入り口分数を式に変換する方法の例。 要約: 表現の同一の変換と、それを実行する方法を生徒に教える方法
式の変換。 詳細な理論 (2019)
式の変換
「表現を簡素化せよ」という不快なフレーズをよく耳にします。 通常、私たちは次のようなモンスターを目にします。
「それはずっと簡単です」と私たちは言いますが、そのような答えは通常は機能しません。
これからは、そのような仕事を恐れないように教えます。 さらに、レッスンの最後には、あなた自身がこの例を（単なる！）普通の数字に単純化します（そうです、これらの文字はひどいものです）。
ただし、このレッスンを始める前に、分数と因数分解多項式を処理できるようにする必要があります。 したがって、これまでやったことがない場合は、まず「」と「」のトピックを必ずマスターしてください。
読んだことがありますか？ 「はい」の場合、準備は完了です。
基本的な単純化操作
次に、式を簡略化するために使用される基本的なテクニックを見てみましょう。
最も単純なものは
1. 類似のものを持ち込む
似ているものは何ですか? あなたはこれを 7 年生で受けました。このとき、数学で数字の代わりに文字が初めて登場しました。 似ているのは、文字部分が同じ項（単項式）です。 たとえば、合計では、同様の用語は and になります。
覚えていますか？
「類似する」とは、いくつかの類似した用語を追加して 1 つの用語を取得することを意味します。
どのように文字を組み合わせることができますか? - あなたが尋ねる。
これは、文字が何らかの物体であると想像すると非常に理解しやすいです。 たとえば、手紙は椅子です。 それでは、式は何に等しいでしょうか？ 椅子２脚と椅子３脚、何脚になりますか？ そうです、椅子: 。
次に、次の式を試してみましょう。
混乱を避けるために、 違う文字さまざまなオブジェクトを表します。 たとえば、 - は (通常どおり) 椅子、 - はテーブルです。 それから：
椅子 テーブル 椅子 テーブル 椅子 椅子 テーブル
このような用語に含まれる文字を掛ける数値は、と呼ばれます。 係数。 たとえば、単項式では係数は等しいです。 そしてその中では平等です。
したがって、類似のものを持ち込むためのルールは次のとおりです。
例:
同様のものをあげてください:
答え:
2. (したがって、これらの用語は同じ文字部分を持っているため、同様です)。
2. 因数分解
通常、これは式を簡略化する上で最も重要な部分です。 同様の式を与えた後、ほとんどの場合、結果の式を因数分解する、つまり積として表す必要があります。 これは分数の場合に特に重要です。分数を約できるようにするには、分子と分母を積として表す必要があります。
式の因数分解の方法については「」のトピックで詳しく説明しましたので、ここでは学んだことを思い出すだけで済みます。 これを行うには、いくつかのことを決めます 例(因数分解する必要があります):
解決策:
3. 分数の約定。
さて、分子と分母の一部を取り消して、それらを人生から放り出すこと以上に楽しいことはあるでしょうか?
それがダウンサイジングの利点です。
それは簡単です：
分子と分母に同じ因数が含まれている場合は、それらを減らす、つまり分数から取り除くことができます。
この規則は、分数の基本的な性質に基づいています。
つまり、リダクション操作の本質は次のとおりです。 分数の分子と分母を同じ数で（または同じ式で）除算します。
分数を減らすには、次のものが必要です。
1) 分子と分母 因数分解する
2) 分子と分母に次の値が含まれる場合 共通因子、取り消し線を引くことができます。
原理は明らかだと思いますか？
一つ注意していただきたいのですが 典型的な間違い契約するとき。 このトピックは単純ですが、多くの人がそれを理解せずに間違ったことをしています。 減らす- これはつまり 分ける分子と分母は同じ数です。
分子または分母が合計の場合、省略形は使用できません。
たとえば、簡素化する必要があります。
こういうことをする人もいますが、これは絶対に間違っています。
別の例: 削減します。
「最も賢い人」はこれを行うでしょう: 。
ここで何が問題なのか教えてください。 - これは乗数であり、減らすことができることを意味します。
しかし、いいえ: - これは分子内の 1 つの項のみの因数ですが、分子自体は全体として因数分解されません。
別の例を次に示します。
この式は因数分解されます。つまり、分子と分母を次のように除算することができます。
すぐに次のように分割できます。
このような間違いを避けるために、式が因数分解されているかどうかを判断する簡単な方法を覚えておいてください。
式の値を計算するときに最後に実行される算術演算は、「マスター」演算です。 つまり、文字の代わりに (任意の) 数値を代入して式の値を計算しようとした場合、最後のアクションが乗算であれば、積が得られます (式は因数分解されます)。 最後のアクションが加算または減算である場合、これは式が因数分解されていない (したがって、約分できない) ことを意味します。
統合するには、いくつかを自分で解決してください 例:
答え:
1. すぐに急いでカットしなければいいのですが? 次のように単位を「減らす」だけではまだ十分ではありませんでした。
最初のステップは因数分解です。
4. 分数の足し算と引き算。 分数を共通の分母に分解します。
通常の分数の加算と減算はよく知られた操作です。共通の分母を探し、各分数に不足している因数を乗算し、分子を加算または減算します。 覚えておきましょう:
答え:
1. 分母と は比較的素です。つまり、共通の因数がありません。 したがって、これらの数値の最小公倍数はその積に等しくなります。 これが共通点になります。
2. ここでの共通点は次のとおりです。
3. まずここから 混合分数それらを間違ったものに変換し、通常のパターンに従います。
たとえば、分数に文字が含まれている場合は、まったく別の問題になります。
簡単なことから始めましょう:
a) 分母に文字が含まれていない
ここでは、すべてが通常の分数の場合と同じです。共通の分母を見つけ、各分数に不足している因数を乗算し、分子を加算または減算します。
ここで、分子に同様のものがあれば与えて、因数分解することができます。
自分で試してみてください:
b) 分母に文字が含まれる
文字を使わずに共通分母を見つける原則を思い出してみましょう。
· まず第一に、共通因数を決定します。
· 次に、すべての共通因子を一度に 1 つずつ書き出します。
· そして、それらに他のすべての非共通因数を乗算します。
分母の共通因数を決定するには、まず分母を素因数に因数分解します。
共通の要素を強調しましょう。
次に、共通因子を一度に 1 つずつ書き出して、それらに非共通因子 (下線のない因子) をすべて加えてみましょう。
これが共通点です。
手紙の話に戻りましょう。 分母はまったく同じ方法で与えられます。
· 分母を因数分解します。
· 共通の (同一の) 要因を決定します。
· すべての共通因子を一度書き出します。
· 他のすべての非共通因数を乗算します。
したがって、順番に:
1) 分母を因数分解します。
2) 共通の (同一の) 要因を決定します。
3) すべての共通因数を一度書き出して、他のすべての (強調されていない) 因数を掛けます。
したがって、ここには共通点があります。 最初の分数には次の値を乗算し、2 番目の分数には次の値を乗算する必要があります。
ちなみに、一つコツがあります。
例えば： 。
分母には同じ因子が見られますが、すべてが次のようになります。 さまざまな指標。 共通点は次のようになります。
程度に
程度に
程度に
程度に。
タスクを複雑にしてみましょう。
分数の分母を同じにする方法は?
分数の基本的な性質を思い出してみましょう。
分数の分子と分母から同じ数を引く (または足す) ことができるとはどこにも記載されていません。 それは真実ではないからです！
自分の目で確認してください。たとえば、任意の分数をとり、分子と分母に数値を加算します (たとえば、 )。 何を学びましたか？
したがって、もう一つの揺るぎないルールは次のとおりです。
分数を公分母に減らすときは、乗算演算のみを使用してください。
しかし、得るために何を掛ける必要があるのでしょうか?
それで乗算します。 そして次のように乗算します。
因数分解できない式を「要素因数」と呼びます。 たとえば、これは基本的な要素です。 - 同じ。 しかし、いいえ、因数分解することができます。
表現についてはどうでしょうか？ 初級ですか？
いいえ、因数分解できるため、次のようになります。
(因数分解についてはトピック「」ですでに読んでいます)。
したがって、文字を使用した式を分解する基本因子は、数値を分解する単純な因子に似ています。 そして私たちはそれらにも同じように対処します。
両方の分母に乗数があることがわかります。 それはある程度の共通点に達します (理由を覚えていますか?)。
この因数は基本的なものであり、共通の因数はありません。つまり、最初の分数には単純にそれを掛ける必要があります。
もう一つの例：
解決：
慌ててこれらの分母を掛ける前に、それらを因数分解する方法を考える必要があります。 両方とも次のことを表します。
素晴らしい！ それから：
もう一つの例：
解決：
いつものように、分母を因数分解してみましょう。 最初の分母では、単純に括弧の外に置きます。 2番目 - 平方の差:
共通因子は存在しないように思えます。 しかし、よく見ると似ています...そしてそれは本当です:
それでは、次のように書きましょう:
つまり、次のようになります。括弧内で項を交換し、同時に分数の前の符号を反対に変更しました。 これは頻繁に行う必要があることに注意してください。
では、共通点を考えてみましょう。
わかった？ 今すぐ確認してみましょう。
独立したソリューションのタスク:
答え:
ここでもう 1 つ覚えておく必要があるのは、立方体の違いです。
2 番目の分数の分母には「和の 2 乗」という式が含まれていないことに注意してください。 和の二乗は次のようになります。
A は、いわゆる和の不完全二乗です。その中の 2 番目の項は、最初と最後の項の積であり、その 2 倍の積ではありません。 和の部分二乗は、立方体の差の拡大における要素の 1 つです。
すでに端数が 3 つある場合はどうすればよいでしょうか?
はい、同じです！ まず最初に確認しましょう 最高額分母の因数は同じでした。
注: 1 つの括弧内の符号を変更すると、分数の前の符号が反対の符号に変わります。 2 番目の括弧内の符号を変更すると、分数の前の符号が再び反対に変わります。 結果として、それ（分数の前の符号）は変化しません。
最初の分母全体を共通の分母に書き出してから、まだ書き込まれていないすべての因数を 2 番目から、次に 3 番目から (さらに分数がある場合は同様に) 加えます。 つまり、次のようになります。
うーん...分数をどうするかは明らかです。 しかし、二人はどうでしょうか？
それは簡単です。分数の加算方法は知っていますよね? したがって、2 を分数にする必要があります。 覚えておいてください: 分数は除算演算です (忘れた場合のために、分子を分母で割ります)。 数値を除算することほど簡単なことはありません。 この場合、数値自体は変わりませんが、分数に変わります。
まさに必要なものです！
5. 分数の掛け算と割り算。
さて、最も難しい部分はもう終わりました。 そして、私たちの前にあるのは最も単純ですが、同時に最も重要なことです。
手順
数式を計算する手順は何ですか? この式の意味を計算して覚えてください。
数えましたか？
うまくいくはずです。
それで、思い出させてください。
最初のステップは次数を計算することです。
2つ目は掛け算と割り算です。 複数の乗算と除算を同時に実行する場合、それらは任意の順序で実行できます。
そして最後に、加算と減算を実行します。 繰り返しますが、順序は任意です。
ただし、括弧内の式は順不同で評価されます。
複数の括弧が互いに乗算または除算される場合は、まず各括弧内の式を計算してから、それらを乗算または除算します。
括弧内にさらに括弧がある場合はどうなるでしょうか? さて、考えてみましょう。括弧内に何らかの式が書かれています。 式を計算するとき、最初に何をすべきでしょうか? そうです、括弧を計算してください。 さて、私たちはそれを理解しました。最初に内側の括弧を計算し、次に他のすべてを計算します。
したがって、上記の式の手順は次のとおりです (現在のアクションは赤で強調表示されています。つまり、現在実行しているアクションです)。
はい、すべて簡単です。
でもこれって文字を使った表現とは違うんですよね？
いいえ、同じです！ の代わりにのみ 算術演算代数的、つまり前のセクションで説明したアクションを実行する必要があります。 同様のものを持ってくる、分数の加算、分数の減算など。 唯一の違いは、多項式の因数分解の動作です (分数を扱うときにこれをよく使用します)。 ほとんどの場合、因数分解するには、I を使用するか、単純に共通因数を括弧の外に置く必要があります。
通常、私たちの目標は式を積または商として表すことです。
例えば：
表現を簡略化してみましょう。
1) まず、括弧内の式を簡略化します。 そこには分数の違いがあり、私たちの目標はそれを積または商として表すことです。 そこで、分数を共通の分母にして次のように加算します。
この式をこれ以上単純化することは不可能です。ここでの要素はすべて基本的なものです (これが何を意味するかまだ覚えていますか?)。
2) 次の結果が得られます:
分数の掛け算: もっと簡単なことはないでしょうか。
3) これで、次のように短縮できます。
OK、もう終わりです。 何も複雑なことはありませんね?
もう一つの例：
表現を簡略化します。
まず、自分で解決してみて、それから解決策を見てください。
まずは行動の順番を決めましょう。 まず、括弧内の分数を加算して、2 つの分数の代わりに 1 つの分数を取得します。 次に、分数の割り算をしてみます。 さて、結果を最後の分数で足してみましょう。 手順に概略的に番号を付けます。
次に、現在のアクションを赤で着色してプロセスを示します。
最後に、役立つヒントを 2 つ紹介します。
1. 類似品がある場合は、直ちにお持ちください。 私たちの国で同様のことが起こった場合は、すぐに取り上げることをお勧めします。
2. 同じことが分数の削減にも当てはまります。削減の機会が現れたらすぐにそれを利用しなければなりません。 例外は、加算または減算する分数です。分母が同じになっている場合は、約分を後で行う必要があります。
以下に、自分で解決する必要のあるタスクをいくつか示します。
そして、最初に約束されたことは次のとおりです。
解決策 (概要):
少なくとも最初の 3 つの例に対処できた場合は、このトピックをマスターしたことになります。
さあ、学習へ！
式の変換。 概要と基本公式
基本的な単純化操作:
- 同様のものを持ち込む: 類似した用語を追加 (削減) するには、それらの係数を追加し、文字部分を割り当てる必要があります。
- 因数分解:共通因数を括弧の外に出す、適用するなど。
- 分数の約定: 分数の分子と分母は、ゼロ以外の同じ数値で乗算または除算できますが、分数の値は変わりません。
1) 分子と分母 因数分解する
2) 分子と分母に共通の因数がある場合は、取り消し線を引くことができます。重要: 減らすことができるのは乗数のみです。
- 分数の加算と減算:
; - 分数の乗算と除算:
;
レッスンの種類: 知識の一般化と体系化のレッスン。
レッスンの目標:
- 9 年生の国家試験に備えて、これまでに習得した知識を応用する能力を向上させます。
- 創造的にタスクを分析し、アプローチする能力を教えます。
- 文化と思考の効率を養うために、 認知的関心数学へ。
- 学生の国家試験の準備を支援します。
- 学生の理論的知識を体系化します。
- 国家試験に備えて、このトピックの実践的な方向性を強化します。
- スキルを構築する 精神労働– 合理的な解決策を模索します。
設備：マルチメディアプロジェクター、ワークシート、時計。
授業計画: 1. 組織化の瞬間。
- 知識を更新しています。
- 理論資料の開発。
- レッスンのまとめ。
- 宿題。
授業中
I. 組織的な瞬間。
１）先生からのご挨拶。
暗号化は、情報を違法なユーザーから保護するために情報を変換 (暗号化) する方法の科学です。 これらの方法の 1 つは「グリッド」と呼ばれます。 これは比較的単純なものの 1 つであり、算数と密接に関係していますが、学校では学習しません。 格子のサンプルがあなたの前にあります。 誰かが使い方を考えてくれるでしょう。
- メッセージの解決策。
「うまくいかないものはすべて、引き寄せられなくなる。」
フランソワ・ララシュフコー。
2) レッスンのテーマ、レッスンの目的、レッスン計画に関するメッセージ。
– プレゼンテーション内のスライド。
II. 知識を更新しています。
1) 口頭での仕事。
1. 数字。 どのような数字を知っていますか?
– 自然数とは、数を数えるときに使用される数値 1、2、3、4... です。
– 整数は数値です…-4、-3、-2、-1、0、1、2…自然数、その反対数、および数値 0。
– 有理数には整数と分数があります
– 無理数 – これらは無限小数の非周期分数です
– 現実 – これらは合理的であり、非合理的です。
2. 表現。 あなたはどんな表現を知っていますか？
– 数値は、算術記号で接続された数値で構成される式です。
– アルファベット – これは、いくつかの変数、数字、およびアクション記号を含む式です。
– 整数は、数値による加算、減算、乗算、除算の演算を使用する数値と変数で構成される式です。
– 小数部分は、変数を使用した式による除算を使用した整数式です。
3. 変身。 変換を実行するときに使用される主なプロパティは何ですか?
– 可換 – 任意の数値 a および b について、次のことが当てはまります: a+b=b+a, ab=va
– 結合 – 任意の数値 a、b、c について、次のことが当てはまります: (a+b)+c=a+(b+c)、(ab)c=a(c)
– 分配的 – 任意の数値 a、b、c について、次のことが当てはまります: a(b+c)=av+ac
4. 以下を実行します。
– 数値を昇順に並べます: 0.0157; 0.105; 0.07
– 数値を降順に並べます: 0.0216; 0.12; 0.016
– 座標線上にマークされた点の 1 つは、数値 v68 に対応します。 これはどういう点でしょうか？
– 数字はどの点に対応しますか?
– 数値 a と b が座標線上にマークされます。 次の記述のうち、正しいものはどれですか?
Ⅲ． 理論資料の開発。
1. ノートブックを使って、ボードで作業します。
各教師はワークシートを持っており、授業中にノートにタスクを書き留めます。 このシートの右の列には授業での課題があり、左の列には宿題があります。
生徒たちは理事会で働くために出てきます。
タスクその1。 この場合、式は全く同じに変換されます。
タスクその3。 因数分解してみましょう:
a 3 – av – a 2 c + a 2; x 2 y – x 2 -y + x 3。
2x + y + y 2 – 4x 2 ; a – 3c +9c 2 -a 2 。
2. 独立した仕事。
ワークシートには独立した作業があり、テキストの後に正しい答えの下に数字を入力する表があります。 作業が完了するまでに 7 分かかります。
「数値と変換」のテスト
1. 標準形式で 0.00019 を書き込みます。
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
2. 座標線上にマークされた点の 1 つが番号に対応します。
3. 数字aとbについて a>0、b>0、a>4b であることが知られています。 次の不等式のうち間違っているものはどれですか?
1) a-2a>-3b; 2) 2a>8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1。
4.式の値を見つけます: (6x – 5y): (3x+y) (x=1.5 および y=0.5 の場合)。
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
5.次の式のうち、(7 – x)(x – 4)に変換できるものはどれですか?
1) – (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);
3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4)。
作業完了後はASUOKプログラム（自動訓練・管理管理システム）を用いてチェックを実施します。 彼らはデスクメイトとノートを交換し、先生と一緒にテストをチェックします。| エクササイズ | |||||
| 答え： | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. レッスンの概要。
今日の授業では、国家試験の準備として問題集から選ばれた課題を解きました。 これは、試験に完璧に合格するために繰り返す必要がある内容のほんの一部です。
- レッスンは終わりました。 レッスンで役に立ったことは何ですか?
「専門家とは、もはや考えない人であり、彼はそれを知っています。」 フランク・ハバード。
7. 宿題
紙には自宅で完了すべきタスクが書かれています。
代数で考慮されるさまざまな式の中で、単項式の和は重要な位置を占めます。 そのような表現の例を次に示します。
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
単項式の和を多項式といいます。 多項式の項は多項式の項と呼ばれます。 単項式は 1 つの要素から構成される多項式であるとみなされるため、単項式も多項式として分類されます。
たとえば、多項式
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
簡略化することができます。
すべての項を単項式で表しましょう 標準ビュー:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
結果の多項式で同様の項を提示してみましょう。
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
結果は多項式であり、そのすべての項は標準形式の単項式であり、その中には類似した項はありません。 このような多項式は次のように呼ばれます。 標準形式の多項式.
後ろに 多項式の次数標準形式のメンバーは、そのメンバーの最高の権限を取得します。 したがって、二項式 \(12a^2b - 7b\) は 3 番目の次数を持ち、三項式 \(2b^2 -7b + 6\) は 2 番目の次数を持ちます。
通常、1 つの変数を含む標準形式の多項式の項は、指数の降順に並べられます。 例えば：
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
いくつかの多項式の和は、標準形式の多項式に変換 (簡略化) できます。
場合によっては、多項式の項をグループに分割し、各グループを括弧で囲む必要があることがあります。 囲み括弧は開き括弧の逆変換なので定式化は簡単です 開き括弧のルール:
「+」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は同じ符号で記述されます。
「-」記号が括弧の前に置かれている場合、括弧で囲まれた用語は反対の符号で書かれます。
単項式と多項式の積の変換（簡略化）
乗算の分配特性を利用して、単項式と多項式の積を多項式に変換 (簡略化) できます。 例えば：
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
単項式と多項式の積は、この単項式と多項式の各項の積の合計に等しくなります。
この結果は通常、ルールとして定式化されます。
単項式と多項式を乗算するには、その単項式に多項式の各項を乗算する必要があります。
合計を乗算するためにこのルールをすでに数回使用しました。
多項式の積。 2 つの多項式の積の変換 (単純化)
一般に、2 つの多項式の積は、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項の積の合計に等しくなります。
通常は次のルールが使用されます。
多項式と多項式を乗算するには、一方の多項式の各項ともう一方の多項式の各項を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。
乗算の公式の省略形。 二乗和、差、二乗差
代数変換では、一部の式を他の式よりも頻繁に処理する必要があります。 おそらく最も一般的な式は \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) と \(a^2 - b^2 \)、つまり合計の 2 乗、次の 2 乗です。平方の違いと違い。 これらの式の名前が不完全であることに気づきました。たとえば、 \((a + b)^2 \) は、もちろん、単に合計の 2 乗ではなく、a と b の合計の 2 乗です。 。 ただし、a と b の和の 2 乗はあまり頻繁には出現しません。通常、文字 a と b の代わりに、さまざまな (場合によっては非常に複雑な) 式が含まれます。
式 \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) は、標準形式の多項式に簡単に変換 (簡略化) できます。実際、多項式を乗算するときに、このタスクにすでに遭遇しています。
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
結果の恒等式を記憶しておき、中間計算を行わずに適用すると便利です。 これには、簡潔な口頭表現が役立ちます。
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - 和の二乗 合計に等しい平方と積を2倍にします。
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - 差の二乗は、積を 2 倍しない二乗和に等しくなります。
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - 二乗の差は、差と和の積に等しくなります。
これら 3 つのアイデンティティにより、変換時に左手の部分を右手の部分に置き換えたり、その逆、つまり右手の部分を左手の部分に置き換えたりすることができます。 最も難しいのは、対応する式を見て、その中で変数 a と b がどのように置き換えられるかを理解することです。 短縮された乗算公式の使用例をいくつか見てみましょう。
レッスンのモットー：m
レッスンタイプ:
目標:
タスク:
授業中
1. 整理の時間。
何も気付かない人は
彼は何も勉強しません
何も勉強しない人は
彼はいつも愚痴を言って退屈している。
2.
(数字とアルファベット)
3. .知識を更新しています。
1)括弧の開きに関するルール。
2)1. 単項式と多項式の乗算の規則。
エラーを見つけて修正します。
( )
エラーを見つけて修正します。
( )
3)
タスクの回答
4) 因数分解。
B) グループ化の方法。
物理的な分!!!
a) 分数の約定
b) 分数の和と差。
|
|
分数と分数を掛けるには、分子と分母を掛けて、最初の積を分子として、2 番目の積を分数の分母として書く必要があります。 |
|||
|
分数をべき乗するには、分子と分母をこのべき乗し、最初の結果を分子に、2 番目の結果を分数の分母に書く必要があります。 |
4. 素材を固定します。
エクササイズ。
5. 結果、反省。
6. 宿題。
ドキュメントの内容を表示する
「反復: 表現とその変形」
トピック: 「反復: 表現とその変換」
レッスンのモットー：m隣人が数学をやっているのを見て数学を学ぶことはできません。
レッスンタイプ:研究内容の統合と一般化。
目標: a) 7 年生から 9 年生までの代数コースの生徒の知識を体系化し、このトピックに関する生徒の知識とスキルを一般化し、代数式の操作方法を思い出して統合します。たとえば、括弧の開きの規則、単項式と多項式の乗算の規則などです。多項式による多項式、乗算公式の短縮、多項式の因数への分解、有理分数の演算。
b) 学習意欲、知識、規律に対する積極的な態度を育成する。
c) 分析的および総合的思考の発達、知識を実際に適用するスキル、行動を実行する際の正確さ、正確さ、独立性。
タスク:トレーニング演習を解くときに代数式を扱うための上記のルールを覚えて適用してください。
授業中
整理の時間。
詩人ローマン・セフは冗談めかして次のように書いています。
何も気付かない人は
彼は何も勉強しません
何も勉強しない人は
彼はいつも愚痴を言って退屈している。
今日は退屈しません。 同意しますか？ 日付、授業課題、「式とその変形」のテーマをノートに書き留めます。
レッスンの目標と目的を設定します。
レッスンのテーマを注意深く見てください。
どのような種類の表現を知っていますか? (数字とアルファベット)
どのような変換に精通していますか? (括弧の開きの規則、単項式と多項式の乗算、および多項式と多項式の乗算の規則、乗算公式の省略、多項式の因数分解、有理分数の演算)
それでは、今日の私たちの仕事の目的は何でしょうか？ ( 代数式の操作方法を覚えて定着させる)
したがって、7〜9年生の代数コース全体として、このトピックに関する知識とスキルを体系化し、一般化します。
繰り返し 教材 .知識を更新しています。
1) 括弧の開きに関するルール。
式変換の 1 つのタイプは、括弧の展開です。 括弧を含む式から同一の式に移行すると便利です。 式に等しい、これらのかっこは含まれなくなりました。
「+」記号を前に付ける左括弧のルールを策定してください。 括弧の前に「+」記号がある場合は、括弧内の用語の符号を維持したまま、括弧とこの「+」記号を省略できます。
ここで、「-」記号が前にある括弧を開くためのルールを定式化します。括弧の前に「-」記号が付いている場合、括弧は省略され、括弧内の用語はその符号を反対に変更します。
2) 1. 単項式と多項式を乗算するための規則。
単項式と多項式の乗算の規則を思い出してください。 単項式と多項式を乗算するには、この単項式に多項式の各項を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。
エラーを見つけて修正します。
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2. 多項式と多項式を乗算するための規則。
多項式と多項式の乗算の規則を思い出してください。 多項式と多項式を乗算するには、ある多項式の各項と別の多項式の各項を乗算し、その結果の積を加算する必要があります。
エラーを見つけて修正します。
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3) 乗算の公式の省略形。
省略された乗算の公式を覚えてみましょう。 数式の空白を埋めてください。
次のタスクを完了しましょう。 課題と回答を線で結びます。
タスクの回答
4)
4)
6)
6)
7) 7) 
キー: 1-2; 2-4; 3-3; 4-6; 5-7; 6-5; 7-1.
正しくできた場合は「+」を入力し、間違った場合は「-」を入力して間違いを修正します。
すべて正しく行った場合は手を挙げてください。 どこで間違いがあったのでしょうか?
4) 因数分解。
ホワイトボードに書かれた例を注意深く見てください。 以下の例に共通するものは何ですか?という質問に答えてください。
答え：答えが作品を生み出します。
では、因数分解とは何でしょうか？
回答: 多項式を 2 つ以上の多項式の積として表すことを因数分解と呼びます。
これらの例に基づいて、名前を付けます。 多項式を因数分解する方法:
A) 共通因数を括弧の外に置く。
B) グループ化の方法。
C) 省略された乗算公式を使用する。
D) 因数分解式 二次三項式.
物理的な分!!!
5) 有理分数に対するアクション。
そして今、私は数学的宝くじをプレイすることを提案します。 私たちはペアで作業します。 ルールとそれに対応する例を選択して組み合わせる必要があります。
a) 分数の約定
b) 分数の和と差。
| 分数を加算するには 同じ分母分子を加算し、分母は同じままにする必要があります。 |
|
| 分母が似ている分数を引くには、最初の分数の分子から 2 番目の分数の分子を引き、分母は同じままにする必要があります。 |
c) 分数の積と商。
| 分数と分数を掛けるには、分子と分母を掛けて、最初の積を分子として、2 番目の積を分数の分母として書く必要があります。 |
|
| ある分数を別の分数で割るには、最初の分数に 2 番目の分数の逆数を掛ける必要があります。 |
|
| 分数をべき乗するには、分子と分母をこのべき乗し、最初の結果を分子に、2 番目の結果を分数の分母に書く必要があります。 |
以下のように確認してみましょう。 私が例を示し、あなたは対応するルールを発言します。
したがって、理論的な内容を繰り返し、実践的な部分に進みます。
素材を固定します。
エクササイズ。ギャップの代わりに次の単項式または符号を挿入して、結果の等式が恒等式になるようにします。
結果、反省。
エフゲニー・ドマンスキーは次のように述べています。「現実を振り返ることができた人は、前進する上で有利な立場にあります。」 ですので、反省もさせていただきます。
レッスンの冒頭に戻りましょう。 レッスンの目的を見てください。 達成できたでしょうか？ 私たちがそれを達成したのは…
宿題。
日記を開いて書き留めてください 宿題:
B 69、70 (9) (試験課題集)
エクササイズ。例の解決策を検討し、エラーを見つけます。
正しい解決策黒板に書きます：
数値および代数式。 式の変換。
数学における式とは何ですか? なぜ式の変換が必要なのでしょうか?
彼らが言うように、この質問は興味深いものです...事実、これらの概念はすべての数学の基礎です。 すべての数学は式とその変換で構成されます。 あまり明確ではありませんか? 説明しましょう。
君の前で言ってみよう 悪い例。 非常に大きく、非常に複雑です。 あなたは数学が得意で、何も恐れていないとしましょう。 すぐに答えられますか？
そうする必要があります 決めるこの例。 この例では、一貫して段階的に、 簡略化する。 もちろん一定のルールに従ってです。 それらの。 する 表現変換。 これらの変換をよりうまく実行すればするほど、数学が強くなります。 正しい変換の方法を知らなければ、数学で変換を行うことはできません。 何もない...
このような不快な未来 (または現在...) を避けるために、このトピックを理解しておいて損はありません。)
まず、調べてみましょう 数学の式とは何ですか。 どうしたの 数値式そして何ですか 代数式。
数学における式とは何ですか?
数学における表現- これは非常に幅広い概念です。 私たちが数学で扱うほとんどすべては、一連の数式です。 例、公式、分数、方程式などはすべて次のもので構成されています。 数式.
3+2 は数式です。 s 2 - d 2- これも数式です。 健全な分数も、1 つの数値も、すべて数学式です。 たとえば、方程式は次のとおりです。
5x + 2 = 12
等号で接続された 2 つの数式で構成されます。 1 つの式は左側にあり、もう 1 つは右側にあります。
で 一般的な見解学期 " 数式「ほとんどの場合、不平不満を避けるために使用されます。たとえば、普通の分数とは何ですか? どう答えるのですか?! と尋ねられます。
最初の答え「これは…」 うーん... そのようなこと... そのうち... 分数をもっと上手に書くことはできますか? あなたはどれが欲しいですか？"
2 番目の答え:「 公分数- これは（明るく楽しく！） 数式 、分子と分母で構成されます!」
2 番目のオプションは、どういうわけかより印象的になるでしょう?)
これが「」という言葉の目的です。 数式 「非常に良いです。どちらも正しく、確かです。しかし、 実用化～に精通している必要がある 数学における特定の種類の式 .
具体的なタイプは別問題です。 これ それは全くの別問題です！それぞれの種類の数式には、 私の意思決定を行う際に使用しなければならない一連のルールとテクニック。 分数の処理用 - 1 セット。 三角関数の式を扱うための - 2 番目のもの。 対数を扱う場合 - 3 番目。 等々。 これらのルールは一致するところもあれば、大きく異なるところもあります。 しかし、これらの恐ろしい言葉を恐れないでください。 対数、三角法、その他の不思議なことを適切なセクションでマスターしていきます。
ここでは、2 つの主要なタイプの数式をマスターします (または、人によっては繰り返します)。 数値式と代数式。
数値式。
どうしたの 数値式? これは非常に単純な概念です。 名前自体が、これが数字を使った式であることを示唆しています。 そういうことです。 数字、括弧、算術記号で構成される数式を数値式と呼びます。
7-3は数式です。
(8+3.2) 5.4 も数値表現です。
そしてこのモンスターは、
数値表現もそうです...
通常の数値、分数、X やその他の文字のない計算例、これらはすべて数値表現です。
メインサイン 数値的式 - その中に 文字がありません。 なし。 数字と数学記号のみ (必要な場合)。 シンプルですよね？
では、数値表現を使って何ができるのでしょうか? 数値式は通常、数えることができます。 これを行うには、括弧を開けたり、記号を変更したり、省略したり、用語を交換したりする必要がある場合があります。 する 式の変換。 ただし、それについては以下で詳しく説明します。
ここでは、数値式を使用した場合のこのような面白いケースを扱います。 何もする必要はありません。まあ、何もありません！ この気持ちの良い操作は―― 何もしないこと）- 式が指定されたときに実行されます 意味がありません.
数値式が意味をなさないのはどのような場合ですか?
目の前にある種のアブラカダブラを見たら、それは明らかです。
それなら私たちは何もしません。 それはどうすればよいか明確ではないからです。 ある種のナンセンス。 プラスの数を数えてみてはいかがでしょうか...
しかし、表面的には非常にまともな表現があります。 たとえばこれ:
(2+3) : (16 - 2 8)
しかし、この表現も 意味がありません！ 単純な理由は、2 番目の括弧内では - 数えると - ゼロになるからです。 しかし、ゼロで割ることはできません。 これは数学では禁じられた操作です。 したがって、この式についても何もする必要はありません。 このような式を含むタスクの場合、答えは常に同じになります。 「その表現に意味はない！」
もちろん、そのような答えを出すには、括弧内に何が入るかを計算する必要がありました。 そして、括弧内にたくさんのものが含まれていることもあります...まあ、それについては何もできません。
数学では禁止されている演算はそれほど多くありません。 このトピックには 1 つだけあります。 ゼロ除算。 根と対数に生じる追加の制限については、対応するトピックで説明します。
それで、それが何であるかについてのアイデア 数値式- わかりました。 コンセプト 数値表現が意味をなさない- 気がついた。 次へ移りましょう。
代数式。
数式の中に文字が含まれている場合、この式は... になります。 式は... になります。 あれは。。。になる 代数式。 例えば：
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
このような表現はこうも呼ばれます 文字通りの表現。または 変数を使用した式。実質的には同じことです。 表現 5a +cたとえば、リテラルと代数の両方、変数を含む式などです。
コンセプト 代数式 -数値よりも範囲が広い。 それ 含まれていますおよびすべての数値表現。 それらの。 数値式は、文字がなければ代数式でもあります。 すべてのニシンは魚ですが、すべての魚がニシンであるわけではありません...)
なぜ アルファベット- それは明らかだ。 まあ、文字があるので…フレーズ 変数を使用した式それもあまり不可解ではありません。 数字が文字の下に隠れていることが理解できれば。 文字の下にはあらゆる種類の数字を隠すことができます...5 や -18、その他何でも。 つまり、手紙は次のようになります。 交換するの上 異なる数字。 それが文字が呼ばれる理由です 変数.
表現において y+5、 例えば、 で- 変数値。 あるいは単に「」と言うだけです。 変数"、「マグニチュード」という言葉なしで。 定数値である 5 とは異なります。 あるいは単に - 絶え間ない.
学期 代数式この式を使用するには法律とルールを使用する必要があることを意味します 代数。 もし 算術特定の数値を扱うと、 代数- すべての数字を一度に。 説明のための簡単な例。
算術では次のように書くことができます
しかし、そのような等式を代数式で書くと次のようになります。
a + b = b + a
私たちはすぐに決めます 全て質問。 のために すべての数字脳卒中。 すべてのものに対して無限。 文字の下にあるから あそして b暗黙の 全て数字。 数値だけでなく、他の数式も同様です。 これが代数の仕組みです。
代数式が意味をなさないのはどのような場合ですか?
数値表現に関するすべてが明らかです。 そこではゼロで割ることはできません。 そして、文字を使用すると、何で割っているのかを知ることができるでしょうか?!
たとえば、変数を使用した次の式を考えてみましょう。
2: (あ - 5)
意味はあるでしょうか？ 知るか？ あ- いずれかの番号...
どれでも、どれでも…でも意味は一つだけ あ、この式は その通り意味がありません！ で、この数字は何ですか？ はい！ これは5です！ 変数の場合 あ数字の 5 に置き換えます (「置換」と言います)。括弧内はゼロになります。 分割できないもの。 つまり、私たちの表現は 意味がありません、 もし a = 5。 しかし、他の価値観の場合 あそれは意味がありますか？ 他の数字に置き換えることはできますか?
確かに。 そのような場合、彼らは単に次のように言います。
2: (あ - 5)
どのような価値観にも意味がある あ, a = 5 を除く .
一連の数字全体は、 できる与えられた式に代入することは呼び出されます 地域 許容可能な値 この表現。
ご覧のとおり、難しいことは何もありません。 変数を使用した式を見て、変数のどの値で禁止された演算 (ゼロ除算) が得られるのかを考えてみましょう。
そして、タスクの質問を必ず見てください。 彼らは何を尋ねているのでしょうか？
意味がありません、私たちの禁じられた意味が答えになります。
変数のどの値で式が成立するかを尋ねると、 意味がある（違いを感じてください！）、答えは次のとおりです。 他のすべての数字禁止事項を除いて。
なぜ式の意味が必要なのでしょうか? 彼はそこにいます、彼はいません...何が違うのですか?! 重要なのは、この概念が高校では非常に重要になるということです。 かなり重要！ これは、許容可能な値の領域や関数の領域などの確固たる概念の基礎です。 これがなければ、深刻な方程式や不等式をまったく解くことができなくなります。 このような。
式の変換。 アイデンティティの変革。
数値表現と代数表現について学びました。 「表現に意味はない」という言葉の意味が分かりました。 今、それが何なのかを理解する必要があります 表現の変容。答えは簡単です。恥ずかしいほどです。) これは、式を伴うアクションです。 それだけです。 あなたはこれらの変革を1年生の時から行ってきました。
3+5 というクールな数式を考えてみましょう。 どのように変換できますか? はい、とてもシンプルです！ 計算します:
この計算が式の変換になります。 同じ式を別の方法で書くこともできます。
ここでは何もカウントしませんでした。 表現だけ書いてみた 違う形で。これも表現の変化になります。 次のように書くことができます:
そしてこれも表現の変容です。 このような変換は必要なだけ行うことができます。
どれでも表現に対するアクション どれでも別の形式で記述することを、式の変換と呼びます。 以上です。 すべてがとてもシンプルです。 しかし、ここで一つのことがあります とても重要なルール。安全に呼び出すことができるほど重要です 主なルールすべての数学。 このルールを破る 必然的にエラーにつながります。 入り込んでるのかな？）
次のように式を無計画に変換したとします。
変換？ 確かに。 式を別の形式で書きましたが、どこが間違っているのでしょうか?
そういうわけではありません。) 重要なのは、変換ということです。 "無作為に"すべての数学は、次のような変換に基づいて構築されています。 外観, しかし表現の本質は変わりません。 3 プラス 5 はどのような形式でも記述できますが、8 でなければなりません。
変換、 本質を変えない表現呼ばれています 同一。
その通り アイデンティティ変換そして私たちが一歩ずつ変革できるようにしてください 複雑な例シンプルな表現にまとめたまま、 例の本質。変換の連鎖で間違いを犯した場合、つまり同一の変換を行っていない場合は、次のことを決定します。 別の例。 正しい回答とは関係のない他の回答も含まれます。)
これは、あらゆるタスクを解決するための主要なルールです。つまり、変換の同一性を維持することです。
例 数値表現わかりやすくするために 3+5 を持ってきました。 代数式では、恒等変換は公式と規則によって与えられます。 代数学に次の式があるとします。
a(b+c) = ab + ac
これは、どの例でも、次の式の代わりに次のことができることを意味します。 a(b+c)自由に表現を書いてください 腹部 + 交流。 およびその逆。 これ 全く同じ変身。数学では、これら 2 つの式のどちらかを選択できます。 そしてどれから書くべきか 具体例によります。
もう一つの例。 最も重要かつ必要な変換の 1 つは、分数の基本特性です。 詳細についてはリンクを参照してください。ただし、ここではルールを思い出してください。 分数の分子と分母に同じ数値を乗算（除算）した場合、またはゼロに等しくない式を実行した場合、分数は変化しません。このプロパティを使用した恒等変換の例を次に示します。
ご想像のとおり、この連鎖は無限に続く可能性があります...) 大切な財産。 これにより、あらゆる種類のモンスターを白くふわふわに変えることができます。)
同一の変換を定義する公式が多数あります。 しかし、最も重要なものはかなり妥当な数です。 基本的な変換の 1 つは因数分解です。 初級から上級まであらゆる数学で使用されます。 彼から始めましょう。 次のレッスンで。)
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