داده های زیر را دریافت می کنیم جدول 3